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Matemática Básica Humberto José Bortolossi Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Aula 5 23 de março de 2012 Aula 5 Matemática Básica 1

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Matemática Básica

Humberto José Bortolossi

Departamento de Matemática Aplicada

Universidade Federal Fluminense

Aula 5

23 de março de 2012

Aula 5 Matemática Básica 1

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Números

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O que é um número?

Dicionário Aurélio:

Número.[Do lat. numeru.]S. m.1. A soma total dos elementos ou unidades de um conjunto, série, etc.2. Porção ou parcela de um grupo, conjunto, etc.3. Nome, símbolo ou representação de uma quantidade. [Cf. numeral (3).]4. Entidade abstrata que corresponde a um aspecto ou a uma caraterística

mensurável de algo (quantidade, grandeza, intensidade, etc.) e queé matematicamente definida como conjunto de todos os conjuntosequivalentes a um conjunto dado.

Aula 5 Matemática Básica 3

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O que é um número?

Dicionário Aurélio:

Número.[Do lat. numeru.]S. m.1. A soma total dos elementos ou unidades de um conjunto, série, etc.2. Porção ou parcela de um grupo, conjunto, etc.3. Nome, símbolo ou representação de uma quantidade. [Cf. numeral (3).]4. Entidade abstrata que corresponde a um aspecto ou a uma caraterística

mensurável de algo (quantidade, grandeza, intensidade, etc.) e queé matematicamente definida como conjunto de todos os conjuntosequivalentes a um conjunto dado.

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O que é um número?

Dicionário Aurélio:

Número.[Do lat. numeru.]S. m.1. A soma total dos elementos ou unidades de um conjunto, série, etc.2. Porção ou parcela de um grupo, conjunto, etc.3. Nome, símbolo ou representação de uma quantidade. [Cf. numeral (3).]4. Entidade abstrata que corresponde a um aspecto ou a uma caraterística

mensurável de algo (quantidade, grandeza, intensidade, etc.) e queé matematicamente definida como conjunto de todos os conjuntosequivalentes a um conjunto dado.

Aula 5 Matemática Básica 5

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O que é um número?

Wikipédia:

Número é a essência e o princípio de todas as coisas (Pitágoras).

Número é a relação entre a quantidade e a unidade (Newton).

Número é um composto da unidade (Euclides).

Número nada mais é do que a proporção de uma magnitude com relação a outra consideradaarbitrariamente como unidade (Euler).

Número é uma coleção de objetos de cuja natureza fazemos abstração (Boutroux).

Número é o resultado da comparação de qualquer grandeza com a unidade (BenjaminConstant).

Número é o movimento acelerado ou retardado (Aristóteles).

Número é uma coleção de unidades (Condorcet).

Número é a expressão que determina uma quantidade de coisas da mesma espécie (Baltzer).

Número é a classe de todas as classes equivalente a uma dada classe (Bertrand Russell).

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O que é um número?

Wikipédia:

Número é a essência e o princípio de todas as coisas (Pitágoras).

Número é a relação entre a quantidade e a unidade (Newton).

Número é um composto da unidade (Euclides).

Número nada mais é do que a proporção de uma magnitude com relação a outra consideradaarbitrariamente como unidade (Euler).

Número é uma coleção de objetos de cuja natureza fazemos abstração (Boutroux).

Número é o resultado da comparação de qualquer grandeza com a unidade (BenjaminConstant).

Número é o movimento acelerado ou retardado (Aristóteles).

Número é uma coleção de unidades (Condorcet).

Número é a expressão que determina uma quantidade de coisas da mesma espécie (Baltzer).

Número é a classe de todas as classes equivalente a uma dada classe (Bertrand Russell).

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O que é um número?

Não é uma definição formal, mas nos revela para que servem e porqual motivo foram inventados os números:

Número é o resultado da comparação entre uma grandeza e uma unidade. Sea grandeza é discreta, essa comparação chama-se uma contagem e o resultadoé um número inteiro; se a grandeza é contínua, a comparação chama-se umamedição e o resultado é um número real.

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O que é um número?

Não é uma definição formal, mas nos revela para que servem e porqual motivo foram inventados os números:

Número é o resultado da comparação entre uma grandeza e uma unidade. Sea grandeza é discreta, essa comparação chama-se uma contagem e o resultadoé um número inteiro; se a grandeza é contínua, a comparação chama-se umamedição e o resultado é um número real.

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Números naturais

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Números naturais

númerosnaturais

númerosordinais

númeroscardinais

(substantivo) (adjetivo)

interpretados como interpretados como

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Números naturais

númerosnaturais

númerosordinais

númeroscardinais

(substantivo) (adjetivo)

interpretados como interpretados como

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Números naturais

númerosnaturais

númerosordinais

númeroscardinais

(substantivo) (adjetivo)

interpretados como interpretados como

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Números naturais

númerosnaturais

númerosordinais

númeroscardinais

(substantivo) (adjetivo)

interpretados como interpretados como

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Números naturais como números ordinais

N é um conjunto, cujos elementos são chamados númerosnaturais. Seu uso e suas propriedades são regidos pelas seguintespropriedades:

(a) Todo número natural tem um único sucessor.(b) Números naturais diferentes têm sucessores diferentes.(c) Existe um único número natural, chamado um e representado

pelo símbolo 1, que não é sucessor de nenhum outro.(d) (Axioma da Indução) Seja X um subconjunto de números

naturais. Se 1 ∈ X e se, além disso, o sucessor de todo elementode X ainda pertence a X , então X = N.

Axiomas de Peano

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Números naturais como números ordinais

N é um conjunto, cujos elementos são chamados númerosnaturais. Seu uso e suas propriedades são regidos pelas seguintespropriedades:

(a) Todo número natural tem um único sucessor.(b) Números naturais diferentes têm sucessores diferentes.(c) Existe um único número natural, chamado um e representado

pelo símbolo 1, que não é sucessor de nenhum outro.(d) (Axioma da Indução) Seja X um subconjunto de números

naturais. Se 1 ∈ X e se, além disso, o sucessor de todo elementode X ainda pertence a X , então X = N.

Axiomas de Peano

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Números naturais como números ordinais

N = {1,2,3,4,5,6,7, . . .}.

2 é o sucessor de 13 é o sucessor de 24 é o sucessor de 3...

......

Deve ficar claro que o conjunto N = {1,2,3,4,5,6,7, . . .} dos númerosnaturais é uma sequência de objetos abstratos que, em princípio, sãodesprovidos de significado. Cada um desses objetos (um número natural)possui apenas um lugar determinado nesta sequência. Nenhuma outrapropriedade lhes serve de definição. Todo número tem um sucessor (único)e, com exceção de 1, tem também um único antecessor (número do qual ésucessor).

[Lima, Carvalho, Morgado, Wagner e Morgado, 2003]

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Números naturais como números ordinais

N = {1,2,3,4,5,6,7, . . .}.

2 é o sucessor de 13 é o sucessor de 24 é o sucessor de 3...

......

Deve ficar claro que o conjunto N = {1,2,3,4,5,6,7, . . .} dos númerosnaturais é uma sequência de objetos abstratos que, em princípio, sãodesprovidos de significado. Cada um desses objetos (um número natural)possui apenas um lugar determinado nesta sequência. Nenhuma outrapropriedade lhes serve de definição. Todo número tem um sucessor (único)e, com exceção de 1, tem também um único antecessor (número do qual ésucessor).

[Lima, Carvalho, Morgado, Wagner e Morgado, 2003]

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Números naturais como números ordinais

N = {1,2,3,4,5,6,7, . . .}.

2 é o sucessor de 13 é o sucessor de 24 é o sucessor de 3...

......

Deve ficar claro que o conjunto N = {1,2,3,4,5,6,7, . . .} dos númerosnaturais é uma sequência de objetos abstratos que, em princípio, sãodesprovidos de significado. Cada um desses objetos (um número natural)possui apenas um lugar determinado nesta sequência. Nenhuma outrapropriedade lhes serve de definição. Todo número tem um sucessor (único)e, com exceção de 1, tem também um único antecessor (número do qual ésucessor).

[Lima, Carvalho, Morgado, Wagner e Morgado, 2003]

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Números naturais como números ordinais: símbolos

Sucessor de n é {n}

0 ∅

1 {∅} {0}

2 {{∅}} {1}

3 {{{∅}}} {2}...

......

n {n − 1}

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Números naturais como números ordinais: símbolos

Sucessor de n é {n}

0 ∅

1 {∅} {0}

2 {{∅}} {1}

3 {{{∅}}} {2}...

......

n {n − 1}

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Números naturais como números ordinais: símbolos

Sucessor de n é {n}

0 ∅

1 {∅} {0}

2 {{∅}} {1}

3 {{{∅}}} {2}...

......

n {n − 1}

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Números naturais como números ordinais: símbolos

Sucessor de n é {n}

0 ∅

1 {∅} {0}

2 {{∅}} {1}

3 {{{∅}}} {2}...

......

n {n − 1}

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Números naturais como números ordinais: símbolos

Sucessor de n é {n}

0 ∅

1 {∅} {0}

2 {{∅}} {1}

3 {{{∅}}} {2}...

......

n {n − 1}

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Números naturais como números ordinais: símbolos

Sucessor de n é {n}

0 ∅

1 {∅} {0}

2 {{∅}} {1}

3 {{{∅}}} {2}...

......

n {n − 1}

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Números naturais como números ordinais: símbolos

Sucessor de n é {n}

0 ∅

1 {∅} {0}

2 {{∅}} {1}

3 {{{∅}}} {2}...

......

n {n − 1}

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Números naturais como números ordinais: símbolos

Sucessor de n é {n}

0 ∅

1 {∅} {0}

2 {{∅}} {1}

3 {{{∅}}} {2}...

......

n {n − 1}

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Números naturais como números ordinais: símbolos

Sucessor de n é n ∪ {n}

0 ∅

1 {∅} 0 ∪ {0}

2 {∅, {∅}} 1 ∪ {1}

3 {∅, {∅}, {∅, {∅}}} 2 ∪ {2}...

......

n (n − 1) ∪ {n − 1}

Aula 5 Matemática Básica 28

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Números naturais como números ordinais: símbolos

Sucessor de n é n ∪ {n}

0 ∅

1 {∅} 0 ∪ {0}

2 {∅, {∅}} 1 ∪ {1}

3 {∅, {∅}, {∅, {∅}}} 2 ∪ {2}...

......

n (n − 1) ∪ {n − 1}

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Números naturais como números ordinais: símbolos

Sucessor de n é n ∪ {n}

0 ∅

1 {∅} 0 ∪ {0}

2 {∅, {∅}} 1 ∪ {1}

3 {∅, {∅}, {∅, {∅}}} 2 ∪ {2}...

......

n (n − 1) ∪ {n − 1}

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Números naturais como números ordinais: símbolos

Sucessor de n é n ∪ {n}

0 ∅

1 {∅} 0 ∪ {0}

2 {∅, {∅}} 1 ∪ {1}

3 {∅, {∅}, {∅, {∅}}} 2 ∪ {2}...

......

n (n − 1) ∪ {n − 1}

Aula 5 Matemática Básica 31

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Números naturais como números ordinais: símbolos

Sucessor de n é n ∪ {n}

0 ∅

1 {∅} 0 ∪ {0}

2 {∅, {∅}} 1 ∪ {1}

3 {∅, {∅}, {∅, {∅}}} 2 ∪ {2}...

......

n (n − 1) ∪ {n − 1}

Aula 5 Matemática Básica 32

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Números naturais como números ordinais: símbolos

Sucessor de n é n ∪ {n}

0 ∅

1 {∅} 0 ∪ {0}

2 {∅, {∅}} 1 ∪ {1}

3 {∅, {∅}, {∅, {∅}}} 2 ∪ {2}...

......

n (n − 1) ∪ {n − 1}

Aula 5 Matemática Básica 33

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Números naturais como números ordinais: símbolos

Sucessor de n é n ∪ {n}

0 ∅

1 {∅} 0 ∪ {0}

2 {∅, {∅}} 1 ∪ {1}

3 {∅, {∅}, {∅, {∅}}} 2 ∪ {2}...

......

n (n − 1) ∪ {n − 1}

Aula 5 Matemática Básica 34

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Números naturais como números ordinais: símbolos

Sucessor de n é n ∪ {n}

0 ∅

1 {∅} 0 ∪ {0}

2 {∅, {∅}} 1 ∪ {1}

3 {∅, {∅}, {∅, {∅}}} 2 ∪ {2}...

......

n (n − 1) ∪ {n − 1}

Aula 5 Matemática Básica 35

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Números naturais como números ordinais: símbolos

Escrita Cuneiforme Babilônica

Aula 5 Matemática Básica 36

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Números naturais como números ordinais: símbolos

Escrita Maia

Aula 5 Matemática Básica 37

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Números naturais como números ordinais: símbolos

Escrita Chinesa

Aula 5 Matemática Básica 38

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Números naturais como números ordinais: símbolos

Escrita Romana

1 2 3 4 5 10 50 100 500 1000I II III IV V X L C D M

Aula 5 Matemática Básica 39

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Números naturais como números ordinais: símbolos

Escrita Egípcia

Aula 5 Matemática Básica 40

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Números naturais como números ordinais: símbolos

Escrita Egípcia

Aula 5 Matemática Básica 41

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Números naturais como números ordinais: símbolos

Escrita Braille

Aula 5 Matemática Básica 42

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Números naturais como números cardinais

Apresentaremos os números naturais como números cardinaisdepois de estudarmos funções!

Aula 5 Matemática Básica 43

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O Princípio da Indução Finita

Aula 5 Matemática Básica 44

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O Principio da Indução Finita

(d) (Axioma da Indução) Seja X um subconjunto de númerosnaturais. Se 1 ∈ X e se, além disso, o sucessor de todo elementode X ainda pertence a X , então X = N.

Axioma da Indução de Peano

Considere uma sentença da forma “∀n ∈ N,P(n)” (estamos escrevendo P(n)ao invés de P para enfatizar o fato de que o predicado P depende de n). Seja

X = {n ∈ N | n satisfaz o predicado P}.

