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Pré-Cálculo
Humberto José Bortolossi
Departamento de Matemática Aplicada
Universidade Federal Fluminense
Aula 6
3 de agosto de 2010
Aula 6 Pré-Cálculo 1
Implicações e teoria dos conjuntos
f (x) = g(x) ⇒ u(x) = v(x)
Hipótese: f (x) = g(x). Tese: u(x) = v(x).
A proposição é verdadeirase, e somente se, todo x que satisfaz a hipótese também satisfaz a tese!
Defina os conjuntos:
H = {x ∈ R | f (x) = g(x)} e T = {x ∈ R | u(x) = v(x)}.
A proposição é verdadeira se, e somente se, H ⊆ T .
Aula 6 Pré-Cálculo 3
Implicações e teoria dos conjuntos
f (x) = g(x) ⇒ u(x) = v(x)
Hipótese: f (x) = g(x). Tese: u(x) = v(x).
A proposição é verdadeirase, e somente se, todo x que satisfaz a hipótese também satisfaz a tese!
Defina os conjuntos:
H = {x ∈ R | f (x) = g(x)} e T = {x ∈ R | u(x) = v(x)}.
A proposição é verdadeira se, e somente se, H ⊆ T .
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Implicações e teoria dos conjuntos
f (x) = g(x) ⇒ u(x) = v(x)
Hipótese: f (x) = g(x). Tese: u(x) = v(x).
A proposição é verdadeirase, e somente se, todo x que satisfaz a hipótese também satisfaz a tese!
Defina os conjuntos:
H = {x ∈ R | f (x) = g(x)} e T = {x ∈ R | u(x) = v(x)}.
A proposição é verdadeira se, e somente se, H ⊆ T .
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Implicações e teoria dos conjuntos
f (x) = g(x) ⇒ u(x) = v(x)
Hipótese: f (x) = g(x). Tese: u(x) = v(x).
A proposição é verdadeirase, e somente se, todo x que satisfaz a hipótese também satisfaz a tese!
Defina os conjuntos:
H = {x ∈ R | f (x) = g(x)} e T = {x ∈ R | u(x) = v(x)}.
A proposição é verdadeira se, e somente se, H ⊆ T .
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Implicações e teoria dos conjuntos
f (x) = g(x) ⇒ u(x) = v(x)
Hipótese: f (x) = g(x). Tese: u(x) = v(x).
A proposição é verdadeirase, e somente se, todo x que satisfaz a hipótese também satisfaz a tese!
Defina os conjuntos:
H = {x ∈ R | f (x) = g(x)} e T = {x ∈ R | u(x) = v(x)}.
A proposição é verdadeira se, e somente se, H ⊆ T .
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Implicações e teoria dos conjuntos
f (x) = g(x) ⇒ u(x) = v(x)
Hipótese: f (x) = g(x). Tese: u(x) = v(x).
A proposição é verdadeirase, e somente se, todo x que satisfaz a hipótese também satisfaz a tese!
Defina os conjuntos:
H = {x ∈ R | f (x) = g(x)} e T = {x ∈ R | u(x) = v(x)}.
A proposição é verdadeira se, e somente se, H ⊆ T .
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Implicações e teoria dos conjuntos
f (x) = g(x) ⇒ u(x) = v(x)
Hipótese: f (x) = g(x). Tese: u(x) = v(x).
A proposição é verdadeirase, e somente se, todo x que satisfaz a hipótese também satisfaz a tese!
Defina os conjuntos:
H = {x ∈ R | f (x) = g(x)} e T = {x ∈ R | u(x) = v(x)}.
A proposição é verdadeira se, e somente se, H ⊆ T .
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Implicações e teoria dos conjuntos
f (x) = g(x) ⇒ u(x) = v(x)
Hipótese: f (x) = g(x). Tese: u(x) = v(x).
A proposição é verdadeirase, e somente se, todo x que satisfaz a hipótese também satisfaz a tese!
Defina os conjuntos:
H = {x ∈ R | f (x) = g(x)} e T = {x ∈ R | u(x) = v(x)}.
A proposição é verdadeira se, e somente se, H ⊆ T .
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Implicações e teoria dos conjuntos
f (x) = g(x) ⇒ u(x) = v(x)
Hipótese: f (x) = g(x). Tese: u(x) = v(x).
A proposição é verdadeirase, e somente se, todo x que satisfaz a hipótese também satisfaz a tese!
Defina os conjuntos:
H = {x ∈ R | f (x) = g(x)} e T = {x ∈ R | u(x) = v(x)}.
A proposição é verdadeira se, e somente se, H ⊆ T .
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Implicações e teoria dos conjuntos
f (x) = g(x) ⇒ u(x) = v(x)
Hipótese: f (x) = g(x). Tese: u(x) = v(x).
A proposição é verdadeirase, e somente se, todo x que satisfaz a hipótese também satisfaz a tese!
Defina os conjuntos:
H = {x ∈ R | f (x) = g(x)} e T = {x ∈ R | u(x) = v(x)}.
A proposição é verdadeira se, e somente se, H ⊆ T .
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Implicações e teoria dos conjuntos: exemplo
A sentença abaixo é verdadeira ou falsa?
(x − 1) · (x + 1) = x − 1 ⇒ (x − 1) · (x + 1)
x − 1=
x − 1x − 1
H = {x ∈ R | f (x) = g(x)} = {0, 1}, T = {x ∈ R | u(x) = v(x)} = {0}.
A proposição é falsa, pois H * T .
Note que a recíproca da proposição é verdadeira, pois T ⊆ H.
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Implicações e teoria dos conjuntos: exemplo
A sentença abaixo é verdadeira ou falsa?
(x − 1) · (x + 1) = x − 1 ⇒ (x − 1) · (x + 1)
x − 1=
x − 1x − 1
H = {x ∈ R | f (x) = g(x)} = {0, 1}, T = {x ∈ R | u(x) = v(x)} = {0}.
A proposição é falsa, pois H * T .
Note que a recíproca da proposição é verdadeira, pois T ⊆ H.
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Implicações e teoria dos conjuntos: exemplo
A sentença abaixo é verdadeira ou falsa?
(x − 1) · (x + 1) = x − 1 ⇒ (x − 1) · (x + 1)
x − 1=
x − 1x − 1
H = {x ∈ R | f (x) = g(x)} = {0, 1}, T = {x ∈ R | u(x) = v(x)} = {0}.
A proposição é falsa, pois H * T .
Note que a recíproca da proposição é verdadeira, pois T ⊆ H.
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Implicações e teoria dos conjuntos: exemplo
A sentença abaixo é verdadeira ou falsa?
(x − 1) · (x + 1) = x − 1 ⇒ (x − 1) · (x + 1)
x − 1=
x − 1x − 1
H = {x ∈ R | f (x) = g(x)} = {0, 1}, T = {x ∈ R | u(x) = v(x)} = {0}.
A proposição é falsa, pois H * T .
Note que a recíproca da proposição é verdadeira, pois T ⊆ H.
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Implicações e teoria dos conjuntos: exemplo
A sentença abaixo é verdadeira ou falsa?
(x − 1) · (x + 1) = x − 1 ⇒ (x − 1) · (x + 1)
x − 1=
x − 1x − 1
H = {x ∈ R | f (x) = g(x)} = {0, 1}, T = {x ∈ R | u(x) = v(x)} = {0}.
A proposição é falsa, pois H * T .
Note que a recíproca da proposição é verdadeira, pois T ⊆ H.
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Implicações e teoria dos conjuntos: exemplo
A sentença abaixo é verdadeira ou falsa?
(x − 1) · (x + 1) = x − 1 ⇒ (x − 1) · (x + 1)
x − 1=
x − 1x − 1
H = {x ∈ R | f (x) = g(x)} = {0, 1}, T = {x ∈ R | u(x) = v(x)} = {0}.
A proposição é falsa, pois H * T .
Note que a recíproca da proposição é verdadeira, pois T ⊆ H.
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Implicações e teoria dos conjuntos: exemplo
A sentença abaixo é verdadeira ou falsa?
(x − 1) · (x + 1) = x − 1 ⇒ (x − 1) · (x + 1)
x − 1=
x − 1x − 1
H = {x ∈ R | f (x) = g(x)} = {0, 1}, T = {x ∈ R | u(x) = v(x)} = {0}.
A proposição é falsa, pois H * T .
Note que a recíproca da proposição é verdadeira, pois T ⊆ H.
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Implicações e teoria dos conjuntos: exemplo
A sentença abaixo é verdadeira ou falsa?
(x − 1) · (x + 1) = x − 1 ⇒ (x − 1) · (x + 1)
x − 1=
x − 1x − 1
H = {x ∈ R | f (x) = g(x)} = {0, 1}, T = {x ∈ R | u(x) = v(x)} = {0}.
A proposição é falsa, pois H * T .
Note que a recíproca da proposição é verdadeira, pois T ⊆ H.
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Implicações e teoria dos conjuntos: exemplo
A sentença abaixo é verdadeira ou falsa?
(x − 1) · (x + 1) = x − 1 ⇒ (x − 1) · (x + 1)
x − 1=
x − 1x − 1
H = {x ∈ R | f (x) = g(x)} = {0, 1}, T = {x ∈ R | u(x) = v(x)} = {0}.
A proposição é falsa, pois H * T .
Note que a recíproca da proposição é verdadeira, pois T ⊆ H.
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Implicações e teoria dos conjuntos: exemplo
A sentença abaixo é verdadeira ou falsa?
(x − 1) · (x + 1) = x − 1 ⇒ (x − 1) · (x + 1)
x − 1=
x − 1x − 1
H = {x ∈ R | f (x) = g(x)} = {0, 1}, T = {x ∈ R | u(x) = v(x)} = {0}.
A proposição é falsa, pois H * T .
Note que a recíproca da proposição é verdadeira, pois T ⊆ H.
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Implicações e teoria dos conjuntos: exemplo
A sentença abaixo é verdadeira ou falsa?
(x − 1) · (x + 1) = x − 1 ⇒ (x − 1) · (x + 1)
x − 1=
x − 1x − 1
H = {x ∈ R | f (x) = g(x)} = {0, 1}, T = {x ∈ R | u(x) = v(x)} = {0}.
A proposição é falsa, pois H * T .
Note que a recíproca da proposição é verdadeira, pois T ⊆ H.
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Números reais algebricamente (axiomaticamente)
A partir do conjunto dos números naturais,é possível construir o conjunto dos números reais (R):
um corpo ordenado completo.
Não faremos esta construção aqui,mas explicaremos o significado de corpo ordenado completo.
Aula 6 Pré-Cálculo 25
R é ordenado
Existe um subconjunto dos números reais, denominado conjunto dos númerosreais positivos e designado por R+, que satisfaz as seguintes propriedades:
(O1) Dado a um número real, existem três possibilidades que se excluemmutualmente: ou a é positivo, ou a = 0 ou −a é positivo.
Em símbolos: se a ∈ R, então ou a ∈ R+, ou a = 0 ou −a ∈ R+.
(O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos.
Em símbolos: se a, b ∈ R+, então a + b ∈ R+ e a · b ∈ R+.
Notação: escreveremos a > 0 para indicar que a é um número positivo, isto é, quea ∈ R+.
Diremos que um número real a é negativo se −a é positivo. O conjunto dosnúmeros reais negativos será designado por R−. Escrevemos a < 0 para indicarque a é um número negativo, isto é, que a ∈ R−.
Escrevemos a < b para indicar que b − a > 0 e escreveremos a > b para indicarque b − a < 0.
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R é ordenado
Existe um subconjunto dos números reais, denominado conjunto dos númerosreais positivos e designado por R+, que satisfaz as seguintes propriedades:
(O1) Dado a um número real, existem três possibilidades que se excluemmutualmente: ou a é positivo, ou a = 0 ou −a é positivo.
Em símbolos: se a ∈ R, então ou a ∈ R+, ou a = 0 ou −a ∈ R+.
(O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos.
Em símbolos: se a, b ∈ R+, então a + b ∈ R+ e a · b ∈ R+.
Notação: escreveremos a > 0 para indicar que a é um número positivo, isto é, quea ∈ R+.
Diremos que um número real a é negativo se −a é positivo. O conjunto dosnúmeros reais negativos será designado por R−. Escrevemos a < 0 para indicarque a é um número negativo, isto é, que a ∈ R−.
Escrevemos a < b para indicar que b − a > 0 e escreveremos a > b para indicarque b − a < 0.
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R é ordenado
Existe um subconjunto dos números reais, denominado conjunto dos númerosreais positivos e designado por R+, que satisfaz as seguintes propriedades:
(O1) Dado a um número real, existem três possibilidades que se excluemmutualmente: ou a é positivo, ou a = 0 ou −a é positivo.
Em símbolos: se a ∈ R, então ou a ∈ R+, ou a = 0 ou −a ∈ R+.
(O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos.
Em símbolos: se a, b ∈ R+, então a + b ∈ R+ e a · b ∈ R+.
Notação: escreveremos a > 0 para indicar que a é um número positivo, isto é, quea ∈ R+.
Diremos que um número real a é negativo se −a é positivo. O conjunto dosnúmeros reais negativos será designado por R−. Escrevemos a < 0 para indicarque a é um número negativo, isto é, que a ∈ R−.
Escrevemos a < b para indicar que b − a > 0 e escreveremos a > b para indicarque b − a < 0.
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R é ordenado
Existe um subconjunto dos números reais, denominado conjunto dos númerosreais positivos e designado por R+, que satisfaz as seguintes propriedades:
(O1) Dado a um número real, existem três possibilidades que se excluemmutualmente: ou a é positivo, ou a = 0 ou −a é positivo.
Em símbolos: se a ∈ R, então ou a ∈ R+, ou a = 0 ou −a ∈ R+.
(O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos.
Em símbolos: se a, b ∈ R+, então a + b ∈ R+ e a · b ∈ R+.
Notação: escreveremos a > 0 para indicar que a é um número positivo, isto é, quea ∈ R+.
Diremos que um número real a é negativo se −a é positivo. O conjunto dosnúmeros reais negativos será designado por R−. Escrevemos a < 0 para indicarque a é um número negativo, isto é, que a ∈ R−.
Escrevemos a < b para indicar que b − a > 0 e escreveremos a > b para indicarque b − a < 0.
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R é ordenado
Existe um subconjunto dos números reais, denominado conjunto dos númerosreais positivos e designado por R+, que satisfaz as seguintes propriedades:
(O1) Dado a um número real, existem três possibilidades que se excluemmutualmente: ou a é positivo, ou a = 0 ou −a é positivo.
Em símbolos: se a ∈ R, então ou a ∈ R+, ou a = 0 ou −a ∈ R+.
(O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos.
Em símbolos: se a, b ∈ R+, então a + b ∈ R+ e a · b ∈ R+.
Notação: escreveremos a > 0 para indicar que a é um número positivo, isto é, quea ∈ R+.
Diremos que um número real a é negativo se −a é positivo. O conjunto dosnúmeros reais negativos será designado por R−. Escrevemos a < 0 para indicarque a é um número negativo, isto é, que a ∈ R−.
Escrevemos a < b para indicar que b − a > 0 e escreveremos a > b para indicarque b − a < 0.
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R é ordenado
Existe um subconjunto dos números reais, denominado conjunto dos númerosreais positivos e designado por R+, que satisfaz as seguintes propriedades:
(O1) Dado a um número real, existem três possibilidades que se excluemmutualmente: ou a é positivo, ou a = 0 ou −a é positivo.
Em símbolos: se a ∈ R, então ou a ∈ R+, ou a = 0 ou −a ∈ R+.
(O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos.
Em símbolos: se a, b ∈ R+, então a + b ∈ R+ e a · b ∈ R+.
Notação: escreveremos a > 0 para indicar que a é um número positivo, isto é, quea ∈ R+.
Diremos que um número real a é negativo se −a é positivo. O conjunto dosnúmeros reais negativos será designado por R−. Escrevemos a < 0 para indicarque a é um número negativo, isto é, que a ∈ R−.
Escrevemos a < b para indicar que b − a > 0 e escreveremos a > b para indicarque b − a < 0.
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R é ordenado
Existe um subconjunto dos números reais, denominado conjunto dos númerosreais positivos e designado por R+, que satisfaz as seguintes propriedades:
(O1) Dado a um número real, existem três possibilidades que se excluemmutualmente: ou a é positivo, ou a = 0 ou −a é positivo.
Em símbolos: se a ∈ R, então ou a ∈ R+, ou a = 0 ou −a ∈ R+.
(O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos.
Em símbolos: se a, b ∈ R+, então a + b ∈ R+ e a · b ∈ R+.
Notação: escreveremos a > 0 para indicar que a é um número positivo, isto é, quea ∈ R+.
Diremos que um número real a é negativo se −a é positivo. O conjunto dosnúmeros reais negativos será designado por R−. Escrevemos a < 0 para indicarque a é um número negativo, isto é, que a ∈ R−.
