Índices de Miller - Planos• Os índices de Miller (hkl) definem a orientação de um plano de átomos

na célula unitária.• Os índices de Miller são definidos pela intersecção desse plano com os

eixos do sistema de coordenadas da célula.• Exemplo: Para uma célula cúbica de parâmetro de rede “a”, o plano que

intercepta os três eixos nos vértices da célula (x=y=z=a) terá os índices (111).

Índices de Miller - Planos• Se um plano for paralelo a um dos eixos, nunca o poderá

interceptar, pelo que se conta como infinito (∞) e o correspondente índice de Miller será zero (0).

• Para um plano que intersecte os eixos x e y mas seja paralelo a z, o índice de Miller respectivo será (110).

Índices de Miller - Planos• Se um plano intersectar os eixos numa fracção do parâmetro de rede, o

correspondente índice de Miller será o seu inverso.• Exemplo: Para um plano que intersecte o eixo x em 1/2a, o eixo y em a

e seja paralelo a z, o índice de Miller correspondente será (210)

Índices de Miller - Planos• Os índices de Miller são sempre números inteiros. • Se um plano interceptar os eixos numa fracção do parâmetro de rede,

mas o seu inverso não for um número inteiro, como por exemplo 3/2 ou 4/3, há que reduzir todos os índices ao menor inteiro.

• Exemplo: (3/2 4/3 1) (3/2 4/3 1) x 2 = (3 8/3 2) (3 8/3 2) x 3= (986)

Índices de Miller - Planos• Se um plano interseptar os eixos no lado negativo os

índices de Miller são contabilizados como negativos e terão um sinal menos sobre o índice negativo.

• Para um plano paralelo a x e que intersecte o eixo y em –a e z em 1/2a, o índice de Miller respectivo será (012)

Índices de Miller - Planos• Se um plano passar na origem (0,0,0), deve

escolher-se uma nova origem noutro vértice da célula (vértice da célula adjacente). Neste caso o plano intersectará os eixos em 1 ou -1.

Índices de Miller - Planos• Regras para determinar os índices de Miller de um plano:

• Não se tomam planos que passem na origem, pelo que há que escolher uma origem fora do plano em causa.

• Toma-se as posições dos pontos em que o plano intersecta os eixos x, y, z.

• Determina-se o inverso.• Reduz-se tudo ao mesmo denominador.• Coloca-se entre parentesis curvos, colocando barras sobre

os índices negativos.

(hkl)

Índices de Miller - Planos

• Em sistemas não cúbicos, os índices são determinados do mesmo modo, independentemente dos ângulos dos eixos e dos parâmetros de rede a, b, c.

Índices de Miller - Planos

• No sistema hexagonal introduz-se mais um eixo no plano da base devido à simetria do sistema hexagonal.

a3=-(a1+a2)

• Introduz-se um quarto índice: i=-(h+k)

(hkil)

Índices de Direcções• Regras para determinar os índices de uma

direcção:

• As direcções passam na origem.• Toma-se o comprimento do vector em termos de a,

b, c.• Reduz-se aos maiores números inteiros.• Coloca-se entre parentesis rectos, colocando

barras sobre os índices negativos.

[hkl]

Índices de Miller• Devido à natureza periódica das estruturas cristalinas, os planos de

átomos podem ser identificados em diferentes direcções na rede cristalina.

• Estes planos contêm diferentes arranjos dos átomos, o que se traduz por diferentes densidades planares.

• Cada estrutura cristalina apresenta diferentes planos em diferentes direcções, característicos dessa estrutura.

• A descrição desses planos característicos, pode ser usada como meio alternativo de especificar uma dada estrutura.

Determinação da estrutura

• A 2D, podemos identificar famílias de planos com diferentes direcções.

• Cada família de planos está separada por um espaçamento “d” específico.

Determinação da estrutura

• Para uma dada estrutura, a especificação do espaçamento “d” permite identificar um plano específico, pelo que cada estrutura tem uma colecção característica de espaçamentos “d”.

• A medição dos valores de “d” de uma estrutura desconhecida, permite-nos determinar a sua estrutura.

• Este método está na base da determinação de estruturas por Difracção de Raios X.

Difracção de Raios X - Cristal

Difracção de Raios X - Vidro