Interseção de retas_e_de_planos
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Jorge Freitas ESAS 2006 alelismo e Perpendicularidade de Recta 0 0 1 2 3 ,, , , ,, , o r xyz x y z vv v 1 1 1 1 2 3 ,, ,, ,, , s xyz x y z kuu u k 1 2 3 ,, vvv v 1 2 3 ,, uuu u r s 1. Rectas Paralelas Se as rectas são paralela os vectores directores sã colineares v ku ou seja: 3 1 2 1 2 3 v v v u u u
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Jorge FreitasESAS 2006
Paralelismo e Perpendicularidade de Rectas
0 0 1 2 3, , , , , , ,or x y z x y z v v v
1 1 1 1 2 3, , , , , , ,s x y z x y z k u u u k
1 2 3, ,v v v v
1 2 3, ,u u u ur
s
1. Rectas Paralelas
Se as rectas são paralelasos vectores directores são
colinearesv ku
ou seja:
31 2
1 2 3
vv v
u u u
Jorge FreitasESAS 2006
Exemplo 1
, , 1,0,2 3,2, 1 ,r x y z
, , 1,0,0 6, 4,2 ,s x y z k k
• São paralelas porque os vectores
3,2, 1 e 6, 4,2v u
são colineares
3 2 12
6 4 2u v
Jorge FreitasESAS 2006
Exemplo 2
, , 1,0,2 3,2, 1 ,r x y z 3 2 3
6 4 2
x y zs
• São paralelas porque os vectores
3,2, 1 e 6, 4,2v u
são colineares3 2 1
26 4 2
u v
Jorge FreitasESAS 2006
Paralelismo e Perpendicularidade de Rectas
0 0 1 2 3, , , , , , ,or x y z x y z v v v
1 1 1 1 2 3, , , , , , ,s x y z x y z k u u u k
1 2 3, ,v v v v
1 2 3, ,u u u u
rs
2. Rectas Perpendiculares
Se as rectas são perpendicularesos vectores directores são
perpendiculares
0v u
ou seja:
1 1 2 2 3 3 0v u v u v u
Jorge FreitasESAS 2006
Exemplo 1
, , 1,0,2 3,2, 1 ,r x y z
, , 1,0,0 1,0,3 ,s x y z k k
• São perpendiculares porque os vectores
3,2, 1 e 1,0,3v u
são perpendiculares
0 3 1 2 0 1 3 0u v
Jorge FreitasESAS 2006
Exemplo 2
, , 1,0,2 3,2, 1 ,r x y z 3 3
2 63
x zs
y
• São perpendiculares porque os vectores
3,2, 1 e 2,0, 6v u
são perpendiculares
0 3 2 2 0 1 6 0u v
Jorge FreitasESAS 2006
0 dczbyax0 dzcybxa
),,( cbav
),,( cbau
Paralelismo e Perpendicularidade de Planos1. Planos Paralelos
Se os planos são paralelosos vectores perpendiculares
aos planos são colineares
v ku
ou seja:
a b c
a b c
Jorge FreitasESAS 2006
3 2 7 0x y z 2 6 4 5 0x y z
Exemplo
• São paralelos porque os vectores
1, 3,2 e 2,6, 4v u
são colineares
1 3 22
2 6 4u v
Jorge FreitasESAS 2006
0 dczbyax0 dzcybxa
),,( cbav
),,( cbau
Paralelismo e Perpendicularidade de Planos2. Planos Perpendiculares
Se os planos são perpendicularesos vectores perpendiculares aos
planos são perpendiculares entre si
. 0v u
ou seja:
0aa bb cc
Jorge FreitasESAS 2006
3 2 7 0x y z 2 2 5 0x y z
Exemplo
• Os planos são perpendiculares porque os vectores
1, 3,2 e 2, 2, 1v u
são perpendiculares
0 2 2 3 2 2 1 0u v
0 4 6 2 0u v
Jorge FreitasESAS 2006
0 dczbyax1 1 1
1 2 3
x x y y z zr
v v v
( , , )u a b c
1 2 3( , , )v v v v
Perpendicularidade de Rectas e Planos
Se a recta é perpendicular aoplano, é paralela ao vector
perpendicular ao plano
// ou v u v ku
ou seja:
r
31 2 vv v
a b c
Jorge FreitasESAS 2006
3 2 7 0x y z Exemplo
• A recta é perpendicular ao plano porque os vectores
1, 3,2 e 2, 6,4v u
são colineares (ou paralelos)
, , 1,0,2 2, 6,4 ,r x y z
1 3 22
2 6 4u v
Jorge FreitasESAS 2006
0 dczbyax1 1 1
1 2 3
x x y y z zr
v v v
( , , )u a b c
1 2 3( , , )v v v v
Escola Secundária Alberto SampaioJorge Manuel Carneiro de Freitas
Março 2006
Paralelismo de Rectas e Planos
Se a recta é paralela ao plano, é perpendicular ao vector perpendicular ao plano
ou 0v u v u
ou seja:
0aa bb cc
Jorge FreitasESAS 2006
3 2 7 0x y z Exemplo
• A recta é paralela ao plano porque os vectores
1, 3,2 e 2, 2,2v u
são perpendiculares
, , 1,0,2 2,2,2 ,r x y z
0 1 2 3 2 2 2 0u v
0 2 6 4 0u v
Jorge FreitasESAS 2006
Intersecção de planosIntersecção de planos
Jorge FreitasESAS 2006
Posição relativa de 3 planos
0ax by cz d 0a x b y c z d 0a x b y c z d
),,( cbav
( , , )u a b c
( , , )w a b c
Jorge FreitasESAS 2006
0
0
0
dzcybxa
dzcybxa
dczbyax
A intersecção de três planos obtém-seA intersecção de três planos obtém-seresolvendo o sistema:resolvendo o sistema:A intersecção de três planos obtém-seA intersecção de três planos obtém-seresolvendo o sistema:resolvendo o sistema:
Jorge FreitasESAS 2006
A
Sistema possível Sistema possível e determinado.e determinado.
