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Indutância
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• Como vimos, um capacitor pode ser utilizado para produzir um campo elétrico
com as propriedades desejadas. O tipo mais simples de capacitor é o capacitor de
placas paralelas.
• Analogamente, um indutor pode ser utilizado para produzir um campo
magnético com as propriedades desejadas. O tipo mais simples de indutor é o
solenóide longo (ou, mais exatamente, a parte central de um solenóide longo).
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Unidade SI de indutância: henry (H), em homenagem ao físico americano Joseph
Henry.
Simbologia de indutor:
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Definição de indutância – L – de um indutor: se as N espiras do solenóide que estamos
utilizando como indutor conduzem uma corrente i, a corrente produz um fluxo
magnético na região central do indutor. A indutância – L – de um indutor é
definida como:
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Indutância de um solenóide
Considere um solenóide longo de área de seção reta A e percorrido por uma corrente i.
Qual é a indutância por unidade de comprimento perto do centro do solenóide?
Consideraremos aqui um “solenóide ideal”: campo magnético uniforme no interior do
solenóide e nulo fora dele.
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já que, como vimos, o campo magnético no interior de um solenóide ideal percorrido
por uma corrente I é dado por:
com n especificando o número de espiras por unidade de comprimento. Assim, a
indutância será:
Por fim:
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Indutores e força eletromotriz
Uma força eletromotriz εL induzida aparece em todo indutor cuja corrente está
variando. Da definição de indutância, temos que:
Da lei de Faraday:
Portanto, a fem auto-induzida em um indutor submetido a uma corrente variável é
dada por:
O sinal negativo decorre da lei de Lenz; ele mostra que a fem auto-induzida em
um circuito se opõe a qualquer variação de corrente que ocorra no circuito. 6
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Circuitos RL (Resistor + Indutor)
Consideremos a chave S é fechada na posição a em t=0. Aplicando a lei das malhas,
temos que:
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constante de tempo
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Diminuição da corrente em um circuito RL
Se a chave S é mantida na posição a por um tempo suficiente para que a corrente atinja
o valor de saturação e depois é deslocada para a posição b, o efeito é remover a fonte do
circuito.
Nesse caso, teremos que:
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Energia armazenada no campo magnético do indutor
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Densidade de Energia de um campo magnético
Considere um segmento de comprimento l perto do centro de um solenóide longo de
seção reta A percorrido por uma corrente i; o volume do segmento é Al.
Para um solenóide ideal, deduzimos que:
Portanto:
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De uma forma geral, se o material existente dentro do solenóide não é o vácuo, porém
um material com permeabilidade magnética constante , então
Embora tenhamos deduzido a expressão para a densidade de energia de um
campo magnético para a situação especial de um solenóide ideal, é possível
mostrar que ela é a expressão correta para qualquer configuração de campo
magnético com permeabilidade magnética constante.
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Indutância mútua
Consideremos o caso de duas bobinas próximas: uma corrente i em uma das bobinas faz
com que um fluxo magnético atravesse a outra. Se a corrente i varia com o tempo, uma
força eletromotriz dada pela lei de Faraday aparece na segunda bobina
O processo é conhecido pela expressão indução mútua, para ressaltar o fato de que o processo
envolve a interação de duas bobinas e distingui-lo do processo de auto-indução, que envolve
apenas uma bobina. 17
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Lei de Faraday:
Portanto, a fem induzida na bobina 2 depende do fluxo magnético sobre ela. O fluxo
magnético depende do campo magnético gerado pela bobina 1, que por sua vez,
depende da corrente percorrendo a bobina 1. Assim:
Introduzimos a grandeza M, chamada de indutância mútua:
Assim:
Conduzindo-nos ao seguinte resultado: Um raciocínio equivalente para a fem
induzida na bobina 1 nos leva a:
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Oscilações em circuitos LC (Indutor + Capacitor)
Seja um circuito composto por um indutor ligado em série com um capacitor:
A energia total do circuito, parte armazenada no campo elétrico do capacitor (UE) e
parte no campo magnético do indutor ( UB ), é dada por:
A taxa de variação da energia total com o tempo é então
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Considerando que não há perdas de energia (desprezando qualquer resistência dos
fios), teremos que:
Mas:
Então:
Solução típica para a equação diferencial anterior:
Oscilações de carga e corrente.
(Q: carga máxima no capacitor.) 20
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Portanto, substituindo a solução na equação diferencial, concluímos que:
Energia no capacitor:
Energia no indutor:
Energia total:
A frequência de oscilação angular será então dada por:
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com f sendo a frequência e T o período de oscilação.
