ÍNDICE - mauriciocury.comE1tica%20Financeira%20-%20... · 7.2 Sistema de Amortização Constante...

Matemática Financeira

Maurício R. Cury Edição 1 (20/02/04) 1

ÍNDICE 1. INTRODUÇÃO 2 2. JUROS SIMPLES 3 2.1 Conceitos e Cálculos 3 2.2 Desconto Simples 6 2.2.1 Desconto Simples Bancário 6 2.2.2 Desconto Simples Racional 8 3. JUROS COMPOSTOS 9 3.1 Conceitos e Cálculos 9 3.2 Cálculo do montante para período fracionário 13 3.2.1 Convenção Exponencial 13 3.2.2 Convenção Linear 13 3.3 Desconto Composto 14 3.3.1 Desconto Composto Racional, ou ‘Por Dentro’ 15 3.3.2 Desconto Composto Comercial ou Bancário ou ‘Por Fora’ 16 4. TAXA DE JUROS NOMINAL, PROPORCIONAL, EFETIVA E EQUIVALENTE 17 5. EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS 19 5.1 Equivalência de Capitais no Regime de Juros Simples 19 5.2 Equivalência de Capitais no Regime de Juros Compostos 21 6 ANUIDADE OU SÉRIES DE PAGAMENTOS UNIFORM ES 23 6.1 Anuidade com Parcelas Postecipadas 23 6.1.1 Valor Futuro ou Montante 25 6.2 Anuidade com Parcelas Antecipadas 26 6.2.1 Valor Futuro ou Montante 27 6.3 Renda Perpétua 28 7. AMORTIZAÇÕES 30 7.1 Sistema Francês de Amortização – SFA - (Sistema Price) 30 7.1.1 Caso com Período de Carência: 31 7.2 Sistema de Amortização Constante – SAC (Sistema Hamburguês) 33 8. FLUXO DE CAIXA E ANÁLISE DE INVESTIMENTOS 34 8.1 Fluxo de Caixa 35 8.2 Taxa Mínima de Atrativi dade 36 8.3 Método do Valor Presente Líquido (VPL) 37 8.3.1 Método do Valor Presente Líquido para Períodos Diferentes de Investimentos 39 8.3.2 Investimentos Mutuamente Exclusivos 43 8.4 Método da Taxa Interna de Retorno (TIR) 43 8.5 Comparação entre os Métodos da TIR e do VPL 45 8.6 TIR Modificada (TIRM) 49 APÊNDICE A – RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS 54



1. Introdução A Matemática Financeira tem como ponto fundamental o cálculo de valores monetários em diversas datas transportados pela taxa de juros. Os juros são o aluguel ou a remuneração pelo capital emprestado ou aplicado. A partir daí é possível desenvolver várias aplicações tais como cálculo de montante, de desconto de títulos, de financiamentos, aplicações, rendas, análise de investimentos, depreciação e etc. Basicamente existem dois tipos de capitalização: [Capitalização, em Matemática Financeira, é a soma dos juros devidos ao principal, ampliando-se o mesmo e formando o montante] - - Capitalização Simples e Capitalização Composta. A Capitalização Simples (ou Juros Simples), consiste no cálculo de juros de maneira que seu crescimento, ao longo do tempo, ocorre linearmente. Os juros são calculados sobre o Capital Inicial. Na Capitalização Composta (ou Juros Compostos), os juros são calculados sobre o montante do período anterior, que já possui juros capitalizados. O crescimento dos juros, ao longo do tempo, ocorre exponencialmente. Na capitalização composta, portanto, paga-se mais juros que na capitalização simples (considerando mesma taxa de juros e mesmo período), exceto no caso do primeiro período de capitalização onde os juros são iguais. Outro conceito importante é o Período de Capitalização, que é o período no qual os juros são capitalizados ou incorporados ao principal. Exemplo: se o período de capitalização é mensal significa que ao final de cada mês, os juros calculados neste período serão incorporados ao capital. A taxa de juros é o índice que permite calcular os juros. Ela é geralmente expressa em percentual e deve, obrigatoriamente, referenciar o período de capitalização. Exemplos 2,4% ao mês; 4,5% ao bimestre; 9% ao semestre; 13% ao ano. Aqui será estudado os seguintes tópicos: cálculo de capital, juros, períodos, montante e taxa de juros para os regimes de capitalizações simples e composta. Descontos simples e compostos (bancários e racionais). Taxas de juros nominais, proporcionais, efetivos e equivalentes. Equivalência de capitais. Anuidade ou série de pagamentos uniformes. Amortizações, usando o método Price e o método Hamburguês, e ainda desenvolvendo um modelo de amortização no regime de capitalização simples. Análise de Investimentos, através dos dois métodos mais utilizados: pelo Valor Presente Líquido e pela Taxa Interna de Retorno. E finalizando com depreciações, estudando os quatro modelos mais conhecidos. Em cada tópico estudado serão resolvidos alguns exercícios e propostos outros com seus respectivos resultados. Nomenclatura: os símbolos usados para os parâmetros de cálculo são os conhecidos universalmente e utilizados nas calculadoras financeiras e planilhas eletrônicas. Os principais símbolos são:



FV1=1.000+10 FV2=1.010+10 FV3=1.020+10 FV4=1.030+10 INT1=10 INT2=10 INT3=10 INT4=10 0 1 2 3 4 Períodos PV=1.000

Símbolo Símbolo

Alternativo Definição

PV C [Present Value] Valor Presente, Capital Inicial FV M [Future Value] Valor Futuro, Montante J INT {Interest] Juros i t Taxa de Juros n Tempo, Período, Número de Prestações

PMT [Payment] Pagamento, Prestação VPL NPV [Net Present Value] Valor Presente Líquido TIR IRR [Internal Rate of Return] Taxa Interna de Retorno

2. Juros Simples 2.1 Conceitos e Cálculos No regime de juros simples, ou capitalização simples, o juro é sempre calculado sobre o valor principal (ou capital inicial). Os juros acumulados crescem, ao longo do tempo, de maneira linear conforme uma progressão aritmética. Observe o seguinte diagrama, onde o capital inicial aplicado é PV=1.000, a taxa de juros simples é i=1% por período (O período poderá estar em qualquer unidade de tempo: dia, semana, mês, semestre, ano, etc.). Em qualquer período (n=1 ou n=2 ou n=3 ou n=4) o juro é sempre calculado sobre o capital inicial (valor presente), 1% de 1.000, INTj=10. Considerando : PV – capital inicial ou valor presente FV – montante ou valor futuro i – taxa de juros n – número de períodos que os juros serão capitalizados INT – juros calculados no período Temos as seguinte fórmulas para capitalização simples:

∑=

=+=

nj

jjINTPVFV

1



niPVINTnj

jj ⋅⋅=∑

=

=1 No exemplo acima temos, para cada período:

Período Juros Juros Acumulados

Capital

0 1.000 1 10 10 1.010 2 10 20 1.020 3 10 30 1.030 4 10 40 1.040

Note que o capital cresce segundo uma progressão aritmética cuja razão é o Juro. Exemplo: Quais os juros e montante correspondentes á uma aplicação de um capital de R$ 150.000 durante 55 dias à uma taxa de 15% ao ano? Pela fórmula:

50,437.336055

15,0000.150 =××=INT

50,437.15350,437.3000.150 =+=FV

Observações: - foi considerado ano comercial (de 360 dias) e note que no uso da fórmula, ‘n’ e ‘i’ devem estar na mesma periodicidade (se n em mês então i em % ao mês, se n em ano então i % ao ano, e assim por diante). No caso de ano exato (de 365 dias):

41,90.15341,390.3000.150

41,390.336555

15,0000.150

=+=

=××=

FV

INT

*Observação: Caso esteja omisso, adota-se o ano comercial (360 dias), bem como adota-se o mês comercial (30 dias).. Resumindo, temos as seguintes fórmulas para o regime de capitalização simples:

( )niPVFV ⋅+⋅= 1

( )niFV

PV⋅+

=1



ni PV

FV 1−=

in PV

FV 1−=

Observação: Para o uso correto destas fórmulas a taxa de juros deve ter periodicidade conforme a unidade de ‘n’. Por exemplo: se ‘n’ estiver em meses, a taxa deverá ser ao mês, ou se a taxa for ao ano então ‘n’ deve estar em anos. Exercícios:

1. Um capital de $720.000 foi aplicado durante 16 meses, à uma taxa de juros simples de 2,4% ao bimestre. Calcular o Montante após este período.

2. Quanto tempo deve ficar aplicado um capital de $28.000 para formar um montante de $38.500 se aplicado à uma taxa de juros simples de 15% ao ano?

3. Um certo capital foi aplicado à uma taxa de juros simples de 4,2% ao trimestre, durante 14 meses, e formou um montante de $6.697,60. Calcular este capital.

4. Calcular a taxa de juros simples que aplicada sobre um capital de $8.000.000, durante 28 bimestres, gera um montante de $15.840.000.

5. Um capital de $65.000 foi aplicado durante 10 meses à uma taxa de juros simples de 0,95% ao mês. Após este período, o montante foi aplicado por mais 14 meses à uma taxa de 1,24% ao mês. Calcular o montante após este período.

6. A que taxa de juros simples um capital deve ser aplicado para que, após dois anos, ele triplique de valor?

7. Um certo capital foi aplicado durante 6 trimestres à uma taxa de juros simples de 5% ao trimestre. Após este período o montante foi aplicado por mais 5 quadrimestres à uma taxa de juros simples de 7,5% ao quadrimestre, resultando num montante de $195.000. Pergunta-se qual foi o capital inicialmente aplicado?

8. Quanto tempo será necessário para que um capital quintuplique de valor se aplicado à uma taxa de juros simples de 5,5% ao mês?

9. O que rende mais: Alternativa I: aplicar um capital durante dois anos, à uma taxa de juros de simples de 3,2% ao mês; Alternativa II: aplicar, durante dois anos, 30% deste capital à uma taxa de 5% ao mês e o restante à uma taxa de 2,8% ao mês

10. Qual a taxa de juros diária que aplicada sobre um capital de $5.000 durante um ano forma um montante de $5.900? Repetir o cálculo considerando taxa de juros mensal.



2.2 Desconto Simples Por muitas vezes as empresas necessitam de caixa para fazer o giro. Além de empréstimos e outras captações de recursos, as empresas fazem uma operação conhecida como desconto de título de crédito. O título de crédito (como uma duplicata), é o compromisso de alguém com a empresa para o pagamento em uma determinada data. A empresa necessitando da antecipação deste dinheiro recorre à uma instituição financeira que aplica um desconto no valor do título. Este desconto é o juros cobrados pela instituição financeira pela antecipação do dinheiro. Chama-se “Valor de Face”, ou “Valor Nominal” do título, o valor nominalmente expresso neste título. O “Valor de Resgate” é o valor antecipado pelo Banco após ser aplicado o desconto. A “Taxa de Desconto” é o índice usado para calcular o desconto e o “Período de Antecipação” é em quanto (tempo) o título foi antecipado. Chama-se Desconto Simples por ser calculado dentro do regime de capitalização simples. O Desconto pode ser de dois tipos : (I) Desconto Simples Bancário, ou Comercial ou “Por Fora” e (II) Desconto Simples Racional, ou “Por Dentro”. A nomenclatura utilizada é: PV – Valor de Resgate (Note que é Valor Presente pois ocorre antes de FV) FV – Valor de Face ou Valor Nominal i – Taxa de Desconto (Nada mais é que uma taxa de juros e deve ser expressa

com um determinada periodicidade). n – Período de antecipaçãp Db – Desconto Bancário Dr – Desconto Racional 2.2.1 Desconto Simples Bancário Também chamado de Desconto “Por Fora”, pois a taxa de desconto é aplicada sobre o Valor de Face do título. Portanto temos as seguintes fórmulas:

niFVDb ⋅⋅=

PVFVDb −= Destas duas fórmulas podemos tirar que:

PVFVniFV −=⋅⋅

niFVFVPV ⋅⋅−=



( )niFVPV ⋅−⋅= 1

ou

( )niPV

FV⋅−

=1

ni FV

PV−=

1

in FV

PV−=

1

Exercícios:

11. Qual o valor do desconto de um título de $22.500 descontado 2 meses antes do seu vencimento à uma taxa de desconto simples bancário de 2,8% ao mês?

12. Qual o valor de face de um título resgatado 100 dias antes do seu vencimento por $1.280 sabendo-se que a taxa de desconto simples bancário utilizada foi de 3,2% ao mês?

13. Um título de $10.000 foi resgatado 45 dias antes do seu vencimento por $9.550. Calcular a taxa de desconto simples bancário utilizada.

14. Um título de $15.000 foi resgatado por $12.350 sendo aplicada uma taxa de desconto simples bancário de 7,9% ao trimestre. Calcule quanto tempo o pagamento deste título foi antecipado.

15. Uma empresa decidiu resgatar um título de $30.000, 90 dias antes do seu vencimento, por $28.200 e aplicou este valor por 90 dias, à uma taxa de juros simples de 1,8% ao mês. Pergunta-se se esta operação foi vantajosa.