Escrevemos a < b para indicar que b − a > 0 e escreveremos a > b para indicarque b − a < 0.
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R é ordenado
Existe um subconjunto dos números reais, denominado conjunto dos númerosreais positivos e designado por R+, que satisfaz as seguintes propriedades:
(O1) Dado a um número real, existem três possibilidades que se excluemmutualmente: ou a é positivo, ou a = 0 ou −a é positivo.
Em símbolos: se a ∈ R, então ou a ∈ R+, ou a = 0 ou −a ∈ R+.
(O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos.
Em símbolos: se a, b ∈ R+, então a + b ∈ R+ e a · b ∈ R+.
Notação: escreveremos a > 0 para indicar que a é um número positivo, isto é, quea ∈ R+.
Diremos que um número real a é negativo se −a é positivo. O conjunto dosnúmeros reais negativos será designado por R−. Escrevemos a < 0 para indicarque a é um número negativo, isto é, que a ∈ R−.
Escrevemos a < b para indicar que b − a > 0 e escreveremos a > b para indicarque b − a < 0.
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R é ordenado
Existe um subconjunto dos números reais, denominado conjunto dos númerosreais positivos e designado por R+, que satisfaz as seguintes propriedades:
(O1) Dado a um número real, existem três possibilidades que se excluemmutualmente: ou a é positivo, ou a = 0 ou −a é positivo.
Em símbolos: se a ∈ R, então ou a ∈ R+, ou a = 0 ou −a ∈ R+.
(O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos.
Em símbolos: se a, b ∈ R+, então a + b ∈ R+ e a · b ∈ R+.
Notação: escreveremos a > 0 para indicar que a é um número positivo, isto é, quea ∈ R+.
Diremos que um número real a é negativo se −a é positivo. O conjunto dosnúmeros reais negativos será designado por R−. Escrevemos a < 0 para indicarque a é um número negativo, isto é, que a ∈ R−.
Escrevemos a < b para indicar que b − a > 0 e escreveremos a > b para indicarque b − a < 0.
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R é ordenado
Existe um subconjunto dos números reais, denominado conjunto dos númerosreais positivos e designado por R+, que satisfaz as seguintes propriedades:
(O1) Dado a um número real, existem três possibilidades que se excluemmutualmente: ou a é positivo, ou a = 0 ou −a é positivo.
Em símbolos: se a ∈ R, então ou a ∈ R+, ou a = 0 ou −a ∈ R+.
(O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos.
Em símbolos: se a, b ∈ R+, então a + b ∈ R+ e a · b ∈ R+.
Notação: escreveremos a > 0 para indicar que a é um número positivo, isto é, quea ∈ R+.
Diremos que um número real a é negativo se −a é positivo. O conjunto dosnúmeros reais negativos será designado por R−. Escrevemos a < 0 para indicarque a é um número negativo, isto é, que a ∈ R−.
Escrevemos a < b para indicar que b − a > 0 e escreveremos a > b para indicarque b − a < 0.
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R é ordenado
Existe um subconjunto dos números reais, denominado conjunto dos númerosreais positivos e designado por R+, que satisfaz as seguintes propriedades:
(O1) Dado a um número real, existem três possibilidades que se excluemmutualmente: ou a é positivo, ou a = 0 ou −a é positivo.
Em símbolos: se a ∈ R, então ou a ∈ R+, ou a = 0 ou −a ∈ R+.
(O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos.
Em símbolos: se a, b ∈ R+, então a + b ∈ R+ e a · b ∈ R+.
Notação: escreveremos a > 0 para indicar que a é um número positivo, isto é, quea ∈ R+.
Diremos que um número real a é negativo se −a é positivo. O conjunto dosnúmeros reais negativos será designado por R−. Escrevemos a < 0 para indicarque a é um número negativo, isto é, que a ∈ R−.
Escrevemos a < b para indicar que b − a > 0 e escreveremos a > b para indicarque b − a < 0.
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R é ordenado
Existe um subconjunto dos números reais, denominado conjunto dos númerosreais positivos e designado por R+, que satisfaz as seguintes propriedades:
(O1) Dado a um número real, existem três possibilidades que se excluemmutualmente: ou a é positivo, ou a = 0 ou −a é positivo.
Em símbolos: se a ∈ R, então ou a ∈ R+, ou a = 0 ou −a ∈ R+.
(O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos.
Em símbolos: se a, b ∈ R+, então a + b ∈ R+ e a · b ∈ R+.
Notação: escreveremos a > 0 para indicar que a é um número positivo, isto é, quea ∈ R+.
Diremos que um número real a é negativo se −a é positivo. O conjunto dosnúmeros reais negativos será designado por R−. Escrevemos a < 0 para indicarque a é um número negativo, isto é, que a ∈ R−.
Escrevemos a < b para indicar que b − a > 0 e escreveremos a > b para indicarque b − a < 0.
Aula 6 Pré-Cálculo 38
R é ordenado
Existe um subconjunto dos números reais, denominado conjunto dos númerosreais positivos e designado por R+, que satisfaz as seguintes propriedades:
(O1) Dado a um número real, existem três possibilidades que se excluemmutualmente: ou a é positivo, ou a = 0 ou −a é positivo.
Em símbolos: se a ∈ R, então ou a ∈ R+, ou a = 0 ou −a ∈ R+.
(O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos.
Em símbolos: se a, b ∈ R+, então a + b ∈ R+ e a · b ∈ R+.
Notação: escreveremos a > 0 para indicar que a é um número positivo, isto é, quea ∈ R+.
Diremos que um número real a é negativo se −a é positivo. O conjunto dosnúmeros reais negativos será designado por R−. Escrevemos a < 0 para indicarque a é um número negativo, isto é, que a ∈ R−.
Escrevemos a < b para indicar que b − a > 0 e escreveremos a > b para indicarque b − a < 0.
Aula 6 Pré-Cálculo 39
R é ordenado
Existe um subconjunto dos números reais, denominado conjunto dos númerosreais positivos e designado por R+, que satisfaz as seguintes propriedades:
(O1) Dado a um número real, existem três possibilidades que se excluemmutualmente: ou a é positivo, ou a = 0 ou −a é positivo.
Em símbolos: se a ∈ R, então ou a ∈ R+, ou a = 0 ou −a ∈ R+.
(O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos.
Em símbolos: se a, b ∈ R+, então a + b ∈ R+ e a · b ∈ R+.
Notação: escreveremos a > 0 para indicar que a é um número positivo, isto é, quea ∈ R+.
Diremos que um número real a é negativo se −a é positivo. O conjunto dosnúmeros reais negativos será designado por R−. Escrevemos a < 0 para indicarque a é um número negativo, isto é, que a ∈ R−.
Escrevemos a < b para indicar que b − a > 0 e escreveremos a > b para indicarque b − a < 0.
Aula 6 Pré-Cálculo 40
R é ordenado
Existe um subconjunto dos números reais, denominado conjunto dos númerosreais positivos e designado por R+, que satisfaz as seguintes propriedades:
(O1) Dado a um número real, existem três possibilidades que se excluemmutualmente: ou a é positivo, ou a = 0 ou −a é positivo.
Em símbolos: se a ∈ R, então ou a ∈ R+, ou a = 0 ou −a ∈ R+.
(O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos.
Em símbolos: se a, b ∈ R+, então a + b ∈ R+ e a · b ∈ R+.
Notação: escreveremos a > 0 para indicar que a é um número positivo, isto é, quea ∈ R+.
Diremos que um número real a é negativo se −a é positivo. O conjunto dosnúmeros reais negativos será designado por R−. Escrevemos a < 0 para indicarque a é um número negativo, isto é, que a ∈ R−.
Escrevemos a < b para indicar que b − a > 0 e escreveremos a > b para indicarque b − a < 0.
Aula 6 Pré-Cálculo 41
Números reais positivos e a reta numérica
−5 −4 −3 −2 −1 0 11 2 3 4 5
números reais positivosnúmeros reais negativos
Aula 6 Pré-Cálculo 42
Números reais positivos e a reta numérica
−5 −4 −3 −2 −1 0 11 2 3 4 5
números reais positivos
números reais negativos
Aula 6 Pré-Cálculo 43
Números reais positivos e a reta numérica
−5 −4 −3 −2 −1 0 11 2 3 4 5
números reais positivosnúmeros reais negativos
Aula 6 Pré-Cálculo 44
Propriedades decorrentes do fato de R ser ordenado
Todas as proposições abaixo são verdadeiras! As demonstrações serão feitas nadisciplina Matemática Básica.
∀a ∈ R, ou a > 0, ou a = 0 ou a < 0 (tricotomia). [PO01]∀a, b, c ∈ R, a < b ⇒ a + c < b + c. [PO02]∀a, b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇒ a · c < b · c. [PO03]∀a, b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇒ a · c > b · c. [PO04]∀a, b, c ∈ R, a < b e b < c ⇒ a < c. [PO05]∀a, b ∈ R, ou a < b, ou a = b ou a > b. [PO06]∀a, b, c ∈ R, a < b ⇔ a + c < b + c. [PO07]∀a ∈ R− {0}, (i) a > 0⇔ 1/a > 0 e (ii) a < 0⇔ 1/a < 0. [PO08]∀a, b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇔ a · c < b · c. [PO09]∀a, b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇔ a · c > b · c. [PO10]∀a, b ∈ R, (i) a < b ⇔ −a > −b e (ii) a > b ⇔ −a < −b. [PO11]∀a, b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0). [PO12]∀a, b ∈ R, a · b < 0⇔ (a > 0 e b < 0) ou (a < 0 e b > 0). [PO12]∀a ∈ R, a 6= 0⇔ a2 > 0. [PO16]
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Todas as proposições abaixo são verdadeiras! As demonstrações serão feitas nadisciplina Matemática Básica.
∀a ∈ R, ou a > 0, ou a = 0 ou a < 0 (tricotomia). [PO01]∀a, b, c ∈ R, a < b ⇒ a + c < b + c. [PO02]∀a, b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇒ a · c < b · c. [PO03]∀a, b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇒ a · c > b · c. [PO04]∀a, b, c ∈ R, a < b e b < c ⇒ a < c. [PO05]∀a, b ∈ R, ou a < b, ou a = b ou a > b. [PO06]∀a, b, c ∈ R, a < b ⇔ a + c < b + c. [PO07]∀a ∈ R− {0}, (i) a > 0⇔ 1/a > 0 e (ii) a < 0⇔ 1/a < 0. [PO08]∀a, b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇔ a · c < b · c. [PO09]∀a, b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇔ a · c > b · c. [PO10]∀a, b ∈ R, (i) a < b ⇔ −a > −b e (ii) a > b ⇔ −a < −b. [PO11]∀a, b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0). [PO12]∀a, b ∈ R, a · b < 0⇔ (a > 0 e b < 0) ou (a < 0 e b > 0). [PO12]∀a ∈ R, a 6= 0⇔ a2 > 0. [PO16]
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Todas as proposições abaixo são verdadeiras! As demonstrações serão feitas nadisciplina Matemática Básica.
∀a ∈ R, ou a > 0, ou a = 0 ou a < 0 (tricotomia). [PO01]∀a, b, c ∈ R, a < b ⇒ a + c < b + c. [PO02]∀a, b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇒ a · c < b · c. [PO03]∀a, b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇒ a · c > b · c. [PO04]∀a, b, c ∈ R, a < b e b < c ⇒ a < c. [PO05]∀a, b ∈ R, ou a < b, ou a = b ou a > b. [PO06]∀a, b, c ∈ R, a < b ⇔ a + c < b + c. [PO07]∀a ∈ R− {0}, (i) a > 0⇔ 1/a > 0 e (ii) a < 0⇔ 1/a < 0. [PO08]∀a, b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇔ a · c < b · c. [PO09]∀a, b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇔ a · c > b · c. [PO10]∀a, b ∈ R, (i) a < b ⇔ −a > −b e (ii) a > b ⇔ −a < −b. [PO11]∀a, b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0). [PO12]∀a, b ∈ R, a · b < 0⇔ (a > 0 e b < 0) ou (a < 0 e b > 0). [PO12]∀a ∈ R, a 6= 0⇔ a2 > 0. [PO16]
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Todas as proposições abaixo são verdadeiras! As demonstrações serão feitas nadisciplina Matemática Básica.
∀a ∈ R, ou a > 0, ou a = 0 ou a < 0 (tricotomia). [PO01]∀a, b, c ∈ R, a < b ⇒ a + c < b + c. [PO02]∀a, b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇒ a · c < b · c. [PO03]∀a, b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇒ a · c > b · c. [PO04]∀a, b, c ∈ R, a < b e b < c ⇒ a < c. [PO05]∀a, b ∈ R, ou a < b, ou a = b ou a > b. [PO06]∀a, b, c ∈ R, a < b ⇔ a + c < b + c. [PO07]∀a ∈ R− {0}, (i) a > 0⇔ 1/a > 0 e (ii) a < 0⇔ 1/a < 0. [PO08]∀a, b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇔ a · c < b · c. [PO09]∀a, b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇔ a · c > b · c. [PO10]∀a, b ∈ R, (i) a < b ⇔ −a > −b e (ii) a > b ⇔ −a < −b. [PO11]∀a, b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0). [PO12]∀a, b ∈ R, a · b < 0⇔ (a > 0 e b < 0) ou (a < 0 e b > 0). [PO12]∀a ∈ R, a 6= 0⇔ a2 > 0. [PO16]
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Todas as proposições abaixo são verdadeiras! As demonstrações serão feitas nadisciplina Matemática Básica.
∀a ∈ R, ou a > 0, ou a = 0 ou a < 0 (tricotomia). [PO01]∀a, b, c ∈ R, a < b ⇒ a + c < b + c. [PO02]∀a, b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇒ a · c < b · c. [PO03]∀a, b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇒ a · c > b · c. [PO04]∀a, b, c ∈ R, a < b e b < c ⇒ a < c. [PO05]∀a, b ∈ R, ou a < b, ou a = b ou a > b. [PO06]∀a, b, c ∈ R, a < b ⇔ a + c < b + c. [PO07]∀a ∈ R− {0}, (i) a > 0⇔ 1/a > 0 e (ii) a < 0⇔ 1/a < 0. [PO08]∀a, b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇔ a · c < b · c. [PO09]∀a, b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇔ a · c > b · c. [PO10]∀a, b ∈ R, (i) a < b ⇔ −a > −b e (ii) a > b ⇔ −a < −b. [PO11]∀a, b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0). [PO12]∀a, b ∈ R, a · b < 0⇔ (a > 0 e b < 0) ou (a < 0 e b > 0). [PO12]∀a ∈ R, a 6= 0⇔ a2 > 0. [PO16]
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Todas as proposições abaixo são verdadeiras! As demonstrações serão feitas nadisciplina Matemática Básica.
∀a ∈ R, ou a > 0, ou a = 0 ou a < 0 (tricotomia). [PO01]∀a, b, c ∈ R, a < b ⇒ a + c < b + c. [PO02]∀a, b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇒ a · c < b · c. [PO03]∀a, b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇒ a · c > b · c. [PO04]∀a, b, c ∈ R, a < b e b < c ⇒ a < c. [PO05]∀a, b ∈ R, ou a < b, ou a = b ou a > b. [PO06]∀a, b, c ∈ R, a < b ⇔ a + c < b + c. [PO07]∀a ∈ R− {0}, (i) a > 0⇔ 1/a > 0 e (ii) a < 0⇔ 1/a < 0. [PO08]∀a, b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇔ a · c < b · c. [PO09]∀a, b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇔ a · c > b · c. [PO10]∀a, b ∈ R, (i) a < b ⇔ −a > −b e (ii) a > b ⇔ −a < −b. [PO11]∀a, b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0). [PO12]∀a, b ∈ R, a · b < 0⇔ (a > 0 e b < 0) ou (a < 0 e b > 0). [PO12]∀a ∈ R, a 6= 0⇔ a2 > 0. [PO16]
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Todas as proposições abaixo são verdadeiras! As demonstrações serão feitas nadisciplina Matemática Básica.
∀a ∈ R, ou a > 0, ou a = 0 ou a < 0 (tricotomia). [PO01]∀a, b, c ∈ R, a < b ⇒ a + c < b + c. [PO02]∀a, b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇒ a · c < b · c. [PO03]∀a, b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇒ a · c > b · c. [PO04]∀a, b, c ∈ R, a < b e b < c ⇒ a < c. [PO05]∀a, b ∈ R, ou a < b, ou a = b ou a > b. [PO06]∀a, b, c ∈ R, a < b ⇔ a + c < b + c. [PO07]∀a ∈ R− {0}, (i) a > 0⇔ 1/a > 0 e (ii) a < 0⇔ 1/a < 0. [PO08]∀a, b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇔ a · c < b · c. [PO09]∀a, b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇔ a · c > b · c. [PO10]∀a, b ∈ R, (i) a < b ⇔ −a > −b e (ii) a > b ⇔ −a < −b. [PO11]∀a, b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0). [PO12]∀a, b ∈ R, a · b < 0⇔ (a > 0 e b < 0) ou (a < 0 e b > 0). [PO12]∀a ∈ R, a 6= 0⇔ a2 > 0. [PO16]
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Todas as proposições abaixo são verdadeiras! As demonstrações serão feitas nadisciplina Matemática Básica.