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Estágios de um circuito LC:
t = 0
t = T/4
t = T/2
Considerando que em t = 0 a
carga é máxima, = 0. 22
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t = T/2
t = 3T/4
t = T
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Para a análise procedida neste e nos
últimos dois slides, em t = 0 a carga é
máxima. Assim, = 0.
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Oscilações amortecidas em circuitos RLC (Resistor + Indutor + Capacitor)
Seja um circuito composto por um indutor ligado em série com um capacitor e um
resistor:
Neste caso, a taxa de variação da energia total é igual à energia dissipada no resistor:
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Solução da equação acima:
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com
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Sistema superamortecido:
Neste caso, q passa a ser
uma função dada pela
soma de duas exponenciais
decrescentes com o tempo,
não havendo oscilação.
Amortecimento crítico: o
sistema deixa de oscilar
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Corrente alternada
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Corrente alternada
• Durante a década de 1880, ocorreu um caloroso debate nos EUA sobre qual
deveria ser o melhor método para a distribuição da energia elétrica.
Uma corrente alternada pode ser gerada a partir de uma força eletromotriz também
alternada, comumente escrita como:
• Thomas Edson defendia que a melhor solução seria utilizar a corrente contínua
(cc), ou seja, a corrente cujo sentido não varia com o tempo. George
Westinghouse afirmava que o melhor método consistia em utilizar a corrente
alternada (ca), cujo sentido varia continuamente (via uma função senoidal, por
exemplo).
• Principalmente por reduzir as perdas durante a transmissão de eletricidade, assim
como a versatilidade de converter voltagens a partir de transformadores (que
estudaremos na sequência), as ideias de Westinghouse prevaleceram.
: amplitude da força eletromotriz (o índice m significa “máxima”).
: frequência angular de oscilação da força eletromotriz. 29
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Um exemplo de gerador de corrente alternada é exposto na figura a seguir:
Uma espira condutora é forçada a girar com
velocidade angular constante ω na presença de
um campo magnético externo constante B.
Fazendo , temos que:
Símbolo de uma fonte (ou gerador) ca:
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A corrente elétrica associada é comumente escrita como:
: constante de fase, introduzida porque a corrente i pode não estar em fase com
a força eletromotriz (como veremos).
: amplitude da corrente.
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Três circuitos simples
1. Resistor + fonte ca
A amplitude da força motriz será igual à amplitude da tensão no resistor, que,
aqui, escreveremos como VR . Assim:
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Além disso, as amplitudes de tensão e corrente no resistor estão vinculados
pela expressão:
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Portanto, a tensão e corrente no resistor estão em fase, ou seja, passam ao
mesmo tempo pelos máximos e pelos mínimos. Ou seja, .
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Notação de Fasores
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2. Capacitor + fonte ca
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Reatância Capacitiva
Via identidade trigonométrica:
Portanto:
Ou seja, neste caso, a tensão e corrente no capacitor estão defasadas,
com . Dizemos que a corrente está adiantada em relação à
tensão. 36
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Notação de Fasores:
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3. Indutor + fonte ca
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Reatância Indutiva
Via identidade trigonométrica:
Portanto:
Ou seja, neste caso, a tensão e corrente no indutor estão defasadas,
com . Dizemos que a corrente está atrasada em relação à
tensão. 39
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Notação de Fasores:
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Circuito RLC em série
A fonte de fem ca é descrita por:
Como R, L e C estão em série, a mesma corrente i atravessa os três
componentes:
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Fasores – circuito RLC em série:
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Impedância 43
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Frequência de Ressonância:
A frequência de ressonância é aquela que maximiza a amplitude de corrente
para uma dada resistência R. Temos que:
Portanto, a amplitude de corrente será maximizada se
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Constante de fase
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Potência em circuitos de corrente alternada
Potência média:
valor médio quadrático (“root mean square”)
Quando ligamos um voltímetro de corrente alternada a uma tomada de parede e
obtemos um valor de 220 V, essa é a tensão rms. Nesse caso, o valor máximo da
diferença de potencial é .
Os instrumentos utilizados em circuitos de
corrente alternada, como amperímetros e
voltímetros, são quase sempre calibrados para
indicar valores de tensão e corrente rms.
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: fator de potência
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Transformadores
Exemplo: Considere a linha de 735 kV utilizada para transmitir energia
elétrica da usina hidrelétrica La Grande 2, em Quebec, para a cidade de
Montreal, situada a 1000 km de distância. Suponha que a corrente é 500 A
(rms) e o fator de potência é próximo da unidade. Nesse caso, a potência
elétrica fornecida pela usina é:
A resistência da linha de transmissão é da ordem de 0,220 /km; assim, a
resistência total para o percurso de 1000 km é 220 . A potência dissipada
na linha devido a essa resistência é:
que corresponde a 15% da potência fornecida.
