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Matemática I Profª. Raquel Gondim

Integrais

1. Diferencial

Seja y=f(x) uma função derivável. A diferencial de dx é uma variável independente.

A diferencial dy é: dy=f’(x)dx ou )(' xfdx

dy.

Exemplo:

2. A INVERSA da DIFERENCIAÇÃO – ANTIDIFERENCIAÇÃO ou ANTIDERIVADA

Uma função F é chamada de antiderivada de uma função f em um intervalo I se F’(x)=f(x), I.

Por exemplo, se xxxfxxxFxxxF 212)(212)('54)( 2223 é a derivada de F(x) e F(x) é

uma antiderivada de f.

Se xxxfxxxGxxxG 212)(212)('174)( 2223 , então G(x) é também antiderivada de f.

Em geral:

Se F é uma antiderivada de f em I se G(x)=F(x) +C G’(x)=F’(x)=f(x).

Exemplos:

Exercício

1) Determine uma primitiva (antiderivada) para cada função. Verifique suas respostas derivando.

a) f(x) = 6x e) xxf )(

b) 7)( xxf f) 1)( xxf

c) 86)( 7 xxxf

d) 43)( xxf

2. Integral

A antidiferenciação é o processo pelo qual a antiderivada mais geral de uma função é encontrada. Denotamos

por:

,)()( CxFdxxf onde F’(x)=f(x) ou d(F(x))=f(x)dx CxFxFd )())((

2

2.1 Integrais Indefinidas

dxxf )( , a função f é o integrando de uma integral e o x é a variável de integração.

Temos: CxFdxxf )()( , onde C é uma constante.

Propriedades da Integral:

1. Multiplicação por constante: dxxfkdxxkf )()(

2. k= -1 dxxfdxxf )()(

3. Soma e diferença dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([

Exemplos:

Exercício

1) Calcule:

a) dxx )14(

b) dxx 3

c) dxxsen )(

d) dxx)cos(

e) dxe x

f) dxxxx )2( 32

2) Encontre a função que se ajuste aos dados, os quais descrevem a temperatura mínima da superfície do solo

f( Co ), em determinada época do ano, com temperatura mínima do ar igual a 9°C, sendo x(g/m 2 ) o resíduo de

planta e biomassa na superfície.

x 10 20 30 40 50 60 70

f(x) 7.24 7.30 7.36 7.42 7.48 7.54 7.60

3) Se a renda marginal (variação da renda total) de uma fabrica é dada por 21227 xx , encontre a função

renda total e equação da demanda, de acordo com o número de peça produzida.

x é o número de unidades produzidas.

R(x) é a função custo total

5) Encontre a solução completa 32

2

xdx

yd

2.3. Integral por Substituição

Algumas vezes é possível encontrarmos uma primitiva aplicando fórmulas diretamente, contudo nem

sempre é possível. Nestes casos usamos a técnica da substituição.

cn

uduu

nn

1

1

Exemplo:

3

Exercício:

1) Calcule as integrais abaixo:

a) dxxx 132 , u = 13x b) dxx

x21

2, u = 21 x

c) dxxxsen )2( 2 , u = 22x d) dxxx243 1 , u = 14x

Agora você descobre o u e resolve:

e) dxx23 f) 1x

dx g) dxx )57cos(

h) dxxsen3(cos)

2.4 A Integral Definida

Uma partição de um intervalo [a,b] da reta real é um conjunto finito de pontos {xo,x1,...,xn} em R tal que:

a=x0 < x1 < ... < xn=b

Ij=[xj,xj+1] é o j-ésimo subintervalo da partição. Dado um intervalo [a,b], podemos tomar uma partição muito

particular, como aquela que toma pontos de modo que os subintervalos da partição tenham comprimentos iguais.

Tomaremos apenas os primeiros pontos da partição e faremos uma análise geométrica da curva no sub-intervalo

[xo,x1]. Para os outros sub-intervalos ocorre uma situação similar. A área sob a curva no intervalo [xo,x1] pode

ser obtida através da área S1 do retângulo cuja base mede dx=x1-xo e a altura é a linha tracejada cuja medida é

dada por f(c1) onde c1 é um ponto em [xo,x1].

Existe uma compensação da área "branca" que fica acima da curva e dentro do retângulo com a área "branca"

que fica abaixo da curva e fora do retângulo.

Em cada subintervalo Ij=[xj,xj+1] desta partição tomamos um ponto genérico qualquer cj e formamos n

retângulos, todos com as bases de medida dx e alturas dadas por:

f(c1), f(c2), ..., f(cn) Se a partição tem n subintervalos, denotamos por Sn a soma das áreas dos n retângulos:

Sn = f(c1)dx + f(c2) dx + ... + f(cn)dx =n

j

j dxcf1

)(

sendo a soma realizada sobre todos os j=1...n.