∀a ∈ R, ou a > 0, ou a = 0 ou a < 0 (tricotomia). [PO01]∀a, b, c ∈ R, a < b ⇒ a + c < b + c. [PO02]∀a, b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇒ a · c < b · c. [PO03]∀a, b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇒ a · c > b · c. [PO04]∀a, b, c ∈ R, a < b e b < c ⇒ a < c. [PO05]∀a, b ∈ R, ou a < b, ou a = b ou a > b. [PO06]∀a, b, c ∈ R, a < b ⇔ a + c < b + c. [PO07]∀a ∈ R− {0}, (i) a > 0⇔ 1/a > 0 e (ii) a < 0⇔ 1/a < 0. [PO08]∀a, b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇔ a · c < b · c. [PO09]∀a, b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇔ a · c > b · c. [PO10]∀a, b ∈ R, (i) a < b ⇔ −a > −b e (ii) a > b ⇔ −a < −b. [PO11]∀a, b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0). [PO12]∀a, b ∈ R, a · b < 0⇔ (a > 0 e b < 0) ou (a < 0 e b > 0). [PO12]∀a ∈ R, a 6= 0⇔ a2 > 0. [PO16]
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Todas as proposições abaixo são verdadeiras! As demonstrações serão feitas nadisciplina Matemática Básica.
∀a ∈ R, ou a > 0, ou a = 0 ou a < 0 (tricotomia). [PO01]∀a, b, c ∈ R, a < b ⇒ a + c < b + c. [PO02]∀a, b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇒ a · c < b · c. [PO03]∀a, b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇒ a · c > b · c. [PO04]∀a, b, c ∈ R, a < b e b < c ⇒ a < c. [PO05]∀a, b ∈ R, ou a < b, ou a = b ou a > b. [PO06]∀a, b, c ∈ R, a < b ⇔ a + c < b + c. [PO07]∀a ∈ R− {0}, (i) a > 0⇔ 1/a > 0 e (ii) a < 0⇔ 1/a < 0. [PO08]∀a, b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇔ a · c < b · c. [PO09]∀a, b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇔ a · c > b · c. [PO10]∀a, b ∈ R, (i) a < b ⇔ −a > −b e (ii) a > b ⇔ −a < −b. [PO11]∀a, b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0). [PO12]∀a, b ∈ R, a · b < 0⇔ (a > 0 e b < 0) ou (a < 0 e b > 0). [PO12]∀a ∈ R, a 6= 0⇔ a2 > 0. [PO16]
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Todas as proposições abaixo são verdadeiras! As demonstrações serão feitas nadisciplina Matemática Básica.
∀a ∈ R, ou a > 0, ou a = 0 ou a < 0 (tricotomia). [PO01]∀a, b, c ∈ R, a < b ⇒ a + c < b + c. [PO02]∀a, b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇒ a · c < b · c. [PO03]∀a, b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇒ a · c > b · c. [PO04]∀a, b, c ∈ R, a < b e b < c ⇒ a < c. [PO05]∀a, b ∈ R, ou a < b, ou a = b ou a > b. [PO06]∀a, b, c ∈ R, a < b ⇔ a + c < b + c. [PO07]∀a ∈ R− {0}, (i) a > 0⇔ 1/a > 0 e (ii) a < 0⇔ 1/a < 0. [PO08]∀a, b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇔ a · c < b · c. [PO09]∀a, b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇔ a · c > b · c. [PO10]∀a, b ∈ R, (i) a < b ⇔ −a > −b e (ii) a > b ⇔ −a < −b. [PO11]∀a, b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0). [PO12]∀a, b ∈ R, a · b < 0⇔ (a > 0 e b < 0) ou (a < 0 e b > 0). [PO12]∀a ∈ R, a 6= 0⇔ a2 > 0. [PO16]
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∀a ∈ R, ou a > 0, ou a = 0 ou a < 0 (tricotomia). [PO01]∀a, b, c ∈ R, a < b ⇒ a + c < b + c. [PO02]∀a, b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇒ a · c < b · c. [PO03]∀a, b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇒ a · c > b · c. [PO04]∀a, b, c ∈ R, a < b e b < c ⇒ a < c. [PO05]∀a, b ∈ R, ou a < b, ou a = b ou a > b. [PO06]∀a, b, c ∈ R, a < b ⇔ a + c < b + c. [PO07]∀a ∈ R− {0}, (i) a > 0⇔ 1/a > 0 e (ii) a < 0⇔ 1/a < 0. [PO08]∀a, b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇔ a · c < b · c. [PO09]∀a, b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇔ a · c > b · c. [PO10]∀a, b ∈ R, (i) a < b ⇔ −a > −b e (ii) a > b ⇔ −a < −b. [PO11]∀a, b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0). [PO12]∀a, b ∈ R, a · b < 0⇔ (a > 0 e b < 0) ou (a < 0 e b > 0). [PO12]∀a ∈ R, a 6= 0⇔ a2 > 0. [PO16]
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∀a ∈ R, ou a > 0, ou a = 0 ou a < 0 (tricotomia). [PO01]∀a, b, c ∈ R, a < b ⇒ a + c < b + c. [PO02]∀a, b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇒ a · c < b · c. [PO03]∀a, b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇒ a · c > b · c. [PO04]∀a, b, c ∈ R, a < b e b < c ⇒ a < c. [PO05]∀a, b ∈ R, ou a < b, ou a = b ou a > b. [PO06]∀a, b, c ∈ R, a < b ⇔ a + c < b + c. [PO07]∀a ∈ R− {0}, (i) a > 0⇔ 1/a > 0 e (ii) a < 0⇔ 1/a < 0. [PO08]∀a, b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇔ a · c < b · c. [PO09]∀a, b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇔ a · c > b · c. [PO10]∀a, b ∈ R, (i) a < b ⇔ −a > −b e (ii) a > b ⇔ −a < −b. [PO11]∀a, b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0). [PO12]∀a, b ∈ R, a · b < 0⇔ (a > 0 e b < 0) ou (a < 0 e b > 0). [PO12]∀a ∈ R, a 6= 0⇔ a2 > 0. [PO16]
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∀a ∈ R, ou a > 0, ou a = 0 ou a < 0 (tricotomia). [PO01]∀a, b, c ∈ R, a < b ⇒ a + c < b + c. [PO02]∀a, b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇒ a · c < b · c. [PO03]∀a, b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇒ a · c > b · c. [PO04]∀a, b, c ∈ R, a < b e b < c ⇒ a < c. [PO05]∀a, b ∈ R, ou a < b, ou a = b ou a > b. [PO06]∀a, b, c ∈ R, a < b ⇔ a + c < b + c. [PO07]∀a ∈ R− {0}, (i) a > 0⇔ 1/a > 0 e (ii) a < 0⇔ 1/a < 0. [PO08]∀a, b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇔ a · c < b · c. [PO09]∀a, b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇔ a · c > b · c. [PO10]∀a, b ∈ R, (i) a < b ⇔ −a > −b e (ii) a > b ⇔ −a < −b. [PO11]∀a, b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0). [PO12]∀a, b ∈ R, a · b < 0⇔ (a > 0 e b < 0) ou (a < 0 e b > 0). [PO12]∀a ∈ R, a 6= 0⇔ a2 > 0. [PO16]
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∀a ∈ R, ou a > 0, ou a = 0 ou a < 0 (tricotomia). [PO01]∀a, b, c ∈ R, a < b ⇒ a + c < b + c. [PO02]∀a, b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇒ a · c < b · c. [PO03]∀a, b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇒ a · c > b · c. [PO04]∀a, b, c ∈ R, a < b e b < c ⇒ a < c. [PO05]∀a, b ∈ R, ou a < b, ou a = b ou a > b. [PO06]∀a, b, c ∈ R, a < b ⇔ a + c < b + c. [PO07]∀a ∈ R− {0}, (i) a > 0⇔ 1/a > 0 e (ii) a < 0⇔ 1/a < 0. [PO08]∀a, b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇔ a · c < b · c. [PO09]∀a, b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇔ a · c > b · c. [PO10]∀a, b ∈ R, (i) a < b ⇔ −a > −b e (ii) a > b ⇔ −a < −b. [PO11]∀a, b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0). [PO12]∀a, b ∈ R, a · b < 0⇔ (a > 0 e b < 0) ou (a < 0 e b > 0). [PO12]∀a ∈ R, a 6= 0⇔ a2 > 0. [PO16]
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∀a ∈ R, ou a > 0, ou a = 0 ou a < 0 (tricotomia). [PO01]∀a, b, c ∈ R, a < b ⇒ a + c < b + c. [PO02]∀a, b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇒ a · c < b · c. [PO03]∀a, b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇒ a · c > b · c. [PO04]∀a, b, c ∈ R, a < b e b < c ⇒ a < c. [PO05]∀a, b ∈ R, ou a < b, ou a = b ou a > b. [PO06]∀a, b, c ∈ R, a < b ⇔ a + c < b + c. [PO07]∀a ∈ R− {0}, (i) a > 0⇔ 1/a > 0 e (ii) a < 0⇔ 1/a < 0. [PO08]∀a, b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇔ a · c < b · c. [PO09]∀a, b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇔ a · c > b · c. [PO10]∀a, b ∈ R, (i) a < b ⇔ −a > −b e (ii) a > b ⇔ −a < −b. [PO11]∀a, b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0). [PO12]∀a, b ∈ R, a · b < 0⇔ (a > 0 e b < 0) ou (a < 0 e b > 0). [PO12]∀a ∈ R, a 6= 0⇔ a2 > 0. [PO16]
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∀a ∈ R, ou a > 0, ou a = 0 ou a < 0 (tricotomia). [PO01]∀a, b, c ∈ R, a < b ⇒ a + c < b + c. [PO02]∀a, b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇒ a · c < b · c. [PO03]∀a, b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇒ a · c > b · c. [PO04]∀a, b, c ∈ R, a < b e b < c ⇒ a < c. [PO05]∀a, b ∈ R, ou a < b, ou a = b ou a > b. [PO06]∀a, b, c ∈ R, a < b ⇔ a + c < b + c. [PO07]∀a ∈ R− {0}, (i) a > 0⇔ 1/a > 0 e (ii) a < 0⇔ 1/a < 0. [PO08]∀a, b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇔ a · c < b · c. [PO09]∀a, b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇔ a · c > b · c. [PO10]∀a, b ∈ R, (i) a < b ⇔ −a > −b e (ii) a > b ⇔ −a < −b. [PO11]∀a, b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0). [PO12]∀a, b ∈ R, a · b < 0⇔ (a > 0 e b < 0) ou (a < 0 e b > 0). [PO12]∀a ∈ R, a 6= 0⇔ a2 > 0. [PO16]
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Propriedades decorrentes do fato de R ser ordenado
Todas as proposições abaixo são verdadeiras! As demonstrações serão feitas nadisciplina Matemática Básica.
∀a ∈ R, ou a > 0, ou a = 0 ou a < 0 (tricotomia). [PO01]∀a, b, c ∈ R, a < b ⇒ a + c < b + c. [PO02]∀a, b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇒ a · c < b · c. [PO03]∀a, b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇒ a · c > b · c. [PO04]∀a, b, c ∈ R, a < b e b < c ⇒ a < c. [PO05]∀a, b ∈ R, ou a < b, ou a = b ou a > b. [PO06]∀a, b, c ∈ R, a < b ⇔ a + c < b + c. [PO07]∀a ∈ R− {0}, (i) a > 0⇔ 1/a > 0 e (ii) a < 0⇔ 1/a < 0. [PO08]∀a, b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇔ a · c < b · c. [PO09]∀a, b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇔ a · c > b · c. [PO10]∀a, b ∈ R, (i) a < b ⇔ −a > −b e (ii) a > b ⇔ −a < −b. [PO11]∀a, b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0). [PO12]∀a, b ∈ R, a · b < 0⇔ (a > 0 e b < 0) ou (a < 0 e b > 0). [PO12]∀a ∈ R, a 6= 0⇔ a2 > 0. [PO16]
Aula 6 Pré-Cálculo 61
Propriedades decorrentes do fato de R ser ordenado
∀a, b, c ∈ R, a < b ⇔ a + c < b + c.
[PO07]
Aula 6 Pré-Cálculo 62
Propriedades decorrentes do fato de R ser ordenado
∀a, b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇔ a · c < b · c.
[PO09]
Aula 6 Pré-Cálculo 63
Propriedades decorrentes do fato de R ser ordenado
∀a, b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇔ a · c > b · c.
[PO10]
Aula 6 Pré-Cálculo 64
Propriedades decorrentes do fato de R ser ordenado
∀a, b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0)
∀a, b ∈ R, a · b < 0⇔ (a > 0 e b < 0) ou (a < 0 e b > 0)
[PO12]
Aula 6 Pré-Cálculo 65
Observações
A notação a ≥ b indica que a = b ou a > b. Ela deve ser lidada seguinte maneira: a é maior do que ou igual a b. Sãoverdadeiras as afirmações 3 ≥ 3 e 7 ≥ 5.
A notação a ≤ b indica que a = b ou a < b. Ela deve serlida da seguinte maneira: a é menor do que ou igual a b. Sãoverdadeiras as afirmações 3 ≤ 3 e 5 ≤ 7.
Todas as propriedades enunciadas anteriormente continuamverdadeiras se trocarmos “>” por “≥” e/ou “<” por “≤”.
Alguns autores usam o símbolo R+ para indicar os reais não-negativos e o símbolo R+
∗ para indicar os reais positivos.
O conjunto dos números racionais (Q) munido com asoperações usuais de adição e multiplicação também é exemplode um corpo ordenado.
Aula 6 Pré-Cálculo 66
Observações
A notação a ≥ b indica que a = b ou a > b. Ela deve ser lidada seguinte maneira: a é maior do que ou igual a b. Sãoverdadeiras as afirmações 3 ≥ 3 e 7 ≥ 5.
A notação a ≤ b indica que a = b ou a < b. Ela deve serlida da seguinte maneira: a é menor do que ou igual a b. Sãoverdadeiras as afirmações 3 ≤ 3 e 5 ≤ 7.
Todas as propriedades enunciadas anteriormente continuamverdadeiras se trocarmos “>” por “≥” e/ou “<” por “≤”.
Alguns autores usam o símbolo R+ para indicar os reais não-negativos e o símbolo R+
∗ para indicar os reais positivos.
O conjunto dos números racionais (Q) munido com asoperações usuais de adição e multiplicação também é exemplode um corpo ordenado.
Aula 6 Pré-Cálculo 67
Observações
A notação a ≥ b indica que a = b ou a > b. Ela deve ser lidada seguinte maneira: a é maior do que ou igual a b. Sãoverdadeiras as afirmações 3 ≥ 3 e 7 ≥ 5.
A notação a ≤ b indica que a = b ou a < b. Ela deve serlida da seguinte maneira: a é menor do que ou igual a b. Sãoverdadeiras as afirmações 3 ≤ 3 e 5 ≤ 7.
Todas as propriedades enunciadas anteriormente continuamverdadeiras se trocarmos “>” por “≥” e/ou “<” por “≤”.
Alguns autores usam o símbolo R+ para indicar os reais não-negativos e o símbolo R+
∗ para indicar os reais positivos.
O conjunto dos números racionais (Q) munido com asoperações usuais de adição e multiplicação também é exemplode um corpo ordenado.
Aula 6 Pré-Cálculo 68
Observações
A notação a ≥ b indica que a = b ou a > b. Ela deve ser lidada seguinte maneira: a é maior do que ou igual a b. Sãoverdadeiras as afirmações 3 ≥ 3 e 7 ≥ 5.
A notação a ≤ b indica que a = b ou a < b. Ela deve serlida da seguinte maneira: a é menor do que ou igual a b. Sãoverdadeiras as afirmações 3 ≤ 3 e 5 ≤ 7.
Todas as propriedades enunciadas anteriormente continuamverdadeiras se trocarmos “>” por “≥” e/ou “<” por “≤”.
Alguns autores usam o símbolo R+ para indicar os reais não-negativos e o símbolo R+
∗ para indicar os reais positivos.
O conjunto dos números racionais (Q) munido com asoperações usuais de adição e multiplicação também é exemplode um corpo ordenado.
Aula 6 Pré-Cálculo 69
Observações
A notação a ≥ b indica que a = b ou a > b. Ela deve ser lidada seguinte maneira: a é maior do que ou igual a b. Sãoverdadeiras as afirmações 3 ≥ 3 e 7 ≥ 5.
A notação a ≤ b indica que a = b ou a < b. Ela deve serlida da seguinte maneira: a é menor do que ou igual a b. Sãoverdadeiras as afirmações 3 ≤ 3 e 5 ≤ 7.
Todas as propriedades enunciadas anteriormente continuamverdadeiras se trocarmos “>” por “≥” e/ou “<” por “≤”.