16. Uma empresa possui 6 títulos de diferentes valores e vencimentos conforme tabela abaixo. Ela decide por descontá-los num banco que aplica taxa de desconto simples bancário de 4,1% ao bimestre. Calcular o valor total resgatado pela empresa.

Título Valor Nominal Vencimento Título 1 $12.500 150 dias Título 2 $10.360 135 dias Título 3 $ 9.990 125 dias Título 4 $ 7.500 97 dias Título 5 $21.000 90 dias Título 6 $ 2.340 55 dias



2.2.2 Desconto Simples Racional Também chamado de Desconto “Por Dentro”, pois a taxa de desconto é aplicada sobre o valor de resgate. As fórmulas para este desconto são as seguintes:

niPVDr ⋅⋅=

PVFVDr −=

niPVPVFV ⋅⋅=−

( )niPVFV ⋅+⋅= 1

( )niFV

PV⋅+

=1

ni PV

FV 1−=

in PV

FV 1−=

Exercícios:

17. Qual o valor do desconto de um título de $22.500 descontado 2 meses antes do seu vencimento à uma taxa de desconto simples racional de 2,8% ao mês?

18. Qual o valor de face de um título resgatado 100 dias antes do seu vencimento por $1.280 sabendo-se que a taxa de desconto simples racional utilizada foi de 3,2% ao mês?

19. Um título de $10.000 foi resgatado 45 dias antes do seu vencimento por $9.550. Calcular a taxa de desconto simples racional utilizada.

20. Um título de $15.000 foi resgatado por $12.350 sendo aplicada uma taxa de desconto simples racional de 7,9% ao trimestre. Calcule quanto tempo o pagamento deste título foi antecipado.

21. Uma empresa decidiu resgatar um título de $30.000, 90 dias antes do seu vencimento, por $28.200 e aplicou este valor por 90 dias, à uma taxa de juros simples de 2,3% ao mês. Pergunta-se se esta operação foi vantajosa.

22. Uma empresa possui 6 títulos de diferentes valores e vencimentos conforme tabela abaixo. Ela decide por descontá-los num banco que aplica taxa de desconto simples racional de 4,1% ao bimestre. Calcular o valor total resgatado pela empresa.



FV1=1.000+10 FV2=1.010+10,10 FV3=1.020,10+10,20 FV4=1.030,30+10,30

INT1=10 INT2=10,10 INT3=10,20 INT4=10,30 0 1 2 3 4 Períodos PV=1.000

Título Valor Nominal Vencimento Título 1 $12.500 150 dias Título 2 $10.360 135 dias Título 3 $ 9.990 125 dias Título 4 $ 7.500 97 dias Título 5 $21.000 90 dias Título 6 $ 2.340 55 dias

3. Juros Compostos 3.1 Conceitos e Cálculos No regime de juros compostos os juros calculados num período serão acrescidos ao capital principal para o cálculo dos juros no próximo período. Por esta razão diz-se, no caso de regime de capitalização composta, “juros sobre juros”. Observe o esquema abaixo, onde é aplicado um capital de $ 1.000 durante ‘n’ períodos à uma taxa de 1% por período. No primeiro período a taxa de juros (1%) foi aplicada sobre o Capital PV=1.000 gerando juros INT1=10 e formando o montante, em n=1, FV1=1.010. No segundo período a taxa de juros foi aplicada sobre o montante do período anterior (n=1), FV1=1.010, gerando juros de INT2=10,10 e formando o montante FV2=1.020,10. E assim sucessivamente a cada período. Revendo : PV de “Valor Presente” ou “Capital Inicial” FV de “Valor Futuro” ou “Montante” INT de “Juros” i de “taxa de juros” n de “período” ou “tempo” O Montante pode ser calculado pela seguinte fórmula:

∑=

=+=

nj

jjj INTPVFV

1 ou



( ) ( ) ( ) ( )44444 344444 21

vezesn

iiiiPVFV +⋅+⋅+⋅+⋅= 1.....111

( )niPVFV +⋅= 1 Da mesma maneira, para calcularmos o Valor Presente:

( )ni

FVPV

+=

1 Os Juros são calculados pela fórmula: INT=FV-PV No exemplo acima temos, para cada período:

Período Juro Capital 0 1.000,00 1 10,00 1.010,00 2 10,10 1.020,10 3 10,20 1.030,30 4 10,30 1.040,60

Note que o capital e os juros crescem segundo uma progressão geométrica. Para o cálculo da taxa temos:

( )

( )

n

n

n

PVFV

i

PVFV

i

iPVFV

1

1

1

1

=+

=+

+⋅=

1

1

−

=

n

PVFV

i

Para o cálculo do número de períodos:



( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

=+⋅

=+⋅

=+

=+

=+

+⋅=

PVFV

inouPVFV

in

PVFV

iouPVFV

i

PVFV

i

iPVFV

nn

n

n

log1logln1ln

log1logln1ln

1

1

( )iPVFV

n+

=1ln

ln

ou

( )iPVFV

n+

=1log

log

Exemplos: 1. Qual o montante gerado por um capital de $35.000 aplicado durante 4 anos à uma taxa de 12% ao ano?

18,073.55573519,1000.35)12,01(000.35 4 =×=+×=FV 2. Qual capital preciso aplicar à uma taxa de 3% ao mês, capitalizável mensalmente, durante 10 meses para produzir um montante de $5.800?

( ) 74,315.4343916,1

800.503,01

800.510 ==

+=PV

3. A que taxa semestral um capital de $6.000 gera juros de $ 1.813,56 durante 3 anos? Como a taxa deve ser ao semestre, devemos passar n=3 anos para n=6 semestres. FV=PV+INT=6.000+1.813,56=7.813,56



..%5,4045,01045,11000.6

56,813.71

6

11

saPVFV

in

==−=−

=−

=

4. Durante quanto tempo devo aplicar um capital de $1.000.000, à uma taxa de juros de 1,5% ao mês, capitalizável mensalmente, para obter um montante de $1.240.959,51?

( ) ( ) mesesi

PVFV

n 50,1401488861,021588488,0

015,01ln000.000.1

51,959.240.1ln

1ln

ln==

+

=+

=

Exercícios:

23. Calcular o montante de um capital de $7.800.000 aplicado durante 18 meses á uma taxa de juros compostos de 3% ao bimestre, capitalizado bimestralmente.

24. Um capital de $66.200 foi aplicado durante 2 semestres à uma taxa de juros compostos de 8,5% ao semestre, capitalizável semestralmente. Após este período, o capital resultante foi aplicado por mais 3 anos à uma taxa de juros compostos de 2,8% ao trimestre, capitalizável trimestralmente. Calcular o valor do montante após este período.

25. Quanto de capital é necessário aplicar hoje, para que daqui a 16 bimestres forme um montante de $3.950,67 sabendo-se que a taxa de juros compostos usada foi de 3,1% ao bimestre, capitalizável bimestralmente?

26. Qual a taxa de juros compostos necessária para que um capital de $100.000 forme um montante de $185.000 durante 7 meses?

27. Em quanto tempo uma taxa de juros compostos de 4% ao mês triplica um determinado capital?

28. Numa determinada data foram aplicados dois capitais: um de $100.000 à uma taxa de juros compostos de 3,4% ao mês e outro de 150.000 à uma taxa de juros compostos de 2,45% ao mês. Após quanto tempo os montantes das duas aplicações ficaram iguais?

29. Qual investimento é mais rentável: aplicar $50.000 e resgatar $75.000 após 7 meses ou, aplicar $25.000 e resgatar $50.000 após 12 meses?

30. Qual taxa de juros compostos quadruplica um capital após 2 anos? 31. Se a caderneta de poupança rende 0,5% ao mês, quanto deverei

aplicar para que ela renda juros de $20.000 após 6 semestres? 32. Uma loja está vendendo um televisor por $1.500 a vista ou em duas

parcelas mensais de $766,50 cada, sendo a primeira de entrada. Se hoje eu possuo $1.500 aplicados e sabendo que daqui a um mês esta aplicação me renderá $75,00 de juros, qual a maneira mais vantajosa para mim se eu quiser comprar este televisor: (1) a vista, sacando todo o dinheiro aplicado ou (2) em duas parcelas, sacando o suficiente para dar a entrada e deixar o restante aplicado durante um mês para depois pagar a segunda prestação?



3.2 Cálculo do montante para período fracionário Quando o número de períodos de capitalização for um número fracionário, existem dois critérios para se calcular o montante. 3.2.1 Convenção Exponencial Neste caso usa-se juros compostos tanto para a parte inteira como para a parte fracionária do período. Adota-se a seguinte fórmula:

( ) mk

niPVFV ++×= 1

onde n é a parte inteira do número de períodos e k/m é parte fracionária do número de períodos. Por exemplo, para um período de 7 meses e 15 dias e capitalização mensal, temos n=7 e k/m=15/30=0,5. Ou para um período de 1 ano e 20 dias e capitalização anual temos n=1 e k/m=20/360=0,0555... Exemplos: 1. Qual o montante gerado por um capital de $5.000.000 aplicado à uma taxa de 3% ao bimestre, capitalizável bimestralmente, durante 310 dias? Para passarmos o período para bimestre divide-se 310 por 60 dias = 5,16666.=n+k/m..

( ) 46,996.824.51649993,1000.000.503,01000.000.5 60

310

=×=+×=FV 2. Qual o montante gerado por um capital de $1.500.000 aplicado à uma taxa de 2% ao mês, capitalizável mensalmente, durante 6 meses e 10 dias? Neste caso temos n=6, k=10 e m=30 (1 mês tem 30 dias).

( ) 00,431.700.113362067,1000.500.102,01000.500.1 30

106 =×=+×= +FV

3.2.2 Convenção Linear Neste segundo critério usa-se juros compostos para a parte inteira e juros simples para a parte fracionária do período. Adota-se a seguinte fórmula:

( )

×+×+×=

mk

iiPVFV n 11



Utilizando os dados do exemplo 2 anterior: 2. Qual o montante gerado por um capital de $1.500.000 aplicado à uma taxa de 2% ao mês, capitalizável mensalmente, durante 6 meses e 10 dias? Neste caso temos n=6, k=10 e m=30 (1 mês tem 30 dias).

( ) 25,505.700.1006666,1126162,1000.500.13010

02,0102,01000.500.1 6 =××=

×+×+×=FV

Exercícios: Para os exercícios a seguir utilizar os dois métodos estudados:

33. Calcular o montante de um capital de $12.200.000 aplicado durante 14 meses e 25 dias á uma taxa de juros compostos de 3,9% ao bimestre, capitalizado bimestralmente.

34. Um capital de $15.234 foi aplicado à uma taxa de juros compostos de 18,4% ao ano, capitalizável anualmente, durante 6 anos e 3 trimestres. Calcular o montante.

35. Um capital de $9.990.420 foi aplicado à uma taxa de juros compostos de 10,5% ao quadrimestre, capitalizável quadrimestralmente, durante 2 anos e 2 trimestres. Calcular o montante.

3.3 Desconto Composto Os conceitos de desconto composto são os mesmos que os de desconto simples, visto anteriormente. A diferença é que o desconto composto está no regime de capitalização composta. Ele pode ser Desconto Composto Bancário (ou por Fora) ou Desconto Composto Racional (ou por Dentro), sendo este segundo o mais utilizado pelas instituições financeiras. Os termos utilizados nesta operação são os mesmos do desconto simples. Relembrando: - Valor Nominal ou Valor de Face do título (FV) é o valor do título na data do seu

vencimento; - Valor de Resgate do título (PV) é o valor antecipado recebido pelo credor; - Desconto (D) é o valor cobrado pela instituição que realizou a operação;

Db – Desconto Bancário Dr – Desconto Racional

- Período de Antecipação (n) é em quanto tempo o banco adiantou o pagamento;

- Taxa de Desconto (i) é a taxa de juros, com determinada periodicidade, cobrada pela instituição financeira.



3.3.1 Desconto Composto Racional, ou ‘Por Dentro’ Neste caso a taxa de desconto é aplicada sobre o valor de resgate do título. As fórmulas utilizadas são as mesmas vistas no item sobre Juros Compostos, exceto a primeira:

PVFVDr −=

( )niPVFV +⋅= 1

( )ni

FVPV

+=

1

1

1

−

=

n

PVFV

i

( )iPVFV

n+

=1ln

ln

Exemplos: 1. Qual o valor de resgate de um título de R$4.800, descontado 2 meses antes do

seu vencimento à uma taxa de desconto racional composto de 3,5% ao mês? Qual o valor do desconto?

( ) ( )85,480.4

071225,1800.4

035,01800.4

1 2 ==+

=+

= niFV

PV

Dr=4.800-4.480,85=319,15 O valor de resgate é de R$4.480,85 e o desconto é de R$319,15

2. Qual a taxa de desconto racional composto foi aplicada a uma duplicata de

R$2.100 resgatada 90 dias antes do seu vencimento por R$1.924,60?

