Guia 1 Modelos Matematicos

8/18/2019 Guia 1 Modelos Matematicos

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UNIVERSIDAD TECNOLOGICA EQUINOCCIAL


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Unidad 1.- MODELOS MATEMATICOS, METODOS

CUANTITATIVOS, OPTIMIZACION

1.1 Introducción a la Investigación Operativa

1.2

Definiciones, clases, tipos de modelos

1.3

Representaciones y consideraciones

1.4 Formulación de modelos y análisis de modelos matemáticos

1.5 Análisis cuantitativo, solución matemática y gráfica

1.6 Aplicaciones

La investigación operativa para la toma de decisiones es la aplicación de la metodología científicaa través de modelos matemáticos, primero para representar al problema y luego para resolverlo.

Un Modelo es una representación simplificada e idealizada de la realidad

Modelos Analíticos

Aproximan el mundo real, nos dan la libertad de experimentar.

SISTEMAREAL MODELO

DECISION FINAL

DECISION OPTIMA

IMPLEMENTACIÓNRESULTADOS

COMPARACION(+) O (-)

AJUSTES

MODELO

PROBLEMA DECISIONES

RESULTADOS

A B S T R A C I O

N I N T

E R P R E T A C I O N

ANALISIS

INTUICION

MUNDOSIMBOLICO

MUNDOREAL

PROCESO DE CONSTRUCCION DE UN MODELO


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Razones para construir modelos analíticos de problemas de toma de decisiones: ¿Por qué se construye un modelo de avión antes de construir el de verdad? Menos costoso cometer errores en modelo Modelo da intuición sobre problema real Modelo permite experimentar Ayuda a entender mejor el problema

“Un modelo es una abstracción cuidadosamente seleccionada de la realidad”

Modelo Mental.- Creado solamente en la mente de forma abstracta como ayuda para visualizar el sujeto osistema, es el inicio para los otros modelos.

Modelo Físico.- Es una representación del sistema o sujeto que estudiamos en cuanto a sus propiedadesreales.

- Modelo Icónico.- Es una representación física de algunos objetos, ya sea en forma idealizada o en escala

distinta, es decir que sus propiedades sean las mismas que tiene lo que representa, ejemplo: fotos, cuadro,maqueta, plano, etc.

.- Modelo Analógico.- Son los que por analogía pretenden representar el sujeto o sistema en estudio,ejemplo. Diagrama de flujo, mapas de carreteras, manómetros, termómetros, etc.

Modelo Simbólico.- Es aquel que usa datos, variables y relaciones matemáticas para representarpropiedades abstractas.

- Modelo esquemático.- Es aquel que requiere que sus datos sean cuantificables y sea factible expresar en

forma numérica, ejemplo: malla académica, diagramas, mapas a escala, etc.

Tipos de MODELOS

Un Modelo es Una representación simplificada e idealizada de la realidad

MODELO

MENTAL SIMBOLICO

ANALOGICOSICONICOS

FISICO

ESQUEMATICOS MATEMATICOS

MODELO

MENTAL SIMBOLICO

ANALOGICOSICONICOS

FISICO

ESQUEMATICOS MATEMATICOS


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- Modelo matemático.- Son aquellos que por medio de ecuaciones o formulas representan un sistema realoriginal.

La solución del modelo dará la solución que se necesita?

Se beben tomar en cuenta factores cualitativos que el modelo no está considerando

Proceso de resolución de problemas

INSUMOSINCONTROLABLES(PARAMETROS)

INSUMOSCONTROLABLES

(DECISIONES)

MODELO

MEDIDAS DEDESEMPEÑO

VARIABLES DECONSECUENCIA

NO

RESOLUCIONDE PROBLEMAS

DEFINIR EL PROBLEMA

DETERMINAR CRITERIOS DE EVALUACION

IDENTIFICAR ALTERNATIVAS

EVALUAR ALTERNATIVAS

ELEGIR UNA OPCION

IMPLEMENTAR LA DECISION

EVALUAR RESULTADOS

TOMA DEDECISIONES

RESOLUCION

DEL MODELO

FORMULACION DEL MODELO

Y RECOLECCION DE DATOS

SOLUCION

MODELOMODIFICADO

GENERACION DEREPORTES E

IMPLEMENTACIÓN

¿ESVALIDA LASOLUCION?

