INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL · 2016-09-28 · instituto politÉcnico nacional escuela superior...

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA

UNIDAD PROFESIONAL “ADOLFO LÓPEZ MATEOS"

DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA ELÉCTRICA

“COMPARACIÓN DE MODELOS DE CARGA LINEAL EN ESTUDIOS

DE PROPAGACIÓN ARMÓNICA”

TESIS QUE PARA OBTENER EL TÍTULO DE INGENIERO

ELECTRICISTA

PRESENTA:

EDUARDO ROJAS FLORES.

ASESORES:

M. en C. HUGO QUINTANA ESPINOSA.

ING. ISMAEL CRUZ MATA.

MÉXICO, D.F. 10 DE DICIEMBRE 2012.

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELECTRICA

UNIDAD PROFESIONAL "ADOLFO LÓPEZ MATEOS"

TEMA DE TESIS

QUE PARA OBTENER EL TITULODE INGENIERO ELECTRICISTA

POR LA OPCIÓN DE TITULACIÓN TESIS Y EXAMEN ORAL INDIVIDUAL

DEBERA(N) DESARROLLAR C. EDUARDO ROJAS FLORES

"COMPARACIÓN DE MODELOS DE CARGA LINEAL EN ESTUDIOS DE PROPAGACIÓN ARMÓNICA"

COMPARAR LA INFLUENCIA DE LOS MODELOS DE CARGA LINEAL EN LAS TENSIONES NODALES PARA ESTUDIOS DE PROPAGACIÓN ARMÓNICA.

• IDENTIFICAR LOS DIFERENTES MODELOS DE CARGA LINEAL Y SUS CARACTERÍSTICAS PARA ESTUDIOS DE PROPAGACIÓN ARMÓNICA.

• OBTENCIÓN DE TENSIONES NODALES A FRECUENCIA FUNDAMENTAL EN UNA RED DE PRUEBA.

• MODELADO DE LA RED A FRECUENCIAS ARMÓNICAS. . • OBTENCIÓN DE TENSIONES ARMÓNICAS EMPLEANDO DIFERENTES MODELOS DE CARGA

LiNEAL.

DE INGENIERÍA ELÉCTRICA

•CONCLUSIONES.

MÉXICO D.F. A A 08 DE NOVIEMBRE DEL 2012.

RIA ELECTRICf ~o:rJ"'J""" DAVID RAMÍREZ ORTÍZ.

EF DEL DEPARTAMENTO

COMPARACIÓN DE MODELOS DE CARGA LINEAL EN ESTUDIOS DE PROPAGACIÓN ARMÓNICA.

AGRADECIMIENTOS. i

ABSTRACT

This thesis is a document that centers its study to the comparative answer

generated by six models of linear load in terms of tension [p.u.] produced by

the presence of a harmonious current within a net of proof and injected in

one of its nodes, the information of these answers compares graphically and

it is examined, achieving to deduce the individual job and in set of these six

linear models.

RESUMEN

Esta tesis es un documento que centra su estudio a la respuesta

comparativa generada por seis modelos de carga lineal en términos de

tensión por unidad [p.u.] producida por la presencia de una corriente

armónica dentro de una red de prueba e inyectada en uno de sus nodos, la

información de estas respuestas se compara gráficamente y se analiza,

logrando deducir el empleo individual y en conjunto de estos seis modelos

lineales.


ii DEDICATORIA.

DEDICATORIA

La construcción del conocimiento en una persona es una continuo proceso, el

cual siempre estará acompañado de grandes maestros, compañeros y espacios,

por ello con mucho cariño dedico este trabajo con el que concluyo la formación

como ingeniero electricista a mis padres José Fortino Rojas Leal y Marina Flores

García, mis primeros maestros de la vida, quienes me enseñaron el valor de la

vida, la perseverancia hacia mis metas y la lealtad a mis ideales.


AGRADECIMIENTOS. iii

AGRADECIMIENTOS

Al creador quien es la presencia inspiradora, por mantener en mí el espíritu de

lucha, imaginación y vida.

A mis padres y hermanos quienes siempre estuvieron a mi lado, para apoyarme

y darme aliento cada vez que lo necesitaba.

Al Instituto Politécnico Nacional y a la Escuela Superior de Ingeniería Mecánica

y Eléctrica, quienes fueron mis casas y mis templos de estudio.

A mis maestros quienes fueron los forjadores de mi espíritu Politécnico y mi

conocimiento, en especial al Maestro Hugo Quintana Espinosa, quien me brindo

siempre su apoyo y ejemplo de vida.

A mis compañeros y amigos.

¡¡GRACIAS!!


iv CONTENIDO.

CONTENIDO

ABSTRACT .................................................................................................................................. i

RESUMEN ................................................................................................................................... i

DEDICATORIA ........................................................................................................................... ii

AGRADECIMIENTOS ............................................................................................................... iii

CONTENIDO.............................................................................................................................. iv

INDICE DE FIGURAS ............................................................................................................... vi

CAPÍTULO 1. GENERALIDADES. .......................................................................................1

1.1 INTRODUCCIÓN. ............................................................................................................1

1.2 ANTECEDENTES............................................................................................................3

1.3 JUSTIFICACIÓN. .............................................................................................................5

1.4 OBJETIVO GENERAL. ...........................................................................................6

1.5 OBJETIVOS ESPECIFICOS. .................................................................................6

1.6 ESTRUCTURA DE LA TESIS. .......................................................................................7

CAPÍTULO 2. NATURALEZA ARMÓNICA Y MODELOS LINEALES. ..........................9

2.1 ORIGEN DE LOS ARMÓNICOS. ..................................................................................9

2.2 PARAMETROS ARMÓNICOS.....................................................................................11

2.3 CASOS ARMÓNICOS. .................................................................................................13

2.4 EFECTOS ARMÓNICOS..............................................................................................23

2.5 MODELADO DE COMPONENTES PASIVOS. .........................................................24

2.6 ANÁLISIS DE LOS MODELOS LINEALES. ...............................................................26

2.7 DESCRIPCIÓN DE LOS MODELOS DE CARGAS LINEALES. .............................26

2.7.1 CASO 1: MODELO PARALELO Y EFECTO PIEL. ...........................................27

2.7.2 CASO 2: MOTORES DE INDUCCIÓN. ..............................................................29

2.7.3 CASO 3 MODELO MOTOR GENERAL. ............................................................30

2.7.4 CASO 4 TRANSFORMADOR DE CARGA Y AMORTIGUACIÓN MOTORA.

32

2.7.5 CASO 5: CIGRE/EDF SERIE-PARALELO. ........................................................34

2.7.6 CASO 6: CIGRE/EDF PARALELO - SERIE. .....................................................36

CAPÍTULO 3. CÁLCULO Y SOLUCIÓN DE MAGNITUDES EN SISTEMAS

ARMÓNICOS. 38

3.1 FLUJO DE POTENCIA POR EL MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL. .........................39

3.2 PROBLEMA PROPUESTO. .........................................................................................41

3.2.1 CALCULO DE FLUJOS DE POTENCIA A FRECUENCIA FUNDAMENTAL.

44

3.2.3 CALCULO DE LA FUENTE INYECTORA DE CORRIENTE ARMÓNICA. ....55


CONTENIDO. v

3.2.4 CALCULO DE TENSIONES ARMÓNICAS. .......................................................56

CAPÍTULO 4. ANÁLISIS DE RESULTADOS. ..................................................................58

4.1 PARÁMETROS OBTENIDOS EN EL SISTEMA ANTES DE APLICAR

INYECCIONES DE CORRIENTES ARMÓNICAS. ..............................................................58

4.2 PARÁMETROS OBTENIDOS EN EL SISTEMA DESPUÉS DE APLICAR

INYECCIONES DE CORRIENTES AMÓNICAS..................................................................61

4.3 CONCLUSIONES. .........................................................................................................80

APENDICE A. ...........................................................................................................................81

APENDICE B. ...........................................................................................................................87

BIBLIOGRAFIA .........................................................................................................................89


vi INDICE DE FIGURAS.

INDICE DE FIGURAS

Figura 2.1. Diagrama vectorial de los componentes de la impedancia………………… 12 Figura 2.2. Grafica de una onda armónica de 2° grado (verde) sumada a su onda fundamental (rojo), genera una frecuencia resultante (azul)…………………………....

17

Figura 2.3. Grafica característica de los armónicos 2°,3°, 4°, sucesivos múltiplos de 2, hasta el 10° armónico, sumados a su frecuencia fundamental……………...….….

18

Figura 2.4. Grafica característica de los armónicos 2°,3°, 4°, sucesivos múltiplos de 2, hasta el 10° armónico (azul), sumados a su frecuencia fundamental y comparada a ella (rojo)…………………………………………………………………………………….

19 Figura 2.5. Grafica característica de los armónicos 2°,4°, 6°, sucesivos hasta el 14° armónico, sumados a su frecuencia fundamental…………………………..…………….

20

Figura 2.6- Grafica característica de los armónicos 2°,4°, 6°, sucesivos hasta el 14° armónico (azul), sumados a su frecuencia fundamental y comparada a ella (rojo)…...

21

Figura 2.7. Grafica característica de los armónicos 3°,6°, 9°, sucesivos múltiplos de 3, hasta el 15° armónico, sumados a su frecuencia fundamental………………….…...

22

Figura 2.8. Grafica característica de los armónicos 3°,6°, 9°, sucesivos múltiplos de 3, hasta el 15° armónico (azul), sumados a su frecuencia fundamental y comparada a ella (rojo)….................................................................................................................

23 Figura 2.9.- Modelo lineal 1 [6]……………………………………….…………………….. 28 Figura 2.10.- Modelo lineal 2 [6]…………………………………………………………… 30 Figura 2.11.- Modelo lineal 3 [5]…………………………………………………………… 31 Figura 2.12.- Modelo lineal 4 [6]…………………………………………………………… 33 Figura 2.13.- Modelo lineal 5 [3]………………….………………………………………… 35 Figura 2.14.- Modelo lineal 6 [3]…………….….…………………………………………. 36 Figura 3.1.- Circuito de Prueba……………….……………………………………………. 42 Figura 3.2.- Comportamiento de la impedancia obtenida del modelo lineal número 1 en el nodo número 3…………………………………………………………………………

49

Figura 3.3.- Comportamiento de la admitancia obtenida del modelo lineal número 1 en el nodo número 3…………………………………………………………………………

49

Figura 3.4.- Comportamiento de la impedancia obtenida del modelo lineal número 2 en el nodo número 3……………………………………………………………………….

50

Figura 3.5.- Comportamiento de la admitancia obtenida del modelo lineal número 2 en el nodo número 3………………………………………………………………………..

50


51

Figura 3.7.- Comportamiento de la admitancia obtenida del modelo lineal número 3 en el nodo número 3……………………………………………………………………..…

51


52

Figura 3.9.- Comportamiento de la admitancia obtenida del modelo lineal número 4 en el nodo número 3………………………………………………………………………

52


53


53


54


54

Figura 3.15.- Corriente Inyectada en el nodo número 5 en función armónica.......... 56


INDICE DE FIGURAS. vii

Figura 3.16.- Circulación de la corriente y flujo de potencia……………………………. 59 Figura 3.17.- Conexión del modelo lineal número 1 a los nodos de carga, simulando una carga mixta, sin una carga predominante……………………………………………

61

Figura 3.18.- Conexión del modelo número 6 a los nodos de carga, simulando una carga mixta altamente inductiva, abarcando cargas industriales sin eventos pico….

61

Figura 3.19.- Gráfica comparativa de las tensiones armónicas nodales producidas por los seis modelos lineales en nodo número 1………..………………………………

70

Figura 3.20.- Gráfica comparativa de las tensiones armónicas nodales producidas por los seis modelos lineales en nodo número 2………………….…………………….

71

Figura 3.21.- Gráfica comparativa de las tensiones armónicas nodales producidas por los seis modelos lineales en nodo número 3……….……………………………….

73

Figura 3.21.- Gráfica comparativa de las tensiones armónicas nodales producidas por los seis modelos lineales en nodo número 4………………………………………..

74

Figura 3.22.- Gráfica comparativa de las tensiones armónicas nodales producidas por los seis modelos lineales en nodo número 5………………………………………..

76

Tabla No. 1.- Ejemplos de elementos lineales y no lineales [6]……………………… 10 Tabla No. 2. Contribución armónica común en redes a baja tensión [3]….…………… 15 Tabla No. 3. Contribución armónica común tensión media en redes de distribución en alta tensión [3]………………….…………………………………………………………

15

Tabla No. 4.- Características iniciales de los buses de conexión del sistema……….. 42 Tabla No. 5.- Características totales de potencia de consumo y generación………… 43 Tabla No. 6.- Parámetros de las líneas de transmisión que enlazan los a los nodos. 44 Tabla No. 7.- Tabla de contribución armónica porcentual de la máxima amplitud de corriente de un SVC [1]…………………………………………………………………….

55

Tabla No. 8.- Tensiones nodales halladas a la 23va iteración………………………… 58 Tabla No. 9.- Estado de Flujos de potencia sin inyecciones armónicas…………….. 58 Tabla No. 10.- Tensiones armónicas presentes en la red, conseguidas a partir del modelo lineal no. 1………………………………………………………………………….

62

Tabla No. 11.- Tensiones armónicas presentes en la red, conseguidas a partir del modelo lineal no. 2…………………………………………………………………………..

63

Tabla No. 12.- Tensiones armónicas presentes en la red, conseguidas a partir del modelo lineal no. 3……………………………………………………………………………

64

Tabla No. 13.- Tensiones armónicas presentes en la red, conseguidas a partir del modelo lineal no. 4……………………………………………………………………………

65


66


67

Tabla No. 16.- Tabla comparativa de tensiones nodales armónicas producidas por los seis modelos lineales en el nodo número 1………..………………………………..

69

Tabla No. 17.- Tabla comparativa de tensiones nodales armónicas producidas por los seis modelos lineales en el nodo número 2……..…………………………………..

71

Tabla No. 18.- Tabla comparativa de tensiones nodales armónicas producidas por los seis modelos lineales en el nodo número 3…………………………………………

73


74


75


CAPÍTULO 1. GENERALIDADES. 1

CAPÍTULO 1. GENERALIDADES.

Los modelos de carga lineales son las representaciones de consumo eléctrico

que se asemejan a la demanda energética de una carga o grupo de ellas, esta

representación de consumo será variable en cada uno de los nodos que

conforman al grupo de estudio, con la finalidad de analizar y comparar la

respuesta de cada modelo en términos de tensión que genera la presencia de

corrientes armónicas emanadas de una elemento eléctrico distorsionador, en esta

tesis serán comparados entre sí seis modelos de carga lineal.

El estudio de propagación de armónicos se apoya del estudio de flujos de

potencia para fijar los valores de impedancias y admitancias presentes en el grupo

nodal de estudio pues la tensión armónica entre nodos tendrá un comportamiento

basado en la tensión y potencia del sistema a frecuencia fundamental [1].

1.1 INTRODUCCIÓN.

La composición de esta tesis corresponde primordialmente a la variación de

modelos de cargas lineales que representan el comportamiento respecto al

consumo de potencia, ya que en los puntos de interconexión de la red eléctrica

comercial son alimentadas cargas de múltiples naturalezas así como múltiples

factores de potencia y dado a que es imposible modelar una a una estas cargas es

necesario la obtención de un modelo general que represente a este grupo.

Las condiciones de la red serán reproducidas por un sistema de prueba con

características propias de un sistema eléctrico de potencia a media tensión, dado

el sistema se estudiaran los flujos de potencia para obtener los parámetros de

cada elemento que se esta conectando a cada nodo, esta información sobre

potencia real y reactiva permitirá obtener la tensión en los elementos pasivos de la


2 CAPÍTULO 1. GENERALIDADES.

red, dado que las corrientes armónicas inyectadas a la red alterarán los flujos de

potencia estos serán comparados en una antes y un después.

Cada modelo de carga lineal contiene características especiales en cuanto a

sus características inductivas, pues cada uno de estos se apega a la reacción que

tiene la carga a la que representa, por ejemplo motores de inducción,

transformadores, capacitores, grupo de carga con alto factor de potencia, etc., sin

embargo también existe modelos los cuales son neutrales o generales para

aquellas cargas que no son homogéneas y por consiguiente no tienen un

comportamiento especifico por lo que se recurre a un modelo general. Dado el

modelo a utilizar por su naturaleza se obtendrá la variación de tensión ante

condiciones de presencia de niveles de corrientes armónicas y su permeabilidad a

estas [2].

Con la ayuda del software Matlab2010® se estudiarán los flujos de potencia del

sistema de prueba con la intención de hallar la matriz de impedancias del sistema,

este proceso de flujos de potencia en estado estacionario se elabora a partir de un

método iterativo correspondiente al método de GUASS-SEIDEL, este método

aunque es un poco mas lento que otros métodos iterativos, sin embargo permite la

actualización de valores más frecuentemente con un uso menor de memoria, la

red prueba comprende un compendio de cinco nodos, de naturaleza Flotante,

Generación con tensión regulada y nodos de carga, una vez calculados los flujos

de potencia se elabora la variación de modelos de carga lineal para que

posteriormente se inyecte una corriente armónica con la frecuencia del 2° al 30vo

armónico en uno de los nodos de carga, así se obtendrán las tensiones armónicas

en cada punto de la red.



1.2 ANTECEDENTES.

El estudio de los modelos lineales es un tema bastante amplio que diversos

autores han estudiado teniendo como ejemplo al congreso CIGRE WORKING

GROUP 36-05 (DISTURBING LOADS), (1981), que presentaron su amplio artículo

“HARMONICS, CHARACTERISITIC PARAMETERS, METHODS OF STUDY,

ESTIMATES OF EXISTING VALUES IN THE NETWORK” [3], sentando un muy

importante trabajo enfocado principalmente a la comparación de cargas lineales,

utilizando básicamente un modelo de una parte inductiva en paralelo comparado

contra un modelo serie-paralelo de una resistencia a dos inductancia, este modelo

propicia a obtener variaciones en las tensiones armónicas producidas en el

sistema. Se hace referencia también a los estudios dirigidos por el investigador R.

