128CAPTULO8 - APLICAES DA INTEGRAL DEFINIDA8.1- A Integral Definida para Clculo de reaA integral definida de uma funof(x), num intervalo[a,b] igual rea entre a curva def(x)e o eixo dosx.badx ) x ( f=+ x aa1dx f+++x 2 ax a2dx f+... =dx f1 +dx f2+...pois, oif para um dado retngulo constante= x f1 +x f2 +... =A1 +A2+...=AA dx ) x ( fba= rea sob a curvaExerccios1) Determinar a rea limitada pela curva 2x x 5 y = e pelo eixo x.0 x x 52= 0 ) x 5 ( x = 2x x 5 y ===5 x0 x05. a . u6535253x2x. 5 dx x x 5 A503 3503 22= = = =2) Dada a funox y =calcular a rea sob o grfico de 0 = xa3 = x . A = 30dx ) x ( f=30dx x=3022x=29Por geometriaxyf1xf(x)f1yy=xx 3129A = 21 base altura=21 3 3 =29que o mesmo resultado obtido por integrao.3) Calcule a rea compreendida entre o eixoxe a curva f(x) = 81 (x2 2x + 8),entrex = -2ex = 4.O grfico da curva :A =( )dx 8 x 2 x81242+ =4223x 8 x3x81(((

+ =422 3x8x24x(((

+ =2443 - 842 + 4 - (((

28) 2 (24) 2 (2 3 = 2464 - 816 + 4 + 248 + 84 + 2= 215617314= +4) Calcular a rea da regio limitada inferiormente pela curvay = x2 3x + 2e o eixoxque y = 0.A2 =+badx ) x ( f=+ ( )+ 212dx 2 x 3 x = 212 3x 22x 33x(((

+ A2=+ )`((

+ + ((

+ 22331424 338 = +)`6532 = 61unidades de rea8.1.1- A Integral Definida para Clculo de rea de Funes Pares e ImparesQuandoumafunoparouimparoclculodesuareafeitodobrandoareacalculadanoprimeiroquadrante, isto , quando se possui uma curva gerada por funes pares ou mpares, existe uma simetria da funo quepermite que a rea =aadx ) x ( f A seja e dada por =a0dx ) x ( f 2 A .Exemplo:Se tivermos uma curva gerada por funes pares ou mpares, existiro simetrias do tipoy f(x)x-2 0 4Nos dois pontosy = 0 x2 3x + 2 =0 fornece x1 = 1 e x2 = 2.badx ) x ( f=A,entoyf(x)x01 2 =a aadx x f dx x f0) ( 2 ) (yf(x)=x2XYa a0130222dx x =2233x = 38 + 38 = 3162 202dx x =2 2033x = 2 38 = 316Observao: Note que a curva simtrica em relao ay.No entanto, a funo a seguir mpar e gera um grfico assimtrico.A integral0 dx ) x ( f22= porque a curva assimtrica, e portanto, de sinal contrrio em relao origem. = = = = =202042043. a . u 8 0 82x4x2 dx x 2 Aou 0 4 44xdx x224223= = = (integral nula)A rea deve ser considerada sempre positiva.8.1.2- A Integral Definida para Clculo de rea entre Duas FunesTeorema: A rea entre os dois grficos das funesfegno intervalo [a,b] dado por:dx ) x ( g ) x ( f Aba = esempre positiva.yf(x)=x3xA rea totalA = 2 203dx x-22f(x)abxyg(x)131Exerccios1) Determinar a rea limitada pelas curvasy = 5x x2ey = 2x.- Pontos de interseo - rea2) Determinar a rea limitada pelo eixo y e pela curva x = 4 y22 y0 y 4y 4 x22 == =| |. a . u332A8 .32. 2 A32. x 4 2 Adx ) 1 .( ) x 4 ( . 2 Adx x 4 . 2 A402340211 A40= =(((