NO

SI


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Problema 1

La compañía Equinoccio con su gerente Sandra Gómez está evaluando la posibilidad de introduciruna nueva línea de productos. Después de estudiar el proceso de producción y costos de lasmaterias primas y nuevo equipo, Sandra ha estimado que los costos variables de cada unidad

producida y vendida serian de $6, y que los costos fijos anuales serian de $60000.a. Si el precio de venta se estableciera en $18 por unidad, ¿Cuántas unidades tendría que produciry vender Sandra para alcanzar el punto de equilibrio?

b. Sandra pronostica ventas de 10000 unidades en el primer año si el precio de venta se estableceen $14 cada una. ¿Cuál sería la contribución total de este nuevo producto a las utilidadesdurante el primer año?

c. Sandra pronostica que si el precio de venta se establece en $12,50, las ventas del primer añose incrementarían a 15000 unidades. ¿Qué estrategia de precios ($14 ó $12,50) daría porresultado la mayor contribución total a las utilidades?

d. ¿Qué otras consideraciones serian importantes para tomar la decisión acerca de fabricar ycomercializar el nuevo producto?

MODELOS MATEMMODELOS MATEMÁÁTICOSTICOS

U = I - CCT = CF + CVI = P*Q

TIPO 1 TIPO 2 TOTOAL

UTILIDADES 128 378 506

CONTRIBUCIÓN 4 7MO REQUERIDA 25,6 59,4 85MP UTILIZADA 672 972 1644

MO POR UNIDAD 0,8 1,1MP POR UNIDAD 21 18

CANTIDAD PRODUCIDA 32 54

HOJA DE CÁLCULO

TIPO 1 TIPO 2 TOTOAL

UTILIDADES 128 378 506

CONTRIBUCIÓN 4 7MO REQUERIDA 25,6 59,4 85MP UTILIZADA 672 972 1644

MO POR UNIDAD 0,8 1,1MP POR UNIDAD 21 18

CANTIDAD PRODUCIDA 32 54

HOJA DE CÁLCULO

1. FORMULACI1. FORMULACIÓÓN DEL MODELO YN DEL MODELO YRECOLECCIRECOLECCIÓÓN DE DATOSN DE DATOS

2. RESOLUCI2. RESOLUCIÓÓN DEL MODELON DEL MODELO

MÉTODO ÓPTIMO Mejores valores posibles

MÉTODO HEURÍSTICO Valores aceptables

3. VALIDACI3. VALIDACIÓÓN DE LA SOLUCIN DE LA SOLUCIÓÓNN

4. MODIFICACI4. MODIFICACIÓÓN DEL MODELON DEL MODELO

5. GENERACI5. GENERACIÓÓN DE REPORTES EN DE REPORTES EIMPLEMENTACIIMPLEMENTACIÓÓNN

Los valores numéricos determinados por el modelo, implicandecisiones específicas (asignación de recursos).Se debe hacer un seguimiento de la eficacia del modelo.


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ResoluciónDatos:Costo unitario = 6 $/ Costo Fijo = 6000 $

a)

P = 18 $/u

Modelo: = 18 = 6 6000 = 12 − 6000

En el equilibrio La utilidad es cero o el ingreso es igual al costo

La cantidad en el equilibrio es 500 unidades

X I C U0 0 6000 -6000

500 9000 9000 0

1000 18000 12000 6000


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7

b) = 1000 = 14 $/

Modelo

= 14

= 6 6000 = 8 − 6000

c) = 1500

= 12.50 $/


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Modelo = 12.50 = 6 6000 = 6.5 − 6000

= 6.5∗1500 −6000 = 3750 $ = 14 $/

Modelo = 14 = 6 6000 = 8 − 6000

= 8 ∗ 1500 − 6000 = 6000 $ La utilidad mayor sera cuando el precio se fija a 14 $/u

d) Para un precio de 18 $/u se tiene un punto de equilibrio cuando se alcanzan las 500

unidades, que sería la mejor condición

Problema 2

Una compañía de dulces vende sus cajas de chocolates a $2 cada una. Si x es el número de cajasproducidas a la semana (en miles), entonces el administrador sabe que los costos de producciónestán dados, en dólares, por C = 1000 + 1300x + 100x2 a) Determine el modelo matemático. b)Determine el nivel de producción en que la compañía no obtiene utilidades ni pérdidas (punto deequilibrio) y su gráfico c) Cual debería ser el intervalo de producción recomendado? d) Cual serála utilidad máxima?