Lamedica de la universidad de Roma “LA SAPIENZA” Publicado por IEEE, “A

MODEL OF LARGE LOAD AREAS FOR HARMONIC STUDIES IN

DISTRIBUTION NETWORKS” (1997) [4]. Cuyo trabajo se enfoca en la afectación

de un modelo de maquina rotatoria frente a la presencia armónica contemplando

dos aspectos inductivos en su rotor y su estator además su penetración armónica

en la red.

Uno de los artículos con mayor trascendencia es el artículo “GUIDELINES ON

DISTRIBUTION SYSTEM AND LOAD REPRESENTATION FOR HARMONIC

STUDIES” [5], presentado por P.F. RIBEIRO en 1992 ya que este investigador

cuenta con un amplio grupo de modelos lineales además de estudiar el

comportamiento grupal de elementos pasivos comunes en la red frente a

frecuencias de hasta 1500 Hz. “IMPACT OF AGGREGATE LINEAR LOAD

MODELING ON HARMONIC ANALYSIS: A COMPARISON OF COMMON



PRACTICE AND ANALYTICAL MODELS” [6] Es un estudio publicado por TASK

FORCE ON HARMONIC MODELING AND SIMULATION, IEEE POWER ENG.

SOC. T&D COMMITTEE en 2003 además de contemplar modelos lineales los

enfrenta para compara la reacción de varios de ellos en el mismo punto de

conexión, así como la relación que establecen cada uno de los modelos entre si.



1.3 JUSTIFICACIÓN.

El presente documento centra sus esfuerzos en hallar las tensiones armónicas

producidas por un elemento distorsionador, que por su naturaleza no lineal se

comporta como un elemento inyector de corrientes armónicas, el hecho de variar

la naturaleza de cargas lineales conectadas al sistema a través de los modelos

lineales propuestos permite obtener cambios en los comportamientos de los

máximos y mínimos de tensión armónica, vistas como un estado estacionario de

potencia es la capacidad de simular potencias máximas del sistema, estas

tensiones son responsables de muchas afecciones que van desde pérdidas

eléctricas hasta graves torques no deseados en maquinas rotatorias, por lo que su

conocimiento es indispensable, obtener valores de tensión armónica como estudio

de redes eléctricas permite anticiparse a la aparición valores de tensión armónica.

[2]

Otra ventaja sobre el conocimiento del estudio de propagación de armónica es

el planteamiento de escenarios graves de selectivas frecuencias muy altas sin

necesidad de poner en riesgo ni uno solo elemento eléctrico, así como la alta

confiabilidad que ofrecen los modelos propuestos.

El conocimiento de las tensiones dañinas se convierte entonces en una

herramienta de estudio y diseño, que permite relacionar un comportamiento de

impedancia de determinadas cargas modeladas relacionadas directamente a la

frecuencia, dando la posibilidad de señalar puntos susceptibles a tensiones

armónicas de la red.



El conocer el ¿Cómo?, ¿Cuándo? y ¿Dónde? se presentan las máximas

magnitudes de tensión armónica es la problemática planteada y perseguida en

esta tesis.

1.4 OBJETIVO GENERAL.

Comparar la influencia de los modelos de carga lineal en las tensiones nodales

para el estudio de propagación armónica.

1.5 OBJETIVOS ESPECIFICOS.

Identificar los diferentes modelos de carga lineal y sus características para el

estudio de propagación armónica.

Obtención de tensiones nodales a frecuencia fundamental en una red de

prueba.

Modelado de la red a frecuencias armónicas.

Obtención de tensiones armónicas empleando diferentes modelos de carga

lineal.



1.6 ESTRUCTURA DE LA TESIS.

El cuerpo general de esta tesis se divide en cinco capítulos los cuales permiten

comprender el comportamiento de la propagación armónica y la estrecha relación

con los modelos aquí tratados de cargas lineales, se comprueba además por

medio de flujos de potencia los valores de un sistema de prueba en estado

estacionarlo, por lo que se describe detalladamente a continuación la lógica de

cada uno de los capítulos.

CAPITULO 1. El contenido de este capitulo es la fundamentación de la tesis ya

que introduce a los lectores al planteamiento general estableciendo las bases de

su estudio y los alcances que esta tiene ofrece la introducción, los antecedentes la

justificación y los objetivos perseguidos.

CAPITULO 2. Este capitulo contiene el compendio del marco teórico en este se

definen y explican gran cantidad de fenómenos, principalmente los que tienen

relación a los armónicos, sus causas y consecuencias especialmente hablando de

los aquella perturbaciones de la tensión, se además frecuencias más

características de las armónicas, se realiza la identificación de los modelos

lineales empleados y se describe su comportamiento,

CAPITULO 3: Se considera el capitulo más extenso pues es el capitulo que da

solución al circuito de prueba la cual se describe en sus propiedades de tensión y

potencia a frecuencia fundamental en estado estacionario, para posteriormente ser

comparados con los resultados de tensión a la inyección de frecuencias

armónicas, así mismo se describirá el software y métodos empleados para realizar

los cálculos iterativos por el método de GAUSS SEIDEL.



CAPITULO 4: En el capitulo final se describirán los resultados uno a uno

otorgando una descripción y su comparación con los resultados de una red de

prueba sin armónicos, expresando las perturbaciones porcentuales y su impacto,

se realizarán además recomendaciones para posteriores trabajos.

Para concluir se mostrarán las apéndices y referencias que proporcionaron la

información necesaria para la estructuración de la tesis.


CAPÍTULO 2. NATURALEZA ARMÓNICA Y MODELOS LINEALES. 9

CAPÍTULO 2. NATURALEZA ARMÓNICA Y MODELOS LINEALES.

Dentro de los sistemas eléctricos de potencia se define a un armónico como

una onda sinusoidal de voltaje o de corriente, integrada como un múltiplo entero

de la frecuencia fundamental del sistema [7], este fenómeno se presenta

continuamente por los efectos distorsionantes de la rectificación que se presenta

en el sistema eléctrico de potencia, esta necesidad de regular las ondas que viajan

en las líneas de transmisión y distribución a diferentes frecuencias resulta de

mucha importancia ya que el creciente número de cargas con efectos armónicos

tiene una repercusión grave en la estabilidad del voltaje, de forma igual pero de

menor impacto que ocurre en la corrección del factor de potencia o eficiencia de la

energía. Los armónicos son ondas que viajan deforman forma a la onda sinusoidal

que el proveedor otorga en los puntos de conexión, consigo traen consecuencias

de diversa naturaleza en algunos casos estas formas que se acoplan a la

sinusoide dan características propias de determinadas.

2.1 ORIGEN DE LOS ARMÓNICOS.

La frecuencia fundamental del sistema se encuentra en los 60 Hz para el

sistema eléctrico de potencia Mexicano, en la cual podemos considerar

despreciables los factores que distorsionan la onda sinusoidal propia de los puntos

de generación, por lo que contemplamos una onda sinusoide perfecta, sin

embargo en los puntos comunes de conexión entre usuarios de distinta naturaleza

podemos encontrar diversos tipos de comportamiento, de los cuales al someter a

una fuente de tensión a variadas demandas de corriente, potencia y cargas de

origen lineal y no lineal, genera que la onda antes puramente sinusoidal se

trastorne en una señal que llega al punto común de conexión con un grupo de


10 CAPÍTULO 2. NATURALEZA ARMÓNICA Y MODELOS LINEALES.

magnitudes integradas por la naturaleza de la demanda, la integración de los

armónicos al sistema es totalmente dependiente a la impedancia propia de la

carga y a la conexión de los elementos generadores de armónicos.

Es conveniente mencionar aquellas cargas lineales que se modelan

directamente como un reflejo de su gran importancia en el campo industrial y

doméstico, ellas se encuentran sujetas a un estudio de forma rigurosa que como

consecuencia de los efectos causados en el sistema se tienen contemplados los

efectos que en ellos ocasionan los armónicos de determinados grados de

frecuencias, también del mismo modo los armónicos que generan y aportan al

sistema de esta manera podemos mencionar algunas de estas fuentes

consideradas de suma importancia [7].

Tabla No. 1.- Ejemplos de elementos lineales y no lineales [6].

Cargas linéales Cargas No linéales

Calentadores resistivos.

Luminarios incandescentes.

Motores.

Capacitores.

Transformadores.

Líneas y cables.

Balastros electrónicos.

Equipos de cómputo.

Equipos de enfriamiento.

Hornos de fundición.

Unidades rectificadoras.

FACTS.



2.2 PARAMETROS ARMÓNICOS.

Impedancia Armónica.

Dado a que en los elementos eléctricos la impedancia se encuentra sujeta a

dos planos que integran su identidad es necesario hablar particular mente de cada

una, la primera es la resistencia y dado a que es un valor fijo y propio del elemento

conductor, este parámetro no está sujeto a la frecuencia y no sufre modificación

alguna tras encontrarse bajo el efecto armónico, la resistencia está ubicada sobre

el eje “x” o plano real de la impedancia; el segundo parámetro es la reactancia

esta propiedad está ubicada en el plano “y” o plano imaginario de la impedancia su

magnitud está sometido a un comportamiento totalmente dependiente a la

frecuencia del sistema ya que el efecto armónico introduce múltiplos de esta, a

continuación se presenta la ecuación que determina el valor de la reactancia sin

presencia de armónicos:

Figura 2.1. Diagrama vectorial de los componentes que conforman a la

impedancia.



De estas dos primeras ecuaciones podemos observar las modificaciones que se

aplican, resultando nuevas expresiones resultantes de la afección de origen

armónico:

Siendo “h” el o los armónicos presente en el sistema en el momento del estudio,

el comportamiento en la reactancia inductiva es directamente aplicado a su

proporción, incrementando el valor de la impedancia en el plano positivo, mientras

que la ecuación resultante para la inductancia capacitiva se puede expresar como:

Aquí el efecto armónico actúa de manera inversa a la proporción de la

reactancia original, lo que disminuye el efecto reactivo capacitivo, así reduciendo

el valor de la impedancia.

Distorsión en la magnitud tensión

En el caso de la distorsión de la tensión se puede expresar como una

expansión de valores individuales de los armónicos:

∑

Donde:

Vh Tensión de pico del armónico h.

Θh Angulo de fase del armónico h.

h Numero armónico.



ω0t Frecuencia angular fundamental 2π60.

Dentro de esta ecuación se determina el total de contribución de tensiones que

aportan las ondas armónicas, debido a que estas son periódicas y de un orden

común, ya sean múltiplos de “n” pares o nones, la tendencia y periodicidad de este

fenómeno abre la posibilidad de establecer un análisis general empleando las

series de Fourier las que se tratarán adelante [8].

Distorsión en la magnitud corriente

∑

Donde:

Ih Corriente pico del armónico h.

ɸh Angulo de fase del armónico h.

h Número armónico.

ω0t Frecuencia angular fundamental 2π60.

2.3 CASOS ARMÓNICOS.

Dentro de los casos armónicos podemos encontrar la presencia de un patrón

que es repetitivo en todos los casos, pudiendo así originar la cualidad de ejecutar

un análisis del espectro, podemos hallar los casos siguientes:

Armónicos Nones o armónicos impares.

Dentro del espectro armónico son los elementos con la frecuencia múltiplo de

número impar que se presenta en el sistema, este apartado generalmente

presenta grupos nones que generalmente son múltiplos de 3, 5, 7, 11, y 13 siendo

los de mayor incidencia y peligrosidad los múltiplos del tercer armónico, pues



estos tienen una gran presencia en los inversores y operación rectificadora, al ser

los de mayor magnitud ya que generalmente la rectificación en aparatos

electrónicos es muy común además de ser acumulativa en el sistema estos

aportan la mayor distorsión pues son , los armónicos del quinto y séptimo orden no

son inofensivos, sin embargo son de menor magnitud que los del tercero pero

tienen un mayor espectro de frecuencia lo que los ubica como un alto potencial

para hacer entrar en resonancia a los equipos capacitores en conjunto a los

equipos inductores.

Armónicos múltiplos o armónicos pares.

Este grupo se considera un conjunto global y de menor continuidad, pues a

comparación de los armónicos nones podemos observar que la recurrencia de los

armónicos pares es de menor intensidad, a pesar de que el rango de clasificación

es más amplio, pues los sistemas al ser de un orden trifásico múltiplo de tres

tiende a trabajar con desfasamiento múltiplos de tres en ondas, más el hecho de

hacerlas menos recurrentes no las hace inexistentes, por lo que es necesario

calcular todos los factores que en ellas ocurre, el espectro de los armónicos pares

abarca desde el segundo, cuarto, sexto, hasta un orden enésimo. Lo que resulta

de un conjunto de armónicos pares es un espectro complementario en los

fenómenos que acontecen en el sistema eléctrico de potencia, pues los armónicos

de baja escala son aquellos que generalmente producen la aparición de las altas

magnitudes cambiante en las líneas de transmisión.



Tabla No. 2. Contribución armónica común en redes a baja tensión. [3] ARMONICOS IMPARES NO MULTIPLOS DE 3

ARMONICOS IMPARES MULTIPLOS DE 3

ARMÓNICOS PARES

ORDEN n DE ARMONICO

TENSIÓN DEL ARMONICO

ORDEN n DE

ARMONICO


ORDEN n DE ARMONICO


BAJO ALTO BAJO ALTO BAJO ALTO

5 7 11 13 17 19 23 25

4 4

2.5 2 1

0.8 0.8 0.8

6 5

3.5 3 2

1.5 1.5 1.5

3 9

0.4 0.8

5 1.5

2 4 6 8 10 12

1 0.5

2 1

15 21

≤0.3 ≤0.2

≤0.5 ≤0.5 ≤0.5 ≤0.2

>25 ≤0.2+0.5(25/n) >21 ≤0.2 >12 ≤0.2

Factor de distorsión total Ƭ: MINIMO VALOR 5% MAXIMO VALOR 8%

Tabla No. 3. Contribución armónica común tensión media en redes de

distribución en alta tensión. [3] ARMONICOS IMPARES NO MULTIPLOS DE 3

ARMONICOS IMPARES MULTIPLOS DE 3

ARMÓNICOS PARES

ORDEN n DE

ARMONICO


ORDEN n DE

ARMONICO


ORDEN n DE

ARMONICO


BAJO ALTO BAJO ALTO BAJO ALTO

5 4 6 3 1.5 2.5 2 1 1.5 7 4 5 9 0.8 1.5 4 0.5 1 11 2.5 3.5 15 ≤0.2 6 0.2 0.5 13 2 3 21 ≤0.2 8 17 1 2 >21 ≤0.2 10 19 0.8 1.5 12 ≤0.2 23 0.8 1.5 >12 25 0.8 1.5

>25 ≤0.2+0.2(25/n)

Factor de distorsión total Ƭ: VALOR MINIMO 5% VALOR MÁXIMO 7%

Formas de onda y relación con armónicos.

Las ondas armónicas generalmente deforman a las ondas fundamentales del

sistema, dado a que la onda sinusoidal es un espectro electromagnético que

contiene magnitud, sentido y dirección, es por lo tanto un fenómeno dependiente

de tres vectores que componen a la onda, el cambio mínimo en cualquiera de

estos parámetros genera una sumatoria que conlleva una deformación, ya que las



ondas armónicas voluntaria, generadas por un proceso de rectificación, o en su

mayoría involuntarias (generadas por fenómenos resonantes) en componentes

serie paralelo sumadas al proceso de rectificación, estos fenómenos naturalmente

dan nuevo aspecto a la forma de onda resultado de la sumatoria de sus

magnitudes.

Figura 2.2. Grafica de una frecuencia armónica de 2° grado (verde) sumada a su

onda fundamental (rojo), genera una onda resultante (azul).

La periodicidad de la o las ondas que se mezclan con la onda de tensión o

corriente fundamental es de suma importancia, pues muchas de ellas otorgan

características distintivas las unas de las otras, creando un margen de peligro, en

algunos casos con métodos de cálculo se pueden eliminar en el caso de los

rectificadores controlados (TIRISTORES), por medio de la modulación de ancho

de pulso y el control de disparo, es posible dar una selectiva, disminuyendo en

problema de ciertos armónicos, pero de ninguna manera erradicándolos, sino es



posible con filtros de naturaleza activa o pasiva, se presentan a continuación los

casos más representativos de los armónicos y su forma de manifestación.

Figura 2.3. Grafica característica de los armónicos 2°,3°, 4°, sucesivos múltiplos

de 2 hasta el 10° armónico, sumados a su frecuencia fundamental.

La aparición de amónicos de orden sucesivo es un evento sumamente escaso,

ya que los armónicos sucesivos es un evento controlado, ya que con la aparición

sucesiva de hasta el 28vo armónico sumados a su onda de frecuencia fundamenta

la onda resultante comienza a tomar la forma de onda cuadrada común mente

llamada señal de reloj, onda sinusoidal característica de la rectificación

monofásica de dos pulsos.




de 2 hasta el 10° armónico (azul), sumados a su frecuencia fundamental y comparada a ella (rojo).

Los armónicos con orden sucesivo tienen picos de tensión que por su aparición

uniforme solo es un peligro en algunos caso en donde los armónicos se limitan a

los primeros armónicos como se muestra en la gráfica de la figura 1.4, ya que

estos contienen la mayor magnitud de tensión y corriente pues al incrementar los

múltiplos se disminuye este rubro, los armónicos de orden inferior al 10° se tiene

como los más severos, los cuales a pesar de no presentar problemas por

resonancia, si representan un peligro para sistemas de protección confundiéndose

por sobrecarga. Otra naturaleza de los armónicos es aquella en la que la aparición

de armónicos de 2° orden o armónicos pares, estos generalmente generan una

estabilización del sistema, que sin embargo presenta niveles picos de tensión muy



dañinos en las márgenes de los valores del sistema cuando su magnitud realiza

cruce por cero, su peligrosidad radica en la posesión del segundo armónico, ya

que después de la onda fundamental, esta onda es la que posee mayor

contribución, su aparición no es frecuente, pero cuando lo ocurre genera una

amplia distorsión.


de 2 hasta el 14° armónico, sumados a su frecuencia fundamental.

