Estatística IME (01)

CONCEITOS

INICIAIS

Estatstica Aplicada Engenharia Civil

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a. Viso sistmica da Estatstica.

b. Populao e amostra.

c. Tipos de variveis.

d. Amostragem.

Por que os engenheiros civis devem entender conceitos estatsticos? Porque as nossas decises dirias

baseiam-se em informaes incompletas, e pessoas com diferentes formaes devem decidir com

segurana na prpria vida profissional, segurana proporcionada pela Estatstica, cujo objetivo auxiliar

as tomadas de deciso em face de incertezas, justificando-as cientificamente, analisando nmeros,

constatando relaes e fazendo inferncias para um todo a partir de uma amostra do mesmo.

A Estatstica trata com o lidar e o quantificar das variabilidades intrnsecas, comuns em toda a Natureza,

e da incerteza causada pelo desconhecimento do todo quando examinamos apenas uma parte dele.

A Estatstica busca a estabilidade na variabilidade.estabilidade na variabilidade.estabilidade na variabilidade.estabilidade na variabilidade.

Neste livro, o enfoque baseia-se em aplicaes, com os conceitos estatsticos sendo apresentados

medida que forem necessrios.

1.1 Viso sistmica da Estatstica No estudo estatstico, coletam-se unidades individuais de nosso interesse (chamadas unidades de observao ou de anlise). Entretanto, Estatstica no interessa concluir a respeito dessas unidades individuais de observao, mas sim do quadro geral, grupos, conjuntos ou eventos, denominados genericamente pelo termo populao e, desta, uma ou mais caractersticas. A partir dessa populao, retira-se uma parte, denominada amostra, que deve ser representativa dela, ou seja, conservando todas as caractersticas da populao. Depois, descreve-se essa amostra, em termos numricos ou no, e de modo sistemtico, para se poder, a partir dessa parte, caracterizar toda a populao.

O resumo, a organizao e a descrio das caractersticas das unidades de observaes obtidas da amostra constituem a chamada Estatstica Descritiva.


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O passo seguinte, generalizar para a populao aquilo que se observou na amostra, denomina-se Inferncia Estatstica (tambm chamada Estatstica Indutiva ou Inferencial). Como as informaes para a Inferncia Estatstica provm de um conjunto menor que a populao, nunca as concluses sero totalmente corretas, podendo-se cometer erros, que so quantificados e expressos por um valor, determinado pelo clculo das Probabilidades, campo do conhecimento que lida com modelos matemticos racionais para situaes relacionadas com incertezas e, em outras ocasies, com o acaso.

importante enfatizar que a Estatstica Descritiva e o Clculo das Probabilidades so ferramentas para a Inferncia Estatstica, a qual lida de duas maneiras com os resultados obtidos a partir das amostras retiradas de uma populao:

(1) realizando um teste para verificar se pode ser considerado verdade o que se afirma a respeito de uma caracterstica da populao,

(2) afirmando entre quais limites pode se encontrar uma caracterstica da populao. A Figura 1.1 apresenta uma viso geral da Estatstica de acordo com o exposto.

Figura 1.1 - Viso Sistmica da Estatstica A anlise exploratria de dados (Estatstica Descritiva) a fase inicial do processo de estudo dos elementos coletados nas amostras. Nessa etapa, utilizam-se tcnicas que resumem e classificam o conjunto coletado para que se obtenham as informaes pertinentes que sero utilizadas na fase final do processo, que a anlise confirmatria de dados, denominada Inferncia Estatstica.

O procedimento para um estudo estatstico, utilizado para obter, apresentar e analisar valores numricos, tem os seguintes passos:

1. Definir cuidadosamente o problema a partir da populao de interesse 2. Planejar a coleta dos elementos da amostra, identificar as variveis mais importantes e

restringir-se aos dados de interesse. 3. Coletar os dados e transform-los em nmeros 4. Identificar o melhor modelo estatstico e utiliz-lo para gerar resultados 5. Analisar os resultados obtidos 6. Relatar as concluses tais que sejam facilmente entendidas por quem as for usar na tomada

de decises

1.2 Amostragem

CLCULO DAS PROBABILIDADES

INFERNCIA

POPULAOESTATSTICADESCRITIVA

erro

1

2

3

AMOSTRA

CLCULO DAS PROBABILIDADES

INFERNCIA

POPULAOESTATSTICADESCRITIVA

erro

1

2

3

AMOSTRA


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A norma NBR 5425/1977 - Guia para Inspeo por Amostragem no Controle e Certificao da Qualidade define como sendo planos de amostragem aqueles segundo os quais uma ou mais amostras1 so retiradas do lote de inspeo com o propsito de decidir pela sua aceitao ou rejeio.

O importante fazer com que, sempre, a amostra seja considerada representativa da populao. Por exemplo, uma amostra2 de concreto deve ter caractersticas idnticas aos demais lotes de concreto como um todo. Entretanto, no se deve confundir representatividade da amostra com tamanho da amostra. Por exemplo, em uma populao em que todos os elementos so rigorosamente iguais, o tamanho da amostra pode ser 1, e apenas com uma unidade de observao ela representativa, porque tem as mesmas caractersticas da populao. Por outro lado, em uma populao de 200 pessoas, com 190 homens e 10 mulheres, pode-se retirar uma amostra de tamanho 190 (95% do tamanho da populao), mas todos homens. Neste caso, a amostra no seria representativa, porque no incluiria nenhuma mulher.