Alguns autores usam o símbolo R+ para indicar os reais não-negativos e o símbolo R+
∗ para indicar os reais positivos.
O conjunto dos números racionais (Q) munido com asoperações usuais de adição e multiplicação também é exemplode um corpo ordenado.
Aula 6 Pré-Cálculo 70
Observações
A notação a ≥ b indica que a = b ou a > b. Ela deve ser lidada seguinte maneira: a é maior do que ou igual a b. Sãoverdadeiras as afirmações 3 ≥ 3 e 7 ≥ 5.
A notação a ≤ b indica que a = b ou a < b. Ela deve serlida da seguinte maneira: a é menor do que ou igual a b. Sãoverdadeiras as afirmações 3 ≤ 3 e 5 ≤ 7.
Todas as propriedades enunciadas anteriormente continuamverdadeiras se trocarmos “>” por “≥” e/ou “<” por “≤”.
Alguns autores usam o símbolo R+ para indicar os reais não-negativos e o símbolo R+
∗ para indicar os reais positivos.
O conjunto dos números racionais (Q) munido com asoperações usuais de adição e multiplicação também é exemplode um corpo ordenado.
Aula 6 Pré-Cálculo 71
Observações
A notação a ≥ b indica que a = b ou a > b. Ela deve ser lidada seguinte maneira: a é maior do que ou igual a b. Sãoverdadeiras as afirmações 3 ≥ 3 e 7 ≥ 5.
A notação a ≤ b indica que a = b ou a < b. Ela deve serlida da seguinte maneira: a é menor do que ou igual a b. Sãoverdadeiras as afirmações 3 ≤ 3 e 5 ≤ 7.
Todas as propriedades enunciadas anteriormente continuamverdadeiras se trocarmos “>” por “≥” e/ou “<” por “≤”.
Alguns autores usam o símbolo R+ para indicar os reais não-negativos e o símbolo R+
∗ para indicar os reais positivos.
O conjunto dos números racionais (Q) munido com asoperações usuais de adição e multiplicação também é exemplode um corpo ordenado.
Aula 6 Pré-Cálculo 72
Observações
A notação a ≥ b indica que a = b ou a > b. Ela deve ser lidada seguinte maneira: a é maior do que ou igual a b. Sãoverdadeiras as afirmações 3 ≥ 3 e 7 ≥ 5.
A notação a ≤ b indica que a = b ou a < b. Ela deve serlida da seguinte maneira: a é menor do que ou igual a b. Sãoverdadeiras as afirmações 3 ≤ 3 e 5 ≤ 7.
Todas as propriedades enunciadas anteriormente continuamverdadeiras se trocarmos “>” por “≥” e/ou “<” por “≤”.
Alguns autores usam o símbolo R+ para indicar os reais não-negativos e o símbolo R+
∗ para indicar os reais positivos.
O conjunto dos números racionais (Q) munido com asoperações usuais de adição e multiplicação também é exemplode um corpo ordenado.
Aula 6 Pré-Cálculo 73
Observações
O conjunto dos números complexos (C) munido com asoperações usuais de adição e multiplicação não pode serordenado com uma estrutura compatível com a ordenaçãode R.
De fato: i não satisfaz o princípio da tricotomia. Certamentei 6= 0. O número i não é maior do que 0, pois
i > 0 ⇒ i · i > i · 0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).
O número i não é menor do que 0, pois se i < 0, então −i > 0e, portanto,
−i > 0 ⇒ (−i)·(−i) > (−i)·0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).
Aula 6 Pré-Cálculo 74
Observações
O conjunto dos números complexos (C) munido com asoperações usuais de adição e multiplicação não pode serordenado com uma estrutura compatível com a ordenaçãode R.
De fato: i não satisfaz o princípio da tricotomia. Certamentei 6= 0. O número i não é maior do que 0, pois
i > 0 ⇒ i · i > i · 0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).
O número i não é menor do que 0, pois se i < 0, então −i > 0e, portanto,
−i > 0 ⇒ (−i)·(−i) > (−i)·0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).
Aula 6 Pré-Cálculo 75
Observações
O conjunto dos números complexos (C) munido com asoperações usuais de adição e multiplicação não pode serordenado com uma estrutura compatível com a ordenaçãode R.
De fato: i não satisfaz o princípio da tricotomia. Certamentei 6= 0. O número i não é maior do que 0, pois
i > 0 ⇒ i · i > i · 0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).
O número i não é menor do que 0, pois se i < 0, então −i > 0e, portanto,
−i > 0 ⇒ (−i)·(−i) > (−i)·0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).
Aula 6 Pré-Cálculo 76
Observações
O conjunto dos números complexos (C) munido com asoperações usuais de adição e multiplicação não pode serordenado com uma estrutura compatível com a ordenaçãode R.
De fato: i não satisfaz o princípio da tricotomia. Certamentei 6= 0. O número i não é maior do que 0, pois
i > 0 ⇒ i · i > i · 0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).
O número i não é menor do que 0, pois se i < 0, então −i > 0e, portanto,
−i > 0 ⇒ (−i)·(−i) > (−i)·0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).
Aula 6 Pré-Cálculo 77
Observações
O conjunto dos números complexos (C) munido com asoperações usuais de adição e multiplicação não pode serordenado com uma estrutura compatível com a ordenaçãode R.
De fato: i não satisfaz o princípio da tricotomia. Certamentei 6= 0. O número i não é maior do que 0, pois
i > 0 ⇒ i · i > i · 0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).
O número i não é menor do que 0, pois se i < 0, então −i > 0e, portanto,
−i > 0 ⇒ (−i)·(−i) > (−i)·0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).
Aula 6 Pré-Cálculo 78
Observações
O conjunto dos números complexos (C) munido com asoperações usuais de adição e multiplicação não pode serordenado com uma estrutura compatível com a ordenaçãode R.
De fato: i não satisfaz o princípio da tricotomia. Certamentei 6= 0. O número i não é maior do que 0, pois
i > 0 ⇒ i · i > i · 0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).
O número i não é menor do que 0, pois se i < 0, então −i > 0e, portanto,
−i > 0 ⇒ (−i)·(−i) > (−i)·0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).
Aula 6 Pré-Cálculo 79
Observações
O conjunto dos números complexos (C) munido com asoperações usuais de adição e multiplicação não pode serordenado com uma estrutura compatível com a ordenaçãode R.
De fato: i não satisfaz o princípio da tricotomia. Certamentei 6= 0. O número i não é maior do que 0, pois
i > 0 ⇒ i · i > i · 0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).
O número i não é menor do que 0, pois se i < 0, então −i > 0e, portanto,
−i > 0 ⇒ (−i)·(−i) > (−i)·0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).
Aula 6 Pré-Cálculo 80
Observações
O conjunto dos números complexos (C) munido com asoperações usuais de adição e multiplicação não pode serordenado com uma estrutura compatível com a ordenaçãode R.
De fato: i não satisfaz o princípio da tricotomia. Certamentei 6= 0. O número i não é maior do que 0, pois
i > 0 ⇒ i · i > i · 0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).
O número i não é menor do que 0, pois se i < 0, então −i > 0e, portanto,
−i > 0 ⇒ (−i)·(−i) > (−i)·0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).
Aula 6 Pré-Cálculo 81
Observações
O conjunto dos números complexos (C) munido com asoperações usuais de adição e multiplicação não pode serordenado com uma estrutura compatível com a ordenaçãode R.
De fato: i não satisfaz o princípio da tricotomia. Certamentei 6= 0. O número i não é maior do que 0, pois
i > 0 ⇒ i · i > i · 0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).
O número i não é menor do que 0, pois se i < 0, então −i > 0e, portanto,
−i > 0 ⇒ (−i)·(−i) > (−i)·0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).
Aula 6 Pré-Cálculo 82
Observações
O conjunto dos números complexos (C) munido com asoperações usuais de adição e multiplicação não pode serordenado com uma estrutura compatível com a ordenaçãode R.
De fato: i não satisfaz o princípio da tricotomia. Certamentei 6= 0. O número i não é maior do que 0, pois
i > 0 ⇒ i · i > i · 0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).
O número i não é menor do que 0, pois se i < 0, então −i > 0e, portanto,
−i > 0 ⇒ (−i)·(−i) > (−i)·0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).
Aula 6 Pré-Cálculo 83
Observações
O conjunto dos números complexos (C) munido com asoperações usuais de adição e multiplicação não pode serordenado com uma estrutura compatível com a ordenaçãode R.
De fato: i não satisfaz o princípio da tricotomia. Certamentei 6= 0. O número i não é maior do que 0, pois
i > 0 ⇒ i · i > i · 0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).
O número i não é menor do que 0, pois se i < 0, então −i > 0e, portanto,
−i > 0 ⇒ (−i)·(−i) > (−i)·0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).
Aula 6 Pré-Cálculo 84
Observações
O conjunto dos números complexos (C) munido com asoperações usuais de adição e multiplicação não pode serordenado com uma estrutura compatível com a ordenaçãode R.
De fato: i não satisfaz o princípio da tricotomia. Certamentei 6= 0. O número i não é maior do que 0, pois
i > 0 ⇒ i · i > i · 0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).
O número i não é menor do que 0, pois se i < 0, então −i > 0e, portanto,
−i > 0 ⇒ (−i)·(−i) > (−i)·0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).
Aula 6 Pré-Cálculo 85
Observações
O conjunto dos números complexos (C) munido com asoperações usuais de adição e multiplicação não pode serordenado com uma estrutura compatível com a ordenaçãode R.
De fato: i não satisfaz o princípio da tricotomia. Certamentei 6= 0. O número i não é maior do que 0, pois
i > 0 ⇒ i · i > i · 0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).
O número i não é menor do que 0, pois se i < 0, então −i > 0e, portanto,
−i > 0 ⇒ (−i)·(−i) > (−i)·0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).
Aula 6 Pré-Cálculo 86
Observações
O conjunto dos números complexos (C) munido com asoperações usuais de adição e multiplicação não pode serordenado com uma estrutura compatível com a ordenaçãode R.
De fato: i não satisfaz o princípio da tricotomia. Certamentei 6= 0. O número i não é maior do que 0, pois
i > 0 ⇒ i · i > i · 0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).
O número i não é menor do que 0, pois se i < 0, então −i > 0e, portanto,
−i > 0 ⇒ (−i)·(−i) > (−i)·0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).
Aula 6 Pré-Cálculo 87
Observações
O conjunto dos números complexos (C) munido com asoperações usuais de adição e multiplicação não pode serordenado com uma estrutura compatível com a ordenaçãode R.
De fato: i não satisfaz o princípio da tricotomia. Certamentei 6= 0. O número i não é maior do que 0, pois
i > 0 ⇒ i · i > i · 0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).
O número i não é menor do que 0, pois se i < 0, então −i > 0e, portanto,
−i > 0 ⇒ (−i)·(−i) > (−i)·0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).
Aula 6 Pré-Cálculo 88
Observações
O conjunto dos números complexos (C) munido com asoperações usuais de adição e multiplicação não pode serordenado com uma estrutura compatível com a ordenaçãode R.
De fato: i não satisfaz o princípio da tricotomia. Certamentei 6= 0. O número i não é maior do que 0, pois
i > 0 ⇒ i · i > i · 0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).
O número i não é menor do que 0, pois se i < 0, então −i > 0e, portanto,
−i > 0 ⇒ (−i)·(−i) > (−i)·0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).
Aula 6 Pré-Cálculo 89
Observações
O conjunto dos números complexos (C) munido com asoperações usuais de adição e multiplicação não pode serordenado com uma estrutura compatível com a ordenaçãode R.
De fato: i não satisfaz o princípio da tricotomia. Certamentei 6= 0. O número i não é maior do que 0, pois
i > 0 ⇒ i · i > i · 0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).
O número i não é menor do que 0, pois se i < 0, então −i > 0e, portanto,
−i > 0 ⇒ (−i)·(−i) > (−i)·0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).
Aula 6 Pré-Cálculo 90
Resolvendo inequações. . .
2 · x − 4 > 0
[PO07]
⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 0 + 4
[PA03]
⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 4
(C3)
⇐⇒ 2 · x + (−4 + 4) > 4
[PA07]
⇐⇒ 2 · x + 0 > 4
(C5)
⇐⇒ 2 · x > 4
[PO09]
⇐⇒ 12· (2 · x) >
12· 4
(C3)
⇐⇒(
12· 2
)· x >
12· 4
[PA08]
⇐⇒ 1 · x >12· 4
[PA04]
⇐⇒ x >12· 4 = 2
Aula 6 Pré-Cálculo 91
Resolvendo inequações. . .
2 · x − 4 > 0
[PO07]
⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 0 + 4
[PA03]
⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 4
(C3)
⇐⇒ 2 · x + (−4 + 4) > 4
[PA07]
⇐⇒ 2 · x + 0 > 4
(C5)
⇐⇒ 2 · x > 4
[PO09]
⇐⇒ 12· (2 · x) >
12· 4
(C3)
⇐⇒(
12· 2
)· x >
12· 4
[PA08]
⇐⇒ 1 · x >12· 4
[PA04]
⇐⇒ x >12· 4 = 2
Aula 6 Pré-Cálculo 92
Resolvendo inequações. . .
2 · x − 4 > 0
[PO07]
⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 0 + 4
[PA03]
⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 4
(C3)
⇐⇒ 2 · x + (−4 + 4) > 4
[PA07]
⇐⇒ 2 · x + 0 > 4
(C5)
⇐⇒ 2 · x > 4
[PO09]
⇐⇒ 12· (2 · x) >
12· 4
(C3)
⇐⇒(
12· 2
)· x >
12· 4
[PA08]
⇐⇒ 1 · x >12· 4
[PA04]
⇐⇒ x >12· 4 = 2
Aula 6 Pré-Cálculo 93
Resolvendo inequações. . .
2 · x − 4 > 0[PO07]⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 0 + 4
[PA03]
⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 4
(C3)
⇐⇒ 2 · x + (−4 + 4) > 4
[PA07]
⇐⇒ 2 · x + 0 > 4
(C5)
⇐⇒ 2 · x > 4
[PO09]
⇐⇒ 12· (2 · x) >
12· 4
(C3)
⇐⇒(
12· 2
)· x >
12· 4
[PA08]
⇐⇒ 1 · x >12· 4
[PA04]
⇐⇒ x >12· 4 = 2
Aula 6 Pré-Cálculo 94
Resolvendo inequações. . .
2 · x − 4 > 0[PO07]⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 0 + 4
[PA03]
⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 4
(C3)
⇐⇒ 2 · x + (−4 + 4) > 4
[PA07]
⇐⇒ 2 · x + 0 > 4
(C5)
⇐⇒ 2 · x > 4
[PO09]
⇐⇒ 12· (2 · x) >
12· 4
(C3)
⇐⇒(
12· 2
)· x >
12· 4
[PA08]
⇐⇒ 1 · x >12· 4
[PA04]
⇐⇒ x >12· 4 = 2
Aula 6 Pré-Cálculo 95
Resolvendo inequações. . .
2 · x − 4 > 0[PO07]⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 0 + 4
[PA03]⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 4
(C3)
⇐⇒ 2 · x + (−4 + 4) > 4
[PA07]
⇐⇒ 2 · x + 0 > 4
(C5)
⇐⇒ 2 · x > 4
[PO09]
⇐⇒ 12· (2 · x) >
12· 4
(C3)
⇐⇒(
12· 2
)· x >
12· 4
[PA08]
⇐⇒ 1 · x >12· 4
[PA04]
⇐⇒ x >12· 4 = 2
Aula 6 Pré-Cálculo 96
Resolvendo inequações. . .
2 · x − 4 > 0[PO07]⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 0 + 4
[PA03]⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 4
(C3)
⇐⇒ 2 · x + (−4 + 4) > 4
[PA07]
⇐⇒ 2 · x + 0 > 4
(C5)
⇐⇒ 2 · x > 4
[PO09]
⇐⇒ 12· (2 · x) >
12· 4
(C3)
⇐⇒(
12· 2
)· x >
12· 4
[PA08]
⇐⇒ 1 · x >12· 4
[PA04]
⇐⇒ x >12· 4 = 2
Aula 6 Pré-Cálculo 97
Resolvendo inequações. . .
2 · x − 4 > 0[PO07]⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 0 + 4
[PA03]⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 4
(C3)⇐⇒ 2 · x + (−4 + 4) > 4
[PA07]
⇐⇒ 2 · x + 0 > 4
(C5)
⇐⇒ 2 · x > 4
[PO09]
⇐⇒ 12· (2 · x) >
12· 4
(C3)
⇐⇒(
12· 2
)· x >
12· 4
[PA08]
⇐⇒ 1 · x >12· 4
[PA04]
⇐⇒ x >12· 4 = 2
Aula 6 Pré-Cálculo 98
Resolvendo inequações. . .
