Estudos das Integrais Triplas

O Cálculo Integral: alguns fatos históricos

Os primeiros problemas que apareceram na História relacionados com as integrais são os problemas de quadratura. Um dos problemas mais antigos enfrentados pelos gregos foi o da medição de superfícies a fim de encontrar suas áreas. Quando os antigos geômetras começaram a estudar as áreas de figuras planas, eles as relacionavam com a área do quadrado, por ser essa a figura plana mais simples. Assim, buscavam encontrar um quadrado que tivesse área igual à da figura em questão. A palavra quadratura é um termo antigo que se tornou sinônimo do processo de determinar áreas. Quadraturas que fascinavam os geômetras eram as de figuras curvilíneas, como o círculo, ou figuras limitadas por arcos de outras curvas. As lúnulas - regiões que se assemelham com a lua no seu quarto-crescente - foram estudadas por Hipócrates de Chios, 440 a.C., que realizou as primeiras quadraturas da História. Antifon, por volta de 430 a.C., procurou encontrar a quadratura do círculo através de uma seqüência infinita de polígonos regulares inscritos: primeiro um quadrado, depois um octógono, em seguida um hexadecágono, e assim por diante. Havia, entretanto, um problema: essa seqüência nunca poderia ser concluída. Apesar disso, essa foi uma idéia genial que deu origem ao método da exaustão.

Nesse contexto, uma das questões mais importantes, e que se constituiu numa das maiores contribuições gregas para o Cálculo, surgiu por volta do ano 225 a.C. Trata-se de um teorema de Arquimedes para a quadratura da parábola.

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Arquimedes descobriu que a área da região limitada por uma parábola cortada por uma corda qualquer, é igual a 4/3 da área do triângulo que tem a mesma altura e que tem a corda como base. Esse cálculo pode ser encontrado no livro do Simmons, volume 2.

Arquimedes gerou também uma soma com infinitos termos, mas ele conseguiu provar rigorosamente o seu resultado, evitando, com o método da exaustão, a dificuldade com a quantidade infinita de parcelas. Este é o primeiro exemplo conhecido de soma infinita que foi resolvido.

Outra contribuição de Arquimedes foi a utilização do método da exaustão para encontrar a área do círculo, obtendo uma das primeiras aproximações para o número π.

Outras "integrações" foram realizadas por Arquimedes a fim de encontrar o volume da esfera e a área da superfície esférica, o volume do cone e a área da superfície cônica, a área da região limitada por uma elipse, o volume de um parabolóide de revolução e o volume de um hiperbolóide de revolução. Em seus cálculos, Arquimedes encontrava somas com um número infinito de parcelas. O argumento utilizado era a dupla reductio ad absurdum para "escapar" da situação incômoda. Basicamente, se não podia ser nem maior, nem menor, tinha que ser igual.

A contribuição seguinte para o Cálculo Integral apareceu somente ao final do século XVI quando a Mecânica levou vários matemáticos a examinar problemas relacionados com o centro de gravidade. Em 1606, em Roma, Luca Valerio

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publicou De quadratura parabolae onde utilizou o mesmo método grego para resolver problemas de cálculo de áreas desse tipo.

Kepler, em seu trabalho sobre o movimento dos planetas, teve que encontrar as áreas de vários setores de uma região elíptica. O método de Kepler consistia em pensar na superfície como a soma de linhas - método este que, na prática, apresentava muita imprecisão. Analogamente, para calcular volumes de sólidos, pensava na soma de fatias planas. Desse modo, calculou os volumes de muitos sólidos formados pela revolução de uma região bidimensional ao redor de um eixo. Para o cálculo de cada um desses volumes, Kepler subdividia o sólido em várias fatias, chamadas infinitésimos, e a soma desses infinitésimos se aproximava do volume desejado.

Os próximos matemáticos que tiveram grande contribuição para o nascimento do Cálculo Integral foram Fermat e Cavalieri. Em sua obra mais conhecida, Geometria indivisibilibus continuorum nova, Cavalieri desenvolveu a idéia de Kepler sobre quantidades infinitamente pequenas. Aparentemente, Cavalieri pensou na área como uma soma infinita de componentes ou segmentos "indivisíveis". Ele mostrou, usando os seus métodos, o que hoje em dia

escrevemos: .

Todo o processo geométrico desenvolvido por Cavalieri foi então aritmetizado por Wallis. Em 1655, em seu trabalho Arithmetica infinitorum, Wallis desenvolveu princípios de

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indução e interpolação que o levaram a encontrar diversos resultados importantes, entre eles, a antecipação de parte do trabalho de Euler dobre a função gamma.

Hoje em dia o Cálculo Integral é largamente utilizado em várias áreas do conhecimento humano e aplicado para a solução de problemas não só de Matemática, mas de Física, Astronomia, Economia, Engenharia, Medicina, Química, por exemplo.

Integrais Triplas

1. Definição

Seja A o paralelepípedo a ≤ x ≤ a1, b ≤ y ≤ b1, c ≤ z ≤ c1, onde a ˂ a1, b ˂ b1 e c ˂ c1 são números reais dados. Sejam P1: a = x0 ˂ x1 ˂ x2 ˂ ... ˂ xn = a1; P2: a = y0

˂ y1 ˂ y2 ˂ ... ˂ ym = b1 e P3: a = z0 ˂ z1 ˂ z2 ˂ ... ˂ zp = c1 partições de [a, a1], [b, b1] e [c, c1], respectivamente. O conjunto de todas as ternas (x i, yj, zk), com i = 0, 1, 2, ..., n, j = 0, 1, 2, ..., m e k = 0, 1, 2, ..., p, denomina-se partição do paralelepípedo A. Uma partição de A determina mnp paralelepípedos A ijk, onde Aijk é o paralelepípedo xi-1 ≤ x ≤ xi, yj-1 ≤ y ≤ yj, zk-1 ≤ z ≤ zk.