= = =43 42 1ou. a . u332A388 . 2 A3yy 4 . 2 Ady ) y 4 ( 2 A203202=((

=(((

= = y = 5x x2y = 2x530yx== = = == =3 x0 x0 ) 3 x ( x0 x 3 xx x 5 x 2x 2 yx x 5 y222. a . u29A9227A3x2x 3Adx ) x x 3 ( Adx ) x 2 x x 5 ( A303 2302302= = = = =x 4 y =A12-2yx1323) Determinar a rea limitada pelas curvas y2 = 4ax; x + y = 3a; y = 0; primeiro quadrante e a positivo.- Pontos de interseo - rea4) Achar a rea entre as curvasy = x3ey =x .Soluo:Primeiro resolva o sistemay = x3 =x para achar os limites de integrao.x6 = x x(x5 1) = 0 x = 0 e x = 1satisfazem a equao.A = dx x x103 pode integrar e depois tomar o mdulo.A = ( )dx x x103 2 / 1 =104 2 / 34x3x 2(((

=32 - 41 =123 8 = 125xy = 03aaa 4yx2=y a 3 x =-2y == =+ == += + = = = +=a 6 ' ya 2 y2a 8 a 4y2a 48 a 16 a 4y0 a 12 ay 4 y0 ay 4 a . 12 y) y a 3 ( a 4 yy a 3 x a 3 y xax 4 y2 22 22 222. a . u3a . 10Aa32a 4 Aa 8 .a 121a 2 a 6 Aa 12y2yay 3 Ady )a 4yy a 3 ( A22 23 2 2a 203 2a 202= = =(((

= = y = x3y =x ,Pxy1335)Calcule a rea entre os grficos dey = x + 2ey = x2.Resolve-se o sistema de equaes para acharP1eP2.y = x2 = x + 2 x2 x 2 = 0x = -1 e x = 2A = dx ) x ( g ) x ( fba=( )dx x 2 x212 +A = 213 23xx 22x + =24 + 4 - 38 - ((

+ 31221 = 310 + 67 = 29 unid.26) Achar a rea da regio limitada pelos grficosx = y2 2yex = 2y 3.P1eP2so obtidos pela soluo do sistemax = y2 2y = 2y 3y 4y + 3 = 0y1 = 1 e y2 = 3 e x1 = -1 e x2 = 3A integrao feita em y, porque as funes esto resolvidas para x e no para y.A = dy ) y ( g ) y ( f31 = 313y 3 y 23y(((

+ = 34y=x2 -10 2xy=x+2yyx(3,3)(-1,1)134Exerccios PropostosCalcule a rea da curva com o eixoxnos intervalos:1)y = x1entrex = 1ex = 2,7182)y = 4 x2(s a parte acima dex)3)y = x2 3xentrex = 0ex = 34)Calcular a rea entre a retay = 4ey = x2no intervalo dex = 0ax = 2A = a01dx ) x ( f - a02dx ) x ( f5)Achar a rea entre as curvas y = x3 ey = x2no intervalox = 0ax = 1.A=a02 1dx ) x ( f ) x ( ff1(x)f2(x)y 1 exyxy = x3y = x2Ayx1YX) (x f135 8.1.3- A Integral Definida para Clculo do CentrideOcentridedeumaregioplana(R)definidocomoocentrodemassadaregio.Ocentrodemassaoponto pelo qual esta regioRpode ser suspensa sem girar.As coordenadas ( x ,y ) do centride so dadas por =21xxdx x )] x ( g ) x ( f [A1x =21xx2 2dx )] x ( g ) x ( f [A 21yExerccios1) Achar as coordenadas do centride da regio limitada pela curvay2 = 2xe o eixox, no intervalo [0,3].Soluo:Acha-se a reaAA = 30dx x 2=2302 / 1dx x =6 2x A =( )30dx 0 x 2 x=2302 / 3dx x = 6518y A =30dx2yx 202(((

= 2130dx x 2 = 21 . 2 . 3022x = 292)Achar o centride da figura entre as duas curvas y=x3 e y = xA = ( )103dx x x = 125 y = x 2 (s a parte positiva)x= 6 26518 = 1018 = 1,8y= 6 22 / 9 = 6 49 = 0,92y = x3y = xxy(1,1)1 2 3xy2 = 2xy136x A= ( )dx x x x103=51y A= 21 ( )106dx x x =21 107 27x2x(((

