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Homogeneização em Equações DiferenciaisMotivação - Materiais Compostos

Marcone C. Pereira1 2

PROGRAMA DE VERÃO 2011 - EDP’S E ANÁLISE FUNCIONALINSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA

UNIVERSIDADE DE SÃO PAULOSÃO PAULO - BRASIL

1Escola de Artes, Ciências e Humanidades - Universidade de São Paulo -São Paulo - Brasil

2Partially supported by FAPESP 2008/53094-4, CAPES DGU 127/07 andCNPq 305210/2008-4.

[email protected] Verão 2011 - IME - USP

Referências:

1 H. Brézis; Análisis Funcional. Teoría y aplicaciones,Alianza Editorial (1984).

2 D. Cioranescu and P. Donato; An Introduction toHomogenization, Oxford lecture series in mathematics andits applications (1999).

3 D. Cioranescu and J. Saint J. Paulin; Homogenization ofReticulated Structures, Springer Verlag (1980).

4 E. Sánchez-Palencia; Non-Homogeneous Media andVibration Theory, Lecture Notes in Physics 127, SpringerVerlag (1980).


Neste mini-curso vamos introduzir métodos matemáticos utilizadosno estudo de equações diferenciais parciais que modelamfenômenos físicos considerados em materiais heterogêneos, cominclusões ou buracos.

Para isto, vamos considerar inicialmente materiais compostos comestrutura ε-periódica, ε→ 0, cujos métodos de abordagem estãoheuristicamente baseados em considerações de duas escalas decomprimento associdas com fenômenos macro e microscópicos.


ExemplosSuperconducting Multifilamentary Composite.

Material com habilidade de transportar largas densidades decorrente elétrica sobre a influência de campos magnéticos de altaintensidade. Por razões físicas é formado por fibras elementares dediâmetro muito pequeno, isoladas por uma matriz de altacondutividade térmica. São milhares de fibras com diâmetro variandode 10 a 100µm.

33http://www.amsc.com/products/htswire/2Gwirearchitecture.html


ExemplosSyntactic foam.

Materiais compostos sintetizados através do preenchimento damatriz de um metal, polímero ou cerâmica com partículas ocaschamadas "syntactic". A presença de tais partículas ocas resulta emmenor densidade, maior resistência, menor coeficiente de dilataçãotérmica e, em alguns casos, influencia na transparência radar ousonar.

4

4http://www.thefullwiki.org/[email protected] Verão 2011 - IME - USP

Exemplos

Mecânica dos fluidos.Considera-se o fluxo de fluidos em meios porosos, tais como solos,aqüíferos, óleo e reservatórios de gás, tecidos biológicos e plantas,mas também em células de combustível, cimento, têxteis,compósitos poliméricos etc. Tais problemas são encontrados tantoem sistemas naturais como indústriais.

56

5http://education.geo.uu.nl/mschydrology/index.php?contentid=101036http://soilandwater.bee.cornell.edu/research/pfweb/regulators/intro/why.htm


Exemplos

Etc.Estruturas do tipo ‘honey comb’, reforçadas, grelhas etc.


Os materiais apresentados anteriormente possuem um número altode heterogeneidades. Por isso, quando tentamos caracterizar suaspropriedades, podemos fazê-la usando uma escala local, isto é,consideramos cada uma das componentes do compostoseparadamente. Mas na prática é mais interessante considerar ocomposto numa escala global. Em geral, é mais importante obter ocomportamento geral do composto negligenciando possíveisflutuações ocasionadas por sua alta heterogeneidade.

Este é o objetivo da teoria de homogeneização. Materiaisheterogêneos são substituídos por outros fictícios e homogêneos,em cujo comportamento do fenômeno considerado deve aproximar odo original de maneira conveniente. Desta maneira procuramosdescrever propriedades globais dos compostos levando em conta aspropriedades locais do problema original.


