Guia AdmMatematica Financeira[1]

7/28/2019 Guia AdmMatematica Financeira[1]

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matemticaFinanceira

Este captulo est denido atravs dos clculos de propor-cionalidades, cujas explicaes e exerccios vem a seguir.

1. Regra de Trs1.1. Conceito: Chamamos de regra de trs a umprocesso de resoluo de problemas de quatro valores,dos quais trs so conhecidos e que devemos determi-nar o quarto valor.A resoluo desse tipo de problema muito simples,basta montarmos uma tabela (em proporo) e assimresolver a questo.

Pp rg t; dv

Ppl - rg s

Exemplo 1:Um atleta percorre 20 km em 2 horas, mantendo o mesmoritmo, em quanto tempo ele percorrer 60 kilometros?

20 = 2 ; portanto, ao multiplicamos em X teremos:30 x20 x = 60 ; ento x = 60 ; portanto x = 3 horas

20Neste exerccio as grandezas so diretamente proporcio-nais, ou seja, aumenta o percurso, o tempo tambm aumen-tar, ento, a equao direta.

Exemplo 2Quatro trabalhadores constroem uma casa em oito dias. Emquanto tempo, dois trabalhadores constroem uma casa?

4 = x ; portanto, ao multiplicamos em X teremos:2 832 x = 2 ; ento x = 32 ; portanto x = 16 dias

2Neste exerccio as grandezas so inversamente proporcio-nais, ou seja, quanto menos trabalhadores maior o nmerode dias, portanto, a equao montada em X.1.2 ProporoPara decompor um nmero M em duas partes A e B propor-cionais a P e Q, respectivamente, na proporo monta-seum sistema de duas equaes e duas incgnitas de modoque a soma das partes seja A + B = M, porm:

A = B ; ento a soluo segue das propriedades da proporo:P Q

A = B = A+B = _M_ = K;P Q P+Q P+Q

Onde o valor de K que representa a soluo proporcional.

Exemplo 1:Para decompor o nmero 100 em duas partes A e B direta-mente proporcionais a 2 e 3, respectivamente, quais so osnmeros corretos?A+B=100

A = B = A+B = 100 = 20 (K); portanto

P Q 2 + 3 5A= 2*20 ; A= 40B= 3*20 ; B= 60

Exemplo 2:Determinar nmero A e B diretamente proporcionais a 8 e 3,sabendo-se que a diferena entre ele 60?A-B=60

A = B = A-B = 60 = 12 (K); portantoP Q 8 - 3 5A= 8*12 ; A= 96B= 3*12 ; B = 36

1.3 Diviso ProporcionalPara decompor um nmero M em partes x1,x2,...xn, di-retamente proporcionais a p1,p2,..pn, deve-se montarum sistema com n equaes incgnitas, sendo as somasx1+x2,...,+xn igual p1+p2,...+pn.

X1 = X2 = .= Xn ; ento conforme as propriedadesda propores teremos:P1 P2 Pn

X1 = X2 = Xn = X1 + X2 + +Kn = M = K ;

P1 P2 Pn P1 + P2 ++Pn P

Exemplo 1:Para decompor o nmero 120 em trs partes A, B eC diretamente proporcionais a 2, 4 e 6, quais so osvalores de A,B e C?

A = B = C = A+B+C = 120 = 10 (K); portanto2 4 6 P 12

A = 2 * 10; A = 20

B = 4 * 10; B = 40C = 6 * 10; C = 60

Exemplo 2:Determinar os valores de A, B e C diretamente propor-cionais a 2, 4 e 6, de modo que 2A+3B+4C=120.

A = B = C = 2A+3B-3C = 120 = 15(K); portanto2 4 6 2*2+3*4+4*6 8

A = 2 * 15 A = 30B = 4 * 15; B = 60C = 6 * 15; C = 90

1.4 Regra da SociedadeConceito: um procedimento matemtico que indi-ca a forma de distribuio de um resultado (lucro ouprejuzo) de uma sociedade, sendo que os membrospodero participar com capitais distintos e tambm emtempos distintos. Os capitais dos membros participan-tes so indicados por: C1, C2,... Cn e os respectivostempos de participao destes capitais da sociedadepor T1, T2,... Tn.O peso de cada participante representada pela fr-mula:Pk =Ck Tk, e que o capital total representa a soma doscapitais dos participantes.A regra da sociedade uma aplicao imediata do casode decomposio de um valor M diretamente propor-cional aos pesos P1,P2,...Pn.

Exemplo 1:Ocorreu a formao de uma sociedade por trs pes-soas A, B e C, sendo que A entrou com um capito

de $ 50.000 e nela permaneceu durante 40 meses.O scio B entrou com um capital de $ 60.000 e per-maneceu durante 30 meses. C entrou com um capi-tal de $ 30.000 permanecendo durante 40 meses.Se o resultado da empresa aps certo perodo (quepode ser lucro ou prejuzo) da empresa, na ordemde $ 25.000, quanto cada scio ter de pagar oureceber?

Primeiro passo determinar o peso de cada acionista:P1 = 50 * 40 ento P1 = 2.000P2 = 60 * 30 ento P2 = 1.800P3 = 30 * 40 ento P3 = 1.200

A = B = C = A + B + C = 25000 = 5 (K)2000 1800 1200 5000 5000

Portanto, a participao de cada scio ser de:

A = 2.000 * 5; A = 10.000B = 1.800 * 5; B = 9.000C = 1.200 * 5;C = 6.000

Lk a 1

cPg

CAPTULO 1 Proporo e Regra de Trs; Diviso Propor-cional - Regra da Sociedade.CAPTULO 2 Juros Simples e Descontos - suas aplica-es. Juros Compostos - uma introduo.CAPTULO 3 Montante - Valor Futuro e Valor Presentecom aplicaes.CAPTULO 4 Taxas Equivalentes.CAPTULO 5 Equivalncia de Capitais.CAPTULO 6 Valor Atual e Valor Futuro de um conjuntode valores.CAPTULO 7 Rendas Certas ou Anuidades.CAPTULO 8 Amortizaes; Sistema SAC - Sistema deAmortizao Constante; Sistema Price e suas aplicaes.