Comentrio: definido como fazer a amostragem, surge a dvida: qual deve ser o

tamanho da amostra? necessrio compreender o seguinte: quanto maior o tamanho

da amostra, mais esta se aproxima da populao e menor o erro que se pode cometer

na tomada de deciso. Desse modo, o tamanho da amostra a ser retirada o maior

que se possa conseguir com os recursos disponveis.

Aps retirar a maior amostra que se pode conseguir, calcula-se o erro que possa

cometer e verifica-se se adequado para deciso a ser tomada. Se for maior que o

desejado, comparam-se o custo de nova amostragem com o custo de uma deciso

errada daqui a algum tempo, e ento se decide se melhor investir na amostragem

ou arriscar no erro maior que o desejado (Figura 1.2).

1 Em Estatstica, amostra um subconjunto do todo que se deseja estudar, chamado populao.

2 Em Engenharia Civil, as normas denominam essa amostra de lote.


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Figura 1.2 Deciso entre custos e riscos

Entretanto, as normas tcnicas da Engenharia Civil, usualmente, j estabelecem o tamanho das amostras a serem retiradas, com base no somente neste custo como tambm porque, na vida real, muitos valores de referncia so obtidos de observaes de resultados ao longo do tempo e, a partir de determinado momento, adotados como regra.

Convm ressaltar que, embora a Estatstica seja classificada como sendo do ramo da Matemtica, ela no Matemtica, porque, realmente, uma cincia experimental e, dessa maneira, dados experimentais devem ser considerados para a formulao dos modelos estatsticos e no o contrrio.

Sabendo-se o tamanho da amostra, e que deve ser retirada, conforme preconizam as normas, de maneira aleatria, deve-se agora, estabelecer um procedimento para se fazer essa amostragem.

Situao 1

Execuo de uma obra com as seguintes caractersticas:

- edifcio residencial com 12 andares;

- volume total de concreto: 900 m3;

- resistncia compresso de projeto fck = 25 Mpa;

- concreto fornecido por empresa de concretagem,e

- a concretagem de cada andar ser feita em uma jornada de trabalho.

Indicar o procedimento de amostragem a ser adotado no controle estatstico da resistncia compresso do concreto, descrevendo-o operacionalmente.


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O procedimento a ser seguido est descrito no item 7.2.1. da norma NBR-12655/2006 - Concreto

Preparo, controle e recebimento, que estabelece que a amostragem do concreto deve ser feita

dividindo-se a estrutura em lotes3 de concreto que atendam aos seguintes limites: 50 m3, 1 andar ou 3

dias de concretagem.

Pode-se perguntar a razo dos valores 50 m3, 1 andar ou 3 dias de concretagem. Na

vida real, muitos valores de referncia so obtidos de observaes de resultados ao

longo do tempo e, a partir de determinado momento, adotados como regra.

No caso dessa obra, como o volume de concreto, por andar, ultrapassa 50 m3 e a concretagem de cada

andar ser feita em apenas 1 dia, o nmero de lotes deve ser calculado da seguinte maneira:

Nmero de lotes = Volume total do concreto / volume mximo de cada lote,

Isto :

Nmero de lotes = 900 m3/ 50 m3 = 18

Ou seja, o controle do concreto dever ser feito em 18 lotes de 50 m3 de concreto.

Nota: evidentemente o resultado dessa diviso deve ser arredondado para o inteiro

superior.

Ainda segundo a NBR-12655/2006, podem ser adotados dois tipos de amostragem para se realizar o

controle estatstico da qualidade do concreto:

1. Amostragem parcial 2. Amostragem total.

No primeiro caso, a amostra deve ter, no mnimo, 6 (seis) exemplares, onde cada exemplar constitudo

por dois corpos-de-prova coletados aleatoriamente dos caminhes betoneiras que chegarem obra e

moldados no mesmo ato. Toma-se como resistncia do exemplar o maior dos dois valores obtidos no

ensaio de resistncia compresso.

No segundo caso, de todos os caminhes betoneiras que chegarem obra ser coletado um exemplar

com dois corpos-de-prova.

No presente caso, para definio do tipo de amostragem a ser adotada deve-se considerar que o volume

mdio de concreto transportado em cada caminho betoneira de 7 a 8 m3; ou seja, sero necessrios

cerca de 7 (sete) caminhes para formar cada lote de 50 m3. Caso se adotasse o procedimento da

amostragem parcial, com nmero mnimo de exemplares, apenas um caminho poderia deixar de ser

amostrado. Dessa forma, torna-se mais fcil e prtico, metodologicamente, colherem-se exemplares de

TODOS os caminhes que chegarem obra, obtendo-se, assim, uma amostra com 7 (sete) exemplares

por lote, dispensando o emprego de tcnicas de amostragem aleatria.

Observao: caso o concreto fosse produzido na prpria obra, dever-se-ia considerar que o volume das

betoneiras portteis muito menor, da ordem de 0,5 m3, ou seja, seriam necessrias cerca de 100

betonadas para cada lote de 50 m3. Neste caso, a amostragem parcial tornar-se-ia mais aconselhvel e a

3 Na Engenharia Civil, o conceito de lote equivale ao de amostra na Estatstica.


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NBR-12655/2006 no explicita o procedimento a ser adotado para coleta das amostras, apenas

definindo que a amostragem deve ser aleatria.

NOTA: as normas tcnicas brasileiras na rea de Engenharia Civil no definem nem

sugerem nenhum procedimento que garanta a aleatoriedade na amostragem, sendo

prtica comum entender-se erradamente - que a amostragem pode ser feita a livre

critrio do executante.

