INSTITUTO FEDERAL DA BAHIA

Departamento de Processos Industriais e Engenharia Química Curso de Engenharia Química

Velocidade Terminal, v. 1.4. Revisão novembro de 2016 Página 1

Disciplina: Laboratório de Engenharia Química I

Período: 2016.2 rev. 1.4

ESTUDO DA VELOCIDADE TERMINAL DE CORPOS EM ESCOAMENTO

DESCENDENTE

1. Objetivo

Determinar o coeficiente de arrasto (CD) para corpos não esféricos e a viscosidade de um

fluido através do escoamento descendente de corpos aproximadamente esféricos.

2. Fundamentação Teórica

Em muitos temas de mecânica dos fluidos, o fluido move-se sobre um corpo estacionário,

outras vezes, um corpo move-se através de um fluido estacionário. Estes dois fenômenos,

embora distintos, são equivalentes na análise da mecânica dos fluidos, pois o que importa é

o movimento relativo entre o fluido e o corpo. Tais fenômenos onde se estuda o movimento

de um corpo em um fluido estacionário são chamados de “Escoamentos sobre Corpos ou

Escoamentos Externos”.

2.1 Aspectos teóricos relacionados ao experimento

Quando um corpo é mergulhado dentro de um líquido e sobre ação de seu peso se desloca

verticalmente para baixo, três forças principais agem no mesmo: a força peso (W)

direcionada para baixo, a força de empuxo (E) direcionada para cima e a força de arrasto

(FD) que aponta no sentido contrário ao movimento do corpo. O equacionamento do

problema ocorrerá da seguinte forma:

𝑾 − 𝑬 − 𝑭𝑫 = 𝒎𝒂 (𝟏)

Quando o equilíbrio de forças se estabelece, diz-se que o sistema atingiu seu estado

estacionário e o corpo está em descida à velocidade constante, a velocidade terminal (Vt).

No experimento que será realizado, a velocidade terminal, o diâmetro e a massa específica

do corpo, entre outras propriedades, serão empregados para estimar a viscosidade do fluido

no qual ocorre o escoamento.

2.2 Arrasto e sustentação

Um fluido pode exercer forças e momentos sobre um corpo em várias direções. Quando em

repouso, um fluido exerce somente forças de pressão normais à superfície de um corpo

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imerso nele. No entanto, um fluido em movimento também exerce forças tangenciais de

cisalhamento na superfície por causa de efeitos viscosos. Por exemplo, quando você

estende o braço para fora de um carro em movimento, você experimenta uma espécie de

“empurrão” exercido pelo vento em seu braço e que resulta da ação de uma força.

A força que resulta da ação de um fluido sobre um corpo na direção do escoamento é

chamada de Arrasto. Esta força deve-se aos efeitos combinados da pressão e das forças de

cisalhamento na superfície do corpo (atrito), na direção do escoamento do fluido. Quando as

componentes de pressão e as forças de cisalhamento numa superfície agem na direção

normal ao escoamento do fluido, a força resultante recebe o nome de sustentação.

2.3 Coeficiente de Arrasto

As forças de arrasto e sustentação dependem, entre outros parâmetros, da massa

específica do fluido, da velocidade à montante V do corpo e do tamanho, forma e orientação

do corpo. Um procedimento prático para estimar estas forças é trabalhar com números

adimensionais apropriados que representam suas características. No caso da força de

arrasto, este número é o Coeficiente de Arrasto CD, o qual é definido abaixo:

𝐶𝐷 = 𝐹𝐷

12 𝜌𝑉²𝐴

(𝟐)

onde A é a área frontal do corpo (a área projetada sobre um plano normal à direção do

escoamento).

No estudo dos fatores que caracterizam o arrasto sobre os corpos é comum uma análise

separada das contribuições referentes ao atrito e à pressão. O arrasto de atrito é a

componente da força de cisalhamento da superfície do corpo na direção do escoamento,

portanto, depende da orientação do corpo, bem como da intensidade da tensão de

cisalhamento na superfície. O arrasto de atrito é zero para uma superfície plana normal ao

escoamento, e máximo para uma superfície plana paralela ao escoamento do fluido.

O arrasto de pressão é proporcional à área frontal e à diferença entre as pressões que agem

na frente e atrás do corpo imerso. Desta forma, o arrasto de pressão é dominante para

corpos rombudos, e pequeno para corpos carenados. O arrasto de pressão torna-se mais

significativo quando a velocidade do fluido é muito alta para o fluido seguir a curvatura do

corpo e, portanto, o fluido se separa do corpo em algum ponto e cria uma região de pressão

muito baixa na parte traseira do corpo e o arrasto, neste caso, é devido à grande diferença

de pressão entre os lados frontal e traseiro do corpo.