Se mostramos que(1) (Passo básico) 1 ∈ X (isto é, que 1 satisfaz o predicado P ou, ainda,

que P(1) é verdadeira),(2) (Passo indutivo) k ∈ X ⇒ k + 1 ∈ X (isto é, que se k satisfaz

o predicado P, então k + 1 também satisfaz o predicado p ou, ainda,que se P(k) é verdadeira, então P(k + 1) é verdadeira),

então, pelo Axioma de Indução de Peano, X = N, isto é, todo númeronatural n ∈ N satisfaz o predicado P e, assim, a sentença “∀n ∈ N,P(n)”é verdadeira!

Aula 5 Matemática Básica 45

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O Principio da Indução Finita

(d) (Axioma da Indução) Seja X um subconjunto de númerosnaturais. Se 1 ∈ X e se, além disso, o sucessor de todo elementode X ainda pertence a X , então X = N.

Axioma da Indução de Peano

Considere uma sentença da forma “∀n ∈ N,P(n)” (estamos escrevendo P(n)ao invés de P para enfatizar o fato de que o predicado P depende de n). Seja

X = {n ∈ N | n satisfaz o predicado P}.

Se mostramos que(1) (Passo básico) 1 ∈ X (isto é, que 1 satisfaz o predicado P ou, ainda,

que P(1) é verdadeira),(2) (Passo indutivo) k ∈ X ⇒ k + 1 ∈ X (isto é, que se k satisfaz

o predicado P, então k + 1 também satisfaz o predicado p ou, ainda,que se P(k) é verdadeira, então P(k + 1) é verdadeira),

então, pelo Axioma de Indução de Peano, X = N, isto é, todo númeronatural n ∈ N satisfaz o predicado P e, assim, a sentença “∀n ∈ N,P(n)”é verdadeira!

Aula 5 Matemática Básica 46

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O Principio da Indução Finita

(d) (Axioma da Indução) Seja X um subconjunto de númerosnaturais. Se 1 ∈ X e se, além disso, o sucessor de todo elementode X ainda pertence a X , então X = N.

Axioma da Indução de Peano

Considere uma sentença da forma “∀n ∈ N,P(n)” (estamos escrevendo P(n)ao invés de P para enfatizar o fato de que o predicado P depende de n). Seja

X = {n ∈ N | n satisfaz o predicado P}.

Se mostramos que(1) (Passo básico) 1 ∈ X (isto é, que 1 satisfaz o predicado P ou, ainda,

que P(1) é verdadeira),(2) (Passo indutivo) k ∈ X ⇒ k + 1 ∈ X (isto é, que se k satisfaz

o predicado P, então k + 1 também satisfaz o predicado p ou, ainda,que se P(k) é verdadeira, então P(k + 1) é verdadeira),

então, pelo Axioma de Indução de Peano, X = N, isto é, todo númeronatural n ∈ N satisfaz o predicado P e, assim, a sentença “∀n ∈ N,P(n)”é verdadeira!

Aula 5 Matemática Básica 47

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O Principio da Indução Finita

(d) (Axioma da Indução) Seja X um subconjunto de númerosnaturais. Se 1 ∈ X e se, além disso, o sucessor de todo elementode X ainda pertence a X , então X = N.

Axioma da Indução de Peano

Considere uma sentença da forma “∀n ∈ N,P(n)” (estamos escrevendo P(n)ao invés de P para enfatizar o fato de que o predicado P depende de n). Seja

X = {n ∈ N | n satisfaz o predicado P}.

Se mostramos que(1) (Passo básico) 1 ∈ X (isto é, que 1 satisfaz o predicado P ou, ainda,

que P(1) é verdadeira),(2) (Passo indutivo) k ∈ X ⇒ k + 1 ∈ X (isto é, que se k satisfaz

o predicado P, então k + 1 também satisfaz o predicado p ou, ainda,que se P(k) é verdadeira, então P(k + 1) é verdadeira),

então, pelo Axioma de Indução de Peano, X = N, isto é, todo númeronatural n ∈ N satisfaz o predicado P e, assim, a sentença “∀n ∈ N,P(n)”é verdadeira!

Aula 5 Matemática Básica 48

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O Principio da Indução Finita

(d) (Axioma da Indução) Seja X um subconjunto de númerosnaturais. Se 1 ∈ X e se, além disso, o sucessor de todo elementode X ainda pertence a X , então X = N.

Axioma da Indução de Peano

Considere uma sentença da forma “∀n ∈ N,P(n)” (estamos escrevendo P(n)ao invés de P para enfatizar o fato de que o predicado P depende de n). Seja

X = {n ∈ N | n satisfaz o predicado P}.

Se mostramos que(1) (Passo básico) 1 ∈ X (isto é, que 1 satisfaz o predicado P ou, ainda,

que P(1) é verdadeira),(2) (Passo indutivo) k ∈ X ⇒ k + 1 ∈ X (isto é, que se k satisfaz

o predicado P, então k + 1 também satisfaz o predicado p ou, ainda,que se P(k) é verdadeira, então P(k + 1) é verdadeira),

então, pelo Axioma de Indução de Peano, X = N, isto é, todo númeronatural n ∈ N satisfaz o predicado P e, assim, a sentença “∀n ∈ N,P(n)”é verdadeira!

Aula 5 Matemática Básica 49

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O Principio da Indução Finita

(d) (Axioma da Indução) Seja X um subconjunto de númerosnaturais. Se 1 ∈ X e se, além disso, o sucessor de todo elementode X ainda pertence a X , então X = N.

Axioma da Indução de Peano

Considere uma sentença da forma “∀n ∈ N,P(n)” (estamos escrevendo P(n)ao invés de P para enfatizar o fato de que o predicado P depende de n). Seja

X = {n ∈ N | n satisfaz o predicado P}.

Se mostramos que(1) (Passo básico) 1 ∈ X (isto é, que 1 satisfaz o predicado P ou, ainda,

que P(1) é verdadeira),(2) (Passo indutivo) k ∈ X ⇒ k + 1 ∈ X (isto é, que se k satisfaz

o predicado P, então k + 1 também satisfaz o predicado p ou, ainda,que se P(k) é verdadeira, então P(k + 1) é verdadeira),

então, pelo Axioma de Indução de Peano, X = N, isto é, todo númeronatural n ∈ N satisfaz o predicado P e, assim, a sentença “∀n ∈ N,P(n)”é verdadeira!

Aula 5 Matemática Básica 50

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O Principio da Indução Finita

(d) (Axioma da Indução) Seja X um subconjunto de númerosnaturais. Se 1 ∈ X e se, além disso, o sucessor de todo elementode X ainda pertence a X , então X = N.

Axioma da Indução de Peano

Considere uma sentença da forma “∀n ∈ N,P(n)” (estamos escrevendo P(n)ao invés de P para enfatizar o fato de que o predicado P depende de n). Seja

X = {n ∈ N | n satisfaz o predicado P}.

Se mostramos que(1) (Passo básico) 1 ∈ X (isto é, que 1 satisfaz o predicado P ou, ainda,

que P(1) é verdadeira),(2) (Passo indutivo) k ∈ X ⇒ k + 1 ∈ X (isto é, que se k satisfaz

o predicado P, então k + 1 também satisfaz o predicado p ou, ainda,que se P(k) é verdadeira, então P(k + 1) é verdadeira),

então, pelo Axioma de Indução de Peano, X = N, isto é, todo númeronatural n ∈ N satisfaz o predicado P e, assim, a sentença “∀n ∈ N,P(n)”é verdadeira!

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O Principio da Indução Finita

(d) (Axioma da Indução) Seja X um subconjunto de númerosnaturais. Se 1 ∈ X e se, além disso, o sucessor de todo elementode X ainda pertence a X , então X = N.

Axioma da Indução de Peano

Considere uma sentença da forma “∀n ∈ N,P(n)” (estamos escrevendo P(n)ao invés de P para enfatizar o fato de que o predicado P depende de n). Seja

X = {n ∈ N | n satisfaz o predicado P}.

Se mostramos que(1) (Passo básico) 1 ∈ X (isto é, que 1 satisfaz o predicado P ou, ainda,

que P(1) é verdadeira),(2) (Passo indutivo) k ∈ X ⇒ k + 1 ∈ X (isto é, que se k satisfaz

o predicado P, então k + 1 também satisfaz o predicado p ou, ainda,que se P(k) é verdadeira, então P(k + 1) é verdadeira),

então, pelo Axioma de Indução de Peano, X = N, isto é, todo númeronatural n ∈ N satisfaz o predicado P e, assim, a sentença “∀n ∈ N,P(n)”é verdadeira!

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O Principio da Indução Finita

(d) (Axioma da Indução) Seja X um subconjunto de númerosnaturais. Se 1 ∈ X e se, além disso, o sucessor de todo elementode X ainda pertence a X , então X = N.

Axioma da Indução de Peano

Considere uma sentença da forma “∀n ∈ N,P(n)” (estamos escrevendo P(n)ao invés de P para enfatizar o fato de que o predicado P depende de n). Seja

X = {n ∈ N | n satisfaz o predicado P}.

Se mostramos que(1) (Passo básico) 1 ∈ X (isto é, que 1 satisfaz o predicado P ou, ainda,

que P(1) é verdadeira),(2) (Passo indutivo) k ∈ X ⇒ k + 1 ∈ X (isto é, que se k satisfaz

o predicado P, então k + 1 também satisfaz o predicado p ou, ainda,que se P(k) é verdadeira, então P(k + 1) é verdadeira),

então, pelo Axioma de Indução de Peano, X = N, isto é, todo númeronatural n ∈ N satisfaz o predicado P e, assim, a sentença “∀n ∈ N,P(n)”é verdadeira!

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O Principio da Indução Finita

(d) (Axioma da Indução) Seja X um subconjunto de númerosnaturais. Se 1 ∈ X e se, além disso, o sucessor de todo elementode X ainda pertence a X , então X = N.

Axioma da Indução de Peano

Considere uma sentença da forma “∀n ∈ N,P(n)” (estamos escrevendo P(n)ao invés de P para enfatizar o fato de que o predicado P depende de n). Seja

X = {n ∈ N | n satisfaz o predicado P}.

Se mostramos que(1) (Passo básico) 1 ∈ X (isto é, que 1 satisfaz o predicado P ou, ainda,

que P(1) é verdadeira),(2) (Passo indutivo) k ∈ X ⇒ k + 1 ∈ X (isto é, que se k satisfaz

o predicado P, então k + 1 também satisfaz o predicado p ou, ainda,que se P(k) é verdadeira, então P(k + 1) é verdadeira),

então, pelo Axioma de Indução de Peano, X = N, isto é, todo númeronatural n ∈ N satisfaz o predicado P e, assim, a sentença “∀n ∈ N,P(n)”é verdadeira!

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O Principio da Indução Finita

(d) (Axioma da Indução) Seja X um subconjunto de númerosnaturais. Se 1 ∈ X e se, além disso, o sucessor de todo elementode X ainda pertence a X , então X = N.

Axioma da Indução de Peano

Considere uma sentença da forma “∀n ∈ N,P(n)” (estamos escrevendo P(n)ao invés de P para enfatizar o fato de que o predicado P depende de n). Seja

X = {n ∈ N | n satisfaz o predicado P}.

Se mostramos que(1) (Passo básico) 1 ∈ X (isto é, que 1 satisfaz o predicado P ou, ainda,

que P(1) é verdadeira),(2) (Passo indutivo) k ∈ X ⇒ k + 1 ∈ X (isto é, que se k satisfaz

o predicado P, então k + 1 também satisfaz o predicado p ou, ainda,que se P(k) é verdadeira, então P(k + 1) é verdadeira),

então, pelo Axioma de Indução de Peano, X = N, isto é, todo númeronatural n ∈ N satisfaz o predicado P e, assim, a sentença “∀n ∈ N,P(n)”é verdadeira!

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O Principio da Indução Finita

(d) (Axioma da Indução) Seja X um subconjunto de númerosnaturais. Se 1 ∈ X e se, além disso, o sucessor de todo elementode X ainda pertence a X , então X = N.

Axioma da Indução de Peano

Considere uma sentença da forma “∀n ∈ N,P(n)” (estamos escrevendo P(n)ao invés de P para enfatizar o fato de que o predicado P depende de n). Seja

X = {n ∈ N | n satisfaz o predicado P}.

Se mostramos que(1) (Passo básico) 1 ∈ X (isto é, que 1 satisfaz o predicado P ou, ainda,

que P(1) é verdadeira),(2) (Passo indutivo) k ∈ X ⇒ k + 1 ∈ X (isto é, que se k satisfaz

o predicado P, então k + 1 também satisfaz o predicado p ou, ainda,que se P(k) é verdadeira, então P(k + 1) é verdadeira),

então, pelo Axioma de Indução de Peano, X = N, isto é, todo númeronatural n ∈ N satisfaz o predicado P e, assim, a sentença “∀n ∈ N,P(n)”é verdadeira!

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O Principio da Indução Finita

(d) (Axioma da Indução) Seja X um subconjunto de númerosnaturais. Se 1 ∈ X e se, além disso, o sucessor de todo elementode X ainda pertence a X , então X = N.

Axioma da Indução de Peano

Considere uma sentença da forma “∀n ∈ N,P(n)” (estamos escrevendo P(n)ao invés de P para enfatizar o fato de que o predicado P depende de n). Seja

X = {n ∈ N | n satisfaz o predicado P}.

Se mostramos que(1) (Passo básico) 1 ∈ X (isto é, que 1 satisfaz o predicado P ou, ainda,

que P(1) é verdadeira),(2) (Passo indutivo) k ∈ X ⇒ k + 1 ∈ X (isto é, que se k satisfaz

o predicado P, então k + 1 também satisfaz o predicado p ou, ainda,que se P(k) é verdadeira, então P(k + 1) é verdadeira),

então, pelo Axioma de Indução de Peano, X = N, isto é, todo númeronatural n ∈ N satisfaz o predicado P e, assim, a sentença “∀n ∈ N,P(n)”é verdadeira!

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O Principio da Indução Finita

(d) (Axioma da Indução) Seja X um subconjunto de númerosnaturais. Se 1 ∈ X e se, além disso, o sucessor de todo elementode X ainda pertence a X , então X = N.