Um problema unidimensional com coeficientes oscilantes

Seja f ∈ L2(0,1) e a ∈ L∞(R), T -periódica, 0 < α ≤ a(x) ≤ β <∞ e

aε = a (x/ε) .

Para cada ε > 0, considere o sequinte problema−ddx

(aε

duε

dx

)= f em (0,1)

uε(0) = uε(1) = 0.


1 uε converge para algum limite u0 quando ε→ 0?

2 Se sim, em que sentido e espaço tal convergência ocorre?

3 É u0 solução de uma equação do mesmo tipo?


Teorema (Spagnolo 1967)

Existe u0 ∈ H10 (0,1), solução única da equação homogeneizada−

1M( 1

a

) d2u0

dx2 = f em (0,1)

u0(0) = u0(1) = 0

tal queuε u0 w − H1

0 (0,1)

uε → u0 s − L2(0,1).

i) M( 1

a

)= 1

T

∫ T0

dsa(s) é chamado coeficiente de homogeneização.

ii) uε u0 w −H10 (0,1) quando ε→ 0, se para todo φ ∈ H1

0 (0,1)

(uε, φ)H10

=

∫ 1

0

duε

dx(x)

dφdx

(x) + uε(x)φ(x)

dx → (u0, φ)H1

0.


O que usamos?

1 Compacidade. Se ‖uε‖H1(O) é uniformemente limitada, entãoexiste u0 ∈ L2(O) tal que

uε → u0 s − L2(O).

2 Teorema de Eberlein-Smuljan. Seja X = L2(O) ou H1(O) esuponha ‖f ε‖X ≤ C. Então, existe uma sub-seqüência f εii∈N ef ∈ X tal que, quando i →∞,

f εi f w − X , ie.(ϕ, f εi )X → (ϕ, f )X ∀ϕ ∈ X ′.

3 Desigualdade de Hölder. Suponha 1 ≤ p ≤ ∞. Então∫O|f (x) g(x)|dx ≤ ‖f‖Lp(O)‖g‖Lp′ (O), 1/p + 1/p′ = 1.


4 Desigualdade de Poincaré. Existe uma constante C|O| tal que

‖f‖L2(O) ≤ C|O| ‖∇f‖L2(O) ∀f ∈ H10 (0,1).

5 Funções periódicas rapidamente oscilantes. Suponha1 ≤ p ≤ ∞, f ∈ Lp(Y ), Y -periódica com

Y = (0, l1)× ...× (0, lN) ⊂ RN .

Consideref ε(x) = f (x/ε) q.t.p. Y .

Então, se p <∞ e ε→ 0,

f ε M (f ) =1|Y |

∫Y

f (x) dx w − LP(ω)

para qualquer aberto ω ⊂ RN . Se p =∞, temos

f ε M (f ) =1|Y |

∫Y

f (x) dx w∗ − L∞(RN).


Formulação variacional do ε-problema∫ 1

0aε(x)

duε

dx(x)

dϕdx

(x) dx =

∫ 1

0ϕ(x) f (x) dx ∀ϕ ∈ H1

0 (0, 1).

Formulação variacional do problema homogeneizado∫ 1

0

1M (1/a)

du0

dx(x)

dϕdx

(x) dx =

∫ 1

0ϕ(x) f (x) dx ∀ϕ ∈ H1

0 (0, 1).

Em geral, não é possível obter convergência forte em H1.


Gráficos de a1/4 e u1/4

0.5

1

1.5

2

2.5

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.2 0.4 0.6 0.8 1

Fig. 2: Graficos de a(·/!) e da solucao exata para ! = 1/4.

2.1 Solucao exata

Nos nossos exemplos, consideramos

f(x) = 1, a(x) =12("!#)(1+sin(2$x))+#, # =

12, " =

52. (2.16)

Seja a sequencia de problemas onde ! = 1/4, ! = 1/8 e ! = 1/16.E facil notar pelas Figuras 2, 3 e 4 deste exemplo, que crescem as oscilacoes

de a(·/!) quando ! " 0.Em geral, nao e possıvel obter solucoes analıticas para dimensoes maiores.