La aparición de los armónicos pares es característica de dispositivos de gran

potencia, caso de hornos de fundición, pero no se limita este tipo de equipos, pues

también existe presencia en balastros electrónicos y equipo de electrónicos como

computadores y rectificadores de seis pulsos.



Figura 2.6- Grafica característica de los armónicos 2°,4°, 6°, sucesivos múltiplos


Como es posible apreciar en la figura 1.6 la amplitud de los picos de tención

ocurre en los cruces por cero, que tienen una caída paulatina hasta genera un pico

al igual que un incremento muy pronunciado que desciende lentamente hasta

generar un pico, la tendencia estabilizadora es más lenta que en el caso de los

armónicos mixtos, pues su simetría le permite tener armónicos de mayor tiempo

de duración, ya que la sumatoria de los armónicos de naturaleza par es con

tendencia a equilibrarse permitiendo una perturbación mínimamente dañina, a

diferencia de la aparición de los armónicos impares, que dada la periodicidad de

encuentro de sus máximos niveles de tensión comparados a una onda periódica

múltiplo de tres con una posición de dos ciclos y su concurrencia en tres eventos

importantes que son, un cruce por cero, un máximo positivo y un máximo negativo,



los niveles de tensión generan que los armónicos impares compaginen con los

eventos de máximos niveles picos de la onda fundamental que es la onda de

mayor magnitud, potenciando los niveles de estos eventos, los principales

elementos electrónicos que generan armónicos impares son la mayoría de los

elementos que requieren rectificación, elementos electrónicos y balastros

electrónicos, en general pocos elementos están exentos de la generación de este

orden de armónicos.


de 3 hasta el 15° armónico, sumados a su frecuencia a fundamental.

Cabe destacar la aparición de los armónicos múltiplos de tres, pues como ya se

dijo tiene la aparición y la concordancia de los máximos nivel de tensión, como es

visible en las gráficas 2.7 y 2.8, los eventos máximos ocurren en brusco picos que

alcanzan varias veces las tensiones del sistema, este comportamiento acarrea



repercusiones que serán estudiadas más adelante, los picos a diferencia de los

armónicos pares y los impares convencionales, ocurren con mayor frecuencia

hasta 4 veces por ciclo, lo que es considerado como eventos sumamente

agresivos, los sistemas de selección o eliminación en la rectificación de 3 y 6

pulsos provee la capacidad de eliminación selectiva de armónicos, que son los

más comunes.





2.4 EFECTOS ARMÓNICOS.

Fallas por sobrecarga.

Una consecuencia de los efectos que tienen los armónicos es la mala operación

de los sistemas de protección, ya que al tener los sistemas eléctricos al borde de

una sobrecarga, las magnitudes armónicas generan que estos sistemas vean una

falla por sobrecarga cuando existe la presencia de frecuencias tan elevadas,

actualmente en el campo industrial sea comenzado un acelerado y continuo

crecimiento del empleo de rectificación eléctrica el cual se encuentra alimentado

por un sistema eléctrico de potencia débil, lo que generalmente produce que los

sistemas trabajen a niveles de potencia por debajo del máximo, operando a

marchas forzadas, lo que en general hace frecuentes las fallas por este defecto de

planeación.

Fallas por estrés dieléctrico.

Se presenta generalmente en el aceite y devanados de los transformadores,

aislamientos de las maquinas rotatoria, aislamientos de los capacitores y

conductores, al tener varios eventos pico de tensión resultante de las resonancias

serie, los aislamientos son sometidos a niveles de tensión superiores a los

normales de dichos elementos de operación eléctrica que serán diseñados, los

materiales dieléctricos tienden a envejecerse a velocidades superiores en un corto

lapso de tiempo, lo que puede derivarse en una falla de aislamiento, esto incurriría

en una falla de corto circuito dentro de los equipos, dejando inutilizados a los

equipos que generalmente son electrónicos y equipo de grandes potencias lo que

representa un gran costo en términos económicos.



2.5 MODELADO DE COMPONENTES PASIVOS.

Generadores.

Los generadores son máquinas rotatorias que dentro de los estudios de los

fenómenos físico-eléctricos , que están conformados por un comportamiento

generalmente similar al de las maquinas estáticas, lo que genera que tenga un

comportamiento susceptible al comportamiento que tienen los armónicos, dado a

que los armónicos afectan directamente las magnitud general de la impedancia del

sistema, afectara a la a la magnitud en sus dos componentes, real e imaginaria,

teniendo en cuenta que el núcleo de la maquina rotatoria puede entrar en la fase

de saturación por los efectos elevados de la frecuencia, el fenómeno de saturación

es menos frecuente, pues al tenerlos bajo monitoreo son protegidos mediante

filtros, agregando valor al efecto de la impedancia de la con la siguiente ecuación.

√

Transformadores.

Los transformadores tienen un comportamiento similar al de cargas lineales,

donde las fórmulas de modelados de transformadores proyectan las resultantes de

la resistencia y la impedancia propia del equipo, ya estos elementos arrojan los

datos que incluye una parte real y una imaginaria que son integradas por los

aislamientos, las perdidas en los devanados, las perdidas por efecto INRUSH o

perdidas en el núcleo por corrientes parasitas, mientras que la parte imaginaria es

generada por la inductancia de las bobinas, devanados y efectos capacitivos

internos, los modelos para el estudio armónico agrega a este resultado el efecto

de las frecuencias con la siguiente ecuación.



√

Líneas aéreas y cables aéreos.

Los efectos en los cables y líneas aéreas son dependientes en su sistema de

configuración a la distribución del número de conductores, su simetría y su

disposición de hilos por fase, así mimos de su acoplamiento magnético entre

líneas en caso de existir, una vez modelado un equivalente aceptable que

proporcione los parámetros fijos se determinara si su comportamiento ante los

armónicos dependerá también sobre su longitud, ya que una vez conocida los

valores de su impedancia en líneas cortas y medianas es conveniente modelar a

las líneas como resistencias en serie a una impedancia tal como en las

ecuaciones 2.3 y 2.4, más si se tratase de una línea larga se tomará en cuenta la

capacitancia distribuida a lo largo de esta, tal como un modelo π, los parámetros

son afectados directamente proporcional a la inductancia e inversamente

proporcional a la admitancia .

Bancos capacitores.

Los bancos de capacitores se consideran una carga lineal que tiene amplias

repercusiones por la presencia de armónicos, por lo que se requiere un modelo

especial que especifique su comportamiento bajo cada grupo de amónicos, pues

la distribución de las cargas bajo el área de placas que generan el efecto

capacitivo es un fenómeno totalmente dependiente de los valores de la frecuencia,

por lo que las frecuencias dentro de los espectros armónicos arrojaran un

comportamiento dentro del parámetro directamente relacionado a su impedancia y

a su reactancia capacitivo el modelo expuesto es:



Modelos lineales

Los modelos linéales son la representación de las cargas conectadas a un bus

o nodo que simulan el comportamiento aproximado al real de una carga pasiva

frente a la exposición o presencia de armónicos, convencionalmente estas cargas

solo se contemplan como una resistencia, una inductancia o una capacitancia sin

cambio mínimo a las frecuencias presentes en el sistema, que indudablemente

varían los parámetros de corriente, potencia, reactancias capacitiva e inductiva,

con los estudio añejos de diversos grupos antes mencionado, se han reunido 5

modelos que establecen los comportamientos próximos de un sistema armónico.

2.6 ANÁLISIS DE LOS MODELOS LINEALES.

El uso de diversas técnicas para el análisis armónico de los sistemas eléctricos

de potencia, varía en los parámetros de la formulación del problema de estudio,

que integra los parámetros conocidos del sistema y en su algoritmo de solución.

La impedancia en los sistemas lineales es de suma importancia, ya que las

diversas formas en las que se relaciona con las resistencias y capacitancias nos

arrojan los parámetros de estudio en los factores armónicos con los que se

trabaje, también el comportamiento varía en función los armónicos que se

presenten y la magnitud de la demanda de la carga, así también los niveles de

tensión en los que se presentan dichos fenómenos.

2.7 DESCRIPCIÓN DE LOS MODELOS DE CARGAS LINEALES.

Generalmente es común hallar diversas representaciones de cargas linéales

que permiten modelar a los elementos que forman el conjunto de cargas,



naturalmente estos modelos forman parte de la gran escala simplificada en un

punto de alimentación para dar respuesta a este análisis.

Para el estudio de los fenómenos eléctricos es necesario representar los

elementos que conforman a la carga, en los casos de las maquinas rotatorias,

transformadores, un acoplamiento magnético, la impedancia propia de los

devanados, así también en aquellos elementos como líneas y cables es

importante realizar las correctos modelados para que de esta manera se pueda

llegar a las magnitudes correctas de una propagación de armónicos.

2.7.1 CASO 1: MODELO PARALELO Y EFECTO PIEL.

Figura 2.9.- Modelo lineal 1[6].

Ecuaciones variantes del caso 1 modelo skin.



Este es el primer modelo que se estudia el más sencillo modelo que

representa un buen ejemplo introductorio, a diferencia de los modelos del

transformador y generador, en donde la inductancia afectada por la frecuencia se

agrega directamente en serie a la resitencia, incrementando el parametro de

impedancia gradualmete con forme el nivel armónico crece, la diferencia radica en

que al estar conectada la inductancia en paralelo con respecto a la resitencia, la

impedancia total no crecerá a la velocidad que lo haria conectado en serie, este

fenomeno es caracteristico de cargas lineales simples, con un alto factor de

potencia siendo aproximadamente puramente reactivas, dado a la simpleza con la

que se desempeña cuando una corriente armónica atravieza este tipo de cargas

su comportamiento sera escencialmente lineal tal como lo muestran las

ecuaciones número 2.4 y 2.5, más sin embargo en cargas sencillas con altas

tensiones y altas frecuencias es posible hallar la representación del efecto piel,

ocurriendo que la impedancia incrementa violentamente al presentarse altos

niveles de frecuencia, su crecimiento sera más velóz, pero aun así sera de

comportamiento lineal, la atenuación estara en función de la variable “ks” (ec. 2.6)

la cual tendra total dependencia del nivel armónico, con la finalidad de atenuar

minimamente a la reactancia e impedancia que crecerán velozmente pero al estar

conectadas en paralelo lo haran mas estable tal como se muestra en las

ecuaciones 2.4a y 2.5a.



2.7.2 CASO 2: MOTORES DE INDUCCIÓN.

En caso del segundo modelo que es significativamente parecido al modelo

paralelo, más sin embargo el modelo de motores de inducción contiene una

constante que disminuye el valor de la potencia real para el calculo de la

resistencia, haciendo a esta ultima mayor, al tener valores independientes se

mantendrá la resistencia constante a la variación de frecuencia no obstante la

variación de la impedancia se presentara como una recta, más no el caso de la

inductancia, que varia cuadráticamente, limitada por 3 variables tal expresadas en

la ecuación 2.8, la impedancia total sumada en paralelo será una recta

descendente, la propiedad de éste modelo es la representación de grupos de

pequeños motores, pues a diferencia de los modelos 3 y 4 no contempla

corrientes de arranque, por lo que podemos obtener arranque separados que no

propician a corrientes iniciales severas.

Figura 2.10.- Modelo lineal 2 [6].



Donde:

VLL Tensión de línea aplicada en las terminales de la carga.

P3φ Potencia trifásica real demandada por la carga.

k Fracción de carga del motor < 100%

k1 Constante o factor de instalación 1.2.

Xm Constante por rotor bloqueado aproximadamente 0.15 - 0.25.

2.7.3 CASO 3 MODELO MOTOR GENERAL.

Este caso es el cálculo próximo a un sistema de planeamiento de armónicos

esperados, utilizando este modelo en sitios donde es posible estimar el número

motores en servicio, también debe posible predecir que los motores son de gran

capacidad, otorgando el conocimiento de la potencia instalada.

Dado a que en algunos casos se tiene instalada potencia adicional es

recomendable utilizar las fórmulas de este modelo, pues nos presenta los mayores

niveles de admitancia:




Donde:



k Constante de carga.

0.80 Para cargas industriales.

0.15 Para cargas domésticas y comerciales.

k1 Constante de arranque de máquinas eléctricas.

4-7 Dependiente a la severidad de la corriente de arranque.

k2 Constante por rotor bloqueado.

0.2 Reducción de la inductancia.

h Orden de la armónica.

ωf

ω

Frecuencia fundamental del sistema.

Frecuencia de la armónica ωf x h

Este modelo tiene como función trabajar con datos del sistema las constantes

reducen o incrementan la magnitudes de la reactancia inductiva XL y R1 con las

características del grupo de cargas que se quiera representar, por ello es

necesario conocer la demanda total de conjunto esta debe estar expresada en

MW ya que se trata estrictamente de la potencia activa demandada por el grupo,



ya que se reducirá con un 0.8 en el caso de industrias por la continuidad con la

que se ocupan las cargas y 0.15 en el área comercial y domestica este tipo de

cargas es solo de uso momentáneo y discontinuo. Se contempla dos parámetros

de suma importancia que se suscitan comúnmente al someter a cargas excesivas

a las maquinas rotatoria que son condiciones por rotor bloqueado k2 y k1

correspondiente a las condiciones de baja inductancia al comenzar las

condiciones de arranque de las motores, por sus características obtiene niveles de

inductancia pequeños lo que en presencia de corrientes armónicas obtendrá

niveles muy bajos de tensiones, catalogado como el modelo de menor afección

armónica [5].

2.7.4 CASO 4 TRANSFORMADOR DE CARGA Y AMORTIGUACIÓN

MOTORA.

Este modelo se reserva para un gran motor de inducción o un transformador

con carga, a diferencia del anterior caso este modelo representa libremente las

reacciones armónicas suscitadas dentro de los dos cuerpos del motor, los

armónicos tienen lugar dentro de la parte estática y la parte motriz, ya que ambos

tienen un grupo importante de bobinados, las inductancias se ven afectadas

dentro del modelo podemos separar una nueva participación de una inductancia

adicional al correspondiente rotor, como es necesario mantener contemplado el

desempeño de las máquinas se tomará en cuenta el factor de potencia de estas

que usualmente debe estar dentro del factor estándar que es 0.8 y los valores no

deben ser inferiores. Este modelo contempla una inductancia XL1 conectada en

serie a una resistencia R para formar el equivalente del estator mientras que para



formar el equivalente del rotor utiliza una inductancia XL en serie a una resistencia

R1.


Donde:



k Constante de carga.

0.80 Para cargas industriales.



0.15 Para cargas domésticas y comerciales.

k1 Constante de arranque de máquinas eléctricas.

4-7 Dependiente a la severidad de la corriente de arranque.

k2 Constante por rotor bloqueado.

0.2 Reducción de la inductancia.

k3 Factor efectivo del circuito motor aprox. 8.


ωf Frecuencia fundamental del sistema.

Este modelo aun siendo recomendable que se utilice en máquinas rotatorias

es también un modelo que comparte muchos efectos semejantes al modelo de

transformador y es admisible para efectos de estudios de distribución armónica.

2.7.5 CASO 5: CIGRE/EDF SERIE-PARALELO.

Se estudia este modelo propuesto por el grupo de trabajo CIGRE 36-05 en

ELECTRA 35-54, este modelo reune dos caracteristicas escenciales, la primera de

ellas e la reproducción fiel de uno o mas grupos motores ya que obtiene dos tipos

de reactancia las cuales cumplen con las del rotor y estator, similares a la de un

motor de inducción, que varian dependientemete a la resistencia general del

modelo, las proporciones con las que incrementa son ligeramente logaritmicas, lo

que les permite ser muy previsible en el crecimiento armónico, ya que en

avanzados niveles armónicos se mantendra como una constante, mas no así en

los primeros armónicos. Como segunda propiedas gracias a su estabilidad se

recomienda el uso en modelaje de cargas desconocidas, pues la inclusion de los

fenomenos motores no son descartados, evitara obtención de efectos lineales y

mala reproducción de fenómenos armónicos lo que como segunda propiedad le



permite ser un elemento de planeación para expanción futura o con finalidades de

calculo, pues descarta eventos importante como constantes de rotor bloqueado y

grandes correintes de arranque [3].


Donde:






2.7.6 CASO 6: CIGRE/EDF PARALELO - SERIE.

Este modelo presentado por el mismo grupo de trabajo en ediciones posteriores

del articulo ELECTRA, mantiene las mismas consideraciones, con la unica

diferencia de la configuración serie de una de sus dos inductancias a una

resistencia, esta inductancia permite disminuir directamentamente la admitancia

de manera exponencial, lo que permite obtener un fenomeno en el que las

impedancias incrementa velozmente a razon del incremento de los niveles de

frecuencia armónica, permitiendonos obtener un sexto comportamiento diferente al

enfoque convencional de cargas conectadas a los buses o nodos de carga [1].




Donde:





38 CAPÍTULO 3. CÁLCULO Y SOLUCIÓN DE SISTEMAS ARMÓNICOS.

CAPÍTULO 3. CÁLCULO Y SOLUCIÓN DE MAGNITUDES EN SISTEMAS

ARMÓNICOS.

Para calcular las magnitudes armónica es necesario el conocimiento de la

totalidad de las cargas que se conectan al sistema, sin embargo esto no siempre

es posible y dado al extenso grupo de cargas de diferentes naturalezas, es posible

formar un grupo de modelos selectos que estiman el comportamiento general del

sistema de un determinado punto de conexión o equivalente de Thevenin, con la

finalidad de reducir todo el sistema, esto es solo aplicable en la reducción total en

cierto grupo de cargas y revelar el comportamiento de todo el sistema.

Preferentemente es el caso de complejos industriales, donde la predominante son

máquinas rotatorias, íntimamente ligados a estos grupos están las cargas

residenciales, que generalmente predomina el efecto inductivo, pero no así en

complejos de iluminación de lámparas fluorescentes con balastros electrónicos,

que tienen un comportamiento no lineal, estos ejemplos están dentro de los

ámbitos de baja y media tensión que abarca a los ámbitos comercial y residencial,

que sin embargo las contribuciones más graves de armónicos son en el sector

industrial, pues plagan completamente a los centros de distribución, por lo que el

problema propuesto está dentro de este nivel de tensión y utilización que

manifiesta la grave necesidad de comenzar a modelar las cargas lineales. .

