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DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL E ARQUITECTURASECÇÃO DE HIDRÁULICA E DOS RECURSOS HÍDRICOS E AMBIENTAIS

LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL

SANEAMENTO AMBIENTAL I

SISTEMAS DE DISTRIBUIÇÃO DE ÁGUA

EDUARDO RIBEIRO DE SOUSA

LISBOA, SETEMBRO DE 2001



ÍNDICE DO TEXTO

1. CONSIDERAÇÕES GERAIS........................................................................................................................................1

2. CONFIGURAÇÃO E ASPECTOS GERAIS DE IMPLANTAÇÃO................................................................................1

3. ELEMENTOS DE BASE...............................................................................................................................................6

3.1 Cadastro dos sistemas de distribuição de água e topografia...............................................................................63.2 Consumos e caudais de projecto..........................................................................................................................83.3 Caudais de ponta..................................................................................................................................................8

4. OUTROS CRITÉRIOS A OBSERVAR..........................................................................................................................9

4.1 Critérios relativos ao dimensionamento hidráulico...............................................................................................94.2 Diâmetros mínimos.............................................................................................................................................104.3 Procedimentos para o cálculo hidráulico de redes de distribuição de água.......................................................11

5. FORMULAÇÃO DAS CONDIÇÕES DE EQUILÍBRIO HIDRÁULICO........................................................................15

5.1 Considerações gerais e conceitos......................................................................................................................155.2 Estações elevatórias e sobrepressoras..............................................................................................................18

5.2.1 Conceitos fundamentais e curvas caracteríticas dos grupos electrobomba().........................................185.2.2 Associação de bombas em paralelo e série...........................................................................................27

5.3 Equações fundamentais de equilíbrio hidráulico................................................................................................28

5.3.1 Introdução...............................................................................................................................................285.3.2 Equações dos troços..............................................................................................................................295.3.3 Equações dos nós..................................................................................................................................355.3.4 Equações das malhas............................................................................................................................38

SISTEMAS DE DISTRIBUIÇÃO DE ÁGUA i



6. MÉTODOS DE RESOLUÇÃO DAS CONDIÇÕES DE EQULÍBRIO HIDRÁULICO..................................................41

6.1 Introdução...........................................................................................................................................................416.2 Descrição sumária dos métodos para a obtenção das condições de equilíbrio hidráulico................................41

6.2.1 Equações dos troços e das malhas........................................................................................................416.2.2 Equações dos nós..................................................................................................................................43

6.3 Método de Hardy Cross......................................................................................................................................45

6.3.1 Considerações introdutórias...................................................................................................................456.3.2 Fundamentos do método........................................................................................................................456.3.3 Procedimento de cálculo........................................................................................................................476.3.4 Exemplo de aplicação............................................................................................................................48

6.4 Método de Newton-Raphson..............................................................................................................................52

6.4.1 Princípios teóricos..................................................................................................................................526.4.2 Exemplo de aplicação............................................................................................................................55

6.5 Método da Teoria Linear.....................................................................................................................................59

6.5.1 Fundamentos do método e procedimentos de cálculo...........................................................................596.5.2 Exemplo de aplicação............................................................................................................................61

7. ELEMENTOS ACESSÓRIOS EM REDES DE DISTRIBUIÇÃO.................................................................................65

7.1 Considerações gerais.........................................................................................................................................657.2 Válvulas de seccionamento................................................................................................................................667.3 Válvulas de purga ou de descarga.....................................................................................................................677.4 Hidrantes (bocas de incêndio e marcos de água)..............................................................................................687.5 Bocas de rega e de lavagem..............................................................................................................................697.6 Ventosas.............................................................................................................................................................707.7 Outros elementos acessórios. Mapa de nós......................................................................................................71

SISTEMAS DE DISTRIBUIÇÃO DE ÁGUA ii



1. CONSIDERAÇÕES GERAIS

Uma rede geral de distribuição de água pode ser definida como um sistema de tubagens e

elementos acessórios instalados na via pública, em terrenos da entidade distribuidora ou em

outros sob concessão especial, cuja utilização interessa ao serviço público de abastecimento de

água potável.

A partir desta rede geral são alimentados, por meio de ramais de ligação (define-se ramal de

ligação como a tubagem que assegura o abastecimento predial de água, desde a rede pública até

ao limite da propriedade a servir, em boas condições de caudal e pressão), os diversos edifícios

ou instalações a servir.

São igualmente servidos, a partir das redes gerais de distribuição de água:

as mangueiras ou moto-bombas dos serviços de bombeiros, através de hidrantes (bocas de

incêndio e marcos de água);

as mangueiras para alimentação de camiões-tanque para utilização pública e para a

lavagem de ruas e rega de espaços verdes, através de bocas de rega e de lavagem;

os sistemas de rega dos espaços verdes;

os fontanários, bebedouros e outros pontos de utilização de água.

No presente Documento, são apresentados, fundamentalmente, os aspectos gerais de traçado de

redes de distribuição de água, o seu dimensionamento hidráulico e a localização de órgãos

acessórios (órgãos de manobra e de segurança, com sejam válvulas de seccionamento e de

descarga e de purga, hidrantes, bocas de rega e de lavagem, e outros acessórios).

Os sistemas de distribuição de água no interior dos edifícios não fazem parte do programa da

disciplina, pelo que não serão tratados no âmbito do presente Documento.

2. CONFIGURAÇÃO E ASPECTOS GERAIS DE IMPLANTAÇÃO

As redes gerais de distribuição de água podem classificar-se, no que respeita à sua configuração,

SISTEMAS DE DISTRIBUIÇÃO DE ÁGUA 1



como se segue (Figuras 1 e 2):

redes malhadas (ou emalhadas), em que as condutas se fecham sobre si mesmas

constituindo malhas (define-se malha como um conjunto de tubagens que formam um

circuito fechado);

redes ramificadas, em que há uma conduta principal longitudinal que se ramifica para ambos

os lados;

redes mistas, que correspondem à conjugação, numa mesma rede de distribuição de água,

das duas configurações anteriores (esta é a situação mais vulgar em redes de distribuição

domiciliária).

Figura 1 - Rede ramificada com um ponto de alimentação (reservatório)

Sob o ponto de vista hidráulico, nas redes de distribuição de água malhadas, o escoamento é

bidireccional, enquanto que nas redes ramificadas é, normalmente, unidireccional, salvo se existir

mais do que um ponto de alimentação do sistema (reservatório ou estação elevatória). Nas redes

mistas, o escoamento é, simultaneamente, bidireccional e unidireccional.

As vantagens de uma rede de distribuição malhada podem ser resumidas ao seguinte:

pelo facto do escoamento ser bidireccional, para se atingir um dado ponto, existem

percursos alternativos;




no caso de avaria numa tubagem (por exemplo, pela ocorrência de uma rotura), é possível

isolar uma determinada zona da rede de distribuição de água, através do fechamento de um

conjunto de válvulas de seccionamento, sem que os restantes consumidores sejam

afectados do normal fornecimento, o que lhe confere maior fiabilidade;

quando ocorrem grandes flutuações de consumo na rede de distribuição, os efeitos, em

termos de pressão, são pouco significativos.

Figura 2 - Rede malhada/mista com dois pontos de alimentação (reservatório e estação elevatória)

No entanto, apresenta as seguintes desvantagens:

exige custos de investimento superiores, uma vez que requer uma maior quantidade de

tubagens e de órgãos acessórios;

o cálculo para a determinação das condições de equilíbrio hidráulico é mais complexo do

que nas redes ramificadas (de facto, como se verá mais adiante neste Documento, este

cálculo exige a resolução de um sistema de equações não lineares, que traduzem as

equações de continuidade e de conservação de energia).

Em contrapartida, de entre as vantagens de uma rede de distribuição ramificada podem salientar-

se as seguintes:

exige menores custos de investimento, uma vez que requer uma menor quantidade de




tubagens e de órgãos acessórios;

os diâmetros das tubagens são mais económicos;

o cálculo para a determinação das condições de funcionamento hidráulico é mais simples do

que nas redes malhadas, podendo dizer-se que é um problema trivial de hidráulica (de facto,

este cálculo exige apenas a aplicação das equações de continuidade aos nós e só

posteriormente a utilização da relação perda de carga/caudal, para a determinação das

cotas piezométricas nos nós).

No entanto, uma rede de distribuição ramificada apresenta as seguintes desvantagens:

pelo facto do escoamento ser unidireccional, no caso de avaria numa tubagem (por

exemplo, pela ocorrência de uma rotura), são menores as condições de fiabilidade, uma vez

que qualquer avaria numa conduta interrompe todo o fornecimento de água a jusante;

quando ocorrem aumentos ou se verificam flutuações de consumo na rede de distribuição,

os efeitos para jusante, em termos de pressão, são significativos;

os troços, nos pontos terminais da rede de distribuição, têm tendência a acumular

sedimentos, devido às baixas velocidades do escoamento.

A distribuição de água potável a um aglomerado populacional pode ser feita por uma só rede geral

ou por várias; a solução a adoptar depende das características do aglomerado a abastecer, sendo

necessário proceder a um estudo cuidadoso das mesmas.

Assim, a existência de um aglomerado de certa dimensão, em que haja diferenciação nítida de

zonas altimétricas, aconselha que se considere uma rede geral de distribuição de água para cada

zona. É, por exemplo, o caso da cidade de Lisboa, que está dividida, fundamentalmente, em cinco

zonas de distribuição: baixa, média, alta, superior (oriental e ocidental) e limite.

Este critério apresenta grandes vantagens, pois a existência duma rede única obrigaria a uma

elevação, do caudal total máximo, a uma altura correspondente à zona mais alta. Deste modo,

não só haveria um gasto inútil de energia de bombagem, como ocorreriam elevadas pressões nas

zonas baixas. Esta situação obrigaria à instalação de dispositivos de utilização mais resistentes e

à implantação de tubagens da rede de distribuição de classes ou pressões de serviço maiores, o

que aumentaria o custo total da mesma.




No que respeita à implantação (implantação propriamente dita, assentamento, largura e

assentamento das valas) de redes de distribuição de água, o Decreto Regulamentar nº 23/95,

estipula o seguinte:

“Artigo 24.º Implantação1 - A implantação das condutas da rede de distribuição em arruamentos deve fazer-se em articulação com as restantes infra-estruturas e, sempre que possível, fora das faixas de rodagem.2 - As condutas da rede de distribuição devem ser implantadas em ambos os lados dos arruamentos, podendo reduzir-se a um quando as condições técnico-económicas o aconselhem, e nunca a uma distância inferior a 0,80 m dos limites das propriedades.3 - A implantação das condutas deve ser feita num plano superior ao dos colectores de águas residuais e a uma distância não inferior a 1 m, de forma a garantir protecção eficaz contra possível contaminação, devendo ser adoptadas protecções especiais em caso de impossibilidade daquela disposição.Artigo 25.º Profundidade1 - A profundidade de assentamento das condutas não deve ser inferior a 0,80 m, medida entre a geratriz exterior superior da conduta e o nível do pavimento.2 - Pode aceitar-se um valor inferior ao indicado desde que se protejam convenientemente as condutas para resistir a sobrecargas ou a temperaturas extremas.3 - Em situações excepcionais, admitem-se condutas exteriores ao pavimento desde que sejam convenientemente protegidas mecânica, térmica e sanitariamente.Artigo 26.º Largura das valas1 - Para profundidades até 3 m, a largura das valas para assentamento das tubagens deve ter, em regra, a dimensão mínima definida pelas seguintes fórmulas:

L = De + 0,50 para condutas de diâmetro até 0,50 m;L = De + 0,70 para condutas de diâmetro superior a 0,50 m;

onde L é a largura da vala (m) e De o diâmetro exterior da conduta (m).2 - Para profundidades superiores a 3 m, a largura mínima das valas pode ter de ser aumentada em função do tipo de terreno, processo de escavação e nível freático. Artigo 27.º Assentamento1 - As tubagens devem ser assentes por forma a assegurar-se que cada troço de tubagem se apoie contínua e directamente sobre terrenos de igual resistência.




2 - Quando, pela sua natureza, o terreno não assegure as necessárias condições de estabilidade das tubagens ou dos acessórios, deve fazer-se a sua substituição por material mais resistente devidamente compactado.3 - Quando a escavação for feita em terreno rochoso, as tubagens devem ser assentes, em toda a sua extensão, sobre uma camada uniforme previamente preparada de 0,15 m a 0,30 m de espessura, de areia, gravilha ou material similar cuja maior dimensão não exceda 20 mm.4 - Devem ser previstos maciços de amarração nas curvas e pontos singulares, calculados com base nos impulsos e resistência dos solos.Artigo 28.º Aterro das valas1 - O aterro das valas deve ser efectuado de 0,15 m a 0,30 m acima do extradorso das tubagens com material cujas dimensões não excedam 20 mm. 2 - A compactação do material do aterro deve ser feita cuidadosamente por forma a não danificar as tubagens e a garantir a estabilidade dos pavimentos.”

Em complemento ao anteriormente referido, deve ser consultado o Documento Tubagens e Acessórios de Ligação.

3. ELEMENTOS DE BASE

3.1 Cadastro dos sistemas de distribuição de água e topografia

Na concepção e dimensionamento de sistemas de distribuição de água, a recolha e avaliação dos

elementos de cadastro das infra-estruturas constituem actividades de grande relevância, quer

para o projecto de novas infra-estruturas, quer para a ampliação e/ou remodelação de infra-

estruturas já existentes.

O Decreto Regulamentar nº 23/95 estipula, no seu artigo 9.º, que:

“1 - Na elaboração de estudos de sistemas de distribuição de água deve ter-se em consideração os elementos constantes dos respectivos cadastros.2 - Os cadastros devem estar permanentemente actualizados e conter, no mínimo:a) A localização em planta das condutas, acessórios e instalações complementares, sobre carta topográfica a escala compreendida entre 1:500 e 1:2000, com implantação de todas




as edificações e pontos importantes;b) As secções, profundidades, materiais e tipos de junta das condutas;c) A natureza do terreno e condições de assentamento;d) O estado de conservação das condutas e acessórios;e) A ficha individual para os ramais de ligação e outras instalações do sistema.3 - Os cadastros podem existir sob a forma gráfica tradicional ou informatizados.”

Apesar desta imposição legal, o panorama nacional nesta matéria não é, salvo algumas

excepções, muito brilhante, estando longe do estipulado regulamentarmente. Consequentemente,

para a concepção e dimensionamento de sistemas de distribuição de água é necessário, em

geral, um reconhecimento completo da área em estudo, para que se obtenham os elementos de

base para a sua elaboração e para a correcta execução da obra.

As plantas topográficas, a escalas adequadas (as escalas mais convenientes são, para efeitos de

projecto de execução, as de 1/1 000 e 1/2 000, salvo nos pontos nevrálgicos do sistema, como

sejam os locais onde existam infra-estruturas enterradas, onde seja necessário o atravessamento

de linhas de água, entre outras, casos em que deve ser utilizada uma escala de 1/500; quando se

trate de estudos de planeamento, é admissível a utilização da escala de 1/5 000 ou mesmo

1/10 000), constituem um elemento fundamental no projecto de sistemas de distribuição de água.

No caso de não existirem, é indispensável a realização de trabalhos de campo (nomeadamente

levantamentos topográficos para o conhecimento das cotas do terreno, nos pontos altos e baixos,

nos arruamentos principais e secundários, não sendo estritamente necessário o conhecimento

das linhas de nível, e para a determinação de outras infra-estruturas de subsolo que possam

interferir com a rede a projectar), sendo o seu nível de rigor função do tipo de projecto em análise.

