Guia matematica II
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UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL
“FRANCISCO DE MIRANDA”
DEPARTAMENTO DE FÍSICA Y MATEMÁTICA
ÁREA DE EDUCACION
UNIDAD CURRICULAR: MATEMÁTICA II
PROF: MIGUEL GARCÍA
Guía Teórico /Practico de Matemática II 1
Antiderivada o Primitiva:
Definición 1:
Una función F se llama antiderivada de una función f, en un intervalo I, si
F`(x) = f (x) para todo valor de x en I.
Teorema 1:
Si F es una primitiva (o antiderivada) de f en un intervalo I, entonces G es
una primitiva de f en I si y solo si G es de la forma
G(x) = F(x) + C; para todo x en I
donde C denota una constante.
Nota: C es una constante, llamada constante de integración. La familia de
funciones representada por G se llama la primitiva general de f y G(x) =
F(x) + C es la solución general de la ecuación diferencial.
La operación de hallar todas las soluciones de esta ecuación se llama
Integración Indefinida o Antiderivación, y se denota por un signo integral .
La solución general se denota por:
CxFdxxfy )()(
Variable de
Integración
Integrando
Constante de Integración
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La Integración es el procedimiento <<inverso>> de la diferenciación”
Propiedades Básicas de la Integral Indefinida:
1.-
3.-
5.-
7.-
9.-
11.-
13.-
15.-
17.-
19.-
2.-
4.-
6.-
8.-
10.-
12.-
14.-
16.-
18.-
20.-
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Importante: Revisar “Procedimientos de ajuste de integración a las reglas
básicas”. Capitulo 7. Pág. 542.Cálculo, R. Larson.
Ejemplos:
Problema #1: Calcular la siguiente integral: dxx9
Solución:
La integral del enunciado es de tipo potencial, por lo tanto podemos
aplicarle a ella la siguiente fórmula:
1
1
n
xdxx
nn
así que aplicándola al ejemplo, nos queda:
CxICx
ICx
I
101019
10
1
1019
Por lo tanto:
Cxdxx 109
10
1
Problema #2: Calcular la siguiente integral: dxx3
8
5
Solución:
Primeramente, antes de empezar a integrar la expresión del enunciado,
debemos transformarla, utilizando la propiedad de linealidad, sacando la
constante fuera de la integral, es decir:
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dxx3
8
5
Ahora, como la integral es del tipo potencial aplicamos el procedimiento
indicado:
CxCx
ICx
I
4413
*32
5
4*
8
5
13*
8
5
Por lo tanto:
Cxdxx 43
32
5
8
5
Ejercicios Propuestos:
PARTEI
Aplicar las reglas básicas de integración para encontrar:
1.-
4.-
7.-
2.-
5.-
8.-
3.-
6.-
9.-
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Recomendaciones:
- Utilice álgebra elemental, o algunas identidades trigonométricas para
transformar en integrales de fácil solución.
- No sólo debes practicar con los ejercicios aquí propuestos, debes investigar
y resolver además, en los libros recomendados por el profesor.
- Trate de resolverlos usted mismo en caso de alguna duda consulta con tu
profesor.
Técnicas de Integración:
Integración por Sustitución:
Es el método ó técnica utilizada para integrar funciones compuestas
Teorema 2: Antiderivada de una función compuesta
Sea g una función cuyo recorrido es un intervalo I, y sea f una función
continua en I. Si g es derivable en su dominio y F es una primitiva de f en I,
entonces:
Si u = g(x), entonces du g´(x)dx y
Para este método se utiliza un cambio de variable, donde reexpresamos por
completo la integral en términos de u y du (o de cualquier otra variable que
nos convenga) El cambio de variable hace uso de la notación de Leibniz para
la diferencial. Es decir, si u = g(x), entonces du = g´(x)dx, con lo que la
integral adopta la forma:
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Teorema 3:
Regla general de las potencias para integrales
Si g es una función derivable de x, entonces
Equivalentemente, si u = g(x), entonces
Estrategias para el cambio de variable
1.- Elegir una sustitución u = g(x). En general, conviene elegir la
parte interna de una función compuesta, tal como una cantidad
elevada a una potencia.
2.- Hallar du = g´(x)dx.
3.- Rescribir la integral dad en términos de u.
4.- Hallar la integral resultante en u.
