ANTIDERIVADAS O PRIMITIVAS E INTEGRAL INDEFINIDA

y=∫ f (x )dx=F ( x )+C

La expresión ∫ f ( x )dx se lee como la antiderivada o primitiva de f con respecto a x. De tal

manera, la diferencial dx sirve para identificar a “x” como la variable de integración. El término integral indefinida es sinónimo de antiderivada. La integración es la inversa de la derivación.

Fórmulas de integración.

∫0 dx=C ∫ k dx=kx+C ∫ k f ( x )dx=k∫ f ( x ) dx

∫ [ f (x )± g(x) ]dx=∫ f ( x )dx ±∫ g (x)dx ∫ xn dx= xn+1

n+1+C ;n ≠−1

Ejemplos:

1. ∫3 x dx=3∫ xdx=3 x1+1

1+1+c=3 x2

2+c

2. ∫ 1x3

dx=∫ x−3dx=¿ x−3+1

−3+1+c= x−2

−2+c=1 1

2x2+c¿

3. ∫√x dx=∫ x1/2

dx=x12+1

12+1

+c=x32

32

+c=23

x3 /2+c

4. ∫√x dx=∫ x1/2

dx=x12+1

12+1

+c=x32

32

+c=23

x3 /2+c

5. ∫ 3√x2dx=∫ x

2/3dx=

x23+1

23+1

+c=x53

53

=35

x53+c

6. ∫ ( x+2 ) dx=∫ x dx+∫ 2dx= x1+1

1+1+2 x0+1

0+1+c= x2

2+2 x1

1+c= x2

2+2x+c

7. ∫ (3x4−5 x2+x ) dx=¿∫3 x4dx−∫5 x2dx+∫ x dx=¿ 35

x5−53

x3+ 12

x2+c¿¿

8. ∫ x+1√x

dx=∫( x√x

+ 1√ x )dx=∫ x

√xdx+∫ 1

√ xdx= x3/2

3/2+ x1 /2

1/2+c=2

3x3 /2+2x1 /2+c

1

Determinación de una solución particular

Hasta el momento hemos notado la letra “C” como una constante de integración, lo cual representa una solución general, podemos averiguar cuál es el valor de la constante.

Encontrar la solución general de

F ' ( x )= 1

x2, x>0

Determinar la solución particular que satisface la condición inicial F(1)=0

Solución: Para encontrar la solución general, se integra para obtener.

F ( x )=∫ 1x2

dx=∫ x−2dx= x−1

−1+c=−1

x+c ; x>0← solución general

Utilizando la condición inicial F(1) =0, resolver para c de la siguiente manera:

F (1 )=−11

+c=0→ c=1

Por lo tanto la solución particular sería: F ( x )=−1x

+1

Ejemplos

1. f ' ( x )=6 x , f (0 )=8

∫6 x dx=6 x2

2+c=3 x2+c

f (0 )=8→3¿02+c=8→ c=8La solución particular es: 3 x2+8

2. f ' ' ( x )=2 , f ' (2 )=5 , f (2 )=10∫2dx=2x+c1∎ f ' (2 )=5=2 (2 )+c1; c1=1

∫ (2 x+1 ) dx=∫ 2x dx+∫1dx=x2+ x+c2∎ f (2 )=10=22+2+c2;c2=4La solución particular es: x2+ x+4

Ejercicios

2

3. g' (x )=6 x2 ; g (0 )=−14. h' (t )=8 t3+5 ;h (1 )=−45. f ' ( s)=10 s−12 s3; f (3 )=26. f ' ' ( x )=x2; f ' (0 )=8 ; f (0 )=47. f ' ' ( x )=x−3/2; f ' (4 )=2; f (0 )=0

ÁREA

Ejemplos de notación sigma

∑i=1

6

i=1+2+3+4+5+6 ∑i=0

5

i+1=1+2+3+4+5+6

∑j=3

7

j2=32+42+52+62+72 ∑k =1

n

2k=21+22+23+…+2n

∑k =1

n1n

(k2+1 )=1n

(12+1 )+ 1n

(22+1 )+ 1n

(32+1 ) …+ 1n

(n2+1 )

Es posible medir el área de una región utilizando n rectángulo, en el ejemplo usaremos 5 rectángulos.

Determina el área de la región delimitada entre la curva f ( x )=5−x2 y el eje x=0 y x=2.

Cada esquina superior derecha intersecta la curva

f ( x )=5−x2, por lo que se reemplaza los puntos:

2/5, 4/5, 6/5, 8/5 y 10/5 en la función f(x) para conseguir la altura del rectángulo, para encontrar el área bajo la curva, se debe sumar las áreas de los 5 rectángulo de ancho 2/5 y alturas variables según la función.

La suma anterior se puede representar con la simbología de sumatoria como sigue:

∑i=1

5

[ 25 ] f (2 i5 )=¿∑

i=1

5

[ 25 ](5−(2 i5 )

2)¿

3

El Valor encontrado corresponde a la suma inferior, puesto que se pierde varios puntos de medir al definir los rectángulos por debajo de la curva.

Si pretendemos ahora rectángulos por encima de la curva, se graficaría de la siguiente forma.