Nestes trabalhos de campo deve ser recolhida informação relativa à localização de arruamentos

(principais e secundários), de edifícios, de parques públicos, de linhas de água, etc..

A partir das plantas topográficas do aglomerado populacional em estudo, é possível proceder ao

traçado da rede de distribuição de água, em planta, de acordo com os princípios enunciados no

parágrafo anterior. Esta actividade, no âmbito do projecto, deve iniciar-se o mais cedo possível, de

forma a que sejam detectadas falhas de informação, as quais devem ser esclarecidas com uma

visita ao local e, se necessário, com trabalhos de campo específicos.




3.2 Consumos e caudais de projecto

A determinação dos consumos e dos caudais de projecto de sistemas de distribuição constitui

uma actividade vital para efeitos do dimensionamento deste tipo de infra-estruturas. Estes caudais

destinam-se a satisfazer os consumos domésticos, comerciais e de serviços, industriais e

similares, e públicos; há que garantir, ainda, caudais para fazer face a perdas e fugas e para

combate a incêndios.

Dado que esta matéria já foi tratada, em profundidade, no Documento Sistemas de Abastecimento de Água - Constituição e Bases Quantitativas de Dimensionamento, remete-se o leitor para aquele

documento. No parágrafo seguinte, apenas se discutem alguns aspectos específicos relativos a

caudais de ponta em sistemas de distribuição de água.

3.3 Caudais de ponta

Nos sistemas de distribuição de água, para efeitos de dimensionamento, consideram-se os

caudais médios previstos no início de exploração (fundamentalmente para efeitos de verificação

de velocidades mínimas, aspecto que será discutido mais adiante) e no ano horizonte de projecto,

afectados de um factor de ponta instantâneo, a que se adicionam os caudais para fazer face a

perdas e fugas.

Nestas condições, o caudal de ponta para satisfazer os consumos domésticos (assim como os

consumos que podem ser incorporados nos valores da capitação) é dado pela seguinte

expressão:

Qi = fi x Qma

sendo:

Qi - caudal de ponta instantâneo (L/s)

fi - factor de ponta instantâneo (-)

Qma - caudal médio para satisfazer os consumos domésticos (L/s)

Como se referiu no Documento Sistemas de Abastecimento de Água - Constituição e Bases Quantitativas de Dimensionamento, o factor de ponta (fi) deve ser determinado, preferencialmente,

com base na análise de registos de consumos. No entanto e na ausência de elementos que




permitam a sua determinação mais fundamentada, o factor de ponta pode ser estimado com base

na seguinte expressão (Decreto Regulamentar nº 23/95, artigo 19.º):

em que P é a população a servir.

Os caudais de ponta para satisfazer os consumos comerciais e de serviços, industriais e similares,

públicos, de estabelecimentos de ensino, de saúde e prisionais, unidades militares, bombeiros e

instalações desportivas (quando não seja aceitável, pela sua dimensão, admitir que os respectivos

consumos sejam incorporados nos consumos domésticos), devem ser localizados caso a caso.

Para efeitos de dimensionamento da rede de distribuição, não deve ser somado, aos caudais

instantâneos referidos, o caudal instantâneo para o combate a incêndios, uma vez que se admite

a não simultaneidade daqueles caudais com este caudal.

4. OUTROS CRITÉRIOS A OBSERVAR

4.1 Critérios relativos ao dimensionamento hidráulico

Nesta matéria, o Decreto Regulamentar nº 23/95, estipula, nos seus artigos 21.º e 22.º , o

seguinte:

Artigo 21.º Dimensionamento hidráulico1 - No dimensionamento hidráulico deve ter-se em conta a minimização dos custos, que deve ser conseguida através de uma combinação criteriosa de diâmetros, observando-se as seguintes regras:

a) A velocidade de escoamento para o caudal de ponta no horizonte de projecto não deve exceder o valor calculado pela expressão:

V = 0,127 D 0,4

onde V é a velocidade limite (m/s) e D o diâmetro interno da tubagem (mm);b) A velocidade de escoamento para o caudal de ponta no ano de início de exploração do sistema não deve ser inferior a 0,30 m/s e nas condutas onde não seja possível verificar este limite devem prever-se dispositivos adequados para




descarga periódica;c) A pressão máxima, estática ou de serviço, em qualquer ponto de utilização não deve ultrapassar os 600 kPa medida ao nível do solo;d) Não é aceitável grande flutuação de pressões em cada nó do sistema, impondo-se uma variação máxima ao longo do dia de 300 kPa;e) A pressão de serviço em qualquer dispositivo de utilização predial para o caudal de ponta não deve ser, em regra, inferior a 100 kPa o que, na rede pública e ao nível do arruamento, corresponde aproximadamente a:

H = 100 + 40 n onde H é a pressão mínima (kPa) e n o número de pisos acima do solo, incluindo o piso térreo; em casos especiais, é aceitável uma redução daquela pressão mínima, a definir, caso a caso, em função das características do equipamento.

Artigo 22.º Situações de incêndioNas situações de incêndio não é exigível qualquer limitação de velocidades nas condutas e admitem-se alturas piezométricas inferiores a 100 kPa.”

4.2 Diâmetros mínimos

O Decreto Regulamentar nº 23/95, estipula, no seu artigo 23.º, relativamente a diâmetros

mínimos, o seguinte:

“1 - Os diâmetros nominais mínimos das condutas de distribuição são os seguintes:a) 60 mm em aglomerados com menos de 20000 habitantes;b) 80 mm em aglomerados com mais de 20000 habitantes;

2 - Quando o serviço de combate a incêndios tenha de ser assegurado pela mesma rede pública, os diâmetros nominais mínimos das condutas são em função do risco da zona e devem ser:

a) 80 mm - grau 1; b) 90 mm - grau 2; c) 100 mm - grau 3; d) 125 mm - grau 4; e) >= 150 mm (a definir caso a caso) - grau 5.”




4.3 Procedimentos para o cálculo hidráulico de redes de distribuição de água

Após a definição do traçado da rede de distribuição e calculados os caudais de ponta para

satisfazer os consumos domésticos, comerciais e de serviços, industriais e similares, públicos, de

estabelecimentos de ensino, de saúde e prisionais, unidades militares, bombeiros e instalações

desportivas (quando não seja aceitável, pela sua dimensão, admitir que os respectivos consumos

sejam incorporados nos consumos domésticos), há que cumprir um conjunto de procedimentos,

que a seguir se indicam:

1) afectação dos consumos domésticos aos troços/nós do sistema de distribuição de água;2) localização e afectação, a nós de cálculo (ver conceito de nó de cálculo apresentado no

parágrafo seguinte), dos consumos comerciais e de serviços, industriais e similares, públicos, de estabelecimentos de ensino, de saúde e prisionais, unidades militares, bombeiros e instalações desportivas, nos casos em que os respectivos consumos não foram incorporados nos consumos domésticos;

3) determinação dos comprimentos das tubagens entre nós de cálculo;4) escolha inicial dos diâmetros das tubagens e dos respectivos tipos de materiais;5) determinação das cotas topográficas do terreno nos nós de cálculo;6) definição da localização de reservatórios e/ou estações elevatórias e das respectivas

condições de funcionamento hidráulico (cotas dos níveis de água em reservatórios e curvas características dos grupos electrobomba, uma vez que condicionam as cotas piezométricas na rede de distribuição de água);

7) cálculo das condições de equilíbrio hidráulico propriamente ditas da rede de distribuição de água (caudais, cotas e alturas piezométricas, e velocidades de escoamento);

8) verificação do cumprimento dos critérios regulamentares; caso eles não sejam cumpridos, em particular no que se refere às pressões mínimas e às velocidades, proceder ao ajustamento dos diâmetros e efectuar novo cálculo das condições de equilíbrio hidráulico, e assim sucessivamente;

9) verificação das condições de funcionamento hidráulico da rede para o caudal instantâneo a garantir para o combate a incêndios, para os dispositivos do tipo hidrante hidraulicamente mais afastados.

Dos procedimentos enumerados anteriormente importa fazer referência a alguns aspectos

particulares, que a seguir se discutem.




Numa rede de distribuição de água, em quase todos os troços existem ligações domiciliárias, pelo

que, com todo o rigor, há que contar com caudais progressivamente decrescentes, à medida que

se caminha para jusante, sendo comum admitir-se que o caudal é consumido uniformemente ao

longo do percurso.

Numa conduta nestas condições, de comprimento L, com caudais Q0 e Q1 nos extremos de

montante e de jusante, respectivamente, o consumo (total) de percurso é P = Q0 - Q1 e o consumo

uniforme por unidade de percurso é p = (Q0 - Q1)/L. Neste caso, a perda de carga unitária é

decrescente para jusante e a linha de energia é uma parábola, como se ilustra na Figura 3.

Figura 3 – Definição de caudal equivalente

Pode definir-se um caudal fictício, constante (caudal equivalente, Qe), que origina a mesma perda

de carga total ΔH, com uma perda de carga unitária constante, dada pela expressão:

ΔH = Je L

em que:

ΔH - perda de carga total

Je - perda de carga unitária constante

L - comprimento do troço




No caso de a perda de carga unitária ser proporcional ao quadrado do caudal (regime turbulento

rugoso), o caudal equivalente é dado por:

Qe = Q1 + 0,55 P

Na época em que o cálculo das condições de equilíbrio hidráulico das redes de distribuição de

água era feito manualmente (por utilização do método de Hardy Cross, único método viável para

cálculo manual), as perdas de carga eram avaliadas conforme indicado. Por outro lado, para

reduzir o volume de cálculos a efectuar era vulgar proceder a uma simplificação do traçado da

rede de distribuição considerando, para efeitos de cálculo, apenas um esqueleto da mesma, que

podia ser obtido da seguinte forma:

desprezando as condutas de muito pequeno diâmetro (até 60 a 80 mm de diâmetro,

em sistemas de dimensões médias, ou mesmo até 200 a 250 mm de diâmetro, em

grandes sistemas), após um exame cuidado;

desprezando as condutas perpendiculares ao sentido geral do escoamento e com

mais ou menos a mesma cota piezométrica desejável nas suas extremidades;

substituindo os grupos de ramais, com caudais de cálculo pequenos, por um só ramal

equivalente.

Com o surgimento dos computadores, em particular dos computadores pessoais, foram sendo

desenvolvidos algoritmos de cálculo, utilizando, numa primeira fase (escola francesa), o conceito

de caudal equivalente anteriormente referido. No entanto, estes algoritmos apresentavam

problemas de estabilidade numérica.

Os algoritmos desenvolvidos pelos anglo-saxónicos (Estados Unidos da América e Reino Unido)

abandonaram aquela forma de calcular as perdas de carga e passaram a considerar os caudais

de percurso nos troços concentrados nos nós. Por exemplo, para um dado troço admitindo que

metade do consumo de percurso nesse troço é concentrada no nó de montante e a restante

metade no nó de jusante.

Apesar deste procedimento constituir uma simplificação da realidade, a sua adopção permitiu

desenvolver algoritmos muito eficientes hoje disponíveis no mercado mundial, que permitem




calcular as condições de equilíbrio hidráulico de uma rede de distribuição de água, mesmo de

dimensões significativas (elevado número de troços, nós e malhas), em escassos segundos, num

computador pessoal.

Um exemplo é o algoritmo (designado por EPANET - versão 2.0) disponibilizado, via Internet, gratuitamente, pela Environmental Protection Agency, dos Estados Unidos da América, organismo

federal responsável pelas questões de ambiente (disponível no site http://www.epa.gov/).

Para terminar este capítulo, resta descrever como pode ser feita a repartição do caudal de ponta

para satisfazer os consumos domésticos (assim como os consumos que podem ser incorporados

nos valores da capitação) pelos troços da rede de distribuição, de forma a poder concentrá-los nos

nós.

Uma das possibilidades, é introduzir o conceito de comprimento fictício; com sendo o

comprimento que é obtido da seguinte forma:

o comprimento fictício é igual ao comprimento real do troço (L f = L), nas condutas com

serviço de percurso de ambos os lados;

o comprimento fictício é metade do comprimento real do troço (L f = 0,5 L), nas

condutas com serviço de percurso dum só lado;

o comprimento fictício é nulo para condutas sem serviço de percurso (Lf = 0).

A partir da definição dos comprimentos fictícios dos troços, é possível determinar o caudal de

percurso unitário, que é o quociente entre o caudal de ponta para satisfazer os consumos

domésticos e o somatório dos comprimentos fictícios, ou seja:

sendo:

Qpercurso - caudal de percurso unitário [(L/(s.m)]




Qp - caudal de ponta instantâneo (L/s)

Lif - comprimento fictício no troço de tubagem i (m)

i - número de troços de tubagem na rede de distribuição (-)

Para determinar o caudal consumido num troço de tubagem basta multiplicar o Qpercurso pelo

comprimento fictício desse troço e, a partir daí, concentrar, por exemplo, metade desse consumo

no nó de montante e a restante metade no nó de jusante, como já foi anteriormente referido.

5. FORMULAÇÃO DAS CONDIÇÕES DE EQUILÍBRIO HIDRÁULICO

5.1 Considerações gerais e conceitos

Os sistemas de distribuição de água (e não apenas a rede de distribuição de água) são

constituídos um conjunto mais ou menos complexo de tubagens, instalações elevatórias e/ou

sobrepressoras, reservatórios e diversos tipos de outros órgãos.

As expressões de avaliação de perdas de carga contínuas estabelecem as relações entre as

seguintes cinco variáveis: comprimento, diâmetro, caudal, perda de carga e rugosidade. Em geral,

no projecto são conhecidos os comprimentos (determinados pelo traçado da rede) e as

rugosidades (determinados pelo tipo de material utilizado), pelo que o engenheiro terá de obter a

solução para uma das restantes três. Enquanto que a determinação do caudal e da perda de

carga é fundamentalmente um problema hidráulico, a definição do diâmetro é, além disso, um

problema económico.

Na maior parte das situações em sistemas de distribuição de água, não se conhecem os caudais

nas tubagens; pelo contrário, apenas se conhecem os caudais saídos do sistema e a energia

disponível num ou mais pontos de alimentação (reservatórios ou estações elevatórias).

Consequentemente, a determinação das respectivas condições de funcionamento hidráulico

consiste no cálculo da distribuição dos caudais nas tubagens e das cotas piezométricas (ou

pressão) em cada um dos nós, conhecendo a energia disponível em pelo menos um dos pontos

do sistema. O sistema de distribuição considera-se resolvido quando são conhecidas as cotas

piezométricas (ou pressões) nos nós e os caudais em todas as tubagens, com o rigor pretendido.




Nas suas linhas gerais, a definição das condições de equilíbrio hidráulico dos sistemas é

estabelecida com base nas equações da continuidade e da conservação da energia e, para além

disso, numa relação entre caudal e perda de carga, aspectos discutidos no Documento Sistemas de Adução. O tipo de técnica exigida para a formulação e obtenção da solução de um dado

problema depende, essencialmente, da configuração do sistema de distribuição de água.

Em geral, os aspectos relacionados com a análise de sistemas de distribuição de água podem ser

agrupados nas seguintes categorias:a) topologia do sistema (ramificados, ramificados com diversos pontos de alimentação,

malhados e mistos);b) tipo de formulação do problema (equações dos troços, dos nós ou das malhas, como se

verá mais tarde);c) método utilizado na resolução do sistema de equações (Hardy-Cross, Newton-Raphson,

Teoria Linear ou outros); d) a forma como a variável tempo é considerada na análise do sistema (permanente, quasi-

-permanente ou transitório).