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A matemtica nanceira tem como objetivo es-tudar a evoluo do dinheiro ao longo do tempoenvolvendo operaes de emprstimo ou investi-mento apresentando frmulas que relacionam osmontantes nos diferentes perodos ou datas.O presente Guia, juntamente com os Links Acad-micos, tm como nalidade fazer com que o alunodesenvolva um raciocnio lgico no aprendizadode matemtica nanceira, matria de extrema im-

portncia por servir de base para inmeras outrasmatrias que completam o curso de graduao.Foi elaborado a partir de captulos, desenvolvendofrmulas que, devem servir de conhecimento, nopara decorar, ou seja, na gesto do conhecimento,o que necessrio saber desenvolver a mat-ria atravs do raciocnio e se apoiar em frmulasquando necessrio compreendendo sua origem.A dinmica do trabalho foi desenvolvida para o cur-so de Administrao e acreditamos que o materialdiscorre de forma didtica todos os principais tpi-cos da matemtica nanceira, bem como a utiliza-o de calculadora nanceira, no caso, a HP-12C,mais comumente utilizada nos meios acadmicose tambm nas empresas, portanto, extremamenterelevante juntamente com softwares de planilhaseletrnicas como o Excel.O trabalho tem metodologia de estudo quantitativo,desenvolvido atravs de referncias bibliogrcasde autores bem conceituados, e esperamos queos pesquisadores deste Guia tenham sucesso nosseus estudos aproveitando todo o contedo.


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1. Juros1.1 Conceito: a remunerao do capital empresta-do, ou seja, sempre que uma transao nanceira ocor-rer ao longo de um determinado tempo ser cobradoum valor a ttulo de remunerao que se chama Juros.Ou ainda, juro o preo que se paga pela utilizao docapital de terceiros durante certo perodo de tempo.

1.1.2 Regime de capitalizao: a forma peloqual so calculados os juros. Podem ser de dois tipos:simples ou composto.1.1.3 Juros simples: regime de capitalizao onde oclculo dos juros incide sempre sobre o mesmo capital.1.1.4 Juros compostos: o regime de capitaliza-o composto, sendo que o juro produzido em cadaperodo nanceiro incorporado ao capital que o pro-duziu, sendo assim, capital anterior mais juros produzi-dos no perodo atual ser a base para o clculo de jurospara o perodo seguinte, ou seja, juros sobre juros.Vamos ver isto mais detalhadamente.

1.1.5 Nomenclatura:J = Juros (expresso na forma monetria ($) )C ou P ou VP = Capital, Principal ou Valor Presente,representa o valor monetrio ($) no instante 0 (zero),

ou seja, no incio da operao. (VP = tecla PV na cal-culadora nanceira)N ou P = Perodo de tempo da operao (tecla Nj nacalculadora nanceira)i = Taxa de juros cobrada na operao, expressa emvalor percentual (%)

A frmula bsica de juros : J = P* i * N

1.1.6 Regras: existem algumas regras que devemser aplicadas e podemos cham-las de fundamentais:11.6.1 Sempre num exerccio de clculo de juros quea taxa dada (%), na frmula ela dever ser divididapor 100 (porcentagem = dividido por cem).1.1.6.2 Sempre que o exerccio pedir como resultadoa taxa de juros, este dever ser multiplicado por 100, ouseja, colocar o sinal de percentual no nmero nal (%).1.1.6.3 No clculo deve-se estar atento para o fato de

que a taxa de juros deve sempre se referir mesma uni-dade de tempo expressa pelo perodo da operao, ouseja, se o perodo mensal a taxa deve ser mensal, etc.1.1.6.4 Os juros simples podem ser exatos (usa ocalendrio civil, ou seja, ano de 365 ou 366 dias) e or-dinrios (usa o calendrio comercial, ou seja, ano com360 dias e ms com 30 dias). Este ltimo usado nasinstituies nanceiras.1.1.6.5 O ideal que, para facilitar os clculos, sem-pre deve-se transformar a taxa de juros e o perodo daoperao para dias, o que acaba minimizando o riscode erros, conforme exemplos abaixo, e como nemsempre o perodo da taxa coincide com o perodo daoperao (N), podemos usar Ni, como perodo da taxano sentido de facilitar o clculo.a) Exemplo 1:Se a taxa ao ms, ou seja, Ni = 30, ento car assim

: i / 3.000, sendo que:3.000: dois zeros representam a diviso por 100, e 30(Ni), porque um ms tem trinta dias.b) Exemplo 2:Se a taxa ao ano, ou seja, Ni = 360, ento car as-sim: i / 36.000, sendo que: 36.000: dois zeros repre-sentam a diviso por 100 e 360 (Ni), por que um anotem 360 dias.

Portanto, as frmulas so:J = P * i * NP = J / ( i * N )N = J / ( P * i )i = J / ( P * N )

1.1.7 Montante ou Valor Futuro (VF): ovalor nal (valor de resgate ou total a ser recebido) docapital aplicado, ou seja, representa o C ou P ou VP

acrescido aos juros do perodo. (VF = tecla FV na cal-culadora nanceira).

A frmula a seguinte:M ou VF = VP + J, sendo que J = P * i * N, que substi-tuindo na frmula representa:M ou VF = VP * ( 1+ i*N)

promissria, duplicata ou letra de cmbio, no qual ocliente se responsabiliza a pagar a importncia neledeclarada na data prevista de vencimento.1.2.2 Nota promissria: um ttulo emque seu emitente assume a obrigao direta eprincipal de pagar a soma constante no ttulo nadata de vencimento. muito usado entre pessoasfsicas ou entre pessoa fsica e uma instituiofinanceira.1.2.3 Duplicata: um ttulo que constitui o ins-trumento de prova do contrato de compra e vendaemitido por uma pessoa jurdica contra seu cliente

(pessoa fsica ou jurdica) para o qual ela vendeuprodutos a prazo ou prestou servios a serem pa-gos no futuro.1.2.4 Letra de cmbio: ttulo que consiste emnuma ordem de pagamento com data de vencimento. um ttulo ao portador, emitido exclusivamente poruma instituio nanceira.Obs. Nos ttulos ao portador, existem trs pessoas:sacador credor, sacador aceitante e o tomador ou be-neciado nal da ordem.1.2.5 A frmula do desconto :D = VF * i * NPortanto, nota-se que a frmula do desconto inversa dos juros simples, havendo uma trocaentre: VP para juros simples, pois o pagamen-to do juros ocorrer no final, enquanto, VF paradesconto, uma vez, que o juro a ser pago incidirno incio.1.2.6 Exemplo 1: Tenho um cheque de $ 15.000,00,para receber daqui a 48 dias e um Banco me ofe-receu uma operao de desconto, cobrando 3,75%ao ms de juros. Se eu zer esta operao quantoirei receber ?