2 · x − 4 > 0[PO07]⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 0 + 4
[PA03]⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 4
(C3)⇐⇒ 2 · x + (−4 + 4) > 4
[PA07]
⇐⇒ 2 · x + 0 > 4
(C5)
⇐⇒ 2 · x > 4
[PO09]
⇐⇒ 12· (2 · x) >
12· 4
(C3)
⇐⇒(
12· 2
)· x >
12· 4
[PA08]
⇐⇒ 1 · x >12· 4
[PA04]
⇐⇒ x >12· 4 = 2
Aula 6 Pré-Cálculo 99
Resolvendo inequações. . .
2 · x − 4 > 0[PO07]⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 0 + 4
[PA03]⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 4
(C3)⇐⇒ 2 · x + (−4 + 4) > 4
[PA07]⇐⇒ 2 · x + 0 > 4
(C5)
⇐⇒ 2 · x > 4
[PO09]
⇐⇒ 12· (2 · x) >
12· 4
(C3)
⇐⇒(
12· 2
)· x >
12· 4
[PA08]
⇐⇒ 1 · x >12· 4
[PA04]
⇐⇒ x >12· 4 = 2
Aula 6 Pré-Cálculo 100
Resolvendo inequações. . .
2 · x − 4 > 0[PO07]⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 0 + 4
[PA03]⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 4
(C3)⇐⇒ 2 · x + (−4 + 4) > 4
[PA07]⇐⇒ 2 · x + 0 > 4
(C5)
⇐⇒ 2 · x > 4
[PO09]
⇐⇒ 12· (2 · x) >
12· 4
(C3)
⇐⇒(
12· 2
)· x >
12· 4
[PA08]
⇐⇒ 1 · x >12· 4
[PA04]
⇐⇒ x >12· 4 = 2
Aula 6 Pré-Cálculo 101
Resolvendo inequações. . .
2 · x − 4 > 0[PO07]⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 0 + 4
[PA03]⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 4
(C3)⇐⇒ 2 · x + (−4 + 4) > 4
[PA07]⇐⇒ 2 · x + 0 > 4
(C5)⇐⇒ 2 · x > 4
[PO09]
⇐⇒ 12· (2 · x) >
12· 4
(C3)
⇐⇒(
12· 2
)· x >
12· 4
[PA08]
⇐⇒ 1 · x >12· 4
[PA04]
⇐⇒ x >12· 4 = 2
Aula 6 Pré-Cálculo 102
Resolvendo inequações. . .
2 · x − 4 > 0[PO07]⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 0 + 4
[PA03]⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 4
(C3)⇐⇒ 2 · x + (−4 + 4) > 4
[PA07]⇐⇒ 2 · x + 0 > 4
(C5)⇐⇒ 2 · x > 4
[PO09]
⇐⇒ 12· (2 · x) >
12· 4
(C3)
⇐⇒(
12· 2
)· x >
12· 4
[PA08]
⇐⇒ 1 · x >12· 4
[PA04]
⇐⇒ x >12· 4 = 2
Aula 6 Pré-Cálculo 103
Resolvendo inequações. . .
2 · x − 4 > 0[PO07]⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 0 + 4
[PA03]⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 4
(C3)⇐⇒ 2 · x + (−4 + 4) > 4
[PA07]⇐⇒ 2 · x + 0 > 4
(C5)⇐⇒ 2 · x > 4
[PO09]⇐⇒ 1
2· (2 · x) >
12· 4
(C3)
⇐⇒(
12· 2
)· x >
12· 4
[PA08]
⇐⇒ 1 · x >12· 4
[PA04]
⇐⇒ x >12· 4 = 2
Aula 6 Pré-Cálculo 104
Resolvendo inequações. . .
2 · x − 4 > 0[PO07]⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 0 + 4
[PA03]⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 4
(C3)⇐⇒ 2 · x + (−4 + 4) > 4
[PA07]⇐⇒ 2 · x + 0 > 4
(C5)⇐⇒ 2 · x > 4
[PO09]⇐⇒ 1
2· (2 · x) >
12· 4
(C3)
⇐⇒(
12· 2
)· x >
12· 4
[PA08]
⇐⇒ 1 · x >12· 4
[PA04]
⇐⇒ x >12· 4 = 2
Aula 6 Pré-Cálculo 105
Resolvendo inequações. . .
2 · x − 4 > 0[PO07]⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 0 + 4
[PA03]⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 4
(C3)⇐⇒ 2 · x + (−4 + 4) > 4
[PA07]⇐⇒ 2 · x + 0 > 4
(C5)⇐⇒ 2 · x > 4
[PO09]⇐⇒ 1
2· (2 · x) >
12· 4
(C3)⇐⇒
(12· 2
)· x >
12· 4
[PA08]
⇐⇒ 1 · x >12· 4
[PA04]
⇐⇒ x >12· 4 = 2
Aula 6 Pré-Cálculo 106
Resolvendo inequações. . .
2 · x − 4 > 0[PO07]⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 0 + 4
[PA03]⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 4
(C3)⇐⇒ 2 · x + (−4 + 4) > 4
[PA07]⇐⇒ 2 · x + 0 > 4
(C5)⇐⇒ 2 · x > 4
[PO09]⇐⇒ 1
2· (2 · x) >
12· 4
(C3)⇐⇒
(12· 2
)· x >
12· 4
[PA08]
⇐⇒ 1 · x >12· 4
[PA04]
⇐⇒ x >12· 4 = 2
Aula 6 Pré-Cálculo 107
Resolvendo inequações. . .
2 · x − 4 > 0[PO07]⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 0 + 4
[PA03]⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 4
(C3)⇐⇒ 2 · x + (−4 + 4) > 4
[PA07]⇐⇒ 2 · x + 0 > 4
(C5)⇐⇒ 2 · x > 4
[PO09]⇐⇒ 1
2· (2 · x) >
12· 4
(C3)⇐⇒
(12· 2
)· x >
12· 4
[PA08]⇐⇒ 1 · x >
12· 4
[PA04]
⇐⇒ x >12· 4 = 2
Aula 6 Pré-Cálculo 108
Resolvendo inequações. . .
2 · x − 4 > 0[PO07]⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 0 + 4
[PA03]⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 4
(C3)⇐⇒ 2 · x + (−4 + 4) > 4
[PA07]⇐⇒ 2 · x + 0 > 4
(C5)⇐⇒ 2 · x > 4
[PO09]⇐⇒ 1
2· (2 · x) >
12· 4
(C3)⇐⇒
(12· 2
)· x >
12· 4
[PA08]⇐⇒ 1 · x >
12· 4
[PA04]
⇐⇒ x >12· 4 = 2
Aula 6 Pré-Cálculo 109
Resolvendo inequações. . .
2 · x − 4 > 0[PO07]⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 0 + 4
[PA03]⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 4
(C3)⇐⇒ 2 · x + (−4 + 4) > 4
[PA07]⇐⇒ 2 · x + 0 > 4
(C5)⇐⇒ 2 · x > 4
[PO09]⇐⇒ 1
2· (2 · x) >
12· 4
(C3)⇐⇒
(12· 2
)· x >
12· 4
[PA08]⇐⇒ 1 · x >
12· 4
[PA04]⇐⇒ x >
12· 4 = 2
Aula 6 Pré-Cálculo 110
Resolvendo inequações. . .
2 · x − 4 > 0[PO07]⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 0 + 4
[PA03]⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 4
(C3)⇐⇒ 2 · x + (−4 + 4) > 4
[PA07]⇐⇒ 2 · x + 0 > 4
(C5)⇐⇒ 2 · x > 4
[PO09]⇐⇒ 1
2· (2 · x) >
12· 4
(C3)⇐⇒
(12· 2
)· x >
12· 4
[PA08]⇐⇒ 1 · x >
12· 4
[PA04]⇐⇒ x >
12· 4 = 2
Aula 6 Pré-Cálculo 111
Resolvendo inequações. . .
(x − 5) · (x − 1) > 0
[PO12]
⇐⇒ (x − 5 > 0 e x − 1 > 0) ou (x − 5 < 0 e x − 1 < 0)
[PO07, PA03, C3, C5]
⇐⇒ (x > 5 e x > 1) ou (x < 5 e x < 1)
⇐⇒ x > 5 ou x < 1
Aula 6 Pré-Cálculo 112
Resolvendo inequações. . .
(x − 5) · (x − 1) > 0
[PO12]
⇐⇒ (x − 5 > 0 e x − 1 > 0) ou (x − 5 < 0 e x − 1 < 0)
[PO07, PA03, C3, C5]
⇐⇒ (x > 5 e x > 1) ou (x < 5 e x < 1)
⇐⇒ x > 5 ou x < 1
Aula 6 Pré-Cálculo 113
Resolvendo inequações. . .
(x − 5) · (x − 1) > 0[PO12]⇐⇒ (x − 5 > 0 e x − 1 > 0) ou (x − 5 < 0 e x − 1 < 0)
[PO07, PA03, C3, C5]
⇐⇒ (x > 5 e x > 1) ou (x < 5 e x < 1)
⇐⇒ x > 5 ou x < 1
Aula 6 Pré-Cálculo 114
Resolvendo inequações. . .
(x − 5) · (x − 1) > 0[PO12]⇐⇒ (x − 5 > 0 e x − 1 > 0) ou (x − 5 < 0 e x − 1 < 0)
[PO07, PA03, C3, C5]
⇐⇒ (x > 5 e x > 1) ou (x < 5 e x < 1)
⇐⇒ x > 5 ou x < 1
Aula 6 Pré-Cálculo 115
Resolvendo inequações. . .
(x − 5) · (x − 1) > 0[PO12]⇐⇒ (x − 5 > 0 e x − 1 > 0) ou (x − 5 < 0 e x − 1 < 0)
[PO07, PA03, C3, C5]⇐⇒ (x > 5 e x > 1) ou (x < 5 e x < 1)
⇐⇒ x > 5 ou x < 1
Aula 6 Pré-Cálculo 116
Resolvendo inequações. . .
(x − 5) · (x − 1) > 0[PO12]⇐⇒ (x − 5 > 0 e x − 1 > 0) ou (x − 5 < 0 e x − 1 < 0)
[PO07, PA03, C3, C5]⇐⇒ (x > 5 e x > 1) ou (x < 5 e x < 1)
⇐⇒ x > 5 ou x < 1
Aula 6 Pré-Cálculo 117
Intervalos
Sejam a, b ∈ R, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidossão denominados intervalos:
[a, b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (−∞, b] = {x ∈ R | x ≤ b},(a, b) = {x ∈ R | a < x < b}, (−∞, b) = {x ∈ R | x < b},[a, b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, [a, +∞) = {x ∈ R | a ≤ x},(a, b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, (a, +∞) = {x ∈ R | a < x},
(−∞, +∞) = R.
Aula 6 Pré-Cálculo 118
Intervalos
Sejam a, b ∈ R, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidossão denominados intervalos:
[a, b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (−∞, b] = {x ∈ R | x ≤ b},(a, b) = {x ∈ R | a < x < b}, (−∞, b) = {x ∈ R | x < b},[a, b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, [a, +∞) = {x ∈ R | a ≤ x},(a, b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, (a, +∞) = {x ∈ R | a < x},
(−∞, +∞) = R.
Aula 6 Pré-Cálculo 119
Intervalos
Sejam a, b ∈ R, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidossão denominados intervalos:
[a, b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (−∞, b] = {x ∈ R | x ≤ b},(a, b) = {x ∈ R | a < x < b}, (−∞, b) = {x ∈ R | x < b},[a, b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, [a, +∞) = {x ∈ R | a ≤ x},(a, b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, (a, +∞) = {x ∈ R | a < x},
(−∞, +∞) = R.
Aula 6 Pré-Cálculo 120
Intervalos
Sejam a, b ∈ R, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidossão denominados intervalos:
[a, b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (−∞, b] = {x ∈ R | x ≤ b},(a, b) = {x ∈ R | a < x < b}, (−∞, b) = {x ∈ R | x < b},[a, b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, [a, +∞) = {x ∈ R | a ≤ x},(a, b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, (a, +∞) = {x ∈ R | a < x},
(−∞, +∞) = R.
Aula 6 Pré-Cálculo 121
Intervalos
Sejam a, b ∈ R, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidossão denominados intervalos:
[a, b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (−∞, b] = {x ∈ R | x ≤ b},(a, b) = {x ∈ R | a < x < b}, (−∞, b) = {x ∈ R | x < b},[a, b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, [a, +∞) = {x ∈ R | a ≤ x},(a, b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, (a, +∞) = {x ∈ R | a < x},
(−∞, +∞) = R.
Aula 6 Pré-Cálculo 122
Intervalos
Sejam a, b ∈ R, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidossão denominados intervalos:
[a, b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (−∞, b] = {x ∈ R | x ≤ b},(a, b) = {x ∈ R | a < x < b}, (−∞, b) = {x ∈ R | x < b},[a, b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, [a, +∞) = {x ∈ R | a ≤ x},(a, b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, (a, +∞) = {x ∈ R | a < x},
(−∞, +∞) = R.
Aula 6 Pré-Cálculo 123
Intervalos
Sejam a, b ∈ R, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidossão denominados intervalos:
[a, b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (−∞, b] = {x ∈ R | x ≤ b},(a, b) = {x ∈ R | a < x < b}, (−∞, b) = {x ∈ R | x < b},[a, b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, [a, +∞) = {x ∈ R | a ≤ x},(a, b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, (a, +∞) = {x ∈ R | a < x},
(−∞, +∞) = R.
Aula 6 Pré-Cálculo 124
Intervalos
Sejam a, b ∈ R, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidossão denominados intervalos:
[a, b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (−∞, b] = {x ∈ R | x ≤ b},(a, b) = {x ∈ R | a < x < b}, (−∞, b) = {x ∈ R | x < b},[a, b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, [a, +∞) = {x ∈ R | a ≤ x},(a, b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, (a, +∞) = {x ∈ R | a < x},
(−∞, +∞) = R.
Aula 6 Pré-Cálculo 125
Intervalos
Sejam a, b ∈ R, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidossão denominados intervalos:
[a, b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (−∞, b] = {x ∈ R | x ≤ b},(a, b) = {x ∈ R | a < x < b}, (−∞, b) = {x ∈ R | x < b},[a, b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, [a, +∞) = {x ∈ R | a ≤ x},(a, b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, (a, +∞) = {x ∈ R | a < x},
(−∞, +∞) = R.
Aula 6 Pré-Cálculo 126
Intervalos
Sejam a, b ∈ R, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidossão denominados intervalos:
[a, b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (−∞, b] = {x ∈ R | x ≤ b},(a, b) = {x ∈ R | a < x < b}, (−∞, b) = {x ∈ R | x < b},[a, b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, [a, +∞) = {x ∈ R | a ≤ x},(a, b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, (a, +∞) = {x ∈ R | a < x},
(−∞, +∞) = R.
Aula 6 Pré-Cálculo 127
Intervalos
Sejam a, b ∈ R, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidossão denominados intervalos:
[a, b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (−∞, b] = {x ∈ R | x ≤ b},(a, b) = {x ∈ R | a < x < b}, (−∞, b) = {x ∈ R | x < b},[a, b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, [a, +∞) = {x ∈ R | a ≤ x},(a, b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, (a, +∞) = {x ∈ R | a < x},
(−∞, +∞) = R.
Aula 6 Pré-Cálculo 128
Intervalos
Sejam a, b ∈ R, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidossão denominados intervalos:
[a, b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (−∞, b] = {x ∈ R | x ≤ b},(a, b) = {x ∈ R | a < x < b}, (−∞, b) = {x ∈ R | x < b},[a, b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, [a, +∞) = {x ∈ R | a ≤ x},(a, b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, (a, +∞) = {x ∈ R | a < x},
(−∞, +∞) = R.
Aula 6 Pré-Cálculo 129
Intervalos
Sejam a, b ∈ R, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidossão denominados intervalos:
[a, b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (−∞, b] = {x ∈ R | x ≤ b},(a, b) = {x ∈ R | a < x < b}, (−∞, b) = {x ∈ R | x < b},[a, b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, [a, +∞) = {x ∈ R | a ≤ x},(a, b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, (a, +∞) = {x ∈ R | a < x},
(−∞, +∞) = R.
Aula 6 Pré-Cálculo 130
Intervalos
Sejam a, b ∈ R, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidossão denominados intervalos:
[a, b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (−∞, b] = {x ∈ R | x ≤ b},(a, b) = {x ∈ R | a < x < b}, (−∞, b) = {x ∈ R | x < b},[a, b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, [a, +∞) = {x ∈ R | a ≤ x},(a, b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, (a, +∞) = {x ∈ R | a < x},
(−∞, +∞) = R.
Aula 6 Pré-Cálculo 131
Intervalos
Sejam a, b ∈ R, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidossão denominados intervalos:
[a, b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (−∞, b] = {x ∈ R | x ≤ b},(a, b) = {x ∈ R | a < x < b}, (−∞, b) = {x ∈ R | x < b},[a, b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, [a, +∞) = {x ∈ R | a ≤ x},(a, b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, (a, +∞) = {x ∈ R | a < x},
(−∞, +∞) = R.