El estudio de los flujos de potencia es una herramienta que le proporciona al

analista un grupo de valiosos datos que permiten, dar forma al plano total,

permitiendo realizar incrementos en la carga y expansión del sistema, con un

importante grado de logística, siempre con la intención de mejorar el rendimiento

del sistema. Los datos que arroja este estudio son la Tensión en las barras,


CAPÍTULO 3. CÁLCULO Y SOLUCIÓN DE SISTEMAS ARMÓNICOS. 39

potencia real, potencia reactiva, así como su magnitud y ángulo con el que fluye la

potencia en cada línea de transmisión, este estudio de flujo de potencia tiene la

intensión de demostrar los cambios que ocurren en las líneas, barras, potencias,

tensiones y corrientes, al experimentar la aparición de armónicos en la

transmisión, su comportamiento, pero principalmente el efecto comparablemente

significativo que tiene el sistema al variar cada uno de los modelos de cargas

linéales, pues la variante de utilizar uno u otro definirá en gran medida las

decisiones del planeamiento de la expansión o modificación del sistema de

transmisión, con tales aportes es necesario que resolver los sistemas de

transmisión propuestos que tienen parámetros propios de las líneas, cargas,

transformación, generación, estos elementos son vistos desde los principales

puntos de interconexión que generalmente son barras o buses que conectan

admitancias propias o mutuas entre los elementos antes mencionados ordenando

en un punto en común designado como YBUS, generalmente se presenta para un

análisis como una trasferencia a ZBUS. Mientras se obtienen los parámetros de las

líneas y cargas conectadas podemos determinar gracias a los parámetros de

tensión de los nodos, teniendo como base al nodo de referencia, el cual se tomará

como una premisa para calcular las tensiones posteriores en los nodos que se

conectarán a él y entre sí.

3.1 FLUJO DE POTENCIA POR EL MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL.

El método de Gauss-Seidel el método seleccionado para dar solución al

sistema de ecuaciones de admitancias del sistema de nodos con los elemento

característicos del sistema que engloba al conjunto de conductores, generadores y

cargas que se conectan al sistema, por su grado de exactitud y simpleza es



idóneo para ser aplicado para la evaluación de los flujos de potencia y cálculo, en

general el método consiste en despejar la primera variable dentro de la primera

ecuación en un sistema de nxn es decir de características cuadradas, cabe

destacar que para el empleo del método dentro del sistema es necesario tener un

valor estimado de los resultados, dado a que el sistema se encuentra establecido

en valores por unidad, se requiere la medición de un nodo siendo este llamado

nodo compensador, pues los nodos de carga y nodo de generación son

cambiantes, este nodo de compensación será la base del calculo que permitirá la

avidez de puntualidad en el sistema, al evaluar las variables se seguirá el mismo

proceso, despejando la segunda variable en la segunda ecuación, utilizando la

variable calculada anteriormente, haciendo cíclico el proceso.

Evaluando las variable “k” número de veces podemos estimar el valor de

permisibilidad o error admisible, lo que permitirá dar fin a las iteraciones, este

método por la necesidad de precisión se requerirá el error en 1x10-5, por la

naturaleza de la configuración nodal es de relevante importancia decir que las

ecuaciones resultantes, producto del estudio de los elementos son simétricas,

pero estas características no son limitantes ya que el método de Gauss-Seidel es

igualmente aplicable en solución de sistemas lineales y no lineales.

El método de gauss-Seidel inicialmente otorgara los valores esperados de

tensión en los nodos de 5 estaciones mostrados en la figura 3.1, la cual representa

un circuito eléctrico industrial convencional, con las potencias y tensiones

obtenidas inicialmente se tabularán los valores de los flujos de potencia que

circulan por este grupo de nodos a través de las cargas y líneas de transmisión si

contemplar los armónicos inyectados por las fuentes armónicas, estos parámetros



servirán como una referencia para posteriormente incluir una comparación, con el

generador de armónicos y la respuesta de varios modelos de cargas lineales ante

los armónicos inyectados.

3.2 PROBLEMA PROPUESTO.

A continuación se propone un circuito integrado por cinco nodos, conectados

entre sí por 7 líneas de transmisión modeladas como líneas de configuración π,

por tener características de líneas largas, el circuito está basado en una tensión

base de 100kV a una potencia general de 100MVA, con la finalidad de demostrar

la problemática de los armónicos del sector transmisión, se propone además como

un inyector o generador de armónicos a un compensador estático de VAR, este

genera armónicos impares superiores a “h”=5, por lo que el estudio de

contribución armónica, se encuentran conectados como alimentadores a dos

generadores con impedancias de secuencia positiva de j 0.0001 y j 0.001 pu.

Respectivamente, estos contribuyen a otorgar la potencia general del sistema, el

nodo 1 tiene la particularidad de otorgar la potencia necesaria que el sistema

necesita y que el nodo dos no es capaz de generar, sin embargo esta

característica también restringe qué potencia sea conocida inicialmente lo que en

general podemos considerar que corresponde a una subestación de enlace y no

necesariamente a un generador, pues se puede considerar como una ampliación

del sistema que proporciona la potencia demandada por el sistema de prueba,

este nodo para fines de estudio se considera como un nodo “SLACK” o nodo

compensador pues se mantiene a la tensión estable y fija todo el tiempo de

estudio y al bajar la tensión del sistema se considera una baja de potencia lo que

produce que se inyecte más potencia real o reactiva al sistema estabilizando los



voltajes, esto a través de plantas de generación de operación rápida que común

mente se trata de centrales de ciclo combinado o centrales de operación con

generadores de combustión interna que operan con diesel.

Figura 3.1.- Circuito de Prueba.

Tabla No. 4.- Características iniciales de los buses de conexión del sistema.

DATOS DE NODO DATOS DE

GENERACIÓN

DATOS DE CARGA

INDUCTIVA

DATOS DE CARGA

CAPACITIVA

NODO TENSIÓN ASUMIDA

MW MVAR MW MVAR MVAR

1 1.03+j0.0 - - - - -

2 1.0+j0.0 30 - 0 0 0

3 1.0+j0.0 0 0 45 20 0

4 1.0+j0.0 0 0 80 30 30

5 1.0+j0.0 0 0 50 25 40

El nodo número 2 es un nodo comúnmente conocido como nodo de generación,

nodo de tensión regulada o nodo “PV”, ya que se encuentra conectado a sus



terminales un generador, que proporciona únicamente la tensión absoluta del nodo

además de la potencia real que se puede generar, más sé desconoce la potencia

reactiva que dispone dicho nodo por lo que es necesario comenzar iterando para

hallar una potencia máxima del sistema y con ello lograr una convergencia acorde

a los demás nodos, dado a que se desconoce la potencia reactiva también se

desconoce el valor del ángulo de la tensión que en valor absoluto será un dato

proporcionado por el sistema.

Los nodos 3,4 y 5 son nodos de carga, pues en ellos se conecta carga pasiva

que consume MW y MVAR, además de conocerse el consumo total que estos

generan, el estudio de flujos de potencia proporcionara tensión nodal en cada uno

de ellos así como la magnitud de potencia activa y reactiva que reciben de cada

nodo, estos nodos son iguales en condiciones, más no así en sus cargas, ya que

el nodo número 4 tiene un capacitor conectado de 30MVAR y el nodo número 5

tiene un Compensador Estático de VAR´s o por sus siglas en ingles (SVC), dichas

características se describen en la tabla número 5.

Tabla No. 5.- Características totales de potencia de consumo y generación.

DATOS DE NODO POTENCIA DE GENERACIÓN

POTENCIA TOTAL DE CONSUMO

NODO TIPO DE NODO

TENSIÓN ASUMIDA

MW MVAR MW MVAR

1 FLOTANTE 1.03+j0.0 - - 0 0

2 V.REGULADO 1.00+j0.0 30 0 0 0

3 CARGA 1.00+j0.0 0 0 45 20

4 CARGA 1.00+j0.0 0 0 80 0

5 CARGA 1.00+j0.0 0 0 50 25



Tabla No. 6.- Parámetros de las líneas de transmisión que enlazan los a los nodos.

DIRECCIÓN DE LÍNEA

IMPEDANCIAS SERIE

ADMITANCIA PARALELO Ym-k/2

1-2 0.02+j0.060 j0.030

1-3 0.08+j0.024 j0.025

2-3 0.06+j0.018 j0.020

2-4 0.06+j0.018 j0.020

2-5 0.04+j0.012 j0.015

3-4 0.01+j0.030 j0.010

4-5 0.01+j0.024 j0.025

3.2.1 CALCULO DE FLUJOS DE POTENCIA A FRECUENCIA

FUNDAMENTAL.

El problema propuesto debe encontrar solución primero en un estudio de flujos

de potencia con lo cual se establecerán los parámetros en los que se desarrolla el

estudio de contribución armónica, el estudio de los nodos nos permitirá establecer

La potencia total consumida en cada nodo, la tensión que le brinda el sistema en

base a las impedancias de líneas y cargas, con el conocimiento de estas

obtenidas con los datos de las tablas número 5 y 6 es posible armar una matriz de

admitancias donde los parámetros de las variables se encuentran en los archivos

de la extensión “ybus” y “ybus01” (apéndice A) son concentrados con los datos de

los conductores y potencias en los nodos, también se determina en este

concentrado de código MATLAB2010® el número de nodos, la tolerancia en las

variables correspondientes a las tensiones la cual es de 1X10-5 la cual en un

sistema por unidad resulta aceptable con una desviación estándar menor a 70V en

un sistema que trabaja con tensiones de 69kV, referenciado a un sistema de 100

kV a 100 MVA pu.



Para darle solución al conjunto de ecuaciones generadas por el sistema por el

método de GAUSS SEIDEL se calcula por medio de la ecuación 3.1 [9], en un

sistema iterativo que actualiza las variables anteriores, hasta que la diferencia

entre ambas actualizaciones no sobrepasa el valor de la constante reguladora o

valor admisible.

[

∑ ∑

]

Donde:

i Número de nodo actual.

j Número de nodo relacionado.

k Número de iteración.

N Número total de nodos.

La ecuación general abarca a la totalidad de nodos, a excepción del nodo

compensador el cual tiene una tensión conocida, por lo que no es necesario

calcular, pero el total de sus potencias activa y reactiva se obtiene por medio de la

sumatoria de las potencias obtenidas al finalizar el método iterativo.

Para la obtención de la potencia reactiva de los nodos PV si fuese el caso, es a

partir de la ecuación 3.2 [9], esta ecuación permite calcular la máxima potencia

reactiva tolerada por el nodo, dicha potencia será corregida previamente a ser

utilizada en la iteración de la ecuación 3.1 ya que la potencia reactiva es la que

designa el ángulo de la tensión del nodo de generación o nodo PV, cabe destacar

que la potencia reactiva calculada debe estar dentro de la condición

QMIN≤QG≤QMAX.



[(

) ∑

∑

]

Donde:

i Número de nodo actual.

j Número de nodo relacionado.

k Número de iteración.

k-1 Número de iteración previa.

N Número total de nodos.

Una vez calculada la potencia y la nueva tención a partir de la iteración

sucesiva, se debe corregir la tención para que esta no altere su magnitud, sino

únicamente su ángulo obtenido a partir de la relación mostrada en la ecuación 3.3.

| |

| |

Para acelerar la convergencia de todo el sistema y ahorrar memoria

computacional a demás de tiempo es posible la aplicación de una constante de

aceleración expresada en la ecuación 3.4 que extrapola los resultados, donde el

factor de aceleración “α” oscila entre 1y 2.

(

)

Finalmente se realiza la comparación entre la tensión utilizada y la tensión

actualizada, dicha diferencia debe caber en los rangos establecidos por la relación

de la ecuación 3.5 y si para tal confirmación cae el valor de dicha diferencia el

proceso iterativo llega a su fin.

(

)



Ya obtenidos los valores de tensiones nodales y los valores de los ángulos

entre tensión y corriente en cada uno de los nodos, se deben calcular a

continuación los flujos de potencia, estos no son más que la aportación de

potencia de un nodo hacia otro, respetando los valores de resistencia y reactancia

en cada uno de los elementos de transmisión, adicionalmente se conocen las

potencias en cada una de las líneas y las perdidas energéticas que causan cada

una de ellas, estos datos son calculados con la ecuación número 3.6 .

∑ |( ) |

Al obtener las tensiones nodales y los flujos de potencia en cada una de las

líneas, se debe realizar la suma de potencias de entrega en cada uno de los

nodos, con la finalidad de comparar si las tensiones nodales son capaces de

satisfacer las potencias de demanda en cada uno de los nodos, la operación se

realiza con la formula 3.7.

Tras comprobar el éxito de la potencia de cada nodo es la correspondiente de la

demanda se puede comenzar el cálculo de la admitancia nodal de carga, con el

propósito de cotejarlo con los parámetros nodales con armónicos.

3.2.2 CALCULO DE LA MATRIZ DE ADMITANCIAS E

IMPEDANCIAS.

La matriz de admitancias es un conjunto de datos propios de la red de prueba,

esta contiene los valores necesarios en resistencia y admitancia, para generar el

consumo de la potencia a determinada tensión, la intensión de los modelos

lineales en variar la matriz de admitancias en consecuencia también lo harán la



matriz de impedancia, necesaria para calcular las tensiones armónicas de la red.

Para efectos de el estudio de la propagación de armónicos en la red de prueba, se

calcula una nueva matriz de admitancias, resultado de la configuración de los

modelos empleados, se realiza el empleo del mismo modelo en los tres nodos de

carga, ya que al tener seis modelos y tres espacios disponibles de carga, se

obtiene 3 permutaciones de 6 elementos obteniendo 120 configuraciones

diferentes y no seria posible analizar semejante numero de combinaciones sin un

correcto análisis.

Los resultados obtenidos de los seis modelos se exponen a continuación en 12

graficas que exponen el comportamiento de cada modelo conectado solo al nodo

numero 3, se hace énfasis a dicho nodo, ya este es un nodo sin elementos

adicionales y contempla solo elementos pasivos.



Figura 3.2.- Comportamiento de la impedancia obtenida del modelo lineal número

1 en el nodo número 3.

Figura 3.3.- Comportamiento de la admitancia obtenida del modelo lineal número 1

en el nodo número 3.





Figura 3.12.- Comportamiento de la admitancia obtenida del modelo lineal número






Figura 3.14.- Comportamiento de la admitancia obtenida del modelo lineal número




3.2.3 CALCULO DE LA FUENTE INYECTORA DE CORRIENTE

ARMÓNICA.

√

Para calcular el valor de corriente armónica inyectada en el nodo 5, producto del

elemento distorsionador, en este caso el compensador estático de VAR´s, se

puede emplear la ecuación (3.8) [1]. El hecho de utilizar esta ecuación es simular

una corriente máxima, que puede generar el compensador estático de VAR´s,

manifestando el uso de la potencia del plano imaginario propia de dicho elemento

en relación a la tensión nodal a la que esta sujeto su efecto proporciona una

magnitud con un ángulo, que a su vez será fragmentada porcentualmente

respecto al porcentaje THD% con base a la contribución de cada numero

armónico en particular.

Tabla No. 7.- Tabla de contribución armónica porcentual de la máxima amplitud de corriente de un SVC [1].

Armónico % de la onda fundamental Armónico % de la onda fundamental

5 5.05 17 0.44

7 2.59 19 0.35

11 1.05 23 0.24

13 0.75 25 0.20

Por medio de un ajuste de curvas, relacionado a los puntos antes

proporcionados se obtuvo un valor sucesivo de valor armónico y a su vez de una

magnitud de valor porcentual de la magnitud de la corriente fundamental, lo que

hará que cada valor de la corriente aportado por el compensador de VAR´s sea

disminuido en función de la tabla no. 7, se obtuvo don lo anteriormente descrito un

comportamiento de la aportación de corriente armónica inyectada en el nodo



número 5 y tal resultado se expresa en la figura número 3.15 que es una

expresión semi-cuadrática (3.9) multiplicada al valor de la corriente que aporta el

SVC y que se ha calculado .

Figura 3.15.- Corriente Inyectada en el nodo número 5 en función armónica.

3.2.4 CALCULO DE TENSIONES ARMÓNICAS.

Una vez resuelto el sistema de prueba a frecuencia fundamental se obtuvo los

valores propios a los que trabaja el sistema, tales son los flujos de potencia y

principalmente la tensiones del sistema, una vez dada las tensiones propias del

sistema y sus características generales, por medio de los modelos antes

planteados se calcula una nueva matriz de impedancia característica a cada

modelo lineal, tal matriz contiene un comportamiento distinto uno del otro, ya que

la propuesta principal es hace dependiente a dicho sistema de la frecuencia de



cada corriente armónica, el estado de la tensión armónica inducida por una

corriente previamente calculada será relacionada con el sistema por medio de la

ecuación 3.9 [1].


58 CAPÍTULO 4. ANÁLISIS DE RESULTADOS.

CAPÍTULO 4. ANÁLISIS DE RESULTADOS.

4.1 PARÁMETROS OBTENIDOS EN EL SISTEMA ANTES DE

APLICAR INYECCIONES DE CORRIENTES ARMÓNICAS.