VF = $ 15.000i = 3,75 % ms (Ni = 30 dias), ento = i / 3.000N = 48 diasD = VF * i * ND = 15.000 * 3,75 / 3.000 * 48D = $ 900,00

O Valor Presente (que irei receber) calculado atravsa seguintes frmulas:VP = VF- D, ondeD = VF * i * N, ento, teremos:

VP = VF ( 1 i * N )VP = 15.000 900VP = $ 14.100, ouVP = 15.000 ( 1 ( 3,75 / 3.000 * 48 )VP = $ 14.100

Lk a 2

1. Valor futuro1.1. Consideraes iniciais: como visto no cap-tulo anterior no regime de capitalizao composta, o juro calculado sobre o capital anterior acrescido de jurosdo perodo atual para o perodo seguinte. Podemos ar-mar que, juro simples LINEAR enquanto o composto EXPONENCIAL, ou seja, potenciao para capitalizar ouradiciao ou inverso da potncia para descapitalizar.Exemplo de operaes inversas:+ g -- g +* g // g *Y^x g Y^(1/x), onde o x o nmero da potncia

Obs: O sinal ^ representa potncia.

Na mquina nanceira existem duas teclas que so uti-lizadas para capitalizar (Y^x) e descapitalizar (Y^1/x),que so fundamentais quando se faz exerccios emmatemtica nanceira em regime composto.

1.2. Frmula do Valor Futuro:VF = VP ( 1+i )*( 1+i )*( 1+i )*....*( 1+i ); Onde ( 1+i ) repre-senta a capitalizao dos juros, ento pode-se armarque a frmula nal :VF = VP ( 1+i )^N, onde N representa o nmero de pe-rodos da operao.Obs: O valor futuro tambm representa o clculo do

1.1.7.1 Exemplo 1: Calcular o juro produzido por $400.000,00 taxa de 72% ao ano (a.a.), durante 45 dias?VP = $ 400.000i = 72% ao ano, ento Ni = 360 dias, ento = i / 36.000N = 45 diasJ = P * i * NJ = 400.000 * 72/36.000 * 45J = $ 36.000,00

1.1.7.2 Exemplo 2: Qual o valor presente que foi empres-tado taxa de 40% ao semestre e produziu, em 20 dias, umvalor de juros de $ 1.500,00?

J = $ 1.500i = 40% ao semestre, ento Ni = 180 dias, ento = i / 18.000N = 20 diasVP = J / ( (i / 18.000) * N )VP = 1.500 / ( 40 / 18.000 ) * 20 )VP = $ 33.750,00

1.1.7.3 Exemplo 3: Qual o perodo de tempo que o capitalde $ 400.000,00, aplicado taxa de juros de 7 % ao ms(a.m.), produz de juros $ 9.800,00 ?N = ?J = $ 9.800,00i = 3,5 % ao ms, ento Ni = 30 dias, ento = i / 3.000VP = $ 400.000,00N = J / ( ( i / 3.000 ) * VP)N = 9.800 / ( ( 3,5 / 3.000 ) * 400.000N = 21 dias

1.1.7.4 Exemplo 4: Qual foi a taxa de juros cobrada numaoperao, cujo capital emprestado foi de $ 200.000,00,num perodo de 195 dias, cujo juros cobrados representouo valor de $ 22.750,00?i = ?J = $ 22.750,00VP = $ 200.000,00N = 195 diasid = ( J / ( VP * N ) * 100id = ( 22.750 / ( 200.000 * 195 ) * 100 )id = 0,0583 % ao dia

Obs: Quanto se calcula tudo em dias, tambm quando ataxa de juros for incgnita, o resultado ser em taxa dia,como o exerccio anterior.

1.1.8 Equivalncia de taxas

1.1.8.1 Conceito: quando se faz uma operao,nem sempre a taxa de juros e o perodo da operaocoincidem, ou seja, normalmente so diferentes ( Ni N ), sendo necessrio, portanto, fazer uma comparaono mesmo perodo, para isso, que se faz equivalnciade taxa.No caso de juros simples, ela Linear, ou seja, para calcular necessrio somente multiplicar ou dividir a taxa encontra-da pelo perodo desejado.No exemplo anterior (1.7.4), como a taxa encontrada foi aodia (id), ento teremos somente que multiplicar:

im = id * 30 , portanto, im = 0,0583 % * 30, ento: im =1,75% ao msip = id * 195, portanto, ip = 0,0583 % * 195, ento: ip =11,3750% no perodoia = id * 360, portanto, ia = 0,0583 % * 360, ento: ia =21,0000% no perodo

1.1.8.2 Exemplo: Um aplicador do valor de $ 5.000,00 que remunerado taxa de 6,00% ao ano. No nal de 400 dias,qual ser o montante?VP = $ 5.000i = 6,00 % ano (Ni = 360 dias), ento i / 36.000M ou VF = VP ( 1 + i * n )M ou VF = 5.000 ( 1 + ( 6 / 36.000 * 400 )M ou VF = $ 5.333,331.2 Desconto1.2.1. Conceito: uma operao financeira ondea remunerao do capital emprestado (juros cobradosantecipadamente) se d no ato inicial, ou seja, quandoalgum pede recurso emprestado ir receber somente aparte lquida do emprstimo, j que a parcela referenteao desconto paga no instante zero. O Valor Presenteda operao representa o Valor Futuro menos os juros

do perodo.Numa viso comercial podemos dizer tambm que des-conto o abatimento do preo de venda de um produtoou servio devido compra de grandes quantidades, pro-moes ou condies especiais.Ainda, como uma operao nanceira este instrumentopode ser realizado atravs de ttulo de crdito como nota

m VlFuu Vl P

pl

Juro simple e deonto.

Juro compoto



montante, como vimos no captulo anterior, pois o valorfuturo representa o valor presente acrescido dos juros.Obs 2: As regras do captulo 1 permanecem para osexemplos a seguir.1.3. Exemplo 1: Qual ser o valor futuro de em capitalaplicado de $ 10.000,00, durante um perodo de 3 me-ses, uma taxa de 3,50 % ao ms?VP = $ 10.000i = 3,50% ao ms (Ni=30 dias)N = 3 meses (P= 30 * 3, ento P = 90 dias), onde P o perodo da operaoVF = ?

Quando o perodo da taxa (Ni) igual ao perodo daoperao (N), ento s utilizar N como potncia.

VF = VP ( 1 + 3,50/100) * ( 1 + 3,50/100 ) * ( 1+3,50/100 )VF = VP ( 1+ 3,50/100)^3VF = 10.000 ( 1,0350 )^3VF = $ 11.087,18

Utilizando no mesmo exemplo Ni e N (P) em dias con-forme explicao no captulo 1:VF = VP ((( 1 + i )^(1/Ni)))^NVF = 10.000 (((1,035)^(1/30))^90)VF = $ 11.087,181.3. Exemplo 2: Se eu tomei emprestado $ 15.000,00,durante 147 dias, sendo cobrado a ttulo de juros umataxa de 11,00 % ao ano, quanto deverei pagar no nalda operao?Obs: A maior diculdade do aluno est quando h dife-rena entre o perodo da taxa (Ni) e o prazo da opera-o (N ou P), sendo mais fcil, portanto, trazer todos osclculos para o perodo em dias.

