Carlo s Henrique dos Santos Evandro Antonio Bertolini Gilvan Farias da Silva.
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IntroduçãoTeoria dos Grafos
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Introdução à Teoria dos GrafosCurso: Introdução à Análise de Redes
Pós-Graduação em Demografia - FACE - UFMG
Prof. Gilvan R. Guedes e Wesley H. S. Pereira
Departamento de Demografia - UFMG
16 de Setembro de 2017
Prof. Gilvan R. Guedes e Wesley H. S. Pereira Aula 01 - Introdução à Análise de Redes
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Informações do Curso
Disciplina: Introdução à Análise de Redes* Website: http://gilvanguedes.com/network-analysis/
* Carga-horária: 30 horas - 2 créditos* Número de aulas: 9 aulas* Início: 17/10/2017* Previsão de Término: 19/12/2017Professor: Gilvan Ramalho Guedes (CEDEPLAR/UFMG)* e-mail: [email protected]* Gabinete: FACE 3093Monitor: Wesley Henrique Silva Pereira (DEST/UFMG)* e-mail: [email protected]
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Avaliações
Disciplina: Introdução à Análise de Redes* Exercício: Cálculo e interpretação de parâmetros (30
pontos)* Exercício: Representação visual da rede e intepretação (30
pontos)* Trabalho Final: Análise aplicada a um estudo de caso à
escolha do aluno (40 pontos)
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Sobre este material
Essas notas de aula são parcialmente baseadas em:* Kolaczyk (2009) Statistical analysis of network data-methods
and models;* Feofiloff (2016) Algorítmos para grafos e c via sedgewick (url
nas referências);* UFSC (UFSC) Conceitos básicos da Teoria dos Grafos (url
nas referências);* Notas de aula de Teoria dos Grafos - Urrutia, S.
(DCC/UFMG);* Notas de aula de Teoria dos Grafos - Nogueira, L. T
(IC/UFF);
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Definição de Análise de RedesDefinição de Teoria dos GrafosGrafos e redesMotivação
A Análise de Redes é a área da Tecnologia da Informação edas Ciências Sociais que trata do processo de analisar qualquertipo de rede por intermédio da Teoria das Redes;
Estuda interdisciplinarmente redes complexas, como porexemplo redes de computador, redes biológicas, redes cognitivase redes sociais;
É definida como “o estudo das representações de rede defenômenos físicos, biológicos e sociais, levando a modelospreditivos desses fenômenos.”, (Council et al., 2006)
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A Análise de Redes é a área da Tecnologia da Informação edas Ciências Sociais que trata do processo de analisar qualquertipo de rede por intermédio da Teoria das Redes;
Estuda interdisciplinarmente redes complexas, como porexemplo redes de computador, redes biológicas, redes cognitivase redes sociais;
É definida como “o estudo das representações de rede defenômenos físicos, biológicos e sociais, levando a modelospreditivos desses fenômenos.”, (Council et al., 2006)
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A Análise de Redes é a área da Tecnologia da Informação edas Ciências Sociais que trata do processo de analisar qualquertipo de rede por intermédio da Teoria das Redes;
Estuda interdisciplinarmente redes complexas, como porexemplo redes de computador, redes biológicas, redes cognitivase redes sociais;
É definida como “o estudo das representações de rede defenômenos físicos, biológicos e sociais, levando a modelospreditivos desses fenômenos.”, (Council et al., 2006)
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Teoria dos Grafos
A Teoria dos Grafos é um ramo da Matemática que estuda asrelações entre um conjunto de objetos;
“A Teoria dos Grafos estuda objetos combinatórios — os grafos— que são um bom modelo para muitos problemas em váriosramos da Matemática, da Informática, da Engenharia e daIndústria. Muitos dos problemas sobre grafos tornaram-secélebres porque são um interessante desafio intelectual eporque têm importantes aplicações práticas.” (Feofiloff et al.,2011).
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Teoria dos Grafos
A Teoria dos Grafos é um ramo da Matemática que estuda asrelações entre um conjunto de objetos;
“A Teoria dos Grafos estuda objetos combinatórios — os grafos— que são um bom modelo para muitos problemas em váriosramos da Matemática, da Informática, da Engenharia e daIndústria. Muitos dos problemas sobre grafos tornaram-secélebres porque são um interessante desafio intelectual eporque têm importantes aplicações práticas.” (Feofiloff et al.,2011).