5.- Sustituir u por g(x) para obtener la primitiva en términos de x.
6.- Verificar la respuesta por derivación.
Cufduufdxxgxgf )()()(*))((
Derivada De La Función Interior Función Interior
Función Exterior
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Ejercicios Propuestos:
PARTE II.
Hallar la siguiente integral utilizando la técnica estudiada.
1.-
4.-
7.-
2.-
5.-
8.-
3.-
6.-
9.-
Integración Por Partes:
Esta técnica puede aplicarse a una amplia variedad de integrales y es
particularmente eficaz para integrados donde aparecen productos de
funciones algebraicas y trascendentes. La fórmula a utilizar proviene de la
aplicación de la siguiente propiedad diferencial:
Integrando ambos miembros
Despejando
(**)
Para los fines del calculo, se puede obtener una manera más adecuada de
escribir esta formula al considerar:
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u = f(x) du = f´(x)
entonces:
v = g(x) dv = g´(x)
Sustituyendo en (**) nos queda:
"FORMULA PARA LA INTEGRACIÓN POR PARTE"
Por medio de una selección apropiada de u y dv, puede ser más
fácil integrar la segunda integral que la primera, por lo cual es
útil la siguiente indicación:
I FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA INVERSA
L FUNCIÓN LOGARÍTMICA
A FUNCIÓN ALGEBRAICA
T FUNCIÓN TRIGOMÉTRICA
E FUNCIÓN EXPONENCIAL
Correspondiendo a la primera función seleccionada (utilizando este
método), la variable u y la segunda dv.
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Ejercicios Propuestos:
PARTE III.
Encontrar la integral indicada.
1.-
4.-
7.-
2.-
5.-
8.-
3.-
6.-
9.-
Integración de Funciones Trigonométricas:
En este método, serán considerando cuatro casos que implican el uso de
senos y cosenos.
Caso # 01:
, donde n es un entero impar.
- Caso # 02:
, donde n es un entero par.
- Caso #03:
, donde cuando menos uno de los exponentes es impar.
Nota: La solución de este caso es similar al método utilizado en el caso 1.
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- Caso # 04:
, donde m y n son par.
Nota: La solución de este caso es similar al método utilizado en el caso 2.
Recomendaciones: Utiliza las siguientes identidades
trigonométrica.
Identidades Pitagóricas:
Identidades de Angulo Medio:
Ejemplo:
- Problema # 01: Calcular
Solución:
Vamos a resolver esta integral aplicando fórmulas trigonométricas. Para
ello comenzamos manipulando el integrando:
Ahora aplicamos la identidad pitagórica:
, despejando la función que nos interesa tenemos que:
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Sustituyendo en la integral original.
multiplicando cosx dx por cada uno de los elementos dentro del paréntesis,
nos queda:
Así que ahora, ambas son integrales inmediatas, la primera es de tipo seno
y la segunda es de tipo potencial (cambio de variable)
Por lo tanto:
- Problema # 02: Calcular
Solución:
Para resolver la integral, empezamos manipulando el integrando de manera
tal que luego se pueda aplicar alguna de las fórmulas conocidas:
Ahora ubicamos la fórmula de Angulo Medio para la función indicada:
Sustituyendo, nos queda:
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- Integral Original
- Aplicando la fórmula de
Ángulo Medio
- Resolviendo el Cuadrado
del Binomio
- Separando las integrales
- Aplicando a la tercera
integral la fórmula de
Ángulo Medio
- Separando esta integral
en dos nuevas integrales
- Resultando asi cuatro (4)
integrales inmediatas
- Solución General
Por lo tanto:
Ejercicios Propuestos:
PARTEIV.
Encuentre la siguiente integral.
1.- 2.- 3.-
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4.-
7.-
5.-
8.-
6.-
9.-
Integración de Potencias de las Funciones Tangente, Cotangente,
Secante y Cosecante:
Con el uso de las fórmulas de integración que implican a las funciones
tangente (tan), cotangente (cot), secante (sec) y cosecante (csc), además de
las identidades antes mencionadas, pueden evaluarse integrales de la
forma:
, donde m y n son enteros no
negativos.
Por lo tanto, serán considerados seis casos que implican el uso de estas
funciones trigonométricas.
- Caso # 01:
, donde n es un entero positivo.
Recomendación: Cambios a utilizar
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Ejemplo:
- Problema # 01: Calcular
Solución:
- Caso # 02:
, donde n es un entero positivo par.