a)

Modelo matemático: = 2000

: = 1000 1300 100

: = 700 −100 − 1000 b) Punto de equilibrio Utilidad igual a cero: = 700 −100 − 1000 = 0 − 7 10 = 0 ( − 2)( − 5) = 0

Entonces X = 2 y X = 5


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9

X I C U

0 0 1000 -1000

0,5 1000 1675 -675

1 2000 2400 -400

1,5 3000 3175 -175

2 4000 4000 0

2,5 5000 4875 125

3 6000 5800 200

3,5 7000 6775 225

4 8000 7800 200

4,5 9000 8875 125

5 10000 10000 0

5,5 11000 11175 -175

6 12000 12400 -400

6,5 13000 13675 -675

7 14000 15000 -1000

-1200

-1000

-800

-600

-400

-200

0

200

400

0 1 2 3 4 5 6

Utilidad vs Cantidad


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c)

El intervalo recomendado seria entre 200 y 500 unidades, donde se tiene ganancia

Cantidad: 2000 < < 5000 d)

La utilidad máxima

= 0

= 700 − 200 = 0 Entonces X=3500 unidades y la Umax = 225 $

Caso de Estudio

La empresa pastelera “La Mana” obtiene ganancias al producir pasteles de manzana combinando dos

ingredientes (frutas y masa de pan congelada) que los compra y mediante un proceso adecuado deproducción logra un producto de calidad, los cuales vende a tiendas, micro mercados y supermercados de

la localidad. El fundador de la compañía el Gerente Sr. Juan Pérez, se ha propuesto construir un modeloen hoja electrónica para estudiar las alternativas, a partir de la definición de caja negra, trabajando en formaretrospectiva iniciar en una medida de desempeño permita determinar sus elementos conceptuales.

El hecho de que la empresa necesita obtener ganancias inmediatas facilita la elección de las gananciassemanales como medida de desempeño. Al meditar en la situación, el gerente concluye que, una vezconsiderado todo lo demás, su decisión más crítica consistirá en determinar el precio de los pasteles almayoreo. El plan del gerente le impide modificar el tamaño o la calidad de los pasteles, y las tiendas de

distribución agregan simplemente un cargo extra al costo por el cual adquieren los pasteles (el precio almayoreo de La Mana). Así, las cantidades de pasteles vendidas, y por consiguiente sus costos, estándeterminados por el precio de los pasteles al mayoreo. Entonces, el gerente concluye que el precio de los

pasteles de manzana es la variable de decisión y será lo que determine sus ganancias, junto con losparámetros de costo, ver la figura siguiente:

Entre los parámetros del costo figuran: el costo fijo por concepto de alquiler, pago de intereses sobre un

préstamo comercial, y así sucesivamente; el costo unitario por pastel de fruta y la masa; el costo unitario

del procesamiento del pastel, que incluye la cocción, el empaque y la entrega.

La siguiente parte del proceso es la construcción del modelo, la creación de la lógica que se introducirá enla caja negra. Para algunos gerentes sin experiencia en la construcción de modelos, los diagramas deinfluencia son un recurso útil para estructurar su pensamiento y romper con el bloqueo paradigmático delmodelador.

Los diagramas de influencia son un instrumento apropiado para organizar el procedimiento para laconstrucción de modelos, y brindan la ventaja adicional de ser el primer paso para la documentación delmodelo. Un diagrama de influencia muestra las conexiones entre las variables exógenas (externa) del

modelo y una medida de desempeño, dejando a continuación la definición de la lógica matemática del

modelo.

MODELO

Precio del pastel

Costo unitario del relleno

Costo unitario de la masa

Costo unitario del procesamiento del pastel

Costo fijo

GANANCIAMODELO

Precio del pastel

Costo unitario del relleno

Costo unitario de la masa

Costo unitario del procesamiento del pastel

Costo fijo

GANANCIA


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La creación del diagrama empieza con una variable para medir el desempeño, y esta descomponer en doso más variables intermedias, las cuales se combinaran matemáticamente en el modelo y permitirán definirel valor de esa medida de desempeño.