..%95,20295,0160,924.1

100.21

3

11

maPVFV

in

==−

=−

=



3.3.2 Desconto Composto Comercial ou Bancário ou ‘Por Fora’ Neste caso a taxa de desconto é aplicada sobre o valor de face do título. As fórmulas utilizadas são mostradas a seguir:

PVFVDb −=

( )niFVPV −×= 1

( )niPV

FV−

=1

n

FVPV

i

1

1

−=

( )iFVPV

n−

=1ln

ln

Exemplos: 1. Quanto tempo foi antecipado um título de R$15.000 resgatado por R$12.507,53, sabendo que o banco aplica uma taxa de desconto composto comercial de 3,25% ao mês?

a) pela fórmula:

( ) ( ) 5,5033040,0181719,0

0325,01ln000.15

53,507.12ln

1ln

ln=

−−

=−

=−

=i

FVPV

n

Resposta: 5,5 meses ou 5 meses e 15 dias.

2. Qual o valor do desconto que o Banco aplicou sobre um título de R$3.050, descontado 45 dias antes do seu vencimento à uma taxa de desconto bancário composto de 4% ao mês?

( ) ( ) 84,868.2940604,0050.304,01050.31 5,1 =×=−×=−×= niFVPV



Db=3.050-2.868,84=181,16 O valor do desconto é de R$181,16

Exercícios: Para os exercícios a seguir utilizar os dois métodos estudados (Desconto Racional e Desconto Bancário):

36. Um título de $34.000 foi resgatado 130 dias antes do seu vencimento. Se o banco utiliza uma taxa de desconto composto de 4,1% ao mês, calcular o valor de resgate do título e o valor do desconto.

37. Um título foi resgatado por $5.126, 3 meses antes do seu vencimento. Calcular o valor de face deste título sabendo-se que a taxa de desconto composto utilizada foi de 6,2% ao bimestre. Calcule também o valor do desconto.

38. Quanto tempo foi antecipado um título de $40.000, resgatado por $38.451, se a taxa de desconto composto é de 9% ao trimestre?

39. Se um título de $100.000 é resgatado 85 dias antes do seu vencimento por $92.145, calcule qual a taxa de desconto composto utilizada.

40. Uma empresa descontou um título de $45.000, 45 dias antes do seu vencimento, por $38.376,94. A empresa aplicou este valor no mercado financeiro e após 30 dias rendeu juros de $1.074,55. Analisar se esta operação foi vantajosa para a empresa levando-se em conta que o dinheiro continuou aplicado após os 30 dias.

41. Uma empresa realizou o desconto de vários títulos em vários bancos que praticam taxas de desconto composto diferentes, conforme tabela abaixo. A empresa aplicou o total obtido no mercado financeiro à uma taxa de juros compostos de 1,4% ao mês. Elaborar uma tabela mostrando a evolução dos juros e do montante desta aplicação, a cada mês, até o sexto mês.

Banco Valor do Título Vencimento Taxa de Desconto Banco 1 $120.000 240 dias 6,38% ao bimestre Banco 2 $ 75.500 160 dias 8,87% ao trimestre Banco 3 $ 82.800 125 dias 3,74% ao mês Banco 4 $210.000 92 dias 3,01% ao mês Banco 5 $102.550 60 dias 0,15% ao dia

4. Taxa de Juros nominal, proporcional, efetiva e equivalente Taxa de Juros nominal é aquela cujo valor é uma referência. Geralmente é expressa para periodicidade anual e transformada para periodicidade menor de forma proporcional. Taxa de Juros proporcional é aquela calculada proporcionalmente ao juro nominal (como no juros simples). Por exemplo, qual a taxa de juros mensal proporcional à 12% ao ano? Divide-se 12% por 12 e acha-se 1% ao mês. Taxa de juros efetiva é a taxa que efetivamente é aplicada no cálculo.



Taxas de juros equivalentes, quando duas ou mais taxas com periodicidades diferentes são aplicadas a um mesmo capital, durante o mesmo tempo e produzem o mesmo montante, diz-se que elas são equivalentes. No regime de capitalização composta, o cálculo de taxas equivalentes utiliza-se a seguinte fórmula:

( ) 11 1

2

−+= nn

eq ii

onde n2/n1 é a relação entre a periodicidade das taxas equivalentes. Exemplos: considerando uma taxa nominal de 24% ao ano no regime de capitalização composta teremos: São taxas proporcionais : 2% ao mês, 4% ao bimestre, 12% ao semestre, etc Se a capitalização é mensal, então 2% ao mês é a taxa efetiva. As taxas a seguir são equivalentes à 2% ao mês:

( )( )( )( ) ..%82,262682,0102,01

..%62,121262,0102,01

..%12,60612,0102,01

..%04,40404,0102,01

112

16

13

12

aai

sai

tai

bai

eq

eq

eq

eq

==−+=

==−+=

==−+=

==−+=

Ou seja, se aplicar um capital PV a 2% a.m. durante n meses, produzirá o mesmo montante se eu tivesse aplicado este capital a 4,04% a.b. durante n/2 bimestres ou a 6,12% a.t. durante n/3 trimestres ou a 12,62% a.s. durante n/6 semestres ou a 26,82% a.a. durante n/12 anos. Observação: Apesar de não ser muito aplicado, pode-se dizer que uma taxa equivalente no regime de juros simples, é a taxa proporcional. Por exemplo, uma taxa nominal de 12% ao ano, no regime de juros simples, 1% ao mês é uma taxa proporcional e é também a taxa efetiva (é efetivamente usada no cálculo dos juros) e a taxa equivalente (produz o mesmo montante que 12% ao ano, se aplicada ao mesmo capital, durante o mesmo período). Exercícios:

42. Calcular as taxas equivalentes mensais, bimestrais, trimestrais, quadrimestrais, semestrais e anuais considerando: (a) Taxa nominal de 18,24% ao ano e capitalização composta

mensal;



(b) Taxa nominal de 26% ao ano e capitalização composta semestral;

(c) Taxa nominal de 8,9% ao ano e capitalização composta trimestral

43. Calcular as seguintes taxas equivalentes (capitalização composta): (a) 14% ao ano em taxa mensal (b) 4% ao trimestre em taxa anual (c) 8% ao semestre em taxa anual (d) 12,6% ao quadrimestre em taxa bimestral (e) 1,2% ao mês em taxa diária (f) 3,8% ao bimestre em taxa semestral

44. Qual das seguintes taxas de juros compostos apresenta maior rentabilidade? (a) 1,90% ao mês (b) 3,75% ao bimestre (c) 5,75% ao trimestre (d) 12,00% ao semestre (e) 24,00% ao ano

5. Equivalência de Capitais Enquanto as taxas equivalentes são aquelas que com periodicidades diferentes, produzem o mesmo montante, se aplicadas sobre o mesmo capital durante o mesmo período, diz-se que dois ou mais capitais são equivalentes se, trabalhando com uma determinada taxa de juros, eles forem transportados para uma determinada data focal, seus valores serão iguais. Obs.: Data focal é a data na qual será transportado os valores com os quais estamos trabalhando. Em outras palavras, se estivermos trabalhando com uma taxa ‘i’ e com dois capitais, um na data 3 e outro na data 10, estes capitais serão equivalentes se, transportados para uma data focal qualquer através da taxa ‘i’, eles apresentarem o mesmo valor. As maneiras como transportamos os capitais são diferentes nos casos de juros simples e juros compostos. No caso de juros simples sempre teremos que, primeiro, levar o capital para a data focal ZERO pois é sobre o valor nesta data que são calculados os juros. No caso de juros compostos não há a necessidade de levar o capital para a data focal zero pois os juros são calculados sobre o capital do período imediatamente anterior. 5.1 Equivalência de Capitais no Regime de Juros Simples Exemplo 1: a seguir temos três capitais equivalentes considerando uma taxa de juros simples de 2% ao mês:

4.160 4.400 4.720

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Meses



Se levarmos todos estes valores para a data focal zero, usando a taxa de 2% ao mês, obtêm-se o mesmo valor:

Como vamos trazer cada um dos valores para uma data anterior, consideramos que eles são FV nas suas datas e PV na data focal 0. Usando a fórmula de montante para juros simples:

( )

( )

( ) 000.418,1720.4

902,01.720.4

000.410,1400.4

502,01.400.4

000.404,1160.4

202,01.160.4

==→⋅+=

==→⋅+=

==→⋅+=

PVPV

PVPV

PVPV

Para outras datas focais calcula-se FV, aplicando a taxa de juros de 2% a.m. sobre PV=4.000 durante o período que se deseja:

- Data Focal 1: - Data Focal 3:

- Data Focal 7:

Então podemos dizer que no regime de juros simples, a uma taxa de 2% ao mês, os seguintes capitais são equivalentes: 4.000 na data 0, 4.080 na data 1, 4.160 na data 2, 4.240 na data 3, 4.400 na data 5, 4.560 na data 7 e 4.720 na data 9. Exemplo 2: Suponha dois capitais equivalentes: um de $14.000 numa data focal ‘k’ meses e outro de $18.000 na data focal ‘k+4’ meses. A taxa de juros simples que estamos trabalhando é de 1% ao mês. Suponha ainda que não se sabe qual foi o capital que gerou estes montantes e não se sabe quantos períodos existem entre a data 0 e as datas k e k+4 meses: Uma solução possível para este exemplo é descobrir quais os juros mensais (lembre-se que estamos no regime de juros simples e neste regime os juros são constantes por período). No caso acima, entre as datas k e k+4, capitalizou-se 4 meses de juros, e o total de juros neste período é de $4.000 ($18.000-$14.000). Portanto $4.000 dividido por 4 meses, representa $1.000 de juros mensais. E $1.000 de juros mensais à uma taxa de 1% ao mês é calculado sobre um PV de $10.000.

( )niPVFV ⋅+⋅= 1

( ) ( ) 080.4102,01000.41 =⋅+⋅=⋅+⋅= niPVFV

( ) ( ) 240.4302,01000.41 =⋅+⋅=⋅+⋅= niPVFV

( ) ( ) 560.4702,01000.41 =⋅+⋅=⋅+⋅= niPVFV



Então o capital de $14.000, na data k, possui $4.000 de juros e portanto a data k é 4 meses. Por sua vez o capital de $18.000, na data k+4 que é igual à 4+4=8 meses, possui $8.000 de juros. Ainda, os capitais $10.000 na data 0, $14.000 na data 4 e $18.000 na data 8 são equivalentes no regime de juros simples, considerando uma taxa de juros de 1% ao mês. 5.2 Equivalência de Capitais no Regime de Juros Compostos Exemplo 1: a seguir temos três capitais equivalentes considerando uma taxa de juros compostos de 2% ao mês: Data Focal 0: Se levarmos todos estes valores para a data focal zero, usando a taxa de 2% ao mês, obtêm-se o mesmo valor:

Como vamos trazer cada um dos valores para uma data anterior, consideramos que eles são FV nas suas datas e PV na data focal 0. Usando a fórmula de montante para juros compostos:

( )

( )

( ) 000.41717,1080.4

02,0164,686.4

000.41262,1080.4

02,0164,504.4

000.402,1080.4

02,01080.4

8

6

1

==→+⋅=

==→+⋅=

==→+⋅=

PVPV

PVPV

PVPV

Conclui-se que os capitais $4.080 na data 1, $4.504,64 na data 6 e $4.686,64 na data 8 são equivalentes no regime de juros compostos à uma taxa de 2% ao mês.

Se estes capitais são equivalentes, então para qualquer data focal que eles forem levados, à uma taxa de 2% ao mês, será produzido o mesmo valor. Vejamos os exemplos abaixo: - Data Focal 6:

4.080,00 4.504,64 4.686,64

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Meses

( )niPVFV +⋅= 1



( )( )

( ) 64,504.40404,1

64,686.402,0164,686.4

64,504.4164,504.402,0164,504.4

64,504.41041,1080.402,01080.4

2

0

5

==→+⋅=

=⋅=→+⋅=

=⋅=→+⋅=

PVPV

FVFV

FVFV

- Data Focal 4:

( )

( )

( ) 72,329.40824,1

64,686.402,0164,686.4

72,329.40404,1

64,504.402,0164,504.4

72,329.40612,1080.402,01080.4

4

2

3

==→+⋅=

==→+⋅=

=⋅=→+⋅=

PVPV

FVPV

FVFV

Todos os capitais acima são equivalentes no regime de juros compostos, à uma taxa de 2% ao mês.

Exercícios:

45. Considerando o regime de capitalização composta, uma taxa de juros de 4,2% ao mês, calcular o capital equivalente de $15.000: (a) na data focal 4 meses antes (b) na data focal 15 meses depois.

46. Uma empresa desejar trocar um título de $58.000, vencível daqui a 6 meses por outros dois títulos de valores nominais iguais, sendo o primeiro vencendo hoje e outro daqui a 3 meses. Calcular os valores destes novos títulos considerando uma taxa de juros compostos de 2,05% ao mês.

