Introdução aos Métodos Numéricos€¦ · Newton-Raphson – Critérios de parada Método de...

Introdução aos Métodos Numéricos

Instituto de Computação UFFDepartamento de Ciência da Computação

Otton Teixeira da Silveira Filho

Conteúdo temático

● Zeros de Função

Conteúdo específico

● Métodos iterativos

● Convergência dos métodos iterativos

Método de Newton-Raphson

Métodos iterativos

Estes métodos tem a seguinte estrutura

é chamada de função de iteração

xi+1=Φ ( xi ) ; dado x0

Φ( x)

Métodos iterativos

O que desejamos é que

limi→∞

xi=R

Métodos iterativos

O que desejamos é que

o que significaria formalmente que a sequência

é uma sequência de Cachy.

limi→∞

xi=R

{x0, x1, x2,⋯, xn }

Métodos iterativos

Mas pensemos isto no contexto de nosso problema. Se

então

que é uma forma de expressar o teorema do ponto fixo.

limi→∞

xi=R⇒R=Φ(R)

xi+1=Φ ( xi ) ; dado x0

Métodos iterativos

Podemos entender isto como:

se a sequência gerada pela função de iteração é de Cauchy (ou seja, é convergente), temos a garantia que acharemos R quando n tende ao infinito.

Métodos iterativos

Podemos entender isto como:

se a sequência gerada pela função de iteração é de Cauchy (ou seja, é convergente), temos a garantia que acharemos R quando n tende ao infinito.

Mas o infinito pode ser pequeno...

Métodos iterativos – Convergência

Vamos entender qual a condição que teremos de satisfazer para obtermos R


Vamos entender qual a condição que teremos de satisfazer para obtermos R

Se temos x0, podemos obter x1 pela função de iteração

Supondo a sequência é convergente podemos escrever

x1=Φ (x0 )

x1−R=Φ ( x0 )−Φ ( R )


Métodos Iterativos

Com isto poderíamos ter uma ideia de onde x1 se encontra em relação a R.

Necessitamos de alguma ferramenta para nos ajudarmos aqui. O nome desta ferramenta é


Métodos Iterativos

Com isto poderíamos ter uma ideia de onde x1 se encontra em relação a R.

Necessitamos de alguma ferramenta para nos ajudarmos aqui. O nome desta ferramenta é

Teorema do Valor Médio para Derivadas


Teorema do Valor Médio para Derivadas (TVM)

Seja uma função g(x) tal que seja diferenciável no intervalo [a, b]. Então existe um ponto c dentro deste intervalo tal que

g'

(c)=g(b)−g(a)

b−a.


Teorema do Valor Médio para Derivadas (TVM)

Seja uma função g(x) tal que seja diferenciável no intervalo [a, b]. Então existe um ponto c dentro deste intervalo tal que

Usaremos este teorema como

g'(c)=

g(b)−g(a)

b−a.

g'(c)(b−a)=g(b)−g(a)


Aplicamos este teorema na expressão

x1−R=Φ ( x0 )−Φ ( R )


Aplicamos este teorema na expressão

Teremos

e temos um efeito da aplicação da função de iteração

Façamos o mesmo com respeito a x2

x1−R=Φ ( x0 )−Φ ( R )

x1−R=( x0−R )Φ'(α1 ) ;α1∈[x0 , R ]


Teremos

Aplicando o TVM

x2−R=Φ ( x1 )−Φ (R )

x2−R= ( x1−R ) Φ'(α2 ) ;α2∈[x1 , R ]


Teremos

Aplicando o TVM

Usando a expressão obtida anteriormente...

x2−R=Φ ( x1 )−Φ (R )

x2−R=( x1−R ) Φ'(α2 ) ;α2∈[x1 , R ]

x2−R= ( x0−R )Φ'

(α1 )Φ'

(α2 ) ;α2∈[x1 , R ] ,α1∈[x0 , R ]


Se fizermos este procedimento n vezes teremos

Assim, temos o efeito de n aplicações da função de iteração. Todos os α estão nas vizinhanças de R

xn−R=( x0−R ) Φ'(α1 ) Φ

'(α2 )⋯Φ

'(αn )