VP = $ 15.000i = 11,00% ao ano (Ni = 360 dias)N = 147 dias (P = 147 dias) , portanto, tanto taxacomo prazo em diasVF = ?

Utilizando no mesmo exemplo Ni (perodo da taxa) e Nou P (perodo da operao) em dias conforme explica-o no captulo 1:VF = VP ((( 1 + i )^(1/Ni)))^N )VF = 15.000 (((1,11)^(1/360))^147)

VF = $ 15.653,02

A frmula do Valor Presente (VP)VP = VF / ((( 1 + i )^(1/Ni))^N )

1.4. Exemplo 3: Estou comprando um veculo e voupag-lo daqui a 245 dias no valor de $ 35.000,00. Se eucomprar a vista, qual ser o valor presente, se a taxa de

juros for 12% ao ano?

VF = $ 35.000,00i = 4,5 % ao semestre ( Ni = 180 dias)N = 247 diasVP = VF / ((( 1 + i )^(1/Ni))^N )VP = 35.000,00 / (( 1+ 4,5 / 100 )^(1/180))^245)VP = $ 32.964,66

1.5. Exemplo 4: Pequei um valor emprestado e vouquit-lo daqui a 195 dias no valor de $ 7.750,00. Seique o banco cobrou de juros 2,76 % ao ms. Qual ovalor que eu tomei emprestado?

VF = $ 7.750,00i = 2,76 % ao ms ( Ni = 30 dias)N = 195 diasVP = VF / ((( 1 + i )^(1/Ni))^N )VP = 7.750,00 / (( 1+ 2,76 / 100 )^(1/30))^195)VP = $ 6.492,99

Lk a 3

1. Taxas de JurosPara clculo da taxa de juros utiliza-se a seguintefrmula:

i = ( VF / VP ) 1/N -1 ) * 100

1.1. Exemplo 1: O capital de $ 100.000,00 aplicado

durante 8 meses, elevou-se no nal deste prazo a $148.000,00. Qual a taxa de juros?i = ( VF / VP ) 1/N -1 ) * 100i = ( 148.000 / 100.000 ) 1/8 -1 ) * 100i = 5,02 % ao ms1.2. Exemplo 2: Um emprstimo efetuado num ban-co de $ 40.000,00, no final de 6 meses paguei o valorde $ 45.046,50. Pergunta-se qual foi a taxa de jurospago?i = ( VF / VP ) 1/N -1 ) * 100i = ( 45.046,50 / 40.000 ) 1/6 -1 ) * 100i = 2,00 % ao ms

2. Clculo de PrazoPara calcular o perodo da operao necessrio utilizar atabela de logaritmo, ou, se usar mquina nanceira, h umatecla especca para este m, ou seja, a tecla G LN. (Ln =logaritmo natural ou neperiano)

A frmula para clculo de prazo :

N = ( Log n ( VF / VP ) / Log n ( 1 + i ) )

2.1. Exemplo 1: Ao efetuar um emprstimo de $ 15.000,00,a uma taxa de juros de 1,75 % ao ms, paguei no nal doperodo $ 16.359,25. Pergunta-se qual foi o perodo da ope-rao.N = ( Log n ( VF / VP ) / Log n ( 1 + i ) )N = ( Log n ( 16.359,25 / 15.000,00 ) / Log n ( 1 + ,0175 ) )

N = 5 meses2.2. Exemplo 2: Se tomar emprestado $ 20.000,00 eno final do perodo pagar $ 24.379,89, numa taxa de

juros de 2,00% ao ms. Pergunta-se qual o prazo des taoperao?N = ( Log n ( VF / VP ) / Log n ( 1 + i ) )N = ( Log n ( 24.379,89 / 20.000,00 ) / Log n ( 1 + ,02 ) )N = 10 meses

3. Taxas equivalentes3.1. Conceito: as taxas de juros no regime composto,ou seja, capitalizadas, assumem valores diferentes aolongo tempo, mas que correspondem em igual propor-cionalidade entre si. Estas taxas so chamadas taxasequivalentes.Obs: Quando do clculo de taxas equivalentes, se os per-odos no forem iguais (ex.: ms, semestre, ano), o ideal transformar a taxa dada Ni (perodo da taxa) em taxa dia id

(1 dia) e depois capitalizar.id, portanto, ser a taxa dia e a partir dela pode-se calculartodas as outras.

id = ( i(Ni) / 100 + 1 ) 1/Ni - 1 ) * 100; ento todas as outrastaxas sero calculadas da seguinte forma:

i x = ( id / 100 + 1) x -1 ) * 100 , onde x o perodo que sedeseja calcular.

3.2. Exemplo 1: Uma taxa de juros de 25,00 % ao ano, equi-vale a que taxas nos perodos:a) id = dia, (Ni =1 dia)b) im = ms, (Ni = 30 dias)c) is = semestre. (Ni = 180 dias)

a) id = ( i(Ni) / 100 + 1 ) 1/Ni - 1 ) * 100

id = ( 25,00 / 100 + 1 )1/360

- 1 ) * 100id = 0,0620% ao dia

b) im = ( id / 100 + 1 ) x - 1 ) * 100im = ( 0,0620 / 100 + 1 ) 30 - 1 ) * 100im = 1,8769% ao ms

c) is = ( id / 100 + 1 ) x - 1 ) * 100is = ( 0,0620 / 100 + 1 ) 180 - 1 ) * 100is = 11,8034% ao semestre

Pode-se armar que apesar dos valores das serem diferen-tes, as taxas 0,0620% ao dia, 1,8769% ao ms, 11,8034%ao semestre e 25,00% ao ano, so equivalentes, ou seja,partindo de qualquer uma delas chega-se as outras em regi-me de capitalizao composta.3.3. Exemplo 2: Numa operao nanceira foi cobrado porum perodo 111 dias uma taxa de juros de 8,75 %: pergunta-

se quais so as taxas equivalentes?i = 8,75% no perodo (Ni = 111 dias)n ou p = 111 dias

a) id = dia ? (Ni =1 dia)b) im = ms ? (Ni = 30 dias)c) ip = perodo da operao ? (Ni = 111 dias)

d) is = semestre ? (Ni = 180 dias)e) is = ano ? (Ni = 360 dias)

a) id = ( i(Ni) / 100 + 1 ) 1/Ni - 1 ) * 100id = ( 8,75 / 100 + 1 ) 1/111 - 1 ) * 100id = 0,0756% ao dia

b) im = ( id / 100 + 1 ) x - 1 ) * 100im = ( 0,0756 / 100 + 1 ) 30 - 1 ) * 100im = 2,2930% ao ms

c) ip = ( id / 100 + 1 ) x - 1 ) * 100

ip = ( 0,0756 / 100 + 1 ) 111 - 1 ) * 100ip= 8,7500% no perodo

d) is = ( id / 100 + 1 ) x - 1 ) * 100is = ( 0,0756 / 100 + 1 ) 180 - 1 ) * 100is = 14,5709% ao semestre

e) ia = ( id / 100 + 1 ) x - 1 ) * 100ia = ( 0,0756 / 100 + 1 ) 360 - 1 ) * 100ia = 31,2650% ao ano

4. Taxa nominal4.1. Conceito: Taxa de juro Nominal aquele quevem estampada no contrato, ou seja, aquela que numdeterminado perodo, independentemente dos encar-gos (IOF, etc.), ser cobrada, a ttulo de remuneraoda operao.