A discussão dos aspectos relativos às categorias a que se referem as alíneas a) e b) será feita no

presente Capítulo. No Capítulo seguinte, apresentam-se os aspectos relativos à alínea c); no

âmbito deste Documento, não serão discutidos, no entanto, os aspectos relativos aos regimes

quasi-permanentes e transitórios.

Como se referiu no Capítulo 2, os sistemas de distribuição de água podem ser malhados ou

ramificados (aqui não se referem os sistemas mistos, uma vez que são uma conjugação destes

dois).

Nos primeiros (sistemas malhados) (Figura 2), há necessidade de utilizar simultaneamente as

equações da continuidade e da conservação da energia para a definição das condições de

equilíbrio hidráulico, ou seja, para a determinação dos caudais nas tubagens, o que torna esta

classe de problemas de mais difícil resolução.

Nos segundos (sistemas ramificados) (Figura 1), em que apenas existe um ponto de alimentação

do sistema(1) e, por outro lado, não existem malhas (define-se malha como um conjunto de

1 (?) No âmbito do presente Documento define-se nó de alimentação aquele que tem uma cota piezométrica fixa e através do qual há entrada de caudal no sistema; são exemplos deste tipo de nós os reservatórios e as estações




tubagens que formam um circuito fechado), é possível calcular, dados os caudais concentrados

nos nós, os respectivos caudais nas tubagens sem ter que resolver a equação da conservação da

energia. Neste caso, o cálculo consiste em aplicar o princípio da continuidade aos nós e aplicar

uma relação perda de carga / caudal para a determinação das cotas piezométricas nos nós.

Nos sistemas malhados incluem-se, não só os sistemas malhados propriamente ditos, mas

também aqueles que, não apresentando malhas físicas, englobam, por exemplo, dois (ou mais)

pontos de alimentação. Neste último caso, o sistema pode ser idealizado como se fosse

constituído por uma malha (designada daqui em diante por malha imaginária ou fictícia) formada

pelo conjunto de tubagens que unem os dois pontos de alimentação e por uma tubagem fictícia

com uma perda de carga exactamente igual à diferença das cotas piezométricas entre aqueles

dois pontos.

Este conceito aplica-se, também, aos sistemas malhados que apresentam mais do que um ponto

de alimentação, como se ilustra na Figura 2. Neste exemplo, a malha imaginária é formada pelas

tubagens reais (1) a (6) e pela tubagem fictícia (7), cuja perda de carga é igual à diferença entre a

energia total imediatamente a montante da estação elevatória (E.E.) e a cota do nível de água no

reservatório R. Por generalização, o número de malhas imaginárias num dado sistema de

distribuição de água é sempre igual ao número de pontos de alimentação existentes menos um.

Resta precisar alguns aspectos da terminologia relativa à configuração dos sistemas de

distribuição de água , a qual será utilizada daqui em diante. Assim, as secções terminais de cada

tubagem são designadas por nós, os quais podem ser de dois tipos diferentes: os nós de junção ou os nós de cota piezométrica fixa.

Um nó de junção é aquele onde se verifica a união de duas ou mais tubagens ou, ainda, onde

ocorre uma saída ou entrada pontual de caudal no sistema. Um nó de cota piezométrica fixa,

como o próprio nome indica, é aquele em que a cota piezométrica é constante, como por exemplo

a ligação a um reservatório.

Para além disso, existem as malhas que, como se referiu anteriormente, podem ser definidas

como o conjunto de tubagens que formam um circuito fechado no sistema de distribuição. De

elevatórias.




entre estas, há que distinguir, ainda, as malhas naturais, como sendo as que não contêm

nenhuma outra no seu interior.

Para um sistema de distribuição de água constituído por T tubagens, N nós de junção e F nós de

cota piezométrica fixa verifica-se que o número de malhas naturais (M) pode ser calculado através

da seguinte relação fundamental (ver exemplo nas Figuras 1 e 2):

M = T - N - (F - 1) [1]

5.2 Estações elevatórias e sobrepressoras

5.2.1 Conceitos fundamentais e curvas caracteríticas dos grupos electrobomba(2)

As estações elevatórias e sobrepressoras constituem órgãos ou elementos especiais que, devido

ao modo como funcionam e à sua importância em termos energéticos, requerem um tratamento

particular quando se pretende formular matematicamente um sistema de distribuição de água. No

presente parágrafo, apresentam-se e discutem-se os métodos correntemente utilizados para

representar este tipo de elementos especiais na perspectiva da moderação matemática dos

sistemas. Dado que na grande maioria dos sistemas de distribuição de água, as bombas

instaladas são centrífugas (ou radiais), a apresentação que se segue abrange apenas este tipo.

Define-se capacidade nominal de um grupo electrobomba como o par de valores altura de

elevação (H) e caudal (Q) para o rendimento máximo; para caudais superiores ou inferiores a Q, o

correspondente rendimento da bomba é sempre menor do que aquele valor máximo. Por outro

lado, a relação entre a altura de elevação e o caudal, H = f (Q), para o número de rotações do

respectivo motor, designa-se usualmente por curva característica do bomba (Figura 4).

Para determinar o ponto para o qual a bomba irá funcionar, é necessário determinar a resistência que a bomba deve vencer. No entanto, como esta resistência depende do caudal escoado, é

indispensável, ainda, definir a chamada curva característica do sistema, a qual representa a

relação entre o caudal e a energia necessária para elevar a água, vencer as perdas de carga nas

2 (?) Neste parágrafo apresentam-se estritamente os conceitos essenciais do funcionamento hidráulico de bombas para efeitos de formulação matemática de sistemas de distribuição de água.




tubagens de aspiração e impulsão e, ainda, para manter as pressões desejadas a jusante ou

atingir as cotas em reservatórios.

Figura 4- Curvas características da bomba e do sistema - pontode funcionamento da bomba

Estas curvas podem ser obtidas pela aplicação do teorema de Bernoulli entre dois pontos 1 e 2

(por exemplo, dois reservatórios), o que corresponde à aplicação da seguinte expressão:

Eb=z2 - z1 +(p2 - p1) / +H [2]

sendo:

Eb - altura de elevação exigida à bomba

z2 - cota no ponto 2 (jusante)

z1 - cota no ponto 1 (montante)

p2 - pressão no ponto 2

p1 - pressão no ponto 1

H - perda de carga total entre os pontos 1 e 2 (incluindo as contínuas e localizadas)

- peso volúmico do fluido

Na expressão anterior, enquanto que os termos correspondentes às cotas não dependem do

caudal, a mesmo não se passa relativamente a H que, pelo contrário, é muito dependente

daquela variável. Na Figura 5, apresentam-se alguns exemplos ilustrativos do conceito

desenvolvido. Por vezes, a expressão [2] é apresentada da seguinte forma alternativa.




Eb = Hg + H = Hg + K Qn [3]

sendo Hg a altura geométrica de elevação e K o coeficiente de perda de carga.

O ponto de intersecção, no plano (Q, H) da curva característica da bomba, H = f (Q), para o

número de rotações do respectivo motor, com a curva (curva característica do sistema) que

exprime, em função do caudal, a altura total de elevação exigida pela instalação, designa-se por

ponto de funcionamento (ponto P na Figura 4).

No entanto, para determinar numérica ou analiticamente o ponto de funcionamento da bomba na

perspectiva da modelação matemática de sistemas de distribuição de água, é conveniente

representar a curva característica da bomba por uma expressão. Para este fim, têm sido utilizados

pelos diversos autores três métodos alternativos, os quais são conceptualmente muito

semelhantes. Todos eles determinam a expressão de curva característica da bomba, a partir de

três pares de valores (Q1, H1), (Q2, H2) e (Q3, H3) com base em técnicas de aproximação

polinomial.

Assim, nos dois primeiros métodos considera-se que a curva característica da bomba pode ser

aproximada por uma parábola, como a seguir se indica:

Eb = A Q2 + B Q + C [4]

sendo:

Q - caudal bombado

A, B - coeficientes de regressão

C - altura de elevação em vazio

Estes dois primeiros métodos apenas diferem na forma como é feita a aproximação polinomial, ou

seja, a determinação dos parâmetros A e B e o valor de C, a partir dos três pares de valores

(Q, H).




No primeiro método, os valores de A, B e C são calculados a partir duma aproximação polinomial

com base em três pares de valores arbitrários (Q, H), através das seguintes expressões:

X1 = H1 / [(Q1 - Q2) (Q1 - Q3)] [5]

X2 = H2 / [(Q2 - Q1) (Q2 - Q3)] [6]

X3 = H3 / [(Q3 - Q1) (Q3 - Q2)] [7]

A = X1 + X2 + X3 [8]

B = X1 (Q2 + Q3) - X2 (Q1 + Q3) - X3 (Q1 + Q2) [9]

C = X1 (Q2 Q3) + X2 (Q1 Q3) + X3 (Q1 Q2) [10]

Figura 5- Exemplos de curvas características do sistema (adaptado de Walski, 1984)

Neste método, há que ter certas precauções na forma como são escolhidos os pares de valores

(Q, H), uma vez que fora do intervalo |Q1, Q3| a aproximação polinomial apresentada pode




conduzir a resultados incorrectos. De facto, mesmo que a escolha dos pares de valores (Q, H)

seja tal que o caudal bombado para as condições de equilíbrio hidráulico do sistema de

distribuição caia dentro do intervalo |Q1, Q3|, pode acontecer que ao longo do processo iterativo do

procedimento numérico de resolução do sistema de equações ocorram situações em que essa

condição não se verifique. Este facto pode conduzir a instabilidades numéricas ou à divergência

do procedimento numérico. Este aspecto pode ser ultrapassado, na maioria dos casos, desde que

a escolha do par (Q1, H1) corresponda a valores iguais ou muito próximos da altura de elevação

em vazio.

No sentido de ultrapassar automaticamente este aspecto, a segundo método consiste num

processo simples de calcular os parâmetros A e B conhecendo a altura de elevação em vazio (C)

e dois outros pares de valores (Q2, H2) e (Q3, H3). Nestas condições. o parâmetro B pode ser

determinado pela expressão:

B = [(H3 - C) - (H2 - C) (Q3 / Q2)2] / [Q3 - Q2 (Q3 / Q2)2] [11]

Uma vez conhecido o parâmetro B, o valor de A pode ser obtido da seguinte forma:

A = (H2 - C - Q2 B) / Q22 [12]

Neste segundo método, os coeficientes podem ser calculados, em alternativa, por um processo

gráfica, dividindo a expressão [4] por Q e traçando Q em função de (H - C) / Q. Obtém-se, assim,

uma recta cuja inclinação e ordenada na origem representam A e B, respectivamente.

No terceiro método considera-se que a curva característica da bomba é aproximada por uma

expressão do seguinte tipo (Figura 6):

Eb = C - A Qn [13]

sendo A e n parâmetros calculados fazendo passar a curva pelos pares de valores (Q2, H2) e

(Q3, H3). As expressões para o cálculo de A e n são as que a seguir se indicam:

n = log [(C - H3) / (C - H2)] /log (Q3/Q2) [14]




A = (C - H2) / Q2n [15]

A expressão [13] é válida para o domínio 0 Q Q3. No entanto, para valores de caudal acima

de Q3, a curva característica da bomba é aproximada por uma recta da seguinte forma:

Eb = B + S Q [16]

sendo S e B calculados pelas expressões:

S = - n A Q3n-1 [17]

B= H3 - S Q3 [18]

Figura 6- Curva característica da bomba - terceiro método

EXEMPLO

Considere-se que a curva característica de um grupo electrobomba é definida pelos seguintes

pares de valores (Q, H):

Q1 = 0,025 m3/s; H1 = 12,0 m

Q2 = 0,040 m3/s; H2 = 10,5 m

Q3 = 0,055 m3/s; H3 = 8,0 m




Sabendo que a altura de elevação em vazio é de 12,28 m, determinar as expressões matemáticas

da curva característica pelos três métodos apresentados anteriormente. Para o segundo método,

determinar, ainda, os parâmetros A e B pelo processo gráfico.

Método 1

Neste caso, substituindo directamente os valores nas expressões [5] a [10], obtém-se:

X1 = 12,0 / [(0,025 - 0,040) (0,025 - 0,055)] = 26666,67

X2 = 10,5 / [(0,040 - 0,025) (0,040 - 0,055)] = - 46666,67

X3 = 8,0 / [(0,055 - 0,025) (0,055 - 0,040)] = 17777,78

A = 26666,67 - 46666,67 + 17777,78 = - 2222,22

B = - 26666,67 (0,040 + 0,055) + 46666,67 (0,025 + 0,055) - 17777,78 (0,025 + 0,040) = 44,444

C = 26666,67 (0,040 x 0,055) - 46666,67 (0,025 x 0,055) + 17777,78 (0,025 x 0,040) = 12,28

Consequentemente, a expressão matemática da curva característica é a seguinte:

Eb = - 2222,22 Q2 + 44,444 Q + 12,28

Método 2 (analiticamente)

Substituindo directamente os valores nas expressões [11] e [12], obtém-se:

B = [(8,0 - 12,28) - (10,5 - 12,28) (0,055 / 0,040)2] / [0,055 - 0,040 (0,055 / 0,040)2] = 44,348

A = (10,5 - 12,28 - 0,040 x 44,349) / 0,0402 = - 2221,21

pelo que a expressão matemática da curva característica é a seguinte:

Eb = - 2221,21 Q2 + 44,348 Q + 12,28

Método 2 (graficamente)




Dado que C = 12,28 m, é possível obter o quadro de valores de Q e (H - C) / Q que a seguir se

indica:

Q H (H - C) / Q

0,025 12,0 - 11,2

0,040 10,5 - 44,5

0,055 8,0 - 77,82

Na Figura 7, apresenta-se o traçado gráfico de Q em função de (H - C) / Q, o que permite calcular

B 44 (ordenada na origem). A inclinação da recta (parâmetro A) pode ser calculada como se

segue:

A = (- 11,2 + 77,82) / (0,025 - 0,055) = - 2220,67

Figura 7- Curva característica da bomba - método gráfico

Método 3

Os parâmetros n e A são calculados substituindo os correspondentes valores nas expressões [14]

e [15], obtendo-se:

n = log [(12,28 - 8,0) / (12,28 - 10,5)] / log (0,055 / 0,040) = 2,755

A = (12,28 - 10,5) / 0,0402,755 = 12639,93




Por outro lado, os parâmetros S e B são calculados substituindo os valores nas expressões [17] e

[18], obtendo-se:

S = - 2,755 x 12639,93 x 0,0551,755 = - 214,39

B = 8,0 + 214,39 x 0,055 = 19,79

Nestas condições, as expressões matemáticas da curva característica são as seguintes:

Eb = 12,28 - 12639,93 Q2,755 (para 0 < Q < Q3)

Eb = 19,79 - 214,39 Q (para Q > Q3)

Uma vez conhecidas as curvas características da bomba e do sistema, o ponto de funcionamento

pode ser calculado igualando as expressões [3] e [4] ou [13]. No caso de se utilizar a expressão

[4], obtém-se a seguinte equação na forma implícita:

AQ2 + BQ + C - Hg - K Qn = F (Q) = 0 [19]

cujos símbolos têm o significado já anteriormente apresentado. No caso do expoente n ser

diferente de 2 (por exemplo, para a expressão de Hazen - Williams n = 1,852), a equação [19] não

é explicitável em ordem a Q.