Se fizermos este procedimento n vezes teremos

Assim, temos o efeito de n aplicações da função de iteração. Todos os α estão nas vizinhanças de R

É hora de examinarmos se há alguma condição que garanta a convergência

xn−R=( x0−R ) Φ'(α1 ) Φ

'(α2 )⋯Φ

'(αn )


Seja M o maior valor em módulo de todos os valores de , ou seja

M=maxi|Φ ' (αi)|

Φ ' (αi)


Seja M o maior valor em módulo de todos os valores de , ou seja

Vamos agora fazer uma suposição de pior caso possível:

Vamos supor que todos os valores de sejam muito próximos de M. Então seria uma boa aproximação escrever

Φ ' (αi)

M=maxi|Φ ' (αi)|

Φ ' (αi)


Observe que devido a esta suposição de pior condição possível, a condição que surgir daqui será suficiente mas não necessária.

xn−R=( x0−R ) Mn


Observe que devido a esta suposição de pior condição possível, a condição que surgir daqui será suficiente mas não necessária.

Para que haja a convergência, o lado esquerdo da expressão não pode ser maior que o lado direito

xn−R=( x0−R ) Mn


Isto implica que

onde α está nas vizinhanças de R.

Temos a condição suficiente para um método iterativo convergir, não importa qual método seja este.

M≤1⇒|Φ' (α)|≤1


Ao contrário dos métodos de partição aqui temos uma condição clara de convergência o que os torna mais confiáveis.


Ao contrário dos métodos de partição aqui temos uma condição clara de convergência o que os torna mais confiáveis.

Não saber que poderão haver falhas não é vantagem mas problema...

Zeros de função

Procurando um método iterativo

Zeros de função

Começaremos usando a série de Taylor para ajudarmos a achar R, o zero de nossa função f(x)

Sabemos que

f (R)=0

Zeros de função

Começaremos usando a série de Taylor para ajudarmos a achar R, o zero de nossa função f(x)

Sabemos que

Expandido f(x) para x = R em torno de x0 em série de Taylor teremos

f (R)=0

f (R)=f (x0)+ f '(x0)(R−x0)+

f ' ' (x0)

2!(R−x0)

2+⋯=0

Zeros de função

Façamos h = R – x0. Ficaremos com

Teríamos de determinar onde este polinômio em h (de grau infinito) se anula.

f (R)=f (x0)+ f '(x0)h+

f ' ' (x0)

2 !h2

+⋯=0

Zeros de função


Teríamos de determinar onde este polinômio em h (de grau infinito) se anula. Não vai rolar...

f (R)=f (x0)+ f '(x0)h+

f ' ' (x0)

2 !h2

+⋯=0

Zeros de função


Teríamos de determinar onde este polinômio em h (de grau infinito) se anula. Não vai rolar...

Examinaremos o que podemos fazer nesta situação

f (R)=f (x0)+ f '(x0)h+

f ' ' (x0)

2 !h2

+⋯=0

Zeros de função

Se ficamos apenas com o primeiro termo da série de Taylor

temos que este resultado que não é novidade: partimos do pressuposto que x0 está próximo de R.

f (x0)≈0

Zeros de função

Se ficamos apenas com o primeiro termo da série de Taylor

temos que este resultado que não é novidade: partimos do pressuposto que x0 está próximo de R.

Vamos adicionar mais um termo para ver o que surge

f (x0)≈0

Zeros de função

Com dois termos teremos

que se torna útil pois obtemos

f (x0)+ f ' (x0)h≈0

Zeros de função

Com dois termos teremos

que se torna útil pois obtemos

f (x0)+ f ' (x0)h≈0

h≈−f (x0)

f ' (x0)

Zeros de função

Como h = R - x0

R≈ x0−f (x0)

f ' (x0)

Zeros de função

Como h = R - x0

Definiremos

Achemos agora a série de Taylor nas vizinhaças de x1

R≈ x0−f (x0)

f ' (x0)

x1=x0−f (x0)

f '( x0)

Zeros de função

Teremos

definindo k = R – x1 teremos

f (R)=f (x1)+f '(x1)(R−x1)+

f ' ' (x1)

2 !(R−x1)

2+⋯=0

Zeros de função

Teremos

definindo k = R – x1 teremos

como anteriormente, usaremos os dois primeiros termos da série de Taylor e obteremos

f (R)=f (x1)+f '(x1)(R−x1)+

f ' ' (x1)