Ressalte-se que quando h uma escolha deliberada dos exemplares que constituiro a

amostra, tem-se o tipo de amostragem no-probabilstica ou intencional.

Em se tratando de amostragem aleatria simples, a mais comum das chamadas

amostragens probabilsticas, cada elemento da populao deve ter igual

oportunidade de fazer parte da amostra, e, nesse caso, o procedimento de coleta de

cada elemento da amostra pode ser, por exemplo:

- Numerar todos os elementos da populao

- Efetuar sucessivos sorteios at obter o tamanho n da amostra

Embora a norma NBR-12655/2006 estabelea o tipo de amostragem, para o primeiro caso, como sendo

aleatria (ou seja, amostragem aleatria simples), no o explicita no segundo. Todavia, pelo processo de

coleta no segundo caso (a cada betoneira que chegar obra), a amostragem denominada em

Estatstica de sistemtica.

No caso desse exemplo, poderia ser adotado o seguinte procedimento: sabendo-se que sero

necessrias 100 betonadas por lote, antes de se iniciar a concretagem sortear-se-iam 6 (seis) nmeros

(de 1 a 100) que corresponderiam ao nmero sequencial da betonada a ser amostrada.

Esse procedimento de sorteio, nos dias atuais, pode ser feito atravs da planilha Excel, por meio da

Ferramenta de Anlise: Gerao de Nmero Aleatrio (a partir da identificao da ferramenta Anlise e

Dados).

passo 1: a) nos Excel 2013, 2010 e 2007, v ao menu Dados e escolha Anlise de dados..

(extremidade direita) b) no Excel 2003, v ao menu Ferramentas e escolha Anlise de dados.. (ltima

linha); Surge a respectiva tela (Figura 1.3).


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Figura 1.3 - Anlise de dados.

Caso no aparea Anlise de Dados:

a) no Excel 2013, v ao Anexo 1.

b) no Excel 2010, v ao Anexo 2.

c) no Excel 2007, v ao Anexo 3.

d) no Excel 2003, v ao Anexo 4.

passo 2: por meio da barra de rolagem da direita, procure, entre as Ferramentas de Anlise, Gerao de nmero aleatrio (Figura 1.2);

Figura 1.2- Gerao de nmero aleatrio em Ferramentas de Anlise.

passo 3: clique OK no extremo superior direito do quadro, surgindo tela Gerao de nmero aleatrio (Fig. A12.3);


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Figura 1.3- Gerao de nmero aleatrio.

passo 4: em Nmero de variveis, digite a quantidade de colunas de nmeros que deseja na tabela de sada, usualmente 1 (para gerar uma coluna). Em Nmero de nmeros aleatrios, digite o total de nmeros desejados; cada valor gerado aparecer em uma linha da planilha de sada. Em Distribuio, clique na seta direita da palavra Discreta e selecione Uniforme, usada quando se deseja uma amostragem aleatria simples. Ao se escolher a palavra Uniforme, a tela muda (Figura 1.4).

Figura 1.4- Distribuio Uniforme na Gerao de nmero aleatrio.

Na tela correspondente da Figura 1.4, devem continuar a ser preenchidos,

respectivamente, os valores inicial, menos 1, e final, mais 1, da populao, ou seja,

se o sorteio for entre 1 e 27, digita-se 0 e 28 (em Entre e E). Em Opes de sada,

informar se deseja o resultado na mesma planilha (deve-se indicar a clula a partir

da qual sero mostrados os resultados), em outra planilha ou mesmo em outra

pasta de trabalho.


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A Figura 1.5 mostra a tela preenchida para sortear sete nmeros pseudo-

aleatrios entre 27 e 955.

Figura 1.5- Tela para gerar sete nmeros entre 27 e 955.

passo 5: clicando OK na tela, surgem todos os nmeros gerados; como, usualmente, desejam-se nmeros inteiros, vai-se no cone Diminuir casas decimais para reduzir-se a quantidade de casas; os resultados esto na Fig. A12.6.

A. NMEROS GERADOS b. INTEIROS GERADOS

Figura 1.6 Telas preenchidas com os resultados decimais e inteiros

E1-1

Sorteie, com o auxlio do Excel, 5 elementos de uma populao de 358 elementos, amostragem aleatria simples.

409,8411

876,1608

707,4002

379,8694

408,5071

65,13907

530,2384

410

876

707

380

409

65

530


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RESPOSTA

Em algumas situaes, pelas prprias caractersticas de uma obra, pode-se tornar invivel numerarem-

se sequencialmente todos os elementos da populao (nmero total de betonadas), e, ento, pode-se

usar a denominada amostragem sistemtica, adequada quando a populao est naturalmente

ordenada, o que ocorre no caso da produo contnua de concreto de uma obra. Dessa maneira,

escolhe-se, de modo regular, os exemplares que constituiro a amostra e, para isso, necessrio

calcular o chamado intervalo de amostragem.

Considere-se, por exemplo, uma populao de tamanho N da qual se deve retirar uma amostra de

tamanho n. Nesse caso, o intervalo a de amostragem o seguinte:

n

N a =

ou seja, de a em a elementos, escolhe-se aquele que deve compor a amostra.

No exemplo em anlise, tem-se uma populao de tamanho N=100 da qual se deve retirar uma amostra

com 6 exemplares. Nesse caso, o intervalo de amostragem deve ser:

(se fracionrio, deve-se truncar o valor, adotando-se apenas a parte inteira).