= 21 ((

7121 = 21 . 142 7 = 285251212552x = = = 0,48 y= 125285 = 28 512 5 = 2812 = 7 44 3 = 73 = 0,433)Achar o centride de uma semi-circunferncia. A equao da circunferncia e x2 + y2 = r2 ,onder = raio,r = 2.Entoy = 2x 4 a semi-circunferncia.A = 2r2 = 24 . = 2u = 4 x2x A= 222dx x 4 xdu = -2x dxdx = - xdu2 = - 222 / 1x 2du. u . x = - 21 222 / 1du u = - 21 222 / 32 / 3u = = - 222 / 33u = - 21( )2232x 4= 0 (como j era esperado)y A=21( )222dx x 4 = 21 2233xx 4(((

= 21 ((

|.|

\|+ |.|

\|388388 = 316y A=316 y =A316=A 316= 616=0,8488-22xyy = 24 x 1378.1.4- Centro de Gravidade de reas PlanasMomentoMomento de uma rea A em relao ao eixo x por definio o produto da rea pela distncia at oeixo x.Momento em relao ao eixo y o produto da rea pela distncia do centro de gravidade at o eixo y.Seja (x, y) as coordenadas do centro de gravidade de uma regio plana A, ento:Mx = A . yMy = A . xSeja y = f (x) contnua e derivvel em [a, b].= =||.|

\|=n1 ii2inii i ix2) x (f lim Mx2xf . x ). x ( f Mx =ba2dx2) x ( fMx=ba2dx y21MxPara My, temos:==== ban1 ii i ini i idx . x ). x ( f Myx . x ). x ( f lim Myx . x ). x ( f My=badx . x . y Myxyxyf (xi / 2)f (xi)xixib axy138Se Mx = A . y eMy = A . x . Coordenadas do centro de gravidade de A (x, y)AMyx =AMxy =Se y = f (x); x = a; x = b; eixo x.===bababa2dx . y Adx . x . y Mydx . y21MxExerccios1)Determinar as coordenadas do centro de gravidade da regio limitada pelas curvas y = 6x x2eo eixo x.( )=== = 6 x0 x0 x 6 x0 x x 62AMyx x A MyAMxy y A Mx= == =Clculo da rea( ). a . u 36 A3xx 3 dx x x 6 A6032602= = = Clculo de Mx( )( )( )6 , 129 Mx5x4x 123x 3621dx x x 12 x 3621Mxdx x x 6 x x 621Mx605 4 3604 3 2602 2=(((

+ = + = =Clculo de My( )( )0 , 108 My4x3x 6dx x x 6 Mydx . x . x x 6 My604 3603 2602=(((

= = =Determinao do CGCG36 0yx1396 , 3366 , 129AMxy336108AMyx= = == = =( ) 6 , 3 ; 3 CGSeja x = f (y),y = c, y = deeixo y.=dcdy ) y ( f A=dcdy . x A=dcxydy Mx=dc2dy x21MyExerccios1)Determinarascoordenadasdocentrodegravidadedarealimitadapelascurvasy=x3ey=4xno1oquadrante.( ) . a . u 44x2x 4dx x x 4 A20204 23= = = ( ) ( )dx x x 1621dx2x x 4x x 4 Mx206 23203 =||.|

\|+ =f (yi)yiyicd2x34xyxPonto de interseo ==== = ===2 x2 x0 x0 ) 4 x ( x0 x 4 xx 4 xx 4 yx y233314019 , 127x3x 1621Mx207 3=(((

=( ) ( )dx x x 4 dx . x x x 4 My20204 2 3 = =26 , 45x3x 4My205 3=(((

=04 , 3419 , 12y06 , 1426 , 4x= == =CG (1,06; 3,04)2)Determinar as coordenadas do CG da regio limitada pelas curvasy2 = x,x + y = 2ey = 0 no primeiroquadrante.Pontos de inflexo( ). a . u67A3y2yy 2 Ady y y 2 A1desprezar 20 2 y yy 2 yy 2 x 2 y xx y103 2102222= = = = + = = = + =( )( ) | | ( )15165y3y2y 4y 421Mydy y y y 4 421dy y y 221Mydy2y y 2y y 2 My105 3 2104 2104 22102=(((

+ = + = =||.|

\|+ = ( )( )( )1254y3y2y 2Mxdy y y y 2 Mxdy y y y 2 Mx104 3 2103 2102= = = =3532671516x = =14567125y = = |.|

\|145,3532CG122x + y = 2y2 = x