Guia do Professor

A ordem na desordemSérie Mundo da Matemática

Conteúdos Digitais

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DISTRIBUIÇÃO GRATUITAIMPRESSO NO BRASIL

Coordenação Geral

Elizabete dos Santos

Autores

Bárbara Nivalda Palharini Alvim SouzaKarina Alessandra Pessôa da SilvaLourdes Maria Werle de AlmeidaLuciana Gastaldi Sardinha SouzaMárcia Cristina de Costa Trindade CyrinoRodolfo Eduardo Vertuan

Revisão Textual

Elizabeth Sanfelice

Coordenação de Produção

Eziquiel Menta

Projeto Gráfico

Juliana Gomes de Souza Dias

Diagramação e Capa

Aline SentoneJuliana Gomes de Souza Dias

Realização

Secretaria de Estadoda Educação do Paraná

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Audiovisual “O mundo da matemática”

Episódio 5 – A ordem na desordem

1 Introdução

O audiovisual “A ordem na desordem”, episódio 5 do programa “O Mundo da Mate-mática”, apresenta situações que podem desencadear discussões sobre as características de um fractal (auto-semelhança, complexidade infinita: iterações), e sobre o cálculo da área e do perímetro de um fractal, utilizando progressão geométrica (PG), como um caso particular de uma função exponencial.

1.1 O conceito de fractal e as cenas do vídeo

Os fractais são formas geométricas que apresentam uma característica especial: inde-pendentemente da escala de observação, a forma original de um fractal é mantida. Em outras palavras, as partes menores conservam a aparência do todo (auto-semelhança).

Podemos observar a auto-semelhança na natureza, por exemplo:a) na samambaia renda portuguesa

Figura 1: Foto de uma samambaia do tipo “Renda Portuguesa”http://www.jardineiro.net/br/banco/dava-lia_fejeensis.php,acessado em 19-01-2009.

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b) na couve-flor

Figura 2: Foto de uma couve flor http://www.es.gov.br/site/files/arquivos/imagem/ceasaouveflor.jpg, acessado em 23-05-2010

c) no brócolis

Figura 3: Foto de um brócolishttp://www.portalsaofrancisco.com.br/alfa/brocolis/imagens/brocolis-9.jpg, acessado em 23-05-2010

O termo fractal foi criado por Benoit Mandelbrot na década de 70 do século passado e originou-se do latim: o verbo frangere significa quebrar, fraturar, daí o adjetivo fractus (quebrado).

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Alguns fractais podem ser descritos por meio de regras simples, em geral recursivas (iteração), aplicadas infinitas vezes.

Nas primeiras cenas, em que Rafael pede que Júlia observe uma samambaia na busca de exemplificar a auto-semelhança, é importante chamar a atenção dos alunos para o fato de que nem toda samambaia tem essa característica (inclusive a que é apresentada no vídeo). O professor deve-lhes mostrar a samambaia “renda portuguesa” (Figura 1), e evidenciar a cena em que esta é apresentada (imagem de computador que mostra a sa-mambaia em branco).

Na sequência de fotos que Rafael faz do turista com a planta, é possível observar que a imagem da camiseta se modifica, apresentando algumas iterações da construção de um “Triângulo de Sierpinsky”.

O Triângulo de Sierpinsky é um fractal criado a partir de um triângulo equilátero, da seguinte maneira: divide-se cada lado do triângulo ao meio, unem-se estes pontos mé-dios e forma-se um novo triângulo equilátero. A seguir, retira-se o triângulo central de acordo com a Figura 4.

Em seguida, repete-se esse mesmo procedimento em cada um dos triângulos restantes (Figura 5).

Descrevemos a seguir algumas atividades que podem ser propostas aos alunos.

2 Objetivos

• Construir o Triângulo de Sierpinski.• Compreender processo de iteração.• Calcular o perímetro dos triângulos obtidos nas diversas iterações do Triângulo de Sierpinski.• Calcular a área dos triângulos obtidos nas diversas iterações do Triângulo de Sierpinski.• Conceito de limite (opcional).

Figura 4: Iteração 0 e iteração 1 da construção do Triângulo de Sierpinski

Figura 5: Iteração 0, iteração 1 e iteração 2 da construção do Triângulo de Sierpinski

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3 Sugestões de atividades

Após assistir ao vídeo, o professor pode propor atividades que permitam aos alunos refletir, questionar e aprofundar conchecimentos sobre os conteúdos abordados. A seguir apresentamos algumas sugestões.