4.2. Exemplo 1: Emprestei $ 1.000,00 e no nal de pe-rodo de um ano vou receber $ 1.100,00. Pergunta-sequal a taxa de juros cobrada nesta operao?i = (( VF / VP ) -1 ) * 100i = (( 1.100 / 1.000 ) -1 ) * 100i = 10% ao perodo

5. Taxa efetiva5.1. Conceito: Taxa Efetiva, aquela que repre-senta numa operao, efetivamente os valores lquidosde entrada e sada, ou o que efetivamente sensibilizananceiramente a operao.5.2. Exemplo: Qual a taxa efetiva de uma operaonanceira, sabendo-se que o Valor Presente de $1.500,00, o Valor Futuro de $ 1.820,00, num perodo de170 dias, sendo que no incio da operao cobrado oimposto sobre operaes de crdito IOF?Obs: A alquota do IOF = 1,5% a.a. ou 0,0041% ao dia,

incide somente sobre o valor nanciado, calculado noprazo da operao com base em um ano de 360 dias.

ip (Nominal) = (( VF / VP ) -1 ) *100ip (Nominal) = (( 1.820 / 1.500 ) -1 ) *100ip (Nominal) = 21,3333% no perodo de 170 dias

Para o clculo da taxa de juros efetiva, ser necessriocalcular os valores para o IOF, tanto no valor presentecomo no valor futuro.

IOF = $ 1.500 * ( 00041% * 170 )IOF = $ 10,45

Portanto,VP (efetivo) = $ 1.500 $ 10,45VP (efetivo) = $ 1.489,55

Ento a taxa efetiva ser:

ip (Efetiva) = (( VF / VP ) -1 ) *100ip (Efetiva) = (( 1.826,91 / 1.489,55 ) -1 ) *100ip (Efetiva) = 22,6485% no perodo de 170 dias

Concluso: Neste exemplo, observa-se claramente que oefeito IOF elevou o custo da operao nanceira que era No-minal de 21,3333% para 22,6485% no perodo de 170 dias.Obs: Normalmente nas operaes nanceiras os valo-res transitam pela conta corrente (c/c) tanto no ValorPresente como no Valor Futuro, ou seja, quando setoma emprestado algum valor, o mesmo creditado naconta de quem pede o emprstimo e tambm ir pa-gar a parcela debitando do mesmo na conta corrente.

6. Exemplos de encargos fnanceiros

6.1. IOF: Imposto federal sobre Operaes de Cr-dito, Cmbio e Seguros, que incide sobre operaesde crdito, de cmbio, seguro e operaes relativasa ttulos e valores mobilirios. Percentual varivel de-pendendo da operao, calculado linearmente sobre ovalor nominal do ttulo e cobrado no ato da liberaodos recursos.

clul Pz txequvl



6.2. Taxa Administrativa: cobrada em vrias ope-raes pelas instituies nanceiras visando cobrir certasdespesas de abertura, concesso e controle do crdito. calculada geralmente de uma nica vez sobre o valordo ttulo e descontada na liberao do recurso.

Lk a 4

1. Conceito: no regime de capitalizao compos-ta, dois (ou mais) capitais so equivalentes com uma

determinada taxa, se seus valores, calculados emqualquer data, forem iguais. A data de comparaopode ser qualquer uma, j que, se dois capitais soequivalentes em certa poca, portanto, eles o sero emqualquer outra.

A frmula de equivalncia de dois capitais :

VP1

( 1+ i ) N1 = VP2

( 1+ i ) N2 + X , onde:

N1 = Perodo Original da operaoN2 = Perodo entre o novo VP e o perodo original daoperao, ento:

VF1

= VF2 + X, ento

X = VF2 - VF1

2. Exemplo 1: A dvida de uma empresa de $350.000,00, cuja taxa de juros 5,00% ao trimestre.Passados 2 trimestres, a empresa resolveu renegociara sua dvida pagando $ 125.000 no ato, e que o saldodevedor ser pago no nal de 4 trimestres. Qual o valora ser pago?

Obs: Fluxo de Caixa (cash ow em ingls) umarepresentao grca de entrada e sada de recursos

onde seta para cima representa entrada e para baixosada. Quando numa mesma data existem duas setas(uma para cima e outra para baixo) realiza-se uma sub-trao. Se o resultado for positivo teremos seta paracima. Tendo resultado negativo, seta para baixo, ouseja, sada de recursos.No uxo de caixa do exemplo acima, no sexto perodoencontra-se o caso onde existem duas setas, ento:469.033 151.938 = 317.095, ou seja, desembolso.

VF1 = VP1 ( 1+ i )N1

VF1

= 350.000 ( 1,05 )6VF

1= 469.033

VF2

= VP2 ( 1+ i ) N2VF2 = 125.000 ( 1,05 )

4

VF2

= 151.938

VF1 = VF2 + XX = VF

1- VF

2

X = 469.033 - 151.938X = $ 317.095

2. Exemplo 2: Um emprstimo feito no valor de $100.000, para ser quitado em 10 meses, uma taxa de2,20% ao ms que, aps quatro meses de transcorrido,o cliente props ao banco pagar $ 35.000 no ato e liqui-dar o saldo devedor 4 meses a frente, porm, o bancos aceitou a proposta se reajustasse a taxa de jurospara 2,80% ao ms, a partir da. Uma vez a propostaaceita, qual o valor pago?

VP1

( 1+ i ) N1 = VP2

( 1+ i ) N2 + X

1.3. Srie Uniforme de Pagamentos, de-nida por perodos de pagamentos iguais (ex. ao ms,ao semestre, ao ano, etc.) e que os valores pagos ourecebidos so idnticos ao longo do tempo.Dividem-se em:1.3.1. Srie Uniforme de Pagamento Sis-tema END (HP-12C): a primeira amortizaoocorrer passado um determinado perodo, cujo uxode caixa da seguinte forma:Onde:

PMT = Mesmos valores das prestaes/amortizaesao longo do tempo. = Variao entre prestao/amortizao detempo (ex. dias, meses, anos, etc.)1 = 2 = 3 = 4, ou seja, so constantes.