Relación e interrelación entre las variables, en forma gráfica

El paso siguiente en la construcción del modelo requiere la especificación de las ecuaciones que indicanlas relaciones entre las variables

El gerente considera que la demanda de pasteles es una función del precio de las mismas y que los preciosmás altos producen una demanda (ventas) más baja. El Sr. Pérez estima que al precio de $12 sus pastelesno tendrán demanda alguna y que, por debajo de ese precio lograría vender cada semana 4000 pastelesmás por cada dólar que redujera el precio. Suponiendo, solo para simplificar, que la relación de demandapudiera expresarse por medio de una ecuación lineal, contaríamos con la siguiente relación para expresarla demanda semanal, en miles de pasteles lo cual sería válido solamente mientras el precio del pastel esteentre $0 y $12

GANANCIAS

INGRESOS COSTOS

COSTOS DEPROCESAMIENTO

Costo de losingredientes

Cantidades de

IngredientesrequeridosPasteles

demandados

PRECIODEL PASTEL

Costo unitariode la masa

Costo unitariode procesamiento

del pastel

Costosfijos

Costo unitariodel relleno

COSTOS

Ganancias =

Ingresos =

Costo total =

Costo de los ingredientes =

Costo de procesamiento =

Ingresos – Costo Total

Precio del pastel * Pasteles demandados

Costo de procesamiento + Costo de los ingredientes + Costo fijo

Cantidad de Costo unitario + Cantidad Costo unitario

relleno del relleno de masa de la masa

Pasteles demandados * Costo unitario de procesamiento de pasteles

Ganancias =

Ingresos =

Costo total =

Costo de los ingredientes =

Costo de procesamiento =

Ingresos – Costo Total

Precio del pastel * Pasteles demandados

Costo de procesamiento + Costo de los ingredientes + Costo fijo

Cantidad de Costo unitario + Cantidad Costo unitario

relleno del relleno de masa de la masa

Pasteles demandados * Costo unitario de procesamiento de pasteles

Cantidad de pastelesdemandados

= 48 – 4 * Precio del PastelCantidad de pastelesdemandados

= 48 – 4 * Precio del Pastel


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Para iniciar con el cálculo suponemos un precio de un pastel, en este caso 8$/u, que sirve como valor inicialen el proceso de evaluación del modelo

La información que se dispone de la empresa es la siguiente:

Los resultados:

-

Cantidad de Pasteles demandados y vendidos = 48 − 4 ∗ 8 = 16 en miles

-

Ingresos = = ∗ = 16 ∗ 8 = 128

-

Costo de procesamiento = ∗ = 2,05∗16 = 32,8-

Costo de los ingredientes = ( ) ∗ = (3,480,30) ∗ 16 = 60,48 -

Costos generales = ( ) = 12 - Costo total = = 32,8 60,48 12 = 105,28

-

Ganancias = − = 128 − 105,28 = 22,72 La ganancia de $22,72 para una cantidad de pasteles vendidos de 16 considerando un precio inicial de

8$/u

La Mana. Modelo d e ganancias semanales

Variable de decision Precio del pastel 8

Parametros Costo unitario de procesamiento del pastel $/u 2,05 Costo unitario del relleno de fruta $/u 3,48 Costo unitario de la masa $/u 0,30 Costo fijo (miles $) 12 Ecuacion de la demanda de pasteles Interseccion 48 Pendiente -4

Resultados fisicos (miles)Pasteles demandados y vendidos 16Resultados financieros (miles $)Ingresos $ 128Costo de procesamiento $ 32,8Costo de los ingredientes $ 60,48Costos generales $ 12Costo total $ 105,28Ganancias (antes de impuestos) $ 22,72


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13

El Gerente de la empresa de pasteles “La Mana”, estableció en forma real, de acuerdo a valores históricosel costo de procesamiento unitario, observar en la siguiente tabla:

Considerando el costo unitario de procesamiento del pastel de 2,05 $/u que el gerente lo estableció

aproximadamente por su experiencia para evaluar el modelo original

= ∗ = 2,05 $/ ∗

Número de

pasteles

Costo de

procesamiento

(miles) Real

8 12,80

10 17,50

12 21,60

14 25,90

16 32,80

18 39,60

20 46,00

22 56,10

24 63,60

Número de

pasteles

Costo de

procesamiento

(miles) Modelo

8 16,40

10 20,50

12 24,6014 28,70

16 32,80

18 36,90

20 41,00

22 45,10

24 49,20

Costo de proces amiento vs. Cantidad de pasteles

y = 2,05x

0,00

25,00

50,00

75,00

5 10 15 20 25

Número de pasteles (miles)

Costodeprocesamiento(miles

$)

Costo de

pro cesamientoReal

Costo de

pro cesamientoMod elo


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Al efectuar el ajuste con línea de tendencia considerando los datos reales, mediante la hoja de cálculoExcel, se establece la línea recta y el coeficiente de correlación

Con los datos reales del costo de procesamiento, se observa que el gráfico tiene una tendencia lineal comoel costo de procesamiento del modelo establecido inicialmente, pero se puede mejorar al ajustar a unacurva polinomial cuadrática, para lo cual utilizamos la hoja de cálculo y se obtiene la ecuación que permiteel ajuste correspondiente para realizar los nuevos cálculos, y gráficamente observamos que la ecuacióncuadrática tiende a pasar por todos los puntos y el valor de correlación es mayor.

Variables:

= ú =

Modelo por experiencia = 2,05 ∗

y = 3,1792x - 15,7667

R² = 0,9815

0

10

20

30

40

50

60

70

0 5 10 15 20 25 30

C o s t o d e p r o c e s a m i e n t o

m o d e l o c o n a j u s t e l i n e a l


y = 0,0931x2 + 0,1999x + 5,5844

R² = 0,9987

0

10

20

30

40

50

60

70

0 5 10 15 20 25 30

C

o s t o d e p r o c e s a m i e n t o

M o d e l o c u a d r á t i c o



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15

Modelo con ajuste lineal

= 3,1792 − 15,7667 Modelo con ajuste polinomial cuadrático

= 0,0931 0,2 5,5844 La Mana, utilizando el modelo con ajuste polinomial cuadráticoModelo de ganancias semanalesCurva polinomial cuadrática

Variable de decisiónPrecio del Pastel 8 $/u

ParámetrosCosto unitario de relleno de fruta 3,48 $/uCosto unitario de la masa 0,30 $/u

Costo fijo (miles $) 12

Coeficientes de la ecuación

Ecuación de la demanda de pasteles = 48 − 4 ∗ Intersección 48Pendiente -4

Ecuación de procesamiento de costos = 0,0931 0,2 5,5844 Intersección 5,5844

Coeficiente lineal 0,2Coeficiente cuadrático 0,0931

Resultados físicosPasteles demandados y vendidos 16

Resultados financierosIngresos = = ∗ = 16 ∗ 8 = 128 Costo de procesamiento = 0,0931 ∗16 0,2 ∗ 16 5,5844 = 32,6180 Costo de los ingredientes = (3,48 0,30) ∗ 16 = 60,48 Costos generales (fijos) = ( ) = 12 Costo total = = 32,618 60,4812 =105,098 Ganancias antes de impuestos = Ingresos - Costo total

= − = 128−105,098 = 22,9020


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Para el análisis calcular el valor óptimo del precio de los pasteles de tal manera de obtener la máximaganancia, se realizan varias alternativas en cuanto al cálculo, dando valores desde $6 hasta $11,obteniendo un comportamiento aproximadamente de una función cuadrática como se observara en el

siguiente gráfico, para varios precios; es notorio que el valor máximo de las ganancias está entre $9 y $9.50para el precio de los pasteles.

El valor máximo está comprendido entre 8,5 y 9,5 para el precio de los pasteles de acuerdo al gráficoanterior

La Mana

Modelo de ganancias semanales

Curva cuadratica

Variable de decisión

Precio del Pastel 6 6,5 7 7,5 8 8,5 9 9,5 10 10,5

Parámetros

Costo unitario de relleno de fruta 3,48

Costo unitario de la masa 0,3

Costo fijo (miles $) 12

Coeficientes de la ecuación

Ecuacion de la demanda de pasteles

Interseccion 48

Pendiente -4Ecuacion de procesamiento de costos

Intersección 5,5844

C>oeficiente lineal 0,2

Coeficiente cuadratico 0,0931

Resultados fisicos

Pasteles demandados y vendidos 24 22 20 18 16 14 12 10 8 6

Resultados financieros

Ingresos 144 143 140 135 128 119 108 95 80 63

Costo de procesamiento 64,01 55,04 46,82 39,35 32,62 26,63 21,39 16,89 13,14 10,14