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Desambiguação
Em termos práticos, a principal diferença entre uma rede e um grafoestá na motivação:
Em geral uma rede surge da observação de um fenômenorelacional e necessariamente está atrelada àquele fenômeno. Poroutro lado, um grafo não necessita de um motivo para existir: eleé como um número ou um segmento de reta em Matemática;
Uma rede pode ser representada por um grafo, isto é, ela dáorigem a um grafo. Em geral, não há sentido em dizer que umgrafo deu origem a uma rede;
A rede pode ser encarada como o objeto sobre o qual se baseia oestudo sobre um fenôneno relacional. Através dos grafos, aTeoria dos Grafos é uma ferramenta que nos permite estudar ocaráter relacional de um conjunto dados.
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Desambiguação
Em termos práticos, a principal diferença entre uma rede e um grafoestá na motivação:
Em geral uma rede surge da observação de um fenômenorelacional e necessariamente está atrelada àquele fenômeno. Poroutro lado, um grafo não necessita de um motivo para existir: eleé como um número ou um segmento de reta em Matemática;
Uma rede pode ser representada por um grafo, isto é, ela dáorigem a um grafo. Em geral, não há sentido em dizer que umgrafo deu origem a uma rede;
A rede pode ser encarada como o objeto sobre o qual se baseia oestudo sobre um fenôneno relacional. Através dos grafos, aTeoria dos Grafos é uma ferramenta que nos permite estudar ocaráter relacional de um conjunto dados.
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Desambiguação
Em termos práticos, a principal diferença entre uma rede e um grafoestá na motivação:
Em geral uma rede surge da observação de um fenômenorelacional e necessariamente está atrelada àquele fenômeno. Poroutro lado, um grafo não necessita de um motivo para existir: eleé como um número ou um segmento de reta em Matemática;
Uma rede pode ser representada por um grafo, isto é, ela dáorigem a um grafo. Em geral, não há sentido em dizer que umgrafo deu origem a uma rede;
A rede pode ser encarada como o objeto sobre o qual se baseia oestudo sobre um fenôneno relacional. Através dos grafos, aTeoria dos Grafos é uma ferramenta que nos permite estudar ocaráter relacional de um conjunto dados.
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Desambiguação
Em termos práticos, a principal diferença entre uma rede e um grafoestá na motivação:
Em geral uma rede surge da observação de um fenômenorelacional e necessariamente está atrelada àquele fenômeno. Poroutro lado, um grafo não necessita de um motivo para existir: eleé como um número ou um segmento de reta em Matemática;
Uma rede pode ser representada por um grafo, isto é, ela dáorigem a um grafo. Em geral, não há sentido em dizer que umgrafo deu origem a uma rede;
A rede pode ser encarada como o objeto sobre o qual se baseia oestudo sobre um fenôneno relacional. Através dos grafos, aTeoria dos Grafos é uma ferramenta que nos permite estudar ocaráter relacional de um conjunto dados.
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Então, por que estudar grafos?
Porque tanto a rede quanto o grafo estudam as relações entreobjetos;
Porque através deles modelamos fenômenos relacionais de todanatureza em um modelo matemático formalizado;
Porque embora tenhamos visto que uma rede não é um grafo,um grafo é a representação mais natural para uma rede.
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Então, por que estudar grafos?
Porque tanto a rede quanto o grafo estudam as relações entreobjetos;
Porque através deles modelamos fenômenos relacionais de todanatureza em um modelo matemático formalizado;
Porque embora tenhamos visto que uma rede não é um grafo,um grafo é a representação mais natural para uma rede.
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Então, por que estudar grafos?
Porque tanto a rede quanto o grafo estudam as relações entreobjetos;
Porque através deles modelamos fenômenos relacionais de todanatureza em um modelo matemático formalizado;
Porque embora tenhamos visto que uma rede não é um grafo,um grafo é a representação mais natural para uma rede.