Ou seja, de 16 em 16 betonadas toma-se um exemplar para compor a amostra.

Observe-se que o item 7.2.2 da NBR-12655/2006 considera a amostragem aleatria

simples e a amostragem sistemtica como sendo aleatrias (embora a segunda no o

seja, no sentido estrito do termo), quando afirma que as amostras devem ser

coletadas aleatoriamente durante a operao de concretagem.

A dvida agora a seguinte: qual ser o primeiro elemento a ser escolhido na amostragem aleatria?

Para isso, deve-se sortear, por meio de uma amostragem aleatria simples, 1(um) entre os primeiros a elementos. Se o sorteado for o nmero x, este ser o primeiro elemento que ir compor a amostra, e os demais sero: x + a; x + 2a;..

Neste exemplo, sorteia-se um nmero x entre 1 e 16, que ser o nmero da primeira betonada a ser amostrada, sendo as demais: x + 16; x + 32;..

intervalos16 16,66

100 a ===


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Situao 2

Na execuo das fundaes de uma obra, sero cravadas 220 estacas pr-moldadas de concreto. Indicar como dever ser feita a comprovao da capacidade de carga. A norma NBR-6122/1996 - Projeto e execuo de fundaes estabelece, no seu item 9.2.2.2, que a verificao do desempenho de estacas pr-moldadas de concreto deve ser comprovado por meio de provas de carga, executadas da seguinte maneira: quando o nmero total de estacas for superior a 100 deve ser feito um nmero mnimo de provas de carga igual a 1%, arredondando-se sempre para mais. Assim, para a obra em questo, devem ser realizadas, no mnimo, 3 (trs) provas de carga.

Como a referida norma omissa, sugere-se o seguinte procedimento para a amostragem:

1. Numerar as 220 estacas da seguinte maneira: gerar 220 nmeros aleatrios4 e atribuir, pela ordem de aparecimento e de modo seqencial, cada um dos nmeros a cada uma das estacas. Exemplo para 10 estacas:

a) Geram-se 10 nmeros: 9-1-2-3-7-5-6-4-8-10 b) A primeira estaca ter o rtulo 9, a segunda ter 1, e assim sucessivamente.

2. Em seguida, geram-se 3 nmeros aleatrios entre 1 e 220. As estacas a serem examinadas sero aquelas com o rtulo sorteado. Se pertencerem ao mesmo bloco de fundao, recomendvel que se gere um novo nmero at que todas as estacas pertenam a blocos diferentes.

Situao 3

Na obra de pavimentao de uma rodovia federal, est sendo executada uma camada de sub-base de

solo estabilizado granulometricamente. Indicar o procedimento de amostragem a ser adotado para o

controle do grau de compactao.

A Especificao de Servio DNER-ES 301/97 Pavimentao sub-base estabilizada granulometricamente

estabelece, em seu item 7.2.2, o seguinte procedimento de controle da execuo: realizar ensaios de

massa especfica aparente in situ para cada 100m de pista, em locais escolhidos aleatoriamente. Para

pistas de extenso limitada, com reas de, no mximo, 4.000 m2, devero ser feitas pelo menos 5

determinaes para o clculo do grau de compactao.

4 Aleatrio ou pseudoaleatrio? Na gerao desses nmeros, os dgitos esto dispostos de tal maneira que a

oportunidade de qualquer um deles aparecer em determinada sequncia igual oportunidade do aparecimento

em qualquer outra sequncia, e cada uma de todas as combinaes de dois algarismos aparece o mesmo nmero

de vezes que qualquer outra, como tambm todas as combinaes de trs, quatro ou cinco algarismos, e assim por

diante. Cada combinao de resultados de dgitos pseudoaleatrios torna-se o valor inicial para o prximo a ser

gerado; se o valor inicial for o mesmo, repete-se a sequncia dos dgitos pseudo-aleatrios, o que descaracteriza a

aleatoriedade. Garante-se, na prtica, a aleatoriedade dos dgitos gerados utilizando-se uma funo matemtica,

denominada, IMPROPRIAMENTE, gerador de nmeros aleatrios, de tal maneira que o momento da repetio do

valor inicial ocorra aps tanto tempo que, no intervalo entre um dgito (ou um conjunto deles) e a sua repetio,

os valores gerados podem ser considerados aleatrios.


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Neste caso, ento, a norma determina que se deva usar amostragem sistemtica, fazendo-se um ensaio

a cada 100m de pista, alternadamente no bordo esquerdo, no eixo e no bordo direito. Como no est

especificado aonde deve ser feito o primeiro ensaio, sugere-se um procedimento de sorteio de um

nmero x de 1 a 100, que indicar a distncia, em metros, do primeiro ponto a ser ensaiado. Os demais

sero: x + 100, x + 200, x + 300, etc.

Exerccio 1

Na construo de uma ponte de concreto, sero executados ensaios de controle tecnolgico da brita a ser empregada na execuo do concreto, estocada em pilhas.

A norma rodoviria DNER-PRO 120/97 Coleta de amostras de agregados estabelece, no seu item 4.3.2.1, o seguinte procedimento para amostragem em pilhas de estocagem: as amostras devem ser obtidas de vrios pontos da pilha, dispostos alternadamente de um lado e de outro, desde a crista at a base, perfazendo um total de 400 litros. No caso de haver no local vrias pilhas do mesmo material e procedncia, operar separadamente para cada pilha, como antes indicado, obtendo amostras que devem ser a seguir reunidas e misturadas.

