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Problemas com Valor de Fronteira e com Valores Iniciais
Introdução às Equações Diferencias Parciais
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Conteúdo
1. Operadores Diferenciais
2. Condições iniciais e de fronteira
3. Equações Diferenciais Parciais
4. Sistemas de coordenadas. Princípio da superposição
5. Exemplos
6. Séries de Fourier
7. A equação de calor
8. A equação da corda
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Derivadas ParciaisConsidere uma função de duas ou mais variáveis, por exemplo f(x,y). Podemos calcular as derivadas em relação a cada uma dessas variáveis:
As derivadas parciais de maior ordem podem ser definidas recursivamente e incluem derivadas cruzadas:
(1)δ
δδδ 2
),(),(lim),(0
yxfyxfx
yxff x−−+
≡∂
∂=
→
δδδ
δ 2),(),(lim),(
0
−−+≡
∂∂
=→
yxfyxfy
yxff y
δδδ
δ 2),(),(lim
0
−−+≡
∂
∂=
∂∂
≡→
yxfyxfxf
yff xxyx
xy
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Considere a função: z = f(x,y) a derivada parcial de f em relação a y no ponto (x0,y0) é denotada por fy (x0,y0). O número fy (x0,y0) é a inclinação da reta tangente no ponto (x0,y0,z0) á curva situada na superfície z=f(x,y). Esta curva é obtida pela intersecção do plano
x=x0 com a superfície z=f(x,y)
Inclinação fy (x0,y0)
Plano x=x0
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Equações Diferencias Parciais
Uma equação diferencial parcial (EDP) é uma equação que contém derivadas parciais de uma função incógnita de duas ou mais variáveis.
O estudo das EDP por Newton e Leibniz no século 17th marcaram o começo de uma nova ciência.
•Mecânica dos fluidos•Transferência de calor•Modelos em águas rasas•Modelos atmosféricos•Modelos oceanografia•Modelos populacionais•Modelos em crescimentos de tecidos•…..
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Exemplos de quantidades dependentes do espaço e do tempo
• c(x,y,t) = densidade populacional em um ponto (x,y,t) em um instante de tempo
• S(x,t) = concentração de uma substancia química em um ponto x e em um instante t
• T(x,y,t) = temperatura na posição (x,y) e no
instante t• v(x,y,z, t) = velocidade na posição (x,y,z) e
noinstante t
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• O gráfico de c(x,y)pode ser visualizado como sendo a altura correspondente a cada ponto do plano (x,y) pela função, c.
• O gráfico de é uma superfície tridimensional
c(x,y) = 14π
log (x −1)2 + (y − 2)2
(x −1)2 + (y + 2)2
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• Como poderíamos visualizar T(x,y,t)?
• Fazendo o gráfico da superfície T(x,y)para diferentes valores de t.
T(x,y,t) = cos(ae−bt − c(x + y)e−c(x+y ))
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• Graficarc(x,y) = k
• Curvas de nível que representam pontos de igual densidade.
c(x,y) = 14π
log (x −1)2 + (y − 2)2
(x −1)2 + (y + 2)2 = k
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O que é uma EDP?
- Uma equação contendo uma o mais derivadas parciais de uma função (incógnita) de duas ou mais variáveis independentes
Qual é a ordem de uma EDP?
- A ordem de maior derivada
Homogênea vs. Não homogênea
- Se cada um das parcelas de uma EDP contém a variável dependente da equação ou alguma de suas derivadas a equação é homogênea ; senão énão homogênea.
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),(2
2
2
2
bafbv
av
=∂∂
+∂∂
2
22
2
2
xak
ta
∂∂
=∂∂
02
2
2
2
2
2
=∂∂
+∂∂
+∂∂
cv
bv
av Homogênea
Não Homogênea
Homogênea
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EDP´s (lineares) :
2
22
2
2
xuc
tu
∂∂
=∂∂
One-dimensional wave equation
2
22
xuc
tu
∂∂
=∂∂
One-dimensional heat equation
02
2
2
2
=∂∂
+∂∂
yu
xu
Two-dimensional Laplace equation
),(2
2
2
2
yxfyu
xu
=∂∂
+∂∂
Two-dimensional Poisson equation
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
=∂∂
2
2
2
22
2
2
yu
xuc
tu
Two-dimensional wave equation
02
2
2
2
2
2
=∂∂
+∂∂
+∂∂
zu
yu
xu
Three-dimensional Laplace equation
Onda 1-D
Calor 1-D
Laplace
Poisson
Onda 2-D
Laplace 3-D
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Clasificação de EDPs de 2a Ordem
• Classificamos as cônicas ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0 como sendo elipses/parábolas/hipérboles segundo o sinal do discriminante: b2-4ac.