Costo de los ingredientes 90,72 83,16 75,6 68,04 60,48 52,92 45,36 37,8 30,24 22,68

Costos generales fijos 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12

Costo total 166,73 150,20 134,42 119,39 105,10 91,55 78,75 66,69 55,38 44,82

Ganancias (antes de impuestos) -22,73 -7,20 5,58 15,61 22,90 27,45 29,25 28,31 24,62 18,18

y = -5,4896x2 + 99,67x - 423,13

R² = 1

-30,00

-20,00

-10,00

0,00

10,00

20,00

30,00

40,00

6 6,5 7 7,5 8 8,5 9 9,5 10 10,5 11

G A

N A N C I A

PRECIO DE LOS PASTELES


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17

Realizando el cálculo para dicho intervalo se obtiene la siguiente tabla:

= −5,4896 99,67 − 423,13

= −10,9792 97,67 = 0

= 9,0781 Precio del pastel para el valor máximo de las ganancias

Resultado aproximado a valores enteros

La decisión sería: Precio del pastel = 9 $/u

Pasteles demandados = 12 en miles

Ganancias esperadas = 29,25 $ en miles

Precio del Pastel 8,5 8,6 8,7 8,8 8,9 9 9,1 9,2 9,3 9,4 9,5

Ingresos 119,00 116,96 114,84 112,64 110,36 108,00 105,56 103,04 100,44 97,76 95,00

Costo total 91,55 88,93 86,34 83,78 81,25 78,75 76,28 73,84 71,43 69,05 66,69

Ganancias (antes de impuestos) 27,45 28,03 28,50 28,86 29,11 29,25 29,28 29,20 29,01 28,71 28,31

y = -5,4896x2 + 99,67x - 423,13

R² = 1

27,00

27,50

28,00

28,50

29,00

29,50

8,4 8,6 8,8 9 9,2 9,4 9,6

G A N A N C I A

( e n m i l e s $ )



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18

Graficando las curvas de ingreso, costos totales y ganancias en función del precio de los pasteles.

Evaluación analítica del caso de estudio

Datos:

= , = , = , = , = , =

DesarrolloDemanda:

= − ∗ Ingreso: = ∗ = ∗ (48−4) = −

= − Costos: = = Costo general

= 12 Costo ingredientes

= ( ) ∗ = (3,48 0,3) ∗(48−4)

= 3,78(48 − 4)

= , − ,

-50

0

50

100

150

200

6 7 8 9 10 11 12 13

G A N A N C I A S , I N G R E S S O , C O S T O S


COSTO

INGRESO

UTILIDAD


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19

Costo procesamiento

= = 0,0931 0,2 5,5844

= 0,0931(48−4) 0,2(48−4) 5,5844 = 0,0931(2304 −384 16) 0,2(48 − 4) 5,5844 = , − , ,

Costo Total

= 12 181,44 − 15,12 1,4896 −36,5504 229,6868 = , − , ,

Utilidad

= − = −4 48 − (1,4896 −51,6704 423,1268) La ecuación de la utilidad en función del precio de los pasteles = ()

= −, , − , Para encontrar el valor máximo, derivar e igualar a cero

= −10,9792 99,6704 = 0 Entonces, = , , el precio del pastel en el valor máximo de la utilidadLa utilidad máxima es: = −5,4896(9,0781) 99,6704(9,0781) −423,1268

= 29,2816 $ ( )

En resumen:

á: = 9,0781 $ : = 11,6876

: = 106,1012 $ = 76,8266 $

= 29,2816 $ ( )


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Resolución analítica:

Cantidad: = 48 − 4 Ingreso: = = (48 − 4) = 48 − 4 Costo general: = 12 Costo de ingredientes: = ( ) = ( )(48−4)

= −4( ) 48( ) Costo de procesamiento: = = (48−4) (48 − 4)