Justificar os seguintes passos do procedimento:

a) amostras obtidas de vrios pontos da pilha

b) pontos alternados

c) coleta desde a crista at a base

d) total de 400 litros

e) se vrias pilhas, operar separadamente cada uma delas

f) amostras reunidas e misturadas

Respostas

a) obter representatividade de toda a brita.

b) amostragem sistemtica, por ser impossvel a aleatria simples

c) obter representatividade de toda a brita para evitar os efeitos de segregao dos agregados grados, que se concentram na base da pilha

d) quantidade mxima que se pode obter com os recursos disponveis, considerados os custos de amostragem e de uma deciso errada passado um determinado tempo

e) obter representatividade de toda a brita, considerando amostras de cada uma das pilhas

f) tendo a representatividade da brita, homogenezam-se as amostras para que a amostra final tenha caractersticas de todas as pilhas.


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Situao 4

Na pavimentao de uma rodovia, com revestimento em concreto asfltico, deseja-se saber qual o

procedimento de amostragem a ser adotado no controle tecnolgico do Grau de Compactao da

mistura asfltica.

A norma rodoviria DNIT 031/2004ES Pavimentos Flexveis Concreto asfltico Especificaes de

Servio, estabelece, em seu item 7.2.2 que o Grau de Compactao deve ser determinado em locais

escolhidos, aleatoriamente, durante cada jornada de trabalho.

O nmero e a freqncia de determinaes devero obedecer ao Plano de Amostragem previsto na

norma DNER-PRO 277/1997 Metodologia para controle estatstico de obras e servios, segundo a

seguinte tabela:

AMOSTRAGEM VARIVEL

n 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 17 19 21

k 1,55 1,41 1,36 1,31 1,25 1,21 1,16 1,13 1,11 1,10 1,08 1,06 1,04 1,01

0,45 0,35 0,30 0,25 0,19 0,15 0,10 0,08 0,06 0,05 0,04 0,03 0,02 0,01

Onde:

n = nmero de exemplares

k = coeficiente multiplicador

= probabilidade de rejeio de um servio de boa qualidade (risco do executante).

Neste caso, ento, de acordo com normas citadas, caber ao executante escolher livremente, entre 5 a

21, o nmero de exemplares que comporo a amostra, assumindo um risco de rejeio que diminui na

medida em que aumenta o nmero de exemplares.

Mais uma vez, no h nenhuma referncia sobre o procedimento a ser adotado para garantir a

aleatoriedade da amostragem, permitindo, na prtica, que a coleta seja feita a livre critrio do

executante, o que torna a amostra no probabilstica.

Considerando-se a natural dificuldade prtica de se fazer uma amostragem verdadeiramente aleatria

em trechos extensos (na qual cada segmento executado deve ter a mesma probabilidade de compor a

amostra), prope-se uma amostragem hbrida, misto de sistemtica e aleatria. Diferentemente da

amostragem sistemtica clssica, com suas limitaes e restries, prope-se um procedimento de

amostragem onde se garante que cada segmento ser inspecionado e, em cada um deles, o local de

coleta ser aleatrio. A metodologia consiste em:

- definir o nmero de exemplares da amostra com base no risco de rejeio a ser assumido. Por

exemplo: assumindo-se um risco de 10% de ter rejeitado o servio, mesmo que tenha boa qualidade,

implicaria num lote de n=12 exemplares;


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- dividir o trecho executado em n segmentos de mesma extenso, nos quais ser coletada uma

amostra de cada;

- obter um nmero pseudo-aleatrio (empregando-se tabela, calculadora ou planilha Excel) para

definir a distncia estaca inicial onde ser coletada a amostra do primeiro segmento;

- repetir o procedimento para os demais segmentos, definindo-se a distncia estaca inicial onde

ser coletada a amostra.

A principal caracterstica dessa proposta impedir a concentrao de exemplares em determinada parte

de um segmento, impondo um controle sistemtico de segmentos, alm do emprego de nmeros

pseudo-aleatrios na definio da local de coleta do exemplar, evitando concentrao de exemplares na

mesma parte dos segmentos.

Essas consideraes baseiam-se em que todo projeto de engenharia rodoviria resulta na fixao de

valores mnimos e mximos para as caractersticas tecnolgicas dos materiais a serem empregados e

para as caractersticas finais de cada obra ou servio, cabendo ao executante a escolha dos meios para a

sua execuo. A base legal para aceitao ou rejeio desse tipo de servio esse estar ou no de

acordo com as especificaes constantes do projeto.

1.3. Elementos coletados: o que fazer com eles? Primeiramente, identificar as caractersticas dos elementos das amostras e classificar essas caractersticas.

Essas caractersticas so denominadas variveis, as quais podem ser dos seguintes tipos: qualitativa quantitativa

Uma varivel chamada qualitativa quando divide em categorias, como, por exemplo, alta, mdia e baixa.

O segundo tipo de varivel a quantitativa, quando seus valores so numricos e estes nmeros tm significado.

Aps identificar as caractersticas dos espcimes coletados, deve-se transform-las em nmeros por meio de escalas de medio.

1.4. As escalas que caracterizam numericamente as unidades de observao

Conhecido o tipo das caractersticas das unidades de uma populao, preciso identificar quantitativamente essas caractersticas, atribuindo um nmero a elas, o que feito pelas escalas de medidas. So quatro essas escalas: nominal, ordinal, intervalar e proporcional.

1. Escala nominal Na escala nominal, s variveis qualitativas se atribui um valor numrico associado a cada categoria, nmero que serve apenas como codificao, sem se poder usar para operaes matemticas.