Se essas somas forem calculadas para todos os valores de n, formaremos uma seqüência:

{S1, S2, ..., Sn, ...}

Se esta seqüência numérica {Sn} é convergente para um número real bem definido, diz-se que f é integrável no

intervalo [a,b] e o valor do limite desta seqüência é denotado por:

=

4

A expressão da esquerda é a integral de f entre os limitantes de integração a e b e a expressão da direita é o

limite da seqüência de somas parciais Sn.

Onde:

2.4.1 Propriedades da Integral definida

A definição de integral é abstrata e tem pouco uso operacional. Em função disto, introduzimos mecanismos que

facilitam certos cálculos e os principais são as propriedades das integrais.

Proposição 1: Se f e g são funções integráveis no intervalo [a,b], então f+g ou f-g é integrável no mesmo

intervalo e além disso:

b

a

(f+g)(x) dx =

b

a

f(x) dx +

b

a

g(x) dx

Proposição 2: Se f é uma função integrável no intervalo [a,b] e c uma constante qualquer, então a função cf é

integrável e

b

a

(c.f)(x) dx = c

b

a

f(x) dx

As duas proposições acima constituem as propriedades lineares da integral definida, sendo que as

demonstrações das mesmas são relativamente simples, com o uso da definição de integral apresentada.

Proposição 3: Se f é uma função integrável nos intervalos [a,c] e [c,b], então f é integrável em [a,b] e além

disso:

b

a

f(x) dx =

c

a

f(x) dx +

b

c

f(x) dx

Proposição 4: Se existe f(a) então:

a

a

dxxf 0)(

5

Teorema Fundamental do Cálculo:

O nome Teorema Fundamental do Cálculo já diz sobre a importância do mesmo. Este teorema permite exprimir

a integral de uma função em termos de uma outra função conhecida como primitiva e esta notável descoberta de

Newton e Leibniz no século XVII, forneceu ao Cálculo uma ferramenta eficaz para o cálculo da maioria das

integrais que aparecem no cotidiano.

Seja f uma função contínua num intervalo [a, b] e G uma primitiva de f, então,

b

a

f(x)dx = G(b) - G(a)

Uma Aplicação da integral definida

Certo estudo indica que, daqui a x anos, a população de uma cidade crescerá à taxa de 117+200x pessoas por

ano. Qual será o aumento populacional da cidade nos próximos 10 anos?

Solução: Seja P=P(x) a população daqui a x anos, então:

P'(x) = 117 + 200 x

Uma primitiva para P'(x) é G(x)=117x+100x², logo o aumento populacional nos próximos 10 anos será dado

por:

10

0

(117+200x)dx=G(10)-G(0)=11170

Exercício:

1. Encontre as integrais definidas:

a) 4

2

xdx b)

0

2

)52( dxx c)

4

0

2 )43( dxxx

d)

3

1

3

)4

3( dxx

x e)

2

0

2 )( dxe x f) 0

))cos(1( dxx

2. Usando as propriedades resolva as integrais, sabendo que

4

1

3/14dxx :

a)

1

4

dxx b)

4

4

dxx c)

4

1

3 dxx

2.5 Integração Por Partes

A integral de um produto geralmente não é o produto das integrais individuais:

dxxgdxxfdxxgxf )()()().(

Integração por partes é uma técnica para simplificar integrais de produto de funções.

Fórmula: vduuvudv

Exercícios:

1) Resolva as integrais por partes:

a) dxex x)22( b) dxx

xsen2

c) dxxx )ln(

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Lista de Exercícios:

1. Resolva as integrais abaixo:

a) dxe x5 b) dxx)12cos( c) dxx )14(

d) xdxx )6( 3 e) 4

2

)32

( dxx

f)

1

0

2 )( dxxx

2. Calcule as integrais usando as regras de integração:

a) dyy 1 b) dttt 22 )1( c) dxxx 31

2 )1(

d) dxxx 132 , u = 13x e) dxx

x21

2, u = 21 x f) dxxsen )2(

g) dxxe x , dxedvexu x h) dxxx )cos( i) dxxx )cos(2

j) dxxx )ln(2

3. Calcule as integrais definidas, usando as regras de integração:

a) 2

1

5 dxe x b)

4

0

)14( dxx c)

3

3

2 )2( dxxx

d)

4

0

1 dyy e)

0

1

1 dyy f)

2

1

32 1 dxxx

g)

1

1

dxxex

Bom Trabalho!!