Previo a las inyecciones de corrientes armónicas en el sistema podemos ver

que las potencias en los nodos es muy estable y comparablemente la potencia

consumida en las cargas es muy aceptable comparada con las potencias activas y

reactivas, ya que el resultado del flujos de potencia por el método de Gauss-Seidel

permite estimar la respuesta más aproximada a los valores reales, estableciendo

la tolerancia propicia, se escribe además que la convergencia a estos valores se

obtuvo en 23 iteraciones, el sistema tuvo el mínimo error que no desviará el valor

verdadero, trabajando con los valores en por unidad nos cercioramos de reducir

los errores por redondeo, el sistema se estudió y calculando los flujos por medio

de MATLAB2010® fue posible obtener los siguientes resultados:

Tras analizar los estados arrojados por el programa se puede llegar a los

valores de tensión expresados en la tabla número 8, las tensiones en dicha tablas

son los que se obtuvieron en el método iterativo de Gauss-Seidel, el cual tuvo una

convergencia en un valor de tolerancia de menor a 1x10-5, más en el parámetro de

potencias los resultados donde es evidente que los valores no concuerdan en las

potencias de envió con las potencia útiles en cada uno de los nodos, esta

incongruencia se debe a las pérdidas de potencia dado a que se están empleando

líneas medias, con longitudes superiores a 50 km. Por lo que la discrepancia entre

los valores de envió y los valores de recepción son lógicos y concordantes, más

sin embargo la potencia que se envía es la necesaria para obtener los valores de

potencia demandada.


CAPÍTULO 4. ANÁLISIS DE RESULTADOS. 59

Tabla No. 8.- Tensiones nodales halladas a la 23va iteración.

NODO TENSIÓN [p.u]

ÁNGULO

[rad] [°]

1 1.0500 0 0

2 1.0000 -0.0473 -2.7100

3 0.9733 -0.1073 -6.1478

4 0.9713 -0.1199 -6.8697

5 0.9875 -0.1161 -6.6520

Tabla No. 9.- Estado de Flujos de potencia sin inyecciones armónicas.

DIRECCIÓN DE POTENCIA

POTENCIA DE ENVÍO

POTENCIA DE RECEPCIÓN

1 2 1.0110 + 0.5554i -0.9868 - 0.4829i

1 3 0.5159 + 0.1849i -0.4938 - 0.1191i

2 3 0.3384 + 0.0441i -0.3314 - 0.0231i

2 4 0.4030 + 0.0380i -0.3931 - 0.0084i

2 5 0.5455 - 0.0588i -0.5334 + 0.0950i

3 4 0.3754 - 0.0578i -0.3739 + 0.0624i

4 5 -0.0331 - 0.0540i 0.0334 + 0.0550i

Las potencias de alimentación que se obtienen en la tabla 9 son útiles para

calcular y comprobar si la potencia de demanda está verdaderamente satisfecha

con las caídas de tensión nodal, para ello se realiza la operación de suma de

potencias de recepción por nodo menos las potencias de envío, estas

comprobaciones se hallarán en la memoria de cálculos registrada en la apéndice

B. Los resultados son los parámetros básicos para determinar las corrientes que

circulan por los conductores y a través de las cargas, con el estudio de flujos de

potencia además se pueden determinar las corrientes de pérdidas que se

producen por las inductancias y capacitancias en el caso de las líneas de

transmisión largas, el estudio de flujos de potencia demuestra a continuación la

forma en la que la potencia de envía y se recibe en distintos puntos de la red del

ejemplo propuesto, el concepto básicamente influirá en el desplazamiento de los

armónicos, pues el nodo generador, tendrá la propiedad de servir de enlace o



como receptor de potencia según sea el caso, este factor influye además en el

comportamiento de la contaminación armónica, se estudia además el actual

estado y se comparará con el estado de contaminación armónica.

Figura 3.16.- Circulación de la corriente y flujo de potencia.

En la figura 3.16 se aprecia claramente que la potencia del nodo número cinco

o estación sureste esta alimentada de la correinte proveniente del nodo número

dos y este a su vez aporta potencia al nodo número cuatro, esta relación es

importante, pues la red sin contaminación armónica, obedece estrictamente a la

circulación de potencia en base de la diferencia de potencial entre nodos, de esta

forma se analiza la circulación de la corriente armónica producto de la caida de

tensión que genera en cada uno de los nodos principalmente por razones de

protección.



4.2 PARÁMETROS OBTENIDOS EN EL SISTEMA DESPUÉS DE

APLICAR INYECCIONES DE CORRIENTES AMÓNICAS.

Después de tomar en cuenta el efecto de la fuente de armónicos que dentro de

este caso se trata del compensador estático de VAR’s se obtuvo visiblemente un

incremento de la reactancia nodal, lo que genera que la dependencia de la

frecuencia en este parámetro no sea lineal, obteniendo diversos comportamientos,

que van desde el comportamiento exponencial imagen 3.12, hasta el logarítmico

imagen 3.13, pero la varadera repercusión es la que se obtienen al añadir los

valores de admitancia nodal a la matriz de admitancias, la cual variara en un

estado general y total conforme a la configuración de los modelos conectados en

los nodos de carga tal como se ejemplifica en las figuras 3.17 y 3.18, ya que esta

configuración obedece al conocimiento previo de las cargas conectadas, en esta

tesis se han modelado los seis modelos conectados uno por uno en los tres nodos

de carga, ya que no se persigue la particularidad de una determinada

configuración sino la exposición de las variaciones de los resultados que generan

cada modelo en las características normales del circuito de prueba, se utilizaron

las potencias descritas en la tabla número nueve y las tensiones de la tabla

número 8 que fueron los resultados arrojados por el programa “seidel.m”

(apéndice A) programado en el compilador Matlab2010®.



Figura 3.17.- Conexión del modelo lineal número 1 a los nodos de carga, simulando una carga mixta, sin una carga predominante.

Figura 3.18.- Conexión del modelo número 6 a los nodos de carga, simulando una carga mixta altamente inductiva, abarcando cargas industriales sin eventos pico.



Lo siguiente es la utilización de la matriz de impedancia, la cual es producto de

la inversión de la matriza de admitancias, los resultados fueron a su vez

multiplicados por la matriz de la corriente armónica, presente unicamente en el

nodo 5, los resultados fueron las tensiónes armónicas nodales.

Tabla No. 10.- Tensiones armónicas presentes en la red, conseguidas a partir del modelo lineal no. 1.

TESIONES ARMÓNICAS UTILIZANDO EL MODELO LINEAL N° 1.

TENSIÓN ARMÓNICA NODAL [p.u.]