A solução éA solução é(x(x00,y,y00,z,z00))
(coordenadas (coordenadas do ponto do ponto A)A)
),,( cbav
),,( cbau
),,( cbaw
weuv
,não são colineares
Jorge FreitasESAS 2006
A
Os 3 planos intersectam-seOs 3 planos intersectam-senum ponto. O sistemanum ponto. O sistemaé possível e determinado.é possível e determinado.
A solução éA solução é(x(x00,y,y00,z,z00))
(coordenadas (coordenadas do ponto do ponto AA))
),,( cbav ),,( cbau
),,( cbaw
weuv
,não são colineares
Jorge FreitasESAS 2006
2 6 0
3 4
3 2 1
x y z
x y z
x y z
Exemplo
• Os três planos intersectam-se num ponto.
Resolver o sistema:
• O sistema tem solução
1
2
3
x
y
z
• na calculadora• método da substituição• método da redução
Jorge FreitasESAS 2006
r
Os três planosOs três planosintersectam-se segundointersectam-se segundouma recta.uma recta.O sistema O sistema é possível eé possível eindeterminado.indeterminado.
As soluções sãoAs soluções sãotodos os pontos da rectatodos os pontos da recta rr
),,( cbav ),,( cbau
),,( cbaw
weuv
,não são colineares
Jorge FreitasESAS 2006
2 3 6
2 3
2 3
x y z
x y z
x y z
Exemplo
• Os três planos intersectam-se numa recta. • O sistema é indeterminado
0 3 03
3 1 1 1
z x x y zx y z
z y
Jorge FreitasESAS 2006
r
Dois dos planos sãoDois dos planos sãocoincidentes.coincidentes.O sistemaO sistemaé possível eé possível eindeterminado.indeterminado.
As soluçõesAs soluçõessão as coordenadassão as coordenadasde cada um dos de cada um dos pontos da rectapontos da recta rr
),,( cbav
),,( cbau
),,( cbaw
wu
//
Jorge FreitasESAS 2006
2 3 6
2 4 6 12
2 3
x y z
x y z
x y z
Exemplo
• Os três planos intersectam-se numa recta. • O sistema é indeterminado
0 3 03
3 1 1 1
z x x y zx y z
z y
• Dois dos planos são coincidentes
Jorge FreitasESAS 2006
Os 3 planos sãoOs 3 planos sãocoincidentescoincidentes
O sistema éO sistema éindeterminadoindeterminado
),,( cbav
),,( cbau
),,( cbaw
wuv
////
Qualquer ponto destesQualquer ponto destesplanos é soluçãoplanos é soluçãodo sistema.do sistema.
Jorge FreitasESAS 2006
2 3 6
2 4 6 12
2 3 6
x y z
x y z
x y z
Exemplo
• Qualquer ponto de um dos planos pertence também aos outros planos • O sistema é indeterminado
• Os três planos são coincidentes
Jorge FreitasESAS 2006
Os 3 planos sãoOs 3 planos sãoestritamenteestritamenteparalelosparalelos
O sistema éO sistema éimpossívelimpossível
Os planosOs planosnão se intersectamnão se intersectam
),,( cbav
),,( cbau
),,( cbaw
wuv
////
Jorge FreitasESAS 2006
2 3 6
2 3 0
2 3 5
x y z
x y z
x y z
Exemplo
• O sistema é impossível
• Os três planos estritamente paralelos
• Os três planos nunca se interceptam
Jorge FreitasESAS 2006
Dois dos planos sãoDois dos planos sãoestritamenteestritamenteparalelosparalelos
O sistema éO sistema éimpossívelimpossível
Os 3 planosOs 3 planosnão senão seintersectamintersectam
),,( cbav
),,( cbau ),,( cbaw
uv
//
Jorge FreitasESAS 2006
2 3 6
2 3 0
2 3 2
x y z
x y z
x y z
Exemplo
• O terceiro plano intersecta-os segundo rectas paralelas entre si
• O sistema é impossível
• Dois dos planos são estritamente paralelos
8 8
2 2
x y y x
x y y x
Jorge FreitasESAS 2006
Os 3 planosOs 3 planosintersectam-seintersectam-se2 a 2 segundo 2 a 2 segundo rectas rectas estritamenteestritamenteparalelasparalelas
O sistema éO sistema éimpossívelimpossível
),,( cbav
),,( cbau
),,( cbaw
weuv
,não são colineares
Jorge FreitasESAS 2006
6
2 1
3 2
x y z
x y
x z
Exemplo
• Os planos intersetam-se dois a dois segundo rectas paralelas
• O sistema é impossível
• Os três planos não são paralelos
3 2 11
3 2 16
3 2 7
y z
y z
y z
Jorge FreitasESAS 2006
F i mF i mF i mF i m