Nestas condições, há que usar um processo numérico iterativo para calcular a raiz da equação

(método de Newton), cuja expressão de recorrência é a seguinte:

Qi + 1 = Qi - F (Qi) / F’ (Qi) [20]

sendo:

Qi+1 - caudal na iteração de ordem (i + 1)

Qi - caudal na iteração de ordem (1)

F (Qi) - valor da função F (Q) para Q = Qi

F' (Qi) - valor da derivada da função F (Q) para Q = Qi




Achando a derivada da equação [19] e substituindo F (Q) e F’ (Q) na expressão de recorrência

[20], obtém-se:

[21]

Note-se que na expressão anterior, por simplicidade de simbologia, foi omitido o índice i dos

termos correspondentes a Q.

5.2.2 Associação de bombas em paralelo e série

Em sistemas de distribuição de água, são raras as situações em que na estação elevatória ou

sobrepressora apenas existe instalado um grupo electrobomba. Pelo contrário, a situação mais

corrente consiste em associar duas ou mais bombas funcionando em paralelo, sendo o seu

número seleccionado, em cada caso, não só em termos de custo, mas também da fiabilidade do

sistema.

Figura 8- Associação de bombas em paralelo

Para além disso, é habitual instalar nas estações elevatórias grupos de reserva, os quais se

destinam a substituir os que estão em funcionamento, em caso de avaria destes. Em situações

especiais, principalmente para vencer grandes alturas de elevação, ainda se podem associar

bombas em série.




Se duas (ou mais) bombas funcionam em paralelo, a curva característica do conjunto obtém-se

somando as abcissas das curvas características H = f (Q) correspondentes, para cada bomba, a

uma mesma altura total de elevação (Figura 8).

Na associação de bombas em série, a curva característica do conjunto é dada pela soma das

ordenadas das curvas H = f (Q) correspondentes, para cada bomba, a um mesmo caudal (Figura

9).

Figura 9- Associação de bombas em série

Em ambos os casos, o ponto de funcionamento é dado pela intersecção das curvas

características conjunto das bombas e do sistema (ponto P das figuras referidas).

5.3 Equações fundamentais de equilíbrio hidráulico

5.3.1 Introdução

A análise do equilíbrio hidráulico de sistemas de distribuição de água malhados é baseada, como

já anteriormente referido, nas duas leis fundamentais da mecânica dos fluidos, a da continuidade

e a da conservação da energia, e, para além disso, numa relação entre o caudal (ou velocidade) e

a perda de carga (ou variação de pressão), estabelecida através das equações de Darcy - Weisbach (associada à equação implícita de Colebrook - White), Manning - Strickler ou Hazen - Williams.




Em termos gerais, esta análise requer a resolução de um sistema de equações não - lineares

frequentemente com um elevado número de incógnitas, dependendo a sua dimensão da

complexidade do sistema de distribuição de água em jogo.

A formulação matemática deste tipo de problemas pode ser dividida em duas etapas, a saber:

a primeira, compreende a formulação do problema, isto é, o desenvolvimento do sistema de

equações de forma a que o número de incógnitas iguale o número de equações

independentes;

a segunda, consiste na resolução do sistema resultante utilizando um procedimento

numérico adequado.

No presente Capítulo, desenvolvem-se as metodologias disponíveis relativas à primeira etapa,

remetendo-se para o Capítulo 8 a discussão dos procedimentos numéricos de resolução.

Na primeira etapa, ou seja, na formulação matemática das condições de equilíbrio hidráulico do

sistema de distribuição de água, em regime permanente, é possível equacionar o problema por

três vias alternativas.

a) equações dos troços, que consiste em escrever as equações da continuidade (lei dos nós) e da conservação da energia (lei das malhas), em termos do caudal em cada tubagem (Q);

b) equações dos nós, que consiste em escrever apenas as equações da continuidade, em termos das cotas piezométricas nos nós de junção (H);

c) equações das malhas, que consiste em escrever as equações da conservação da energia, em termos das correcções de caudal em cada malha do sistema, natural ou imaginária (Q).

Nos parágrafos que se seguem analisam-se e discutem-se, primeiramente, as três vias

alternativas de formulação enunciadas, definindo-se, para cada um dos casos, as equações

básicas do equilíbrio hidráulico dos sistemas, que englobem, para além do conjunto de tubagens,

elementos especiais do tipo estações elevatórias ou sobrepressoras e reservatórios. Apresenta-

se, para cada um dos casos, um exemplo de aplicação.




5.3.2 Equações dos troços

A formulação do equilíbrio hidráulico no caso das equações dos troços consiste em considerar

como incógnitas do problema os caudais nos troços (Q), escrevendo uma equação de

continuidade por cada nó de junção e uma equação de conservação da energia por cada malha

natural e imaginária do sistema de distribuição. Nestas condições, e tendo presente a relação

fundamental [1], é possível escrever tantas equações da continuidade e da conservação da

energia quantas as tubagens que constituem o sistema.

Para cada nó de junção, e apenas para os nós deste tipo, as equações de continuidade podem

ser traduzidas pela seguinte expressão:

(N equações) [22]

sendo:

Qji - caudal convergente no nó i a partir do nó j

NC - número de tubagens convergentes no nó i

Qi - caudal saído (consumo concentrado no nó) no nó de junção i (negativo se se tratar

de entrada de caudal)

Para cada uma das malhas naturais, as equações da conservação da energia podem ser

traduzidas pela seguinte expressão:

(M equações) [23]

sendo:

Hℓ - perda de carga total da tubagem de ordem ℓ pertencente à malha para a qual está a

ser escrita a equação, incluindo as perdas de carga localizadas

Ebj - energia fornecia ao sistema nessa malha pela estação elevatória ou sobrepressora j

NT - número de tubagens na malha




NB - número de estações elevatórias ou sobrepressoras na malha

Por outro lado, se existirem F nós de cota piezométrica fixa, podem ser definidas (F - 1) equações

independentes da conservação da energia, para os percursos entre dois nós de cotas

piezométricas fixas (por exemplo, entre dois reservatórios ou entre um reservatório e uma estação

elevatória), com a seguinte forma:

(F - 1 equações) [24]

sendo E a diferença de cotas piezométricas entre os dois nós considerados e os restantes

símbolos têm o significado anteriormente referido. Note-se que a equação [23] pode ser

considerada como um caso particular da equação [24], em que E é zero para uma malha natural.

As equações da conservação da energia (equações [23] e [24]) podem ser expressas em função

dos caudais nas tubagens, os quais constituem as incógnitas do problema, da forma que a seguir

se indica. A perda de carga total numa tubagem ℓ do sistema de distribuição pode ser expressa

em termos do caudal Qℓ e do respectivo coeficiente de perda de carga da tubagem Kℓ (função do

comprimento, do diâmetro arbitrado e do coeficiente de rugosidade), através da seguinte

expressão(3):

Hℓ = Kℓ Qℓn = Kℓ Qℓ |Qℓ|n-1 [25]

Nesta formulação, assim como nas restantes, é fundamental definir o sentido de escoamento em

relação ao qual o caudal é considerado como positivo (sentido directo ou retrógrado para as

malhas naturais ou, ainda, no sentido da cota piezométrica mais elevada para a mais baixa, no

caso das malhas imaginárias). Na expressão [25] ao escrever-se Qℓ |Qℓ|n-1 pretende-se atingir o

objectivo referido. Uma via alternativa de concretizar o mesmo objectivo, consiste em escrever

estes termos sob a forma sgn Q IQln, atribuindo-se a (sgn Q) o valor + 1 se Q > 0 e -1, no caso

contrário. Por exemplo, se Q = - 5 L/s e n = 2 (fórmula de Manning - Strickler), sgn (-5) |- 5|2 = (- 1)

(25) = -25 L/s.

3(?) K = (10,29 L) / (Ks2 D16/3) para a expressão de Manning-Strickler (n = 2)

K = (10,70 L) / (C1,852 D4,87) para a expressão de Hazen-Williams (n = 1,852)sendo:

D - diâmetro da tubagem (m)L - comprimento da tubagem (m)Ks, C - coeficientes de rugosidade, respectivamente de Manning-Strickler e de Hazen-Williams.




Por outro lado, como se referiu anteriormente, as curvas características dos grupos electrobomba

das estações elevatórias ou sobrepressoras podem ser aproximadas por urna equação quadrática

(obtida pelas técnicas descritas no parágrafo anterior, a partir de pares de valores (Q, H)) do

seguinte tipo:

Eb = A Q2 + BQ + C [26]

sendo Eb a energia fornecia ao sistema pela estação elevatória ou sobrepressora, Q o caudal que

passa pelas bombas e A, B e C parâmetros.

Substituindo as expressões do tipo [25] e [26] nas equações [23] e [24] anteriores, obtém-

-se um conjunto de equações não - lineares, as quais incluem apenas os caudais nas tubagens do

sistema de distribuição, que constituem as incógnitas do problema. Na sua globalidade, este

problema resume-se, de facto, à resolução de um sistema de equações com N equações lineares

(continuidade nos nós de junção) e [M + (F - 1)] equações não - lineares com T incógnitas.

EXEMPLO

Neste exemplo de aplicação, ilustra-se o desenvolvimento dos princípios enunciados, relativos à

formulação do equilíbrio hidráulico através das equações dos troços. Para o efeito, considere-se o

sistema de distribuição esquematizado na Figura 10, constituído por 8 tubagens, 5 nós de junção,

dois nós de alimentação (um reservatório e uma estação elevatória), cujas características se

apresentam na mesma figura, e uma válvula de seccionamento inserida na tubagem 3. Neste

caso, as condições de equilíbrio hidráulico são traduzias, por um lado, pelas 5 equações lineares

correspondentes ao principio da continuidade para os 5 nós de junção do sistema, e que são as

seguintes:

F1 = Q1 - Q4 - Q7 + 0,03 = 0; F2 = Q5 + Q2 - Q1 + 0,035 = 0

F3 = Q6 - Q2 - Q3 + 0,04 =0; F4 = Q3 + Q4 - Q8 + 0,0 = 0

F5 = - Q5 - Q6 + 0,04 = 0 [27]




Por outro lado, existem três equações da conservação da energia (duas para as malhas naturais I

e II e uma para a malha imaginária III) traduzidas pelas seguintes expressões(4):

F6 = K1 sgn Q1 |Q1|2 + K2 sgn Q2 |Q2|2 + (K3 + 2/2g A32) sgn Q3 |Q3|2 +

+ K4 sgn Q4 |Q4|2 = 0

F7 = K5 sgn Q5 IQ5|2 + K6 sgn Q6 IQ6|2 + K2 sgn Q2 IQ2|2 = 0

F8 = K7 sgn Q7 IQ7|2 - Eb + K4 sgn Q4 IQ4|2 + K8 sgn Q8 IQ8|2 + 10 = 0 [28]

Nestas expressões Qℓ (ℓ = 1, 2, . . ., 8) são os caudais nas tubagens, ou sejam, as incógnitas do

problema, Kℓ (ℓ = 1, 2, . . ., 8) os respectivos coeficientes de perda de carga, cujos valores constam

na Figura 10, A3 a área da secção transversal da tubagem 3 e Eb a energia fornecida ao sistema

pela estação elevatória B1. Note-se que, relativamente à tubagem 3, pelo facto de existir uma

válvula de seccionamento o correspondente coeficiente de perda de carga é acrescido do valor

KL / 2 g A32 (KL = 2).

Para completar a formulação do sistema de equações anterior, resta discutir o termo Eb da

equação da conservação da energia para a malha imaginária III, que a seguir se apresenta. Como

se referiu anteriormente, para quantificar a energia (Eb) fornecia ao sistema por estações

elevatórias ou sobrepressoras, é habitual aproximar as curvas características dos grupos

electrobomba por uma equação quadrática do tipo da expressão [26].

No entanto, a substituição directa desta expressão nas equações [28], embora definisse o sistema

de equações totalmente em termos das incógnitas Q, não permitia garantir a sua convergência

numérica, e essa convergência, quando conseguia, seria atingida lentamente.

Para melhorar esta situação, torna-se necessário proceder a uma transformação de variáveis,

descrita pela primeira vez por JEPPSON E TRAVALLEE 1975, de tal forma que a incógnita que

substitui Eb tenha um expoente da mesma ordem de grandeza do n (n = 2, neste caso). Esta

transformação é a seguinte:

G = Q + (B / 2A) [29]

4(?) Com base na fórmula de Manning-Strickler (n = 2).




sendo G a nova variável e A e B os parâmetros da equação [26].

Para justificar a adequação da expressão [29], explicita-se Q em função de G e B / 2A e substitui-

se na equação [26]. A expressão resultante é a seguinte(5):

5(?) Neste exemplo A = -2222,219; B = 44,446 e C = 12,28 (ver Figura 10).




Figura 10- Representação esquemática do sistema de distribuição


nós



Eb = A G2 + H0 (com H0 = C - B2 / 4A) [30]

Embora esta substituição introduza uma nova incógnita (G), o problema pode ser ultrapassado

pela consideração de uma equação linear adicional (com base na equação de transformação

[29]):

F9 = G - Q7 - (B / 2A) = 0 [31]

Em termos gerais, por cada estação elevatória inserida no sistema de distribuição é necessário

considerar uma variável adicional e uma equação linear complementar do tipo referido em [31].

5.3.3 Equações dos nós

Para o caso das equações dos nós, a análise é baseada em termos das cotas piezométricas em

cada nó de junção do sistema de distribuição, que constituem as incógnitas, por combinação da

equação da energia para cada tubagem com a equação, da continuidade para cada nó.

Como se viu anteriormente, a equação da perda de carga total para uma tubagem entre os nós j e

i é dada por (6), a qual pode ser escrita, em alternativa, da seguinte forma:

[32]

sendo:

Hj, Hi - cotas piezométricas nos nós de junção j e i, respectivamente

Kji - coeficiente de perda de carga na tubagem do nó j para o nó i

Qji - caudal escoado na tubagem do nó j para o nó i

nji - expoente da fórmula de perda de carga na tubagem do nó j para o nó i

Por outro lado, uma vez que a perda de carga é do mesmo sinal do sentido do escoamento, o que

equivale a sgn Qji = sgn (Hj - Hi), a expressão anterior pode ser resolvida em ordem a Q, obtendo-

6 (?) Note-se que esta notação é diferente da antecedente, uma vez que para este caso as tubagens são designadas pelos índices dos nós a montante (j) e jusante (i), enquanto que anteriormente aquelas foram definidas pelo respectivo número de ordem.




-se:

[33]

Nesta expressão, considera-se que não existem estações elevatórias ou sobrepressoras na

respectiva tubagem. Substituindo a expressão [33] na equação da continuidade [22], obtém-

-se:

(N equações) [34]

que representa a equação da continuidade para o nó de junção i, no qual convergem NC

tubagens, em termos da cota piezométrica em i (Hi) e das cotas piezométricas nos nós adjacentes

j (Hj), com j = 1, 2, . . . , NC.

No caso de existirem estações elevatórias ou sobrepressoras no sistema de distribuição, estas

são consideradas na formulação matemática do problema por ampliação do conjunto de equações

anteriores, criando dois nós de junção adicionais, imediatamente a montante e jusante da

correspondente estação elevatória ou sobrepressora.

Desta forma, podem ser escritas duas equações adicionais expressas em termos das cotas

piezométricas a montante e a jusante da estação elevatória ou sobrepressora (que são novas

incógnitas) e das cotas piezométricas dos correspondentes nós adjacentes.

A primeira equação define o princípio da continuidade do caudal nas tubagens a montante e a

jusante da estação (utilizando expressões do tipo da equação [22]), enquanto que a segunda

traduz a variação de energia que ocorre pela passagem do caudal na estação elevatória ou

sobrepressora.

Na sua globalidade, a formulação das condições de equilíbrio hidráulico de um sistema de

distribuição de água com N nós de junção e NB estações elevatórias e/ou sobrepressoras, através

das equações dos nós, resume-se, de facto, à resolução de um sistema de N + 2 NB equações

não - lineares.