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Definição de Análise de RedesDefinição de Teoria dos GrafosGrafos e redesMotivação
Então, por que estudar grafos?
Porque tanto a rede quanto o grafo estudam as relações entreobjetos;
Porque através deles modelamos fenômenos relacionais de todanatureza em um modelo matemático formalizado;
Porque embora tenhamos visto que uma rede não é um grafo,um grafo é a representação mais natural para uma rede.
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As sete pontes de KönigsberbConceitos básicosEstruturas em grafosRepresentações de um grafo
O problema das sete pontes de Königsberg
É possível atravessar as 7 pontes sem repetir nenhuma?
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Modelagem
Temos:
4 localidades e 7 pontes;4 pontos e 7 conexões;
Proposta A Proposta B Proposta C
Qual proposta acima representa corretamente o problema em questão?Resposta: Todas elas representam o mesmo fenômeno, as pontes deKönigsberg, corretamente.
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As sete pontes de KönigsberbConceitos básicosEstruturas em grafosRepresentações de um grafo
Modelagem
Temos:4 localidades e 7 pontes;
4 pontos e 7 conexões;
Proposta A Proposta B Proposta C
Qual proposta acima representa corretamente o problema em questão?Resposta: Todas elas representam o mesmo fenômeno, as pontes deKönigsberg, corretamente.
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Modelagem
Temos:4 localidades e 7 pontes;4 pontos e 7 conexões;
Proposta A Proposta B Proposta C
Qual proposta acima representa corretamente o problema em questão?Resposta: Todas elas representam o mesmo fenômeno, as pontes deKönigsberg, corretamente.
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As sete pontes de KönigsberbConceitos básicosEstruturas em grafosRepresentações de um grafo
Modelagem
Temos:4 localidades e 7 pontes;4 pontos e 7 conexões;
Proposta A
Proposta B Proposta C
Qual proposta acima representa corretamente o problema em questão?Resposta: Todas elas representam o mesmo fenômeno, as pontes deKönigsberg, corretamente.
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Modelagem
Temos:4 localidades e 7 pontes;4 pontos e 7 conexões;
Proposta A Proposta B
Proposta C
Qual proposta acima representa corretamente o problema em questão?Resposta: Todas elas representam o mesmo fenômeno, as pontes deKönigsberg, corretamente.
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Temos:4 localidades e 7 pontes;4 pontos e 7 conexões;
Proposta A Proposta B Proposta C
Qual proposta acima representa corretamente o problema em questão?Resposta: Todas elas representam o mesmo fenômeno, as pontes deKönigsberg, corretamente.
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Modelagem
Temos:4 localidades e 7 pontes;4 pontos e 7 conexões;
Proposta A Proposta B Proposta C
Qual proposta acima representa corretamente o problema em questão?
Resposta: Todas elas representam o mesmo fenômeno, as pontes deKönigsberg, corretamente.
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As sete pontes de KönigsberbConceitos básicosEstruturas em grafosRepresentações de um grafo
Modelagem
Temos:4 localidades e 7 pontes;4 pontos e 7 conexões;
Proposta A Proposta B Proposta C
Qual proposta acima representa corretamente o problema em questão?Resposta: Todas elas representam o mesmo fenômeno, as pontes deKönigsberg, corretamente.
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Solução
Suponha que exista um percurso que atravesse as pontes semrepetir qualquer uma delas.
Façamos P o nosso ponto departida genérico e F o nosso ponto final genérico.
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IntroduçãoTeoria dos Grafos
Aplicações em redesReferências
As sete pontes de KönigsberbConceitos básicosEstruturas em grafosRepresentações de um grafo
Solução
Suponha que exista um percurso que atravesse as pontes semrepetir qualquer uma delas. Façamos P o nosso ponto departida genérico e F o nosso ponto final genérico.
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As sete pontes de KönigsberbConceitos básicosEstruturas em grafosRepresentações de um grafo
Solução
Suponha que exista um percurso que atravesse as pontes semrepetir qualquer uma delas. Façamos P o nosso ponto departida genérico e F o nosso ponto final genérico.