NIVEL ARMÓNICO 1 θ rad 2 θ rad 3 θ rad 4 θ rad 5 θ rad

2 1.30E-06 -2.85E+00 1.36E-04 -3.01E+00 2.70E-03 -3.02E+00 3.40E-03 -3.05E+00 1.33E-02 3.07E+00

3 8.84E-07 -2.70E+00 9.07E-05 -2.93E+00 1.90E-03 -2.79E+00 2.40E-03 -2.83E+00 8.80E-03 -3.11E+00

4 6.81E-07 -2.485 6.75E-05 -2.8172 0.0015 -2.5308 0.002 -2.5776 0.0066 -3.02E+00

5 5.46E-07 -2.1701 5.20E-05 -2.6743 0.0013 -2.1748 0.0017 -2.232 0.0052 -2.93E+00

6 4.05E-07 -1.7303 3.83E-05 -2.5238 0.0011 -1.6912 0.0014 -1.7591 0.0042 -2.87E+00

7 2.42E-07 -1.2567 2.67E-05 -2.4893 7.84E-04 -1.1603 9.80E-04 -1.2393 0.0035 -2.84E+00

8 1.16E-07 -0.9159 2.10E-05 -2.58 4.74E-04 -0.7263 5.87E-04 -0.8169 0.0032 -2.81E+00

9 4.62E-08 -0.8036 1.88E-05 -2.6361 2.72E-04 -0.4103 3.32E-04 -0.5129 0.0029 -2.77E+00

10 1.54E-08 -1.2497 1.74E-05 -2.6273 1.51E-04 -0.1653 1.82E-04 -0.2802 0.0028 -2.71E+00

11 1.36E-08 -2.2594 1.62E-05 -2.5783 7.75E-05 0.0535 9.23E-05 -0.0737 0.0026 -2.63E+00

12 1.67E-08 -2.4499 1.50E-05 -2.5041 3.04E-05 0.3118 3.60E-05 0.1745 0.0025 -2.54E+00

13 1.59E-08 -2.372 1.37E-05 -2.4107 4.69E-06 2.371 5.47E-06 2.0276 0.0024 -2.4451

14 1.19E-08 -2.1654 1.23E-05 -2.3002 2.53E-05 -2.7979 2.71E-05 -3.0061 0.0023 -2.3328

15 6.10E-09 -1.6509 1.09E-05 -2.1735 4.20E-05 -2.5546 4.41E-05 -2.7741 0.0022 -2.2071

16 5.39E-09 0.1133 9.44E-06 -2.0319 5.44E-05 -2.3459 5.53E-05 -2.5867 0.0021 -2.0689

17 1.35E-08 0.8228 7.86E-06 -1.878 6.31E-05 -2.1407 6.19E-05 -2.4078 0.002 -1.9211

18 2.29E-08 1.1339 6.25E-06 -1.7158 6.87E-05 -1.9351 6.45E-05 -2.2334 0.0018 -1.7683

19 3.22E-08 1.375 4.67E-06 -1.5493 7.16E-05 -1.7309 6.40E-05 -2.0663 0.0017 -1.6165

20 4.07E-08 1.5904 3.20E-06 -1.38 7.23E-05 -1.5311 6.12E-05 -1.9107 0.0015 -1.4714

21 4.84E-08 1.7911 1.90E-06 -1.1981 7.15E-05 -1.3378 5.68E-05 -1.7705 0.0013 -1.3375

22 5.53E-08 1.9821 7.99E-07 -0.9292 6.98E-05 -1.1505 5.18E-05 -1.648 0.0012 -1.2172

23 6.16E-08 2.1684 2.36E-07 1.1517 6.79E-05 -0.9663 4.66E-05 -1.5441 0.001 -1.1111

24 6.75E-08 2.3561 8.97E-07 1.9838 6.59E-05 -0.7804 4.17E-05 -1.4588 8.77E-04 -1.0187

25 7.34E-08 2.5531 1.47E-06 2.1674 6.42E-05 -0.5856 3.73E-05 -1.391 7.63E-04 -0.9386

26 7.90E-08 2.7682 1.92E-06 2.2922 6.24E-05 -0.3736 3.35E-05 -1.3388 6.65E-04 -0.8694

27 8.40E-08 3.0102 2.25E-06 2.3978 6.03E-05 -0.1361 3.05E-05 -1.2975 5.82E-04 -0.8099

28 8.70E-08 -2.9997 2.46E-06 2.4905 5.70E-05 0.1311 2.82E-05 -1.2577 5.11E-04 -0.7585

29 8.63E-08 -2.7015 2.56E-06 2.5659 5.17E-05 0.4214 2.64E-05 -1.2085 4.51E-04 -0.7138

30 8.10E-08 -2.3988 2.58E-06 2.6155 4.45E-05 0.714 2.46E-05 -1.1454 4.01E-04 -0.674







2 1.09E-06 -2.60E+00 1.21E-04 -2.85E+00 2.20E-03 -2.75E+00 2.90E-03 -2.81E+00 1.21E-02 -3.07E+00

3 5.57E-07 -2.3855 6.77E-05 -2.7328 0.0012 -2.4453 0.0016 -2.5368 0.007 -2.9281

4 2.98E-07 -2.21E+00 4.13E-05 -2.66E+00 6.34E-04 -2.20E+00 8.98E-04 -2.32E+00 4.40E-03 -2.84E+00

5 1.62E-07 -2.0652 2.65E-05 -2.6112 3.58E-04 -1.9898 5.36E-04 -2.1412 0.003 -2.7855

6 8.81E-08 -1.963 1.77E-05 -2.5902 2.04E-04 -1.8089 3.27E-04 -1.9871 2.10E-03 -2.75E+00

7 4.74E-08 -1.9032 1.23E-05 -2.586 1.17E-04 -1.645 2.01E-04 -1.8473 0.0016 -2.7306

8 2.52E-08 -1.8983 8.70E-06 -2.5934 6.60E-05 -1.4909 1.23E-04 -1.7141 1.20E-03 -2.72E+00

9 1.34E-08 -1.9731 6.32E-06 -2.608 3.62E-05 -1.3413 7.34E-05 -1.5822 8.92E-04 -2.7119

10 7.37E-09 -2.15E+00 4.69E-06 -2.63E+00 1.88E-05 -1.19E+00 4.14E-05 -1.45E+00 6.98E-04 -2.71E+00

11 4.60E-09 -2.39E+00 3.53E-06 -2.65E+00 8.64E-06 -1.04E+00 2.09E-05 -1.30E+00 5.55E-04 -2.71E+00

12 3.26E-09 -2.5769 2.70E-06 -2.6619 2.95E-06 -0.8336 7.82E-06 -1.0971 4.48E-04 -2.7087

13 2.41E-09 -2.64E+00 2.07E-06 -2.68E+00 3.49E-07 1.11E+00 1.15E-06 7.67E-01 3.66E-04 -2.7102

14 1.73E-09 -2.5754 1.60E-06 -2.6834 1.66E-06 2.2341 5.28E-06 1.908 3.03E-04 -2.7125

15 1.18E-09 -2.3753 1.24E-06 -2.6869 2.27E-06 2.3922 7.88E-06 2.0696 2.53E-04 -2.7152

16 8.14E-10 -1.991 9.47E-07 -2.6852 2.40E-06 2.4965 9.12E-06 2.1723 2.13E-04 -2.7183

17 6.72E-10 -1.45E+00 7.17E-07 -2.68E+00 2.29E-06 2.58E+00 9.51E-06 2.2525 1.81E-04 -2.7216

18 7.04E-10 -0.9827 5.32E-07 -2.6621 2.07E-06 2.6478 9.40E-06 2.3187 1.55E-04 -2.7251

19 7.88E-10 -0.6932 3.83E-07 -2.64E+00 1.82E-06 2.71E+00 9.00E-06 2.3746 1.34E-04 -2.7286

20 8.57E-10 -0.5196 2.63E-07 -2.5878 1.57E-06 2.7555 8.46E-06 2.4223 1.16E-04 -2.7322

21 8.93E-10 -0.409 1.65E-07 -2.4941 1.34E-06 2.7983 7.86E-06 2.4632 1.02E-04 -2.7358

22 8.96E-10 -0.3346 8.80E-08 -2.2588 1.13E-06 2.8355 7.24E-06 2.4986 8.92E-05 -2.7393

23 8.72E-10 -0.2833 4.28E-08 -1.4165 9.59E-07 2.868 6.64E-06 2.5294 7.88E-05 -2.7427

24 8.25E-10 -0.2484 6.21E-08 -0.3473 8.09E-07 2.8967 6.08E-06 2.5562 6.99E-05 -2.7461

25 7.62E-10 -0.2264 1.02E-07 -0.0362 6.82E-07 2.9224 5.56E-06 2.5797 6.23E-05 -2.7493

26 6.86E-10 -0.2161 1.38E-07 0.0783 5.76E-07 2.9455 5.08E-06 2.6005 5.57E-05 -2.7524

27 6.02E-10 -0.2182 1.69E-07 0.1352 4.87E-07 2.9668 4.65E-06 2.6188 5.00E-05 -2.7555

28 5.12E-10 -0.2355 1.95E-07 0.1685 4.13E-07 2.9865 4.25E-06 2.6351 4.51E-05 -2.7584

29 4.18E-10 -0.2749 2.18E-07 0.1899 3.51E-07 3.005 3.90E-06 2.6497 4.08E-05 -2.7612

30 3.24E-10 -0.3525 2.36E-07 0.2046 2.99E-07 3.0228 3.58E-06 2.6628 3.70E-05 -2.7638







2 7.07E-09 -1.48E+00 4.49E-06 -1.67E+00 7.38E-07 8.25E-01 5.26E-06 -4.10E-01 5.69E-04 -1.84E+00

3 4.69E-09 -1.58E+00 2.97E-06 -1.72E+00 4.75E-07 7.24E-01 3.39E-06 -4.57E-01 3.77E-04 -1.84E+00

4 3.45E-09 -1.6362 2.20E-06 -1.7456 3.38E-07 0.6799 2.43E-06 -0.4743 2.82E-04 -1.83E+00

5 2.68E-09 -1.6686 1.73E-06 -1.76 2.53E-07 0.6594 1.82E-06 -0.4787 2.25E-04 -1.83E+00

6 2.15E-09 -1.6904 1.41E-06 -1.7688 1.93E-07 0.6516 1.40E-06 -0.4751 1.88E-04 -1.83E+00

7 1.76E-09 -1.7062 1.18E-06 -1.7743 1.49E-07 0.652 1.08E-06 -0.4655 1.61E-04 -1.83E+00

8 1.45E-09 -1.7181 1.00E-06 -1.7777 1.13E-07 0.6578 8.24E-07 -0.4504 1.40E-04 -1.83E+00

9 1.21E-09 -1.727 8.62E-07 -1.7794 8.36E-08 0.6672 6.12E-07 -0.4291 1.25E-04 -1.82E+00

10 1.01E-09 -1.7336 7.46E-07 -1.7799 5.85E-08 0.678 4.29E-07 -0.399 1.12E-04 -1.82E+00

11 8.40E-10 -1.7379 6.48E-07 -1.7794 3.67E-08 0.6855 2.69E-07 -0.3513 1.02E-04 -1.82E+00

12 6.94E-10 -1.7397 5.64E-07 -1.7779 1.74E-08 0.6674 1.25E-07 -0.2381 9.35E-05 -1.82E+00

13 5.67E-10 -1.7386 4.90E-07 -1.7754 1.44E-09 -0.8215 2.33E-08 1.5712 8.63E-05 -1.8113

14 4.56E-10 -1.7336 4.24E-07 -1.7719 1.58E-08 -2.2392 1.33E-07 2.6136 8.02E-05 -1.8073

15 3.58E-10 -1.7231 3.65E-07 -1.7672 3.02E-08 -2.2471 2.45E-07 2.7159 7.48E-05 -1.803

16 2.71E-10 -1.704 3.11E-07 -1.761 4.33E-08 -2.2232 3.52E-07 2.7715 7.02E-05 -1.7984

17 1.94E-10 -1.6699 2.61E-07 -1.7529 5.54E-08 -2.1891 4.52E-07 2.8159 6.61E-05 -1.7934

18 1.27E-10 -1.6038 2.15E-07 -1.742 6.64E-08 -2.1492 5.47E-07 2.857 6.24E-05 -1.7882

19 6.86E-11 -1.442 1.72E-07 -1.7268 7.66E-08 -2.105 6.37E-07 2.897 5.92E-05 -1.7827

20 2.58E-11 -0.7202 1.31E-07 -1.704 8.58E-08 -2.0572 7.22E-07 2.9371 5.62E-05 -1.7768

21 3.81E-11 0.7722 9.23E-08 -1.6649 9.42E-08 -2.0062 8.02E-07 2.9778 5.36E-05 -1.7707

22 7.05E-11 1.1003 5.55E-08 -1.5795 1.02E-07 -1.9521 8.78E-07 3.0192 5.12E-05 -1.7642

23 9.74E-11 1.2244 2.15E-08 -1.2307 1.09E-07 -1.8954 9.48E-07 3.0614 4.90E-05 -1.7575

24 1.17E-10 1.3088 1.99E-08 0.7655 1.15E-07 -1.8359 1.01E-06 3.1042 4.70E-05 -1.7504

25 1.27E-10 1.3893 5.15E-08 1.1507 1.20E-07 -1.774 1.07E-06 -3.1354 4.51E-05 -1.743

26 1.29E-10 1.4849 8.42E-08 1.2419 1.24E-07 -1.7097 1.13E-06 -3.0914 4.34E-05 -1.7354

27 1.23E-10 1.6172 1.16E-07 1.2851 1.28E-07 -1.6432 1.18E-06 -3.0469 4.18E-05 -1.7274

28 1.09E-10 1.8254 1.48E-07 1.3123 1.32E-07 -1.5746 1.23E-06 -3.0022 4.03E-05 -1.7191

29 9.43E-11 2.185 1.80E-07 1.3326 1.34E-07 -1.5039 1.27E-06 -2.9574 3.89E-05 -1.7105

30 9.33E-11 2.7483 2.11E-07 1.3494 1.36E-07 -1.4313 1.30E-06 -2.9127 3.77E-05 -1.7017







2 4.64E-06 1.84E+00 3.27E-04 -9.46E-01 1.28E-02 1.72E+00 1.13E-02 1.67E+00 5.67E-02 -1.20E+00

3 2.13E-06 1.75E+00 1.86E-04 -9.82E-01 6.10E-03 1.70E+00 5.40E-03 1.63E+00 3.08E-02 -1.18E+00

4 1.11E-06 1.796 1.28E-04 -0.9421 0.0034 1.7793 0.003 1.6983 0.0204 -1.10E+00

5 5.86E-07 1.8802 9.50E-05 -0.8768 0.0021 1.8933 0.0018 1.805 0.0147 -1.00E+00

6 3.01E-07 1.9709 7.27E-05 -0.8016 0.0012 2.0159 0.0011 1.9217 0.011 -8.98E-01

7 1.42E-07 2.045 5.65E-05 -0.7247 7.60E-04 2.1363 6.37E-04 2.0368 0.0085 -8.02E-01

8 5.59E-08 2.0593 4.43E-05 -0.6508 4.59E-04 2.2497 3.75E-04 2.1452 0.0067 -7.13E-01

9 1.26E-08 1.6732 3.49E-05 -0.5822 2.71E-04 2.3553 2.15E-04 2.246 0.0053 -6.34E-01

10 1.27E-08 -0.232 2.75E-05 -0.5201 1.52E-04 2.4559 1.17E-04 2.3417 0.0043 -5.65E-01

11 1.94E-08 -0.4054 2.17E-05 -0.4643 7.70E-05 2.561 5.75E-05 2.4419 0.0035 -5.04E-01

12 1.95E-08 -0.3904 1.71E-05 -0.4145 2.90E-05 2.7184 2.13E-05 2.5933 0.0029 -4.51E-01

13 1.57E-08 -0.3304 1.35E-05 -0.37 4.62E-06 -1.5428 2.93E-06 -2.0033 0.0024 -0.4049

14 9.90E-09 -0.2179 1.06E-05 -0.3302 2.29E-05 -0.6158 1.33E-05 -0.7931 0.002 -0.3646

15 3.50E-09 0.2126 8.25E-06 -0.294 3.62E-05 -0.4976 1.99E-05 -0.6756 0.0017 -0.3295

16 4.80E-09 2.3897 6.36E-06 -0.2608 4.54E-05 -0.4248 2.30E-05 -0.6167 0.0014 -0.2988

17 1.23E-08 2.69E+00 4.82E-06 -0.2293 5.23E-05 -0.3644 2.38E-05 -0.5781 0.0012 -0.2719

18 2.05E-08 2.7939 3.56E-06 -0.1985 5.82E-05 -0.3073 2.32E-05 -0.5527 0.0011 -0.2482

19 2.98E-08 2.8715 2.51E-06 -0.1665 6.42E-05 -0.2478 2.16E-05 -0.5407 9.14E-04 -0.2273

20 4.10E-08 2.948 1.64E-06 -0.1304 7.16E-05 -0.1794 1.94E-05 -0.5488 7.96E-04 -0.2088

21 5.61E-08 3.0401 8.86E-07 -0.0854 8.22E-05 -0.0913 1.67E-05 -0.5986 6.97E-04 -0.1926

22 7.89E-08 -3.1093 2.11E-07 -0.0429 9.94E-05 0.0403 1.37E-05 -0.7643 6.13E-04 -0.1786

23 1.18E-07 -2.8704 4.41E-07 -2.9602 1.30E-04 0.2778 1.30E-05 -1.2216 5.40E-04 -0.1683

24 1.80E-07 -2.353 1.04E-06 -2.613 1.76E-04 0.7941 2.34E-05 -1.4968 4.79E-04 -0.1672

25 1.82E-07 -1.5185 9.43E-07 -2.151 1.59E-04 1.6272 3.40E-05 -1.0279 4.34E-04 -0.1651

26 1.20E-07 -0.9926 5.94E-07 -2.5201 9.44E-05 2.1514 2.96E-05 -0.6665 3.92E-04 -0.1477

27 8.19E-08 -0.7536 7.43E-07 -3.0171 5.79E-05 2.3882 2.46E-05 -0.5178 3.53E-04 -0.1342

28 6.05E-08 -0.6251 9.84E-07 3.1123 3.87E-05 2.5137 2.11E-05 -0.4472 3.18E-04 -0.124

29 4.74E-08 -0.5433 1.19E-06 3.0632 2.75E-05 2.5917 1.85E-05 -0.4069 2.88E-04 -0.1156

30 3.89E-08 -0.4845 1.37E-06 3.0455 2.04E-05 2.646 1.65E-05 -0.3807 2.61E-04 -0.1084







2 1.23E-06 -2.87E+00 1.24E-04 -3.02E+00 2.60E-03 -3.04E+00 3.20E-03 -3.06E+00 1.20E-02 3.06E+00

3 8.77E-07 -2.71E+00 8.46E-05 -2.94E+00 1.90E-03 -2.81E+00 2.30E-03 -2.84E+00 8.10E-03 -3.12E+00

4 7.27E-07 -2.4687 6.53E-05 -2.8137 0.0017 -2.5174 0.0021 -2.5625 0.0062 -3.03E+00

5 6.35E-07 -2.0678 5.15E-05 -2.6242 0.0016 -2.0782 0.0019 -2.1329 0.005 -2.94E+00

6 4.70E-07 -1.4756 3.57E-05 -2.4358 0.0013 -1.4469 0.0016 -1.5106 0.0041 -2.88E+00

7 2.51E-07 -0.9394 2.41E-05 -2.5201 8.58E-04 -0.8615 0.001 -0.9336 0.0036 -2.89E+00

8 1.11E-07 -0.6401 2.12E-05 -2.6839 4.97E-04 -0.4821 5.71E-04 -0.5619 0.0034 -2.88E+00

9 4.19E-08 -0.5802 2.09E-05 -2.7343 2.93E-04 -0.2329 3.29E-04 -0.3198 0.0033 -2.84E+00

10 1.21E-08 -1.2794 2.09E-05 -2.717 1.74E-04 -0.0403 1.91E-04 -0.1338 0.0033 -2.78E+00

11 1.69E-08 -2.449 2.11E-05 -2.6629 9.81E-05 0.1416 1.05E-04 0.0425 0.0034 -2.71E+00

12 2.39E-08 -2.539 2.14E-05 -2.5782 4.31E-05 0.3813 4.51E-05 0.2783 0.0036 -2.62E+00

13 2.56E-08 -2.4166 2.20E-05 -2.4558 7.84E-06 2.4545 7.66E-06 2.1317 0.0039 -2.4902

14 2.16E-08 -2.1503 2.27E-05 -2.2784 4.87E-05 -2.6828 4.38E-05 -2.8306 0.0043 -2.3118

15 1.15E-08 -1.486 2.31E-05 -2.0201 9.47E-05 -2.3269 8.17E-05 -2.474 0.0047 -2.0546

16 1.38E-08 0.6952 2.16E-05 -1.6681 1.37E-04 -1.9265 1.12E-04 -2.0811 0.0049 -1.7056

17 3.54E-08 1.5017 1.74E-05 -1.2732 1.59E-04 -1.4991 1.21E-04 -1.6648 0.0044 -1.316

18 5.33E-08 1.9477 1.21E-05 -0.9309 1.56E-04 -1.1329 1.10E-04 -1.313 0.0036 -0.9822

19 6.51E-08 2.2472 7.58E-06 -0.6779 1.43E-04 -0.8625 9.13E-05 -1.0612 0.0027 -0.7427

20 7.38E-08 2.4558 4.42E-06 -0.4909 1.30E-04 -0.667 7.42E-05 -0.8905 0.0021 -0.5793

21 8.22E-08 2.6119 2.27E-06 -0.3279 1.21E-04 -0.5175 6.01E-05 -0.7752 0.0016 -0.466

22 9.22E-08 2.7411 7.81E-07 -0.0644 1.16E-04 -0.3917 4.88E-05 -0.6993 0.0013 -0.3848

23 1.06E-07 2.8633 3.95E-07 2.353 1.17E-04 -0.2715 3.94E-05 -0.6581 0.0011 -0.3245

24 1.28E-07 3.0003 1.20E-06 2.7961 1.25E-04 -0.136 3.15E-05 -0.6633 8.84E-04 -0.2786

25 1.65E-07 -3.0927 1.91E-06 2.9565 1.44E-04 0.0529 2.48E-05 -0.7709 7.40E-04 -0.2439

26 2.30E-07 -2.7522 2.56E-06 -3.1175 1.81E-04 0.392 2.29E-05 -1.1034 6.26E-04 -0.2218

27 2.97E-07 -2.0621 2.67E-06 -2.7359 2.11E-04 1.0801 3.45E-05 -1.1916 5.41E-04 -0.2169

28 2.25E-07 -1.2942 1.72E-06 -2.6556 1.46E-04 1.8455 3.77E-05 -0.7999 4.80E-04 -0.1952

29 1.42E-07 -0.901 1.56E-06 -3.0052 8.36E-05 2.2354 3.14E-05 -0.58 4.22E-04 -0.168

30 9.67E-08 -0.7066 1.77E-06 3.1141 5.18E-05 2.4257 2.62E-05 -0.4826 3.72E-04 -0.1485







2 1.24E-06 -3.07E+00 1.32E-04 -3.12E+00 2.60E-03 3.03E+00 3.30E-03 3.02E+00 1.29E-02 2.99E+00

3 8.30E-07 -3.02E+00 8.66E-05 -3.10E+00 1.80E-03 3.13E+00 2.30E-03 3.12E+00 8.30E-03 3.06E+00

4 6.45E-07 -2.94 6.46E-05 -3.0553 0.0014 -3.026 0.0019 -3.042 0.0062 3.11E+00

5 5.63E-07 -2.7771 5.25E-05 -2.9762 0.0014 -2.833 0.0018 -2.8569 0.0049 -3.12E+00

6 5.41E-07 -2.4267 4.45E-05 -2.7985 0.0015 -2.4527 0.0019 -2.4856 0.0041 -3.05E+00

7 4.38E-07 -1.6841 3.09E-05 -2.4752 0.0014 -1.6732 0.0018 -1.7158 0.0033 -2.97E+00

8 1.86E-07 -0.9821 1.73E-05 -2.5997 7.35E-04 -0.9142 9.32E-04 -0.9671 0.0027 -3.00E+00

9 6.09E-08 -0.7228 1.52E-05 -2.8367 3.45E-04 -0.5345 4.33E-04 -0.5983 0.0025 -3.00E+00

10 1.48E-08 -0.9688 1.46E-05 -2.8887 1.69E-04 -0.3157 2.10E-04 -0.3908 0.0024 -2.97E+00

11 9.67E-09 -2.5133 1.37E-05 -2.8744 8.06E-05 -0.1434 9.88E-05 -0.23 0.0022 -2.93E+00

12 1.40E-08 -2.7859 1.28E-05 -2.8331 3.02E-05 0.0649 3.69E-05 -0.0324 0.0022 -2.87E+00

13 1.38E-08 -2.736 1.19E-05 -2.7751 4.63E-06 2.0473 5.48E-06 1.7742 0.0021 -2.8093

14 1.03E-08 -2.5626 1.09E-05 -2.7025 2.45E-05 3.1239 2.72E-05 2.9698 0.002 -2.7351

15 5.19E-09 -2.0457 9.98E-06 -2.6141 4.11E-05 -2.966 4.48E-05 -3.1309 0.002 -2.6478

16 5.58E-09 -0.2578 9.01E-06 -2.5075 5.49E-05 -2.8036 5.80E-05 -2.9871 0.002 -2.5446

17 1.46E-08 0.3411 7.96E-06 -2.3792 6.69E-05 -2.6347 6.82E-05 -2.841 0.002 -2.4224

18 2.60E-08 0.6224 6.79E-06 -2.226 7.75E-05 -2.4483 7.58E-05 -2.6813 0.002 -2.2786

19 3.90E-08 0.8649 5.47E-06 -2.0458 8.65E-05 -2.2406 8.07E-05 -2.5051 0.002 -2.1131

20 5.26E-08 1.1078 4.02E-06 -1.8376 9.32E-05 -2.0131 8.23E-05 -2.3149 0.0019 -1.9299

21 6.56E-08 1.3557 2.51E-06 -1.5954 9.69E-05 -1.7728 8.03E-05 -2.1193 0.0018 -1.7381

22 7.71E-08 1.6028 1.08E-06 -1.2456 9.74E-05 -1.5296 7.53E-05 -1.9307 0.0016 -1.5499

23 8.66E-08 1.843 3.62E-07 0.9084 9.55E-05 -1.2916 6.82E-05 -1.7603 0.0014 -1.3764

24 9.45E-08 2.075 1.28E-06 1.758 9.23E-05 -1.0614 6.03E-05 -1.6155 0.0012 -1.2242

25 1.02E-07 2.3033 2.06E-06 1.9913 8.89E-05 -0.8352 5.27E-05 -1.4989 0.001 -1.0947

26 1.08E-07 2.5372 2.64E-06 2.1546 8.56E-05 -0.6039 4.60E-05 -1.4099 8.94E-04 -0.9866

27 1.15E-07 2.7895 3.04E-06 2.2912 8.25E-05 -0.3554 4.04E-05 -1.3452 7.65E-04 -0.897

28 1.20E-07 3.0726 3.28E-06 2.413 7.87E-05 -0.0776 3.62E-05 -1.2966 6.58E-04 -0.8232

29 1.21E-07 -2.8924 3.37E-06 2.5194 7.28E-05 0.2337 3.32E-05 -1.2484 5.69E-04 -0.762

30 1.15E-07 -2.5535 3.32E-06 2.5991 6.36E-05 0.5638 3.07E-05 -1.1853 4.96E-04 -0.7101

No se hace énfasis en los resultados anteriores, ya que no resulta una

observación objetiva comparar las tensiones de diferentes nodos con el mismo

nodo, sino compara las tensiones de un mismo nodo variando el modelo de carga

lineal, lo que se expone a continuación.



En base a los resultados de las tensiones nodales empleando los seis

diferentes modelos de carga lineal y cuyos resultados de estas variaciones de

modelos se exponen en las tablas 10, 11, 12, 13, 14 y 15 se realiza extracto y a su

vez una comparación de las tensiones en valores por unidad de la magnitud

obtenida, los resultados son expuestos en la tabla comparativa número 16, 17, 18,

19 y 20 e ilustrados en la figuras número 3.18, 3.19, 3.20, 3.21 y 3.22.



Tabla No. 16.- Tabla comparativa de tensiones nodales armónicas producidas

por los seis modelos lineales en el nodo número 1.

TENSIONES ARMÓNICAS DEL NODO 1 [p.u.]