EXEMPLO

Para ilustrar o desenvolvimento dos princípios enunciados anteriormente, considere-se o sistema

de distribuição de água do exemplo anterior, cuja esquematização se apresenta na Figura 10.

Neste caso, as equações que traduzem o equilíbrio hidráulico do sistema são as seguintes(7):

F1 = sgn (H2 - H1) (|H2 - H1| / K1)0,5 + sgn (H4 - H1) (|H4 - H1|) / K4)0,5 +

+ sgn (H7 - H1) (|H7 - H1| / K7")0,5 - 0,030 = 0 (nó 1)

F2 = sgn (H1 - H2) (|H1 - H2| / K1)0,5 + sgn (H3 - H2) (|H3 - H2|) / K2)0,5 +

+ sgn (H5 - H2) (|H5 - H2| / K5)0,5 - 0,035 = 0 (nó 2)

F3 = sgn (H2 - H3) (|H2 - H3| / K2)0,5 + sgn (H4 - H3) (|H4 - H3|) / K3’)0,5 +

+ sgn (H5 - H3) (|H5 - H3| / K6)0,5 - 0,040 = 0 (nó 3)

F4 = sgn (H1 - H4) (|H1 - H4| / K4)0,5 + sgn (H3 - H4) (|H3 - H4|) / K3’)0,5 +

+ sgn (195 - H4) (|195 - H4| / K8)0,5 - 0,000 = 0 (nó 4)

F5 = sgn (H2 - H5) (|H2 - H5| / K5)0,5 +

+ sgn (H3 - H5) (|H3 - H5|) / K6)0,5 - 0,04 = 0 (nó 5) [35]

Nas equações anteriores, Hi (i = 1, 2, . . ., 5 e 7) são cotas piezométricas nos nós de junção, ou

seja, incógnitas do problema e Kℓ (ℓ = 1, 2, 4, 5, 6 e 8) os coeficientes de perda de carga nas

tubagens respectivas. Para além disso, K7" é o coeficiente de perda de carga correspondente ao

comprimento da tubagem 7 entre a estação elevatória e o nó de junção [1]. Finalmente, K3' é o

coeficiente de perda de carga relativo ao comprimento equivalente(8) da tubagem 3, uma vez que

nela está inserida uma válvula de seccionamento(8).

Para terminar a formulação do sistema de equações deste exemplo, resta considerar as duas

equações adicionais correspondentes à estação elevatória B1. Para o efeito, foram criados os nós

[6] e [7] imediatamente a montante e jusante da estação elevatória (Figura 10), os quais acarretam

o aparecimento, como incógnitas, das cotas plezométricas H6 e H7, respectivamente.

7(?) Com base na fórmula de Manning-Strickler (nji = 2).8 (?) O comprimento equivalente é, neste caso, igual a 518,14 m.




De acordo com os princípios enunciados, devem ser escritas duas equações adicionais expressas

em termos destas cotas piezométricas. A primeira define o princípio da continuidade e a segunda

refere-se à variação da energia na estação elevatória, qualquer delas definidas relativamente às

condutas de aspiração e impulsão.

Para o efeito, primeiro é necessário resolver a equação [26] em ordem a Q, o que conduz à

seguinte expressão:

Qji = { - B + [B2 - 4A (C - Eb)]1/2 } / 2A [36]

Assim, para estação elevatória B1 as duas equações adicionais são as seguintes:

Continuidade

F6 = sgn (185 - H6) (|185 - H6| / K7')0,5 + sgn (H1 - H7) (|H1 - H7| / K7")0,5 = 0 [37]

Variação da energia

F7 = sgn (185 - H6) (|185 - H6| / K7')0,5 + { - B + [B2 - 4A (C - |H7 - H6|)] 1/2 } / 2A = 0 [38]

Nestas expressões K7' é o coeficiente de perda de carga correspondente ao comprimento da

tubagem 7 entre o reservatório de aspiração e o nó de junção [6], localizado imediatamente a

montante da estação elevatória; os restantes símbolos têm o significado anteriormente

apresentado.

5.3.4 Equações das malhas

No caso das equações das malhas, a formulação do problema é baseada apenas nas equações

da conservação da energia, de tal forma que se verifique o princípio da continuidade nos nós, para

uma estimativa inicial de caudais nas tubagens. A partir daqui, o problema consiste em corrigir

estes caudais iniciais garantindo sempre a continuidade nos nós.

Como se referiu anteriormente, a perda de carga numa tubagem ℓ do sistema de distribuição pode

ser expressa em termos do caudal Qℓ e do respectivo coeficiente de perda de carga da tubagem




Kℓ, através da expressão [25]. No entanto, o caudal Qℓ pode ser entendido como a soma de duas

parcelas.

A primeira, designada por Qoℓ, representa uma estimativa inicial do caudal na tubagem definida de

tal forma que, para o sistema de distribuição em conjunto, se verifique o princípio da continuidade

nos diferentes nós(9), e a segunda parcela, designada por Qm, que corresponde à correcção de

caudal relativa à malha que inclui a tubagem ℓ. Nestas condições, o conjunto de equações que

descreve o equilíbrio hidráulico do sistema de distribuição é o seguinte:

(M equações) [39]

(F - 1 equações) [40]

sendo:

Qoℓ - estimativa inicial do caudal na tubagem ℓ

Qm - correcção de caudal na malha m

Ebj - energia fornecida ao sistema pela estação elevatória ou sobrepressora j

pertencente à malha m

E - diferença entre as cotas piezométricas nos dois nós de cota piezométrica fixa na

malha imaginária m

NT - número de tubagens pertencentes à malha m

NB - número de estações elevatórias ou sobrepressoras na malha m

Nas equações anteriores, os Qoℓ são constantes para cada tubagem e não se alteram de iteração

para iteração.

Para além disso, os termos correspondentes às estações elevatórias ou sobrepressoras (Eb)

podem ser modificados seguindo um raciocínio idêntico ao apresentado anteriormente, desde que

o caudal Q seja substituído por (Q + Q) na expressão de transformação de variáveis [29].

9(?) No parágrafo 4.6.5 apresenta-se um algoritmo numérico para esta inicialização de caudais.




O problema anterior resume-se, portanto, à construção e resolução de um sistema de [M + (F - 1)]

equações não - lineares, cujas incógnitas são as correcções de caudal nas diferentes malhas do

sistema (Qm), quer se tratem de malhas naturais ou imaginárias.

EXEMPLO

Considere-se o sistema de distribuição de água cuja esquematização se apresenta na Figura 10.

Neste caso, existem três malhas, duas naturais (malhas I e II) e uma imaginária (malha III). No

entanto, como existe uma estação elevatória na malha imaginária III, o sistema de equações que

traduz as condições de equilíbrio hidráulico é constituído, para além das três equações não -

- lineares da conservação da energia, por uma adicional linear correspondente à transformação de

variáveis efectuada.

Estas equações são as seguintes:

F1 = K1 sgn (Qo1 + Q1) |Qo1 + Q1|2 + K2 sgn (Qo2 + Q1 -Q2)

Qo2 + Q1 - Q2|2 + K3' sgn (Qo3 + Q1) |Qo3 + Q1|2 + K4 sgn (Qo4 + Q1 - Q3)

|Qo4 + Q1 - Q3|2 = 0

F2 = K2 sgn (Qo2 + Q2 - Q1) |Qo2 + Q2 - Q1|2 + K5 sgn (Qo5 + Q2)

|Qo5 + Q2|2 + K6 sgn (Qo6 + Q2) |Qo6 + Q2|2 = 0

F3 = K4 sgn (Qo4 + Q3 - Q1) |Qo4 + Q3 - Q1|2 + K7 sgn (Qo7 + Q3)

|Qo7 + Q3|2 + K8 sgn (Qo8 + Q3) |Qo8 + Q3|2 + AG2 - Ho + 10 = 0

F4 = G - Q7 - (B / 2A) = 0 [41]

sendo Qoℓ (ℓ = 1, 2, . . . , 8) os caudais inicialmente arbitrados para cada tubagem, que verificam o

princípio da continuidade nos nós de junção, tendo os restantes símbolos o significado

anteriormente apresentado. As incógnitas do sistema de equações são Q1, Q2, Q3 e G.

A terminar, refira-se que nas equações anteriores sempre que uma tubagem é comum a duas

malhas é necessário associar dois Q, um respeitante à malha para a qual se está a escrever a




equação da conservação da energia e outro relativo à malha adjacente, mas com sinal trocado.

6. MÉTODOS DE RESOLUÇÃO DAS CONDIÇÕES DE EQULÍBRIO HIDRÁULICO

6.1 Introdução

No Capítulo anterior, apresentaram-se os princípios teóricos da formulação matemática das

condições de equilíbrio hidráulico de sistemas de distribuição de água. Analisaram-se,

primeiramente, as três alternativas de formulação do problema (equação dos troços, dos nós e

das malhas), definindo-se, para cada um dos casos, as equações básicas do equilíbrio hidráulico

para sistemas que incluíssem, para além do conjunto de tubagens, elementos especiais do tipo

estações elevatórias ou sobrepressoras e reservatórios. Apresentaram-se, ainda, para cada um

dos casos, exemplos de aplicação.

Neste Capítulo, apresentam-se os diferentes métodos disponíveis para a resolução das equações

que permitem estabelecer as condições de equilíbrio hidráulico dos sistemas. Primeiramente, faz-

se uma descrição sumária e geral destes métodos, à qual se segue a apresentação dos métodos

numéricos de Hardy Cross (equações das malhas), de Newton-Raphson (equações dos nós e das

malhas) e Teoria Linear (equações dos troços).

6.2 Descrição sumária dos métodos para a obtenção das condições de equilíbrio hidráulico

6.2.1 Equações dos troços e das malhas

Para a obtenção da solução do sistema de equações dos troços e das malhas, têm sido utilizados

três métodos, presentemente com grande divulgação, que sucintamente se descrevem em

seguida.

O primeiro método (correcções de caudal operadas individualmente para cada malha) foi

apresentado pela primeira vez por HARDY CROSS 1936, sendo o mais antigo é, provavelmente,

aquele que maior divulgação teve até ao momento.

Embora o método original se limitasse à análise de sistemas de distribuição malhados englobando

apenas tubagens (sem elementos especiais), tem sido generalizado ao longo do tempo, podendo




ser resumido da seguinte forma:

1º determinação de um conjunto inicial de caudais nas tubagens, definidas de forma a que se verifique o principio de continuidade nos diferentes nós do sistema;

2º cálculo individual da parcela de correcção de caudal para o conjunto de tubagens que formam uma malha, de tal forma que seja satisfeita a equação da conservação da energia para essa malha; a aplicação desta parcela de correcção não destrói o balanço do princípio da continuidade inicialmente estabelecido;

3º utilizando as soluções melhoradas em cada iteração, repete-se o passo 2, até que a parcela média de correcção esteja dentro de uma tolerância pré-definida.

A parcela de correcção de caudal para uma malha é calculada a partir da respectiva equação da

conservação da energia e destina-se a corrigir o caudal inicialmente arbitrado, de tal forma que

aquela equação seja satisfeita. No entanto, a correcção correspondente a uma dada malha

destruirá a conservação da energia para todas as malhas adjacentes, ou seja, aquelas que têm

tubagens em comum.

Cada tentativa para este método exige que sejam feitas as correcções de caudal para todas as

malhas do sistema de distribuição (M malhas naturais e F - 1 malhas imaginárias,

correspondentes aos nós de cotas piezométricas fixas), antes de se prosseguir para a iteração

seguinte.

O segundo método (correcções de caudal operadas simultaneamente para todas as malhas) foi

introduzido com o objectivo de aumentar a eficácia de convergência do método anterior (EPP e

FOWLER 1970). Neste método, determinam-se simultaneamente as correcções de caudal para

todas as malhas do sistema, ou seja, efectua-se a resolução directa do sistema de equações

correspondentes à conservação da energia em cada malha.

O método de resolução pode ser resumido da seguinte forma.

1º determinação de um conjunto inicial de caudais nas tubagens, definidos de forma a que se verifique o princípio da continuidade nos diferentes nós do sistema;

2º cálculo simultâneo da parcela de correcção de caudal para cada malha, de forma a que sejam satisfeitas as equações da conservação da energia sem que seja destruído o balanço do principio da continuidade inicialmente estabelecido;




3º utilizando as soluções melhoradas, repete-se o passo 2, até que a parcela média de correcção esteja dentro de uma tolerância pré-definida.

A determinação simultânea das correcções de caudal para cada malha exige a resolução de um

sistema de M + F - 1 equações. Cada equação entra em linha de conta com a falta de equilíbrio

da conservação da energia devido a valores de caudal incorrectos e inclui, para além da

contribuição própria da malha, as contribuições correspondentes às malhas adjacentes.

Neste método é construído um sistema de equações lineares (ver capítulo anterior), em termos

das correcções de caudal em cada malha do sistema, o qual pode ser resolvido por

procedimentos padrão para a resolução de sistemas de equações. A resolução deste sistema de

equações determina, numa dada iteração, um conjunto de caudais para as tubagens, os quais são

utilizados para a iteração seguinte. As iterações são repetidas até que as correcções de caudal

estejam dentro de limites de tolerância pré-definidos.

Finalmente, o terceiro método (Teoria Linear - WOOD e CHARLES 1972) baseia-se na resolução

simultânea do sistema de equações que define as condições de equilíbrio hidráulico do sistema de

distribuição (equações dos troços), por linearização das equações da conservação da energia

para as malhas, em termos dum valor aproximado de caudal Qoℓ em cada tubagem. Assim, as M +

F - 1 equações da conservação da energia são linearizadas, as quais quando combinadas com as

N equações de continuidade formam um sistema de equações lineares a T incógnitas, os caudais

em cada tubagem do sistema de distribuição.

Com base num valor inicial arbitrado para o caudal em cada tubagem do sistema, as equações

linearizadas são resolvidas por procedimentos padrão para a obtenção da solução de sistemas de

equações lineares. Este conjunto de caudais é utilizado para linearizar as equações da

conservação da energia, obtendo-se uma segunda solução. Esta metodologia é repetida até que

as variações de caudal entre duas iterações consecutivas sejam inferiores a uma dada tolerância

pré-definida.

6.2.2 Equações dos nós

Para a obtenção da solução das equações dos nós têm sido utilizados dois métodos, qualquer

deles de grande divulgação, e cuja descrição se apresenta em seguida.




O primeiro (correcção das cotas piezométricas operadas individualmente para cada nó de junção)

foi igualmente apresentado pela primeira vez por HARDY CROSS 1936. No entanto, este método

não teve tanta utilização no início como o das correcções de caudal operadas individualmente

para cada malha, embora seja bastante usado presentemente. O método de solução pode ser

resumido da seguinte forma.

1º Arbítrio das cotas piezométricas em cada nó de junção do sistema de distribuição. Embora este arbítrio inicial não tenha que obedecer a quaisquer condições, quanto mais próximo for o seu valor da solução correcta menor será o número de iterações a operar;

2º Cálculo da correcção da cota piezométrica para cada nó de junção do sistema de distribuição, o qual tenha tendência a satisfazer o princípio da continuidade nesse nó;

3º Repetição do passo anterior até que a parecela de correcção média para as cotas piezométricas esteja dentro de uma tolerância pré-definida.

Neste caso, o factor de correcção representa a variação de cota piezométrica num dado nó que

resulte da verificação do correspondente princípio da continuidade, considerando como fixas as

cotas piezométricas nos nós adjacentes. Neste método, cada iteração exige o ajustamento da

cota piezométrica em cada nó de junção do sistema de distribuição, terminando o processo

iterativo quando se atingir o critério de convergência pré-estabelecido.