2 !(R−x1)

2+⋯=0

f (R)=f (x1)+f '(x1)k+

f ' ' (x1)

2!k2

+⋯=0

Zeros de função

e daí

que resulta em

e daremos a definição

f (x1)+ f ' (x1)k≈0 k≈−f (x1)

f ' (x1)

R≈x1−f (x1)

f ' (x1)

Zeros de função

e daí

que resulta em

e daremos a definição

f (x1)+ f ' (x1)k≈0 k≈−f (x1)

f ' (x1)

R≈x1−f (x1)

f ' (x1)

x2=x1−f (x1)

f ' (x1)

Zeros de função

Algo já se esboça. Obtivemos duas aproximações de R

x1=x0−f (x0)

f '( x0)x2=x1−

f (x1)

f ' (x1)

Newton-Raphson

Algo já se esboça. Obtivemos duas aproximações de R

Fazendo o mesmo procedimento sucessivamente obteremos

que constitui o método de Newton-Raphson

x1=x0−f (x0)

f '( x0)x2=x1−

f (x1)

f ' (x1)

xi+1=xi−f (x i)

f ' (xi)

Newton-Raphson

Mas qual é a condição para este método convergir?

A condição geral é

xi+1=Φ(xi) ;|Φ'(α)|≤1

Newton-Raphson

Mas qual é a condição para este método convergir?

A condição geral é

Observando a forma do método de Newton-Raphson identificamos

xi+1=xi−f (x i)

f ' (xi)⇒Φ(x )=x−

f (x)

f ' (x )

xi+1=Φ(xi) ;|Φ'(α)|≤1

Newton-Raphson

Derivemos

Φ

'(x )= [ x− f (x )

f '( x) ]

'

=1−f '(x)

f '(x)

+f ( x) f ' '

(x)

[ f '( x)]2

Φ(X )

Newton-Raphson

Derivemos

Supondo que a derivada de f(x) não se anula nas vizinhanças de R teremos

Φ'(x )= [ x− f (x )

f '( x) ]

'

=1−f '(x)

f '(x)

+f ( x) f ' '

(x)

[ f '( x)]2

Φ(X )

Φ' (x )=f (x ) f ' '( x)

[ f ' (x )]2

Newton-Raphson

Então a condição de convergência será

|f (α) f ' ' (α)

[ f ' (α)]2 |≤1

Newton-Raphson

Então a condição de convergência será

● A suposição de que a derivada não se anule nas vizinhanças de R é um alerta para quando temos zeros múltiplos

|f (α) f ' ' (α)

[ f ' (α)]2 |≤1

Newton-Raphson


Seja f(x) diferenciável nas vizinhanças de R. Seja xo nas vizinhanças de R. Então,

xi+1=xi−f (x i)

f ' (xi)

Newton-Raphson


Seja f(x) diferenciável nas vizinhanças de R. Seja xo nas vizinhanças de R. Então,

convergirá se

xi+1=xi−f (x i)

f ' (xi)

|f (α) f ' ' (α)

[ f ' (α)]2 |≤1

Newton-Raphson – Critérios de parada

Método de Newton-Raphson, Critérios de parada

Observe que podemos usar os mesmos critérios de parada que aplicamos no Método da Regula-False, afinal aqui obteremos, se houver convergência, uma sequência de valores para nossa solução.

Assim aplicaremos os critérios


avaliando os valores obtidos para X

Seja tolx o valor o qual desejamos para a precisão da determinação de R. Então pararemos quando o módulo da diferença entre dois valores sucessivos de X dividido por um destes valores for menor que tolx, ou seja,

tolx<|x i+1−xi|

|x i|ou tolx<

|xi+1−x i||xi+1|


avaliando o valor de f(X)

Seja tolf o valor o qual desejamos para a precisão da determinação de R. Então pararemos quando o valor de f(X) for menor que tolf, ou seja,

tolf < f (x i)

Newton-Raphson –Critérios de parada

O mais rigoroso está na utilização conjunta destes dois critérios

Newton-Raphson – Um Exemplo

Determine o ponto onde a função abaixo se anula e que se localiza no intervalo [0,1]. Pare quando