Axioma da Indução de Peano

Considere uma sentença da forma “∀n ∈ N,P(n)” (estamos escrevendo P(n)ao invés de P para enfatizar o fato de que o predicado P depende de n). Seja

X = {n ∈ N | n satisfaz o predicado P}.

Se mostramos que(1) (Passo básico) 1 ∈ X (isto é, que 1 satisfaz o predicado P ou, ainda,

que P(1) é verdadeira),(2) (Passo indutivo) k ∈ X ⇒ k + 1 ∈ X (isto é, que se k satisfaz

o predicado P, então k + 1 também satisfaz o predicado p ou, ainda,que se P(k) é verdadeira, então P(k + 1) é verdadeira),

então, pelo Axioma de Indução de Peano, X = N, isto é, todo númeronatural n ∈ N satisfaz o predicado P e, assim, a sentença “∀n ∈ N,P(n)”é verdadeira!

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O Principio da Indução Finita

(d) (Axioma da Indução) Seja X um subconjunto de númerosnaturais. Se 1 ∈ X e se, além disso, o sucessor de todo elementode X ainda pertence a X , então X = N.

Axioma da Indução de Peano

Considere uma sentença da forma “∀n ∈ N,P(n)” (estamos escrevendo P(n)ao invés de P para enfatizar o fato de que o predicado P depende de n). Seja

X = {n ∈ N | n satisfaz o predicado P}.

Se mostramos que(1) (Passo básico) 1 ∈ X (isto é, que 1 satisfaz o predicado P ou, ainda,

que P(1) é verdadeira),(2) (Passo indutivo) k ∈ X ⇒ k + 1 ∈ X (isto é, que se k satisfaz

o predicado P, então k + 1 também satisfaz o predicado p ou, ainda,que se P(k) é verdadeira, então P(k + 1) é verdadeira),

então, pelo Axioma de Indução de Peano, X = N, isto é, todo númeronatural n ∈ N satisfaz o predicado P e, assim, a sentença “∀n ∈ N,P(n)”é verdadeira!

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O Principio da Indução Finita

Moral:

O Princípio da Indução Finita é uma técnica para tentardemonstrar que sentenças do tipo “∀n ∈ N,P(n)” sãoverdadeiras!

Aula 5 Matemática Básica 60

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Protocolo de uma prova por indução

Uma demonstração por indução segue o seguinte esquema:

(1) Diga que a demonstração é por indução. Assim, o leitor já saberá qual seráa estrutura da demonstração.

(2) Especifique o predicado P(n) que se quer demonstrar que é verdadeiro para todon ∈ N (isto é, que é satisfeito para todo n ∈ N).

(3) Passo básico: mostre que P(1) é verdadeira (isto é, que n = 1 satisfazo predicado P).

(4) Passo indutivo: mostre que se P(k) é verdadeira (isto é, se k satisfazo predicado P), então P(k + 1) também é verdadeira (isto é, k + 1 também satisfazo predicado P).

Aula 5 Matemática Básica 61

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Protocolo de uma prova por indução

Uma demonstração por indução segue o seguinte esquema:

(1) Diga que a demonstração é por indução. Assim, o leitor já saberá qual seráa estrutura da demonstração.

(2) Especifique o predicado P(n) que se quer demonstrar que é verdadeiro para todon ∈ N (isto é, que é satisfeito para todo n ∈ N).

(3) Passo básico: mostre que P(1) é verdadeira (isto é, que n = 1 satisfazo predicado P).

(4) Passo indutivo: mostre que se P(k) é verdadeira (isto é, se k satisfazo predicado P), então P(k + 1) também é verdadeira (isto é, k + 1 também satisfazo predicado P).

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Protocolo de uma prova por indução

Uma demonstração por indução segue o seguinte esquema:

(1) Diga que a demonstração é por indução. Assim, o leitor já saberá qual seráa estrutura da demonstração.

(2) Especifique o predicado P(n) que se quer demonstrar que é verdadeiro para todon ∈ N (isto é, que é satisfeito para todo n ∈ N).

(3) Passo básico: mostre que P(1) é verdadeira (isto é, que n = 1 satisfazo predicado P).

(4) Passo indutivo: mostre que se P(k) é verdadeira (isto é, se k satisfazo predicado P), então P(k + 1) também é verdadeira (isto é, k + 1 também satisfazo predicado P).

Aula 5 Matemática Básica 63

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Protocolo de uma prova por indução

Uma demonstração por indução segue o seguinte esquema:

(1) Diga que a demonstração é por indução. Assim, o leitor já saberá qual seráa estrutura da demonstração.

(2) Especifique o predicado P(n) que se quer demonstrar que é verdadeiro para todon ∈ N (isto é, que é satisfeito para todo n ∈ N).

(3) Passo básico: mostre que P(1) é verdadeira (isto é, que n = 1 satisfazo predicado P).

(4) Passo indutivo: mostre que se P(k) é verdadeira (isto é, se k satisfazo predicado P), então P(k + 1) também é verdadeira (isto é, k + 1 também satisfazo predicado P).

Aula 5 Matemática Básica 64

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Protocolo de uma prova por indução

Uma demonstração por indução segue o seguinte esquema:

(1) Diga que a demonstração é por indução. Assim, o leitor já saberá qual seráa estrutura da demonstração.

(2) Especifique o predicado P(n) que se quer demonstrar que é verdadeiro para todon ∈ N (isto é, que é satisfeito para todo n ∈ N).

(3) Passo básico: mostre que P(1) é verdadeira (isto é, que n = 1 satisfazo predicado P).

(4) Passo indutivo: mostre que se P(k) é verdadeira (isto é, se k satisfazo predicado P), então P(k + 1) também é verdadeira (isto é, k + 1 também satisfazo predicado P).

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Protocolo de uma prova por indução

Uma demonstração por indução segue o seguinte esquema:

(1) Diga que a demonstração é por indução. Assim, o leitor já saberá qual seráa estrutura da demonstração.

(2) Especifique o predicado P(n) que se quer demonstrar que é verdadeiro para todon ∈ N (isto é, que é satisfeito para todo n ∈ N).

(3) Passo básico: mostre que P(1) é verdadeira (isto é, que n = 1 satisfazo predicado P).

(4) Passo indutivo: mostre que se P(k) é verdadeira (isto é, se k satisfazo predicado P), então P(k + 1) também é verdadeira (isto é, k + 1 também satisfazo predicado P).

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Exemplo

Mostre que ∀n ∈ N, 1 + 2 + · · ·+ n =n (n + 1)

2.

Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado

P(n) : 1 + 2 + · · ·+ n = n (n + 1)/2.

(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira, isto é, que 1 satisfaz o predicado P. Em nosso caso,isso significa mostrar que 1 = (1)(1 + 1)/2. Mas (1)(1 + 1)/2 = 2/2 = 1.

(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira (isto é, que k satisfaz o predicado P). Devemos mostrar queP(k + 1) também é verdadeira (isto é, que k + 1 também satisfaz o predicado P). Agora, se P(k) é verdadeira,então

1 + 2 + · · ·+ k =k(k + 1)

2. (hipótese de indução)

Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrar que 1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) =(k + 1)((k + 1) + 1)

2.

Mas,

1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) (∗)=

k (k + 1)2

+ (k + 1) =k (k + 1) + 2 (k + 1)

2=

(k + 1)(k + 2)2

=(k + 1)((k + 1) + 1)

2,

onde, em (∗), usamos a hipótese de indução.

Aula 5 Matemática Básica 67

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Exemplo

Mostre que ∀n ∈ N, 1 + 2 + · · ·+ n =n (n + 1)

2.

Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado

P(n) : 1 + 2 + · · ·+ n = n (n + 1)/2.

(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira, isto é, que 1 satisfaz o predicado P. Em nosso caso,isso significa mostrar que 1 = (1)(1 + 1)/2. Mas (1)(1 + 1)/2 = 2/2 = 1.

(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira (isto é, que k satisfaz o predicado P). Devemos mostrar queP(k + 1) também é verdadeira (isto é, que k + 1 também satisfaz o predicado P). Agora, se P(k) é verdadeira,então

1 + 2 + · · ·+ k =k(k + 1)

2. (hipótese de indução)

Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrar que 1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) =(k + 1)((k + 1) + 1)

2.

Mas,

1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) (∗)=

k (k + 1)2

+ (k + 1) =k (k + 1) + 2 (k + 1)

2=

(k + 1)(k + 2)2

=(k + 1)((k + 1) + 1)

2,

onde, em (∗), usamos a hipótese de indução.

Aula 5 Matemática Básica 68

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Exemplo

Mostre que ∀n ∈ N, 1 + 2 + · · ·+ n =n (n + 1)

2.

Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado

P(n) : 1 + 2 + · · ·+ n = n (n + 1)/2.

(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira, isto é, que 1 satisfaz o predicado P. Em nosso caso,isso significa mostrar que 1 = (1)(1 + 1)/2. Mas (1)(1 + 1)/2 = 2/2 = 1.

(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira (isto é, que k satisfaz o predicado P). Devemos mostrar queP(k + 1) também é verdadeira (isto é, que k + 1 também satisfaz o predicado P). Agora, se P(k) é verdadeira,então

1 + 2 + · · ·+ k =k(k + 1)

2. (hipótese de indução)

Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrar que 1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) =(k + 1)((k + 1) + 1)

2.

Mas,

1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) (∗)=

k (k + 1)2

+ (k + 1) =k (k + 1) + 2 (k + 1)

2=

(k + 1)(k + 2)2

=(k + 1)((k + 1) + 1)

2,

onde, em (∗), usamos a hipótese de indução.

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Exemplo

Mostre que ∀n ∈ N, 1 + 2 + · · ·+ n =n (n + 1)

2.

Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado

P(n) : 1 + 2 + · · ·+ n = n (n + 1)/2.

(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira, isto é, que 1 satisfaz o predicado P. Em nosso caso,isso significa mostrar que 1 = (1)(1 + 1)/2. Mas (1)(1 + 1)/2 = 2/2 = 1.

(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira (isto é, que k satisfaz o predicado P). Devemos mostrar queP(k + 1) também é verdadeira (isto é, que k + 1 também satisfaz o predicado P). Agora, se P(k) é verdadeira,então

1 + 2 + · · ·+ k =k(k + 1)

2. (hipótese de indução)

Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrar que 1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) =(k + 1)((k + 1) + 1)

2.

Mas,

1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) (∗)=

k (k + 1)2

+ (k + 1) =k (k + 1) + 2 (k + 1)

2=

(k + 1)(k + 2)2

=(k + 1)((k + 1) + 1)

2,

onde, em (∗), usamos a hipótese de indução.

Aula 5 Matemática Básica 70

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Exemplo

Mostre que ∀n ∈ N, 1 + 2 + · · ·+ n =n (n + 1)

2.

Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado

P(n) : 1 + 2 + · · ·+ n = n (n + 1)/2.

(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira, isto é, que 1 satisfaz o predicado P. Em nosso caso,isso significa mostrar que 1 = (1)(1 + 1)/2. Mas (1)(1 + 1)/2 = 2/2 = 1.

(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira (isto é, que k satisfaz o predicado P). Devemos mostrar queP(k + 1) também é verdadeira (isto é, que k + 1 também satisfaz o predicado P). Agora, se P(k) é verdadeira,então

1 + 2 + · · ·+ k =k(k + 1)

2. (hipótese de indução)

Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrar que 1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) =(k + 1)((k + 1) + 1)

2.

Mas,

1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) (∗)=

k (k + 1)2

+ (k + 1) =k (k + 1) + 2 (k + 1)

2=

(k + 1)(k + 2)2

=(k + 1)((k + 1) + 1)

2,

onde, em (∗), usamos a hipótese de indução.

Aula 5 Matemática Básica 71

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Exemplo

Mostre que ∀n ∈ N, 1 + 2 + · · ·+ n =n (n + 1)

2.

Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado

P(n) : 1 + 2 + · · ·+ n = n (n + 1)/2.

(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira, isto é, que 1 satisfaz o predicado P. Em nosso caso,isso significa mostrar que 1 = (1)(1 + 1)/2. Mas (1)(1 + 1)/2 = 2/2 = 1.

(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira (isto é, que k satisfaz o predicado P). Devemos mostrar queP(k + 1) também é verdadeira (isto é, que k + 1 também satisfaz o predicado P). Agora, se P(k) é verdadeira,então

1 + 2 + · · ·+ k =k(k + 1)

2. (hipótese de indução)

Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrar que 1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) =(k + 1)((k + 1) + 1)

2.

Mas,

1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) (∗)=

k (k + 1)2

+ (k + 1) =k (k + 1) + 2 (k + 1)

2=

(k + 1)(k + 2)2

=(k + 1)((k + 1) + 1)

2,

onde, em (∗), usamos a hipótese de indução.

Aula 5 Matemática Básica 72

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Exemplo

Mostre que ∀n ∈ N, 1 + 2 + · · ·+ n =n (n + 1)

2.

Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado

P(n) : 1 + 2 + · · ·+ n = n (n + 1)/2.

(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira, isto é, que 1 satisfaz o predicado P. Em nosso caso,isso significa mostrar que 1 = (1)(1 + 1)/2. Mas (1)(1 + 1)/2 = 2/2 = 1.

(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira (isto é, que k satisfaz o predicado P). Devemos mostrar queP(k + 1) também é verdadeira (isto é, que k + 1 também satisfaz o predicado P). Agora, se P(k) é verdadeira,então

1 + 2 + · · ·+ k =k(k + 1)

2. (hipótese de indução)

Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrar que 1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) =(k + 1)((k + 1) + 1)

2.

Mas,

1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) (∗)=

k (k + 1)2

+ (k + 1) =k (k + 1) + 2 (k + 1)

2=

(k + 1)(k + 2)2

=(k + 1)((k + 1) + 1)

2,

onde, em (∗), usamos a hipótese de indução.

Aula 5 Matemática Básica 73

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Exemplo

Mostre que ∀n ∈ N, 1 + 2 + · · ·+ n =n (n + 1)

2.

Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado

P(n) : 1 + 2 + · · ·+ n = n (n + 1)/2.

(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira, isto é, que 1 satisfaz o predicado P. Em nosso caso,isso significa mostrar que 1 = (1)(1 + 1)/2. Mas (1)(1 + 1)/2 = 2/2 = 1.

(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira (isto é, que k satisfaz o predicado P). Devemos mostrar queP(k + 1) também é verdadeira (isto é, que k + 1 também satisfaz o predicado P). Agora, se P(k) é verdadeira,então

1 + 2 + · · ·+ k =k(k + 1)

2. (hipótese de indução)

Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrar que 1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) =(k + 1)((k + 1) + 1)

2.

Mas,

1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) (∗)=

k (k + 1)2

+ (k + 1) =k (k + 1) + 2 (k + 1)

2=

(k + 1)(k + 2)2

=(k + 1)((k + 1) + 1)

2,

onde, em (∗), usamos a hipótese de indução.

Aula 5 Matemática Básica 74

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Exemplo

Mostre que ∀n ∈ N, 1 + 2 + · · ·+ n =n (n + 1)

2.

Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado

P(n) : 1 + 2 + · · ·+ n = n (n + 1)/2.

(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira, isto é, que 1 satisfaz o predicado P. Em nosso caso,isso significa mostrar que 1 = (1)(1 + 1)/2. Mas (1)(1 + 1)/2 = 2/2 = 1.

(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira (isto é, que k satisfaz o predicado P). Devemos mostrar queP(k + 1) também é verdadeira (isto é, que k + 1 também satisfaz o predicado P). Agora, se P(k) é verdadeira,então

1 + 2 + · · ·+ k =k(k + 1)

2. (hipótese de indução)

Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrar que 1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) =(k + 1)((k + 1) + 1)

2.

Mas,

1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) (∗)=

k (k + 1)2

+ (k + 1) =k (k + 1) + 2 (k + 1)

2=

(k + 1)(k + 2)2

=(k + 1)((k + 1) + 1)

2,

onde, em (∗), usamos a hipótese de indução.

Aula 5 Matemática Básica 75

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Exemplo

Mostre que ∀n ∈ N, 1 + 2 + · · ·+ n =n (n + 1)

2.

Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado

P(n) : 1 + 2 + · · ·+ n = n (n + 1)/2.

(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira, isto é, que 1 satisfaz o predicado P. Em nosso caso,isso significa mostrar que 1 = (1)(1 + 1)/2. Mas (1)(1 + 1)/2 = 2/2 = 1.

(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira (isto é, que k satisfaz o predicado P). Devemos mostrar queP(k + 1) também é verdadeira (isto é, que k + 1 também satisfaz o predicado P). Agora, se P(k) é verdadeira,então

1 + 2 + · · ·+ k =k(k + 1)

2. (hipótese de indução)

Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrar que 1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) =(k + 1)((k + 1) + 1)

2.

Mas,

1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) (∗)=

k (k + 1)2

+ (k + 1) =k (k + 1) + 2 (k + 1)

2=

(k + 1)(k + 2)2

=(k + 1)((k + 1) + 1)

2,

onde, em (∗), usamos a hipótese de indução.

Aula 5 Matemática Básica 76

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Exemplo

Mostre que ∀n ∈ N, 1 + 2 + · · ·+ n =n (n + 1)

2.

Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado

P(n) : 1 + 2 + · · ·+ n = n (n + 1)/2.

(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira, isto é, que 1 satisfaz o predicado P. Em nosso caso,isso significa mostrar que 1 = (1)(1 + 1)/2. Mas (1)(1 + 1)/2 = 2/2 = 1.

(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira (isto é, que k satisfaz o predicado P). Devemos mostrar queP(k + 1) também é verdadeira (isto é, que k + 1 também satisfaz o predicado P). Agora, se P(k) é verdadeira,então

1 + 2 + · · ·+ k =k(k + 1)

2. (hipótese de indução)

Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrar que 1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) =(k + 1)((k + 1) + 1)

2.

Mas,

1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) (∗)=

k (k + 1)2

+ (k + 1) =k (k + 1) + 2 (k + 1)

2=

(k + 1)(k + 2)2

=(k + 1)((k + 1) + 1)

2,

onde, em (∗), usamos a hipótese de indução.

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Exemplo

Mostre que ∀n ∈ N, 1 + 2 + · · ·+ n =n (n + 1)

2.

Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado

P(n) : 1 + 2 + · · ·+ n = n (n + 1)/2.

(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira, isto é, que 1 satisfaz o predicado P. Em nosso caso,isso significa mostrar que 1 = (1)(1 + 1)/2. Mas (1)(1 + 1)/2 = 2/2 = 1.

(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira (isto é, que k satisfaz o predicado P). Devemos mostrar queP(k + 1) também é verdadeira (isto é, que k + 1 também satisfaz o predicado P). Agora, se P(k) é verdadeira,então

1 + 2 + · · ·+ k =k(k + 1)

2. (hipótese de indução)

Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrar que 1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) =(k + 1)((k + 1) + 1)

2.

Mas,

1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) (∗)=

k (k + 1)2

+ (k + 1) =k (k + 1) + 2 (k + 1)

2=

(k + 1)(k + 2)2

=(k + 1)((k + 1) + 1)

2,

onde, em (∗), usamos a hipótese de indução.

Aula 5 Matemática Básica 78

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Exemplo

Mostre que ∀n ∈ N, 1 + 2 + · · ·+ n =n (n + 1)

2.

Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado

P(n) : 1 + 2 + · · ·+ n = n (n + 1)/2.

(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira, isto é, que 1 satisfaz o predicado P. Em nosso caso,isso significa mostrar que 1 = (1)(1 + 1)/2. Mas (1)(1 + 1)/2 = 2/2 = 1.

(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira (isto é, que k satisfaz o predicado P). Devemos mostrar queP(k + 1) também é verdadeira (isto é, que k + 1 também satisfaz o predicado P). Agora, se P(k) é verdadeira,então

1 + 2 + · · ·+ k =k(k + 1)

2. (hipótese de indução)

Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrar que 1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) =(k + 1)((k + 1) + 1)

2.

Mas,

1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) (∗)=

k (k + 1)2

+ (k + 1) =k (k + 1) + 2 (k + 1)

2=

(k + 1)(k + 2)2

=(k + 1)((k + 1) + 1)

2,

onde, em (∗), usamos a hipótese de indução.

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Exemplo

Mostre que ∀n ∈ N, 1 + 2 + · · ·+ n =n (n + 1)

2.

Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado

P(n) : 1 + 2 + · · ·+ n = n (n + 1)/2.

(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira, isto é, que 1 satisfaz o predicado P. Em nosso caso,isso significa mostrar que 1 = (1)(1 + 1)/2. Mas (1)(1 + 1)/2 = 2/2 = 1.

(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira (isto é, que k satisfaz o predicado P). Devemos mostrar queP(k + 1) também é verdadeira (isto é, que k + 1 também satisfaz o predicado P). Agora, se P(k) é verdadeira,então

1 + 2 + · · ·+ k =k(k + 1)

2. (hipótese de indução)

Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrar que 1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) =(k + 1)((k + 1) + 1)

2.

Mas,

1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) (∗)=

k (k + 1)2

+ (k + 1) =k (k + 1) + 2 (k + 1)

2=

(k + 1)(k + 2)2

=(k + 1)((k + 1) + 1)

2,

onde, em (∗), usamos a hipótese de indução.

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Exemplo

Mostre que ∀n ∈ N, 1 + 2 + · · ·+ n =n (n + 1)

2.

Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado

P(n) : 1 + 2 + · · ·+ n = n (n + 1)/2.

(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira, isto é, que 1 satisfaz o predicado P. Em nosso caso,isso significa mostrar que 1 = (1)(1 + 1)/2. Mas (1)(1 + 1)/2 = 2/2 = 1.

(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira (isto é, que k satisfaz o predicado P). Devemos mostrar queP(k + 1) também é verdadeira (isto é, que k + 1 também satisfaz o predicado P). Agora, se P(k) é verdadeira,então

1 + 2 + · · ·+ k =k(k + 1)

2. (hipótese de indução)

Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrar que 1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) =(k + 1)((k + 1) + 1)

2.

Mas,

1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) (∗)=

k (k + 1)2

+ (k + 1) =k (k + 1) + 2 (k + 1)

2=

(k + 1)(k + 2)2

=(k + 1)((k + 1) + 1)

2,

onde, em (∗), usamos a hipótese de indução.

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Exemplo

Mostre que ∀n ∈ N, 1 + 2 + · · ·+ n =n (n + 1)

2.

Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado

P(n) : 1 + 2 + · · ·+ n = n (n + 1)/2.

(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira, isto é, que 1 satisfaz o predicado P. Em nosso caso,isso significa mostrar que 1 = (1)(1 + 1)/2. Mas (1)(1 + 1)/2 = 2/2 = 1.

(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira (isto é, que k satisfaz o predicado P). Devemos mostrar queP(k + 1) também é verdadeira (isto é, que k + 1 também satisfaz o predicado P). Agora, se P(k) é verdadeira,então

1 + 2 + · · ·+ k =k(k + 1)

2. (hipótese de indução)

Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrar que 1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) =(k + 1)((k + 1) + 1)

2.

Mas,

1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) (∗)=

k (k + 1)2

+ (k + 1) =k (k + 1) + 2 (k + 1)

2=

(k + 1)(k + 2)2

=(k + 1)((k + 1) + 1)

2,

onde, em (∗), usamos a hipótese de indução.

Aula 5 Matemática Básica 82

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Exemplo

Mostre que ∀n ∈ N, 1 + 2 + · · ·+ n =n (n + 1)

2.

Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado

P(n) : 1 + 2 + · · ·+ n = n (n + 1)/2.

(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira, isto é, que 1 satisfaz o predicado P. Em nosso caso,isso significa mostrar que 1 = (1)(1 + 1)/2. Mas (1)(1 + 1)/2 = 2/2 = 1.

(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira (isto é, que k satisfaz o predicado P). Devemos mostrar queP(k + 1) também é verdadeira (isto é, que k + 1 também satisfaz o predicado P). Agora, se P(k) é verdadeira,então

1 + 2 + · · ·+ k =k(k + 1)

2. (hipótese de indução)

Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrar que 1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) =(k + 1)((k + 1) + 1)

2.

Mas,

1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) (∗)=

k (k + 1)2

+ (k + 1) =k (k + 1) + 2 (k + 1)

2=

(k + 1)(k + 2)2

=(k + 1)((k + 1) + 1)

2,

onde, em (∗), usamos a hipótese de indução.

Aula 5 Matemática Básica 83

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Exemplo

Mostre que ∀n ∈ N, 1 + 2 + · · ·+ n =n (n + 1)

2.

Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado

P(n) : 1 + 2 + · · ·+ n = n (n + 1)/2.

(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira, isto é, que 1 satisfaz o predicado P. Em nosso caso,isso significa mostrar que 1 = (1)(1 + 1)/2. Mas (1)(1 + 1)/2 = 2/2 = 1.

(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira (isto é, que k satisfaz o predicado P). Devemos mostrar queP(k + 1) também é verdadeira (isto é, que k + 1 também satisfaz o predicado P). Agora, se P(k) é verdadeira,então

1 + 2 + · · ·+ k =k(k + 1)

2. (hipótese de indução)

Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrar que 1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) =(k + 1)((k + 1) + 1)

2.

Mas,

1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) (∗)=

k (k + 1)2

+ (k + 1) =k (k + 1) + 2 (k + 1)

2=

(k + 1)(k + 2)2

=(k + 1)((k + 1) + 1)

2,

onde, em (∗), usamos a hipótese de indução.

Aula 5 Matemática Básica 84

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Exemplo

Mostre que ∀n ∈ N, 1 + 2 + · · ·+ n =n (n + 1)

2.

Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado

P(n) : 1 + 2 + · · ·+ n = n (n + 1)/2.

(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira, isto é, que 1 satisfaz o predicado P. Em nosso caso,isso significa mostrar que 1 = (1)(1 + 1)/2. Mas (1)(1 + 1)/2 = 2/2 = 1.

(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira (isto é, que k satisfaz o predicado P). Devemos mostrar queP(k + 1) também é verdadeira (isto é, que k + 1 também satisfaz o predicado P). Agora, se P(k) é verdadeira,então

1 + 2 + · · ·+ k =k(k + 1)

2. (hipótese de indução)

Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrar que 1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) =(k + 1)((k + 1) + 1)

2.

Mas,

1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) (∗)=

k (k + 1)2

+ (k + 1) =k (k + 1) + 2 (k + 1)

2=

(k + 1)(k + 2)2

=(k + 1)((k + 1) + 1)

2,

onde, em (∗), usamos a hipótese de indução.

Aula 5 Matemática Básica 85

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Exemplo

Mostre que ∀n ∈ N, 1 + 2 + · · ·+ n =n (n + 1)

2.

Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado

P(n) : 1 + 2 + · · ·+ n = n (n + 1)/2.

(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira, isto é, que 1 satisfaz o predicado P. Em nosso caso,isso significa mostrar que 1 = (1)(1 + 1)/2. Mas (1)(1 + 1)/2 = 2/2 = 1.

(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira (isto é, que k satisfaz o predicado P). Devemos mostrar queP(k + 1) também é verdadeira (isto é, que k + 1 também satisfaz o predicado P). Agora, se P(k) é verdadeira,então

1 + 2 + · · ·+ k =k(k + 1)

2. (hipótese de indução)

Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrar que 1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) =(k + 1)((k + 1) + 1)

2.

Mas,

1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) (∗)=

k (k + 1)2

+ (k + 1) =k (k + 1) + 2 (k + 1)

2=

(k + 1)(k + 2)2

=(k + 1)((k + 1) + 1)

2,

onde, em (∗), usamos a hipótese de indução.

Aula 5 Matemática Básica 86

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Exemplo

Mostre que ∀n ∈ N, 1 + 2 + · · ·+ n =n (n + 1)

2.

Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado

P(n) : 1 + 2 + · · ·+ n = n (n + 1)/2.