Seja ; dizemos que B é limitado se existir um paralelepípedo A, com

.

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Seja f: , com B limitado. Assim, existe um paralelepípedo A de faces paralelas aos planos coordenados que contém B. Seja P uma partição de A. Para cada terna de índices (i, j, k), seja X ijk um ponto escolhido arbitrariamente no paralelepípedo Aijk. Pois bem, o número

(1)

Onde f(Xijk) deve ser substituído por zero se Xijk ∉ B denomina-se soma de Riemann de f, relativa à partição P e aos pontos Xijk.

A integral tripla de f sobre B que se indica por

ou por , é, por definição, o limite de (1) (caso exista) quando ∆ tende a zero, onde ∆ é o maior dos números ∆xi, ∆yj, ∆zk, com com i = 0, 1, 2, ..., n, j = 0, 1, 2, ..., m e k = 0, 1, 2, ..., p.

Tal limite deve ser entendido como o que ocorre na definição de integral dupla.

Origem e Noção Intuitiva

Sim, se temos uma função (bem comportada, como todas as funções do

Cálculo) , onde R3 e uma região do R3 (ou seja, f e uma função de três variáveis), podemos calcular a integral tripla de f na região R.

Novamente, a ideia e particionar R em “pedacinhos”, que agora serão pequenos volumes ∆VI, onde I indexa os vários pedacinhos. Tendo uma partição, podemos definir somas de Riemann de f subordinada a essa partição (da mesma forma que para integrais definidas e para integrais duplas)

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VI,

onde pI é um ponto no “pedacinho” correspondente da partição. Novamente podemos falar de somas inferiores, somas superiores e as mesmas condições de “bom comportamento” da f que permitiam definir a integral dupla são suficientes para mostrar o resultado análogo para integral tripla: a integral tripla de f na região R, denotada:

e o limite das somas de Riemann correspondentes, quando as partições são tomadas arbitrariamente finas.

Para as aplicações do tipo cálculo de valor médio de funções, a interpretação segue exatamente a mesma das integrais duplas: estamos olhando o valor da função em uma região pequena (se a função for contínua e a região realmente pequena, este valor depende muito pouco do ponto específico escolhido), multiplicando pelo volume do pedacinho (antes era a área, mas que diferença faz?) e somando todas estas contribuições. Se queremos calcular uma media, precisamos depois dividir pela soma dos pequenos volumes, que da o volume total da região.

Este ultimo ponto lembra outra aplicação simples da integral tripla: do mesmo modo que ao integrar a função constante igual a 1 em uma região do plano estamos de fato calculando a área desta região (ou seja, a integral dupla também serve para calcular áreas), a integral tripla da função constante igual a 1 em uma região do espaço calcula o volume desta região:

Por fim, a mesma dificuldade que temos em pensar em um gráfico de uma função de três variáveis é o que torna pouco usual nos referirmos a integral tripla de uma função f não negativa como um “hiper-volume” da região acima de R no espaço tridimensional e abaixo do gráfico de f. Se você puder visualizar um gráfico de uma função de três variáveis desta forma, a descrição anterior

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fará sentido da mesma forma que a integral dupla de uma f não negativa pode ser vista como um volume e a integral definida de uma f de uma variável como uma área.

E claro, uma vez que se entenda que a passagem de duas para três variáveis só traz novidades técnicas (que ainda discutiremos), além de uma necessidade maior de abstração, você já estará pronto para definir por conta própria o conceito de integral múltipla, para uma função de n variáveis, e de pensar em possíveis aplicações e interpretações para ela.

Como Calcular

Um primeiro caso simples de se calcular é quando a região de integração é um paralelepípedo: P = [a, b] × [c, d] × [p, q] e a função escrita em coordenadas cartesianas se mostra de fácil integração.

Neste caso, assim como para as integrais duplas, resolvemos a integral tripla fazendo integrais iteradas. Por exemplo:

Naturalmente, a escolha da ordem de integração cabe a quem vai resolver a integral. E a escolha natural é aquela que torna a integral mais fácil de resolver.

Se para integrais duplas também havia outras regiões bem adaptadas a coordenadas cartesianas (como aquelas entre dois gráficos de funções de uma variável, as chamas regiões tipo I e tipo II), para integral tripla a situação não seria outra. Não vamos ficar aqui enumerando ou descrevendo regras de como proceder em cada caso (pois realmente achamos isso contraproducente).

A melhor estratégia é: busque uma descrição da região de integração em notação de conjuntos e ali reconheça como esta descrição se adequa a uma ordem adequada de integrações iteradas. Por exemplo, considere que queremos fazer uma integral no interior de uma esfera de raio a, e que, por razões de simetria, basta integrarmos no primeiro octante. Uma maneira de descrever esta

região é: . Mas essa forma não é

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adequada para escrevermos integrais iteradas cartesianas. Mas se notarmos que

Ai sim poderemos escrever

Onde, é claro, se a função f for mais bem adaptada a outra ordem de integração deveu usar outra descrição desta mesma região (já que ela permite) e adotar aquela que tornar a integral mais simples.

Linearidade da integral tripla. Se f e g são funções integráveis sobre R,

então para todo α, g é integrável sobre R, e:

onde x=(x, y, z)

2. Se f e g são integráveis sobre R e g(x) ≤ f(x), para todo x ∈ R, então:

3. Se R é subdividido em k paralelepípedos e f é integrável sobre cada Ri, i=1,..., k então f é integrável sobre R e,

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