Já que a derivada será

e x−3 cos x

f (x)=ex−3 cos x

tolx<10−3


Determine o ponto onde a função abaixo se anula e que se localiza no intervalo [0,1]. Pare quando

Já que a derivada será

e Newton-Raphson será

e x−3 cos x

f (x)=ex−3 cos x f '

(x)=e x+3 sen x

tolx<10−3


Mas e o valor de x0? A priori poderá ser qualquer um nas vizinhanças de R.

xi+1=xi−f (x i)

f ' (xi)=xi−

ex i−3cos xi

ex i+3 sen x i


Mas e o valor de x0? A priori poderá ser qualquer um nas vizinhanças de R.

Aqui usaremos ½ mas poderíamos usar outros valores.

xi+1=xi−f (x i)

f ' (xi)=xi−

ex i−3cos xi

ex i+3 sen x i


Daí

x1=x0−ex0−3 cos x0

ex0+3 sen x0

=0,5−−0,9840263,086997

=0,5+0,318764=0,818764


Daí

Façamos o teste de parada


ex0+3 sen x0

=0,5−−0,9840263,086997

=0,5+0,318764=0,818764

x2=x1−ex1−3cos x1

ex1+3 sen x1

=0,818764−0,2183224,458601

=0,818764−0,048966=0,769797


Vamos ao próximo passo

|x2−x1||x1|

=0,818764−0,769797

0,769797≈0,0636


Verifiquemos a condição de parada


ex2+3 sen x2

=0,769797−0,0051714,247296

=0,769797−0,001217=0,768680



Mais um passo?


ex2+3 sen x2

=0,769797−0,0051714,247296

=0,769797−0,001217=0,768680

|x3−x2||x2|

=|0,768680−0,769797|

|0,769797|≈0,001580



x4=x3−e x3−3 cos x3

ex3+3 sen x3

=0,768680−6,18959×10−6

4,242046=0,768680−1,4591×10−6

=0,768578



x4=x3−e x3−3 cos x3

ex3+3 sen x3

=0,768680−6,18959×10−6

4,242046=0,768680−1,4591×10−6

=0,768578

|x4−x3||x3|

=|0,768578−0,768680|

|0,768680|≈1,326×10−6


Resumo dos resultados

Observe que o valor de f(x) tende a zero enquanto o valor de f '(x) vai se estabilizando

|x4−x3||x3|

≈1,326×10−6 ; x4=0,768680−6,18959×10−6

4,242046=0,768578

|x3−x2||x2|

≈0,001580 ; x3=0,769797−0,0051714,247296

=0,768680

|x2−x1||x1|

≈0,0636 ; x2=0,818764−0,2183224,458601

=0,769797


Este método se mostrou extremamente rápido neste exemplo.

Tal comportamento é típico dele mas lembre-se que ele tem um critério de convergência.

Newton-Raphson – Outro Exemplo

Determine uma aproximação para o zero da função abaixo que se encontra no intervalo [0,2]. Use

x4+ x−10

tolx<10−3


Determine uma aproximação para o zero da função abaixo que se encontra no intervalo [0,2]. Use

Se então a derivada será

daí...

x4+ x−10

f (x)=x4+x−10 f '

(x)=4 x3+1

tolx<10−3


Usaremos 1,5 como valor inicial

e

xi+1=xi−f (x i)

f '(xi)

=xi−xi

4+ xi−10

4 xi3+1

x1=x0−x0

4+ x0−10

4 x03+1

=32−

−3,437514,5

=1,5+0,237068=1,737068


Usaremos 1,5 como valor inicial

e

xi+1=xi−f (x i)

f '(xi)

=xi−xi

4+ xi−10

4 xi3+1

x1=x0−x0

4+ x0−10

4 x03+1

=32−

−3,437514,5

=1,5+0,237068=1,737068

x2=x1−x1

4+ x1−10

4 x13+1

=1,737068−0,841802

21,965752=1,737068−0,038323=1,698744



|x2−x1||x1|

=|1,698744−1,737068|

|1,737068|≈0,022062

x3=x2−x2

4+ x2−10

4 x23+1

=1,698744−0,026188

20,608474=1,698744−0,001270=1,697473



e ao teste

|x2−x1||x1|

=|1,698744−1,737068|

|1,737068|≈0,022062

x3=x2−x2

4+ x2−10

4 x23+1

=1,698744−0,026188

20,608474=1,698744−0,001270=1,697473

|x3−x2||x2|

=|1,697473−1,698744|

|1,698744|≈7,4819×10−4


Experimentemos usar como valor inicial x = 0,5 para o problema anterior


com de valor inicial teremos

xi+1=xi−f (x i)

f '(xi)