Motivados por esta dificuldade, investigaremos agora como encontrar solucoesaproximadas para (2.15).

Uma possibilidade explorada na Secao 2.2 e o uso de tecnicas de homogenei-zacao. Como vimos, a ideia basica apoia-se no fato de que, quando ! " 0, asolucao exata converge para a solucao homogeneizada. Espera-se entao que para

Comparação entre os gráficos de u1/4 e u0.

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.2 0.4 0.6 0.8 1

PSfrag replacements

Solucao exataSolucao homogeneizada

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.2 0.4 0.6 0.8 1

PSfrag replacements


Fig. 5: Solucoes exatas e homogeneizadas para ! = 1/4 e ! = 1/8.

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.2 0.4 0.6 0.8 1

PSfrag replacements


Fig. 6: Comparacao entre as solucoes exata e homogeneizada para ! = 1/16.


Gráficos de a1/16 e u1/16

0.5

1

1.5

2

2.5

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.2 0.4 0.6 0.8 1

Fig. 3: Graficos de a(·/!) e da solucao exata para ! = 1/8.

0.5

1

1.5

2

2.5

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.2 0.4 0.6 0.8 1

Fig. 4: Graficos de a(·/!) e da solucao exata para ! = 1/16.Comparação entre os gráficos de u1/16 e u0.

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.2 0.4 0.6 0.8 1

PSfrag replacements


0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.2 0.4 0.6 0.8 1

PSfrag replacements


Fig. 5: Solucoes exatas e homogeneizadas para ! = 1/4 e ! = 1/8.

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.2 0.4 0.6 0.8 1

PSfrag replacements


Fig. 6: Comparacao entre as solucoes exata e homogeneizada para ! = 1/[email protected] Verão 2011 - IME - USP

O caso N-dimensionalEstudaremos o comportamento assintótico do problema

div (Aεuε) = f em Ω,uε = 0 sobre ∂Ω

com ε→ 0.

Supomos f ∈ L2(Ω), Aε = (aεij )Ni,j=1, com

aεij (x) = aij (x/ε) x ∈ RN ,

Aε(x) = A(x/ε) = (aij (x/ε))Ni,j=1

ondeaij (y) são Y − periódicos

(A(y)x , x) ≥ α|x |2

|A(y)x | ≤ β|x |

para todo x ∈ RN e q.t.p. Y ,

Y = (0, l1)× ...× (0, lN) ⊂ RN .

Nestas condiçõ[email protected] Verão 2011 - IME - USP

Sanchez-Palencia (1970b, 1980), Bakhvalov (1974), Bensoussan, Lionsand Papanicolaou(1978)

uε u0 w − H10 (Ω)

Aε∇uε A0∇u0 w −(L2(Ω)

)N

onde u0 ∈ H10 (Ω) é a única solução da equação homogeneizada

N∑i,j=1

∂

∂xi

(a0

ij∂u0

∂xj

)= f em Ω

u0 = 0 sobre ∂Ω

em que a matriz A0 = (a0ij )

Ni,j=1 é constante, elíptica e dada por

A0λ = MY (A∇ωλ) ∀λ ∈ RN ,

onde ωλ é a função auxiliar dada por−div (A∇wλ) = 0 em Y ,wλ − λ · y Y − periódicoMY (wλ − λ · y) = 0

.


1 Formulação variacional do problema auxiliar: encontrar ωλ ∈ Wp,

Wp =

v ∈ H1(Y ) | v é Y − periódico, MY (v) = 0,

tal que ∫

YA(y)∇ωλ∇v dy = 0 ∀v ∈ Wp

ωλ − y · λ Y − periódico

MY (ωλ − y · λ) = 0

.