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Suponha agora que a usina forneça a mesma potência, porém, a partir de
uma corrente de 1000 A e 367,5 kV (ou seja, o dobro da corrente e metade
da diferença de potencial). Nesse caso, a potência dissipada pela resistência
dos fios será:
que corresponde a 60% da potência fornecida (368 MW).
Portanto, na transmissão de energia elétrica, é interessante manter a
diferença de potencial (tensão) no mais alto valor possível,
reduzindo a corrente ao menor valor possível. Assim, reduz-se a
dissipação devido à resistência.
É comum a necessidade de um dispositivo que seja capaz de aumentar (para
a transmissão) e diminuir (para o consumo) os valores de tensão, mantendo
o produto tensão x corrente praticamente constante. Esse dispositivo é o
transformador. 48
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Transformador – representação esquemática:
Componentes básicos de um transformador: duas bobinas ou enrolamentos e
o núcleo, geralmente feito de ferro. O primário é o enrolamento conectado
com a fonte de tensão; o secundário é o enrolamento cujos terminais
fornecem a tensão transformada.
Enrolamento primário
Enrolamento secundário
Np espiras
Ns espiras
Núcleo
O núcleo faz com que as
linhas de campo magnético
fiquem confinadas e que
atravessem os enrolamentos,
maximizando a indutância
mútua.
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Da lei de indução de Faraday:
Então, com os fluxos através das bobinas sendo os mesmos, temos que:
Considerando um transformador ideal, não havendo perdas por dissipação
de resistências, cada força eletromotriz é igual à voltagem através do
primário e do secundário. Portanto:
voltagens nos terminais dos enrolamentos
primário (p) e secundário (s)
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Pela conservação de energia, desprezando perdas, teremos ainda que:
Então:
Mas:
Assim:
Portanto:
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Equações de Maxwell
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Até aqui, vimos duas equações envolvendo o fluxo através de superfícies
fechadas:
1. Lei de Gauss para campos elétricos:
2. Lei de Gauss para campos magnéticos:
Ausência de monopolos magnéticos 53
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Ou seja, a lei de Faraday afirma que a variação do fluxo magnético dá origem a um
campo elétrico.
E duas equações envolvendo integrais de linha fechadas:
1. Lei de Ampère:
2. Lei de Faraday:
Será que a indução pode ocorrer no sentido oposto? Um fluxo
elétrico variável pode induzir um campo magnético? 54
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A resposta é afirmativa. Trata-se da lei de indução de Maxwell, em homenagem ao
cientista inglês James Clerk Maxwell:
Podemos, portanto, escrever a lei de Ampère – Maxwell:
Quando existe uma corrente e o fluxo elétrico não está variando – como no caso
de um fio percorrido por uma corrente constante – o segundo termo do lado
direito da equação anterior é zero e, portanto, ela se reduz à lei de Ampère.
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Exemplo: Um capacitor de placas paralelas circulares de raio R está sendo carregado.
(a) Escreva uma expressão para o campo magnético na região entre as placas, a uma
distância r do eixo central e que seja válida para r < R.
• Na região entre as placas, a corrente Iinte = Ic que aparece na lei de Ampère
– Maxwell é igual a zero. Assim, teremos que: 56
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(b) Escreva uma expressão para o campo magnético induzido no caso em que r > R.
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Corrente de condução Ic e corrente de deslocamento Id
A lei de Ampère – Maxwell pode ser reescrita da seguinte maneira:
Da maneira como é definida, a corrente de deslocamento não necessita de um meio
físico para se propagar, como ocorre com a corrente de condução.
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Voltando ao exemplo anterior do capacitor placas paralelas circulares de raio R, a
corrente de condução no fio pode ser escrita da seguinte maneira:
já que, como já vimos, na região entre as placas do capacitor, temos que:
módulo do campo elétrico na região entre as placas de um
capacitor de placas paralelas de área A e carga q. 60
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A corrente de deslocamento, por sua vez, será:
Pensando na continuidade da corrente, escrevemos que:
tal que:
Assim, para r < R, teremos que:
Para r > R:
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Equações de Maxwell:
1. Lei de Gauss para campos elétricos:
2. Lei de Gauss para campos magnéticos:
3. Lei de Faraday:
4. Lei de Ampère – Maxwell:
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