• Analogamente classificamos as EDPs de 2a ordem
auxx+buxy+cuyy+dux+euy+fu+g=0:
b2-4ac < 0 – elíptica ( equilíbrio)b2-4ac = 0 – parabólica (difusão)b2-4ac > 0 – hiperbólicas (ondas)
Em geral EDPs podem mudar de ponto a ponto
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Para um problema determinado uma solução única pode ser obtida pela aplicação de :
condições de fronteiracondições iniciais
Princípio de Superposição ( linearidade ):
Se u1 e u2 são soluções de uma EDP linear e homogênea em uma região R, então
também é solução.
2211 ucucu +=
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Problema com valor de Fronteira
Determine a and b for the solution to the 2-D Laplace Equation. The
given solution is b)yxln(a)y,x(u 22 ++= .The solution must satisfy the given boundary conditions :
u = 0 on the circle 1yx 22 =+AND
u = 3 on the circle 422 =+ yx .
Solution:
3b)4ln(a0b)1ln(a
=+=+
so 1640.2)4ln(/3a0b
===
02
2
2
2
=∂∂
+∂∂
yu
xu
e para a equação de Laplace 2-DSolução:
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Solução:
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Operadores DiferenciaisUm vetor que contém as primeiras derivas ou o gradiente de uma função:
Assim, nabla define o gradiente:
A soma das segundas derivadas de uma função f(x,y,z), formalmente obtida como o produto escalar de dois gradientes é chamado de Laplaciano:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂∂
∂∂
≡∇zf
yf
xff ,,
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂∂
∂∂
≡∇zyx
,,
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+∂∂
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂∂
∂∂
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂∂
∂∂
=∇≡Δ 2
2
2
2
2
22 ,,,,,
zyxzyxzyx
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•A divergência de uma função vetorial f(x,y,z)=[(f1(x,y,z), f2(x,y,z), f3(x,y,z))] é a soma das primeira derivadas ou, equivalentemente o produto escalar de f com nabla:
•O rotor de uma função vetorial é o produto vetorial com nabla:
Várias igualdades podem ser derivadas a partir dos operadores gradiente, divergência, rotor e Laplaciano.
( )zf
yf
xfff
∂∂
+∂∂
+∂∂
=∇≡ 321,div
[ ] ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
−∂∂
∂∂
+∂∂
−∂∂
−∂∂
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
∂∂
∂∂
∂∂
=×∇≡yf
xf
zf
xf
zf
yf
xfxfxfzyx
kji
ff 121323
321
,,
)()()(
rot
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Exemplos: Dinâmica dos Fluidos A Equação de Navier-Stokes
• Equação de Navier-Stokes :
onde u: campo de velocidades, p: pressão; v:Viscosidade, d : densidade; f: forças externas
• Conservação de Massa :
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Exemplo – fluxo alrededor de um corpo sólido
A imagem mostra o fluxo em volta dos dois obstáculos
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Uma asa - 0,6 Mach
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Exemplos: Eletromagnetismo As Equações de Maxwell.
onde : campo elétrico, : campo magnético, ρ:densidade de carga, ε: permissividade, e μ : permeabilidade do médio.
/
0
BE EtEB Bt
ρ ε
με
∂∇ ⋅ = ∇× = −
∂∂
∇ ⋅ = ∇× =∂
E B
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Outros Sistemas de Coordenadas
Definimos os operadores diferenciais nas coordenadas Euclidianas. Entretanto, as vezes émais conveniente ao uso de outros sistemas, como o sistema de coordenadas esférico (r,φ,θ)para problemas com simetrias esféricas ou coordenadas cilíndricas (ρ,φ,z) para problemas com simetrias cilíndricas.
Usando as identidades:
...
...
2
2
xf
xf
xr
rf
xf
xf
xf
xf
xr
rf
xff
xxxx
x
∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
=∂∂
=∂∂
∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
=∂∂
≡
θθ
ϕϕ
θθ
ϕϕ
Coordenadas cilíndricas
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Em coordenadas cilíndricas obtemos
E em esféricasl:
zff
fff
fff
z
y
x
∂∂
=
∂∂
+∂∂
=
∂∂
−∂∂
=
ϕϕρ
ϕρ
ϕϕρ
ϕρ
cos1sin
sin1coscoordenadas esféricas
θθ
θ
θϕ
ϕϕθ
θθϕ
θϕ
ϕϕθ
θθϕ
∂∂
−∂∂
=
∂∂
−∂∂
+∂∂
=
∂∂
−∂∂
+∂∂
=
frr
ff
rf
rf
rff
rf
rf
rff
z
y
x
sincos
sincossincossinsin
sinsincoscossincos
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O Laplaciano em coordenadas cilíndricas e esféricas
cilíndricas
esféricas:
2
2
2
2
22
2 11zfffff
∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
=Δϕρρρρ
2
2
2222
2 sin1sin
sin11
ϕθθθ
θθ ∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂
=Δf
rf
rrfr
rrf