A frmula da Srie Uniforme de Pagamentos SistemaEND:

PMT = VP ((( 1 + i ) N * i ) / (( 1 + i ) N - 1 ))Siglas utilizadas:PMT = Valores da prestaes ($)i = Taxa de Juros (%) ( tem que estar no perododa prestaoN = Nmero de prestaesVP = Valor Presente

Exemplos:

a) um automvel por $ 25.000, a ser pago em 24 pres-taes mensais e consecutivas, uma taxa de jurosde 0,90% ao ms, pergunta-se qual o valor das pres-taes?

PMT = VP ((( 1 + i ) N * i ) / (( 1 + i ) N - 1 ))PMT = 25.000 ((( 1,0090 ) 24 * ,009 ) / (( 1,009 )24- 1 ))PMT =$ 1.162,88

b) Uma geladeira foi comprada por $ 1.250,00, em 15prestaes bimensais taxa de 2,50% ao bimestre.Qual o valor das prestaes?

PMT = VP ((( 1 + i ) N * i ) / (( 1 + i ) N - 1 ))PMT = 1.250 ((( 1,0250 ) 15 * ,0250 ) / (( 1,025 ) 151 ))PMT =$ 100,96

1.3.2. Srie Uniforme de Pagamento Sis-tema BEGIN (HP-12C): os valores das presta-es so constantes ao longo do tempo, as variaesde prazo entre elas permanecem constantes, sendoque a nica alterao, que a primeira amortizao sed no instante zero da operao.

O uxo de caixa da seguinte forma:

PMT = Mesmos Valores das prestaes/amortizaesao longo do tempo. = Variao entre prestao/amortizao de

Obs: Neste exemplo o vencimento aps a renegociaofoi antecipado em dois meses, portanto, na frmula existea necessidade de acrescentar e X os dois perodos queprecisam ser antecipados na nova taxa de 2,80% a.m.,quando anteriormente era de 2,20% a.m. Ento a equa-o cou assim:

VP1( 1+ i ) N1 = VP

2( 1+ i ) N2 + X(1 + i)2 , onde i = 2,80% ao

ms para os dois perodos que sero antecipados.

VP1

( 1+ i ) N1 = VP2

( 1+ i ) N2 + X(1,0280)2

VF1 = VP1 ( 1+ i ) N1VF1

= 100.000 ( 1,022 ) 10

VF1

= 124.311

VF2 = VP2 ( 1+ i )N2

VF2

= 35.000 ( 1,028 ) 6VF

2= 41.307

VF1

= VF2 + X(1,0280)2X = ( VF1 - VF2 ) / (1,0280)2

X = ( 124.311 41.307 ) / 1,0568X = $ 78.544

3. Exemplo 3: Um emprstimo a ser pago em 5 anos,no montante de $100.000, sendo cobrado taxa de12,00% ao ano. Aps o 1 ano, o devedor apresentouuma proposta para liquidar a dvida em dois paga-mentos iguais, sendo o primeiro pagamento no ato eo segundo depois de 2 anos do primeiro. Qual valorde cada parcela?

Usando a frmula fundamental de Juros Compostos, onde:

VF = VP ( 1 + i ) N, ento derivando a frmula temos:

VP = VF / ( 1 + i ) N, e a frmula da equivalncia:

VP1 ( 1+ i ) N1 = VP2

( 1+ i ) N2 + X , onde:

Utilizando o 3 perodo como base de clculo teremos:

VF / ( 1 + i ) N2 = X + X ( 1+ i ) N2

100.000 / ( 1,12 ) 2 = X + X ( 1,12 ) 2

100.000 / 1,2544 = X ( X/X + 1,2544/X)

79.719 = X * 2,2544

X = 79.719 / 22544

X = 35.362Lk a 5

1. Srie de Pagamentos1.1. Conceito: uma sucesso nita ou innita de valo-res, chamados de prestaes que ocorrem em datas previa-mente denidas.Em juros compostos os uxos de caixa podem ser:1.2. Srie nica de Pagamentos (3 Captulo), quetem somente uma nica entrada e sada de recursos.

Vl aul VlFuu u ju

vl

VP

1 2 3 4

PMT 1 PMT 2 PMT 3 PMT 4

N 1 N 2 N 3 N 4

VP

1 2 3


N 1 N 2 N 3

equvl cp



tempo (ex. meses, anos, etc.)1 = 2 = 3 = 4, ou seja, so constantes.

PMT = VP ((( 1 + i ) N-1 * i ) / (( 1 + i ) N - 1 ))

Siglas utilizadas:PMT = Valores da prestaes ($)i = Taxa de Juros (%) ( tem que estar no perododa prestao)N = Nmero de prestaesN N-1 = Nmero de prestaes menos umaVP = Valor Presente

Exemplos:

a) Comprei um televisor num magazine no valor de$ 950,00 nanciado a uma taxa de juros de 1,80% aoms, a ser pago nas seguintes condies de paga-mento: uma no ato e mais 5 mensais. Qual o valor dasprestaes?

PMT = VP ((( 1 + i ) N-1 * i ) / (( 1 + i ) N - 1 ))PMT = 950 ((( 1018 ) 4 * i ) / (( 1 + i ) 5 - 1 ))PMT = $ 196,84

b) Um eletrodomstico foi comprado por $ 290,00, paraser pago em 24 parcelas mensais, sendo a primeira avista, numa taxa de juros de 2,20% ao ms. Qual ovalor das prestaes?

PMT = VP ((( 1 + i ) N-1 * i ) / (( 1 + i ) N - 1 ))PMT = 290 ((( 1022 ) 23 * i ) / (( 1 + i ) 24 - 1 ))PMT = $ 15,34

1.4. Srie Varivel de Pagamentos1.4.1. Conceito: So sries cujas prestaes/amortizaes tm valores diferentes uma das outras.1.4.2. A Taxa Interna de Retorno IRR/TIR, a taxa que iguala o valor presente de umou mais pagamentos (sada de caixa) com o valorpresente de um ou mais recebimentos (entrada decaixa), portanto, pode-se afirmar que existe umanica e to somente uma nica taxa de retornoque traz todos os fluxos futuros ao presente e quequanto somados, representa uma soma igual aovalor presente com o sinal inverso, ou seja, somen-te uma nica taxa de retorno iguala os fluxos futuro

ao valor presente.No clculo da TIR o fluxo dos valores das presta-es e o prazo no so i guais ao longo do fluxo decaixa, que tem a seguinte representao grfica:

PMT = Valores das Prestaes /Amortizaes, por-tanto,

PMT1 PMT2 PMT3 PMT4, ou seja, no soIGUAIS em todos os uxos; = Variao entre prestao / amortizao de tempo(ex. dias, meses, anos, etc.), portanto,1 2 3 4, ou seja, no so constantes aolongo do tempo.