Aula 6 Pré-Cálculo 132
Intervalos
Sejam a, b ∈ R, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidossão denominados intervalos:
[a, b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (−∞, b] = {x ∈ R | x ≤ b},(a, b) = {x ∈ R | a < x < b}, (−∞, b) = {x ∈ R | x < b},[a, b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, [a, +∞) = {x ∈ R | a ≤ x},(a, b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, (a, +∞) = {x ∈ R | a < x},
(−∞, +∞) = R.
Aula 6 Pré-Cálculo 133
Intervalos
Sejam a, b ∈ R, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidossão denominados intervalos:
[a, b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (−∞, b] = {x ∈ R | x ≤ b},(a, b) = {x ∈ R | a < x < b}, (−∞, b) = {x ∈ R | x < b},[a, b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, [a, +∞) = {x ∈ R | a ≤ x},(a, b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, (a, +∞) = {x ∈ R | a < x},
(−∞, +∞) = R.
Aula 6 Pré-Cálculo 134
Intervalos
Sejam a, b ∈ R, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidossão denominados intervalos:
[a, b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (−∞, b] = {x ∈ R | x ≤ b},(a, b) = {x ∈ R | a < x < b}, (−∞, b) = {x ∈ R | x < b},[a, b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, [a, +∞) = {x ∈ R | a ≤ x},(a, b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, (a, +∞) = {x ∈ R | a < x},
(−∞, +∞) = R.
Aula 6 Pré-Cálculo 135
Intervalos
Sejam a, b ∈ R, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidossão denominados intervalos:
[a, b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (−∞, b] = {x ∈ R | x ≤ b},(a, b) = {x ∈ R | a < x < b}, (−∞, b) = {x ∈ R | x < b},[a, b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, [a, +∞) = {x ∈ R | a ≤ x},(a, b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, (a, +∞) = {x ∈ R | a < x},
(−∞, +∞) = R.
Aula 6 Pré-Cálculo 136
Intervalos
Sejam a, b ∈ R, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidossão denominados intervalos:
[a, b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (−∞, b] = {x ∈ R | x ≤ b},(a, b) = {x ∈ R | a < x < b}, (−∞, b) = {x ∈ R | x < b},[a, b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, [a, +∞) = {x ∈ R | a ≤ x},(a, b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, (a, +∞) = {x ∈ R | a < x},
(−∞, +∞) = R.
Aula 6 Pré-Cálculo 137
Intervalos
Sejam a, b ∈ R, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidossão denominados intervalos:
[a, b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (−∞, b] = {x ∈ R | x ≤ b},(a, b) = {x ∈ R | a < x < b}, (−∞, b) = {x ∈ R | x < b},[a, b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, [a, +∞) = {x ∈ R | a ≤ x},(a, b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, (a, +∞) = {x ∈ R | a < x},
(−∞, +∞) = R.
Aula 6 Pré-Cálculo 138
Intervalos
Sejam a, b ∈ R, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidossão denominados intervalos:
[a, b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (−∞, b] = {x ∈ R | x ≤ b},(a, b) = {x ∈ R | a < x < b}, (−∞, b) = {x ∈ R | x < b},[a, b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, [a, +∞) = {x ∈ R | a ≤ x},(a, b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, (a, +∞) = {x ∈ R | a < x},
(−∞, +∞) = R.
Os quatro intervalos da esquerda são limitados, com extremos a e b
:[a, b] é um intervalo fechado, (a, b) é um intervalo aberto, [a, b) éfechado à esquerda, (a, b] é fechado à direita. Os cinco intervalosda direita são ilimitados: (−∞, b] é a semirreta esquerda, fechada, deorigem b. Os demais têm denominações análogas. Quando a = b,o intervalo fechado [a, b] reduz-se a um único elemento, chama-seintervalo degenerado e os outros três intervalos da esquerda, neste caso,são vazios.
Aula 6 Pré-Cálculo 139
Intervalos
Sejam a, b ∈ R, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidossão denominados intervalos:
[a, b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (−∞, b] = {x ∈ R | x ≤ b},(a, b) = {x ∈ R | a < x < b}, (−∞, b) = {x ∈ R | x < b},[a, b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, [a, +∞) = {x ∈ R | a ≤ x},(a, b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, (a, +∞) = {x ∈ R | a < x},
(−∞, +∞) = R.
Os quatro intervalos da esquerda são limitados, com extremos a e b:[a, b] é um intervalo fechado
, (a, b) é um intervalo aberto, [a, b) éfechado à esquerda, (a, b] é fechado à direita. Os cinco intervalosda direita são ilimitados: (−∞, b] é a semirreta esquerda, fechada, deorigem b. Os demais têm denominações análogas. Quando a = b,o intervalo fechado [a, b] reduz-se a um único elemento, chama-seintervalo degenerado e os outros três intervalos da esquerda, neste caso,são vazios.
Aula 6 Pré-Cálculo 140
Intervalos
Sejam a, b ∈ R, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidossão denominados intervalos:
[a, b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (−∞, b] = {x ∈ R | x ≤ b},(a, b) = {x ∈ R | a < x < b}, (−∞, b) = {x ∈ R | x < b},[a, b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, [a, +∞) = {x ∈ R | a ≤ x},(a, b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, (a, +∞) = {x ∈ R | a < x},
(−∞, +∞) = R.
Os quatro intervalos da esquerda são limitados, com extremos a e b:[a, b] é um intervalo fechado, (a, b) é um intervalo aberto
, [a, b) éfechado à esquerda, (a, b] é fechado à direita. Os cinco intervalosda direita são ilimitados: (−∞, b] é a semirreta esquerda, fechada, deorigem b. Os demais têm denominações análogas. Quando a = b,o intervalo fechado [a, b] reduz-se a um único elemento, chama-seintervalo degenerado e os outros três intervalos da esquerda, neste caso,são vazios.
Aula 6 Pré-Cálculo 141
Intervalos
Sejam a, b ∈ R, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidossão denominados intervalos:
[a, b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (−∞, b] = {x ∈ R | x ≤ b},(a, b) = {x ∈ R | a < x < b}, (−∞, b) = {x ∈ R | x < b},[a, b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, [a, +∞) = {x ∈ R | a ≤ x},(a, b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, (a, +∞) = {x ∈ R | a < x},
(−∞, +∞) = R.
Os quatro intervalos da esquerda são limitados, com extremos a e b:[a, b] é um intervalo fechado, (a, b) é um intervalo aberto, [a, b) éfechado à esquerda
, (a, b] é fechado à direita. Os cinco intervalosda direita são ilimitados: (−∞, b] é a semirreta esquerda, fechada, deorigem b. Os demais têm denominações análogas. Quando a = b,o intervalo fechado [a, b] reduz-se a um único elemento, chama-seintervalo degenerado e os outros três intervalos da esquerda, neste caso,são vazios.
Aula 6 Pré-Cálculo 142
Intervalos
Sejam a, b ∈ R, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidossão denominados intervalos:
[a, b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (−∞, b] = {x ∈ R | x ≤ b},(a, b) = {x ∈ R | a < x < b}, (−∞, b) = {x ∈ R | x < b},[a, b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, [a, +∞) = {x ∈ R | a ≤ x},(a, b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, (a, +∞) = {x ∈ R | a < x},
(−∞, +∞) = R.
Os quatro intervalos da esquerda são limitados, com extremos a e b:[a, b] é um intervalo fechado, (a, b) é um intervalo aberto, [a, b) éfechado à esquerda, (a, b] é fechado à direita
. Os cinco intervalosda direita são ilimitados: (−∞, b] é a semirreta esquerda, fechada, deorigem b. Os demais têm denominações análogas. Quando a = b,o intervalo fechado [a, b] reduz-se a um único elemento, chama-seintervalo degenerado e os outros três intervalos da esquerda, neste caso,são vazios.
Aula 6 Pré-Cálculo 143
Intervalos
Sejam a, b ∈ R, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidossão denominados intervalos:
[a, b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (−∞, b] = {x ∈ R | x ≤ b},(a, b) = {x ∈ R | a < x < b}, (−∞, b) = {x ∈ R | x < b},[a, b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, [a, +∞) = {x ∈ R | a ≤ x},(a, b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, (a, +∞) = {x ∈ R | a < x},
(−∞, +∞) = R.
Os quatro intervalos da esquerda são limitados, com extremos a e b:[a, b] é um intervalo fechado, (a, b) é um intervalo aberto, [a, b) éfechado à esquerda, (a, b] é fechado à direita. Os cinco intervalosda direita são ilimitados
: (−∞, b] é a semirreta esquerda, fechada, deorigem b. Os demais têm denominações análogas. Quando a = b,o intervalo fechado [a, b] reduz-se a um único elemento, chama-seintervalo degenerado e os outros três intervalos da esquerda, neste caso,são vazios.
Aula 6 Pré-Cálculo 144
Intervalos
Sejam a, b ∈ R, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidossão denominados intervalos:
[a, b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (−∞, b] = {x ∈ R | x ≤ b},(a, b) = {x ∈ R | a < x < b}, (−∞, b) = {x ∈ R | x < b},[a, b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, [a, +∞) = {x ∈ R | a ≤ x},(a, b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, (a, +∞) = {x ∈ R | a < x},
(−∞, +∞) = R.
Os quatro intervalos da esquerda são limitados, com extremos a e b:[a, b] é um intervalo fechado, (a, b) é um intervalo aberto, [a, b) éfechado à esquerda, (a, b] é fechado à direita. Os cinco intervalosda direita são ilimitados: (−∞, b] é a semirreta esquerda, fechada, deorigem b.
Os demais têm denominações análogas. Quando a = b,o intervalo fechado [a, b] reduz-se a um único elemento, chama-seintervalo degenerado e os outros três intervalos da esquerda, neste caso,são vazios.
Aula 6 Pré-Cálculo 145
Intervalos
Sejam a, b ∈ R, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidossão denominados intervalos:
[a, b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (−∞, b] = {x ∈ R | x ≤ b},(a, b) = {x ∈ R | a < x < b}, (−∞, b) = {x ∈ R | x < b},[a, b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, [a, +∞) = {x ∈ R | a ≤ x},(a, b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, (a, +∞) = {x ∈ R | a < x},
(−∞, +∞) = R.
Os quatro intervalos da esquerda são limitados, com extremos a e b:[a, b] é um intervalo fechado, (a, b) é um intervalo aberto, [a, b) éfechado à esquerda, (a, b] é fechado à direita. Os cinco intervalosda direita são ilimitados: (−∞, b] é a semirreta esquerda, fechada, deorigem b. Os demais têm denominações análogas.
Quando a = b,o intervalo fechado [a, b] reduz-se a um único elemento, chama-seintervalo degenerado e os outros três intervalos da esquerda, neste caso,são vazios.
Aula 6 Pré-Cálculo 146
Intervalos
Sejam a, b ∈ R, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidossão denominados intervalos:
[a, b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (−∞, b] = {x ∈ R | x ≤ b},(a, b) = {x ∈ R | a < x < b}, (−∞, b) = {x ∈ R | x < b},[a, b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, [a, +∞) = {x ∈ R | a ≤ x},(a, b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, (a, +∞) = {x ∈ R | a < x},
(−∞, +∞) = R.
Os quatro intervalos da esquerda são limitados, com extremos a e b:[a, b] é um intervalo fechado, (a, b) é um intervalo aberto, [a, b) éfechado à esquerda, (a, b] é fechado à direita. Os cinco intervalosda direita são ilimitados: (−∞, b] é a semirreta esquerda, fechada, deorigem b. Os demais têm denominações análogas. Quando a = b,o intervalo fechado [a, b] reduz-se a um único elemento, chama-seintervalo degenerado e os outros três intervalos da esquerda, neste caso,são vazios.
Aula 6 Pré-Cálculo 147
Observações
Outra notações para intervalos:
]a, b[ para indicar o intervalo (a, b),
[a, b[ para indicar o intervalo [a, b), etc.
−∞ e +∞ não são números! Eles são apenas símbolosusados para indicar que os intervalos são ilimitados. Portanto,não podemos somá-los, multiplicá-los ou executar qualqueroperação considerando-os como se fossem números.
Aula 6 Pré-Cálculo 148
Observações
Outra notações para intervalos:
]a, b[ para indicar o intervalo (a, b),
[a, b[ para indicar o intervalo [a, b), etc.
−∞ e +∞ não são números! Eles são apenas símbolosusados para indicar que os intervalos são ilimitados. Portanto,não podemos somá-los, multiplicá-los ou executar qualqueroperação considerando-os como se fossem números.
Aula 6 Pré-Cálculo 149
Observações
Outra notações para intervalos:
]a, b[ para indicar o intervalo (a, b),
[a, b[ para indicar o intervalo [a, b), etc.
−∞ e +∞ não são números! Eles são apenas símbolosusados para indicar que os intervalos são ilimitados. Portanto,não podemos somá-los, multiplicá-los ou executar qualqueroperação considerando-os como se fossem números.
Aula 6 Pré-Cálculo 150
Observações
Outra notações para intervalos:
]a, b[ para indicar o intervalo (a, b),
[a, b[ para indicar o intervalo [a, b), etc.
−∞ e +∞ não são números! Eles são apenas símbolosusados para indicar que os intervalos são ilimitados. Portanto,não podemos somá-los, multiplicá-los ou executar qualqueroperação considerando-os como se fossem números.
Aula 6 Pré-Cálculo 151
Observações
Outra notações para intervalos:
]a, b[ para indicar o intervalo (a, b),
[a, b[ para indicar o intervalo [a, b), etc.
−∞ e +∞ não são números! Eles são apenas símbolosusados para indicar que os intervalos são ilimitados. Portanto,não podemos somá-los, multiplicá-los ou executar qualqueroperação considerando-os como se fossem números.
Aula 6 Pré-Cálculo 152
Observações
Outra notações para intervalos:
]a, b[ para indicar o intervalo (a, b),
[a, b[ para indicar o intervalo [a, b), etc.
−∞ e +∞ não são números! Eles são apenas símbolosusados para indicar que os intervalos são ilimitados. Portanto,não podemos somá-los, multiplicá-los ou executar qualqueroperação considerando-os como se fossem números.
Aula 6 Pré-Cálculo 153
Observações
Outra notações para intervalos:
]a, b[ para indicar o intervalo (a, b),
[a, b[ para indicar o intervalo [a, b), etc.
−∞ e +∞ não são números! Eles são apenas símbolosusados para indicar que os intervalos são ilimitados. Portanto,não podemos somá-los, multiplicá-los ou executar qualqueroperação considerando-os como se fossem números.
Aula 6 Pré-Cálculo 154
Observações
Outra notações para intervalos:
]a, b[ para indicar o intervalo (a, b),
[a, b[ para indicar o intervalo [a, b), etc.
−∞ e +∞ não são números! Eles são apenas símbolosusados para indicar que os intervalos são ilimitados. Portanto,não podemos somá-los, multiplicá-los ou executar qualqueroperação considerando-os como se fossem números.
Aula 6 Pré-Cálculo 155
Resolvendo inequações. . .
CUIDADO!
1− 2 x − 6x − 1
> 0 ⇔ 1 >2 x − 6x − 1
⇔ 2 x − 6x − 1
< 1
⇔
2 x − 6 < x − 1
⇔ 2 x − x < −1 + 6
⇔ x < 5.
Existe algo de errado neste desenvolvimento? Sim!
#
Aula 6 Pré-Cálculo 164
Resolvendo inequações. . .
CUIDADO!
1− 2 x − 6x − 1
> 0 ⇔ 1 >2 x − 6x − 1
⇔ 2 x − 6x − 1
< 1
⇔
2 x − 6 < x − 1
⇔ 2 x − x < −1 + 6
⇔ x < 5.
Existe algo de errado neste desenvolvimento? Sim!
#
Aula 6 Pré-Cálculo 165
Resolvendo inequações. . .
CUIDADO!
1− 2 x − 6x − 1
> 0 ⇔ 1 >2 x − 6x − 1
⇔ 2 x − 6x − 1
< 1
⇔
2 x − 6 < x − 1
⇔ 2 x − x < −1 + 6
⇔ x < 5.
Existe algo de errado neste desenvolvimento? Sim!
#
Aula 6 Pré-Cálculo 166
Resolvendo inequações. . .
CUIDADO!
1− 2 x − 6x − 1
> 0 ⇔ 1 >2 x − 6x − 1
⇔ 2 x − 6x − 1
< 1
⇔
2 x − 6 < x − 1
⇔ 2 x − x < −1 + 6
⇔ x < 5.
Existe algo de errado neste desenvolvimento? Sim!
#
Aula 6 Pré-Cálculo 167
Resolvendo inequações. . .
CUIDADO!
1− 2 x − 6x − 1
> 0 ⇔ 1 >2 x − 6x − 1
⇔ 2 x − 6x − 1
< 1
⇔ 2 x − 6 < x − 1
⇔ 2 x − x < −1 + 6
⇔ x < 5.