47. Esta mesma empresa deseja trocar dois títulos (o primeiro de $120.000, vencível em 1 ano e o segundo de $210.000, vencível em 2 anos) por outros dois de valores nominais iguais com vencimentos um daqui a 6 meses e o outro daqui a 3 anos. Se a taxa de juros compostos é de 10,5% ao semestre, calcular os valores dos novos títulos.

48. Um automóvel é vendido à prazo em 5 prestações de $6.200, sendo a primeira de entrada. Se a concessionária usa uma taxa de juros compostos de 2,7% ao mês, calcular o valor a vista deste automóvel.

49. Quanto será a prestação de um financiamento no valor de $14.000 a ser pago em 3 parcelas iguais mensais, sendo a primeira em 30 dias, sabendo-se que a taxa de juros nominal usada é de 54% ao ano? Considerar regime de capitalização composta.

50. Se eu estiver trabalhando com uma taxa de juros compostos de 7% ao trimestre o que é mais vantajoso financeiramente: Possuir hoje $20.000 ou possuir $45.000 daqui a 3 anos?



6 Anuidade ou Séries de Pagamentos Uniformes Quando se contraí uma dívida, esta pode ser paga de uma só vez após um determinado período, ou pode ser parcelada em prestações iguais, sendo amortizada a cada período. Da mesma maneira, quando se investe um dinheiro, ele pode ser resgatado de uma só vez, ou pode ser recebido em parcelas iguais e sucessivas, sendo capitalizado a cada período. Os casos de pagamento de dívida e recebimento de investimento de uma só vez, após um determinado período, já foram vistos anteriormente nos itens sobre capitalização simples e composta. Neste item veremos os casos de parcelamentos iguais das dívidas e investimentos, utilizando amortização/capitalização compostas. Será usado o método Price onde as prestações possuem o mesmo valor. Suponha que você contraiu uma dívida no valor ‘PV’, à uma taxa de juros compostos de ‘i’ por período e deverá pagar esta dívida em ‘n´’ parcelas periódicas de valor ‘PMT’ cada. Ainda existem duas modalidades de pagamento:

1. As parcelas são pagas ao final de cada período. Neste caso denomina-se pagamento ‘postecipado’.

2. As parcelas são pagas no início de cada período. Neste caso denomina-se pagamento ‘antecipado’.

6.1 Anuidade com Parcelas Postecipadas Considerando SDj como o saldo devedor ao final do período ‘j’, temos:

( )( ) ( )[ ] ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )[ ] ( )

( ) ( ) ( ) PMTiPMTiPMTiPVSD

PMTiPMTiPMTiPVPMTiSDSD

PMTiPMTiPVSD

PMTiPMTiPVPMTiSDSD

PMTiPVSD

−+×−+×−+×=

−+×−+×−+×=−+×=→

−+×−+×=

−+×−+×=−+×=→−+×=→

111

1111

11

111

1

233

223

22

12

1

e assim sucessivamente. Nota-se que a expressão genérica do saldo devedor é:

PV

1 2 3 4………………………….n Períodos 0

PMT PMT PMT PMT………………………PMT



( ) ( )∑=

=

−+×−+×=nj

j

jnj iPMTiPVSD

1

111

Quando j=n, o saldo devedor deve ser igual a zero, pois após o último pagamento PMT ao final do período ´n’ a dívida deverá ser liquidada. Então:

( ) ( )

( ) ( )∑

∑=

=

−

=

=

−

+×=+×

+×−+×=

nj

j

jn

nj

j

jn

iPMTiPV

iPMTiPV

1

1

1

1

11

110

Note que a expressão é a soma de uma PG (progressão geométrica) sendo o primeiro termo a1=1 (para j=1), com ‘n’ termos e razão q=(1+i). Aplicando a fórmula da soma de uma PG, temos que:

( )∑ −−×=

111

qqa

PGn

( ) ( )i

ii

nnj

j

j 111

1

1 −+=+∑

=

=

−

( ) ( )ii

PMTiPVn

n 111

−+×=+×

( )( ) 11

1−+

×+×= n

n

iiiPV

PMT

dividindo numerador e denominador por temos:

( )ni

iPVPMT

+−

×=

1

11

( )∑=

=

−+nj

j

ji

1

11

( )ni+1



( ) niiPV

PMT −+−×

=11

Da mesma forma temos:

( )iPV

iPMTPV

n

×+−

×=−11

Exemplos: 1. Um financiamento de R$10.000 a ser pago em 20 prestações mensais iguais, sendo a primeira após 30 dias do empréstimo, e com uma taxa de juros de 2% ao mês terá o seguinte valor da prestação:

( ) ( ) 57,611327029,0200

02,01102,0000.10

11 20 ==+−

×=

+−×

= −−niiPV

PMT

2. Quanto deverá aplicar uma pessoa que deseja receber como retorno, 12 parcelas mensais de R$1.800, sendo a primeira um mês após a aplicação, e sabendo que a taxa de juros é de 1,2% ao mês?

( ) ( )

46,005.20012,0

133370,0800.1

012,0

012,011800.1

11 12

=×=+−

×=+−

×=−−

i

iPMTPV

n

6.1.1 Valor Futuro ou Montante Podemos, da mesma maneira, desenvolver uma fórmula para o cálculo do montante ou o valor futuro de quando se deposita várias parcelas iguais e uniformes ao longo do tempo, conforme mostrado no diagrama abaixo: A última parcela coincide com o valor do montante.

FV

1 2 3 4………………………….n Períodos 0 PMT PMT PMT PMT………………………PMT



Neste caso temos as seguintes fórmulas, que não serão demonstradas (para chegar nestas fórmulas utiliza-se a mesma linha de raciocínio usada anteriormente):

( )ii

PMTFVn 11 −+

×=

( ) 11 −+×= ni

iFVPMT

Exemplos: 1. Quanto deverá depositar por mês uma pessoa que deseja obter R$100.000 daqui a 12 meses aplicando o dinheiro à uma taxa de 1,5% ao mês, considerando que o resgate ocorrerá no momento da última parcela?

( ) ( ) 00,668.7195618,0

500.11015,01

015,0000.10011 12 ==

−+×

=−+

×= ni

iFVPMT

2. Quanto terá, ao final de 5 anos, uma pessoa que deposita no final de cada ano R$15.000 aplicados à uma taxa de 21% ao ano?

( ) ( )

74,838.11358925,7000.1521,0

121,01000.15

11 5

=×=−+

×=−+

×=i

iPMTFV

n

6.2 Anuidade com Parcelas Antecipadas Neste caso teremos ‘n’ parcelas de valor PMT cada (a primeira em 0 e a última em n-1). Como a primeira parcela é paga na data 0 (dada como entrada), podemos considerar que o valor financiado/aplicado, na realidade é PV-PMT e que o número

PV

1 2 3 4………………………….n-1 Períodos 0 PMT PMT PMT PMT PMT………………………PMT



de parcelas é de n-1 e assim sendo poderemos utilizar as fórmulas de parcelas postecipadas. Mas é possível desenvolver as fórmulas considerando as parcelas antecipadas seguindo a mesma linha desenvolvida anteriormente. Como resultado teremos:

( )[ ] ( )iiiPV

PMT n +×+−×= − 111

( )[ ] ( )i

iiPMTPV

n +×+−×=− 111

Exemplos: 1. Um financiamento de R$10.000 a ser pago em 20 prestações mensais iguais, sendo a primeira como entrada, e com uma taxa de juros de 3% ao mês, terá como prestação:

( )[ ] ( ) 58,652459714,0

300

03,0103,011

03,0000.1020 ==

+×+−×

= −PMT

2. Qual o valor a vista de uma mercadoria vendida a prazo em 8 prestações mensais de R$160,00, sendo a primeira de entrada, sabendo que a taxa de juros usada é de 2,2% ao mês?

( )[ ] ( )60,187.1

022,012728,26

022,0022,01022,011

1608

==+×+−×=−

PV

6.2.1 Valor Futuro ou Montante Considerando agora, que as parcelas são antecipadas, ou seja, a última parcela ocorrerá um período antes do montante:

FV

1 2 3 4………………n-1 n Períodos 0 PMT PMT PMT PMT PMT PMT



( ) ( )iii

PMTFVn

+×−+

×= 111

( )[ ] ( )iiiFV

PMT n +×−+×=

111

Exemplo: Se eu depositar num fundo de investimentos, no início de cada mês, R$1.500, durante 10 meses, quanto terei no final do décimo mês, se o fundo remunera à uma taxa de 0,8% ao mês?

( ) ( ) 10,676.15008,0

41,125008,01

008,01008,01

500.110

==+×−+×=FV

6.3 Renda Perpétua O conceito de renda perpétua é utilizado pelas instituições que oferecem previdência privada. A renda perpétua, como o próprio nome diz, não tem prazo para acabar e portanto não há montante a ser calculado. O que ela garante, é uma renda periódica (baseada na taxa de juros e capital inicial) e o capital inicial (que não será capitalizado nem depreciado). Para o cálculo da renda periódica utilizamos a seguinte fórmula:

iPVPMT ×= E para o cálculo do valor principal (capital inicial):

iPMT

PV =

Exemplos: A) Que capital deverá ter uma pessoa que deseja uma renda mensal perpétua de

R$2.000, sabendo-se a taxa de juros paga é de 1% ao mês?

000.20001,0

000.2 ===i

PMTPV



Ou seja, uma pessoa com capital de $200.000 que aplicá-lo à um 1% ao mês, terá uma renda perpétua de $2.000 mensais pois não há descapitalização do principal. B) Uma instituição de previdência privada utiliza-se das seguintes taxas de juros:

paga 0,95% ao mês sobre os depósitos (contribuições) feitos pelos seus clientes e paga 0,45% ao mês sobre o capital acumulado para compor a renda vitalícia (aposentadoria) deles. De quanto deverá ser a aposentadoria de uma pessoa que contribui com R$66,36 mensais durante 35 anos? Primeiramente devemos calcular o quanto ela irá acumular ao longo dos 35 anos: A pessoa terá, após os 35 anos de contribuição, um capital de R$363.557,68

Portanto o valor da sua aposentadoria (renda perpétua) será:

00,636.10045,068,557.363 =×=×= iPVPMT

* Observe que o valor de R$66,36 é aproximadamente quanto empregado e empregador contribuem hoje (Agosto de 2003) para a previdência oficial (já expurgada a parte referente assistência médica) considerando que o empregado ganha um salário de R$720,00) e as taxas de juros (0,95% e 0,45% ao mês) são aproximadamente quanto uma instituição de previdência privada paga a seus clientes. R$1.765,07 é o valor que esta instituição pagará de renda a alguém que contribuiu nestas condições.

Exercícios:

51. Um aparelho é vendido por uma loja a vista por $2.400. Se a loja utiliza uma taxa de juros compostos de 2,75% ao mês para financiar este aparelho, calcular o valor da prestação caso a venda ocorra em 10 parcelas iguais mensais. Considerar dois casos: com e sem entrada.

52. Qual o valor a vista de uma mercadoria vendida a prazo em 6 prestações mensais de $233,00, sem entrada, e uma taxa de juros compostos de 3,03% ao mês?

53. Se uma mercadoria é vendida a vista por $840 ou parcelada em 5 prestações mensais iguais, com entrada, de $174,69, calcular a taxa de juros usada.

54. Se eu depositar $300 mensalmente durante 10 anos e se aplicação me render 1,2% ao mês, quanto terei ao final deste período, no momento que eu fizer meu último depósito?

55. Quanto deverei depositar por semestre, para que após 6 anos eu tenha acumulado $350.000, com uma taxa de juros de 7,42% ao semestre?

56. Uma pessoa está planejando uma renda vitalícia para daqui a 20 anos de $3.500 mensais. Sabendo que a instituição financeira paga juros a uma taxa de 0,85% ao mês, quanto ela deverá depositar mensalmente durante estes 20 anos?

57. Um determinado televisor é vendido pela Loja 1 em 24 prestações iguais mensais de $122,00 cada, sem entrada. A Loja 2 vende o



mesmo televisor em 12 prestações de $228,67 cada, sem entrada. Se as duas lojas praticam juros a uma taxa de 2% ao mês, em qual loja o valor a vista é menor?

58. Desejando fazer um empréstimo de $30.000, certa pessoa procura um banco que pratica taxa de juros compostos de 3,8% ao mês. Se esta pessoa não pode pagar mais de $1.500 por mês, qual o número de prestações que deverá ter este financiamento?

59. Hoje uma certa pessoa possui $120.000 aplicados num banco à uma taxa de juros compostos de 1,6% ao mês. Ela deseja comprar um apartamento que lhe é oferecido nas seguintes condições: $100.000 a vista ou $30.000 de entrada mais 120 prestações mensais de $1.485,20 cada. Qual a melhor condição de compra?

60. Sandra nasceu no dia 22/5/1947. A partir deste dia seus pais começaram a depositar o equivalente a $1,00 mensalmente num banco que paga uma taxa de juros compostos de 1,2% ao mês. Após a morte de seus pais ela continuou a efetuar os depósitos até o dia 22/4/2007. A partir de 22/5/2007 ela começou a viver dos juros provenientes da renda acumulada. Calcular o valor desta sua renda vitalícia e o capital que ela poderá retirar a qualquer momento.