(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira, isto é, que 1 satisfaz o predicado P. Em nosso caso,isso significa mostrar que 1 = (1)(1 + 1)/2. Mas (1)(1 + 1)/2 = 2/2 = 1.

(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira (isto é, que k satisfaz o predicado P). Devemos mostrar queP(k + 1) também é verdadeira (isto é, que k + 1 também satisfaz o predicado P). Agora, se P(k) é verdadeira,então

1 + 2 + · · ·+ k =k(k + 1)

2. (hipótese de indução)

Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrar que 1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) =(k + 1)((k + 1) + 1)

2.

Mas,

1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) (∗)=

k (k + 1)2

+ (k + 1) =k (k + 1) + 2 (k + 1)

2=

(k + 1)(k + 2)2

=(k + 1)((k + 1) + 1)

2,

onde, em (∗), usamos a hipótese de indução.

Aula 5 Matemática Básica 87

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Exemplo

Mostre que ∀n ∈ N, 1 + 2 + · · ·+ n =n (n + 1)

2.

Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado

P(n) : 1 + 2 + · · ·+ n = n (n + 1)/2.

(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira, isto é, que 1 satisfaz o predicado P. Em nosso caso,isso significa mostrar que 1 = (1)(1 + 1)/2. Mas (1)(1 + 1)/2 = 2/2 = 1.

(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira (isto é, que k satisfaz o predicado P). Devemos mostrar queP(k + 1) também é verdadeira (isto é, que k + 1 também satisfaz o predicado P). Agora, se P(k) é verdadeira,então

1 + 2 + · · ·+ k =k(k + 1)

2. (hipótese de indução)

Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrar que 1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) =(k + 1)((k + 1) + 1)

2.

Mas,

1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) (∗)=

k (k + 1)2

+ (k + 1) =k (k + 1) + 2 (k + 1)

2=

(k + 1)(k + 2)2

=(k + 1)((k + 1) + 1)

2,

onde, em (∗), usamos a hipótese de indução.

Aula 5 Matemática Básica 88

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Exemplo

Mostre que ∀n ∈ N, 1 + 2 + · · ·+ n =n (n + 1)

2.

Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado

P(n) : 1 + 2 + · · ·+ n = n (n + 1)/2.

(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira, isto é, que 1 satisfaz o predicado P. Em nosso caso,isso significa mostrar que 1 = (1)(1 + 1)/2. Mas (1)(1 + 1)/2 = 2/2 = 1.

(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira (isto é, que k satisfaz o predicado P). Devemos mostrar queP(k + 1) também é verdadeira (isto é, que k + 1 também satisfaz o predicado P). Agora, se P(k) é verdadeira,então

1 + 2 + · · ·+ k =k(k + 1)

2. (hipótese de indução)

Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrar que 1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) =(k + 1)((k + 1) + 1)

2.

Mas,

1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) (∗)=

k (k + 1)2

+ (k + 1) =k (k + 1) + 2 (k + 1)

2=

(k + 1)(k + 2)2

=(k + 1)((k + 1) + 1)

2,

onde, em (∗), usamos a hipótese de indução.

Aula 5 Matemática Básica 89

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Exemplo

Mostre que ∀n ∈ N, 1 + 2 + · · ·+ n =n (n + 1)

2.

Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado

P(n) : 1 + 2 + · · ·+ n = n (n + 1)/2.

(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira, isto é, que 1 satisfaz o predicado P. Em nosso caso,isso significa mostrar que 1 = (1)(1 + 1)/2. Mas (1)(1 + 1)/2 = 2/2 = 1.

(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira (isto é, que k satisfaz o predicado P). Devemos mostrar queP(k + 1) também é verdadeira (isto é, que k + 1 também satisfaz o predicado P). Agora, se P(k) é verdadeira,então

1 + 2 + · · ·+ k =k(k + 1)

2. (hipótese de indução)

Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrar que 1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) =(k + 1)((k + 1) + 1)

2.

Mas,

1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) (∗)=

k (k + 1)2

+ (k + 1) =k (k + 1) + 2 (k + 1)

2=

(k + 1)(k + 2)2

=(k + 1)((k + 1) + 1)

2,

onde, em (∗), usamos a hipótese de indução.

Aula 5 Matemática Básica 90

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Exemplo

Mostre que ∀n ∈ N, 3 é divisor de n3 − n.

Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado

P(n) : 3 é divisor de n3 − n.

(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 3 édivisor de (1)3 − 1. Mas (1)3 − 1 = 0 e 3 é divisor de 0.

(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então 3 é divisor de k3−k . Para mostrar que P(k+1) é verdadeira, devemosmostrar que 3 é divisor de (k + 1)3 − (k + 1). Agora:

(k + 1)3 − (k + 1) = k3 + 3 k2 + 3 k + 1− (k + 1) = k3 − k + 3 k2 + 3 k .

Pela hipótese de indução, 3 é divisor de k3 − k . Como 3 também é divisor de 3 k2 + 3 k , segue-se que 3é divisor de k3 − k + 3 k2 + 3 k = (k + 1)3 − (k + 1).

Aula 5 Matemática Básica 91

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Exemplo

Mostre que ∀n ∈ N, 3 é divisor de n3 − n.

Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado

P(n) : 3 é divisor de n3 − n.

(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 3 édivisor de (1)3 − 1. Mas (1)3 − 1 = 0 e 3 é divisor de 0.

(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então 3 é divisor de k3−k . Para mostrar que P(k+1) é verdadeira, devemosmostrar que 3 é divisor de (k + 1)3 − (k + 1). Agora:

(k + 1)3 − (k + 1) = k3 + 3 k2 + 3 k + 1− (k + 1) = k3 − k + 3 k2 + 3 k .

Pela hipótese de indução, 3 é divisor de k3 − k . Como 3 também é divisor de 3 k2 + 3 k , segue-se que 3é divisor de k3 − k + 3 k2 + 3 k = (k + 1)3 − (k + 1).

Aula 5 Matemática Básica 92

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Exemplo

Mostre que ∀n ∈ N, 3 é divisor de n3 − n.

Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado

P(n) : 3 é divisor de n3 − n.

(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 3 édivisor de (1)3 − 1. Mas (1)3 − 1 = 0 e 3 é divisor de 0.

(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então 3 é divisor de k3−k . Para mostrar que P(k+1) é verdadeira, devemosmostrar que 3 é divisor de (k + 1)3 − (k + 1). Agora:

(k + 1)3 − (k + 1) = k3 + 3 k2 + 3 k + 1− (k + 1) = k3 − k + 3 k2 + 3 k .

Pela hipótese de indução, 3 é divisor de k3 − k . Como 3 também é divisor de 3 k2 + 3 k , segue-se que 3é divisor de k3 − k + 3 k2 + 3 k = (k + 1)3 − (k + 1).

Aula 5 Matemática Básica 93

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Exemplo

Mostre que ∀n ∈ N, 3 é divisor de n3 − n.

Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado

P(n) : 3 é divisor de n3 − n.

(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 3 édivisor de (1)3 − 1. Mas (1)3 − 1 = 0 e 3 é divisor de 0.

(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então 3 é divisor de k3−k . Para mostrar que P(k+1) é verdadeira, devemosmostrar que 3 é divisor de (k + 1)3 − (k + 1). Agora:

(k + 1)3 − (k + 1) = k3 + 3 k2 + 3 k + 1− (k + 1) = k3 − k + 3 k2 + 3 k .

Pela hipótese de indução, 3 é divisor de k3 − k . Como 3 também é divisor de 3 k2 + 3 k , segue-se que 3é divisor de k3 − k + 3 k2 + 3 k = (k + 1)3 − (k + 1).

Aula 5 Matemática Básica 94

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Exemplo

Mostre que ∀n ∈ N, 3 é divisor de n3 − n.

Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado

P(n) : 3 é divisor de n3 − n.

(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 3 édivisor de (1)3 − 1. Mas (1)3 − 1 = 0 e 3 é divisor de 0.

(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então 3 é divisor de k3−k . Para mostrar que P(k+1) é verdadeira, devemosmostrar que 3 é divisor de (k + 1)3 − (k + 1). Agora:

(k + 1)3 − (k + 1) = k3 + 3 k2 + 3 k + 1− (k + 1) = k3 − k + 3 k2 + 3 k .

Pela hipótese de indução, 3 é divisor de k3 − k . Como 3 também é divisor de 3 k2 + 3 k , segue-se que 3é divisor de k3 − k + 3 k2 + 3 k = (k + 1)3 − (k + 1).

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Exemplo

Mostre que ∀n ∈ N, 3 é divisor de n3 − n.

Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado

P(n) : 3 é divisor de n3 − n.

(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 3 édivisor de (1)3 − 1. Mas (1)3 − 1 = 0 e 3 é divisor de 0.

(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então 3 é divisor de k3−k . Para mostrar que P(k+1) é verdadeira, devemosmostrar que 3 é divisor de (k + 1)3 − (k + 1). Agora:

(k + 1)3 − (k + 1) = k3 + 3 k2 + 3 k + 1− (k + 1) = k3 − k + 3 k2 + 3 k .

Pela hipótese de indução, 3 é divisor de k3 − k . Como 3 também é divisor de 3 k2 + 3 k , segue-se que 3é divisor de k3 − k + 3 k2 + 3 k = (k + 1)3 − (k + 1).

Aula 5 Matemática Básica 96

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Exemplo

Mostre que ∀n ∈ N, 3 é divisor de n3 − n.

Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado

P(n) : 3 é divisor de n3 − n.

(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 3 édivisor de (1)3 − 1. Mas (1)3 − 1 = 0 e 3 é divisor de 0.

(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então 3 é divisor de k3−k . Para mostrar que P(k+1) é verdadeira, devemosmostrar que 3 é divisor de (k + 1)3 − (k + 1). Agora:

(k + 1)3 − (k + 1) = k3 + 3 k2 + 3 k + 1− (k + 1) = k3 − k + 3 k2 + 3 k .

Pela hipótese de indução, 3 é divisor de k3 − k . Como 3 também é divisor de 3 k2 + 3 k , segue-se que 3é divisor de k3 − k + 3 k2 + 3 k = (k + 1)3 − (k + 1).

Aula 5 Matemática Básica 97

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Exemplo

Mostre que ∀n ∈ N, 3 é divisor de n3 − n.

Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado

P(n) : 3 é divisor de n3 − n.

(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 3 édivisor de (1)3 − 1. Mas (1)3 − 1 = 0 e 3 é divisor de 0.

(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então 3 é divisor de k3−k . Para mostrar que P(k+1) é verdadeira, devemosmostrar que 3 é divisor de (k + 1)3 − (k + 1). Agora:

(k + 1)3 − (k + 1) = k3 + 3 k2 + 3 k + 1− (k + 1) = k3 − k + 3 k2 + 3 k .

Pela hipótese de indução, 3 é divisor de k3 − k . Como 3 também é divisor de 3 k2 + 3 k , segue-se que 3é divisor de k3 − k + 3 k2 + 3 k = (k + 1)3 − (k + 1).

Aula 5 Matemática Básica 98

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Exemplo

Mostre que ∀n ∈ N, 3 é divisor de n3 − n.

Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado

P(n) : 3 é divisor de n3 − n.

(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 3 édivisor de (1)3 − 1. Mas (1)3 − 1 = 0 e 3 é divisor de 0.

(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então 3 é divisor de k3−k . Para mostrar que P(k+1) é verdadeira, devemosmostrar que 3 é divisor de (k + 1)3 − (k + 1). Agora:

(k + 1)3 − (k + 1) = k3 + 3 k2 + 3 k + 1− (k + 1) = k3 − k + 3 k2 + 3 k .

Pela hipótese de indução, 3 é divisor de k3 − k . Como 3 também é divisor de 3 k2 + 3 k , segue-se que 3é divisor de k3 − k + 3 k2 + 3 k = (k + 1)3 − (k + 1).

Aula 5 Matemática Básica 99

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Exemplo

Mostre que ∀n ∈ N, 3 é divisor de n3 − n.

Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado

P(n) : 3 é divisor de n3 − n.

(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 3 édivisor de (1)3 − 1. Mas (1)3 − 1 = 0 e 3 é divisor de 0.

(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então 3 é divisor de k3−k . Para mostrar que P(k+1) é verdadeira, devemosmostrar que 3 é divisor de (k + 1)3 − (k + 1). Agora:

(k + 1)3 − (k + 1) = k3 + 3 k2 + 3 k + 1− (k + 1) = k3 − k + 3 k2 + 3 k .

Pela hipótese de indução, 3 é divisor de k3 − k . Como 3 também é divisor de 3 k2 + 3 k , segue-se que 3é divisor de k3 − k + 3 k2 + 3 k = (k + 1)3 − (k + 1).

Aula 5 Matemática Básica 100

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Exemplo

Mostre que ∀n ∈ N, 3 é divisor de n3 − n.

Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado

P(n) : 3 é divisor de n3 − n.

(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 3 édivisor de (1)3 − 1. Mas (1)3 − 1 = 0 e 3 é divisor de 0.

(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então 3 é divisor de k3−k . Para mostrar que P(k+1) é verdadeira, devemosmostrar que 3 é divisor de (k + 1)3 − (k + 1). Agora:

(k + 1)3 − (k + 1) = k3 + 3 k2 + 3 k + 1− (k + 1) = k3 − k + 3 k2 + 3 k .

Pela hipótese de indução, 3 é divisor de k3 − k . Como 3 também é divisor de 3 k2 + 3 k , segue-se que 3é divisor de k3 − k + 3 k2 + 3 k = (k + 1)3 − (k + 1).

Aula 5 Matemática Básica 101

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Exemplo

Mostre que ∀n ∈ N, 3 é divisor de n3 − n.

Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado

P(n) : 3 é divisor de n3 − n.

(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 3 édivisor de (1)3 − 1. Mas (1)3 − 1 = 0 e 3 é divisor de 0.

(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então 3 é divisor de k3−k . Para mostrar que P(k+1) é verdadeira, devemosmostrar que 3 é divisor de (k + 1)3 − (k + 1). Agora:

(k + 1)3 − (k + 1) = k3 + 3 k2 + 3 k + 1− (k + 1) = k3 − k + 3 k2 + 3 k .