NÚMERO DE MODELO LINEAL

NIVEL ARMÓNICO 1 2 3 4 5 6

2 1.30E-06 1.09E-06 7.07E-09 4.64E-06 1.23E-06 1.24E-06

3 8.84E-07 5.57E-07 4.69E-09 2.13E-06 8.77E-07 8.30E-07

4 6.81E-07 2.98E-07 3.45E-09 1.11E-06 7.27E-07 6.45E-07

5 5.46E-07 1.62E-07 2.68E-09 5.86E-07 6.35E-07 5.63E-07

6 4.05E-07 8.81E-08 2.15E-09 3.01E-07 4.70E-07 5.41E-07

7 2.42E-07 4.74E-08 1.76E-09 1.42E-07 2.51E-07 4.38E-07

8 1.16E-07 2.52E-08 1.45E-09 5.59E-08 1.11E-07 1.86E-07

9 4.62E-08 1.34E-08 1.21E-09 1.26E-08 4.19E-08 6.09E-08

10 1.54E-08 7.37E-09 1.01E-09 1.27E-08 1.21E-08 1.48E-08

11 1.36E-08 4.60E-09 8.40E-10 1.94E-08 1.69E-08 9.67E-09

12 1.67E-08 3.26E-09 6.94E-10 1.95E-08 2.39E-08 1.40E-08

13 1.59E-08 2.41E-09 5.67E-10 1.57E-08 2.56E-08 1.38E-08

14 1.19E-08 1.73E-09 4.56E-10 9.90E-09 2.16E-08 1.03E-08

15 6.10E-09 1.18E-09 3.58E-10 3.50E-09 1.15E-08 5.19E-09

16 5.39E-09 8.14E-10 2.71E-10 4.80E-09 1.38E-08 5.58E-09

17 1.35E-08 6.72E-10 1.94E-10 1.23E-08 3.54E-08 1.46E-08

18 2.29E-08 7.04E-10 1.27E-10 2.05E-08 5.33E-08 2.60E-08

19 3.22E-08 7.88E-10 6.86E-11 2.98E-08 6.51E-08 3.90E-08

20 4.07E-08 8.57E-10 2.58E-11 4.10E-08 7.38E-08 5.26E-08

21 4.84E-08 8.93E-10 3.81E-11 5.61E-08 8.22E-08 6.56E-08

22 5.53E-08 8.96E-10 7.05E-11 7.89E-08 9.22E-08 7.71E-08

23 6.16E-08 8.72E-10 9.74E-11 1.18E-07 1.06E-07 8.66E-08

24 6.75E-08 8.25E-10 1.17E-10 1.80E-07 1.28E-07 9.45E-08

25 7.34E-08 7.62E-10 1.27E-10 1.82E-07 1.65E-07 1.02E-07

26 7.90E-08 6.86E-10 1.29E-10 1.20E-07 2.30E-07 1.08E-07

27 8.40E-08 6.02E-10 1.23E-10 8.19E-08 2.97E-07 1.15E-07

28 8.70E-08 5.12E-10 1.09E-10 6.05E-08 2.25E-07 1.20E-07

29 8.63E-08 4.18E-10 9.43E-11 4.74E-08 1.42E-07 1.21E-07

30 8.10E-08 3.24E-10 9.33E-11 3.89E-08 9.67E-08 1.15E-07



Figura 3.19.- Gráfica comparativa de las tensiones armónicas nodales producidas

por los seis modelos lineales en nodo número 1.

En el nodo número 1 se aprecia que las tensiones van desde del orden de

4.64E-06 p.u. hasta 3.81E-11 p.u., tensiones pertenecientes a los modelos 4 y 3

respectivamente, el orden de las tensiones armónicas es del mismo rango de

tensiones en los seis modelos a excepción de los dos antes mencionados los

cuales presentan los más altos y bajos índices de penetración armónica,

ofreciendo la máxima y la mínima propagación, cabe resaltar, que el nodo numero

1 al ser el nodo que satisface la demanda y no tener un vínculo físico o directo con

el nodo generador de armónicos en un nodo que en promedio sus tensiones están

por debajo de 1E-6, lo que nos rinde la información de que este nodo es muy poco

susceptible a la contaminación producida por el SVC y su propagación armónica,

este comportamiento se observa en la figura 3.19 y los valores tabulados se

exponen en la tabla número 16.

0

0.0000005

0.000001

0.0000015

0.000002

0.0000025

0.000003

0.0000035

0.000004

0.0000045

0.000005

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

TEN

SIÓ

N N

OD

AL

[p.u

.]

NÚMERO ARMÓNICO

TENSIONES ARMÓNICAS DEL NODO 1

MODELO N° 1

MODELO N° 2

MODELO N° 3

MODELO N° 4

MODELO N° 5

MODELO N° 6



Tabla No. 17.- Tabla comparativa de tensiones nodales armónicas producidas por los seis modelos lineales en el nodo número 2.




2 1.36E-04 1.21E-04 4.49E-06 3.27E-04 1.24E-04 1.32E-04

3 9.07E-05 6.77E-05 2.97E-06 1.86E-04 8.46E-05 8.66E-05

4 6.75E-05 4.13E-05 2.20E-06 1.28E-04 6.53E-05 6.46E-05

5 5.20E-05 2.65E-05 1.73E-06 9.50E-05 5.15E-05 5.25E-05

6 3.83E-05 1.77E-05 1.41E-06 7.27E-05 3.57E-05 4.45E-05

7 2.67E-05 1.23E-05 1.18E-06 5.65E-05 2.41E-05 3.09E-05

8 2.10E-05 8.70E-06 1.00E-06 4.43E-05 2.12E-05 1.73E-05

9 1.88E-05 6.32E-06 8.62E-07 3.49E-05 2.09E-05 1.52E-05

10 1.74E-05 4.69E-06 7.46E-07 2.75E-05 2.09E-05 1.46E-05

11 1.62E-05 3.53E-06 6.48E-07 2.17E-05 2.11E-05 1.37E-05

12 1.50E-05 2.70E-06 5.64E-07 1.71E-05 2.14E-05 1.28E-05

13 1.37E-05 2.07E-06 4.90E-07 1.35E-05 2.20E-05 1.19E-05

14 1.23E-05 1.60E-06 4.24E-07 1.06E-05 2.27E-05 1.09E-05

15 1.09E-05 1.24E-06 3.65E-07 8.25E-06 2.31E-05 9.98E-06

16 9.44E-06 9.47E-07 3.11E-07 6.36E-06 2.16E-05 9.01E-06

17 7.86E-06 7.17E-07 2.61E-07 4.82E-06 1.74E-05 7.96E-06

18 6.25E-06 5.32E-07 2.15E-07 3.56E-06 1.21E-05 6.79E-06

19 4.67E-06 3.83E-07 1.72E-07 2.51E-06 7.58E-06 5.47E-06

20 3.20E-06 2.63E-07 1.31E-07 1.64E-06 4.42E-06 4.02E-06

21 1.90E-06 1.65E-07 9.23E-08 8.86E-07 2.27E-06 2.51E-06

22 7.99E-07 8.80E-08 5.55E-08 2.11E-07 7.81E-07 1.08E-06

23 2.36E-07 4.28E-08 2.15E-08 4.41E-07 3.95E-07 3.62E-07

24 8.97E-07 6.21E-08 1.99E-08 1.04E-06 1.20E-06 1.28E-06

25 1.47E-06 1.02E-07 5.15E-08 9.43E-07 1.91E-06 2.06E-06

26 1.92E-06 1.38E-07 8.42E-08 5.94E-07 2.56E-06 2.64E-06

27 2.25E-06 1.69E-07 1.16E-07 7.43E-07 2.67E-06 3.04E-06

28 2.46E-06 1.95E-07 1.48E-07 9.84E-07 1.72E-06 3.28E-06

29 2.56E-06 2.18E-07 1.80E-07 1.19E-06 1.56E-06 3.37E-06

30 2.58E-06 2.36E-07 2.11E-07 1.37E-06 1.77E-06 3.32E-06




por los seis modelos lineales en nodo número 2. Los valores correspondientes a la comparación de los seis modelos lineales y

su desempeño a representar la forma en la que reaccionarían un verdadero grupo

de cargas específicas, este nodo en especial, no aporta gran información acerca

del desempeño de los modelos lineales, más permite apreciar que si percibe

perturbación armónica, puesto esta conectado directamente al nodo generador de

disturbios, más sus valores armónicos oscilan entre 3.27E-04 p.u. y 2.15E-08 p.u.,

que en estricto orden corresponden a los modelos número 4 y número 3, aún solo

con los valores anteriores de la tabla número 16 y los de la tabla número 17 se

vislumbra el comportamiento general, pues los modelos al permitirse obtener un

alto valor de tensión armónica, producirá mayor propagación entre sus nodos

interconectados, estos dos nodos como tal no contienen modelos, pero si obtienen

una penetración armónica producto del SVC.

0

0.00005

0.0001

0.00015

0.0002

0.00025

0.0003

0.00035

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

TEN

SIÓ

N N

OD

AL

[p.u

.]

NÚMERO ARMÓNICO


MODELO N° 1

MODELO N° 2

MODELO N° 3

MODELO N° 4

MODELO N° 5

MODELO N° 6








2 2.70E-03 2.20E-03 7.38E-07 1.28E-02 2.60E-03 2.60E-03

3 1.90E-03 0.0012 4.75E-07 6.10E-03 1.90E-03 1.80E-03

4 0.0015 6.34E-04 3.38E-07 0.0034 0.0017 0.0014

5 0.0013 3.58E-04 2.53E-07 0.0021 0.0016 0.0014

6 0.0011 2.04E-04 1.93E-07 0.0012 0.0013 0.0015

7 7.84E-04 1.17E-04 1.49E-07 7.60E-04 8.58E-04 0.0014

8 4.74E-04 6.60E-05 1.13E-07 4.59E-04 4.97E-04 7.35E-04

9 2.72E-04 3.62E-05 8.36E-08 2.71E-04 2.93E-04 3.45E-04

10 1.51E-04 1.88E-05 5.85E-08 1.52E-04 1.74E-04 1.69E-04

11 7.75E-05 8.64E-06 3.67E-08 7.70E-05 9.81E-05 8.06E-05

12 3.04E-05 2.95E-06 1.74E-08 2.90E-05 4.31E-05 3.02E-05

13 4.69E-06 3.49E-07 1.44E-09 4.62E-06 7.84E-06 4.63E-06

14 2.53E-05 1.66E-06 1.58E-08 2.29E-05 4.87E-05 2.45E-05

15 4.20E-05 2.27E-06 3.02E-08 3.62E-05 9.47E-05 4.11E-05

16 5.44E-05 2.40E-06 4.33E-08 4.54E-05 1.37E-04 5.49E-05

17 6.31E-05 2.29E-06 5.54E-08 5.23E-05 1.59E-04 6.69E-05

18 6.87E-05 2.07E-06 6.64E-08 5.82E-05 1.56E-04 7.75E-05

19 7.16E-05 1.82E-06 7.66E-08 6.42E-05 1.43E-04 8.65E-05

20 7.23E-05 1.57E-06 8.58E-08 7.16E-05 1.30E-04 9.32E-05

21 7.15E-05 1.34E-06 9.42E-08 8.22E-05 1.21E-04 9.69E-05

22 6.98E-05 1.13E-06 1.02E-07 9.94E-05 1.16E-04 9.74E-05

23 6.79E-05 9.59E-07 1.09E-07 1.30E-04 1.17E-04 9.55E-05

24 6.59E-05 8.09E-07 1.15E-07 1.76E-04 1.25E-04 9.23E-05

25 6.42E-05 6.82E-07 1.20E-07 1.59E-04 1.44E-04 8.89E-05

26 6.24E-05 5.76E-07 1.24E-07 9.44E-05 1.81E-04 8.56E-05

27 6.03E-05 4.87E-07 1.28E-07 5.79E-05 2.11E-04 8.25E-05

28 5.70E-05 4.13E-07 1.32E-07 3.87E-05 1.46E-04 7.87E-05

29 5.17E-05 3.51E-07 1.34E-07 2.75E-05 8.36E-05 7.28E-05

30 4.45E-05 2.99E-07 1.36E-07 2.04E-05 5.18E-05 6.36E-05





Tabla No. 19.- Tabla comparativa de tensiones nodales armónicas producidas por los seis modelos lineales en el nodo número 4.




2 3.40E-03 2.90E-03 5.26E-06 1.13E-02 3.20E-03 3.30E-03

3 2.40E-03 0.0016 3.39E-06 5.40E-03 2.30E-03 2.30E-03

4 0.002 8.98E-04 2.43E-06 0.003 0.0021 0.0019

5 0.0017 5.36E-04 1.82E-06 0.0018 0.0019 0.0018

6 0.0014 3.27E-04 1.40E-06 0.0011 0.0016 0.0019

7 9.80E-04 2.01E-04 1.08E-06 6.37E-04 0.001 0.0018

8 5.87E-04 1.23E-04 8.24E-07 3.75E-04 5.71E-04 9.32E-04

9 3.32E-04 7.34E-05 6.12E-07 2.15E-04 3.29E-04 4.33E-04

10 1.82E-04 4.14E-05 4.29E-07 1.17E-04 1.91E-04 2.10E-04

11 9.23E-05 2.09E-05 2.69E-07 5.75E-05 1.05E-04 9.88E-05

12 3.60E-05 7.82E-06 1.25E-07 2.13E-05 4.51E-05 3.69E-05

13 5.47E-06 1.15E-06 2.33E-08 2.93E-06 7.66E-06 5.48E-06

14 2.71E-05 5.28E-06 1.33E-07 1.33E-05 4.38E-05 2.72E-05

15 4.41E-05 7.88E-06 2.45E-07 1.99E-05 8.17E-05 4.48E-05

16 5.53E-05 9.12E-06 3.52E-07 2.30E-05 1.12E-04 5.80E-05

17 6.19E-05 9.51E-06 4.52E-07 2.38E-05 1.21E-04 6.82E-05

0

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012

0.014

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

TEN

SIÓ

N N

OD

AL

[p.u

.]

NÚMERO ARMÓNICO


MODELO N° 1

MODELO N° 2

MODELO N° 3

MODELO N° 4

MODELO N° 5

MODELO N° 6



18 6.45E-05 9.40E-06 5.47E-07 2.32E-05 1.10E-04 7.58E-05

19 6.40E-05 9.00E-06 6.37E-07 2.16E-05 9.13E-05 8.07E-05

20 6.12E-05 8.46E-06 7.22E-07 1.94E-05 7.42E-05 8.23E-05

21 5.68E-05 7.86E-06 8.02E-07 1.67E-05 6.01E-05 8.03E-05

22 5.18E-05 7.24E-06 8.78E-07 1.37E-05 4.88E-05 7.53E-05

23 4.66E-05 6.64E-06 9.48E-07 1.30E-05 3.94E-05 6.82E-05

24 4.17E-05 6.08E-06 1.01E-06 2.34E-05 3.15E-05 6.03E-05

25 3.73E-05 5.56E-06 1.07E-06 3.40E-05 2.48E-05 5.27E-05

26 3.35E-05 5.08E-06 1.13E-06 2.96E-05 2.29E-05 4.60E-05

27 3.05E-05 4.65E-06 1.18E-06 2.46E-05 3.45E-05 4.04E-05

28 2.82E-05 4.25E-06 1.23E-06 2.11E-05 3.77E-05 3.62E-05

29 2.64E-05 3.90E-06 1.27E-06 1.85E-05 3.14E-05 3.32E-05

30 2.46E-05 3.58E-06 1.30E-06 1.65E-05 2.62E-05 3.07E-05



0

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

TEN

SIÓ

N N

OD

AL

[p.u

.]

NÚMERO ARMÓNICO


MODELO N° 1

MODELO N° 2

MODELO N° 3

MODELO N° 4

MODELO N° 5

MODELO N° 6








2 1.33E-02 1.21E-02 5.69E-04 5.67E-02 1.20E-02 1.29E-02

3 8.80E-03 0.007 3.77E-04 3.08E-02 8.10E-03 8.30E-03

4 0.0066 4.40E-03 2.82E-04 0.0204 0.0062 0.0062

5 0.0052 0.003 2.25E-04 0.0147 0.005 0.0049

6 0.0042 2.10E-03 1.88E-04 0.011 0.0041 0.0041

7 0.0035 0.0016 1.61E-04 0.0085 0.0036 0.0033

8 0.0032 1.20E-03 1.40E-04 0.0067 0.0034 0.0027

9 0.0029 8.92E-04 1.25E-04 0.0053 0.0033 0.0025

10 0.0028 6.98E-04 1.12E-04 0.0043 0.0033 0.0024

11 0.0026 5.55E-04 1.02E-04 0.0035 0.0034 0.0022

12 0.0025 4.48E-04 9.35E-05 0.0029 0.0036 0.0022

13 0.0024 3.66E-04 8.63E-05 0.0024 0.0039 0.0021

14 0.0023 3.03E-04 8.02E-05 0.002 0.0043 0.002

15 0.0022 2.53E-04 7.48E-05 0.0017 0.0047 0.002

16 0.0021 2.13E-04 7.02E-05 0.0014 0.0049 0.002

17 0.002 1.81E-04 6.61E-05 0.0012 0.0044 0.002

18 0.0018 1.55E-04 6.24E-05 0.0011 0.0036 0.002

19 0.0017 1.34E-04 5.92E-05 9.14E-04 0.0027 0.002

20 0.0015 1.16E-04 5.62E-05 7.96E-04 0.0021 0.0019

21 0.0013 1.02E-04 5.36E-05 6.97E-04 0.0016 0.0018

22 0.0012 8.92E-05 5.12E-05 6.13E-04 0.0013 0.0016

23 0.001 7.88E-05 4.90E-05 5.40E-04 0.0011 0.0014

24 8.77E-04 6.99E-05 4.70E-05 4.79E-04 8.84E-04 0.0012

25 7.63E-04 6.23E-05 4.51E-05 4.34E-04 7.40E-04 0.001

26 6.65E-04 5.57E-05 4.34E-05 3.92E-04 6.26E-04 8.94E-04

27 5.82E-04 5.00E-05 4.18E-05 3.53E-04 5.41E-04 7.65E-04

28 5.11E-04 4.51E-05 4.03E-05 3.18E-04 4.80E-04 6.58E-04

29 4.51E-04 4.08E-05 3.89E-05 2.88E-04 4.22E-04 5.69E-04

30 4.01E-04 3.70E-05 3.77E-05 2.61E-04 3.72E-04 4.96E-04





Una vez expuestas y revisadas las graficas de las figuras 3.20, 3.21 y 3.22 se

observa un comportamiento similar en los cinco nodos por parte de sus

respectivos modelos, por lo que en base a lo observado podemos establecer que

de los seis modelos utilizados, el modelo mas permeable a las corrientes

armónicas es por mucho el modelo número 4 correspondiente al modelo de

amortiguación motora e inclusión de transformador, dicho modelo corresponde a la

propiedad de los elementos que lo conforman para reaccionar a la frecuencia con

la que la correine armónica se presenta, basándonos en las tensiones obtenidas

se aprecia en las tablas anteriores en general que el parámetro de tensión

alcanzada por el modelo número 4 alcanza niveles tres veces mas altos que el del

resto de los modelos y oscila varias decenas de veces el modelo número 3

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

2 3 4 5 6 7 8 9 1011 12131415161718192021222324 252627282930

TEN

SIÓ

N N

OD

AL

[p.u

.]