Existe algo de errado neste desenvolvimento? Sim!
#
Aula 6 Pré-Cálculo 168
Resolvendo inequações. . .
CUIDADO!
1− 2 x − 6x − 1
> 0 ⇔ 1 >2 x − 6x − 1
⇔ 2 x − 6x − 1
< 1
⇔ 2 x − 6 < x − 1
⇔ 2 x − x < −1 + 6
⇔ x < 5.
Existe algo de errado neste desenvolvimento? Sim!
#
Aula 6 Pré-Cálculo 169
Resolvendo inequações. . .
CUIDADO!
1− 2 x − 6x − 1
> 0 ⇔ 1 >2 x − 6x − 1
⇔ 2 x − 6x − 1
< 1
⇔ 2 x − 6 < x − 1
⇔ 2 x − x < −1 + 6
⇔ x < 5.
Existe algo de errado neste desenvolvimento? Sim!
#
Aula 6 Pré-Cálculo 170
Resolvendo inequações. . .
CUIDADO!
1− 2 x − 6x − 1
> 0 ⇔ 1 >2 x − 6x − 1
⇔ 2 x − 6x − 1
< 1
⇔ 2 x − 6 < x − 1
⇔ 2 x − x < −1 + 6
⇔ x < 5.
Existe algo de errado neste desenvolvimento? Sim!
#
Aula 6 Pré-Cálculo 171
Resolvendo inequações. . .
CUIDADO!
1− 2 x − 6x − 1
> 0 ⇔ 1 >2 x − 6x − 1
⇔ 2 x − 6x − 1
< 1
⇔ 2 x − 6 < x − 1
⇔ 2 x − x < −1 + 6
⇔ x < 5.
Existe algo de errado neste desenvolvimento? Sim!
#
Aula 6 Pré-Cálculo 172
Resolvendo inequações. . .
2 x − 6x − 1
< 1 ⇔ 2 x − 6x − 1
−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)
x − 1< 0 ⇔ x − 5
x − 1< 0
Esta última inequação pode ser resolvida usando-se uma variaçãode [PO12]:
x − 5x − 1
< 0
m
(x − 5 > 0 e x − 1 < 0) ou (x − 5 < 0 e x − 1 > 0)
Mas vamos resolvê-la usando um método mais esquemático!
Aula 6 Pré-Cálculo 173
Resolvendo inequações. . .
2 x − 6x − 1
< 1 ⇔ 2 x − 6x − 1
−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)
x − 1< 0 ⇔ x − 5
x − 1< 0
Esta última inequação pode ser resolvida usando-se uma variaçãode [PO12]:
x − 5x − 1
< 0
m
(x − 5 > 0 e x − 1 < 0) ou (x − 5 < 0 e x − 1 > 0)
Mas vamos resolvê-la usando um método mais esquemático!
Aula 6 Pré-Cálculo 174
Resolvendo inequações. . .
2 x − 6x − 1
< 1 ⇔ 2 x − 6x − 1
−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)
x − 1< 0 ⇔ x − 5
x − 1< 0
Esta última inequação pode ser resolvida usando-se uma variaçãode [PO12]:
x − 5x − 1
< 0
m
(x − 5 > 0 e x − 1 < 0) ou (x − 5 < 0 e x − 1 > 0)
Mas vamos resolvê-la usando um método mais esquemático!
Aula 6 Pré-Cálculo 175
Resolvendo inequações. . .
2 x − 6x − 1
< 1 ⇔ 2 x − 6x − 1
−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)
x − 1< 0 ⇔ x − 5
x − 1< 0
Esta última inequação pode ser resolvida usando-se uma variaçãode [PO12]:
x − 5x − 1
< 0
m
(x − 5 > 0 e x − 1 < 0) ou (x − 5 < 0 e x − 1 > 0)
Mas vamos resolvê-la usando um método mais esquemático!
Aula 6 Pré-Cálculo 176
Resolvendo inequações. . .
2 x − 6x − 1
< 1 ⇔ 2 x − 6x − 1
−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)
x − 1< 0 ⇔ x − 5
x − 1< 0
Esta última inequação pode ser resolvida usando-se uma variaçãode [PO12]:
x − 5x − 1
< 0
m
(x − 5 > 0 e x − 1 < 0) ou (x − 5 < 0 e x − 1 > 0)
Mas vamos resolvê-la usando um método mais esquemático!
Aula 6 Pré-Cálculo 177
Resolvendo inequações. . .
2 x − 6x − 1
< 1 ⇔ 2 x − 6x − 1
−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)
x − 1< 0 ⇔ x − 5
x − 1< 0
Esta última inequação pode ser resolvida usando-se uma variaçãode [PO12]:
x − 5x − 1
< 0
m
(x − 5 > 0 e x − 1 < 0) ou (x − 5 < 0 e x − 1 > 0)
Mas vamos resolvê-la usando um método mais esquemático!
Aula 6 Pré-Cálculo 178
Resolvendo inequações. . .
2 x − 6x − 1
< 1 ⇔ 2 x − 6x − 1
−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)
x − 1< 0 ⇔ x − 5
x − 1< 0
Esta última inequação pode ser resolvida usando-se uma variaçãode [PO12]:
x − 5x − 1
< 0
m
(x − 5 > 0 e x − 1 < 0) ou (x − 5 < 0 e x − 1 > 0)
Mas vamos resolvê-la usando um método mais esquemático!
Aula 6 Pré-Cálculo 179
Resolvendo inequações. . .
2 x − 6x − 1
< 1 ⇔ 2 x − 6x − 1
−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)
x − 1< 0 ⇔ x − 5
x − 1< 0
Esta última inequação pode ser resolvida usando-se uma variaçãode [PO12]:
x − 5x − 1
< 0
m
(x − 5 > 0 e x − 1 < 0) ou (x − 5 < 0 e x − 1 > 0)
Mas vamos resolvê-la usando um método mais esquemático!
Aula 6 Pré-Cálculo 180
Resolvendo inequações. . .
2 x − 6x − 1
< 1 ⇔ 2 x − 6x − 1
−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)
x − 1< 0 ⇔ x − 5
x − 1< 0
Esta última inequação pode ser resolvida usando-se uma variaçãode [PO12]:
x − 5x − 1
< 0
m
(x − 5 > 0 e x − 1 < 0) ou (x − 5 < 0 e x − 1 > 0)
Mas vamos resolvê-la usando um método mais esquemático!
Aula 6 Pré-Cálculo 181
Resolvendo inequações. . .
2 x − 6x − 1
< 1 ⇔ 2 x − 6x − 1
−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)
x − 1< 0 ⇔ x − 5
x − 1< 0
Sinal dex − 5
Sinal dex − 1
Sinal de(x − 5)/(x − 1)
5
5
5
1
1
1
S = {x ∈ R | 1 < x < 5} = (1, 5).
Aula 6 Pré-Cálculo 182
Resolvendo inequações. . .
2 x − 6x − 1
< 1 ⇔ 2 x − 6x − 1
−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)
x − 1< 0 ⇔ x − 5
x − 1< 0
Sinal dex − 5
Sinal dex − 1
Sinal de(x − 5)/(x − 1)
5
5
5
1
1
1
S = {x ∈ R | 1 < x < 5} = (1, 5).
Aula 6 Pré-Cálculo 183
Resolvendo inequações. . .
2 x − 6x − 1
< 1 ⇔ 2 x − 6x − 1
−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)
x − 1< 0 ⇔ x − 5
x − 1< 0
Sinal dex − 5
Sinal dex − 1
Sinal de(x − 5)/(x − 1)
5
5
5
1
1
1
S = {x ∈ R | 1 < x < 5} = (1, 5).
Aula 6 Pré-Cálculo 184
Resolvendo inequações. . .
2 x − 6x − 1
< 1 ⇔ 2 x − 6x − 1
−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)
x − 1< 0 ⇔ x − 5
x − 1< 0
Sinal dex − 5
Sinal dex − 1
Sinal de(x − 5)/(x − 1)
5
5
5
1
1
1
S = {x ∈ R | 1 < x < 5} = (1, 5).
Aula 6 Pré-Cálculo 185
Resolvendo inequações. . .
2 x − 6x − 1
< 1 ⇔ 2 x − 6x − 1
−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)
x − 1< 0 ⇔ x − 5
x − 1< 0
Sinal dex − 5
Sinal dex − 1
Sinal de(x − 5)/(x − 1)
5
5
5
1
1
1
S = {x ∈ R | 1 < x < 5} = (1, 5).
Aula 6 Pré-Cálculo 186
Resolvendo inequações. . .
2 x − 6x − 1
< 1 ⇔ 2 x − 6x − 1
−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)
x − 1< 0 ⇔ x − 5
x − 1< 0
Sinal dex − 5
Sinal dex − 1
Sinal de(x − 5)/(x − 1)
5
5
5
1
1
1
S = {x ∈ R | 1 < x < 5} = (1, 5).
Aula 6 Pré-Cálculo 187
Resolvendo inequações. . .
2 x − 6x − 1
< 1 ⇔ 2 x − 6x − 1
−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)
x − 1< 0 ⇔ x − 5
x − 1< 0
Sinal dex − 5
Sinal dex − 1
Sinal de(x − 5)/(x − 1)
5
5
5
1
1
1
S = {x ∈ R | 1 < x < 5} = (1, 5).
Aula 6 Pré-Cálculo 188
Resolvendo inequações. . .
2 x − 6x − 1
< 1 ⇔ 2 x − 6x − 1
−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)
x − 1< 0 ⇔ x − 5
x − 1< 0
Sinal dex − 5
Sinal dex − 1
Sinal de(x − 5)/(x − 1)
5
5
5
1
1
1
S = {x ∈ R | 1 < x < 5} = (1, 5).
Aula 6 Pré-Cálculo 189
Resolvendo inequações. . .
2 x − 6x − 1
< 1 ⇔ 2 x − 6x − 1
−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)
x − 1< 0 ⇔ x − 5
x − 1< 0
Sinal dex − 5
Sinal dex − 1
Sinal de(x − 5)/(x − 1)
5
5
5
1
1
1
S = {x ∈ R | 1 < x < 5} = (1, 5).
Aula 6 Pré-Cálculo 190
Resolvendo inequações. . .
2 x − 6x − 1
< 1 ⇔ 2 x − 6x − 1
−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)
x − 1< 0 ⇔ x − 5
x − 1< 0
Sinal dex − 5
Sinal dex − 1
Sinal de(x − 5)/(x − 1)
5
5
5
1
1
1
S = {x ∈ R | 1 < x < 5} = (1, 5).
Aula 6 Pré-Cálculo 191
Resolvendo inequações. . .
2 x − 6x − 1
< 1 ⇔ 2 x − 6x − 1
−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)
x − 1< 0 ⇔ x − 5
x − 1< 0
Sinal dex − 5
Sinal dex − 1
Sinal de(x − 5)/(x − 1)
5
5
5
1
1
1
S = {x ∈ R | 1 < x < 5} = (1, 5).
Aula 6 Pré-Cálculo 192
Resolvendo inequações. . .
2 x − 6x − 1
< 1 ⇔ 2 x − 6x − 1
−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)
x − 1< 0 ⇔ x − 5
x − 1< 0
Sinal dex − 5
Sinal dex − 1
Sinal de(x − 5)/(x − 1)
5
5
5
1
1
1
S = {x ∈ R | 1 < x < 5} = (1, 5).
Aula 6 Pré-Cálculo 193
Resolvendo inequações. . .
2 x − 6x − 1
< 1 ⇔ 2 x − 6x − 1
−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)
x − 1< 0 ⇔ x − 5
x − 1< 0
Sinal dex − 5
Sinal dex − 1
Sinal de(x − 5)/(x − 1)
5
5
5
1
1
1
S = {x ∈ R | 1 < x < 5} = (1, 5).
Aula 6 Pré-Cálculo 194
Resolvendo inequações. . .
2 x − 6x − 1
< 1 ⇔ 2 x − 6x − 1
−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)
x − 1< 0 ⇔ x − 5
x − 1< 0
Sinal dex − 5
Sinal dex − 1
Sinal de(x − 5)/(x − 1)
5
5
5
1
1
1
S = {x ∈ R | 1 < x < 5} = (1, 5).
Aula 6 Pré-Cálculo 195
Resolvendo inequações. . .
2 x − 6x − 1
< 1 ⇔ 2 x − 6x − 1
−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)
x − 1< 0 ⇔ x − 5
x − 1< 0
Sinal dex − 5
Sinal dex − 1
Sinal de(x − 5)/(x − 1)
5
5
5
1
1
1
S = {x ∈ R | 1 < x < 5} = (1, 5).
Aula 6 Pré-Cálculo 196
Resolvendo inequações. . .
2 x − 6x − 1
< 1 ⇔ 2 x − 6x − 1
−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)
x − 1< 0 ⇔ x − 5
x − 1< 0
Sinal dex − 5
Sinal dex − 1
Sinal de(x − 5)/(x − 1)
5
5
5
1
1
1
S = {x ∈ R | 1 < x < 5} = (1, 5).
Aula 6 Pré-Cálculo 197
Resolvendo inequações. . .
2 x − 6x − 1
< 1 ⇔ 2 x − 6x − 1
−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)
x − 1< 0 ⇔ x − 5
x − 1< 0
Sinal dex − 5
Sinal dex − 1
Sinal de(x − 5)/(x − 1)
5
5
5
1
1
1
S = {x ∈ R | 1 < x < 5} = (1, 5).
Aula 6 Pré-Cálculo 198
Q é completo?
x1 = 0.9x2 = 0.99x3 = 0.999x4 = 0.9999x5 = 0.99999x6 = 0.999999x7 = 0.9999999x8 = 0.99999999
...
Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 1 para todo n).
Em Q, xn converge para 0.9 = 1.
Aula 6 Pré-Cálculo 200
Q é completo?
x1 = 0.9x2 = 0.99x3 = 0.999x4 = 0.9999x5 = 0.99999x6 = 0.999999x7 = 0.9999999x8 = 0.99999999
...
Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 1 para todo n).
Em Q, xn converge para 0.9 = 1.
Aula 6 Pré-Cálculo 201
Q é completo?
x1 = 0.9x2 = 0.99x3 = 0.999x4 = 0.9999x5 = 0.99999x6 = 0.999999x7 = 0.9999999x8 = 0.99999999
...
Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 1 para todo n).
Em Q, xn converge para 0.9 = 1.
Aula 6 Pré-Cálculo 202
Q é completo?
x1 = 0.9x2 = 0.99x3 = 0.999x4 = 0.9999x5 = 0.99999x6 = 0.999999x7 = 0.9999999x8 = 0.99999999
...
Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 1 para todo n).
Em Q, xn converge para 0.9 = 1.
Aula 6 Pré-Cálculo 203
Q é completo?
x1 = 0.9x2 = 0.99x3 = 0.999x4 = 0.9999x5 = 0.99999x6 = 0.999999x7 = 0.9999999x8 = 0.99999999
...
Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 1 para todo n).
Em Q, xn converge para 0.9 = 1.
Aula 6 Pré-Cálculo 204
Q é completo?
x1 = 0.9x2 = 0.99x3 = 0.999x4 = 0.9999x5 = 0.99999x6 = 0.999999x7 = 0.9999999x8 = 0.99999999
...
Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 1 para todo n).
Em Q, xn converge para 0.9 = 1.
Aula 6 Pré-Cálculo 205
Q é completo?
x1 = 0.9x2 = 0.99x3 = 0.999x4 = 0.9999x5 = 0.99999x6 = 0.999999x7 = 0.9999999x8 = 0.99999999
...
Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 1 para todo n).
Em Q, xn converge para 0.9 = 1.
Aula 6 Pré-Cálculo 206
Q é completo?
x1 = 0.9x2 = 0.99x3 = 0.999x4 = 0.9999x5 = 0.99999x6 = 0.999999x7 = 0.9999999x8 = 0.99999999
...
Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 1 para todo n).
Em Q, xn converge para 0.9 = 1.
Aula 6 Pré-Cálculo 207
Q é completo?
x1 = 0.9x2 = 0.99x3 = 0.999x4 = 0.9999x5 = 0.99999x6 = 0.999999x7 = 0.9999999x8 = 0.99999999
...
Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 1 para todo n).
Em Q, xn converge para 0.9 = 1.
Aula 6 Pré-Cálculo 208
Q é completo?
x1 = 0.9x2 = 0.99x3 = 0.999x4 = 0.9999x5 = 0.99999x6 = 0.999999x7 = 0.9999999x8 = 0.99999999
...
Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 1 para todo n).
Em Q, xn converge para 0.9 = 1.
Aula 6 Pré-Cálculo 209
Q é completo?
x1 = 0.9x2 = 0.99x3 = 0.999x4 = 0.9999x5 = 0.99999x6 = 0.999999x7 = 0.9999999x8 = 0.99999999
...
Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 1 para todo n).
Em Q, xn converge para 0.9 = 1.