Pela hipótese de indução, 3 é divisor de k3 − k . Como 3 também é divisor de 3 k2 + 3 k , segue-se que 3é divisor de k3 − k + 3 k2 + 3 k = (k + 1)3 − (k + 1).

Aula 5 Matemática Básica 102

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Exemplo

Mostre que ∀n ∈ N, 3 é divisor de n3 − n.

Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado

P(n) : 3 é divisor de n3 − n.

(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 3 édivisor de (1)3 − 1. Mas (1)3 − 1 = 0 e 3 é divisor de 0.

(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então 3 é divisor de k3−k . Para mostrar que P(k+1) é verdadeira, devemosmostrar que 3 é divisor de (k + 1)3 − (k + 1). Agora:

(k + 1)3 − (k + 1) = k3 + 3 k2 + 3 k + 1− (k + 1) = k3 − k + 3 k2 + 3 k .

Pela hipótese de indução, 3 é divisor de k3 − k . Como 3 também é divisor de 3 k2 + 3 k , segue-se que 3é divisor de k3 − k + 3 k2 + 3 k = (k + 1)3 − (k + 1).

Aula 5 Matemática Básica 103

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Exemplo

Mostre que ∀n ∈ N, 3 é divisor de n3 − n.

Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado

P(n) : 3 é divisor de n3 − n.

(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 3 édivisor de (1)3 − 1. Mas (1)3 − 1 = 0 e 3 é divisor de 0.

(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então 3 é divisor de k3−k . Para mostrar que P(k+1) é verdadeira, devemosmostrar que 3 é divisor de (k + 1)3 − (k + 1). Agora:

(k + 1)3 − (k + 1) = k3 + 3 k2 + 3 k + 1− (k + 1) = k3 − k + 3 k2 + 3 k .

Pela hipótese de indução, 3 é divisor de k3 − k . Como 3 também é divisor de 3 k2 + 3 k , segue-se que 3é divisor de k3 − k + 3 k2 + 3 k = (k + 1)3 − (k + 1).

Aula 5 Matemática Básica 104

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Exemplo

Mostre que ∀n ∈ N, 3 é divisor de n3 − n.

Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado

P(n) : 3 é divisor de n3 − n.

(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 3 édivisor de (1)3 − 1. Mas (1)3 − 1 = 0 e 3 é divisor de 0.

(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então 3 é divisor de k3−k . Para mostrar que P(k+1) é verdadeira, devemosmostrar que 3 é divisor de (k + 1)3 − (k + 1). Agora:

(k + 1)3 − (k + 1) = k3 + 3 k2 + 3 k + 1− (k + 1) = k3 − k + 3 k2 + 3 k .

Pela hipótese de indução, 3 é divisor de k3 − k . Como 3 também é divisor de 3 k2 + 3 k , segue-se que 3é divisor de k3 − k + 3 k2 + 3 k = (k + 1)3 − (k + 1).

Aula 5 Matemática Básica 105

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Exemplo

Mostre que ∀n ∈ N, 3 é divisor de n3 − n.

Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado

P(n) : 3 é divisor de n3 − n.

(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 3 édivisor de (1)3 − 1. Mas (1)3 − 1 = 0 e 3 é divisor de 0.

(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então 3 é divisor de k3−k . Para mostrar que P(k+1) é verdadeira, devemosmostrar que 3 é divisor de (k + 1)3 − (k + 1). Agora:

(k + 1)3 − (k + 1) = k3 + 3 k2 + 3 k + 1− (k + 1) = k3 − k + 3 k2 + 3 k .

Pela hipótese de indução, 3 é divisor de k3 − k . Como 3 também é divisor de 3 k2 + 3 k , segue-se que 3é divisor de k3 − k + 3 k2 + 3 k = (k + 1)3 − (k + 1).

Aula 5 Matemática Básica 106

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Exemplo

Mostre que ∀n ∈ N, 3 é divisor de n3 − n.

Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado

P(n) : 3 é divisor de n3 − n.

(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 3 édivisor de (1)3 − 1. Mas (1)3 − 1 = 0 e 3 é divisor de 0.

(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então 3 é divisor de k3−k . Para mostrar que P(k+1) é verdadeira, devemosmostrar que 3 é divisor de (k + 1)3 − (k + 1). Agora:

(k + 1)3 − (k + 1) = k3 + 3 k2 + 3 k + 1− (k + 1) = k3 − k + 3 k2 + 3 k .

Pela hipótese de indução, 3 é divisor de k3 − k . Como 3 também é divisor de 3 k2 + 3 k , segue-se que 3é divisor de k3 − k + 3 k2 + 3 k = (k + 1)3 − (k + 1).

Aula 5 Matemática Básica 107

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Exemplo

Mostre que ∀n ∈ N, 3 é divisor de n3 − n.

Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado

P(n) : 3 é divisor de n3 − n.

(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 3 édivisor de (1)3 − 1. Mas (1)3 − 1 = 0 e 3 é divisor de 0.

(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então 3 é divisor de k3−k . Para mostrar que P(k+1) é verdadeira, devemosmostrar que 3 é divisor de (k + 1)3 − (k + 1). Agora:

(k + 1)3 − (k + 1) = k3 + 3 k2 + 3 k + 1− (k + 1) = k3 − k + 3 k2 + 3 k .

Pela hipótese de indução, 3 é divisor de k3 − k . Como 3 também é divisor de 3 k2 + 3 k , segue-se que 3é divisor de k3 − k + 3 k2 + 3 k = (k + 1)3 − (k + 1).

Aula 5 Matemática Básica 108

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Exemplo

Mostre que ∀n ∈ N, 3 é divisor de n3 − n.

Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado

P(n) : 3 é divisor de n3 − n.

(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 3 édivisor de (1)3 − 1. Mas (1)3 − 1 = 0 e 3 é divisor de 0.

(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então 3 é divisor de k3−k . Para mostrar que P(k+1) é verdadeira, devemosmostrar que 3 é divisor de (k + 1)3 − (k + 1). Agora:

(k + 1)3 − (k + 1) = k3 + 3 k2 + 3 k + 1− (k + 1) = k3 − k + 3 k2 + 3 k .

Pela hipótese de indução, 3 é divisor de k3 − k . Como 3 também é divisor de 3 k2 + 3 k , segue-se que 3é divisor de k3 − k + 3 k2 + 3 k = (k + 1)3 − (k + 1).

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Exemplo

Mostre que ∀n ∈ N, 3 é divisor de n3 − n.

Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado

P(n) : 3 é divisor de n3 − n.

(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 3 édivisor de (1)3 − 1. Mas (1)3 − 1 = 0 e 3 é divisor de 0.

(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então 3 é divisor de k3−k . Para mostrar que P(k+1) é verdadeira, devemosmostrar que 3 é divisor de (k + 1)3 − (k + 1). Agora:

(k + 1)3 − (k + 1) = k3 + 3 k2 + 3 k + 1− (k + 1) = k3 − k + 3 k2 + 3 k .

Pela hipótese de indução, 3 é divisor de k3 − k . Como 3 também é divisor de 3 k2 + 3 k , segue-se que 3é divisor de k3 − k + 3 k2 + 3 k = (k + 1)3 − (k + 1).

Aula 5 Matemática Básica 110

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Exemplo

Mostre que ∀n ∈ N, 3 é divisor de n3 − n.

Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado

P(n) : 3 é divisor de n3 − n.

(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 3 édivisor de (1)3 − 1. Mas (1)3 − 1 = 0 e 3 é divisor de 0.

(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então 3 é divisor de k3−k . Para mostrar que P(k+1) é verdadeira, devemosmostrar que 3 é divisor de (k + 1)3 − (k + 1). Agora:

(k + 1)3 − (k + 1) = k3 + 3 k2 + 3 k + 1− (k + 1) = k3 − k + 3 k2 + 3 k .

Pela hipótese de indução, 3 é divisor de k3 − k . Como 3 também é divisor de 3 k2 + 3 k , segue-se que 3é divisor de k3 − k + 3 k2 + 3 k = (k + 1)3 − (k + 1).

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Exemplo

Mostre que ∀n ∈ N, 3 é divisor de n3 − n.

Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado

P(n) : 3 é divisor de n3 − n.

(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 3 édivisor de (1)3 − 1. Mas (1)3 − 1 = 0 e 3 é divisor de 0.

(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então 3 é divisor de k3−k . Para mostrar que P(k+1) é verdadeira, devemosmostrar que 3 é divisor de (k + 1)3 − (k + 1). Agora:

(k + 1)3 − (k + 1) = k3 + 3 k2 + 3 k + 1− (k + 1) = k3 − k + 3 k2 + 3 k .

Pela hipótese de indução, 3 é divisor de k3 − k . Como 3 também é divisor de 3 k2 + 3 k , segue-se que 3é divisor de k3 − k + 3 k2 + 3 k = (k + 1)3 − (k + 1).

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Exemplo

Mostre que ∀n ∈ N, 3 é divisor de n3 − n.

Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado

P(n) : 3 é divisor de n3 − n.

(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 3 édivisor de (1)3 − 1. Mas (1)3 − 1 = 0 e 3 é divisor de 0.

(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então 3 é divisor de k3−k . Para mostrar que P(k+1) é verdadeira, devemosmostrar que 3 é divisor de (k + 1)3 − (k + 1). Agora:

(k + 1)3 − (k + 1) = k3 + 3 k2 + 3 k + 1− (k + 1) = k3 − k + 3 k2 + 3 k .

Pela hipótese de indução, 3 é divisor de k3 − k . Como 3 também é divisor de 3 k2 + 3 k , segue-se que 3é divisor de k3 − k + 3 k2 + 3 k = (k + 1)3 − (k + 1).

Aula 5 Matemática Básica 113

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Onde está o erro?

Todos os cavalos têm uma mesma cor.

“Demonstração”. A prova será feita por indução. Considere o predicado

P(n) : em todo conjunto com n cavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor.

(Passo básico ) Se n = 1, então todo cavalo em um conjunto com um único cavalo tem uma mesma cor.Logo, P(1) é verdadeira.

(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira, isto é, suponha que em todo conjunto com kcavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor (hipótese de indução). Devemos mostrar que P(k + 1)é verdadeira, isto é, devemos mostrar que em todo conjunto com k + 1 cavalos, todos os cavalos têmuma mesma cor. Considere então um conjunto com nk + 1 cavalos: {c1, c2, . . . , ck , ck+1}. Pela hipótesede indução, os n primeiros cavalos têm uma mesma cor: {c1, c2, . . . , ck}. Também pela hipótese deindução, os n últimos cavalos também possuem uma mesma cor: {c2, . . . , ck , ck+1}. Logo todos oscavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cor.

O erro está no passo indutivo: para concluir que todos os cavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cora partir do fato de que todos os cavalos em A = {c1, c2, . . . , ck} e B = {c2, . . . , ck , ck+1} possuírem uma mesmacor, usou-se que existe pelo menos um cavalo em comum aos dois conjuntos A e B. Mas, se k = 2, então A = {c1},B = {c2} e A ∩ B = ∅.

Aula 5 Matemática Básica 114

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Onde está o erro?

Todos os cavalos têm uma mesma cor.

“Demonstração”. A prova será feita por indução. Considere o predicado

P(n) : em todo conjunto com n cavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor.

(Passo básico ) Se n = 1, então todo cavalo em um conjunto com um único cavalo tem uma mesma cor.Logo, P(1) é verdadeira.

(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira, isto é, suponha que em todo conjunto com kcavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor (hipótese de indução). Devemos mostrar que P(k + 1)é verdadeira, isto é, devemos mostrar que em todo conjunto com k + 1 cavalos, todos os cavalos têmuma mesma cor. Considere então um conjunto com nk + 1 cavalos: {c1, c2, . . . , ck , ck+1}. Pela hipótesede indução, os n primeiros cavalos têm uma mesma cor: {c1, c2, . . . , ck}. Também pela hipótese deindução, os n últimos cavalos também possuem uma mesma cor: {c2, . . . , ck , ck+1}. Logo todos oscavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cor.

O erro está no passo indutivo: para concluir que todos os cavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cora partir do fato de que todos os cavalos em A = {c1, c2, . . . , ck} e B = {c2, . . . , ck , ck+1} possuírem uma mesmacor, usou-se que existe pelo menos um cavalo em comum aos dois conjuntos A e B. Mas, se k = 2, então A = {c1},B = {c2} e A ∩ B = ∅.

Aula 5 Matemática Básica 115

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Onde está o erro?

Todos os cavalos têm uma mesma cor.

“Demonstração”. A prova será feita por indução. Considere o predicado

P(n) : em todo conjunto com n cavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor.

(Passo básico ) Se n = 1, então todo cavalo em um conjunto com um único cavalo tem uma mesma cor.Logo, P(1) é verdadeira.

(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira, isto é, suponha que em todo conjunto com kcavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor (hipótese de indução). Devemos mostrar que P(k + 1)é verdadeira, isto é, devemos mostrar que em todo conjunto com k + 1 cavalos, todos os cavalos têmuma mesma cor. Considere então um conjunto com nk + 1 cavalos: {c1, c2, . . . , ck , ck+1}. Pela hipótesede indução, os n primeiros cavalos têm uma mesma cor: {c1, c2, . . . , ck}. Também pela hipótese deindução, os n últimos cavalos também possuem uma mesma cor: {c2, . . . , ck , ck+1}. Logo todos oscavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cor.

O erro está no passo indutivo: para concluir que todos os cavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cora partir do fato de que todos os cavalos em A = {c1, c2, . . . , ck} e B = {c2, . . . , ck , ck+1} possuírem uma mesmacor, usou-se que existe pelo menos um cavalo em comum aos dois conjuntos A e B. Mas, se k = 2, então A = {c1},B = {c2} e A ∩ B = ∅.

Aula 5 Matemática Básica 116

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Onde está o erro?

Todos os cavalos têm uma mesma cor.

“Demonstração”. A prova será feita por indução. Considere o predicado

P(n) : em todo conjunto com n cavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor.