Além disso temos que este problema é equivalente a−div

(A(y)∇Xλ

)= −div (A(y)λ) em Y ,

Xλ Y − periódico

MY

(Xλ)

= 0

cuja formulação variacional é: encontrar Xλ ∈ Wp tal que∫Y

A(y)∇Xλ∇v dy =

∫Y

A(y)λ∇v ∀v ∈ Wp

onde as funções ωλ e Xλ se relacionam pela expressão

ωλ = y · λ− Xλ.


2 Fórmulas explícitas para a matriz homogeneizada A0 =(a0

ij

)i,j

.

Seja e1, ..., eN a base canônica do RN . Então

A0ej = MY (A∇ωj ) e (A0ej )i =N∑

k=1

aik∂ωj

∂xk,

que nos dá para todo i, j = 1, ...,N

a0ij = MY

(N∑

k=1

aik∂ωj

∂xk

)= MY

(aij −

N∑l=1

aik∂Xj

∂xk

)

= MY (aij )−MY

(N∑

k=1

aik∂Xj

∂xk

)

=1|Y |

∫Y

aij (y) dy − 1|Y |

N∑k=1

∫Y

aik (y)∂Xj

∂xkdy .

Observe que a matriz A0 é diferente da matriz MY (A) de Aε (associadaa lei das misturas). Com efeito, A0 é obtida mediante a soma de umvalor corretor, a saber

MY

(N∑

k=1

aik∂Xj

∂xk

).


3 Fazendo N = 1 no teorema anterior obtemos

a0 = M(0,l1)

(a(y)

ddy

(y − X

))= M(0,l1)

(a(y)− a(y)

dXdy

)onde

ddy

(a(y)

dXdy

)=

ddy

(a(y)) y ∈ (0, l1)

X Y − periódica

M(0,l1)

(X)

= 0

.

Logo

X (y) = − 1M(0,l1) (1/a)

∫ y

0

dsa(s)

+ y + C0,

onde a constante C0 é dada pela condição M(0,l1)

(X)

= 0, e

M(0,l1)

(a(y)− a(y)

dXdy

)=

1M(0,l1) (1/a)

.

Assim o valor corretor no caso unidimensional é

M(0,l1)

(a(y)

dXdy

).


4 Pode-se mostrar também que

a0ij =

1|Y |

N∑k,l=1

∫Y

akl (y)∂ωj

∂xl

∂ωi

∂xkdy i , j = 1, ...,N,

e que existe α0 > 0 tal que

∑i,j

a0ij ξi ξj ≥ α0 |ξ|2 ∀ξ ∈ RN .

Note que se A é simétrica, então A0 é simétrica.


Duas escalas caracterizam nosso problema, uma macroscópica x e outramicroscópica x/ε que descreve as micro-oscilações. Empiricamente, somoslevados a olhar para o desenvolvimento de uε da forma

uε(x) = u0(x , x/ε) + ε u1(x , x/ε) + ε2 u2(x , x/ε) + ...

onde ui (x , y) é uma função Y -periódica na segunda variável y .

Este método clássico é muito utilizado em Mecânica, Física e Engenharia,em problemas cujos parâmetros são de ordem pequena e descrevemdiferentes escalas. Em geral, nos permite identificar o problemahomogeneizado de maneira formal.


Nosso problema admite a seguinte expansão assintótica:

uε = u0 − εN∑

i=1

Xi (x/ε)∂u0

∂xi+ ε2

N∑i,j=1

θij (x/ε)∂2u0

∂xi∂xj+ ...

onde u0 é a solução do problema homogeneizado, Xi é a solução doproblema auxiliar

−div(

A(y)∇Xi

)= −div (A(y)ei ) em Y

Xi Y − periódico

MY

(Xi

)= 0

e θij satisfaz−div

(A(y)∇θij

)= −a0

ij −∑

kl∂aklδik Xj∂yk

−∑

k ail∂Xj−yj∂yj

em Y

θij Y − periódico

MY

(θij

)= 0

.


Prova de convergência.

Método variacional das funções testes oscilantes de Tartar (1977 e1978).

Método de duas escalas devido a Nguetseng (1989) e Allaire (1992).


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