Recomendación: Cambios a utilizar
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Ejemplo:
- Problema # 02: Calcular
Solución:
- Caso # 03:
, donde n es un entero positivo impar.
Recomendación: Para integrar potencias impares de las funciones sec y csc
se utiliza la integración por partes.
Ejemplo:
- Problema # 03: Calcular
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Solución:
Sea:
Aplicando integración Por Partes
Utilizando identidad trigonométrica,
luego operar algebraicamente
Al sumar en ambos lados
se obtiene
Quedando así en el segundo miembro
una integral inmediata
Despejando ahora la integral de la cual
partimos
Separando cada término
Obteniendo asi el resultado de la
integral
- Caso # 04:
, donde n es un entero positivo
par.
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Ejemplo:
- Problema # 04: Calcular
Solución:
- Caso # 05:
, donde n es un entero positivo
impar.
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Ejemplo:
Problema # 05: Calcular
Solución:
- Caso # 06:
, donde m es un entero positivo par
y n un entero positivo impar.
Recomendación:
El integrando puede expresarse en términos de potencias impares de la
sec ó csc.
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Ejemplo:
- Problema # 06: Calcular
Solución:
Nota: Para evaluar cada una de estas integrales se utiliza integración por
partes, como se indicó en el caso 3.
Técnicas de Integración:
3.1 Integración por Sustituciones Trigonométricas:
Este tipo de sustituciones se utilizan para resolver integrales cuyos
integrandos contengan los radicales de la forma:
El propósito de esas sustituciones es eliminar los radicales. Eso se consigue
con las identidades pitagóricas:
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- Caso # 01:
En integrales que contienen hacer:
Ejemplo:
Problema # 01: Encontrar
Solución:
Como observamos la integral dada es de la forma
donde así que la sustitución a utilizar debe ser y
Sustituyendo el valor de x, dentro de la raíz dada, nos queda:
al despejar la función trigonométrica (seno) de la forma a sustituir
obtenemos los valores de los catetos e hipotenusa del triángulo rectángulo,
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estos valores y la posición que ocupan cambiaran dependiendo de la función
a utilizar según el caso.
Sustituyendo ahora los resultados obtenidos, en la integral dada:
- Caso # 02:
En integrales que contienen hacer:
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Ejemplo:
Problema # 02: Encontrar
Solución:
Como observamos la integral dada es de la forma . Así
que la sustitución a utilizar debe ser en este caso y
. Sustituyendo el valor de x, dentro de la raíz dada, nos queda:
al despejar la función trigonométrica (tangente) de la forma a
sustituir obtenemos los valores de los catetos e hipotenusa del triángulo
rectángulo, estos valores y la posición que ocupan cambiaran dependiendo
de la función a utilizar según el caso.
Sustituyendo ahora los resultados obtenidos, en la integral dada:
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- Caso # 03:
En integrales que contienen hacer:
Nota: Tomar el valor positivo si u > a y el negativo si u < -a.
Ejemplo:
Problema # 03: Encontrar
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Solución:
Como observamos la integral dada es de la forma . Así
que la sustitución a utilizar debe ser en este caso y
Sustituyendo el valor de x, dentro de la raíz dada, nos queda:
al despejar la función trigonométrica (secante) de la forma a
sustituir obtenemos los valores de los catetos e hipotenusa del triángulo
rectángulo, estos valores y la posición que ocupan cambiaran dependiendo
de la función a utilizar según el caso.
Sustituyendo ahora los resultados obtenidos, en la integral dada:
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Ejercicios Propuestos.
PARTE I.- Hallar la integral haciendo la sustitución adecuada.
1.-
4.-
2.-
5.-
3.-
6.-
3.2 Integración de Funciones Cuadráticas:
Cuando hay funciones cuadráticas en el integrando, completar el
cuadrado ayuda a resolver la integral. Por ejemplo, la función
cuadrática puede escribirse como diferencia de cuadrados
sumando y restando ; entonces:
Ejemplo:
Problema # 01: Encontrar
Solución:
Completando cuadrado en el denominador, se tiene:
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Sustituyendo en la integral dada:
Ejercicios Propuestos.
PARTE II.- Hallar la integral aplicando completación de cuadrados.
1.-
4.-
2.-
5.-
3.-
6.-