(Passo básico ) Se n = 1, então todo cavalo em um conjunto com um único cavalo tem uma mesma cor.Logo, P(1) é verdadeira.

(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira, isto é, suponha que em todo conjunto com kcavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor (hipótese de indução). Devemos mostrar que P(k + 1)é verdadeira, isto é, devemos mostrar que em todo conjunto com k + 1 cavalos, todos os cavalos têmuma mesma cor. Considere então um conjunto com nk + 1 cavalos: {c1, c2, . . . , ck , ck+1}. Pela hipótesede indução, os n primeiros cavalos têm uma mesma cor: {c1, c2, . . . , ck}. Também pela hipótese deindução, os n últimos cavalos também possuem uma mesma cor: {c2, . . . , ck , ck+1}. Logo todos oscavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cor.

O erro está no passo indutivo: para concluir que todos os cavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cora partir do fato de que todos os cavalos em A = {c1, c2, . . . , ck} e B = {c2, . . . , ck , ck+1} possuírem uma mesmacor, usou-se que existe pelo menos um cavalo em comum aos dois conjuntos A e B. Mas, se k = 2, então A = {c1},B = {c2} e A ∩ B = ∅.

Aula 5 Matemática Básica 117

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Onde está o erro?

Todos os cavalos têm uma mesma cor.

“Demonstração”. A prova será feita por indução. Considere o predicado

P(n) : em todo conjunto com n cavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor.

(Passo básico ) Se n = 1, então todo cavalo em um conjunto com um único cavalo tem uma mesma cor.Logo, P(1) é verdadeira.

(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira, isto é, suponha que em todo conjunto com kcavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor (hipótese de indução). Devemos mostrar que P(k + 1)é verdadeira, isto é, devemos mostrar que em todo conjunto com k + 1 cavalos, todos os cavalos têmuma mesma cor. Considere então um conjunto com nk + 1 cavalos: {c1, c2, . . . , ck , ck+1}. Pela hipótesede indução, os n primeiros cavalos têm uma mesma cor: {c1, c2, . . . , ck}. Também pela hipótese deindução, os n últimos cavalos também possuem uma mesma cor: {c2, . . . , ck , ck+1}. Logo todos oscavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cor.

O erro está no passo indutivo: para concluir que todos os cavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cora partir do fato de que todos os cavalos em A = {c1, c2, . . . , ck} e B = {c2, . . . , ck , ck+1} possuírem uma mesmacor, usou-se que existe pelo menos um cavalo em comum aos dois conjuntos A e B. Mas, se k = 2, então A = {c1},B = {c2} e A ∩ B = ∅.

Aula 5 Matemática Básica 118

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Onde está o erro?

Todos os cavalos têm uma mesma cor.

“Demonstração”. A prova será feita por indução. Considere o predicado

P(n) : em todo conjunto com n cavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor.

(Passo básico ) Se n = 1, então todo cavalo em um conjunto com um único cavalo tem uma mesma cor.Logo, P(1) é verdadeira.

(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira, isto é, suponha que em todo conjunto com kcavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor (hipótese de indução). Devemos mostrar que P(k + 1)é verdadeira, isto é, devemos mostrar que em todo conjunto com k + 1 cavalos, todos os cavalos têmuma mesma cor. Considere então um conjunto com nk + 1 cavalos: {c1, c2, . . . , ck , ck+1}. Pela hipótesede indução, os n primeiros cavalos têm uma mesma cor: {c1, c2, . . . , ck}. Também pela hipótese deindução, os n últimos cavalos também possuem uma mesma cor: {c2, . . . , ck , ck+1}. Logo todos oscavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cor.

O erro está no passo indutivo: para concluir que todos os cavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cora partir do fato de que todos os cavalos em A = {c1, c2, . . . , ck} e B = {c2, . . . , ck , ck+1} possuírem uma mesmacor, usou-se que existe pelo menos um cavalo em comum aos dois conjuntos A e B. Mas, se k = 2, então A = {c1},B = {c2} e A ∩ B = ∅.

Aula 5 Matemática Básica 119

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Onde está o erro?

Todos os cavalos têm uma mesma cor.

“Demonstração”. A prova será feita por indução. Considere o predicado

P(n) : em todo conjunto com n cavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor.

(Passo básico ) Se n = 1, então todo cavalo em um conjunto com um único cavalo tem uma mesma cor.Logo, P(1) é verdadeira.

(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira, isto é, suponha que em todo conjunto com kcavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor (hipótese de indução). Devemos mostrar que P(k + 1)é verdadeira, isto é, devemos mostrar que em todo conjunto com k + 1 cavalos, todos os cavalos têmuma mesma cor. Considere então um conjunto com nk + 1 cavalos: {c1, c2, . . . , ck , ck+1}. Pela hipótesede indução, os n primeiros cavalos têm uma mesma cor: {c1, c2, . . . , ck}. Também pela hipótese deindução, os n últimos cavalos também possuem uma mesma cor: {c2, . . . , ck , ck+1}. Logo todos oscavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cor.

O erro está no passo indutivo: para concluir que todos os cavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cora partir do fato de que todos os cavalos em A = {c1, c2, . . . , ck} e B = {c2, . . . , ck , ck+1} possuírem uma mesmacor, usou-se que existe pelo menos um cavalo em comum aos dois conjuntos A e B. Mas, se k = 2, então A = {c1},B = {c2} e A ∩ B = ∅.

Aula 5 Matemática Básica 120

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Onde está o erro?

Todos os cavalos têm uma mesma cor.

“Demonstração”. A prova será feita por indução. Considere o predicado

P(n) : em todo conjunto com n cavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor.

(Passo básico ) Se n = 1, então todo cavalo em um conjunto com um único cavalo tem uma mesma cor.Logo, P(1) é verdadeira.

(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira, isto é, suponha que em todo conjunto com kcavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor (hipótese de indução). Devemos mostrar que P(k + 1)é verdadeira, isto é, devemos mostrar que em todo conjunto com k + 1 cavalos, todos os cavalos têmuma mesma cor. Considere então um conjunto com nk + 1 cavalos: {c1, c2, . . . , ck , ck+1}. Pela hipótesede indução, os n primeiros cavalos têm uma mesma cor: {c1, c2, . . . , ck}. Também pela hipótese deindução, os n últimos cavalos também possuem uma mesma cor: {c2, . . . , ck , ck+1}. Logo todos oscavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cor.

O erro está no passo indutivo: para concluir que todos os cavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cora partir do fato de que todos os cavalos em A = {c1, c2, . . . , ck} e B = {c2, . . . , ck , ck+1} possuírem uma mesmacor, usou-se que existe pelo menos um cavalo em comum aos dois conjuntos A e B. Mas, se k = 2, então A = {c1},B = {c2} e A ∩ B = ∅.

Aula 5 Matemática Básica 121

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Onde está o erro?

Todos os cavalos têm uma mesma cor.

“Demonstração”. A prova será feita por indução. Considere o predicado

P(n) : em todo conjunto com n cavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor.

(Passo básico ) Se n = 1, então todo cavalo em um conjunto com um único cavalo tem uma mesma cor.Logo, P(1) é verdadeira.

(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira, isto é, suponha que em todo conjunto com kcavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor (hipótese de indução). Devemos mostrar que P(k + 1)é verdadeira, isto é, devemos mostrar que em todo conjunto com k + 1 cavalos, todos os cavalos têmuma mesma cor. Considere então um conjunto com nk + 1 cavalos: {c1, c2, . . . , ck , ck+1}. Pela hipótesede indução, os n primeiros cavalos têm uma mesma cor: {c1, c2, . . . , ck}. Também pela hipótese deindução, os n últimos cavalos também possuem uma mesma cor: {c2, . . . , ck , ck+1}. Logo todos oscavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cor.

O erro está no passo indutivo: para concluir que todos os cavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cora partir do fato de que todos os cavalos em A = {c1, c2, . . . , ck} e B = {c2, . . . , ck , ck+1} possuírem uma mesmacor, usou-se que existe pelo menos um cavalo em comum aos dois conjuntos A e B. Mas, se k = 2, então A = {c1},B = {c2} e A ∩ B = ∅.

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Onde está o erro?

Todos os cavalos têm uma mesma cor.

“Demonstração”. A prova será feita por indução. Considere o predicado

P(n) : em todo conjunto com n cavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor.

(Passo básico ) Se n = 1, então todo cavalo em um conjunto com um único cavalo tem uma mesma cor.Logo, P(1) é verdadeira.

(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira, isto é, suponha que em todo conjunto com kcavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor (hipótese de indução). Devemos mostrar que P(k + 1)é verdadeira, isto é, devemos mostrar que em todo conjunto com k + 1 cavalos, todos os cavalos têmuma mesma cor. Considere então um conjunto com nk + 1 cavalos: {c1, c2, . . . , ck , ck+1}. Pela hipótesede indução, os n primeiros cavalos têm uma mesma cor: {c1, c2, . . . , ck}. Também pela hipótese deindução, os n últimos cavalos também possuem uma mesma cor: {c2, . . . , ck , ck+1}. Logo todos oscavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cor.

O erro está no passo indutivo: para concluir que todos os cavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cora partir do fato de que todos os cavalos em A = {c1, c2, . . . , ck} e B = {c2, . . . , ck , ck+1} possuírem uma mesmacor, usou-se que existe pelo menos um cavalo em comum aos dois conjuntos A e B. Mas, se k = 2, então A = {c1},B = {c2} e A ∩ B = ∅.

Aula 5 Matemática Básica 123

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Onde está o erro?

Todos os cavalos têm uma mesma cor.

“Demonstração”. A prova será feita por indução. Considere o predicado

P(n) : em todo conjunto com n cavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor.

(Passo básico ) Se n = 1, então todo cavalo em um conjunto com um único cavalo tem uma mesma cor.Logo, P(1) é verdadeira.

(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira, isto é, suponha que em todo conjunto com kcavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor (hipótese de indução). Devemos mostrar que P(k + 1)é verdadeira, isto é, devemos mostrar que em todo conjunto com k + 1 cavalos, todos os cavalos têmuma mesma cor. Considere então um conjunto com nk + 1 cavalos: {c1, c2, . . . , ck , ck+1}. Pela hipótesede indução, os n primeiros cavalos têm uma mesma cor: {c1, c2, . . . , ck}. Também pela hipótese deindução, os n últimos cavalos também possuem uma mesma cor: {c2, . . . , ck , ck+1}. Logo todos oscavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cor.

O erro está no passo indutivo: para concluir que todos os cavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cora partir do fato de que todos os cavalos em A = {c1, c2, . . . , ck} e B = {c2, . . . , ck , ck+1} possuírem uma mesmacor, usou-se que existe pelo menos um cavalo em comum aos dois conjuntos A e B. Mas, se k = 2, então A = {c1},B = {c2} e A ∩ B = ∅.

Aula 5 Matemática Básica 124

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Onde está o erro?

Todos os cavalos têm uma mesma cor.

“Demonstração”. A prova será feita por indução. Considere o predicado

P(n) : em todo conjunto com n cavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor.

(Passo básico ) Se n = 1, então todo cavalo em um conjunto com um único cavalo tem uma mesma cor.Logo, P(1) é verdadeira.

(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira, isto é, suponha que em todo conjunto com kcavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor (hipótese de indução). Devemos mostrar que P(k + 1)é verdadeira, isto é, devemos mostrar que em todo conjunto com k + 1 cavalos, todos os cavalos têmuma mesma cor. Considere então um conjunto com nk + 1 cavalos: {c1, c2, . . . , ck , ck+1}. Pela hipótesede indução, os n primeiros cavalos têm uma mesma cor: {c1, c2, . . . , ck}. Também pela hipótese deindução, os n últimos cavalos também possuem uma mesma cor: {c2, . . . , ck , ck+1}. Logo todos oscavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cor.

O erro está no passo indutivo: para concluir que todos os cavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cora partir do fato de que todos os cavalos em A = {c1, c2, . . . , ck} e B = {c2, . . . , ck , ck+1} possuírem uma mesmacor, usou-se que existe pelo menos um cavalo em comum aos dois conjuntos A e B. Mas, se k = 2, então A = {c1},B = {c2} e A ∩ B = ∅.

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Onde está o erro?

Todos os cavalos têm uma mesma cor.

“Demonstração”. A prova será feita por indução. Considere o predicado

P(n) : em todo conjunto com n cavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor.

(Passo básico ) Se n = 1, então todo cavalo em um conjunto com um único cavalo tem uma mesma cor.Logo, P(1) é verdadeira.

(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira, isto é, suponha que em todo conjunto com kcavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor (hipótese de indução). Devemos mostrar que P(k + 1)é verdadeira, isto é, devemos mostrar que em todo conjunto com k + 1 cavalos, todos os cavalos têmuma mesma cor. Considere então um conjunto com nk + 1 cavalos: {c1, c2, . . . , ck , ck+1}. Pela hipótesede indução, os n primeiros cavalos têm uma mesma cor: {c1, c2, . . . , ck}. Também pela hipótese deindução, os n últimos cavalos também possuem uma mesma cor: {c2, . . . , ck , ck+1}. Logo todos oscavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cor.

O erro está no passo indutivo: para concluir que todos os cavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cora partir do fato de que todos os cavalos em A = {c1, c2, . . . , ck} e B = {c2, . . . , ck , ck+1} possuírem uma mesmacor, usou-se que existe pelo menos um cavalo em comum aos dois conjuntos A e B. Mas, se k = 2, então A = {c1},B = {c2} e A ∩ B = ∅.

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Onde está o erro?

Todos os cavalos têm uma mesma cor.

“Demonstração”. A prova será feita por indução. Considere o predicado

P(n) : em todo conjunto com n cavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor.

(Passo básico ) Se n = 1, então todo cavalo em um conjunto com um único cavalo tem uma mesma cor.Logo, P(1) é verdadeira.