Para clculo da TIR deve-se utilizar uma calculadorananceira, como a HP-12C, e utilizar a seguinte no-menclatura:

Valor Presente = PVCash Flow Inicial = CFo Valor no instante 0

Net Present Value = NPV

Prestao/Amortizao = CFj

Prazo/Perodo = = Nj

Taxa interna de retorno = i

Utilizando as teclas da HP-12C:

Portanto., a frmula da TIR/IRR :nCFo = CFj = CF1 + CF2 + ... + CFn

J = 1 ( 1+i )j ( 1+i )1 ( 1+i )2 ( 1+i )3

Onde i a taxa interna de retorno, portanto:n

CFo - CFj = 0 (ZERO) J = 1 ( 1+i )j

Exemplos:

a) Determinar a taxa interna de retorno correspondentede um emprstimo de $ 1.000,00 a ser liquidado em trsparcelas mensais de $ 300,00, $ 350,00 e $400,00, respec-tivamente?

Portanto:

1.000 = 300 + 350 + 400(1+i)1 (1+i)2 (1+i)3

Utilizando a HP-12C o clculo realizado da seguinte for-ma:1 passo zerar as memrias nanceiras, ou seja:F CLEAR FIN (est situada abaixo da tecla x yDepois a seguinte sequncia:

1.000 CHS G Cfo300 G CFj

1 G Nj350 G CFj

1 G Nj400 G CFj

1 G Nj

Aps lanar desta forma os dados pressionar as teclas:

f , IRR = 2,3647% ao ms

b) Um emprstimo de $ 3.000 foi contrado com o compro-misso de quitao mensal da seguinte forma: a primeira de$ 400, a segunda de $ 790, a terceira, quarta e quinta novalor de $ 620 e a ltima de $ 880. Qual a a taxa interna deretorno dessa operao?

1 passo zerar as memrias nanceiras, ou seja:F CLEAR FIN (est situada abaixo da tecla x yDepois a seguinte sequncia:

3.000 CHS G Cfo400 G CFj

1 G Nj620 G CFj

3 G Nj880 G CFj

1 G Nj

Aps lanar desta forma os dados pressionar as te-clas:

f , IRR = 1,3950% ao msLk a 6

Dado uma srie de pagamentos iguais, podem ser cal-culados atravs de fatores, utilizando frmulas deriva-das da Srie Uniforme de Pagamentos.

1. Fator de Acumulao de Capital FAC

VF = PMT ((( 1 + i ) N * i ) / (( 1 + i ) N - 1 )), onde,

VF = PMT * FATOR

VF = PMT * FAC

1.1. Exemplo 1: Se eu poupar $ 100,00 por msao longo de 5 meses, qual ser o valor que con-seguirei juntar no final do perodo a uma taxa de1,10% ao ms?

VF = PMT ((( 1 + i ) N - 1 ) / i )VF = PMT * FACVF = 100 ((( 1,0110 ) 5 - 1 ) / 0,0110)VF = 100 * 5,1112

VF = $ 511,12

1.2. Exemplo 2: Pretendo comprar um apartamentoe para tanto estou aplicando recursos num bancomensalmente no valor de $ 500,00 por ms, duran-te 24 meses, numa taxa de 0,90 % ao ms. Quantovou conseguir juntar no nal do perodo para dar deentrada no imvel?

VF = PMT ((( 1 + i ) N - 1 ) / i )VF = PMT * FACVF = 500 ((( 1,0090 ) 24 - 1 ) / 0,0090)VF = 500 * 26,6560VF = $ 13.327,99

2. Fator de Formao de Capital FFCDado um Valor Futuro, uma taxa de juros e o nme-ro de prestaes, este fator calcular qual o valorda prestao necessria para ser chegar ao valorque se pretende juntar.

PMT = VF ( i / (( 1 + i ) N -1 ))

PMT = VF * FFC

2.1. Exemplo 1: Quanto uma pessoa ter que jun-tar mensalmente durante 30 meses, numa taxa de

juros de 0,85% ao ms, para no fina l do perodo teralcanado o objetivo de juntar $ 25.000,00?

PMT = VF ( i / (( 1 + i ) N -1 ))PMT = VF * FFCPMT = 25.000 ( 0,0085 / (( 1,0085 ) 30 -1 ))PMT = 25.000 * 0,0294PMT = $ 735,11

2.2. Exemplo 2: Quanto preciso aplicar num ban-co mensalmente, numa taxa de juros de 1,00% aoms, durante 5 anos, para juntar um valor total de $45.000,00?

PMT = VF ( i / (( 1 + i ) N -1 ))

VP

1 2 3 4


N 1 N 2 N 3 N 4

}

F NPV IRR

i VP FV

CFo NJ

PMT

CFJ

N

G

CF1= $300 CF2 = $350 CF3 = $400

Cfo = ($ 1.000)

1 2 3

0

CF1= $400 CF2 = $ 790 CF3 = $ 620

Cfo =($ 3.000)

1 2 3

0

4 5 6

CF3= $620 CF3= $620

r c au (F)


6/66www administracao memes com br

gressiva de uma dvida atravs de pagamentos peridicosde uma srie de prestaes.

2. Sistema de Amortizao Constante SACNeste sistema, o financiado vai pagar a dvida pormeios de prestaes peridicas, que englobam juros eo valor a ser amortizado, ou seja, os juros, que calcu-lado de forma aritmtica, que representam a remune-rao do aluguel do dinheiro e a amortizao, parte daparcela que vai abater o saldo devedor do emprstimo,ou seja, a dvida do financiado de fato representada

pelo saldo devedor.O valor da amortizao o mesmo ao longo do tempoe o juro calculado sempre sobre o saldo devedor doperodo anterior.

2.1. Exemplo: Uma dvida de $ 100.000 vai ser paga atra-vs de 5 prestaes anuais, pelo Sistema SAC, taxa de12% ao ano. Montar a tabela de nanciamento do SistemaSAC.