7. Amortizações Quando se contrai um empréstimo, este pode ser pago de uma só vez, após um determinado prazo ou pode ser pago de forma parcelada. O primeiro já foi visto nos itens 2 e 3 (Capitalizações Simples e Composta). O segundo foi visto, num caso particular, no item 6 (Anuidade com pagamento uniforme) e tem como método de cálculo o sistema Price ou SFA (Sistema Francês de Amortização). Veremos agora este sistema com mais detalhes além de outros sistemas de amortização. Regra geral, amortização significa deduzir o capital principal financiado. Quando se faz um empréstimo o seu pagamento ocorrerá através de prestações que são compostas de dois componentes: amortização e juros. 7.1 Sistema Francês de Amortização – SFA - (Sistema Price) Consiste num sistema onde o valor das prestações é igual em qualquer período, sendo que a parcela correspondente à amortização cresce ao longo tempo e a parcela correspondente aos juros decresce ao longo tempo. Neste sistema, o regime de capitalização é o de juros compostos e o cálculo da prestação é realizado conforme demonstrado no item 6 (tanto para pagamento antecipado como postecipado). Vamos pegar um exemplo para ilustrar este sistema: Suponha um empréstimo contraído de $1.000.000, a ser pago em 6 prestações anuais (a primeira um ano após a tomada do dinheiro) com amortização pelo SFA e com taxa de juros de 15% ao ano:



Calculamos o valor da prestação em $264.236,91 (usando a fórmula do item 6 no caso de pagamento postecipado). Agora vamos montar uma tabela de amortização onde constam, ano a ano, o valor de cada amortização, os juros, as prestações e cada saldo devedor:

Ano Saldo Devedor Prestação Amortização Juros 0 1.000.000,00 1 885.763,09 264.236,91 114.236,91 150.000,00 2 754.390,64 264.236,91 131.372,45 132.864,46 3 603.312,33 264.236,91 151.078,31 113.158,60 4 429.572,27 264.236,91 173.740,06 90.496,85 5 229.771,20 264.236,91 199.801,07 64.435,84 6 - 264.236,91 229.771,20 34.465,68 Total - 1.585.421,46 1.000.000,00 585.421,46

Observações:

- As prestações são iguais, a amortização cresce ao longo do tempo e os juros decrescem ao longo do tempo;

- Os juros de um determinado ano são calculados sobre o saldo devedor do ano imediatamente anterior, por exemplo, os juros de $113.158,60 do ano 3 é correspondente à 15% (taxa de juros) de $754.390,64 (Saldo devedor do ano anterior, ou seja ano2);

- A amortização de cada ano é a diferença entre a prestação e os juros do mesmo ano (Ano 4: $173.740,06=$264.236,91-$90.469,85);

- O saldo devedor de um determinado ano é a diferença do saldo devedor do ano imediatamente anterior pela amortização do ano vigente (Ano 2: $754.390,64=$885.763,09-$131.372,45)

7.1.1 Caso com Período de Carência: Existem empréstimos onde há um período de carência, ou seja, o pagamento da primeira prestação ocorrerá alguns períodos após a tomada do empréstimo. Geralmente, neste tipo de empréstimo, os juros são capitalizados no período de carência. Exemplo: um empréstimo de $250.000, com 4 meses de carência, a ser pago em 7 prestações bimestrais e com taxa de juros de 4,5% ao bimestre.

$250.000 0 1 2 3 4 5 6 7 8

Bimestres Carência PMT PMT PMT PMT PMT PMT PMT



No período de 0 a 2 (carência) serão capitalizados juros. Então podemos adotar duas alternativas para o cálculo da prestação PMT:

1. Levamos o valor de $250.000 para a data focal 1 e consideramos as parcelas postecipadas ou

2. Levamos o valor de $250.000 para a data focal 2 e consideramos as parcelas antecipadas.

Tanto em um caso como outro o resultado é o mesmo. No caso de parcelas postecipadas: Levamos o valor financiado $250.000 para a data focal 1, correndo juros durante 1 bimestre:

( ) ( ) 250.261045,012500001 1 =+⋅=+⋅= niPVFV O resultado $261.250 é o valor da dívida no bimestre 1.

Calculando o valor da prestação:

( ) ( )51,334.44

265172,025,11756

045,011

045,0261250

11 7 ==+−

⋅=

+−×

= −−ni

iPVPMT

Portanto o valor de cada prestação bimestral é de $44.334,51

No caso de parcelas antecipadas: Levamos o valor financiado $250.000 para a data focal 2, correndo juros durante 2 bimestres:

( ) ( ) 25,006.273045,012500001 2 =+⋅=+⋅= niPVFV O resultado $273.006,25 é o valor da dívida no bimestre 2.

Calculando o valor da prestação:

( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )51,334.44

277104,028,12285

045,01045,011

045,025,006.273

111 7 ==+⋅+−

⋅=

+×+−×

= −− ii

iPVPMT n

E assim chegamos ao mesmo valor da prestação. A tabela de amortização fica:



Bimestre Saldo Devedor (*) Prestação Amortização Juros 0 250.000,00 1 261.250,00 11.250,00 2 228.671,74 44.334,51 32.578,26 11.756,25 3 194.627,46 44.334,51 34.044,28 10.290,23 4 159.051,19 44.334,51 35.576,27 8.758,24 5 121.873,98 44.334,51 37.177,21 7.157,30 6 83.023,80 44.334,51 38.850,18 5.484,33 7 42.425,37 44.334,51 40.598,44 3.736,07 8 - 44.334,51 42.425,37 1.909,14

Total 310.341,56 261.250,00 60.341,56

(*) O valor do saldo devedor de cada data já exclui os valores pagos de amortização e juros da mesma data.

7.2 Sistema de Amortização Constante – SAC (Sistema Hamburguês) Este sistema consiste em fixar a amortização num valor constante em qualquer período, variando as prestações e juros. Neste sistema tanto os juros como as prestações decrescem ao longo tempo. O valor de cada amortização é a divisão do valor financiado pelo número de prestações. Vamos usar o exemplo: empréstimo de $1.000.000, a ser pago em 6 prestações anuais (a primeira um ano após a tomada do dinheiro) com amortização pelo SAC com taxa de juros de 15% ao ano: Para calcular o valor da amortização:

67,666.1666

000.000.1===

n

PVoAmortizaçã

A tabela de amortização fica:

Ano Saldo Devedor Prestação Amortização Juros 0 1.000.000,00 1 833.333,33 316.666,67 166.666,67 150.000,00 2 666.666,67 291.666,67 166.666,67 125.000,00 3 500.000,00 266.666,67 166.666,67 100.000,00 4 333.333,33 241.666,67 166.666,67 75.000,00 5 166.666,67 216.666,67 166.666,67 50.000,00 6 0,00 191.666,67 166.666,67 25.000,00

Total 1.525.000,00 1.000.000,00 525.000,00



Os juros de cada período são calculados pela taxa de juros sobre o saldo devedor do período anterior. A valor de cada prestação é a soma da amortização com os juros respectivos. Exercícios:

61. Montar a planilha de amortização para um financiamento de $205.000, pelo Sistema Francês de Amortização, que deve ser amortizado em 12 prestações mensais (parcelas postecipadas) , sem carência, e com taxa de juros de 1,8% ao mês.

62. Montar a planilha de amortização para um financiamento de $62.500, a ser amortizado em 6 parcelas semestrais, com um ano de carência, e uma taxa nominal de juros de 36% ao ano. Considerar: (a) Sistema Price (b) Sistema Hamburguês

63. Uma pessoa comprou um apartamento e captou parte do valor através de um banco, nas seguintes condições: Valor do apartamento: $60.000 Valor da poupança: $24.000 (Dado de entrada) Número de Prestações: 24 mensais Amortização: Sistema Francês de Amortização Taxa Nominal de Juros: 9% ao ano Um mês após o pagamento da 12ª prestação, esta pessoa propôs ao banco liquidar a dívida. Qual o valor que ela deve pagar ao Banco?

64. Usando os dados do exercício anterior, considerar que esta pessoa resolveu, após o pagamento das 12 prestações, mover uma ação judicial contra o Banco alegando que o Sistema Price não poderia ter sido utilizado para o cálculo do financiamento pois fere a legislação vigente. Na ação ela propõe resolver o problema refinanciando o saldo devedor (após o pagamento da 12ª amortização) utilizando o sistema Hamburguês para pagar em 12 prestações. Montar a planilha de amortização desta proposta.

65. Descobrir qual o menor saldo devedor, após o pagamento de 12 parcelas mensais, de um financiamento de $1.350.000 amortizado em 36 meses e com taxa de juros de 2,05% ao mês: se amortizado pelo sistema Francês ou pelo Sistema Hamburguês? Nos dois casos, calcule também o total de juros pagos até a 12ª prestação.

66. Calcular o percentual amortizado até a 6ª prestação de um financiamento, pelo Sistema Francês, de $78.000 em 15 parcelas bimestrais, à uma taxa de juros nominal de 48% ao ano.

67. Calcular os totais de amortização e juros pagos até a 8ª prestação de um financiamento, pelo Sistema Hamburguês, de $750.000 em 10 parcelas anuais, com 2 anos de carência, e com taxa de juros de 42% ao ano.

8. Fluxo de Caixa e Análise de Investimentos



Aqui será visto a análise de investimentos sobre o ponto de vista financeiro. Não será levado em conta a análise dos riscos envolvidos e outras considerações que geralmente são relevantes na tomada de decisão sobre um investimento. Existem vários métodos de análise de investimentos, mas será estudado apenas os dois mais conhecidos e utilizados: o método do valor presente líquido e o método da taxa interna de retorno. Antes de entrarmos no estudo destes dois métodos discorreremos sobre fluxo de caixa. O fluxo de caixa nada mais é que uma tabela, um diagrama ou um gráfico, onde são mostradas as entradas e saídas de dinheiro de um empreendimento, negócio, investimento, etc, no decorrer de um determinado período. O fluxo de caixa é essencial para a análise de investimentos pois é através dele que se terá todos os valores de investimentos e retornos demonstrados. 8.1 Fluxo de Caixa O fluxo de caixa pode ser representado através de tabela, diagrama ou gráfico, sendo os dois primeiros mais utilizados. Veja a tabela de fluxo de caixa abaixo: Este exemplo mostra o fluxo de caixa de um empresa num período de cinco de meses. A linha ‘Entrada’ contém os valores de ‘entrada de caixa’ ou quanto de dinheiro entrou no caixa da empresa mês a mês. A linha ‘Saída’ contém os valores de saída de caixa da empresa. A linha ‘Saldo’, contém os saldos de cada mês. O saldo de cada mês é calculado pela entrada do mês menos a saída deste mês. No mês de setembro/2003, a entrada de $4.500 menos a saída de $2.300, dá um saldo positivo de $2.200. No mês de Julho/2003 a entrada zero menos a saída de $16.000, dá um saldo negativo de $16.000. Geralmente quando o saldo negativo ele é representado entre parênteses, mas pode ser representado também, com um sinal negativo. A linha ‘Saldo Acumulado’ contém o saldo total do negócio acumulado mês a mês.

Julho/2003 Agosto/2003 Setembro/2003 Outubro/2003 Novembro/2003

Entrada $4.500 $7.500 $14.800

Saída $16.000 $1.500 $2.300 $4.700

Saldo ($16.000) ($1.500) $2.200 $7.500 $10.100

Saldo Acumulado ($16.000) ($17.500) ($15.300) ($7.800) $2.300



$4.500 $7.500 $14.800

Jul/2003 Ago/2003 Set/2003 Out/2003 Nov/2003 Mês

$16.000 $1.500 $2.300 $4.700

Ele é calculado somando-se o saldo acumulado do mês anterior com o saldo do mês. No exemplo acima, supondo que o saldo acumulado deste negócio, no mês anterior a Julho/2003 (Junho/2003) seja igual a zero, então teremos Saldo Acumulado de Julho/2003 = 0 + ($16.000) Saldo Acumulado de Agosto/2003= ($16.000) + ($1.500) = ($17.500) Saldo Acumulado de Setembro/2003= ($17.500) + $2.200 = ($15.300) Saldo Acumulado de Outubro/2003= ($15.300) + $7.500 = ($7.800) Saldo Acumulado de Novembro/2003= ($7.800) + $10.100 = $2.300 Este fluxo de caixa pode ser representado também por um diagrama, mostrando todas entradas e saídas. Neste caso, as entradas são representadas com setas para cima e as saídas com setas para baixo e todas com os respectivos valores como abaixo: Para uso na análise de investimentos, que veremos a seguir, é mais prático usar o diagrama de fluxo de caixa usando apenas os valores do saldo mensal como se segue: 8.2 Taxa Mínima de Atratividade Quando tomar uma decisão de investimento o investidor deve ter um parâmetro de comparação entre o que ele considera desejável ou atrativo e o que aquele investimento está lhe dando de retorno.