=xi−xi

4+ xi−10

4 xi3+1

x1=6,791666 ; x2=5,09766 ; x3=3,834881 ; x4=2,9076008 ; x5=2.259424

x0=0,5

x6=1,870764 ; x7=1,719265 ; x8=1,697863 ; x9=1,697472 ; x10=1,697471


Vimos que a escolha do valor inicial deve ser criteriosa e não ao sabor de nossos achismos

Newton-Raphson – Raiz quadrada

Ache a raiz quadrada de um número aa usando Newton-Raphson.

Ficou enigmático?



Ficou enigmático? Use o que você sabe...




x2=a




x2=a⇒ x2

−a=0




x2=a⇒ x2

−a=0⇒ f (x)=x2−a


Assim teremos

e a fórmula de Newton-Raphson terá a forma

que pode ser simplificada

f (x)=x2−a⇒ f '

(x)=2 x

xi+1=xi−f (x i)

f '(xi)

=xi−xi

2−a

2 xi


xi+1=xi−xi

2−a

2 xi

=2 xi

2−x i2+a

2 x i


xi+1=xi−xi

2−a

2 xi

=2 xi

2−x i2+a

2 x i

=xi

2+a

2 xi


que tem um custo computacional baixo por passo.

xi+1=xi−xi

2−a

2 xi

=2 xi

2−x i2+a

2 x i

=xi

2+a

2 xi

=12 (x i+

axi

)


que tem um custo computacional baixo por passo.

Mas qual a condição de convergência?

xi+1=xi−xi

2−a

2 xi

=2 xi

2−x i2+a

2 x i

=xi

2+a

2 xi

=12 (x i+

axi

)


Observe que

derivando:

xi+1=Φ( xi) ; x i+1=12 ( xi+

ax i

)⇒Φ( x)=12 ( x+ a

x )


Observe que

derivando: o que resulta na condição

xi+1=Φ( xi); x i+1=12 ( xi+

ax i

)⇒Φ( x)=12 ( x+ a

x )Φ

'(x)=

12 (1− a

x2 )


Observe que

derivando: o que resulta na condição

xi+1=Φ( xi) ; x i+1=12 ( xi+

ax i

)⇒Φ( x)=12 ( x+ a

x )Φ

'(x)=

12 (1− a

x2 )

|12 (1−

a

α2 )|≤1⇒|1− a

α2|≤2


Observe que tanto a quanto α são positivos.

|1−a

α2|≤2


Observe que tanto a quanto α são positivos. Assim, esta condição (lembre-se, apenas suficiente) se dará quando

|1−a

α2|≤2

aα

2 ≤3⇒a≤3α2


Como supomos estarmos próximos do valor de a logo está próximo de a. Assim podemos ler a condição

como “subavalie o chute inicial“.

Assim...

a3≤α

2

α2


Algoritmo de determinação de raizes quadradas

com a condição suficientea3≤α

2

xi+1=12 (xi+

axi

)



com a condição suficiente

Este algoritmo é usado em todos computadores e máquinas de calcular.

a3≤α

2

xi+1=12 (xi+

axi

)



com a condição suficiente

Este algoritmo é usado em todos computadores e máquinas de calcular.