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Aplicações em redesReferências
As sete pontes de KönigsberbConceitos básicosEstruturas em grafosRepresentações de um grafo
Solução
Vamos chamar de C o conjunto dos pontos pertencentes a essepercurso e que não são nem o ponto partida e nem oponto final. Como o caminho existe, C deve intermerdiar opercurso entre P e F .
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Solução
Vamos chamar de C o conjunto dos pontos pertencentes a essepercurso e que não são nem o ponto partida e nem oponto final. Como o caminho existe, C deve intermerdiar opercurso entre P e F .
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As sete pontes de KönigsberbConceitos básicosEstruturas em grafosRepresentações de um grafo
Solução
Já que o percurso existe, então existe uma ponte que vai de Ppara um ponto C1 genérico e uma ponte que vai de um pontoC2 genérico para F .
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Já que o percurso existe, então existe uma ponte que vai de Ppara um ponto C1 genérico e uma ponte que vai de um pontoC2 genérico para F .
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Já que o percurso existe, então existe uma ponte que vai de Ppara um ponto C1 genérico e uma ponte que vai de um pontoC2 genérico para F .
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Já que o percurso existe, então existe uma ponte que vai de Ppara um ponto C1 genérico e uma ponte que vai de um pontoC2 genérico para F .
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As sete pontes de KönigsberbConceitos básicosEstruturas em grafosRepresentações de um grafo
Solução
Sempre assumindo que o percurso existe, ele percorre um determinadonúmero de pontos entre P e F . Como este raciocínio é generalista,informações como o número de pontos visitados ou quantas visitas sãofeitas são desconhecidas.
Mas elas são realmente necessárias? Aresposta é NÃO.
Basta perceber que como os pontos de C estão no percurso de P paraF , toda vez que visitamos um ponto pertencente a C, então há umaponte deste ponto para um outro ponto. Em outras palavras, paracada ponte de entrada em Ci, necessariamente deve haveruma ponte de saída de Ci para todo Ci pertencente a C.
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Sempre assumindo que o percurso existe, ele percorre um determinadonúmero de pontos entre P e F . Como este raciocínio é generalista,informações como o número de pontos visitados ou quantas visitas sãofeitas são desconhecidas. Mas elas são realmente necessárias?
Aresposta é NÃO.
Basta perceber que como os pontos de C estão no percurso de P paraF , toda vez que visitamos um ponto pertencente a C, então há umaponte deste ponto para um outro ponto. Em outras palavras, paracada ponte de entrada em Ci, necessariamente deve haveruma ponte de saída de Ci para todo Ci pertencente a C.
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Sempre assumindo que o percurso existe, ele percorre um determinadonúmero de pontos entre P e F . Como este raciocínio é generalista,informações como o número de pontos visitados ou quantas visitas sãofeitas são desconhecidas. Mas elas são realmente necessárias? Aresposta é NÃO.
Basta perceber que como os pontos de C estão no percurso de P paraF , toda vez que visitamos um ponto pertencente a C, então há umaponte deste ponto para um outro ponto. Em outras palavras, paracada ponte de entrada em Ci, necessariamente deve haveruma ponte de saída de Ci para todo Ci pertencente a C.
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Sempre assumindo que o percurso existe, ele percorre um determinadonúmero de pontos entre P e F . Como este raciocínio é generalista,informações como o número de pontos visitados ou quantas visitas sãofeitas são desconhecidas. Mas elas são realmente necessárias? Aresposta é NÃO.
Basta perceber que como os pontos de C estão no percurso de P paraF , toda vez que visitamos um ponto pertencente a C, então há umaponte deste ponto para um outro ponto. Em outras palavras, paracada ponte de entrada em Ci, necessariamente deve haveruma ponte de saída de Ci para todo Ci pertencente a C.
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Sempre assumindo que o percurso existe, ele percorre um determinadonúmero de pontos entre P e F . Como este raciocínio é generalista,informações como o número de pontos visitados ou quantas visitas sãofeitas são desconhecidas. Mas elas são realmente necessárias? Aresposta é NÃO.
Basta perceber que como os pontos de C estão no percurso de P paraF , toda vez que visitamos um ponto pertencente a C, então há umaponte deste ponto para um outro ponto. Em outras palavras, paracada ponte de entrada em Ci, necessariamente deve haveruma ponte de saída de Ci para todo Ci pertencente a C.