O segundo método (correcções de cotas piezométricas operadas simultaneamente para todos os

nós) baseia-se na resolução simultânea do sistema de equações dos nós e exige a linearização

destas equações em termos de valores aproximados para as cotas piezométricas nos nós (SHAMIR

e HOWARD 1968). Esta metodologia conduz à resolução de um sistema de N + 2 NB equações

lineares, em que NB é o número de estações elevatórias e sobrepressoras inseridas no sistema

de distribuição.

O procedimento para a obtenção da solução é o que a seguir se descreve. O processo inicia-se

com o arbítrio de um conjunto de valores para as cotas piezométricas nos diferentes nós de

junção do sistema de distribuição, sendo nestas condições resolvido simultaneamente o sistema

de equações linearizadas referidas, de forma a ser obtido um novo conjunto de cotas

piezométricas nos nós.

Este conjunto de cotas piezométricas nos nós é de novo utilizado para linearizar as equações dos




nós, sendo o procedimento repetido até que seja atingido o critério de convergência pré-

estabelecido.

6.3 Método de Hardy Cross

6.3.1 Considerações introdutórias

O método numérico de Hardy Cross é, sem dúvida, o mais antigo e o de maior divulgação para o

cálculo das condições de equilíbrio hidráulico de sistemas de distribuição de água, fazendo parte

das matérias versadas na maioria dos livros de texto de hidráulica e de mecânica dos fluidos.

Antes do advento dos computadores, foi praticamente o único método utilizado. No entanto, com

as potencialidades cada vez maiores dos computadores, por um lado, e com a maior

complexidade dos sistemas a estudar, por outro, o método de Hardy Cross tem-se revelado de

lenta convergência e até com enormes riscos de divergência, apesar das melhorias significativas

que diversos investigadores têm introduzido no sentido de ultrapassar aqueles problemas. A

tendência natural tem sido a do seu abandono em favor dos métodos que serão discutidos nos

parágrafos 6.4 e 6.5, o de Newton-Raphson e o da Teoria Linear, métodos sem dúvida de maior

eficiência numérica.

O método de Hardy Cross pode ser utilizado para o estabelecimento das condições de equilíbrio

hidráulico formuladas através de qualquer dos três tipos de equações definidas no Capítulo

anterior (equações dos troços, dos nós e das malhas). No entanto, a forma mais usual da sua

aplicação é quando o problema do equilibro hidráulico é equacionado através das equações das

malhas, uma vez que conduz a um menor número global de equações. Por este motivo, na

apresentação que se segue será com base na equação das malhas que o método será

desenvolvido.

6.3.2 Fundamentos do método

O método de Hardy Cross é um processo iterativo por aplicação do método Newton, no qual, em

cada iteração, é resolvida uma equação de cada vez, antes de prosseguir para a seguinte, em vez

de resolver o sistema de equações simultaneamente.




Ao adaptar-se este procedimento, admite-se que são conhecidas temporariamente todas as

correcções de caudal (Q) das malhas adjacentes à malha para a qual está a ser resolvida a

equação da conservação da energia, com excepção da correcção de caudal (Qj) dessa malha.

Com base nesta simplificação, o método de Newton pode ser utilizado para a obtenção da solução

da equação Fj = 0, em relação a Qj, ou seja:

Qjm+1 = Qj

m - Fjm / (dFj

m / dQj) [42]

sendo:

Qjm+1 , Qj

m - correcções de caudal na malha j nas iterações de ordem (m+1) e (m),

respectivamente

Fjm - valor da função Fj na iteração de ordem (m)

dFjm / dQj - valor da derivada da função Fj, em ordem a Qj, na iteração de ordem (m)

É comum no método de Hardy Cross aplicar apenas uma correcção iterativa a cada equação da

conservação da energia, antes de passar à equação seguinte, ou seja, a correspondente a

próxima malha. Uma vez aplicada uma correcção iterativa a todas as equações da conservação

da energia, o procedimento é repetido até que a convergência seja obtida, dentro de uma

tolerância pré-definida.

Para além disso, é usual ajustar os caudais inicialmente arbitrados para as tubagens que

constituem uma malha imediatamente após o cálculo de cada um dos Q correspondentes.

Nestas condições, cada equação Fj = 0 é calculada com todos os Q iguais a zero e, para além

disso, com os Qjm também iguais a zero.

Consequentemente, a expressão de recorrência [42] pode ser reduzida à seguinte equação:

Qj = - Fj / (dFj / dQj) [43]

Note-se que os índices inicialmente incluídos na expressão [42] não constam nesta nova

expressão, uma vez que existe apenas um Q.




De acordo com os conceitos enunciados no Capítulo anterior, a equação F j = 0 representa o

princípio da conservação da energia para a malha j, ou seja, o igualar a zero do somatório

algébrico das perdas de carga na malha. A expressão de Fj é traduzia da seguinte forma:

[44]

A derivada de Fj em ordem a Qj e dada pela seguinte expressão(10):

[45]

Nestas expressões, os símbolos têm o significado anteriormente apresentado. Substituindo as

equações [44] e [45] na expressão [2],obtém-se:

[46]

que representa a expressão através da qual são calculadas as correcções de caudal em cada

malha do sistema pelo método de Hardy Cross.

Note-se que se for utilizada a fórmula de Manning-Strickler ou de Hazen-Williams para avaliação

das perdas de carga contínuas nas tubagens, os valores de n na expressão anterior são,

respectivamente, de 2 e 1,852.

6.3.3 Procedimento de cálculo

Com base nos fundamentos do método de Hardy Cross apresentados no parágrafo anterior e

10(?) Refira-se que, genericamente, d lyl / dx = dy / dx |yl / y.




numa tentativa de sistematização, o procedimento de cálculo a utilizar com as equações das

malhas pode ser resumido como a seguir se indica:

1º inicialização dos caudais em cada tubagem do sistema, de forma a que seja garantido o principio da continuidade nos nós de junção(11);

2º cálculo do somatória das perdas de carga em cada malha do sistema, ou seja, o numerador da expressão [46], tendo em atenção os sinais a atribuir aos caudais; se o sentido do movimento (directo ou retrógrado) é contrário ao do escoamento, então a perda de carga na tubagem correspondente é negativa, sendo positiva no caso contrário;

3º cálculo do denominador da expressão [46], através do somatório dos valores de Kℓ n |Qℓ|n-1.

4º cálculo da correcção de caudal (Q) em cada malha do sistema, igual ao quociente, com sinal negativo, dos somatórios calculados nos passos b) e c);

5º reformulação dos caudais nas tubagens, de acordo com os valores das correcções de caudal calculados no passo anterior;

6º verificação do critério de convergência; se este critério tiver sido atingido em todas as malhas, o processo iterativo é dado por concluído, sendo, no caso contrário, iniciada uma nova iteração por repetição dos passos b) a e).

A finalizar refira-se que, quando uma tubagem é comum a duas malhas adjacentes (o que

significa que lhe estão associados dois Q), ao efectuar-se a reformulação de caudais para a

tubagem, para além da correcção de caudal própria da malha é necessário somar, com sinal

contrário, a correcção da malha adjacente.

6.3.4 Exemplo de aplicação

Considere-se o sistema de distribuição esquematizado na Figura 11, constituído por 6 tubagens, 4

nós de junção e dois reservatórios, cujas características se apresentam na mesma figura.

Pretende-se determinar as condições de equilíbrio hidráulico do sistema e as cotas piezométricas

nos nós, com base no método de Hardy Cross (equações das malhas) e utilizando a fórmula de

Hazen-Williams para a avaliação das perdas de carga (C = 100 para todas as tubagens). Os

coeficientes de perda de carga para as diferentes tubagens são os que constam do quadro da

Figura 11.

11(?) Para uma inicilização de caudais pode ser utilizada a metodologia descrita no parágrafo 4.6.5.




A aplicação da expressão [46] para a resolução do sistema em análise é efectuada tendo em

conta a criação, para além da malha natural I, de uma outra fictícia (malha II), constituída pelas

tubagens 1, 5 e 6 que ligam os dois reservatórios R1 e R2, cuja diferença de cotas dos níveis de

água é de 10 m. Assim sendo, as expressões das correcções de caudal a operar em cada malha

são as seguintes:

Malha I

[47]

Malha II

[48]

Admitiram-se, para a inicialização do processo de cálculo, os valores dos caudais apresentados

nas primeiras sete linhas da coluna [3] do Quadro 1, estabelecidos de forma a garantir o principio

de continuidade nos nós de junção.

Neste quadro, figuram apenas os resultados da 1ª, 2ª e última iterações, tendo os elementos das

diversas colunas o significado aí referido.

O processo de cálculo converge ao fim de seis iterações, obtendo-se para as condições de

equilíbrio hidráulico os seguintes caudais nas tubagens:

Q1 = 18,03 I/s; Q2 = 11,67 I/s; Q3 = 1,67 l/s

Q4 = 3,33 I/s; Q5 = 6,33 I/s; Q6 = 11,97 l/s

A estes valores de caudais nas tubagens corresponde a seguinte distribuição de cotas

piezométricas nos nós de junção:

H1= 73,69 m; H2 = 66,73 m; H3 = 65,02 m; H4 = 67,04 m




Figura 11- Representação esquemática do sistema de distribuição




QUADRO 1 - SÍNTESE DO CÁLCULO DO MÉTODO DE HARDY-CROSSAPLICADO AS EQUAÇÕES DAS MALHAS

Iteração(-)

Tub.(-)

Q(m3/s)

H(m) ∑H H/Q ∑H/Q Q

(10-4 m3/s)Qc

(m3/s)[1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8](*) [9](**) [10]

1

2345

- 0,0105- 0,00050,00450,0070

- 5,73- 0,18

3,538,01

5,63

545,07357,95785,041143,87

2831,9

- 10,7- 10,7- 10,7- 10,7 10,7

- 0,01157- 0,001570,003430,00568

156

- 0,0175- 0,007

0,0125

- 5,98- 9,01

3,21- 0,78

341,561143,87256,42

1741,862,412,412,41

- 2,41- 0,01726- 0,005680,01274

2

2345

- 0,01157- 0,001570,003430,00568

- 6,85- 1,49

2,145,44

- 0,77592,01948,88622,91957,32

3121,21,321,321,321,32 - 1,32

- 0,01144- 0,001440,003560,00653

156

- 0,01726- 0,005680,01274

- 5,83- 5,44

3,322,06

337,56957,32260,62

1555,5- 7,13- 7,13- 7,13

7,13- 0,0180- 0,006530,01200

6

2345

- 0,01168- 0,001680,003320,00630

- 6,97- 1,69

2,016,59

- 0,06596,851005,24605,851045,66

3253,60,10,10,10,1 - 0,1

- 0,01167- 0,001670,003330,00633

156

- 0,0180- 0,00630,0120

- 6,30- 6,59

2,970,09

349,861045,66247,66

1643,2- 0,3- 0,3- 0,3

+ 0,3- 0,01803- 0,006330,01197

(*) Malha própria; (**) Malha adjacente

Coluna [1] - Número da iteração

Coluna [2] - Número da tubagem

Coluna [3] - Caudal na tubagem

Coluna [4] - Perda de carga na tubagem dada por KQ IQI0,852, podendo tomar valores negativos quando o caudal

circula em sentido contrário ao arbitrado para a malha

Coluna [5] - Somatório das perdas de carga na malha (numerador da expressão [47] ou [48]

Coluna [6] - Relação entre a perda de carga na malha e o respectivo caudal

Coluna [7] - Somatório dos valores, para cada malha, que figuram na coluna [6], ou seja, o denominador da

expressão [47] ou [48]

Coluna [8] - Correcção de caudal (Q) a aplicar nas tubagens pertencentes à malha analisada

Coluna [9] - Correcção de caudal (- Q) a aplicar às tubagens comuns à malha adjacente

Coluna [10] - Caudal corrigido após cada iteração




6.4 Método de Newton-Raphson

6.4.1 Princípios teóricos

A aplicação do método de Newton-Raphson, para a definição das condições de equilíbrio

hidráulico de um sistema de distribuição de água, foi feita pela primeira vez por MARTIN e PETERS

1963. Este método pode ser utilizado na resolução de qualquer dos sistemas de equações que

traduzem as condições de equilíbrio hidráulico, ou seja, através das equações dos troços, dos nós

ou das malhas. De uma forma genérica, a fórmula de recorrência do processo iterativo de Newton-

-Raphson é dada pela seguinte expressão:

Xm+1 = Xm - J (Xm)-1 F (Xm) [49]

sendo:

Xm+1, Xm - vectores das incógnitas nas iterações de ordem (m+1) e (m), respectivamente

J (Xm)-1 - inversa da matriz Jacobiana para X = Xm

F (Xm) - vector dos valores das funções Fj para X = Xm

No caso do problema ser equacionado através das equações dos nós, os elementos do vector X

correspondem às cotas piezométricas nos nós de junção (Hi). De forma idêntica, se o problema for

equacionado através das equações das malhas, os elementos do vector X referem-se às

correcções de caudal em cada malha (Qm).

Genericamente, os elementos de cada um dos vectores são expressos da seguinte forma:

H = [H1 H2 . . . HN]T (os valores conhecidos das cotas piezométricas não

estão incluídos neste vector)

Q = [Q1 Q2 . . . QL]T (com L = M + F - 1)

Por outro lado, cada linha da matriz Jacobiana é formada pelas derivadas parciais da função

Fj (j = 1, 2, . . . , N, no caso do problema ser equacionado através das equações dos nós), em

relação às variáveis associadas a cada coluna. Assim, para as equações dos nós a matriz

Jacobiana é dada, genericamente, por:




[50]

No Quadro 2, apresentam-se, a título ilustrativo, os elementos desta matriz Jacobiana respeitantes

a tubagens (quando é utilizada a fórmula de Hazen-Williams), a estações elevatórias ou

sobrepressoras e a válvulas redutoras de pressão.

Da análise da expressão de recorrência [49] pode parecer, à primeira vista, que em cada iteração

é necessário calcular a inversa da matriz Jacobiana (J (Xm)-1). No entanto, dado que existem

outros métodos numericamente mais eficientes do que calcular directamente a inversa da matriz

Jacobiana, o procedimento habitual consiste em determinar um vector Z que é a solução do

sistema de equações lineares JZ = F. Assim, a expressão de recorrência [49] toma a seguinte

forma, no caso do problema do equilíbrio hidráulico ser feito através das equações dos nós:

Hm+1 = Hm - Zm [51]

Os elementos do vector Z representam, em cada iteração, as correcções a aplicar às cotas

piezométricas. Após cada iteração é feita uma verificação do critério de convergência pré-definido

(EPS), o qual representa o máximo desequilíbrio de caudal permitido para cada um dos nós de

junção do sistema de distribuição. O maior ou menor número de iterações do processo depende,

em certa medida, do valor da tolerância pré-definida.

Em síntese, no método de Newton-Raphson a resolução do sistema de equações não-lineares é

obtida pela resolução iterativa de um conjunto de sistemas de equações lineares. Em certa

medida, este método numérico é idêntico ao da Teoria Linear que irá ser apresentado no

parágrafo seguinte. No entanto, e contrariamente ao método da Teoria Linear, a matriz Jacobiana é, na maior parte dos sistemas de distribuição de água, simétrica(12) e esparsa, sendo possível, em

face desta particularidade, atingir uma enorme eficiência numérica.