= − () Costo Total: = = 12 − 4( ) 48( )16 − (384 4) 48 2304 = 16 − [4( ) 384 4] 48( ) 2304 48 Utilidad: = − = 48− 4 − {16 − [4( ) 384 4] 48( ) 230448 } = −4(1 4) 4[12 ( ) 96 ] − − 48( ) −2304 48 = −8(1 4 ) 4[12 ( ) 96 ] = 0 Precio en el punto óptimo (máxima utilidad): = [+(+)++](+) Con el valor del precio evaluar la utilidad máxima, el ingreso, y el costo total


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Caso práctico para su resolución

La empresa Equipos Industriales Ecuatorianos con domicilio en la región norte de Guayaquil, ubicaciónque la considera de enorme potencial para sus productos nacionales que también los importa, estácontemplando la producción de un nuevo tipo de aspiradora para mantenimiento de la industria, la mismaque se puede vender a un precio variable a determinarse de acuerdo a la política de la empresa y el estudio

de los niveles de producción, costos y beneficios. La Gerencia de la compañía desea conocer un sistemaque permita planear en forma óptima la política de precios y los niveles de producción de este articulo paralo cual han realizado estudios que se presentan a continuación:I.- Para la demanda del artículo involucra un estudio de mercado, para los datos se consideró que no serealizaría ninguna acción de mercadeo

II.- Si la empresa realiza un gasto en publicidad de $40000,00 de forma de incrementar la demanda,gerencia dispone de la siguiente información

III.- Si los gastos de promoción y publicidad se incrementan a $90000,00 para aumentar la demanda del

artículo, la información sería la siguiente

Para cada caso, costo variable de cada artículo $1500,00; Costo fijo por periodo $750000,00

Planteara.- Un sistema gráfico que indique las relaciones e interrelaciones de los componentes del sistemab.- Desarrollar un modelo matemático que permita optimizar los diferentes parámetros para maximizar lasutilidadesc.- Resolver el modelo de forma de optimizar su resultado, para un enfoque globald.- Cual sería su decisión si tendrá que ser el asesor de la gerencia de la empresa.

Precio de venta $ /

unidad

Demanda en

unidades

3000 505

4000 443

5000 296

6000 148

7000 103

Precio de venta $ /

unidad

Demanda en

unidades

3000 539

4000 429

5000 319

6000 209

7000 99

Precio de venta $ /

unidad

Demanda en

unidades

3000 549

4000 439

5000 329

6000 219

7000 109


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24


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Resolución considerando cada uno de los niveles de propaganda

Si GP=0Precio de venta

$ / unidad

Demanda en

unidades

3000 505

4000 443

5000 296

6000 148

7000 103DEMANDA VS. PRECIO (GP=0)

y = -0,109900x + 848,500000

R2 = 0,970917

0

100

200

300

400

500

600

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000

Precio

D e m a n d a

a -0,1099 Po 4610,328b 848,5 Uo 313187,7

Cv 1500 No 341,825Cf 750000


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Si GP=40000

Si GP=90000

Precio de venta

$ / unidad

Demanda en

unidades

3000 539

4000 429

5000 319

6000 209

7000 99

DEMANDA VS. PRECIO (GP=40000)

y = -0,1100x + 869,0000

R2 = 1,0000

0

100

200

300

400

500

600

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000

PRECIO

DEMANDA

a -0,11 Po 4700b 869 Uo 336400

Cv 1500 No 352Cf 790000

Precio de venta

$ / unidad

Demanda en

unidades

3000 549

4000 439

5000 329

6000 219

7000 109


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Resumiendo los valores obtenidos

Para encontrar los valores óptimos, evaluaremos cada variable con respecto a la máxima utilidad, ademássupondremos un comportamiento polinómico de segundo orden de la forma:

Y= AX2 + BX + C

Utilidad vs. Gasto de propaganda

DEMANDA VS. PRECIO (GP=90000)

y = -0,1100x + 879,0000

R2 = 1,0000

0

100

200

300

400

500

600

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000

PRECIO

DEMANDA

a -0,11 Po 4745,455b 879 Uo 318627,3

Cv 1500 No 357

Cf 840000

Gasto Nivel Utilidad

Propaganda Precio Producción Máxima

GP P N Umax0 4610 342 313187,72

40000 4700 352 336400,00

90000 4745 357 318627,27

Gasto Utilidad

Propaganda Máxima

GP Umax0 313187,72

40000 336400,0090000 318627,273


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La utilidad óptima sería de $337044 si solamente consideramos los gastos de propaganda que el valoróptimo es de $47894