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Sempre assumindo que o percurso existe, ele percorre um determinadonúmero de pontos entre P e F . Como este raciocínio é generalista,informações como o número de pontos visitados ou quantas visitas sãofeitas são desconhecidas. Mas elas são realmente necessárias? Aresposta é NÃO.
Basta perceber que como os pontos de C estão no percurso de P paraF , toda vez que visitamos um ponto pertencente a C, então há umaponte deste ponto para um outro ponto. Em outras palavras, paracada ponte de entrada em Ci, necessariamente deve haveruma ponte de saída de Ci para todo Ci pertencente a C.
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Sempre assumindo que o percurso existe, ele percorre um determinadonúmero de pontos entre P e F . Como este raciocínio é generalista,informações como o número de pontos visitados ou quantas visitas sãofeitas são desconhecidas. Mas elas são realmente necessárias? Aresposta é NÃO.
Basta perceber que como os pontos de C estão no percurso de P paraF , toda vez que visitamos um ponto pertencente a C, então há umaponte deste ponto para um outro ponto. Em outras palavras, paracada ponte de entrada em Ci, necessariamente deve haveruma ponte de saída de Ci para todo Ci pertencente a C.
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Sempre assumindo que o percurso existe, ele percorre um determinadonúmero de pontos entre P e F . Como este raciocínio é generalista,informações como o número de pontos visitados ou quantas visitas sãofeitas são desconhecidas. Mas elas são realmente necessárias? Aresposta é NÃO.
Basta perceber que como os pontos de C estão no percurso de P paraF , toda vez que visitamos um ponto pertencente a C, então há umaponte deste ponto para um outro ponto. Em outras palavras, paracada ponte de entrada em Ci, necessariamente deve haveruma ponte de saída de Ci para todo Ci pertencente a C.
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Sempre assumindo que o percurso existe, ele percorre um determinadonúmero de pontos entre P e F . Como este raciocínio é generalista,informações como o número de pontos visitados ou quantas visitas sãofeitas são desconhecidas. Mas elas são realmente necessárias? Aresposta é NÃO.
Basta perceber que como os pontos de C estão no percurso de P paraF , toda vez que visitamos um ponto pertencente a C, então há umaponte deste ponto para um outro ponto. Em outras palavras, paracada ponte de entrada em Ci, necessariamente deve haveruma ponte de saída de Ci para todo Ci pertencente a C.
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Basta perceber que como os pontos de C estão no percurso de P paraF , toda vez que visitamos um ponto pertencente a C, então há umaponte deste ponto para um outro ponto. Em outras palavras, paracada ponte de entrada em Ci, necessariamente deve haveruma ponte de saída de Ci para todo Ci pertencente a C.
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Sempre assumindo que o percurso existe, ele percorre um determinadonúmero de pontos entre P e F . Como este raciocínio é generalista,informações como o número de pontos visitados ou quantas visitas sãofeitas são desconhecidas. Mas elas são realmente necessárias? Aresposta é NÃO.
Basta perceber que como os pontos de C estão no percurso de P paraF , toda vez que visitamos um ponto pertencente a C, então há umaponte deste ponto para um outro ponto. Em outras palavras, paracada ponte de entrada em Ci, necessariamente deve haveruma ponte de saída de Ci para todo Ci pertencente a C.
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Sempre assumindo que o percurso existe, ele percorre um determinadonúmero de pontos entre P e F . Como este raciocínio é generalista,informações como o número de pontos visitados ou quantas visitas sãofeitas são desconhecidas. Mas elas são realmente necessárias? Aresposta é NÃO.
Basta perceber que como os pontos de C estão no percurso de P paraF , toda vez que visitamos um ponto pertencente a C, então há umaponte deste ponto para um outro ponto. Em outras palavras, paracada ponte de entrada em Ci, necessariamente deve haveruma ponte de saída de Ci para todo Ci pertencente a C.
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Solução
Então, o número de pontes que conectam qualquer pontopertencente a C deve ser necessariamente par.
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Então, o número de pontes que conectam qualquer pontopertencente a C deve ser necessariamente par.