Exemplo de escala nominal


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Leo Arons: o homem que no se encaixava em categorias

Socialista rico, descendente de judeus, mas nada religioso. Leo Arons era fsico, mas no acreditava em verdades eternas. (Fonte: http://tinyurl.com/b2prw37)

2. Escala ordinal Nessa escala, as categorias so ordenadas (de maneira crescente ou decrescente) em situaes em que a posio de uma unidade de observao em relao s demais importante. Ao associar n observaes, ordenadas de modo crescente pela srie dos nmeros naturais positivos de 1 at n, define-se uma relao de ordem mas o uso desses nmeros de ordem nas operaes matemticas oferece informao limitada. Por exemplo, ao se verificar o desempenho de uma pessoa ou de uma atividade para o qual h cinco categorias, para facilidade de codificao associa-se um nmero a cada desempenho: (5) timo, (4) bom, (3) regular, (2) ruim e (1) pssimo. Um 4 indica melhor desempenho do que um 3, mas no implica, necessariamente, que esse desempenho 4 seja duas vezes melhor que o 2.

Exemplo de escala ordinal EUA cobram responsabilidade de agncias de rating em crise financeira mundial

Governo norte-americano considera que agncias de classificao de risco Standard & Poor's, Moody's e Fitch tiveram papel chave na crise que devastou os mercados em 2008. Ministrio da Justia entrar com processo. (Fonte: http://tinyurl.com/bhpeyta)

3. Escala intervalar

A atribuio de valores s caractersticas de interesse permite comparar no s a ordem como tambm a variao numrica entre essas caractersticas. Por exemplo, se em um intervalo de duas horas forem anotadas cinco leituras de temperatura, 205, 207, 210, 215 e 220, alm de haver uma ordenao, a variao de 10 graus entre 205 e 215 a mesma do que a entre 210 e 220, embora as origens das medies ejam diferentes.

4. Escala proporcional

Semelhante escala intervalar, a atribuio de valores s caractersticas de interesse permite comparar no s a ordem como tambm a variao numrica entre as caractersticas, mas h, agora, um zero natural para a escala de medio. Por exemplo, considere uma situao na qual se obtiveram as seguintes massas, em quilogramas: 5,0, 5,1, 5,3 e 5,4. A variao de 5,0 kg para 5,1 kg de 0,1 kg, a mesma variao de 5,3 kg para 5,4 kg, e existe um zero natural para a escala, o 0 kg. O fato de uma varivel ser expressa por nmeros no significa que ela seja necessariamente quantitativa, porque a classificao da varivel depende de como foi medida, e no do modo como se manifesta. Por exemplo, para a varivel peso de um lutador de boxe, se for anotado o peso marcado na balana, a varivel quantitativa contnua; por outro lado, se esse peso for classificado segundo as categorias do boxe, a varivel qualitativa ordinal.

Pode tambm ocorrer que a mesma varivel tenha classificaes diferentes; por exemplo, os meses do ano podem

ser considerados nominal, ordinal, intervalar ou mesmo proporcional, dependendo de como seja interpretado

a. s o nome nominal b. se o nmero do ms ordinal c. se a diferena entre dois meses quaisquer intervalar d. se a partir de um ms especfico proporcional

1.5 Valores extremos: at qual considerar? Transformadas em nmeros as caractersticas dos elementos da amostra, pergunta-se: os valores extremos (maior e menor) desse conjunto, em relao aos demais, podem ser considerados vlidos, ou seja, pertencendo ao conjunto de dados? Resultados extremos so valores dispersos em relao ao seu conjunto e valores


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grosseiramente inconsistentes com outras partes do grupo de dados. A importncia de se eliminar os valores possivelmente incorretos, assunto conhecido por rejeio de dispersos porque muitas ferramentas estatsticas so sensveis presena desses valores.

Um valor disperso5, ("aberrante") um valor amostral que no tpico quando comparado com os demais resultados obtidos, sendo de um dos extremos, ou o maior ou o menor dos valores. Esse tipo de valor situa-se alm das faixas de 3 a 4 (trs a quatro) desvios-padro em torno da mdia.

Verificar os dispersos deve ser parte da rotina de qualquer anlise da dados, e aqueles potenciais devem ser examinados para verificar se realmente esto errados. Caso positivo, devem ser corrigidos, se possvel, ou ento, se inexistir razo para tal, devem ser eliminados somente aps um estudo cuidadoso.

H um nmero razovel de critrios para definir se um valor pode ser considerado disperso ou no em relao aos demais de um conjunto. Para identificar um valor possivelmente incorreto h diversos critrios; entretanto, h um critrio mais recomendado que os demais, que ser usado nesta publicao. Esse critrio depende da mdia aritmtica e do desvio-padro dos resultados. Desse modo, preciso, primeiro, iniciar a chamada Estatstica Descritiva, na qual se insere o clculo da mdia aritmtica e do desvio-padro.

PAUSA PARA RECORDAR MDIA

(medida de representatividade)

e DESVIO-PADRO (medida de disperso).

(continua no Captulo 2)

5 Em ingls, outlier.


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EXERCCIOS

Caso encontre algum exerccio que no tem um texto que o responda, pesquise a respeito e incorpore o que descobriu ao corpo do material.

A.A.A.A. EXERCCIOS EXERCCIOS EXERCCIOS EXERCCIOS CCCCONCEITUAISONCEITUAISONCEITUAISONCEITUAIS Antes de resolver um problema, PENSE!