NÚMERO ARMÓNICO


MODELO N° 1

MODELO N° 2

MODELO N° 3

MODELO N° 4

MODELO N° 5

MODELO N° 6



correspondiente al modelo de motores en general, este modelo modela el

comportamiento de uno o varios motores de gran capacidad conectados al

sistema, permitiendo establecer a este ultimo como el de menor permeabilidad a

los armónicos, pues sus altos niveles de admitancia evitan que la corriente

generen tensiones mayores que repercutan su funcionamiento, pues de hacerlo se

generarían daños físicos en las maquinas rotatorias, los modelos 1 y 2 obtienen

gran estabilidad después del 5° armónico, con la particularidad de que el primer

modelo alcanza niveles más elevados de tensión otorgándole mayor

permeabilidad al modelo número 1 y menor al modelo número 2, finalmente la

comparación entre los modelo que ofrecen una variación más amplia en los

efectos armónicos de entre la decima y veinteava armónica son los modelos

presentados por CIGRE [3], estos contemplan el repunte de tensiones armónicas

en forma de valles y crestas a lo largo de los espectros armónicos crecientes,

dando como más permeable al modelo número 6 pues alcanza tensiones más

abruptas en lugar del modelo número 5, por lo que podemos englobar a estos

modelos como modelos de planeamiento ya que ofrecen tensiones intermedias

entre los modelos de motores de gran capacidad (modelos 3 y 4) y los modelos

de cargas agrupadas (modelos 1 y 2).


PÁGINA 80 CAPÍTULO 4. CONCLUSIONES.

4.3 CONCLUSIONES.

Se analizaron seis modelos de cargas lineales, mostrando la permeabilidad de

cada uno de ellos en orden descendente, lo lleva a declarar el comportamiento de

cada modelo, dicha comparación permitió establece cual de ellos alcanzó la mayor

repercusión frente a frecuencias armónicas, además de poder permitirnos afirmar

su uso particular como representantes de cargas nodales, el grupo número 1

corresponde a los modelo 1 y 2 cuyo valor representa a pequeños grupos de

cargas, ya sean pequeñas cargas de distintas naturalezas o pequeños motores

respectivamente, estos modelos ofrece permeabilidad intermedia y valores de

tensión peligrosos en los primeros 10 armónicos y un decaimiento importante y

paulatino a los armónicos posteriores, el segundo grupo pertenece a los modelos

3 y 4 las cuales representan el mínimo y máximo respectivamente en la

permeabilidad ya que sus característica ofrecen los picos de tensión más dañinos,

pero que a lo largo de la aparición armónica se estabilizan lo que deja vislumbrar

el verdadero comportamiento y su correcta representación de grande equipos

eléctricos, confirmando su propuesta como representante de semejantes

magnitudes de penetración armónica. Finalmente se estudia el tercer grupo, que

es el más estable, pero ofreces dos modelos propuestos por un mismo grupo de

autores en diferentes etapas, el modelo número 5 y el modelo número 6, en los

cuales su característica más importante es su similar desarrollo que oscilante en

las magnitudes de tensión, con la diferencia de que el modelo número cinco se

utilizara para representar equipos más robustos, mientras que el sexto se utilizara

en la representación de equipos mixtos más susceptibles a altas frecuencias.


APENDICE A. 81

APENDICE A.

1.- PROGRAMA “ybus” MATLAB2010®.

Este programa es una ordenación de los parámetros de las líneas que conectan a

los nodos entre sí, estos parámetros son necesarios para realizar los cálculos y

hallar los flujos de potencia a frecuencia fundamental.

%PARAMETROS DE LINEAS% z12=0.02+0.06i; z13=0.08+0.24i; z21=z12; z23=0.06+0.18i; z24=0.06+0.18i; z25=0.04+0.12i; z31=z13; z32=z23; z34=0.01+0.03i; z42=z24; z43=z34; z45=0.08+0.24i; z52=z25; z54=z45; y12=0+0.030i; y13=0+0.025i; y23=0+0.020i; y24=0+0.020i; y25=0+0.015i; y34=0+0.010i; y45=0+0.025i; y21=y12; y31=y13; y32=y23; y42=y24; y52=y25; y43=y34; y54=y45; %MAPA DE INDUCTANCIAS% y(1,1)=(1/z12)+(1/z13)+y13+y12; y(1,2)=-(1/z12)-y12; y(1,3)=-(1/z13)-y13; y(1,4)=0; y(1,5)=0; y(2,2)=(1/z21)+(1/z23)+(1/z25)+(1/z24)+y21+y23+y24+y25; y(2,3)=-(1/z23)-y23; y(2,4)=-(1/z24)-y24; y(2,5)=-(1/z25)-y25; y(3,3)=(1/z31)+(1/z32)+(1/z34)+y31+y32+y34; y(3,4)=-(1/z34)-y34; y(3,5)=0; y(4,4)=(1/z34)+(1/z42)+(1/z45)+y42+y43+y45; y(4,5)=-(1/z45)-y45; y(5,5)=(1/z52)+(1/z54)+y52+y54;


82 APENDICE A.

y(2,1)=y(1,2); y(3,1)=y(1,3); y(3,2)=y(2,3); y(4,1)=y(1,4); y(4,2)=y(2,4); y(4,3)=y(3,4); y(5,1)=y(1,5); y(5,2)=y(2,5); y(5,3)=y(3,5); y(5,4)=y(4,5);

2.- PROGRAMA “ybus01” MATLAB2010®.

La modificación del programa anterior incluye una función h, correspondiente a la

función de número armónico con el que se va a estudiar y calcular la matriz de

impedancias.

%MAPA PARAMETROS DE LINEAS CON FUNCIÓN ARMÓNICA% z12=0.02+(h*0.06i); z13=0.08+(h*0.24i); z21=z12; z23=0.06+(h*0.18i); z24=0.06+(h*0.18i); z25=0.04+(h*0.12i); z31=z13; z32=z23; z34=0.01+(h*0.03i); z42=z24; z43=z34; z45=0.08+(h*0.24i); z52=z25; z54=z45; y12=0+(h*0.030i); y13=0+(h*0.025i); y23=0+(h*0.020i); y24=0+(h*0.020i); y25=0+(h*0.015i); y34=0+(h*0.010i); y45=0+(h*0.025i); %COMPLEMENTO DE MATRIZ% y21=y12; y31=y13; y32=y23; y42=y24; y52=y25; y43=y34; y54=y45; %ELEMENTOS PASIVOS DE LA RED ARMONICA% zg1=(1i*h*0.0001); zg2=(1i*h*0.001); zc1=(-1i*(V(4)^2)/(h*.3));


APENDICE A. 83

%MAPA DE INDUCTANCIAS% y2(1,1)=(1/z12)+(1/z13)+(1/zg1)+y13+y12; y2(1,2)=-(1/z12)-y12; y2(1,3)=-(1/z13)-y13; y2(1,4)=0; y2(1,5)=0; y2(2,2)=(1/z21)+(1/z23)+(1/z25)+(1/z24)+(1/zg2)+y21+y23+y24+y25; y2(2,3)=-(1/z23)-y23; y2(2,4)=-(1/z24)-y24; y2(2,5)=-(1/z25)-y25; y2(3,3)=(1/z31)+(1/z32)+(1/z34)+y31+y32+y34; y2(3,4)=-(1/z34)-y34; y2(3,5)=0; y2(4,4)=(1/z34)+(1/z42)+(1/z45)+(1/zc1)+y42+y43+y45; y2(4,5)=-(1/z45)-y45; y2(5,5)=(1/z52)+(1/z54)+y52+y54;

y2(2,1)=y2(1,2); y2(3,1)=y2(1,3); y2(3,2)=y2(2,3); y2(4,1)=y2(1,4); y2(4,2)=y2(2,4); y2(4,3)=y2(3,4); y2(5,1)=y2(1,5); y2(5,2)=y2(2,5); y2(5,3)=y2(3,5); y2(5,4)=y2(4,5);

3.- PROGRAMA “seidel” MATLAB2010®.

clear variables clear all format short %PARAMETROS INICIALES DE POTENCIA Y TENSION% S=[(0),(.30),(-.45-.20i),(-.80),(-.50+.15i)]; V=[1.05,1,1,1,1]; %DATOS DE LINEAS% ybus; %PARAMETROS DE TOLERANCIA% emax=.00001; %TOLERANCIA ITERATIVA% e=10; %CONDICIÓN INICIAL WHILE% iter=0; %CONTADOR ITERATIVO% n=5; %NÚMERO DE NODOS% PV=2; %NODO PV% %TENSIONES NODALES FRECUENCIA FUNDAMENTAL% while (e>(1)) iter=iter+1; for p=2:1:n; sum=0; for m=1:1:n; sum=sum+y(p,m)*V(m); end if p==PV; %POTENCIA REACTIVA MAX. NODO PV% Q2=imag(V(p)*conj(sum)); S(p)=.3+1i*Q2;


84 APENDICE A.

end sum=sum-y(p,p)*V(p); VM(p)=V(p); V(p)=1/(y(p,p))*(conj(S(p)/V(p))-sum); if p==PV; %AJUSTE DEL ANGULO EN NODO PV% fv=1.000/abs(V(p)); V(p)=(fv*real(V(p)))+(1i*fv*imag(V(p))); end V(p)=VM(p)+1.2*(V(p)-VM(p)); %FACTOR DE ACELERACIÓN% end disp('ITERACIÓN NÚMERO:'); disp(iter) disp('TENSIONES NODALES'); for d=1:1:n; fprintf('\n TENSIÓN EN EL NODO %d:',d) disp (abs(V(d))) disp (angle(V(d))) end if (abs(VM(p)-V(p))<emax); %INTERRUPTOR DE TOLERANCIA% e=0; end if (iter>500) %INTERRUPTOR DE ITERACIONES MAXIMAS% e=0; fprintf('\n NO CONVERGE EN LA ITERACION: %d',iter); end end if e==0; v1=conj(V)

%FLUJOS DE POTENCIA% for k=1:1:n; tot=0; for g=1:1:n; v2=(v1(g))-(v1(k)); b(g,k)=(V(k))*(conj(y(g,k)))*v2; if b(g,k)>0 fprintf('\nPOTENCIA ENVIADA POR EL NODO: %d AL NODO:

%d',k,g) disp(b(g,k)) end if b(g,k)<0 fprintf('\nPOTENCIA RECIBIDA EN EL NODO: %d DEL NODO:

%d',k,g) disp(b(g,k)) end tot=tot+b(g,k); end s1(k)=tot; fprintf('\nPOTENCIA TOTAL DEL NODO %d:----------------------------

\n\n',k) disp(real(s1(k))) disp(imag(s1(k))); end %IMPEDANCIAS ARMONICAS MODELOS% fprintf('\nSELECCIÓN DEL MODELOS\n') disp('MODELO 1 PARALELO Y EFECTO PIEL'); disp('MODELO 2 MOTOR DE INDUCCIÓN'); disp('MODELO 3 MOTOR GENERAL');


APENDICE A. 85

disp('MODELO 4 TRANSFORMADOR DE CARGA Y AMORTIGUACIÓN MOTORA'); disp('MODELO 5 CIGRE/EDF SERIE - PARALELO'); disp('MODELO 6 CIGRE/EDF PARALELO - SERIE'); for d=3:1:n; fprintf('\nSELECCIÓN DEL MODELO DE CARGA PARA EL NODO %d',d) mo1(d)=input('\nMODELO No. '); end for h=1:1:30; ybus01; %VALORES ARMONICOS DE LINEAS% y3=y2; h1(h)=h; for t=3:1:n; s2=s1(t); v2=V(t); f=60; %FRECUENCIA FUNDAMENTAL% mod=mo1(t); switch mod; case 1, r10=(v2^2)/(real(s2)); x10(h)=((h*(v2^2)/(imag(s2)))); y1(h)=(r10^-1)+(x10(h)^-1); z1(h)=(y1(h)^-1); case 2, k21=0.8; %FACTOR DE CARGA 0.8-0.6% k22=1.2; %FACTOR DE INSTALACIÓN 1.2% k23=0.15; %FACTOR POR ROTOR BLOQUEADO (0.25-0.15)% r21(h)=(v2^2)/(real(s2)*(1-k21)); x22(h)=(1i*k23*h*(v2^2)/(k21*k22*real(s2))); y1(h)=(r21(h)^-1)+(x22(h)-1); z1(h)=(y1(h)^-1); case 3, k30=0.8; %FACTOR DE CARGA 0.8 INDUSTRIA Y 0.15 DOMESTICO% k31=7; %FACTOR DE ARRANQUE DE MAQUINAS ROTATORIAS 4-7% k32=0.2; %FACTOR POR ROTOR BLOQUEADO (0.25-0.15)% r30(h)=(v2^2)/(real(s2)*(1-k30)); l31(h)=h*(v2^2)/(1.2*k30*k31*real(s2)); x30(h)=(1i*l31(h)); r31(h)=(l31(h)/(2*pi*60*k32)); y1(h)=(r30(h)^-1)+(r31(h)^-1)+(x30(h)^-1); z1(h)=(y1(h)^-1); case 4, k40=0.8; %FACTOR DE CARGA (<100%) (0.8-0.6)% k41=7; %FACTOR DE INSTALACIÓN 1.2% k42=.20; %FACTOR POR ROTOR BLOQUEADO (0.25-0.15)% k43=8; %FACTOR EFECTIVO DEL CIRCUITO MOTOR (aprox 8)% r41(h)=((v2^2)/((1-k40)*real(s2))); x41(h)=(1i*h*0.1*r41(h)); x42(h)=1i*h*k42*(v2^2)/(k40*k41*real(s2)); r42(h)=(x42(h)/(k43*h*1i)); y1(h)=((r41(h)+x41(h))^-1)+((r42(h)+x42(h))^-1); z1(h)=(y1(h)^-1); case 5, r50(h)=(v2^2)/(real(s2)); x51(h)=1i*h*(r50(h))/(6.7*(imag(s2)/real(s2))-0.74); x52(h)=1i*h*0.073*r50(h); y1(h)=(((r50(h)+x52(h))^-1)+(x51(h)^-1)); z1(h)=(y1(h)^-1);


86 APENDICE A.

case 6, r60(h)=(v2^2)/(real(s2)); x61(h)=1i*h*(r60(h))/(6.7*((imag(s2)/real(s2))-0.74)); x62(h)=1i*h*0.073*r60(h); y1(h)=((((r60(h)^-1)+(x61(h)^-1))^-1)+(x62(h)^-1))^-1; z1(h)=(y1(h)^-1); otherwise, disp('\nMODELO NO VALIDO');pause;close; end y3(t,t)=y3(t,t)+y1(h); end z3=(y3^-1); q1(h)=z3(1,1);q15(h)=z3(1,5); q2(h)=z3(2,2);q25(h)=z3(2,5); q3(h)=z3(3,3);q35(h)=z3(3,5); q4(h)=z3(4,4);q45(h)=z3(4,5); q5(h)=z3(5,5); end %FUENTE ARMONICA% ih=((0.40)/(sqrt(3)*V(5)))*exp(1i*(angle(V(5))+(pi/2))); for d=2:1:30 ik(d)=1.2738*d^(-2.00495)*ih; %ECUACIÓN

OBTENIDA MEDIANTE AJUSTE DE CURVAS DE CORRIENTE ARMONICA THD% end for h=2:1:30; fprintf('\nTENSIÓNES NODALES [P.U.] DEL ARMÓNICO %d \n',h); v31(h)=q15(h)*ik(h);disp('NODO

1');disp(abs(v31(h)));disp(angle(v31(h))); v32(h)=q25(h)*ik(h);disp('NODO




5');disp(abs(v35(h)));disp(angle(v35(h))); end end clear variables clear all


APENDICE B. 87

APENDICE B.

1.- COMPROBACIÓN DE POTENCIA NODAL.

Tabla No. 9.- Estado de Flujos de potencia sin inyecciones armónicas.

DIRECCIÓN DE POTENCIA

POTENCIA DE ENVÍO

POTENCIA DE RECEPCIÓN

1 2 1.0110 + 0.5554i -0.9868 - 0.4829i

1 3 0.5159 + 0.1849i -0.4938 - 0.1191i

2 3 0.3384 + 0.0441i -0.3314 - 0.0231i

2 4 0.4030 + 0.0380i -0.3931 - 0.0084i

2 5 0.5455 - 0.0588i -0.5334 + 0.0950i

3 4 0.3754 - 0.0578i -0.3739 + 0.0624i

4 5 -0.0331 - 0.0540i 0.0334 + 0.0550i

La potencia presente en el nodo 1 se calcula únicamente con la sumatoria de

las potencias de envío, ya que se trata de un nodo compensador de tensión

regulada.

La potencia total por nodo se calcula, comparando potencia de recepción

menos potencia de envió, debido a que cada nodo se comporta diferente al

interactuar unos con otros, la dirección de la potencia es referente a cada nodo, ya

que la potencia cambia con el sentido por la potencia de pérdidas existentes en las

líneas de transmisión.

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]


88 APENDICE B.

[ ] [ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ] [ ]

[ ]

2.- EVALUACIÓN DEL ERROR PORCENTUAL DE CÁLCULO DE POTENCIA

POR EL MÉTODO APLICADO PARA EL NODO COMPENSADOR DE

VOLTAJE REGULADO.

Calculo del error porcentual del método empleado para calcular el valor de la

potencia del nodo de compensación, con el fin de dar un margen general de error

que valide la efectividad del sistema de solución.

∑


BIBLIOGRAFIA. 89

BIBLIOGRAFIA

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HARMONICS”, PRIMERA EDICIÓN, JOHN WILEY & SONS, pp. 45-54.

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SEGUNDA EDICIÓN, JOHN WILEY & SONS.

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THE NETWORK”, ELECTRA N°77, JUILLET, pp. 35-54.

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LARGE LOAD AREAS FOR HARMONIC STUDIES IN DISTRIBUTION

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[8] WAKILEH GEORGE J., (2001), “POWER SYSTEM HARMONICS,

FUNDAMENTALS ANALYSIS AND FILTER DESIGN” SPRINGER.


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SISTEMAS DE POTENCIA”, MC. GRAW HILL PRIMERA EDICIÓN TRADUCIDA

AL ESPAÑOL, pp. 309-315.

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