Nótese que ahora es la esquina superior izquierda la que intersecta la

curva f(x), por lo que, la medición en esta oportunidad es evaluar 25

(i−1 ),

ya que en la primera sumatoria no es 2/5 que se debe evaluar en la suma sino que el número anterior que es 0, el segundo cuadrado se evaluaba 4/5 en la función, en cambio en esta oportunidad será evaluado 2/5 en la función, y así hasta el punto final. Por lo que la función sumatoria quedaría:

∑i=1

5

[ 25 ] f (25 (i−1))=¿∑i=1

5

[ 25 ](5−( 25(i−1))

2)=20225 =8.08¿

Cómo se puede ver, la región tiene debajo de la curva y x=0 y x=2 sería

6.48 < (Área de la región) < 8.08

Al incrementar el número de rectángulos a 25 de ancho 2/25, el área de la región cambia a:

7.17 < (Área de la región) < 7.49

Ejercicios

Determinar la suma inferior y superior de las siguientes funciones.

1. f ( x )=2x+5 ; [0,2 ] ; 4 rectángulos . Sol :13<area<152. f ( x )=2x2−x−1 ; [2,5 ] ;6 rectángulo s Sol :55<area<74,53. f ( x )=9−x ; [2,4 ] ;6 rectángulos4. f ( x )=x2+1 ; [1,3 ] ;8 rectángulo

En la medida que aumente el número de rectángulos para determinar el área, es más exacto el cálculo. Por lo tanto, si consideramos una cantidad “n” de cuadrados, en el ejemplo dado de f ( x )=5−x2, la sumatoria sería:

∑i=1

n

[ 2n ] f ( 2in )=¿∑

i=1

n

[ 2n ](5−( 2in )

2)=¿¿ ∑i=1

n10n

−8 i2

n3=¿ ∑

i=1

n10n

−∑i=1

n8 i2

n3=¿

4

10n

n− 8n3 (

n (n+1 ) (2n+1 )6 )

10− 8

6n3(2n3+3n2+n )

223

−4n− 4

3n2

Si reemplazamos n=5 en la ecuación resultante obtendremos 6.48, quedando entonces demostrado que se ha obtenido una fórmula general

Ejercicios

Utilizar las fórmulas de suma con notación sigma para reescribir la expresión sin la notación sigma. Emplear el resultado para determinar la suma correspondiente a n=10, 100, 1000 y 10000.

∑i=1

n2 i+1

n2∑j=1

n4 j+3

n2

∑k =1

n 6k (k−1 )n3

∑i=1

n 4 i2(i−1)n4

Encontrar una fórmula para la suma de n términos cuando n→ ∞

limn → ∞

∑i=1

n24 in2

limn → ∞

∑i=1

n

( 2 in )( 2n )

limn → ∞

∑i=1

n13( i−1)2 lim

n → ∞∑i=1

n

( 1+2 in )

2

( 2n )limn → ∞

∑i=1

n

(1+ in )( 2n ) lim

n → ∞∑i=1

n

(1+ 2 in )

3

( 2n ) Ejemplos.

Utilizar el proceso de límite para encontrar el área de la región entre la gráfica de la función en el intervalo indicado

y=−4 x+5 ; (0,1 ) Sol :3 y=x2+2 ; (0,1 ) Sol :7/3y=25−x2; (1,4 ) ;Sol :54 y=27−x3 ; (1,3 ) Sol : 34

y=x2−x3 ; (−1,1 ) Sol :2/3 f ( y )=4 y ;0≤ y≤2 ;Sol 8

f ( y )= y2;0≤ y ≤5 ; Sol :125 /3 f ( y )=4 y2− y3;1≤ y≤3 ;Sol 44 /3

5

SUMA DE RIEMANN E INTEGRALES DEFINIDAS

Hasta el momento habíamos definido que el número de rectángulos para medir áreas bajo la curva tenían anchos iguales. Partimos calculando área superior e inferior dependiente de donde intersectaba el rectángulo a la función objetivo.

Después demostramos que a medida que aumenta el número de rectángulos la diferencia entre la suma superior e inferior se estrechaba, y demostramos que si el número de rectángulos tiende a ∞, las dos sumas se igualan.

Veamos cómo cambia el problema cuando los anchos de los rectángulos tienden a ser distintos y limitan a cero.

lim∆→0

∑i=1

n

f (ci ) ∆ xi=∫a

b

f ( x ) dx

Supongamos la función f ( x )=x3 entre el intervalo (0,1)

a. Cálculo usando sumatorias

limn → ∞

∑i=1

n

f ( ci ) ( ∆ x )=¿ limn→ ∞

∑i=1

n

( in )

3

( 1n )=¿ limn → ∞ ( 1n4 )( n2(n+1)2

4 )¿¿

limn → ∞ ( 14 +

12n

+1

4n2 )=14

b. Cálculo usando integrales

∫0

1

x3dx= x3+1

3+1= x4

4 |0

1

=14

4− 04=14

Propiedades

6

∫a

a

f ( x )dx=0 ∫b

a

f ( x )dx=−∫a

b

f ( x ) dx

∫a

b

f ( x )dx=∫a

c

f ( x )dx+∫c

b

f (x ) dx ∫a

b

k f ( x )dx=k∫a

b

f ( x ) dx

∫a

b

[ f ( x )± g (x) ]dx=∫a

b

f ( x )dx ±∫a

b

g ( x ) dx

7