O que difere são os algoritmos para o chute inicial...

a3≤α

2

xi+1=12 (xi+

axi

)


Mais um exercício

Faça quatro passos da iteração de Newton-Raphson para determinar a raiz quadrada de 7.

calculemos...

xi+1=12 (xi+

7xi

) ; x0=2


x1=12 ( x0+

7x0

)=12 (2+

72 )=11

4=2,75


x1=12 ( x0+

7x0

)=12 (2+

72 )=11

4=2,75 ; x2=

12 ( x1+

7x1

)=12 ( 11

4+

711/4 )=2,647727


x1=12 ( x0+

7x0

)=12 (2+

72 )=11

4=2,75 ; x2=

12 ( x1+

7x1

)=12 ( 11

4+

711/4 )=2,647727

x3=12 (x2+

7x2

)=2,645752 x4=12 ( x3+

7x3

)=2,645751


Mesmo chutando muito mal, temos seis algarismos significativos coincidentes

x1=12 ( x0+

7x0

)=12 (2+

72 )=11

4=2,75 ; x2=

12 ( x1+

7x1

)=12 ( 11

4+

711/4 )=2,647727

x3=12 (x2+

7x2

)=2,645752 x4=12 ( x3+

7x3

)=2,645751

Newton-Raphson e suas sutilezas

Como qualquer criação humana, este método tem seus limites, sutilezas e fatos curiosos

Vejamos isto num exemplo que foi apresentado no artigo de Thomas Dence “Cubics, chaos and Newton‘s method na Mathematical Gazette 81, novembro de 1997, páginas 403-408


Determine as raizes do polinômio por

Newton-Raphson usando os seguintes valores iniciais:

● 2,35287527

● 2.35284172

● 2.35283735

● 2.352836327

● 2.352836323

x3−2 x2−11 x+12


Ao fazer isto você verificará que cada valor convergirá para raizes diferentes

● 2,35287527 convergirá para 4

● 2.35284172 convergirá para -3

● 2.35283735 convergirá para 4

● 2.352836327 convergirá para -3

● 2.352836323 convergirá para 1


Isto enfatiza ainda mais a necessidade de conhecer a natureza do problema com o qual estamos usando qualquer método numérico, incluindo Newton-Raphson

Newton-Raphson

A questão principal do Método de Newton-Raphson é o cálculo da derivada que, mesmo quando é fácil de determinar, exige um maior custo computacional

Newton-Raphson

A questão principal do Método de Newton-Raphson é o cálculo da derivada que, mesmo quando é fácil de determinar, exige um maior custo computacional

Em algumas situações pode ser de interesse calcular a derivada um passo sim, um passo não, já que o valor numérico do cálculo da derivada tende a estabilizar

Zeros de função

Outra possibilidade está em calcular a derivada aproximadamente usando o

Zeros de função

Teorema do Valor Médio para Derivadas

Seja f(x) diferenciável no intervalo [A,B]. Então existe um ponto c dentro deste intervalo para o qual é válido

f '(c)=

f (B)− f (A)

B−A;c∈[ A ,B ]

Zeros de função

Como a fórmula do TVM trabalha com um intervalo, voltaremos à esta situação e teremos de adaptar o Método de Newton-Raphson como abaixo

Mas observe que temos agora três valores: os limites do intervalo que contém c e xi.

xi+1=x i−f (x i)

f '(xi)

⇒ X=A− f (x i)B−A

f (B)−f (A )

Zeros de função

Como a fórmula do TVM trabalha com um intervalo, voltaremos à esta situação e teremos de adaptar o Método de Newton-Raphson como abaixo

Mas observe que temos agora três valores: os limites do intervalo que contém c e xi.

Façamos xi=A

xi+1=x i−f (x i)

f '(xi)

⇒ X=A− f (x i)B−A

f (B)−f (A )

Zeros de função

que é a expressão obtida no Método Regula-Falsi.

xi+1=x i−f (x i)

f '(xi)

⇒ X=A− f (A )B−A

f (B)−f (A )=

Af (B)−Bf (A )

f (B)− f (A)

Zeros de função

que é a expressão obtida no Método Regula-Falsi.

Observe que com isto descobrimos que Regula-Falsi:

● pode funcionar mesmo que R inicialmente não esteja em [A,B];

● pode ter problemas de convergência com zeros múltiplos

xi+1=x i−f (x i)

f '(xi)

⇒ X=A− f (A )B−A

f (B)−f (A )=

Af (B)−Bf (A )

f (B)− f (A)

Zeros de função

Resumindo: o Método Regula-Falsi pode ser uma boa alternativa para determinar zeros de função, agora que sabemos um pouco sobre suas limitações.

Introdução aos Métodos Numéricos€¦ · Newton-Raphson – Critérios de parada Método de...

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