QUADRO 2 - ELEMENTOS DA MATRIZ JACOBIANA PARA AS EQUAÇÕES DOS NÓS(FÓRMULA DE HAZEN-WILLIAMS)

12 (?) Em sistemas de distribuição de água que incluam válvulas redutoras de pressão esta simetria é destruída. A simetria é igualmente destruída se, para as estações elevatórias ou sobrepressoras, se utilizar a transformação de variáveis referida no parágrafo 3.5.4.




Tipo de elemento Equações de características(1)

Tubagem(Fórmula de Hazen-Williams)

Qji = (Hj - Hi) Kji- 0,54 |Hj - Hi|- 0,46 [11]

∂Qji / ∂Hj = 0,54 Kji-0,54 |Hj - Hi|- 0,46 [12]

∂Qji / ∂Hi = - ∂Qji / ∂Hj [13]

Bombagem

Eb = AQ2 + BQ + C [14]Qji = { - B + [B2 - 4A (C - |Hj - Hi|)]1/2} / 2A [15]∂Qji / ∂Hj = ± [(B / 2A)2 - (C - |Hj - Hi|) / A]1/2 / 2A [16]∂Qji / ∂Hi = ± ∂Qji / ∂Hj [17]

Válvulas redutoras de pressão(VRP)

Qji = Kji- 0,54 |HVRP - Hi|0,54 [18]

∂Qji / ∂Hi = - 0,54 Kji-0,54 |HVRP- Hi|- 0,46 [19]

para Hj ≥ HVRP ≥ Hi

∂Qji / ∂Hj = 0 [20]

(1) No caso de se utilizar a fórmula de Manning-Strickler, apenas há que alterar os expoentes 0,54 e 0,46 para 0,5.

De forma idêntica, para as equações das malhas a matriz Jacobiana é dada, genericamente, pela

expressão [53].

Neste caso, a expressão de recorrência passa a ter a seguinte forma:

Qm+1 = Qm - Zm [52]

Na Figura 12, apresenta-se um fluxograma sumário do método de Newton-Raphson, no caso do

equilíbrio hidráulico ser estabelecido em termos das equações das malhas, com o objectivo de

ilustrar os princípios descritos anteriormente.

[53]





Considere-se, de novo, o sistema de distribuição esquematizado na Figura 11. Neste exemplo,

pretende-se determinar as condições de equilíbrio hidráulico e as cotas piezométricas nos nós,

com base no método de Newton-Raphson (equação dos nós) e utilizando, também, a fórmula de

Hazen-Williams para avaliação das perdas de carga (C = 100 para todas as tubagens).

Nestas condições, os coeficientes de perda de carga das tubagens são, ainda, os que constam do

quadro da Figura 11.

Tendo em conta os princípios enunciados no parágrafo 5.3.3 e as equações características do

Quadro 2, o sistema de equações que traduz o equilibro hidráulico é o seguinte(13):

F1 = - [(80 - H1) / K1]0,54 + [(H1 - H2) / K2]0,54 + [(H1 - H4) / K5]0,54 = 0 [54]

F2 = - [(H1 - H2) / K2]0,54 + [(H2 - H3) / K3]0,54 + 0,01= 0 [55]

F3 = - [(H2 - H3) / K3]0,54 + [(H4 - H3) / K4]0,54 + 0,005= 0 [56]

F4 = + [(H4 - H3) / K4]0,54 + [(H1 - H4) / K5]0,54 + [(70 - H4) / K6]0,54 + 0,015= 0 [57]

13 (?) Dado que, neste caso, o problema é para ser resolvido manualmente o critério de sinal é um pouco diferente do utilizado no parágrafo 3.5.3.




Figura 12 - Fluxograma sumário do método de Newton-Raphson




Por sua vez, as expressões que caracterizam os elementos da matriz Jacobiana são as que se

indicam no Quadro 3. Além disso, para inicialização do processo de cálculo arbitraram-se as

seguintes cotas piezométricas nos nós de junção do sistema: H1 = 76 m; H2 = 68 m; H3 = 60 m e

H4 = 69 m.

QUADRO 3 - EXPRESSÕES QUE CARACTERIZAM OS ELEMENTOS DA MATRIZ JACOBIANADO EXEMPLO DE APLICAÇÃO

∂F1 / ∂H1 = 0,54 [K’1 (80 - H1)- 0,46 + K’2 (H1 - H2)- 0,46 + K’5 (H1 - H4)- 0,46]

∂F1 / ∂H2 = ∂F2 / ∂H1 = - 0,54 K’2 (H1 - H2)- 0,46 ; ∂F1 / ∂H3 = ∂F3 / ∂H1 = 0

∂F1 / ∂H4 = ∂F4 / ∂H1 = - 0,54 K’5 (H1 - H4)- 0,46

∂F2 / ∂H2 = 0,54 [K’2 (H1 - H2)- 0,46 + K’3 (H2 - H3)- 0,46]

∂F2 / ∂H3 = ∂F3 / ∂H2 = - 0,54 K’3 (H2 - H3)- 0,46 ; ∂F2 / ∂H4 = ∂F4 / ∂H2 = 0

∂F3 / ∂H3 = 0,54 [K’3 (H2 - H3)- 0,46 + K’4 (H4 - H3)- 0,46]

∂F3 / ∂H4 = ∂F4 / ∂H3 = - 0,54 K’4 (H4 - H3)- 0,46

∂F4 / ∂H4 = 0,54 [K’4 (H4 - H3)- 0,46 + K’5 (H1 - H4)- 0,46 + K’6 (70 - H4)- 0,46]

com K’i =Ki- 0,54 (i = 1, 2, . . ., 6)

No Quadro 4, apresentam-se os resultados dos diversos passos de cálculo, elaborados de acordo

com os princípios e a metodologia anteriormente definidos para o método de Newton--Raphson (equações dos nós).

Neste caso, a convergência do processo de cálculo é atingida ao fim de quatro iterações, obtendo-

se, em condições de equilibro hidráulico, as seguintes cotas piezométricas nos nós de junção:

H1 = 73,69 m; H2 = 66,71 m; H3= 65,02 m; H4 = 67,03 m

A partir destes valores de cotas piezométricas podem ser obtidos, com base na equação

característica [11] do Quadro 2, os seguintes caudais nas tubagens:

Q1 = 18,01 l/s; Q2 = 11,68 l/s; Q3 = 1,68 l/s; Q4 = 3,33 l/s; Q5 = 6,33 l/s; Q6 = 12,00 l/s,




os quais são praticamente iguais aos obtidos pelo método de Hardy-Cross (equações das malhas)

no exemplo do parágrafo 6.3.4.

QUADRO 4 - SÍNTESE DO CÁLCULO DO MÉTODO DE NEWTON-RAPHSONAPLICADO ÀS EQUAÇÕES DOS NÓS

Iteração F1 F2 F3 F4 Max |Fj| ∂F1 / ∂H1 ∂F1 / ∂H2 ∂F1 / ∂H4 ∂F2 / ∂H2 ∂F2 / ∂H3 ∂F3 / ∂H3

[1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12]

1 50,0 7,5 - 48,4 83,4 83,4 32,52 - 8,49 - 5,02 11,49 - 3,00 8,02

2 3,29 - 8,84 23,62 - 2,87 23,62 30,06 - 9,09 - 5,19 20,17 11,07 25,28

3 0,14 - 2,89 5,49 - 2,29 5,49 29,56 - 9,01 - 5,15 15,13 - 6,12 15,80

4 0,049 - 0,148 0,316 - 0,268 0,316 29,59 - 9,04 - 5,14 14,44 - 5,4 14,35

0,049 - 0,040 0,030 - 0,089 0,089

Iteração ∂F3 / ∂H4 ∂F4 / ∂H4Z1

(m)Z2

(m)Z3

(m)Z4

(m)H1

(m)H2

(m)H3

(m)H4

(m)[1] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22]

1 - 5,02 46,01 2,00 0,89 - 4,76 1,51 74 67,11 66,76 67,49

2 - 14,20 42,95 0,32 0,46 1,38 0,43 73,68 66,65 65,38 67,06

3 - 9,68 36,73 - 0,01 - 0,06 0,34 0,03 73,69 66,71 65,04 67,03

4 - 8,95 35,89 0,0004 - 0,003 0,019 - 0,003 73,69 66,71 65,02 67,03

Nota: Colunas [2] a [6] ( 10-3 m3/s); Colunas [7] a [14] ( 10-4)

Coluna [1] - Número da iteração

Colunas [2] a [5] - Valores das funções Fj calculadas com base nas expressões [23] a [26]

Coluna [6] - Máximo de |Fj| (com j = 1, . . ., 4). Representa o máximo erro associado à solução

determinada tendo em conta o princípio da continuidade. Admitiu-se, como critério de

convergência, Máx. |Fj| 10-4 m3/s

Colunas [7] a [14] - Elementos não nulos da matriz Jacobiana calculados pelas expressões do Quadro 3. Esta

matriz é simétrica de ordem 4

Colunas [15] a [18] - Valores da solução do sistema Jm Zm = Fm

Colunas [19] a [22] - Cotas piezométricas nos nós de junção dadas pela expressão Hm+1=Hm-Zm




6.5 Método da Teoria Linear

6.5.1 Fundamentos do método e procedimentos de cálculo

Como se referiu anteriormente, um dos métodos de resolução possíveis para a obtenção das

condições de equilíbrio hidráulico de um sistema de distribuição de água é o método da Teoria Linear (WOOD e CHARLES 1972), que se baseia na resolução simultânea do sistema de equações

(equações dos troços)(14)por linearização das M + F - 1 equações da conservação da energia para

as malhas, em termos de um valor aproximado de caudal Qoℓ em cada tubagem. Esta linearização

é obtida por aproximação da perda de carga em cada, tubagem através da seguinte expressão:

Hℓ = IKℓ Qoℓn-1| Qℓ = K’ℓ Qℓ [58]

sendo Hℓ e Qoℓ respectivamente a perda de carga total e o valor aproximado de caudal, ambos

para a tubagem ℓ. Quando o valor aproximado de caudal (Qoℓ) é igual ao verdadeiro valor de Qℓ,

que garante os princípios da continuidade e da conservação da energia, a equação [58] constitui

uma expressão exacta para o cálculo das perdas de carga na tubagem ℓ.

No entanto, quando não se verifica esta situação, em cada iteração os valores aproximados de

caudal (Qoℓ) são utilizados para calcular os coeficientes de perda de carga modificados (K' ℓ), sendo

as (M + F - 1) equações da conservação da energia, linearizadas, combinadas com as N

equações de continuidade nos nós de junção, de forma a constituir o sistema de equações

lineares a T incógnitas , os caudais Qℓ nas tubagens que constituem o sistema de distribuição.

Estes novos valores de caudal são utilizados, na iteração seguinte, para calcular um novo

conjunto de coeficientes de perda de carga modificados (K'ℓ), os quais permitem obter outro

sistema de equações lineares cuja solução corresponde a valores de caudal mais correctos. O

procedimento é repetido até que as variações de caudal entre duas iterações consecutivas sejam

inferiores a uma dada tolerância pré-definida (EPS).

Esta técnica numérica para a determinação das condições de equilíbrio hidráulico de sistemas de

distribuição de água, conceptualmente bastante simples, apresenta algumas características que

14 (?) Recentemente, ISAACS e MILLS 1980, apresentaram o mesmo método para as equações dos nós (cotas piezométricas nos nós como incógnitas).




merecem referência. Assim, contrariamente ao que a descrição anterior poderia deixar supor, não

se torna necessário o arbítrio dos caudais iniciais, uma vez que, na primeira iteração, K’ ℓ pode ser

considerado igual a Kℓ, ou seja, o correspondente coeficiente de perda de carga. Por outro lado, é

uma técnica simples de programar, uma vez que os problemas decorrentes da existência de

tubagens comuns a duas malhas não tem significado, quer em termos de análise de programação

quer dos dados necessários à identificação da topologia do sistema.

Quando o método foi aplicado pela primeira vez, WOOD e CHARLES 1972 verificaram que, embora a

convergência fosse sempre atingida, os valores obtidos entre sucessivas iterações tinham

tendência a oscilar em torno da solução final. Assim, estes autores constataram que a forma mais

adequada de ultrapassar este problema era considerar o caudal a utilizar na iteração seguinte

(Qoℓ (m)) como a média aritmética dos caudais obtidos nas duas iterações anteriores:

Qoℓ (m) = (Qℓ (m-2) + Qℓ (m-1)) / 2 [59]

sendo Qℓ (m-2) e Qℓ (m-1), respectivamente os caudais obtidos para a tubagem ℓ, nas iterações e

ordem (m-2) e (m-1). Este procedimento permite um aumento da rapidez de convergência, a tal

ponto que para a maioria dos sistemas de distribuição de água apenas são necessárias duas a

quatro iterações. Na Figura 13, apresenta-se um fluxograma sumário do método da Teoria Linear, com o objectivo de ilustrar a metodologia descrita.

Os princípios, tal como apresentados anteriormente, apenas se aplicam a sistemas de distribuição

em que sejam conhecidos os caudais entrados ou saídos do sistema, o que na prática não é a

situação que normalmente se verifica. De facto, os caudais fornecidos a partir de estações

elevatórias (ou sobrepressoras) e reservatórios dependem das cotas piezométricas e dos caudais

do sistema.

No Capítulo anterior, foi discutida a forma de generalizar a formulação do equilíbrio hidráulico

quanto existem este tipo de elementos especiais. Apenas aqui se resume a metodologia então

enunciada e orientada para o método da Teoria Linear. Em resumo, esta metodologia é a

seguinte:

1º escrever as N equações lineares de continuidade para os nós de junção;




2º escrever as M equações não-lineares da conservação da energia para as malhas naturais do sistema;

3º escrever as (F - 1) equações não-lineares da conservação da energia para as malhas imaginárias (recorde-se que por cada estação elevatória ou sobrepressora existirá, nestas equações, uma incógnita adicional G);

4º definir outras tantas equações lineares da forma G-Q-B / 2A = 0 (expressão [29]) quantas as estações elevatórias e/ou sobrepressoras existentes no sistema;

5º linearizar as (M + F - 1) equações da conservação da energia, definindo os coeficientes de perda de carga modificados (K'ℓ) e os coeficientes K’g, obtidos respectivamente pelas seguintes expressões:

K’ℓ = Kℓ |Qℓ (m)|n-1

K’g = A |G|; [60]6º Resolver, iterativamente, o sistema de equações lineares resultante, ajustando os

coeficientes K’ℓ e K’g em conformidade com o definido em e) e considerando, a partir da terceira iteração, a média aritmética definida pela expressão [59], até que seja atingido o critério de convergência desejado.


Considere-se, de novo, o sistema de distribuição esquematizado na Figura 11. Neste exemplo,

pretende-se determinar as condições de equilíbrio hidráulico e as cotas piezométricas nos nós de

junção, pelo método da Teoria Linear (consequentemente, através das equações dos troços) e

utilizando, tal como nos exemplos anteriores, a fórmula de Hazen-Williams para o cálculo das

perdas de carga (C = 100 para todas as tubagens).

De acordo com os princípios enunciados, o sistema de equações que permite definir as condições

de equilíbrio hidráulico é formado por quatro equações de continuidade (uma por cada nó de

junção) e duas equações da conservação da energia (uma correspondente à malha imaginária e a

outra relativa à malha natural do sistema). Estas equações são as seguintes:

Continuidade

Q1- Q2 - Q5 = 0 (nó 1) [61]




Figura 13 - Fluxograma sumário do método da Teoria Linear




Q2 – Q3 = 0,010 (nó 2) [62]

Q3 + Q4 = 0,005 (nó 3) [63]

- Q4 + Q5 + Q6 = 0,015 (nó 4) [64]

Conservação da energia

- K1 Q1 - K'5 Q5 + K’6 Q6 + (80 - 70) = 0 [65]

- K’2 Q2 - K'3 Q3 + K'4 Q4 + K'5 Q5 = 0 [66]

sendo K’ℓ (ℓ = 1, 2, . . ., 6) os coeficientes de perda de carga modificados dados pela expressão

[60]. Na primeira iteração os valores de K'ℓ são iguais aos coeficientes de perda de carga que

constam no quadro da Figura 11, uma vez que, no processo de inicialização, se considera que o

caudal em cada tubagem é unitário (1 m3/s).