$2.200 $7.500 $10.100

Jul/2003 Ago/2003 Set/2003 Out/2003 Nov/2003 Mês

$16.000 $1.500



Este parâmetro é chamado de Taxa Mínima de Atratividade e representa uma taxa de juros mínima de rentabilidade que o investidor deseja para aquele tipo de investimento. A taxa mínima de atratividade é determina por cada investidor. Você pode ter investidores distintos que num mesmo tipo de investimento tenham taxas distintas. Por exemplo, para um determinado investidor aplicar um capital num empreendimento imobiliário implica em ter taxa mínima de atratividade de 52% ao ano. Já para outro investidor, aplicar o mesmo capital neste mesmo empreendimento pode implicar numa taxa mínima de atratividade de 45% ao ano. Este parâmetro será utilizado nos métodos de análise de investimentos que veremos a seguir. 8.3 Método do Valor Presente Líquido (VPL) Este método consiste em calcular os capitais equivalentes de todas as entradas e saídas de caixa, na data focal ZERO, utilizando como taxa de juros a taxa mínima de atratividade. Somam-se todos os capitais equivalentes das entradas de caixa e subtrai-se da soma de todos os capitais equivalentes das saídas de caixa obtendo-se o Valor Presente Líquido (VPL) do investimento.

• Se o VPL for maior que zero, implica que o investimento é atrativo (tem rentabilidade maior que a taxa mínima de atratividade).

• Se o VPL for menor que zero, implica que o investimento não é atrativo (tem rentabilidade menor que a taxa mínima de atratividade).

• Se o VPL for igual a zero, implica que o investimento tem rentabilidade igual à taxa mínima de atratividade.

Quanto maior for o VPL positivo maior rentabilidade apresenta o investimento. Observação 1: para usar este método na comparação de duas ou mais alternativas de investimentos, deve-se tomar as seguintes precauções:

(1) o tempo de duração deve ser igual para todos os investimentos. Caso contrário usa-se um artifício que veremos mais adiante.

(2) Não se pode comparar simplesmente valores absolutos do VPL de vários investimentos que se está analisando. Por exemplo, se você tem a alternativa 1 para investir $20.000 com VPL=$5.000 e alternativa 2 para investir $100.000 com VPL=$15.000, ambas com mesmo período de duração, não pode simplesmente adotar a alternativa 2 por apresentar maior VPL, pois apresenta também maior investimento. Nestes casos utilizamos outro artifício que também será visto mais adiante, que é a analise de investimentos mutuamente exclusivos.

O método descrito acima é ideal para analisarmos apenas um investimento, ou para vários investimentos desde que estes tenham mesmo valores investidos e mesmos períodos de investimentos.



Observação 2: Para a utilização dos métodos de análise de investimentos é primordial a utilização de calculadoras ou planilhas eletrônicas para a agilização dos cálculos. Sugere-se que o leitor vá, neste momento, ao capítulo do uso da calculadora HP12C e do Excel, principalmente aos itens que tratam da análise de investimentos. Exemplo 1: Um investidor que adotou taxa mínima de atratividade de 36% ao ano, deseja investir $500.000 num empreendimento que apresenta custos bimestrais de $25.200 e receita mensal de $79.500 durante 8 meses. Analisar se o investimento é atrativo. O primeiro passo é fazer o diagrama de fluxo de caixa:

$79.500 $79.500 $79.500 $79.500 $79.500 $79.500 $79.500 $79.500

0 1 2 3 4 5 6 7 8 Mês

$500.000 $25.200 $25.200 $25.200 $25.200 Para inserir estes dados na calculador financeira temos que calcular o saldo de caixa mês a mês. Na HP12C a entrada dos dados fica: f CLEAR FIN 500000 CHS g CF0 79500 g CFj 79500 ENTER 25200 - g CFj 79500 g CFj 79500 ENTER 25200 - g CFj 79500 g CFj 79500 ENTER 25200 - g CFj 79500 g CFj 79500 ENTER 25200 - g CFj [Lembre-se que como os dados do fluxo de caixa inseridos foram mensais, então a taxa mínima de atratividade deve ser inserida em % ao mês. Para isso calculamos a taxa equivalente mensal a 36% ao ano, que dá 2,595% ao mês.] 2,595 i a f NPV O resultado é :VPL=($21.112,07) E sendo um número negativo implica dizer que o investimento não é atrativo.



Exemplo 2: Um investidor comprou um apartamento por $180.000. Ele gastou nas reformas, $15.000 no primeiro mês, $12.000 no segundo mês, $12.000 no terceiro mês, $10.000 no quarto mês e $9.000 no quinto mês e vendeu o apartamento no sétimo mês por $330.000. Usando o método do valor presente líquido verificar se este investimento foi compensador considerando que o investidor adota uma taxa mínima de atratividade de 42,6% ao ano. Fluxo de Caixa:

$330.000

0 1 2 3 4 5 6 7 Mês $180.000 $15.000 $12.000 $12.000 $10.000 $9.000 Inserindo os dados na HP12C: f CLEAR FIN 180000 CHS g CF0 15000 CHS g CFj

12000 CHS g CFj 2 Nj 10000 CHS g CFj 9000 CHS g CFj 330000 g CFj 3,00 i a [ Taxa equivalente mensal à 42,6% ao ano] f NPV Resultado: VPL=$ 42.865,50 – Como VPL é maior que zero então o investimento foi compensador. 8.3.1 Método do Valor Presente Líquido para Períodos Diferentes de

Investimentos Na análise de duas ou mais alternativas de investimentos pelo método do valor presente, deve-se verificar primeiramente se os períodos das alternativas são iguais. Caso estes períodos sejam diferentes então é usado o seguinte artifício:

- calcular o mínimo múltiplo comum dos períodos envolvidos; - em cada investimento alteramos o fluxo de caixa de maneira que o

seu período de duração fique igual ao valor do MMC encontrado repetindo-se o investimento inicial ‘x’ vezes.

- Desta maneira todos os investimentos, para efeito de cálculos e análise, ficarão com a mesma duração.



Exemplo 3: Um investidor tem três alternativas para investir $5.000.000 conforme. Fluxos de caixa abaixo: Investimento 1:

Ano Entradas Saídas 0 $5.000.000 1 $1.200.000 2 $2.800.000 3 $3.100.000 4 $2.500.000

Investimento 2:

Ano Entradas Saídas 0 $5.000.000 1 $2.700.000 2 $2.700.000 3 $2.700.000

Investimento 3:

Ano Entradas Saídas 0 $5.000.000 1 $3.600.000 2 $3.100.000

Se o investidor adotou uma taxa mínima de atratividade de 25% ao ano verificar, pelo método do valor presente líquido, qual a melhor alternativa de investimento. Resolução: Como as durações dos investimentos são diferentes (4, 3 e 2 anos), devemos calcular o MMC destes três números que dá 12 anos. Agora , para cada investimento, repetimos o seu respectivo fluxo de caixa até atingirmos 12 anos. Os valores do Ano 0 devem coincidir com os valores do último ano do respectivo fluxo caixa: Investimento 1: Seu fluxo de caixa deve ser repetido 3 vezes:

Ano Entradas Saídas 0 $5.000.000 1 $1.200.000 2 $2.800.000 3 $3.100.000 4 (*) $2.500.000 5 $1.200.000 6 $2.800.000 7 $3.100.000 8 (*) $2.500.000 9 $1.200.000 10 $2.800.000 11 $3.100.000 12 $2.500.000



(*) Observe que nos anos 4 e 8 o valor de saída de $2.500.000 é resultante da diferença dos $5.000.000 de saída do ano 0 com o valor de entrada de $2.500.000 do ano 4. Entrando com os dados na HP12C e calculado VPL: f CLEAR FIN 5000000 CHS g CF0 1200000 g CFj 2800000 g CFj

3100000 g CFj 2500000 CHS g CFj 1200000 g CFj

2800000 g CFj 3100000 g CFj 2500000 CHS g CFj 1200000 g CFj 2800000 g CFj

3100000 g CFj 2500000 g CFj 25 i a f NPV Resultado do Investimento 1: $5.572.901,57 Investimento 2: Repete-se seu fluxo de caixa 4 vezes:

Ano Entradas Saídas 0 $5.000.000 1 $2.700.000 2 $2.700.000 3 $2.300.000 4 $2.700.000 5 $2.700.000 6 $2.300.000 7 $2.700.000 8 $2.700.000 9 $2.300.000 10 $2.700.000 11 $2.700.000 12 $2.700.000

Entrando com os dados na HP12C e calculado VPL: f CLEAR FIN 5000000 CHS g CF0 2700000 g CFj

2 g Nj 2300000 CHS g CFj



2700000 g CFj 2 g Nj 2300000 CHS g CFj 2700000 g CFj 2 g Nj

2300000 CHS g CFj 2700000 g CFj 3 g Nj

25 i a f NPV Resultado do Investimento 2: $516.021,01 Investimento 3: Repete-se o fluxo de caixa 6 vezes:

Ano Entradas Saídas 0 $5.000.000 1 $3.600.000 2 $1.900.000 3 $3.600.000 4 $1.900.000 5 $3.600.000 6 $1.900.000 7 $3.600.000 8 $1.900.000 9 $3.600.000 10 $1.900.000 11 $3.600.000 12 $3.100.000

Entrando com os dados na HP12C e calculado VPL: f CLEAR FIN 5000000 CHS g CF0 3600000 g CFj 1900000 CHS g CF0 3600000 g CFj

1900000 CHS g CF0 3600000 g CFj

1900000 CHS g CF0 3600000 g CFj 1900000 CHS g CF0 3600000 g CFj 1900000 CHS g CF0 3600000 g CFj 3100000 g CFj 25 i a f NPV Resultado do Investimento 3: ($351.817,09)



Deste modo conclui-se que a melhor alternativa é o Investimento 1 pois apresenta maior VPL=$5.572.901,57 8.3.2 Investimentos Mutuamente Exclusivos 8.4 Método da Taxa Interna de Retorno (TIR) Este método consiste em calcular a taxa de juros que ‘ZERA’ o fluxo de caixa. Em outras palavras, dado um fluxo de caixa, deve-se descobrir qual a taxa de juros que aplicada a todas as entradas e trazendo seus valores para a data focal ‘0’, iguala a somatória de seus valores com a somatória dos valores de todas as saídas trazidas para a data focal ‘0’ quando aplicada esta mesma taxa de juros. Esta taxa de juros é chamada de TIR (taxa Interna de Retorno) e representa a real rentabilidade do investimento. Para a análise do investimento deveremos considerar:

• Se a TIR for maior que a taxa mínima de atratividade, implica que o investimento é atrativo (tem rentabilidade maior que a taxa mínima de atratividade).

• Se a TIR for menor que a taxa mínima de atratividade, implica que o investimento não é atrativo (tem rentabilidade menor que a taxa mínima de atratividade).

• Se a TIR for igual a taxa mínima de atratividade, implica que o investimento tem rentabilidade igual à taxa mínima de atratividade.

Exemplo 1: Utilizaremos os dados do Exemplo 1 do item 8.3. O fluxo de caixa é o mesmo que do exemplo do item 8.3. Para a entrada de dados na HP12C segue-se os mesmos passos excluindo os dois últimos. (Caso você faça a análise pelos métodos do VPL e da TIR, basta apenas teclar: f IRR que a HP12C calculará a TIR). Para este exemplo temos: f CLEAR FIN 500000 CHS g CF0 79500 g CFj 79500 ENTER 25200 - g CFj 79500 g CFj 79500 ENTER 25200 - g CFj 79500 g CFj 79500 ENTER 25200 - g CFj 79500 g CFj 79500 ENTER 25200 - g CFj f IRR



O resultado já é dado em percentual: 1,5708% ao mês ou calculando a taxa equivalente anual, 20,6% a.a. Logo, pelo método da TIR, o investimento não é atrativo pois a TIR é menor que a taxa mínima de atratividade. Exemplo 2: Os mesmos dados do exemplo 2 do item 8.3 Temos então: f CLEAR FIN 180000 CHS g CF0 15000 CHS g CFj 12000 CHS g CFj 2 Nj 10000 CHS g CFj 9000 CHS g CFj 330000 g CFj f IRR Resultado: TIR=6,26% ao mês ou 107,2% ao ano. Como a TIR é maior que a taxa mínima de atratividade, então o investimento foi compensador. Exemplo 3: Os mesmos dados do exemplo 3 do item 8.3 Pelo método da TIR não há a necessidade de se repetir os fluxos de caixa até o MMC dos períodos de cada investimento. Então usamos as tabelas com os períodos originais de cada investimento. Ficamos com: Investimento 1: f CLEAR FIN 5000000 CHS g CF0 1200000 g CFj

2800000 g CFj 3100000 g CFj 2500000 g CFj f IRR Resultado: TIR1=28,6% ao ano Investimento 2: f CLEAR FIN 5000000 CHS g CF0 2700000 g CFj

3 g Nj f IRR



Resultado: TIR2=28,6% ao ano Investimento 3: f CLEAR FIN 5000000 CHS g CF0 3600000 g CFj 3100000 g CFj

f IRR Resultado: TIR3=22,6% ao ano Pelo método da TIR, os investimentos 1 e 2 são atrativos pois tem TIR superior à taxa mínima de atratividade. O investimento 3 não é atrativo pois a TIR é inferior à taxa mínima de atratividade. Comparando os investimentos 1 e 2, ambos apresentam, praticamente, a mesma rentabilidade (TIR1=TIR2). 8.5 Comparação entre os Métodos da TIR e do VPL Ao se analisar uma ou mais alternativas de investimentos com os métodos estudados devemos tomar alguns cuidados. O método da TIR pode apresentar vários resultados para um mesmo fluxo de caixa. Este método é utilizado por muitos profissionais da área financeira e marketing na tomada de decisão de investimentos. Sugere-se o método da TIR seja usado por pessoas que tenham profundos conhecimentos na área financeira pois ele apresenta algumas distorções e alguns cuidados devem ser tomados. Deve-se dar preferência ao método do VPL, principalmente quando ocorrer de, ao analisar dois ou mais investimentos, um determinado investimento ser mais atrativo pelo método da TIR e ser menos atrativo pelo método do VPL. Quando um investimento é analisado isoladamente, se ele for atrativo pelo método do VPL, seguramente ele também o será pelo método da TIR. Porém a situação descrita no parágrafo anterior ocorre com certa freqüência e quando se deparar com ela escolha o método do VPL para a tomada de decisão. Antes de analisarmos um caso específico onde se deparará com esta situação, vamos estudar o gráfico do valor presente líquido. GRÁFICO DO VALOR PRESENTE LÍQUIDO Este gráfico facilita a ‘vizualização’ do comportamento dos investimentos que estão sendo analisados. Ele consiste de colocarmos no eixo y os VPL e no eixo x os valores das taxa de desconto. Então aplica-se o método do VPL nos fluxos de caixa utilizando-se diversas taxas de desconto.