Aula 6 Pré-Cálculo 210
Q é completo?
x1 = 0.9x2 = 0.99x3 = 0.999x4 = 0.9999x5 = 0.99999x6 = 0.999999x7 = 0.9999999x8 = 0.99999999
...
Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 1 para todo n).
Em Q, xn converge para 0.9 = 1.
Aula 6 Pré-Cálculo 211
Q é completo?
x1 = 0.9x2 = 0.99x3 = 0.999x4 = 0.9999x5 = 0.99999x6 = 0.999999x7 = 0.9999999x8 = 0.99999999
...
Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 1 para todo n).
Em Q, xn converge para 0.9 = 1.
Aula 6 Pré-Cálculo 212
Q é completo?
x1 = 0.9x2 = 0.99x3 = 0.999x4 = 0.9999x5 = 0.99999x6 = 0.999999x7 = 0.9999999x8 = 0.99999999
...
Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 1 para todo n).
Em Q, xn converge para 0.9 = 1.
Aula 6 Pré-Cálculo 213
Q é completo?
x1 = 0.3x2 = 0.33x3 = 0.333x4 = 0.3333x5 = 0.33333x6 = 0.333333x7 = 0.3333333x8 = 0.33333333
...
Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 0.4 para todo n).
Em Q, xn converge para 0.3 = 1/3.
Aula 6 Pré-Cálculo 214
Q é completo?
x1 = 0.3x2 = 0.33x3 = 0.333x4 = 0.3333x5 = 0.33333x6 = 0.333333x7 = 0.3333333x8 = 0.33333333
...
Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 0.4 para todo n).
Em Q, xn converge para 0.3 = 1/3.
Aula 6 Pré-Cálculo 215
Q é completo?
x1 = 0.3x2 = 0.33x3 = 0.333x4 = 0.3333x5 = 0.33333x6 = 0.333333x7 = 0.3333333x8 = 0.33333333
...
Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 0.4 para todo n).
Em Q, xn converge para 0.3 = 1/3.
Aula 6 Pré-Cálculo 216
Q é completo?
x1 = 0.3x2 = 0.33x3 = 0.333x4 = 0.3333x5 = 0.33333x6 = 0.333333x7 = 0.3333333x8 = 0.33333333
...
Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 0.4 para todo n).
Em Q, xn converge para 0.3 = 1/3.
Aula 6 Pré-Cálculo 217
Q é completo?
x1 = 0.3x2 = 0.33x3 = 0.333x4 = 0.3333x5 = 0.33333x6 = 0.333333x7 = 0.3333333x8 = 0.33333333
...
Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 0.4 para todo n).
Em Q, xn converge para 0.3 = 1/3.
Aula 6 Pré-Cálculo 218
Q é completo?
x1 = 0.3x2 = 0.33x3 = 0.333x4 = 0.3333x5 = 0.33333x6 = 0.333333x7 = 0.3333333x8 = 0.33333333
...
Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 0.4 para todo n).
Em Q, xn converge para 0.3 = 1/3.
Aula 6 Pré-Cálculo 219
Q é completo?
x1 = 0.3x2 = 0.33x3 = 0.333x4 = 0.3333x5 = 0.33333x6 = 0.333333x7 = 0.3333333x8 = 0.33333333
...
Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 0.4 para todo n).
Em Q, xn converge para 0.3 = 1/3.
Aula 6 Pré-Cálculo 220
Q é completo?
x1 = 0.3x2 = 0.33x3 = 0.333x4 = 0.3333x5 = 0.33333x6 = 0.333333x7 = 0.3333333x8 = 0.33333333
...
Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 0.4 para todo n).
Em Q, xn converge para 0.3 = 1/3.
Aula 6 Pré-Cálculo 221
Q é completo?
x1 = 0.3x2 = 0.33x3 = 0.333x4 = 0.3333x5 = 0.33333x6 = 0.333333x7 = 0.3333333x8 = 0.33333333
...
Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 0.4 para todo n).
Em Q, xn converge para 0.3 = 1/3.
Aula 6 Pré-Cálculo 222
Q é completo?
x1 = 0.3x2 = 0.33x3 = 0.333x4 = 0.3333x5 = 0.33333x6 = 0.333333x7 = 0.3333333x8 = 0.33333333
...
Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 0.4 para todo n).
Em Q, xn converge para 0.3 = 1/3.
Aula 6 Pré-Cálculo 223
Q é completo?
x1 = 0.3x2 = 0.33x3 = 0.333x4 = 0.3333x5 = 0.33333x6 = 0.333333x7 = 0.3333333x8 = 0.33333333
...
Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 0.4 para todo n).
Em Q, xn converge para 0.3 = 1/3.
Aula 6 Pré-Cálculo 224
Q é completo?
x1 = 0.3x2 = 0.33x3 = 0.333x4 = 0.3333x5 = 0.33333x6 = 0.333333x7 = 0.3333333x8 = 0.33333333
...
Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 0.4 para todo n).
Em Q, xn converge para 0.3 = 1/3.
Aula 6 Pré-Cálculo 225
Q é completo?
x1 = 0.3x2 = 0.33x3 = 0.333x4 = 0.3333x5 = 0.33333x6 = 0.333333x7 = 0.3333333x8 = 0.33333333
...
Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 0.4 para todo n).
Em Q, xn converge para 0.3 = 1/3.
Aula 6 Pré-Cálculo 226
Q é completo?
x1 = 0.3x2 = 0.33x3 = 0.333x4 = 0.3333x5 = 0.33333x6 = 0.333333x7 = 0.3333333x8 = 0.33333333
...
Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 0.4 para todo n).
Em Q, xn converge para 0.3 = 1/3.
Aula 6 Pré-Cálculo 227
Q é completo?
Será que toda sequência xn de números racionais crescente elimitada sempre tende a algum número racional?
Resposta: não!
Aula 6 Pré-Cálculo 228
Q é completo?
Será que toda sequência xn de números racionais crescente elimitada sempre tende a algum número racional?
Resposta: não!
Aula 6 Pré-Cálculo 229
Q é completo?
x1 = 1.4x2 = 1.41x3 = 1.414x4 = 1.4142x5 = 1.41421x6 = 1.414213x7 = 1.4142135x8 = 1.41421356
...
Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 1.5 para todo n).
Mas, em Q, xn não converge para um número em Q!
Aula 6 Pré-Cálculo 230
Q é completo?
x1 = 1.4x2 = 1.41x3 = 1.414x4 = 1.4142x5 = 1.41421x6 = 1.414213x7 = 1.4142135x8 = 1.41421356
...
Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 1.5 para todo n).
Mas, em Q, xn não converge para um número em Q!
Aula 6 Pré-Cálculo 231
Q é completo?
x1 = 1.4x2 = 1.41x3 = 1.414x4 = 1.4142x5 = 1.41421x6 = 1.414213x7 = 1.4142135x8 = 1.41421356
...
Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 1.5 para todo n).
Mas, em Q, xn não converge para um número em Q!
Aula 6 Pré-Cálculo 232
Q é completo?
x1 = 1.4x2 = 1.41x3 = 1.414x4 = 1.4142x5 = 1.41421x6 = 1.414213x7 = 1.4142135x8 = 1.41421356
...
Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 1.5 para todo n).
Mas, em Q, xn não converge para um número em Q!
Aula 6 Pré-Cálculo 233
Q é completo?
x1 = 1.4x2 = 1.41x3 = 1.414x4 = 1.4142x5 = 1.41421x6 = 1.414213x7 = 1.4142135x8 = 1.41421356
...
Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 1.5 para todo n).
Mas, em Q, xn não converge para um número em Q!
Aula 6 Pré-Cálculo 234
Q é completo?
x1 = 1.4x2 = 1.41x3 = 1.414x4 = 1.4142x5 = 1.41421x6 = 1.414213x7 = 1.4142135x8 = 1.41421356
...
Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 1.5 para todo n).
Mas, em Q, xn não converge para um número em Q!
Aula 6 Pré-Cálculo 235
Q é completo?
x1 = 1.4x2 = 1.41x3 = 1.414x4 = 1.4142x5 = 1.41421x6 = 1.414213x7 = 1.4142135x8 = 1.41421356
...
Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 1.5 para todo n).
Mas, em Q, xn não converge para um número em Q!
Aula 6 Pré-Cálculo 236
Q é completo?
x1 = 1.4x2 = 1.41x3 = 1.414x4 = 1.4142x5 = 1.41421x6 = 1.414213x7 = 1.4142135x8 = 1.41421356
...
Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 1.5 para todo n).
Mas, em Q, xn não converge para um número em Q!
Aula 6 Pré-Cálculo 237
Q é completo?
x1 = 1.4x2 = 1.41x3 = 1.414x4 = 1.4142x5 = 1.41421x6 = 1.414213x7 = 1.4142135x8 = 1.41421356
...
Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 1.5 para todo n).
Mas, em Q, xn não converge para um número em Q!
Aula 6 Pré-Cálculo 238
Q é completo?
x1 = 1.4x2 = 1.41x3 = 1.414x4 = 1.4142x5 = 1.41421x6 = 1.414213x7 = 1.4142135x8 = 1.41421356
...
Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 1.5 para todo n).
Mas, em Q, xn não converge para um número em Q!
Aula 6 Pré-Cálculo 239
Q é completo?
x1 = 1.4x2 = 1.41x3 = 1.414x4 = 1.4142x5 = 1.41421x6 = 1.414213x7 = 1.4142135x8 = 1.41421356
...
Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 1.5 para todo n).
Mas, em Q, xn não converge para um número em Q!
Aula 6 Pré-Cálculo 240
Q é completo?
x1 = 1.4x2 = 1.41x3 = 1.414x4 = 1.4142x5 = 1.41421x6 = 1.414213x7 = 1.4142135x8 = 1.41421356
...
Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 1.5 para todo n).
Mas, em Q, xn não converge para um número em Q!
Aula 6 Pré-Cálculo 241
Q é completo?
x1 = 1.4x2 = 1.41x3 = 1.414x4 = 1.4142x5 = 1.41421x6 = 1.414213x7 = 1.4142135x8 = 1.41421356
...
Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 1.5 para todo n).
Mas, em Q, xn não converge para um número em Q!
Aula 6 Pré-Cálculo 242
R é completo!
x1 = 1.4x2 = 1.41x3 = 1.414x4 = 1.4142x5 = 1.41421x6 = 1.414213x7 = 1.4142135x8 = 1.41421356
...
Em R, xn é crescente e xn é limitada (xn < 1.5 para todo n).
Em R, xn converge para o número√
2 ∈ R!
Aula 6 Pré-Cálculo 243
Q é completo?
x1 = 0.1x2 = 0.101x3 = 0.101001x4 = 0.1010010001x5 = 0.101001000100001x6 = 0.101001000100001000001x7 = 0.1010010001000010000010000001x8 = 0.101001000100001000001000000100000001
...
Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 0.2 para todo n).
Mas, em Q, xn não converge para um número em Q!
Aula 6 Pré-Cálculo 244
Q é completo?
x1 = 0.1x2 = 0.101x3 = 0.101001x4 = 0.1010010001x5 = 0.101001000100001x6 = 0.101001000100001000001x7 = 0.1010010001000010000010000001x8 = 0.101001000100001000001000000100000001
...
Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 0.2 para todo n).
Mas, em Q, xn não converge para um número em Q!
Aula 6 Pré-Cálculo 245
Q é completo?
x1 = 0.1x2 = 0.101x3 = 0.101001x4 = 0.1010010001x5 = 0.101001000100001x6 = 0.101001000100001000001x7 = 0.1010010001000010000010000001x8 = 0.101001000100001000001000000100000001
...
Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 0.2 para todo n).
Mas, em Q, xn não converge para um número em Q!
Aula 6 Pré-Cálculo 246
Q é completo?
x1 = 0.1x2 = 0.101x3 = 0.101001x4 = 0.1010010001x5 = 0.101001000100001x6 = 0.101001000100001000001x7 = 0.1010010001000010000010000001x8 = 0.101001000100001000001000000100000001
...
Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 0.2 para todo n).
Mas, em Q, xn não converge para um número em Q!
Aula 6 Pré-Cálculo 247
Q é completo?
x1 = 0.1x2 = 0.101x3 = 0.101001x4 = 0.1010010001x5 = 0.101001000100001x6 = 0.101001000100001000001x7 = 0.1010010001000010000010000001x8 = 0.101001000100001000001000000100000001
...
Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 0.2 para todo n).
Mas, em Q, xn não converge para um número em Q!
Aula 6 Pré-Cálculo 248
Q é completo?
x1 = 0.1x2 = 0.101x3 = 0.101001x4 = 0.1010010001x5 = 0.101001000100001x6 = 0.101001000100001000001x7 = 0.1010010001000010000010000001x8 = 0.101001000100001000001000000100000001
...
Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 0.2 para todo n).
Mas, em Q, xn não converge para um número em Q!
Aula 6 Pré-Cálculo 249
Q é completo?
x1 = 0.1x2 = 0.101x3 = 0.101001x4 = 0.1010010001x5 = 0.101001000100001x6 = 0.101001000100001000001x7 = 0.1010010001000010000010000001x8 = 0.101001000100001000001000000100000001
...
Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 0.2 para todo n).
Mas, em Q, xn não converge para um número em Q!
Aula 6 Pré-Cálculo 250
Q é completo?
x1 = 0.1x2 = 0.101x3 = 0.101001x4 = 0.1010010001x5 = 0.101001000100001x6 = 0.101001000100001000001x7 = 0.1010010001000010000010000001x8 = 0.101001000100001000001000000100000001
...
Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 0.2 para todo n).
Mas, em Q, xn não converge para um número em Q!
Aula 6 Pré-Cálculo 251
Q é completo?
x1 = 0.1x2 = 0.101x3 = 0.101001x4 = 0.1010010001x5 = 0.101001000100001x6 = 0.101001000100001000001x7 = 0.1010010001000010000010000001x8 = 0.101001000100001000001000000100000001
...
Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 0.2 para todo n).
Mas, em Q, xn não converge para um número em Q!
Aula 6 Pré-Cálculo 252
Q é completo?
x1 = 0.1x2 = 0.101x3 = 0.101001x4 = 0.1010010001x5 = 0.101001000100001x6 = 0.101001000100001000001x7 = 0.1010010001000010000010000001x8 = 0.101001000100001000001000000100000001
...
Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 0.2 para todo n).
Mas, em Q, xn não converge para um número em Q!
Aula 6 Pré-Cálculo 253
Q é completo?
x1 = 0.1x2 = 0.101x3 = 0.101001x4 = 0.1010010001x5 = 0.101001000100001x6 = 0.101001000100001000001x7 = 0.1010010001000010000010000001x8 = 0.101001000100001000001000000100000001
...
Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 0.2 para todo n).
Mas, em Q, xn não converge para um número em Q!
Aula 6 Pré-Cálculo 254
Q é completo?
x1 = 0.1x2 = 0.101x3 = 0.101001x4 = 0.1010010001x5 = 0.101001000100001x6 = 0.101001000100001000001x7 = 0.1010010001000010000010000001x8 = 0.101001000100001000001000000100000001
...
Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 0.2 para todo n).
Mas, em Q, xn não converge para um número em Q!
Aula 6 Pré-Cálculo 255
Q é completo?
x1 = 0.1x2 = 0.101x3 = 0.101001x4 = 0.1010010001x5 = 0.101001000100001x6 = 0.101001000100001000001x7 = 0.1010010001000010000010000001x8 = 0.101001000100001000001000000100000001
...
Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 0.2 para todo n).
Mas, em Q, xn não converge para um número em Q!
Aula 6 Pré-Cálculo 256
R é completo!
x1 = 0.1x2 = 0.101x3 = 0.101001x4 = 0.1010010001x5 = 0.101001000100001x6 = 0.101001000100001000001x7 = 0.1010010001000010000010000001x8 = 0.101001000100001000001000000100000001
...
Em R, xn é crescente e xn é limitada (xn < 0.2 para todo n).
Em R, xn converge para um número em R!
Aula 6 Pré-Cálculo 257
R é completo!
Q não é completo.
R é completo.
C é completo
(usando uma definição mais geral de completude via sequências deCauchy, que não depende do fato do corpo ser ordenado ou não)
Aula 6 Pré-Cálculo 258
R é completo!
Q não é completo.
R é completo.
C é completo
(usando uma definição mais geral de completude via sequências deCauchy, que não depende do fato do corpo ser ordenado ou não)
Aula 6 Pré-Cálculo 259
R é completo!
Q não é completo.
R é completo.
C é completo
(usando uma definição mais geral de completude via sequências deCauchy, que não depende do fato do corpo ser ordenado ou não)
Aula 6 Pré-Cálculo 260
R é completo!
Q não é completo.
R é completo.
C é completo
(usando uma definição mais geral de completude via sequências deCauchy, que não depende do fato do corpo ser ordenado ou não)
Aula 6 Pré-Cálculo 261
R é completo!
Q não é completo.
R é completo.
C é completo
(usando uma definição mais geral de completude via sequências deCauchy, que não depende do fato do corpo ser ordenado ou não)
Aula 6 Pré-Cálculo 262