𝐶𝐷 = 𝐶𝐷,𝑎𝑡𝑟𝑖𝑡𝑜 + 𝐶𝐷,𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜 ⇒ 𝐹𝐷 = 𝐹𝐷,𝑎𝑡𝑟𝑖𝑡𝑜 + 𝐹𝐷,𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜 (𝟑)

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A natureza do escoamento afeta significativamente o Coeficiente de Arrasto total. O

coeficiente de arrasto (CD), em geral, depende do Número de Reynolds (Re), especialmente

para Re < 104. Com Re mais elevados, CD permanece essencialmente constante para a

maioria das geometrias, visto que o escoamento torna-se totalmente turbulento. No entanto,

esse não é o caso para corpos arredondados (rombudos), como cilindros e esferas.

O coeficiente de arrasto exibe um comportamento diferente nas regiões de Re baixo (Re ≤

1; escoamento lento), moderado (1 < Re ≤ 2 x 105; laminar) e alto (Re ≥ 2 x 105; turbulento).

Para cilindros e esferas, Re crítico fica em torno de 2 x 105. Para corpos com área frontal de

escoamento circular, tem-se:

𝐹𝐷 = 𝐶𝐷𝐴𝜌𝑉²

2= 𝐶𝐷

𝜋𝐷²

4

𝜌𝑉²

2= 𝐶𝐷

𝜋𝐷²

8𝜌𝑉² (𝟒)

A rugosidade da superfície, em geral, aumenta o coeficiente de Arrasto no escoamento

turbulento; esse é o caso de corpos carenados. No entanto, em corpos rombudos, um

aumento na rugosidade da superfície pode na realidade diminuir o coeficiente de Arrasto,

pois nestes corpos é induzida uma turbulência na camada limite para um Número de

Reynolds menor, fazendo o fluido fechar atrás do corpo, estreitando a esteira e reduzindo

consideravelmente o arrasto de pressão. Isso resulta em um CD muito menor e, portanto,

uma força de arrasto muito menor em certo intervalo do número de Reynolds, se comparado

com outros de superfície lisa e tamanho idêntico na mesma velocidade.

2.5 Correlações da fluidodinâmica de uma partícula isolada

Na literatura estão disponíveis algumas correlações baseadas no estudo do movimento de

uma partícula isolada (esférica ou isométrica) em um fluido Newtoniano. Tais correlações

podem ser utilizadas, por exemplo, para determinar a velocidade terminal da partícula

(conhecendo-se o diâmetro) e o coeficiente de arrasto total através do cálculo do número de

Reynolds.

O diâmetro utilizado nas correlações é dito diâmetro de Stokes (dSt), pois todos os cálculos

são realizados adotando-se regime de Stokes (Re < 0,5 e partícula em movimento uniforme)

(MASSARANI, 2002). Para corpos aproximadamente esféricos, o dSt é o próprio diâmetro

da partícula. Para corpos isométricos (poliedros regulares) ou de formato pouco uniforme,

em que não é possível determinar o diâmetro, relações envolvendo a esfericidade dos

mesmos são utilizadas para readequar as equações. A esfericidade é definida como a razão

entre a superfície da esfera com o mesmo volume que a partícula e a superfície desta

última:

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𝜙 = 𝜋𝐷𝑝²

𝑆𝑝 (𝟓)

no qual Sp é a área de superfície da partícula e Dp o diâmetro da esfera de mesmo volume

que a partícula:

𝐷𝑝 = (6

𝜋𝑉𝑝)

1/3

(𝟔)

em que Vp é o volume da partícula.

As correlações para a partícula esférica isolada são:

Correlação n Valor médio e Desvpad

𝐶𝐷 = [(24

𝑅𝑒)

𝑛

+ 0,43𝑛]

1/𝑛

0,63 (𝐶𝐷)𝑒𝑥𝑝

(𝐶𝐷)𝑐𝑜𝑟= 1,00 ± 0,09

𝑅𝑒 = [(𝐶𝐷𝑅𝑒²

24)

−𝑛

+ (𝐶𝐷𝑅𝑒²

0,43)

−𝑛2

]

−1/𝑛

0,95 (𝑅𝑒)𝑒𝑥𝑝

(𝑅𝑒)𝑐𝑜𝑟= 1,00 ± 0,06

Fonte: MASSARANI (2002)

Para a partícula isométrica:

Correlação n Valor médio e Desvpad

𝐶𝐷 = [(24

𝐾1𝑅𝑒)

𝑛

+ 𝐾2𝑛]

1/𝑛

0,85 (𝐶𝐷)𝑒𝑥𝑝

(𝐶𝐷)𝑐𝑜𝑟= 1,00 ± 0,13

𝑅𝑒 = [(𝐾1𝐶𝐷𝑅𝑒²

24)