(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira, isto é, suponha que em todo conjunto com kcavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor (hipótese de indução). Devemos mostrar que P(k + 1)é verdadeira, isto é, devemos mostrar que em todo conjunto com k + 1 cavalos, todos os cavalos têmuma mesma cor. Considere então um conjunto com nk + 1 cavalos: {c1, c2, . . . , ck , ck+1}. Pela hipótesede indução, os n primeiros cavalos têm uma mesma cor: {c1, c2, . . . , ck}. Também pela hipótese deindução, os n últimos cavalos também possuem uma mesma cor: {c2, . . . , ck , ck+1}. Logo todos oscavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cor.

O erro está no passo indutivo: para concluir que todos os cavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cora partir do fato de que todos os cavalos em A = {c1, c2, . . . , ck} e B = {c2, . . . , ck , ck+1} possuírem uma mesmacor, usou-se que existe pelo menos um cavalo em comum aos dois conjuntos A e B. Mas, se k = 2, então A = {c1},B = {c2} e A ∩ B = ∅.

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Onde está o erro?

Todos os cavalos têm uma mesma cor.

“Demonstração”. A prova será feita por indução. Considere o predicado

P(n) : em todo conjunto com n cavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor.

(Passo básico ) Se n = 1, então todo cavalo em um conjunto com um único cavalo tem uma mesma cor.Logo, P(1) é verdadeira.

(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira, isto é, suponha que em todo conjunto com kcavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor (hipótese de indução). Devemos mostrar que P(k + 1)é verdadeira, isto é, devemos mostrar que em todo conjunto com k + 1 cavalos, todos os cavalos têmuma mesma cor. Considere então um conjunto com nk + 1 cavalos: {c1, c2, . . . , ck , ck+1}. Pela hipótesede indução, os n primeiros cavalos têm uma mesma cor: {c1, c2, . . . , ck}. Também pela hipótese deindução, os n últimos cavalos também possuem uma mesma cor: {c2, . . . , ck , ck+1}. Logo todos oscavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cor.

O erro está no passo indutivo: para concluir que todos os cavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cora partir do fato de que todos os cavalos em A = {c1, c2, . . . , ck} e B = {c2, . . . , ck , ck+1} possuírem uma mesmacor, usou-se que existe pelo menos um cavalo em comum aos dois conjuntos A e B. Mas, se k = 2, então A = {c1},B = {c2} e A ∩ B = ∅.

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Onde está o erro?

Todos os cavalos têm uma mesma cor.

“Demonstração”. A prova será feita por indução. Considere o predicado

P(n) : em todo conjunto com n cavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor.

(Passo básico ) Se n = 1, então todo cavalo em um conjunto com um único cavalo tem uma mesma cor.Logo, P(1) é verdadeira.

(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira, isto é, suponha que em todo conjunto com kcavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor (hipótese de indução). Devemos mostrar que P(k + 1)é verdadeira, isto é, devemos mostrar que em todo conjunto com k + 1 cavalos, todos os cavalos têmuma mesma cor. Considere então um conjunto com nk + 1 cavalos: {c1, c2, . . . , ck , ck+1}. Pela hipótesede indução, os n primeiros cavalos têm uma mesma cor: {c1, c2, . . . , ck}. Também pela hipótese deindução, os n últimos cavalos também possuem uma mesma cor: {c2, . . . , ck , ck+1}. Logo todos oscavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cor.

O erro está no passo indutivo: para concluir que todos os cavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cora partir do fato de que todos os cavalos em A = {c1, c2, . . . , ck} e B = {c2, . . . , ck , ck+1} possuírem uma mesmacor, usou-se que existe pelo menos um cavalo em comum aos dois conjuntos A e B. Mas, se k = 2, então A = {c1},B = {c2} e A ∩ B = ∅.

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Onde está o erro?

Todos os cavalos têm uma mesma cor.

“Demonstração”. A prova será feita por indução. Considere o predicado

P(n) : em todo conjunto com n cavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor.

(Passo básico ) Se n = 1, então todo cavalo em um conjunto com um único cavalo tem uma mesma cor.Logo, P(1) é verdadeira.

(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira, isto é, suponha que em todo conjunto com kcavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor (hipótese de indução). Devemos mostrar que P(k + 1)é verdadeira, isto é, devemos mostrar que em todo conjunto com k + 1 cavalos, todos os cavalos têmuma mesma cor. Considere então um conjunto com nk + 1 cavalos: {c1, c2, . . . , ck , ck+1}. Pela hipótesede indução, os n primeiros cavalos têm uma mesma cor: {c1, c2, . . . , ck}. Também pela hipótese deindução, os n últimos cavalos também possuem uma mesma cor: {c2, . . . , ck , ck+1}. Logo todos oscavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cor.

O erro está no passo indutivo: para concluir que todos os cavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cora partir do fato de que todos os cavalos em A = {c1, c2, . . . , ck} e B = {c2, . . . , ck , ck+1} possuírem uma mesmacor, usou-se que existe pelo menos um cavalo em comum aos dois conjuntos A e B. Mas, se k = 2, então A = {c1},B = {c2} e A ∩ B = ∅.

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Onde está o erro?

Todos os cavalos têm uma mesma cor.

“Demonstração”. A prova será feita por indução. Considere o predicado

P(n) : em todo conjunto com n cavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor.

(Passo básico ) Se n = 1, então todo cavalo em um conjunto com um único cavalo tem uma mesma cor.Logo, P(1) é verdadeira.

(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira, isto é, suponha que em todo conjunto com kcavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor (hipótese de indução). Devemos mostrar que P(k + 1)é verdadeira, isto é, devemos mostrar que em todo conjunto com k + 1 cavalos, todos os cavalos têmuma mesma cor. Considere então um conjunto com nk + 1 cavalos: {c1, c2, . . . , ck , ck+1}. Pela hipótesede indução, os n primeiros cavalos têm uma mesma cor: {c1, c2, . . . , ck}. Também pela hipótese deindução, os n últimos cavalos também possuem uma mesma cor: {c2, . . . , ck , ck+1}. Logo todos oscavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cor.

O erro está no passo indutivo: para concluir que todos os cavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cora partir do fato de que todos os cavalos em A = {c1, c2, . . . , ck} e B = {c2, . . . , ck , ck+1} possuírem uma mesmacor, usou-se que existe pelo menos um cavalo em comum aos dois conjuntos A e B. Mas, se k = 2, então A = {c1},B = {c2} e A ∩ B = ∅.

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Onde está o erro?

Todos os cavalos têm uma mesma cor.

“Demonstração”. A prova será feita por indução. Considere o predicado

P(n) : em todo conjunto com n cavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor.

(Passo básico ) Se n = 1, então todo cavalo em um conjunto com um único cavalo tem uma mesma cor.Logo, P(1) é verdadeira.

(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira, isto é, suponha que em todo conjunto com kcavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor (hipótese de indução). Devemos mostrar que P(k + 1)é verdadeira, isto é, devemos mostrar que em todo conjunto com k + 1 cavalos, todos os cavalos têmuma mesma cor. Considere então um conjunto com nk + 1 cavalos: {c1, c2, . . . , ck , ck+1}. Pela hipótesede indução, os n primeiros cavalos têm uma mesma cor: {c1, c2, . . . , ck}. Também pela hipótese deindução, os n últimos cavalos também possuem uma mesma cor: {c2, . . . , ck , ck+1}. Logo todos oscavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cor.

O erro está no passo indutivo: para concluir que todos os cavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cora partir do fato de que todos os cavalos em A = {c1, c2, . . . , ck} e B = {c2, . . . , ck , ck+1} possuírem uma mesmacor, usou-se que existe pelo menos um cavalo em comum aos dois conjuntos A e B. Mas, se k = 2, então A = {c1},B = {c2} e A ∩ B = ∅.

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Onde está o erro?

Todos os cavalos têm uma mesma cor.

“Demonstração”. A prova será feita por indução. Considere o predicado

P(n) : em todo conjunto com n cavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor.

(Passo básico ) Se n = 1, então todo cavalo em um conjunto com um único cavalo tem uma mesma cor.Logo, P(1) é verdadeira.

(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira, isto é, suponha que em todo conjunto com kcavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor (hipótese de indução). Devemos mostrar que P(k + 1)é verdadeira, isto é, devemos mostrar que em todo conjunto com k + 1 cavalos, todos os cavalos têmuma mesma cor. Considere então um conjunto com nk + 1 cavalos: {c1, c2, . . . , ck , ck+1}. Pela hipótesede indução, os n primeiros cavalos têm uma mesma cor: {c1, c2, . . . , ck}. Também pela hipótese deindução, os n últimos cavalos também possuem uma mesma cor: {c2, . . . , ck , ck+1}. Logo todos oscavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cor.

O erro está no passo indutivo: para concluir que todos os cavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cora partir do fato de que todos os cavalos em A = {c1, c2, . . . , ck} e B = {c2, . . . , ck , ck+1} possuírem uma mesmacor, usou-se que existe pelo menos um cavalo em comum aos dois conjuntos A e B. Mas, se k = 2, então A = {c1},B = {c2} e A ∩ B = ∅.

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Onde está o erro?

Todos os cavalos têm uma mesma cor.

“Demonstração”. A prova será feita por indução. Considere o predicado

P(n) : em todo conjunto com n cavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor.

(Passo básico ) Se n = 1, então todo cavalo em um conjunto com um único cavalo tem uma mesma cor.Logo, P(1) é verdadeira.

(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira, isto é, suponha que em todo conjunto com kcavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor (hipótese de indução). Devemos mostrar que P(k + 1)é verdadeira, isto é, devemos mostrar que em todo conjunto com k + 1 cavalos, todos os cavalos têmuma mesma cor. Considere então um conjunto com nk + 1 cavalos: {c1, c2, . . . , ck , ck+1}. Pela hipótesede indução, os n primeiros cavalos têm uma mesma cor: {c1, c2, . . . , ck}. Também pela hipótese deindução, os n últimos cavalos também possuem uma mesma cor: {c2, . . . , ck , ck+1}. Logo todos oscavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cor.

O erro está no passo indutivo: para concluir que todos os cavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cora partir do fato de que todos os cavalos em A = {c1, c2, . . . , ck} e B = {c2, . . . , ck , ck+1} possuírem uma mesmacor, usou-se que existe pelo menos um cavalo em comum aos dois conjuntos A e B. Mas, se k = 2, então A = {c1},B = {c2} e A ∩ B = ∅.

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Todos os cavalos têm uma mesma cor.

“Demonstração”. A prova será feita por indução. Considere o predicado

P(n) : em todo conjunto com n cavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor.

(Passo básico ) Se n = 1, então todo cavalo em um conjunto com um único cavalo tem uma mesma cor.Logo, P(1) é verdadeira.

(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira, isto é, suponha que em todo conjunto com kcavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor (hipótese de indução). Devemos mostrar que P(k + 1)é verdadeira, isto é, devemos mostrar que em todo conjunto com k + 1 cavalos, todos os cavalos têmuma mesma cor. Considere então um conjunto com nk + 1 cavalos: {c1, c2, . . . , ck , ck+1}. Pela hipótesede indução, os n primeiros cavalos têm uma mesma cor: {c1, c2, . . . , ck}. Também pela hipótese deindução, os n últimos cavalos também possuem uma mesma cor: {c2, . . . , ck , ck+1}. Logo todos oscavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cor.

O erro está no passo indutivo: para concluir que todos os cavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cora partir do fato de que todos os cavalos em A = {c1, c2, . . . , ck} e B = {c2, . . . , ck , ck+1} possuírem uma mesmacor, usou-se que existe pelo menos um cavalo em comum aos dois conjuntos A e B. Mas, se k = 2, então A = {c1},B = {c2} e A ∩ B = ∅.

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Onde está o erro?

Todos os cavalos têm uma mesma cor.

“Demonstração”. A prova será feita por indução. Considere o predicado

P(n) : em todo conjunto com n cavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor.

(Passo básico ) Se n = 1, então todo cavalo em um conjunto com um único cavalo tem uma mesma cor.Logo, P(1) é verdadeira.

(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira, isto é, suponha que em todo conjunto com kcavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor (hipótese de indução). Devemos mostrar que P(k + 1)é verdadeira, isto é, devemos mostrar que em todo conjunto com k + 1 cavalos, todos os cavalos têmuma mesma cor. Considere então um conjunto com nk + 1 cavalos: {c1, c2, . . . , ck , ck+1}. Pela hipótesede indução, os n primeiros cavalos têm uma mesma cor: {c1, c2, . . . , ck}. Também pela hipótese deindução, os n últimos cavalos também possuem uma mesma cor: {c2, . . . , ck , ck+1}. Logo todos oscavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cor.

O erro está no passo indutivo: para concluir que todos os cavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cora partir do fato de que todos os cavalos em A = {c1, c2, . . . , ck} e B = {c2, . . . , ck , ck+1} possuírem uma mesmacor, usou-se que existe pelo menos um cavalo em comum aos dois conjuntos A e B. Mas, se k = 2, então A = {c1},B = {c2} e A ∩ B = ∅.

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Todos os cavalos têm uma mesma cor.

“Demonstração”. A prova será feita por indução. Considere o predicado

P(n) : em todo conjunto com n cavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor.

(Passo básico ) Se n = 1, então todo cavalo em um conjunto com um único cavalo tem uma mesma cor.Logo, P(1) é verdadeira.

(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira, isto é, suponha que em todo conjunto com kcavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor (hipótese de indução). Devemos mostrar que P(k + 1)é verdadeira, isto é, devemos mostrar que em todo conjunto com k + 1 cavalos, todos os cavalos têmuma mesma cor. Considere então um conjunto com nk + 1 cavalos: {c1, c2, . . . , ck , ck+1}. Pela hipótesede indução, os n primeiros cavalos têm uma mesma cor: {c1, c2, . . . , ck}. Também pela hipótese deindução, os n últimos cavalos também possuem uma mesma cor: {c2, . . . , ck , ck+1}. Logo todos oscavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cor.

O erro está no passo indutivo: para concluir que todos os cavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cora partir do fato de que todos os cavalos em A = {c1, c2, . . . , ck} e B = {c2, . . . , ck , ck+1} possuírem uma mesmacor, usou-se que existe pelo menos um cavalo em comum aos dois conjuntos A e B. Mas, se k = 2, então A = {c1},B = {c2} e A ∩ B = ∅.

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