Atividade 1- Construção de um Triângulo de Sierpinski

No início do século XX, o matemático polonês Waclav Sierpinski (1882-1969) estudou uma figura geométrica que ficou conhecida por Triângulo de Sierpinski, que se obtém como limite de um processo iterativo.

Construa um Triângulo de Sierpinski, pelo processo de remoção de triângulos, a partir das informações a seguir.

1. Construa um triângulo equilátero1.2. Em seguida, determine os pontos médios de cada um dos lados do triângulo.3. Ligue os pontos médios, para obter quatro triângulos equiláteros menores.4. Retire o triângulo central.5. Continue o processo por mais duas vezes2, a partir do segundo passo, para os

triângulos restantes.

Comentários para o professor:

Seguindo as instruções os alunos vão obter algo semelhante ao da Figura 6.

1 Sugere-se um triângulo equilátero por motivo estético e de simplicidade, mas poderia ser feito com triângulo qualquer.2 É importante chamar a atenção do aluno para o fato de que no Triângulo de Sierpinski o processo se repete infinitamente.

Iteração 0 Iteração 1

Figura 6 – Primeiras iterações de construção do Triângulo de Sierpinski pelo Processo de Remoção de triângulos

Iteração 2 Iteração 3

Quadro 1: Exploração da construção do Triângulode Sierpinski

Interação ConfiguraçãoComprimento

do ladoPerímetro Progressão

I0 1 P=3

I1

I2

Atividade 2 – Explorando o Triângulo de Sierpinski

A partir da construção feita na atividade anterior, preencha o quadro a seguir. Para tanto, considere que o comprimento do lado do triângulo inicial é igual a 1 unidade, lembre-se de que o perímetro é a soma dos lados da figura (utilize representação fracio-nária), e de que a progressão deve representar a expressão do perímetro em forma de potência.

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Comentários para o professor:

O professor deve chamar a atenção dos alunos para o que é solicitado em cada uma das colunas do quadro.

A primeira coluna diz respeito à iteração. A iteração é processo de repetir uma ou mais ações. Na iteração 0, o triângulo está na forma original. Na iteração 1, processo é iniciado e é feito uma vez. Na iteração 2, o procedimento é repetido uma vez, na iteração 3, o processo é repetido 2 vezes e assim por diante.

A segunda coluna traz a configuração do triângulo, conforme a iteração indicada.A terceira coluna diz respeito ao comprimento do lado. É de extrema importância que

o comprimento do lado seja colocado em forma de fração para que o aluno possa chegar à generalização (última linha do quadro)..

A quarta coluna diz respeito ao perímetro da figura construída por último (de acordo com a iterações).

A última coluna diz respeito à progressão (expressão do perímetro em forma de potên-cia), que auxiliará o aluno a visualizar a fórmula geral (última linha do quadro).

A seguir, apresentamos o Quadro 1 preenchido.

Interação ConfiguraçãoComprimento

do ladoPerímetro Progressão

figura limite

I3

I4

I5

Quadro 2: Exploração da construção do Triângulo de Sierpinski preenchido

1P=9.2

Interação Configuração

figura limite

Comprimentodo lado Perímetro Progressão

I0 P=3 P=31

I1

I2

I3

I4

I5

0

11=2

1

1 12 2

= 2 1P = 3 .2

2

1 14 2

=1P=3.9.4

32

1P=3 .2

3

1 18 2

=1P=3.3.9.8

43

1P=3 .2

4

1 116 2

=1P=3.3.9.

165

4

1P=3 .2

n

12

n+1n

1P=3 .2

8

Na última linha do quadro, os alunos devem chegar à representação para a n-ésima iteração do triângulo, ou seja, à regra geral para o comprimento do lado e para o perí-

metro.do triângulo 1 13 . .2

nn nP + =

Se os alunos tiverem dificuldades para chegar à fórmula geral, é melhor pedir a eles o

perímetro para uma iteração grande, por exemplo, pedir o perímetro na iteração 30, 79, etc. E depois pedir a n-ésima.

Depois que eles construirem a fórmula geral, o professor pode comentar como ficaria o perímetro se o número de iterações tendesse a infinito.

Para isso, deve-se calcular o seguinte limite:

1n

1lim P lim 3 .2

nnx x

+

→∞ →∞=

Este cálculo pode ser feito separando as potências da seguinte forma:

n3lim lim .32

n

x xP

→∞ →∞

=

Como 3 12

> , este limite vai para infinito, comprovando que o perímetro do Triângulo

de Sierpinsky é infinito. (Para maiores informações sobre o cálculo do limite ( )lim n

xa

→∞ ver

o anexo no final deste guia.)

