Identidade TrigonomtricaNo estudo das funes trigonomtricas pertencentes a um mesmo arco, utilizamos as seguintes relaes trigonomtricas fundamentais:

As relaes trigonomtricas fundamentais originam outras expresses, que so importantes e aplicveis nos casos envolvendo funes de um mesmo arco. Veja as relaes decorrentes das fundamentais:

Toda igualdade verificvel envolvendo funes trigonomtricas denominada identidade trigonomtrica. Observe as seguintes demonstraes:

Exemplo 1

Exemplo 2

Exemplo 3

Exemplo 4A resoluo de identidades trigonomtricas pode ser realizada pela demonstrao atravs das relaes trigonomtricas conhecidas.As identidades trigonomtricas configuram-se como igualdades de funes trigonomtricas em que ambos os lados da igualdade so vlidos dentro do domnio das funes envolvidas. De incio pode parecer confuso, mas veremos que a verificao delas bastante simples.Por exemplo, voc se lembra dasrelaes trigonomtricase das relaes derivadas? Todas elas so exemplos de identidades trigonomtricas. Vamos relembr-las:sen x + cos x = 1tg x =sen x cos xcotg x =1 =cos x tg x sen xsec x =1 cos xcossec x = 1 sen xtg x + 1 = sec xcotg x + 1 = cossec xEm geral, a forma utilizada para a resoluo de identidades trigonomtricas ademonstraoatravs dasrelaes trigonomtricas conhecidas. Podemos realizar essa demonstrao ao desenvolver os dois lados da equao trigonomtrica, chegando a um mesmo valor em ambos os lados. possvel tambm que, trabalhando com apenas um lado, cheguemos ao que est indicado no outro lado da igualdade. Vejamos atravs de exemplos como so feitas essas demonstraes de identidades trigonomtricas.Exemplo 1:tg (x) . (cos (x) sen (x)) = sen (x) . (tg(x) tg (x))Chamemostg (x) . (cos (x) sen (x))def(x)esen (x) . (tg(x) tg (x))deg(x). A estratgia para demonstrar essa identidade desenvolverf(x)at chegar ag(x).f(x) = tg (x) . (cos (x) sen (x))f(x) = tg (x). cos (x) tg (x). sen (x)Podemos substituirtg (x)pelo quocientesen (x) : cos (x), logo:f(x) =sen (x).cos (x)sen (x). sen (x)cos (x) cos (x) Simplificando ocos (x)do numerador da primeira frao com ocos (x)do denominador, temos:f(x) =sen (x)sen (x). sen (x)cos (x) cos (x) f(x) =sen (x). sen (x)sen (x). sen (x) cos (x) cos (x)f(x) = sen (x).sen (x)sen (x). sen (x) cos (x) cos (x)f(x) = sen (x).tg (x)tg (x). sen (x)Colocando o termosen (x)em evidncia, teremos:f(x) = sen (x). (tg (x) tg (x))Masg(x) = sen (x) . (tg(x) tg (x)), lembra-se? Portanto, podemos concluir quef(x) = g(x).Sendo assim, provamos que a identidade vlida.Exemplo 2: sec (x) = 2 1 + sen (x) sen (2x) + 2 cos (x) Chamemos o 1 membro da igualdade def(x)e o 2 membro deg(x). Para demonstrar essa identidade, vamos desenvolver ambos os lados da igualdade at chegar af(x)=g(x). sec (x) = 2 1 + sen (x) sen (2x) + 2 cos (x) Lembra-se dasfunes trigonomtricas do arco duplo? Atravs delas, podemos concluir quesen (2x) = 2.sen(x).cos(x). Podemos utilizar tambm quesec (x) = /cos (x), logo: /cos(x) = 2 1 + sen (x) 2. sen (x). cos (x) + 2 cos (x) 1 . 1 = 2 cos (x) 1 + sen (x) 2cos(x). [sen (x) + 1] 1 = 1 cos (x). [1 + sen (x)] 1cos(x). [sen (x) + 1] 1 = 1 cos (x) + cos(x).sen (x) cos(x).sen (x) + cos (x) Assim, podemos concluir que a identidade verdadeira.