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Então, o número de pontes que conectam qualquer pontopertencente a C deve ser necessariamente par.
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Como P é ponto de partida, então o número de pontes queconectam P deve ser necessariamente ímpar: a ponte queinicia o percurso mais um par de pontes para cada visita a P .O mesmo ocorre com F : um par de pontes para cada visita a Fmais a ponte que encerra o percurso.
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Como P é ponto de partida, então o número de pontes queconectam P deve ser necessariamente ímpar: a ponte queinicia o percurso mais um par de pontes para cada visita a P .O mesmo ocorre com F : um par de pontes para cada visita a Fmais a ponte que encerra o percurso.
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Como P é ponto de partida, então o número de pontes queconectam P deve ser necessariamente ímpar: a ponte queinicia o percurso mais um par de pontes para cada visita a P .O mesmo ocorre com F : um par de pontes para cada visita a Fmais a ponte que encerra o percurso.
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Como P é ponto de partida, então o número de pontes queconectam P deve ser necessariamente ímpar: a ponte queinicia o percurso mais um par de pontes para cada visita a P .O mesmo ocorre com F : um par de pontes para cada visita a Fmais a ponte que encerra o percurso.
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Solução
Na hipótese de P e F serem o mesmo ponto, o número de pontes queo conecta deve ser necessariamente par: um par para cada visita aP = F mais as pontes que iniciam e encerram o percurso.
Então, chegamos à conclusão de que, para que o caminho exista, nomáximo 2 pontos podem ser conectados por um número ímpar depontes.
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Na hipótese de P e F serem o mesmo ponto, o número de pontes queo conecta deve ser necessariamente par: um par para cada visita aP = F mais as pontes que iniciam e encerram o percurso.
Então, chegamos à conclusão de que, para que o caminho exista, nomáximo 2 pontos podem ser conectados por um número ímpar depontes.
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Na hipótese de P e F serem o mesmo ponto, o número de pontes queo conecta deve ser necessariamente par: um par para cada visita aP = F mais as pontes que iniciam e encerram o percurso.
Então, chegamos à conclusão de que, para que o caminho exista, nomáximo 2 pontos podem ser conectados por um número ímpar depontes.
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Na hipótese de P e F serem o mesmo ponto, o número de pontes queo conecta deve ser necessariamente par: um par para cada visita aP = F mais as pontes que iniciam e encerram o percurso.
Então, chegamos à conclusão de que, para que o caminho exista, nomáximo 2 pontos podem ser conectados por um número ímpar depontes.
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Então, chegamos à conclusão de que, para que o caminho exista, nomáximo 2 pontos podem ser conectados por um número ímpar depontes.
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Na hipótese de P e F serem o mesmo ponto, o número de pontes queo conecta deve ser necessariamente par: um par para cada visita aP = F mais as pontes que iniciam e encerram o percurso.
Então, chegamos à conclusão de que, para que o caminho exista, nomáximo 2 pontos podem ser conectados por um número ímpar depontes.
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Na hipótese de P e F serem o mesmo ponto, o número de pontes queo conecta deve ser necessariamente par: um par para cada visita aP = F mais as pontes que iniciam e encerram o percurso.
Então, chegamos à conclusão de que, para que o caminho exista, nomáximo 2 pontos podem ser conectados por um número ímpar depontes.
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Problema: É possível atravessar as 7 pontes sem repetir nenhuma?
Análise:Território A : 5 pontes;Território B, C e D: 3 pontes.
Conclusão: Não existe um percurso que satisfaça o problema emquestão.
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Problema: É possível atravessar as 7 pontes sem repetir nenhuma?
Análise:Território A : 5 pontes;Território B, C e D: 3 pontes.
Conclusão: Não existe um percurso que satisfaça o problema emquestão.
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Problema: É possível atravessar as 7 pontes sem repetir nenhuma?Análise:
Território A : 5 pontes;Território B, C e D: 3 pontes.
Conclusão: Não existe um percurso que satisfaça o problema emquestão.
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Problema: É possível atravessar as 7 pontes sem repetir nenhuma?Análise:
Território A : 5 pontes;Território B, C e D: 3 pontes.
Conclusão: Não existe um percurso que satisfaça o problema emquestão.
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