Vamos tomar o seguinte exemplo para traçar o gráfico do VPL: Um investimento inicial de $50.000, com taxa mínima atratividade de 12% ao semestre e com o seguinte fluxo de caixa:

Semestre Entradas Saídas 0 $50.000 1 $10.000 2 $20.000 3 $35.000 4 $42.500 5 $41.000

O interessante é montar uma tabela com as taxas e os VPL´s e calcular cada VPL utilizando-se o método já visto.

Taxa VPL 0% 98.500 5% 74.988 10% 56.402 15% 41.515 20% 29.450 25% 19.563 30% 11.380 35% 4.546 40% (1.212) 45% (6.100) 50% (10.280) 55% (13.879) 60% (16.998)

Com estes valores traça-se o gráfico VPL x taxa:

12%

-40.000

-20.000

0

20.000

40.000

60.000

80.000

100.000

120.000

0% 5% 10%

15%

20%

25%

30%

35%

40%

45%

50%

55%

60%

taxa de desconto

Val

or

Pre

sen

te L

íqu

ido

TIR=39% a.s.

44.695

98.500

Gráfico do Valor presente Líquido



Note o seguinte:

1. Para taxa igual a 0%, VPL=98.500, que é a somatória de todos os saldos do fluxo de caixa (-50.000+10.000+20.000+35.000+42.500+41.000);

2. Para taxa igual a 12% (igual à taxa mínima de atratividade), VPL é igual a 44.695, que pelo método do VPL significa que o investimento é atrativo;

3. O ponto no eixo da taxa de desconto onde a curva passa (quando VPL=0) tem o valor da TIR (lembre-se que a TIR é taxa de juros que ‘zera’ o fluxo de caixa na data focal ZERO);

Este gráfico se torna mais útil quando utilizado na comparação de duas ou mais alternativas de investimento. Vamos a outro exemplo: Considere duas alternativas de investimento, para um capital inicial de $100.000, taxa mínima de atratividade de 4% ao mês e com seus respectivos fluxos de caixa abaixo:

Mês Investimento 1 Investimento 2 0 -100.000 -100.000 1 35.000 7.000 2 32.000 10.000 3 29.000 13.000 4 26.000 16.000 5 23.000 19.000 6 20.000 22.000 7 17.000 25.000 8 14.000 28.000 9 11.000 31.000

10 8.000 34.000 11 5.000 37.000 12 2.000 40.000

Antes de criar a tabela de VPL x taxa é interessante calcular os valores da TIR de cada investimento e dos VPL´s segundo seus métodos. Temos então : Investimento 1 : TIR=23,21% ao mês e VPL=$86.734 Investimento 2 : TIR=15,26% ao mês e VPL=$107.439 Se analisássemos essas alternativas de investimento somente pelo método da TIR estaríamos concluindo que o Investimento 1 é melhor que o Investimento 2. Se fosse pelo método do VPL estaríamos optando pelo Investimento 2. Então, qual investimento efetivamente é mais vantajoso que o outro? Para nos auxiliar nessa análise elaboramos o gráfico do VPL. A tabela VPL x taxa fica:



Taxa Investimento1 Investimento20% 122.000 182.000 2% 103.123 141.041 4% 86.734 107.439 6% 72.424 79.697 8% 59.861 56.654

10% 48.776 37.400 12% 38.946 21.217 14% 30.191 7.542 16% 22.357 (4.079)18% 15.320 (14.004)20% 8.973 (22.525)22% 3.227 (29.877)24% (1.993) (36.249)26% (6.752) (41.799)28% (11.102) (46.652)30% (15.093) (50.916)32% (18.763) (54.677)

E o gráfico resultante:

Gráfico do Valor Presente Líquido

-50.000

0

50.000

100.000

150.000

0% 4% 8% 12% 16% 20% 24% 28% 32%

Taxa Mensal

VP

L

Investimento 1

Investimento 2

86.734

107.439

TIR=15,26% a.m.

TIR=23,21% a.m.

Ponto de Equilíbrio

7,30%

Observando as curvas deste gráfico podemos notar que o Investimento 2 é mais sensível à variação da taxa de desconto que o Investimento 1. Como a parte mais significativa da entrada de caixa ocorre nos últimos períodos então a variação do VPL é maior pois a influência da taxa+período é mais acentuada.



Podemos chegar a algumas conclusões: quando o custo do capital é baixo (no caso até 7,3% ao mês – que é o ponto de equilíbrio) o Investimento 2 é uma alternativa melhor que o Investimento 1. E quando o custo do capital se torna maior (no caso, acima de 7,3% ao mês) o Investimento 1 é a melhor alternativa. Como neste exemplo adotou-se uma taxa mínima de atratividade de 4% ao mês é preferível adotar o Investimento 2 que apresenta maior VPL (os investidores receberão um retorno de $107.439 ao invés de 86.734 do Investimento 1), apesar dele apresentar menor TIR que o Investimento 1. De outro modo, se houver a necessidade de entrada rápida de caixa pode ser adotado o Investimento 1. Lembre-se que existem vários parâmetros a serem analisados na decisão de um investimento. 8.6 TIR Modificada (TIRM) O método da TIR, vista anteriormente, considera que os saldos positivos dos fluxos de caixa são reinvestidas à uma taxa igual à TIR. Porém, geralmente, os saldos positivos dos fluxos de caixa são reinvestidos ao custo do capital. A TIR modificada é um método que leva este fato em consideração e é um avaliador mais preciso que a TIR regular. A TIR modificada pode considerar, também, que o capital investido é capitado no mercado financeiro caso o investidor opte em não dispor de seus próprios recursos. Neste caso, para se calcular a TIRM, é necessário conhecer duas taxas: a de reinvestimento (taxa na qual o mercado financeiro paga pela aplicação) e a taxa e captação (taxa na qual o mercado financeiro cobra pelo empréstimo). Na maioria dos casos utiliza-se apenas da taxa de reinvestimento pois parte-se do princípio que o capital investido vem dos recursos próprios dos investidores. O método da TIR modificada é mais necessário nos casos de fluxo de caixa não convencional. O processo para se calcular a TIRM é o seguinte:

1. Todos os saldos positivos do fluxo de caixa são levados à última data focal deste fluxo à taxa de juros do custo do capital (taxa de reinvestimento) e somados. (Vamos chamar esta soma de FV – ‘Valor Futuro’);

2. Todos os saldos negativos do fluxo de caixa são levados à data focal ZERO pela taxa de juros igual ao custo do capital (que pode ser a taxa de captação quando os recursos são obtidos no mercado financeiro ou a taxa de reinvestimento quando os recursos são dos próprios investidores) e somados (Vamos chamar de PV – ‘Valor Presente’);

3. Calcular a que taxa de juros que faz com que FV se iguale a PV na data focal ZERO;

4. Esta taxa é a TIRM. 5. Se a TIRM é maior que a taxa do custo de capital, então o projeto

deve ser aceito, caso contrário não deve ser aceito.



Exemplo: Analisar, pelo método da TIRM, a viabilidade dos dois projetos descritos através de seus fluxos de caixa a seguir e com um custo de capital de 5% ao mês:

Mês Projeto 1 Projeto 2 0 (50.000) (50.000)

1 15.000 (15.000)

2 25.000 48.000 3 35.000 52.000

4 (10.000) 15.000

5 (10.000) (12.000)

6 25.000 (15.000)

7 28.000 15.000 8 32.000 25.000

Para o Projeto 1 teremos a seguinte tabela dos valores levados às data focais ZERO e 8:

Mês Fluxo de Caixa do Projeto 1

Saídas na Data Focal ZERO

Entradas na Data Focal 8

0 (50.000,00) 50.000,00 - 1 15.000,00 - 21.106,51 2 25.000,00 - 33.502,39 3 35.000,00 - 44.669,85 4 (10.000,00) 8.227,02 - 5 (10.000,00) 7.835,26 - 6 25.000,00 - 27.562,50 7 28.000,00 - 29.400,00 8 32.000,00 - 32.000,00

Total PV=66.062,29 FV=188.241,25

A TIRM é a taxa que equivale PV e FV na data focal ZERO. Para calcula-la utilizamos a fórmula já vista em juros compostos:

1

1

−

=

n

PVFV

i

..%98,131398,0129,6606225,188241 8

1

mai ==−

=

Então a TIRM do Projeto 1 é 13,98% ao mês. Para o Projeto 2 temos:

Mês Fluxo de Caixa do Projeto 2

Saídas na Data Focal ZERO

Entradas na Data Focal 8

0 (50.000,00) 50.000,00 - 1 (15.000,00) 14.285,71 - 2 48.000,00 - 64.324,59 3 52.000,00 - 66.366,64 4 15.000,00 - 18.232,59 5 (12.000,00) 9.402,31 - 6 (15.000,00) 11.193,23 -



7 15.000,00 - 15.750,00 8 25.000,00 - 25.000,00

Total PV=84.881,26 FV=189.673,83

A TIRM do Projeto 2 será de 10,57% ao mês conforme calculado abaixo:

..%57,101057,0126,8488183,1889673 8

1

mai ==−

=

Então, pela TIRM, a melhor alternativa é o Projeto 1 pois apresenta maior TIRM. Pelo método da TIR regular temos, para o Projeto 1, TIR=29,69% ao mês contra TIR=25,74% ao mês do Projeto 2. Pelo método do VPL temos para o Projeto 1, VPL=$61.347 e para o Projeto 2, VPL=$43.497. Portanto, em qualquer um dos três métodos vistos, o Projeto 1 é superior ao Projeto 2. Exercícios:

(*) Para os exercícios abaixo utilizar, sempre que possível, os três métodos estudados. Fazer o gráfico do VPL.

68. Uma empresa deseja investir $1.200.000 na compra de um

equipamento que lhe dará receita mensal de $87.000. Os custos operacionais e de manutenção são de $15.200 mensais. Sabendo-se que o valor residual deste equipamento (após 18 meses) é de $420.000 e que a taxa mínima de atratividade adotada pela empresa é de 42% ao ano, analisar se este investimento é atrativo.

69. Analisar se os investimentos abaixo são atrativos e qual deles é melhor: Investimento1:

Semestre Entrada Saída 0 159.000 1 76.000 23.000 2 83.000 3 95.500

Investimento2:

Semestre Entrada Saída 0 159.000 1 95.500 23.000 2 83.000 3 76.000

Considerar taxa mínima de atratividade = 20% ao semestre.



70. Antônio acabou de ser demitido e recebeu de indenização $180.000. Ele está em dúvida em como investir este capital em duas alternativas possíveis: a primeira é aplicar este dinheiro no mercado financeiro num fundo de renda fixa que tem rendimento líquido de 1,5% ao mês. A segunda alternativa é adquirir uma casa lotérica por $180.000, que tem lucro líquido mensal de $4.800 e valor residual, daqui a 12 meses, de $150.000. Em qual alternativa Antônio deve investir?