Fonte: http://rpcriativo.blogspot.com/2010/04/pensar-fora-da-caixa-pode-ser-muito.html

1. Defina Estatstica.

2. Explique sucintamente as divises da cincia estatstica.

3. Exemplifique as fases do mtodo estatstico com um exemplo da rea da Engenharia Civil

4. Cite duas situaes da Engenharia Civil em que uma amostragem prefervel a um censo.

5. Na p. 29 do Manual de Hidrologia Bsica para Estruturas de Drenagem, publicao IPR-715 do DNIT-DEPARTAMENTO NACIONAL DE INFRAESTRUTURA DE TRANSPORTES, edio de 2005, consta o seguinte pargrafo: Os resultados da extrapolao estatstica obtidos segundo diversas leis de distribuio comeam a divergir apreciavelmente somente para tempos de recorrncia mais elevados, para os quais a aplicao no mais recomendvel. Reescreva esse pargrafo, utilizando termos estatsticos apropriados.

6. Na p. 30 da publicao IPR-715 do DNIT, edio de 2005, consta o seguinte pargrafo: Uma anlise mais cuidadosa mostrou que a enchente de 1911 e, com muita probabilidade outras precedentes, eram referidas ao mesmo nvel que as de 1983 e 1984, tendo apenas decorrido um perodo de 72 anos sem registros mais severos, o que compromete seriamente qualquer estudo estatstico de descargas desenvolvido nessa regio em poca mais recente.. Explique porque a concluso compromete seriamente qualquer estudo estatstico de descargas desenvolvido nessa regio em poca mais recente.


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7. Comente a seguinte frase, extrada da p. 31 da publicao IPR-715 do DNIT, edio de 2005: Na falta de semelhante informao, pode-se recorrer expresso que Fller estabeleceu a partir de numerosos rios nos E.U.A., e que tem a seguinte forma:.

8. Comente a seguinte frase, extrada da p. 107 da publicao IPR-715 do DNIT, edio de 2005: Sups-se, neste caso, uma bacia no sul do Estado de Gois onde o posto n 32 Goinia razoavelmente representativo,

9. Identifique os tipos de variveis citadas na frase da p. 125 p. 31 da publicao IPR-715 do DNIT, edio de 2005: Resultaram assim tabelas, correspondentes s Metodologias A e B, respectivamente, fornecendo os coeficientes de deflvio do mtodo racional, em funo dos quatro parmetros:

tc - tempo de concentrao;

A - rea da bacia hidrogrfica;

CN - nmero da curva de infiltrao do solo;

FP - fator de precipitao, indicando a potencialidade das chuvas intensas, inclusive seu tempo de recorrncia.

10. Escreva por que necessrio estudar Estatstica.

Auxiliar a tomada de decises.

11. Cite as duas partes da Inferncia Estatstica. Estimao e testes de hipteses

12. Dentre as trs mais comuns divises da Estatstica, identifique a mais importante, justificando. Inferncia Estatstica, porque com base nela as decises so tomadas.

BBBB....EXERCCIOSEXERCCIOSEXERCCIOSEXERCCIOS de habilidade de habilidade de habilidade de habilidade (resolver problemas)(resolver problemas)(resolver problemas)(resolver problemas)

A repetio at a exausto leva perfeio!

Passo 1: Faa exerccios at completar 10 (dez) SEM ERRAR NENHUM

Passo 2: Chegou ao final?

a. SIM: refaa todos mais uma vez e v ao Passo 3

b. NO: v ao Passo 1

Passo 3: Faa os exerccios computacionais

1) Exerccios do Companion cap 1 e 7 (parte)


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C.C.C.C. Exerccios de usoExerccios de usoExerccios de usoExerccios de uso de de de de aplicativosaplicativosaplicativosaplicativos computacionaiscomputacionaiscomputacionaiscomputacionais

1) Crie um anexo ao captulo 1 com os passos bsicos para usar o aplicativo R.

2) Inclua no texto como fazer para gerar dgitos pseudoaleatrios com o aplicativo R.

D.D.D.D. Exerccios deExerccios deExerccios deExerccios de

interpretao deinterpretao deinterpretao deinterpretao de resultadosresultadosresultadosresultados Ao longo do texto.

EEEE....EXERCCIOS de pesquisaEXERCCIOS de pesquisaEXERCCIOS de pesquisaEXERCCIOS de pesquisa Liste e comente endereos na rede mundial de computadores, relacionados aos assuntos vistos neste captulo como, por exemplo, em:

1. www.youtube.com

a. http://www.youtube.com/watch?v=hXyupCfzCB8

b. http://www.youtube.com/watch?v=-LU9lMOGyU4

2. www.youtube.com/edu (Category: University)

a. http://www.youtube.com/course?feature=edu&category=University%2FMathematics&list=EC1328115D3D8A2566

b.

3.

FFFF.... QUESTQUESTQUESTQUESTESESESES: : : : ENADE EENADE EENADE EENADE E PROVPROVPROVPROVOOOO 1. 2.

G. G. G. G. PPPPara descontrairara descontrairara descontrairara descontrair:::: 3. http://www.youtube.com/watch?v=H6syI3xiBBg 4.


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COLABORAO COM A HUMANIDADE

99% das pessoas esto fazendo DOWNLOAD de coisas legais da internet. Apenas 1% das pessoas

fazem UPLOAD de alguma coisa. PARE de apenas CHUPAR GRATUITAMENTE o que o crebro da

humanidade te fornece, a comece a COLABORAR com coisas legais. o mnimo que voc poderia

fazer pela humanidade.