Atividade 3 – Cálculo da área do Triângulo de Sierpinski

Calcule a área para cada uma das iterações (para a figura que fica após a retirada dos triângulos centrais). Você pode acrescentar uma nova coluna no quadro anterior, para registrar a área.

Comentários para o professor:

Para o cálculo da área do Triângulo de Sierpinsky, pode-se utilizar o mesmo quadro da atividade anterior, só que agora calculando-se a área da região restante (após a retirada dos triângulos centrais).

Quadro 3: Exploração da construção do Triângulo de Sierpinski com área

Interação Configuração

figura limite

Comprimentodo lado

Área detriângulo

hachurado

Número de triângulos

hachurados

Área total

I0

I1

I2

I3

I4

I5

1 1

3

9

27

12

14

18

34

2

2

1 332

4 4

=

2

3

1 334

4 4

=

2

4

1 338

4 4

=

34

2

3 34

2

3

3 34

3

4

3 34

4

5

3 34

1

3 34

n

n+

9

Podemos reescrever a iteração n-ésima como:

Fazendo n tender a infinito, teremos a área tendendo a zero, pois 34

é menor que 1. (Ver anexo).

3 . 3 3 3.4 .4 4 4

nn

n nA = =

Atividade 4 – Contruindo outros fractais

Pesquise outros tipos de fractais e calcule seu perímetro.

Comentários para o professor:

O vídeo abre a oportunidade para se estudar o perímetro de outros fractais, como por exemplo, o carpet de Sierpinsky:

Este fractal é construído da seguinte maneira: divide-se cada lado em três partes iguais: unem-se os pontos obtidos e retira-se o retângulo central. Pode-se supor que o quadrado inicial tenha dado 1 unidade e proceder de modo análogo ao do triângulo. O perímetro também vai tender ao infinito.

4 Avaliação

A avaliação pode ser realizada durante todo o desenvolvimento das atividades, por meio de questionamentos e preenchimento dos quadros. O professor pode aproveitar as respostas dos alunos para fazer as intervenções que julgar necessárias.

5 Sugestões de sítios

Os sítios a seguir podem oferecer interessantes motivações para pesquisas:

http://www.computermusic.ch/files/articles/Chaos,Self-Similarity/Chaos.htmlhttp://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2000/icm24http://www.insite.com.br/fractarte/

Figura 7 – Iterações deconstrução do Carpet de Sierpinski

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6 Indicações de leituras

BARBOSA, Ruy Madsen. Descobrindo a Geometria Fractal para a sala de aula. Belo Hori-zonte, Autêntica Editora, 2002.

BENNETT, G. Chaos, sel-similarity, musical phrase and form. Disponível em: <http://www.computermusic.ch/files/articles/Chaos,Self-Similarity/Chaos.html>. Acesso em: 2 Abr 2008.

FRACTAIS NO ENSINO MÉDIO. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática / Re-vista do Professor de Matemática, 3º quadrimestre, 2005.

RICIERI, Aguinaldo Prandini. Fractais e Caos – A Matemática de Hoje. São Paulo: Editora Parma Ltda., 1990.

SANTOS, G. M. A Essência dos Fractais. Monografia apresentada ao Curso de Especiali-zação em Educação Matemática da Universidade Estadual de Londrina. Londrina, 1998.

VARANDAS, José. Página elaborada no âmbito da disciplina de Interdisciplinaridade ci-ências-matemáticas do curso de Ensino de Matemática. Faculdade de Ciências – Univer-sidade de Lisboa: Disponível em http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2000/icm24/. Acesso em: 05.jun.2007.

BENNETT, G. Chaos, sel-similarity, musical phrase and form. Disponível em: <http://www.computermusic.ch/files/articles/Chaos,Self-Similarity/Chaos.html>. Acesso em: 2 Abr 2008.

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7 Anexo

Demonstração:

1º.Caso:Seja a>1. Portanto, a pode ser escrito como

Assim:

Como a seqüência 1+nt tende a infinito quando n tende a infinito, a seqüência

que é menor que a anterior, tende a infinito também.

2º.Caso: Se , e faz-se a demontração analogamente.

,se a>1lim

0, se a<1na

n→∞

∞ =

a=1+t, t>0

( )( )

( )

( )

0

22 2

33 2 3

1 1 2 2 0

2

1 1 2

1 1 3 3...

1 1 1 1 ... 10 1 2

1 1 ... 12

nn n n n n

nn n

a t t t

a t t t t

n n n na t t t t t

nn

a t nt t t nt

− −

= + = + +

= + = + + +

= + = + + + +

= + = + + + + < +

21 ...2

n nna nt t t

= + + + +

1a<1, 1a

>

Realização:

Condigital