71. Uma fábrica pretende investir na modernização dos seus equipamentos. Ela fará a alienação dos equipamentos antigos por $120.000 e tem duas opções de compra dos novos equipamentos: Equipamento 1 Equipamento 2 Valor do Equipamento $600.000 $750.000 Custo Semestral de Manutenção $35.000 $20.000 Custo Mensal de Mão de Obra $10.000 $8.500 Custo Mensal de matéria Prima $15.000 $20.000 Outras Despesas Semestrais $50.000 $50.000 Valor Residual após 18 meses $250.000 $315.000 Receita Mensal $145.000 $160.000

Considerando que o custo de capital é de 40% ao ano, qual a melhor alternativa? 72. Verificar se os investimentos abaixo, descritos pelos seus fluxos de

caixa, são atrativos e qual deles é o mais interessante. Considerar taxa mínima de atratividade igual a 34% ao ano.:

Investimento1 Investimento 2 Ano Fluxo de Caixa Ano Fluxo de Caixa 0 ($300.000) 0 ($300.000) 1 - 1 $130.000 2 - 2 $348.200 3 $666.698 3 $480.244 4 $666.698

73. Verificar qual dos investimentos abaixo descritos pelos seus fluxos de

caixa é o mais atrativo, considerando que a taxa mínima de atratividade e a taxa de reinvestimento são de 1,8% ao mês e a taxa de captação é de 3,6% ao mês:

Mês Investimento 1 Investimento 2 0 $-150.000 $-150.000 1 $-100.000 $-40.000 2 - $60.000 3 $69.000 $60.000 4 - $60.000 5 - $60.000 6 $95.000 - 7 - - 8 - - 9 $95.000 -

10 $125.000 -



APÊNDICE A – RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS

1. $858.240 2. 2 anos e meio 3. $5.600 4. 3,5% ao bimestre 5. $83.530,98 6. 100% ao ano 7. $109.090,91 8. 6 anos e 21 dias 9. Alternativa II : taxa média de juros de 3,46% ao mês. 10. 0,05% ao dia 1,5% ao mês 11. $1.260 12. $1.432,84 13. 3% ao mês 14. 6 meses e 21 dias, ou 3 trimestres e 21 dias 15. Não foi vantajosa pois o montante da aplicação em 90 dias foi de $29.722,80, valor menor

ao que se obteria se resgatasse o título na data de seu vencimento. 16. $58.723,16 17. $1.193,18 18. $1.416,53 19. 3,14% ao mês 20. 8 meses e 4 dias 21. A operação foi vantajosa pois em 90 dias obteve-se $30.145,80 contra os $30.000 que

teria se resgatasse o título. 22. $59.099,06 23. $10.177.230,83 24. $108.551,25 25. $2.424,00 26. 9,19% ao mês 27. 2 anos e 4 meses 28. 3 anos, 7 meses e 27 dias 29. Os dois investimentos são igualmente rentáveis pois tem a mesma taxa de juros de 5,96%

ao mês 30. 100% ao ano 31. $16.712,90 32. Em duas parcelas pois ainda terei um saldo positivo de $3,68 33. Parte fracionária com juros simples: $16.205.753,26

Parte fracionária com juros compostos: $16.202.864,81 34. Parte fracionária com juros simples: $47.760,23

Parte fracionária com juros compostos: $47.636,29 35. Parte fracionária com juros simples: $21.151.530,46

Parte fracionária com juros compostos: $21.125.200,11 36. Desconto Racional: Resgate: $28.566,64 Desconto: $5.433,36 Desconto Bancário: Resgate: $28.359,13 Desconto: $5.640,87 37. Desconto Racional: Face: $5.610,03 Desconto: $484,03 Desconto Bancário: Face: $5.642,54 Desconto: $516,54 38. Desconto Racional: 41 dias ou 1 mês e 11 dias Desconto Bancário: 37 dias ou 1 mês e 7 dias 39. Desconto Racional: 2,93% ao mês Desconto Bancário: 2,85% ao mês 40. Desconto Racional: Não foi vantajosa, pois em 45 dias o montante foi de $40.000

contra os $45.000 se resgatasse o título nesta data Desconto Bancário: Mesma resposta e mesmo valor 41. Desconto Racional:

Mês Juros Montante



0 515.141,61 1 7.211,98 522.353,59 2 7.312,95 529.666,54 3 7.415,33 537.081,87 4 7.519,15 544.601,02 5 7.624,41 552.225,43 6 7.731,16 559.956,59

Desconto Bancário:

Mês Juros Montante 0 511.762,03 1 7.164,67 518.926,70 2 7.264,97 526.191,67 3 7.366,68 533.558,35 4 7.469,82 541.028,17 5 7.574,39 548.602,57 6 7.680,44 556.283,00

42. (a) 1,52% a.m. 3,06% a.b. 4,63% a.t. 6,22% a.q. 9,47% a.s.

19,85% a.a. (b) 2,06% a.m. 4,16% a.b. 6,30% a.t. 8,49% a.q. 13% a.s 27,69% a.a. (c) 0,74% a.m. 1,48% a.b. 2,23% a.t. 2,98% a.q. 4,5% a.s 9,20% a.a.

43. (a) 1,10% a.m. (b) 16,99% a.a. (c) 16,64% a.a. (d) 6,11% a.b. (e) 0,04% a.d. (f) 11,84% a.s.

44. (d) (Se calcularmos as taxas equivalentes anuais de cada item veremos que a do item (d) é a maior, ou seja, 25,44% a.a.)

45. (a) $12.723,90 (b) $27.803,98 46. $26.456,86 47. $164.431,44 48. $29.412,30 49. $5.092,83 50. É mais vantajoso possuir $20.000 hoje, pois à uma taxa de 7% a.t., $45.000 daqui a três

anos equivalem hoje a $19.980,54 51. Com entrada: $270,34 Sem entrada: $277,78 52. $1.260,95 53. 1,99% a.m. 54. $79.616,82 55. $17.768,77 56. $523,88 57. Loja1: $2.307,50 a vista (Loja2: $ 2.418,26 a vista) 58. 39 prestações de $1.487,30 59. A melhor condição é a vista, pois o comprador teria que dispor de $79.007,80 da sua

aplicação (a 1,6% a.m.) para saldar as prestações, contra os $70.000 que teria que dispor para pagamento a vista.

60. Renda Mensal Vitalícia : $5.433,36 Capital: $452.780,16



61. Mês Saldo Devedor Juros Amortização Prestação 0 205.000,00 1 189.542,59 3.690,00 15.457,41 19.147,41 2 173.806,96 3.411,77 15.735,64 19.147,41 3 157.788,08 3.128,53 16.018,88 19.147,41 4 141.480,86 2.840,19 16.307,22 19.147,41 5 124.880,11 2.546,66 16.600,75 19.147,41 6 107.980,54 2.247,84 16.899,56 19.147,41 7 90.776,79 1.943,65 17.203,76 19.147,41 8 73.263,36 1.633,98 17.513,42 19.147,41 9 55.434,70 1.318,74 17.828,66 19.147,41 10 37.285,12 997,82 18.149,58 19.147,41 11 18.808,85 671,13 18.476,27 19.147,41 12 0,00 338,56 18.808,85 19.147,41 Total 24.768,86 205.000,00 229.768,86

62. (a) Sistema Price

Semestre Saldo Devedor Juros Amortização Prestação 0 62.500,00 1 73.750,00 11.250,00 2 87.025,00 13.275,00 3 77.808,17 15.664,50 9.216,83 24.881,33 4 66.932,31 14.005,47 10.875,86 24.881,33 5 54.098,80 12.047,82 12.833,51 24.881,33 6 38.955,26 9.737,78 15.143,54 24.881,33 7 21.085,87 7.011,95 17.869,38 24.881,33 8 0,00 3.795,46 21.085,87 24.881,33 Total 86.787,97 87.025,00 149.287,97

(b) Sistema Hamburguês

Semestre Saldo Devedor Juros Amortização Prestação 0 62.500,00 1 73.750,00 11.250,00 2 87.025,00 13.275,00 3 72.520,83 15.664,50 14.504,17 30.168,67 4 58.016,67 13.053,75 14.504,17 27.557,92 5 43.512,50 10.443,00 14.504,17 24.947,17 6 29.008,33 7.832,25 14.504,17 22.336,42 7 14.504,17 5.221,50 14.504,17 19.725,67 8 0,00 2.610,75 14.504,17 17.114,92 Total 79.350,75 87.025,00 141.850,75

63. $18.947,49



64. Mês SD Juros Amortização Prestação 12 18.806,44 13 17.239,23 141,05 1.567,20 1.708,25 14 15.672,03 129,29 1.567,20 1.696,50 15 14.104,83 117,54 1.567,20 1.684,74 16 12.537,62 105,79 1.567,20 1.672,99 17 10.970,42 94,03 1.567,20 1.661,24 18 9.403,22 82,28 1.567,20 1.649,48 19 7.836,02 70,52 1.567,20 1.637,73 20 6.268,81 58,77 1.567,20 1.625,97 21 4.701,61 47,02 1.567,20 1.614,22 22 3.134,41 35,26 1.567,20 1.602,47 23 1.567,20 23,51 1.567,20 1.590,71 24 0,00 11,75 1.567,20 1.578,96 Total 916,81 18.806,44 19.723,25

65. O menor saldo devedor é pelo Sistema Hamburguês de $900.000 contra $1.004.129 do

Sistema Francês. Total de Juros: Sistema Francês: $294.815,94 Sistema Hamburguês: $281.362,50

66. 27% 67. Amortização: $ 907.380

Juros: $3.620.547 68. O investimento é atrativo:

TIR=47,2% ao ano VPL=$38.617,94 TIRM=45,0% ao ano

Gráfico do Valor Presente Líquido - Exercício 68

(300.000)

(200.000)

(100.000)

-

100.000

200.000

300.000

400.000

500.000

600.000

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

Taxa Anual

Val

or

Pre

sen

te L

íqu

ido

TIR=47,2% aa



69. Investimento 2 é melhor, analisado por qualquer um dos métodos: VPL2=$3.037,04 VPL1=(1.928,24) TIR2=21,2% a.s. TIR1=19,3% a.s. TIRM2=20,8% a.s. TIRM1=19,5% a.s.

Gráfico do VPL - Exercício 69

(40.000)

(20.000)

-

20.000

40.000

60.000

80.0000% 5%

10%

15%

20%

25%

30%

Taxa Semestral

Val

or

Pre

sen

te L

íqu

ido

Investimento 1

Investimento 2

TIR1=19,3%

TIR2=21,2%

70. Deve investir no mercado financeiro a 1,5% ao mês. Considerando esta taxa como o custo

do capital temos: VPL=($2.186) TIR=1,38% a.m. TIRM=1,40% a.m.


(15.000)

(10.000)

(5.000)

-

5.000

10.000

15.000

20.000

25.000

30.000

0,0%

0,2%

0,4%

0,6%

0,8%

1,0%

1,2%

1,4%

1,6%

1,8%

2,0%

Taxa Mensal

Val

or

Pre

sen

te L

íqu

ido TIR=1,38%



71. Pelo Método do VPL, melhor investimento é a Máquina 2 (VPL2=$1.121.474 contra VPL2=$1.039.511). Pelos Métodos da TIR e da TIRM o melhor investimento seria na Máquina 1 (TIR1=17,93% a.m. / TIRM1=8,75% a.m. contra TIR2=15,78% a.m. / TIRM2=8,20% a.m. Deve-se adotar o investimento na Máquina 2 por apresentar maior retorno líquido (método do VPL).


(300.000)

0

300.000

600.000

900.000

1.200.000

1.500.000

1.800.000

0% 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10%

11%

12%

13%

14%

15%

16%

17%

18%

19%

20%

Taxa de Desconto Mensal

Val

or

Pre

sen

te L

íqu

ido

Máquina 2

Máquina 1

2,84%

TIR= 17,93%TIR= 15,78%

72. Investimento 1: VPL=$316.300 TIR=54,2% a.a. TIRM=51,0% a.a. Investimento 2: VPL=$316.300 TIR=68,5% a.a. TIRM=57,9% a.a.

Os dois investimentos são interessantes (VPL>0 e TIR e TIRM>taxa mínima de atratividade). Pelo método do VPL ambos são equivalentes, porém pelos métodos da TIR e da TIRM, o Investimento 2 é mais interessante. Pode-se optar pela adoção do Investimento 2 caso se tenha a necessidade de entrada de caixa mais rápida.


-100.000

400.000

900.000

1.400.000

1.900.000

2.400.000

2.900.000

3.400.000

3.900.000

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

Taxa Anual

Val

or

Pre

sen

te L

íqu

ido

Investimento 1

Investimento 2

73. Método do VPL Investimento1 (VPL=$88.013,41 contra $69.358,38 do Investimento2)



Métodos da TIR e TIRM Investimento2 (TIR=7,5% am e TIRM=5,5% am contra TIR=6,4% am e TIRM=5,0% am do Investimento 1). Deve-se adotar o Investimento1 pois apresenta maior retorno líquido ao investidor. Porém pode-se adotar o Investimento2 caso haja a necessidade de maior liquidez.


-50.000

-30.000

-10.000

10.000

30.000

50.000

70.000

90.000

110.000

130.000

150.000

0% 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9%

10%

Taxa Mensal

Val

or

Pre

sen

te L

íqu

ido

Investimento 1

Investimento 2

74.

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