(Ricardo Jordo Magalhes)


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ANEXO 1

Excel no Office 2013

No Excel do Office 2013, por assinatura, no aparece, inicialmente, Anlise de

Dados. Desse modo, siga o seguinte roteiro:

- passo 1: abrir o Excel (Figura A1.1)

Figura A1.1 Tela inicial do Excel no Office 2013

- passo 2: clicar em Arquivo Figura A1.2.

Abre-se a tela da Figura A1.3, clicar em Opes, ltima linha, lado esquerdo,

surge a Figura A1.4


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Figura A1.3 Escolha Opes em Arquivo

Figura A1.4 Opes

- passo 3: clicar no boto Suplementos ( esquerda, 9. Opo), surgindo a Figura


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A1.5

Figura A1.5 Escolha de Suplementos

- passo 4: clicar no boto Ir... (embaixo, no centro, escolhendo a opo Gerenciar:

Suplementos do Excel), Figura A1.6, surgindo a tela da Figura A1.7.

Figura A1.6 Ao de incluir o Suplementos do Excel


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Figura A1.7 Tela de Suplementos

- passo 5: selecionar Ferramentas de Anlise e Ferrramentas de Anlise-VBA, e

dar OK.

- passo 6: Ao se dar Ok na Figura A1.7, na aba Dados surge, na extremidade

direita, Anlise de Dados, Figura A1.8

.

Figura A1.8 - Tela com a aba Dados e a opo Anlise de Dados

passo 7: Clicando em Anlise de Dados, finalmente, surgem as Ferramentas de Anlise, Figura A1.9


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Figura A1.9 - Tela com as Ferramentas de Anlise


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ANEXO 2


No Excel do Office 2010, no aparece, inicialmente, Anlise de Dados. Desse modo, siga o seguinte roteiro:

- passo 1: abrir o Excel (Figura A2.1)


- passo 2: clicar em Arquivo e depois em Opes Figura A2.2. Abre-se a tela da Figura A2.3.


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Figura A2.2 Arquivo e Opes

Figura A2.3 Tela Opes

- passo 3: clicar no boto Suplementos ( esquerda, 8. Opo), surgindo a Figura A2.4

Figura A2.4 Tela Suplementos

- passo 4: clicar no boto Ir... (embaixo, no centro, escolhendo a opo Gerenciar: Suplementos do Excel), Figura A2.5, surgindo a tela da Figura A2.6.


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- passo 5: selecionar Ferramentas de Anlise e Ferrramentas de Anlise-VBA, conforme a Figura A2.6 e dar OK.


- passo 6: Ao se dar Ok na Figura A2.6, onde, na aba Dados, direita aparece Anlise de Dados, Figura A2.7.


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Figura A2.7 - Tela com a aba Dados e a opo Anlise de Dados

passo 7: Clicando em Anlise de Dados, finalmente, surgem as Ferramentas de Anlise, Figura A2.8



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ANEXO 3


No Excel do Office 2007, no aparece, inicialmente, Anlise de Dados. Desse modo, siga o seguinte roteiro: - passo 1: abrir o Excel (Figura A3.1)


- passo 2: clicar no smbolo do Office 2007 (Figura A3.2). abrindo-se a tela da Figura A3.3.

Figura A3.2 Smbolo do Office 2007


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Figura A3.3 Opes no Excel

- passo 3: clicar no boto Opes do Excel (embaixo, direita), Figura A3.4, abrindo-se a tela da Figura A3.5

Figura A3.4 Boto Opes do Excel


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Figura A3.5 Tela Opes do Excel

- passo 4: clicar no boto Suplementos ( esquerda, 7. Opo), surgindo a Figura A3.6

Figura A3.6 Tela Suplementos

- passo 5: clicar no boto Ir... (embaixo, no centro, escolhendo a opo Gerenciar: Suplementos do Excel), Figura A3.7, surgindo a tela da Figura A3.8.


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- passo 6: selecionar Ferramentas de Anlise e Ferrramentas de Anlise-VBA, conforme a Figura A3.8 e dar OK.


- passo 7: Ao se dar Ok na Figura A3.8, surge a Figura A3.9. Deve-se clicar na aba Frmulas, quando surge a Figura A3.11.

Figura A3.9 -Tela inicial

Figura A3.10 - Tela com as opes da aba Frmula

passo 8. Clicando-se esquerda em Inserir funo, surge a Figura A3.12.


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Figura A3.12 - Tela com as opes do Inserir Funo.

passo 10. Escolhendo-se a aba Dados, surge a Figura A3.13, em que direita aparece Anlise de Dados.

Figura A3.13 - Tela com a aba Dados

e a opo Anlise de Dados

passo 11: Clicando-se em Anlise de Dados, surge a Figura A3.14.

Figura A3.14 - Tela com a descrio de Anlise de Dados

passo 12: Finalmente, surgem as Ferramentas de Anlise, Figura A3.15.


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ANEXO 4 Anlise de Dados no Excel 2003

Passo 1. Selecione, em Ferramentas, Suplementos...; abre-se outra tela, na

qual se deve clicar em cima dos dois quadrados referentes a Ferramentas de

Anlise e a Ferramentas de Anlise VBA (Figura A3.1).

Figura Figura A4.1- Ferramentas de Anlise em Suplementos.

Passo 2. Clique no boto OK; retorne a Ferramentas e veja que surge Anlise de

Dados... na ltima linha.

Estatística IME (01)

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