Amortizao = VP / N, onde:

VP = Valor FinanciadoN = Nmero de parcelas a pagar, portanto:

Amortizao = $ 100.000 / 5Amortizao = $ 20.000 por ano

Tabela Explicativa do Sistema SAC EM $

AMORTIZAO = VALOR FINANCIADO / N DE PAR-CELAS

AMORT. = $ 100.000 / 5AMORT. = $ 20.000

JUROS(1) = SALDO ANTERIOR(0) * TAXA DE JUROSJUROS(1) = $ 100.000 * 12 %JUROS(1) = $ 12.000

PREST.(1) = JUROS(1) + AMORT(1).PREST.(1) = $ 12.000 + $ 20.000PREST.(1) = $ 32.000

SALDO DEVEDOR(1) = SALDO DEVEDOR(0) AMORTIZAO(1)SALDO DEVEDOR(1) = $ 100.000 - $ 20.000SALDO DEVEDOR(1) = $ 80.000

JUROS(2) = SALDO ANTERIOR(1) * TAXA DE JUROSJUROS(2) = $ 80..000 * 12 %JUROS(2) = $ 9.600

PREST.(2) = JUROS(1) + AMORT(2)PREST.(2) = $ 9.600 + $ 20.000PREST.(2) = $ 29.600

E, assim para todos os perodos.

3. Tabela PriceA Tabela Price um sistema de nanciamento, onde nor-malmente a prestao mensal, sendo que, a taxa dejuros expressa em percentual anual, devendo ser cal-culada a equivalente ao ms, onde as prestaes souniformes ao longo do tempo.

A Frmula :

PMT = VP ((( 1 + i ) N * i ) / (( 1 + i ) N - 1 )), onde:

PMT = VALOR DA PRESTAOVP = VALOR FINANCIADO

i = TAXA DE JUROSN = NMERO DE AMORTIZAES

3.1. Exemplo: Qual o valor da prestao do nancia-mento de uma casa no valor de $ 150.000 que vai serpaga em 120 prestaes mensais na taxa de juros de12% ao ano. Qual o valor da prestao?

PMT = ?VP = $ 150.000i = 12 % ao ms (Ni = 360dias e ms = 30 dias)N = 120 parcelas

ims = ((( iano / 100 + 1 ) 1/360 ) 30 1 ) *100ims = (((1,12 ) 1/360 ) 30 1 ) *100ims = 0,9489% ao ms

ento:

PMT = VP ((( 1 + i ) N * i ) / (( 1 + i ) N - 1 )),PMT = 150.000((( 1,0095 ) 120 * 0,0095 ) / (( 1,0095) 120- 1 )),PMT = $ 2.099,21233

Lk a 8

PMT = VF * FFCPMT = 45.000 ( 0,0100 / (( 1,0100 ) 60 -1 ))25.000(0,0085 / (( 1,0085 ) 30 -1 ))PMT = 45.000 * 0,0122PMT = $ 735,11

3. Fator de Valor Atual FVADado valores de prestaes, uma determinadataxa de juros e o nmero de prestaes, estefator o valor presente de todas as prestaesque sero pagas no futuro, ou, tambm se qui-ser quanto vale uma determinada prestao no

instante zero.A frmula basicamente a da VP em SrieUniforme de Pagamento, mas, utilizando estefator para mais de uma parcela, a frmula ficaassim:

VP = PMT((( 1 + i ) N -1 ) / (( 1 + i ) N * i ))

VP = PMT * FVA

3.1. Exemplo 1: Qual o valor atual de 24 depsitosmensais de $ 250,00 uma taxa de 1,20% ao ms?

VP = PMT((( 1 + i ) N -1 ) / (( 1 + i ) N * i ))VP = PMT * FVAFVA / VP = 250 (( 1, 0120 ) 24 - 1 ) / (( 1 + i ) 24 *0,0120 ))FVA / VP = 250 * 20,7460FVA / VP = $ 5.186,50

3.2. Exemplo 2: Fui comprar um televisor e ovendedor me disse que o mesmo pode ser pagoem 30 parcelas mensais no valor de $ 45,00 eque a taxa de juros de 1,95% ao ms. Se eucomprar a prazo, qual o valor atual dessa ope-rao?

VP = PMT((( 1 + i ) N -1 ) / (( 1 + i ) N * i ))VP = PMT * FVAFVA / VP = PMT(( 1, 0195 ) 30 - 1 ) / (( 1 + i ) 30 *0,0195 ))FVA / VP = 45 (( 1, 0195 ) 30 - 1 ) / (( 1 + i ) 30 *0,0195 ))FVA / VP = $ 1.014,80

4. Fator de Recuperao de Capital FRC utilizado para calcular prestao (PMT), que foi es-tudado no 4 captulo, a frmula a seguinte:

PMT = VP (( 1 + i ) N * i ) / (( 1 + i ) N - 1 )

PMT = VP * FRC

4.1. Exemplo 1: Qual o valor da prestao de umbem, sabendo-se que o preo dele a vista de $25.000,00, que dever ser pago em 40 prestaesnuma taxa de juros de 1,5% ao ms?

PMT = VP (( 1 + i ) N * i ) / (( 1 + i ) N - 1 )PMT = VP * FRCPMT = 25.000 (( 1,015 40 * 0,0150 ) / (1,015 40 - 1))PMT = 25.000 * 0,0334PMT = $ 835,68

4.2. Exemplo 2: Qual o valor da prestao de umcarro cujo valor presente $ 32.500,00, para serpago em 60 parcelas mensais e que a taxa de jurosdeste nanciamento de 1,65% ao ms?

PMT = VP (( 1 + i ) N * i ) / (( 1 + i ) N - 1 )PMT = VP * FRCPMT = 32.500 (( 1,0165 60 * 0,0165 ) / (1,0165 60- 1 ))PMT = 25.000 * 0,0264PMT = $ 857,44

Lk a 7

1. Sitema de Amortizao1.1. Conceito: um processo de extino pro-

az, ss.a.c s P u pl

A coleo Guia Acadmico o ponto de parti-da dos estudos das disciplinas dos cursos degraduao, devendo ser complementada como material disponvel nos Links e com a leiturade livros didticos.

Matemtica Financeira - 1 Edio - 2009

Coordenao:

Autor:Alairtom Jos Cabral.Formado em Eco-nomia e Cincias Contbeis, Mestre em Adminis-trao Financeira e Cincias Sociais Aplicadas.A coleo Guia Acadmico uma publicaoda Memes Tecnologia Educacional Ltda. SoPaulo-SP. Endereo eletrnico: www.adminis-tracao.memes.com.brTodos os direitos reservados. terminantemen-te proibida a reproduo total ou parcial destapublicao, por qualquer meio ou processo, sema expressa autorizao do autor e da editora. A

violao dos direitos autorais caracteriza crime,sem prejuzo das sanes civis cabveis.

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PREST. JUROS

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32.000

29.600

27.200

24.800

23.600

-

12.000

9.600

7.200

4.800

3.600

AMORT.

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20.000

20.000

20.000

20.000

20.000

SD. DEVED.

100.000

80.000

60.000

40.000

20.000

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