−𝑛

+ (𝐶𝐷𝑅𝑒²

𝐾2)

−𝑛2

]

−1/𝑛

1,2 (𝑅𝑒)𝑒𝑥𝑝

(𝑅𝑒)𝑐𝑜𝑟= 1,00 ± 0,10

Fonte: MASSARANI (2002)

Em que:

𝑅𝑒 = 𝐷𝑝𝑉𝑡𝜌𝑓

𝜇 (𝟕) 𝐶𝐷𝑅𝑒² =

4

3

𝜌𝑓(𝜌𝑠 − 𝜌𝑓)𝑔𝐷𝑝³

𝜇² (𝟖)

𝐾1 = 0,843 log (𝜙

0,065) (𝟗) 𝐾2 = 5,31 − 4,88𝜙 (𝟏𝟎)

Tais correlações são recomendadas apenas para os intervalos: 0,65<ϕ<1, e Re<50.000.

3. Materiais

- 01 paquímetro; - 01 termômetro; - 01 cronômetro; - 02 provetas de 1 L; - 1 balança

analítica; - 1 L de detergente; - Corpos esféricos (de preferência material plástico);

- Corpos de formato não-esférico (cone e/ou hemiesfera).

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4. Procedimento Experimental

a. Medir as dimensões de cada corpo com um

paquímetro, registrando os valores encontrados.

Determinar o volume dos corpos a serem estudados;

b. Pesar os corpos a serem testados em balança para

registro de sua massa e estimativa de sua massa

específica;

c. Adicionar aproximadamente 1 L de detergente dentro

de uma proveta;

d. Mergulhar um corpo de cada vez, de forma cuidadosa para que o mesmo penetre no

fluido com a menor velocidade possível e sem turbulência conforme figura 1;

e. Registrar por meio de um cronômetro, o tempo necessário para que o corpo percorra o

espaço compreendido entre as marcas sinalizadas na proveta;

f. Repetir o experimento mais 2 vezes. Para isso, transfira o detergente da proveta para

outra vazia. Recupere os corpos, lavando-os em seguida. Repita o procedimento a partir do

passo d.

g. De posse dos dados obtidos, determinar o coeficiente de descarga para cada corpo

testado e/ou a viscosidade do fluido. Comparar os resultados com dados da literatura.

5. Questionário

a. Qual seria a implicação em utilizar uma esfera de aço maciço ao invés de uma plástica,

para a análise da velocidade terminal? E se o detergente fosse substituído por um fluido

não-Newtoniano?

b. É prudente adotar regime de Stokes para o movimento dos corpos testados em

detergente? Ainda, o espaço percorrido considerado é suficiente para estabelecimento de

velocidade constante? Prove por meio gráfico e de cálculos em função dos dados obtidos

experimentalmente (comparar a solução analítica da função v(t) da partícula a partir da

equação diferencial com os dados obtidos experimentalmente e utilizando as correlações de

Stokes. Consultar MASSARANI (2002).

c. Como você determinaria a viscosidade do detergente? Qual corpo seria o mais indicado

para uso? Compare o valor obtido com o disponível para consulta (segundo FISPQ, 0,255

Pa.s para o Detergente Neutro Ypê). Discuta possíveis desvios.

d. Comparando-se os valores de coeficiente de arrasto dos objetos obtidos pelas equações

1 e 4 e pelas correlações adotando regime de Stokes, com os disponíveis na literatura

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(consultar obras de YOUNG et al. (2004), ÇENGEL e CIMBALA (2007) e Handbooks de

engenharia), o que você pode concluir? Foram semelhantes? Se não, quais fatores você

supõe terem influenciado nos cálculos e que não foram considerados?

6. Bibliografia

ÇENGEL, Y. A. e CIMBALA, J. M. Mecânica dos Fluidos. 1ª. Edição. McGraw Hill -

Artmed, 2007;

YOUNG, DONALD F., MUNSON, BRUCE R. E OKIISHI, Fundamentos da Mecânica

dos Fluidos. Tradução da 4ª edição norte-americana. Edgard Blucher, 2004;

MASSARANI, Giulio. Fluidodinâmica em Sistemas Particulados. 2ª Edição. Rio de

Janeiro: E-papers Serviços Editoriais, 2002.

Histórico de revisões/atualizações deste roteiro:

Versão 1.1 - Prof. Édler Lins de Albuquerque em 2013.2

Versão 1.2 - Discente Júlio César Lima Lira em 2014.1

Versão 1.3 - Prof. Édler Lins de Albuquerque em 2015.1

Versão 1.4 - Discente Felipe de O. Mascarenhas em 2016.1