Nestas condições, o sistema de equações lineares a resolver na primeira iteração é, sob a forma

matricial, o seguinte(15):

A correspondente solução é dada por:

Q1 = 0,0117 m3/s; Q2 = 0,0106 m3/s; Q3 = 0,0006 m3/s

Q4 = 0,0044 m3/s; Q5 = 0,0010 m3/s; Q6 = 0,0183 m3/s

A partir destes caudais, podem ser obtidos os novos valores dos coeficientes de perda de carga

modificados da seguinte forma:

K’1 = K1 IQ1|0,852 = 10725 x 0,01170,852= 242,4

K'2 = K2 IQ2|0,852 = 26449 x 0,01060,852 = 549,5

K'3 = K3 IQ3|0,852 = 232437 x 0,00060,852 = 418,1

K’4 = K4 IQ4|0,852 = 78407 x 0,00440,852 = 770,2

K’5 = K5 IQ5|0,852 = 78407 x 0,00100,852 = 217,9

15(?) Os valores dos coeficientes de perda de carga foram arredondados.




K’6 = K6 IQ6|0,852 = 10725 x 0,01830,852 = 354,8

Nesta iteração, o sistema de equações lineares a resolver é o seguinte:

A correspondente solução é dada por:

Q1 = 0,0282 m3/s; Q2 = 0,0112 m3/s; Q3 = 0,0012 m3/s

Q4 = 0,0038 m3/s; Q5 = 0,0170 m3/s; Q6 = 0,0018 m3/s

O caudal a considerar na próxima iteração deve ser a média aritmética dos caudais das duas

iterações anteriores, obtendo-se, neste caso, o seguinte:

Q1m = (0,0117 + 0,0282) / 2 = 0,0199 m3/s; Q2m = (0,0106 + 0,0112) / 2 = 0,0109 m3/s

Q3m = (0,0006 + 0,0012) / 2 = 0,0009 m3/s; Q4m = (0,0044 + 0,0038) / 2 = 0,0041 m3/s

Q5m = (0,0010 + 0,0170) / 2 = 0,0090 m3/s; Q6m = (0,0183 + 0,0018) / 2 = 0,0101 m3/s

A partir destes valores dos caudais, obtêm-se os correspondentes valores dos coeficientes de

carga modificados e resolve-se o sistema de equação lineares, e assim sucessivamente até ser

atingida a convergência.

No Quadro 5, apresentam-se os valores calculados nas diferentes iterações. O processo de

cálculo converge ao fim de cinco iterações, tendo sido obtidas, para as condições de equilíbrio

hidráulico, os seguintes caudais nas tubagens:

Q1 = 18,0 I/s; Q2 = 11,7 I/s; Q3 = 1,7 l/s

Q4 = 3,3 I/s; Q5 = 0,3 l/s; Q6 = 12,0 l/s

QUADRO 5 - SÍNTESE DO CÁLCULO DO MÉTODO DA TEORIA LINEAR

Iteração

(-)

Tubagens

1 2 3 4 5 6




Q1

(l/s)Q1m

(l/s)Q2

(l/s)Q2m

(l/s)Q3

(l/s)Q3m

(l/s)Q4

(l/s)Q4m

(l/s)Q5

(l/s)Q5m

(l/s)Q6

(l/s)Q6m

(l/s)

1 11,7 11,7 10,6 10,6 0,6 0,6 4,4 4,4 1,0 1,0 18,3 18,32 28,2 19,9 11,2 10,9 1,2 0,9 3,8 4,1 17,0 9,0 1,8 10,13 16,8 18,4 12,3 11,6 2,3 1,6 2,7 3,4 4,5 6,8 13,2 11,64 17,7 18,0 11,7 11,7 1,7 1,7 3,3 3,3 6,0 6,4 12,2 11,95 18,0 18,0 11,7 11,7 1,7 1,7 3,3 3,3 6,3 6,3 12,0 12,0

A estes valores de caudais nas tubagens corresponde a distribuição de cotas piezométricas

idêntica à apresentada para os exemplos dos métodos anteriores.

7. ELEMENTOS ACESSÓRIOS EM REDES DE DISTRIBUIÇÃO

7.1 Considerações gerais

Os elementos acessórios mais correntes em redes de distribuição de água são os seguintes:

válvulas de seccionamento;

válvulas de purga ou de descarga;

hidrantes (bocas de incêndio e marcos de água);

bocas de rega e de lavagem.

Além dos elementos acessórios enumerados, ainda se podem encontrar, em certas situações

especiais, válvulas de retenção, válvulas redutoras de pressão, ventosas e medidores de caudal

(para além dos contadores de água domiciliários).

Aspectos mais gerais relativos a estes elementos acessórios são discutidos no Documento Tubagens e Acessórios de Ligação, pelo que, neste parágrafo, apenas se discutem os aspectos

mais particulares aplicáveis a redes de distribuição de água.

7.2 Válvulas de seccionamento

As válvulas de seccionamento, numa rede de distribuição de água, destinam-se a permitir o

isolamento de determinados troços quando neles se verificam avarias (por exemplo, a ocorrência

de uma rotura) ou quando é necessário proceder à remodelação/substituição de uma ou mais




tubagens da rede ou de órgãos, ou ainda para a execução de ramais de ligação. Destinam-se,

ainda, a permitir o corte do fornecimento de água, no ataque a um incêndio, numa zona vizinha da

rede, se necessário. As válvulas de seccionamento são os principais órgãos de manobra numa

rede de distribuição de água.

A sua colocação deverá ter como objectivo que o número de consumidores afectado, em caso de

necessidade de suspensão, seja o menor possível. Com esse objectivo, haveria interesse óbvio

em colocar o maior número possível de válvulas; no entanto essa tendência é contrariada por

razões de ordem económica. Haverá que encontrar, assim, uma solução de compromisso que,

sendo economicamente razoável, evite que um grande número de consumidores fique, em

simultâneo, privado do fornecimento de água.

Em redes de distribuição de água, estes órgãos são, geralmente, colocados junto dos nós, não

sendo tarefa fácil enumerar regras universais. A melhor forma de proceder será a de ensaiar uma

dada colocação de válvulas e identificar quais os troços afectados em caso de suspensão,

analisando a razoabilidade da solução.

Relativamente a este aspecto refere-se, em seguida, o que o Decreto Regulamentar nº 23/95,

estipula, no seu artigo 40.º:

“1 - As válvulas de seccionamento devem ser instaladas de forma a facilitar a operação do sistema e minimizar os inconvenientes de eventuais interrupções do abastecimento.2 - As válvulas de seccionamento devem ser devidamente protegidas e facilmente manobráveis e localizar-se, nomeadamente:

a) Nos ramais de ligação;b) Junto de elementos acessórios ou instalações complementares que possam ter de ser colocados fora de serviço;c) Ao longo da rede de distribuição, por forma a permitir isolar áreas com um máximo de 500 habitantes; d) Ao longo de condutas da rede de distribuição mas sem serviço de percurso, com espaçamentos não superiores a 1000 m;e) Nos cruzamentos principais, em número de três;f) Nos entroncamentos principais, em número de duas.”




7.3 Válvulas de purga ou de descarga

As válvulas de purga ou de descarga (designadas, no Decreto Regulamentar nº 23/95, por

descargas de fundo) destinam-se a permitir o esvaziamento das tubagens, por escoamento

gravítico, em caso de reparação de avarias, execução de novas ligações ou para operações de

limpeza e desinfecção.

Genericamente, as válvulas de purga ou de descarga devem ser localizadas nos pontos baixos

das zonas da rede isoláveis por válvulas de seccionamento.

O Decreto Regulamentar nº 23/95, relativamente a válvulas de purga ou de descarga (descargas

de fundo), nos seus artigos 47.º a 49.º, refere o seguinte:

“Artigo 47.º Descargas de fundo1 - As descargas de fundo destinam-se a permitir o esvaziamento de troços de condutas e de partes de redes de distribuição situados entre válvulas de seccionamento, nomeadamente para proceder a operações de limpeza, desinfecção ou reparação, e devem ser instaladas:

a) Nos pontos baixos das condutas;b) Em pontos intermédios de condutas com o mesmo sentido de inclinação em comprimentos considerados relativamente elevados, tendo em atenção a necessidade de limitar o tempo de esvaziamento das condutas, e nas redes de distribuição extensas de modo a minimizar o número de consumidores prejudicados por eventuais operações de esvaziamento.

2 - Nos casos referidos na alínea b) ao número anterior, as descargas de fundo devem localizar-se imediatamente a montante ou a jusante das válvulas de seccionamento, respectivamente, nas condutas descendentes e nas condutas ascendentes.

Artigo 48.º Lançamento dos efluentes das descargas de fundo1 - Os efluentes das descargas de fundo devem ser lançados em linhas de água naturais, colectores pluviais ou câmaras de armazenamento transitório, salvaguardando-se, em qualquer dos casos, os riscos de contaminação da água da conduta.




2 - Sempre que necessário, devem prever-se na zona de lançamento dispositivos de dissipação de energia cinética.

Artigo 49.º Dimensionamento das descargas de fundo O dimensionamento de uma descarga de fundo consiste na determinação do seu diâmetro de modo a obter-se um tempo de esvaziamento do troço de conduta compatível com o bom funcionamento do sistema, não devendo o seu diâmetro ser inferior a um sexto do diâmetro da conduta onde é instalada, com um mínimo de 50 mm.”

As válvulas de purga ou de descarga são órgãos de manobra numerosos em redes de distribuição

de água.

7.4 Hidrantes (bocas de incêndio e marcos de água)

Os hidrantes são órgãos em redes distribuição de água cuja função é garantir os caudais para

combate a incêndios. Neste parágrafo, apenas se especificam as disposições regulamentares

sobre esta matéria. O Decreto Regulamentar nº 23/95, relativamente a hidrantes, nos seus artigos

54.º a 56.º, refere o seguinte:

“Artigo 54.º Hidrantes1 - Consideram-se hidrantes as bocas de incêndio e os marcos de água.2 - As bocas de incêndio podem ser de parede ou de passeio, onde normalmente se encontram incorporadas. 3 - Os marcos de água são salientes em relação ao nível do pavimento.4 - A concepção dos hidrantes deve garantir a sua utilização exclusiva pelas corporações de bombeiros e serviços municipais.

Artigo 55.º Localização dos hidrantesA localização dos hidrantes cabe à entidade gestora, ouvidas as corporações de bombeiros locais, devendo atender-se às seguintes regras:

a) As bocas de incêndio tendem a ser substituídas por marcos de água e, onde estes não se instalem, o afastamento daquelas deve ser de 25 m no caso de construções em banda contínua;




b) Os marcos de água devem localizar-se junto do lancil dos passeios que marginam as vias públicas, sempre que possível nos cruzamentos e bifurcações, com os seguintes espaçamentos máximos, em função do grau de risco de incêndio da zona:

200 m - grau 1; 150 m - grau 2; 130 m - grau 3; 100 m - grau 4; A definir caso a caso - grau 5.

Artigo 56.º Ramais de alimentação de hidrantes1 - Os diâmetros nominais mínimos dos ramais de alimentação dos hidrantes são de 45 mm para as bocas de incêndio e de 90 mm para os marcos de água.2 - Os diâmetros de saída são fixados em 40 mm para as bocas de incêndio e em 60 mm, 75 mm e 90 mm para os marcos de água.”

7.5 Bocas de rega e de lavagem

As bocas de rega e de lavagem, como o próprio nome indica, destinam-se a ligar as mangueiras

para alimentação de camiões-tanque para utilização pública, para a lavagem de ruas e para rega

de espaços verdes. Estes órgãos podem funcionar, quando colocadas em pontos altos da rede de

distribuição, como ventosas.

As disposições estipuladas, sobre esta matéria, no Decreto Regulamentar nº 23/95 (artigo 53.º),

são as seguintes:

“1 - A implantação das bocas de rega e lavagem é função da organização urbanística dos aglomerados populacionais, nomeadamente arruamentos e espaços verdes.2 - O afastamento entre bocas de rega e lavagem, quando necessárias, não deve ser superior a 50 m.3 - O diâmetro nominal mínimo das bocas de rega e lavagem e respectivos ramais de alimentação é de 20 mm.”

7.6 Ventosas




Salvo em casos especiais, como por exemplo em condutas sem serviço de percurso, não é usual

a utilização de ventosas em redes de distribuição de água, excepto nos pontos extremos de

condutas periféricas ascendentes.

Este procedimento baseia-se no facto de se admitir que a saída do ar que entra (durante uma

operação de enchimento duma conduta após a reparação de uma rotura), ou se pode acumular na

rede em condições de funcionamento normal, ocorre nos dispositivos de utilização domiciliária e

de utilização pública (fontanários, por exemplo), ou através da operação das bocas de rega e de

lavagem.

O Decreto Regulamentar nº 23/95, relativamente a ventosas, nos seus artigos 45.º a 46.º, refere o

seguinte:

“Artigo 45.º VentosasAs ventosas, que podem ser substituídas por bocas de rega e lavagem desde que seja garantida a sua operação periódica, têm por finalidade permitir a admissão e a expulsão de ar nas condutas.

Artigo 46.º Localização e diâmetro das ventosas1 - As ventosas devem ser localizadas nos pontos altos, nomeadamente nos extremos de condutas periféricas ascendentes, e nas condutas de extensão superior a 1000 m sem serviço de percurso.2 - Nas condutas extensas referidas no número anterior, as ventosas devem localizar-se:

a) A montante ou a jusante de válvulas de seccionamento consoante se encontrem respectivamente em troços ascendentes ou descendentes;b) Na secção de jusante de troços descendentes pouco inclinados quando se lhes segue um troço descendente mais inclinado.

3 - O diâmetro mínimo de uma ventosa não deve ser inferior a um oitavo do diâmetro da conduta onde é instalada, com um mínimo de 20 mm.”

7.7 Outros elementos acessórios. Mapa de nós




Para além dos elementos acessórios discutidos no parágrafo anterior, há que ter em conta, ainda,

as peças especiais, como sejam:

juntas;

curvas;

tês, cruzetas e forquilhas;

cones de redução;

juntas de transição e cegas,

as quais existem em número muito significativo em redes de distribuição de água. Há, ainda, que

ter presente os maciços de ancoragem ou de amarração.

Os aspectos relativos a estes elementos acessórios são discutidos no Documento Tubagens e Acessórios de Ligação, pelo que se remete o leitor para este documento.

A terminar este parágrafo, resta referir que, em projectos de execução de redes de distribuição de

água, deve ser incluído, para além das restantes peças desenhadas, um esquema, habitualmente

designado por mapa dos nós, em que se representam, esquematicamente, os elementos

acessórios anteriormente referidos, para cada nó, para efeitos de execução em obra.

Na Figura 14, apresenta-se um exemplo ilustrativo de um mapa de nós, no qual figuram os casos

mais representativos que habitualmente aparecem na prática.




Válvula de seccionamentoTêCruzetaCurvaCone de redução




Figura 14 – Exemplo ilustrativo de um mapa de nós de uma rede de distribuição de água


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