Utilidad vs. Precio

Utilidad max. vs. GP

y = -0,00001040x2 + 0,99620096x + 313187,72179254310000,00

315000,00

320000,00

325000,00

330000,00

335000,00

340000,00

0 20000 40000 60000 80000 100000

Gasto de propaganda

Utilidad

ÓptimoUop

GPop

A -0,0000104 Uop 337044B 0,99620096 GPop 47894C 313187,722

Utilidad

Precio Máxima

P Umax4610 313187,72

4700 336400,00

4745 318627,273

Utilidad max. vs. Precio

y = -4,80922743x2 + 45034,33910614x - 105089159,82963700

310000,00

315000,00

320000,00

325000,00

330000,00

335000,00

340000,00

4600 4620 4640 4660 4680 4700 4720 4740 4760

Precio

Utilidadmax.

Uop

Pop

Óptimo

A -4,80922743 Uop 337945B 45034,3391 Pop 4682C -105089160


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La utilidad óptima sería de $337945 si solamente consideramos los precios que el valor óptimo es de $4682

Utilidad vs. Nivel de producción

La utilidad óptima sería de $337945 si solamente consideramos los niveles de producción que el valor

óptimo es de 350 unidades

La propuesta final que se obtiene del modelo matemático presentado para este caso, es de valoresaproximados que en la realidad pueden ser redondeados para una aplicación práctica, considerar que losmodelos nos informan soluciones que serán siempre referenciales pero la decisión final será de los gerenteso responsables de la implementación.

Es así como,

La demanda o nivel de producción al saber que la suposición de no mantener inventario sería de 350unidades para alcanzar el punto óptimo

El precio para cada unidad podría ser de $4700, que es un valor cercano al óptimo

En cuanto al gasto de propaganda, sería conveniente tener un gasto aproximado de $48000 para obtener

el máximo

Las utilidades que se espera alcanzar estarían en $338000.

Nivel Utilidad

Producción MáximaN Umax

342 313187,72352 336400,00357 318627,273

Utilidad max. vs. Nivel de producción

y = -384,57004534x2 + 269105,61669363x - 46739010,17798050

310000,00

315000,00

320000,00

325000,00

330000,00

335000,00

340000,00

340 342 344 346 348 350 352 354 356 358

Nivel de producción

utilidadmax.

Uop

Nop

Óptimo

A -384,570045 Uop 338131B 269105,617 Nop 350C -46739010,2


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Cuestionario:

VERDADERO – FALSO

1.- Generalmente, cuanto más complicado es el modelo, tanto más útil puede ser.2.- Los modelos suelen pasar por alto gran parte de la realidad del mundo

3.- los modelos de decisión requieren valores numéricos para las variables de decisión4.- Un modelo de decisión capta a menudo las interacciones y el intercambio de ventajas y desventajasentre ciertas variables o cantidades de interés.5.- Generalmente no hay una sola forma correcta de construir el modelo de una situación administrativa.6.- Por definición, los modelos de optimización siempre ofrecen la mejor decisión para la situación del mundo real 7.- Un modelo sustituye satisfactoriamente el juicio y la experiencia de un ejecutivo.8.- una de las funciones importantes de los gerentes puede consistir en la evaluación de los modelos (paradeterminar si dichos modelos deben usarse y si los resultados son convenientes ser implementados)9.- Aunque las hojas de cálculo electrónicas facilitan el cómputo, no producen un verdadero impacto sobrela toma de decisiones.10.- Los datos solo son necesarios cuando la construcción del modelo ha finalizado.

OPCIÖN MÜLTIPLE

1.- Un modelo es:a. una representación selectiva de la realidadb. una abstracciónc. una aproximaciónd. una idealizacióne. todo lo anteriorf. ninguna de las anteriores

2.- Con frecuencia, las decisiones están basadas ena. una evaluación de datos numéricosb. números producidos por modelosc el uso de modelos intuitivos que nunca son escritosd. todo lo anteriore. ninguna de las respuestas anteriores

3.- Un modeloa. no puede ser útil a menos que refleje con mucho detalle una situación realb. es un instrumento para quien está a cargo de tomar decisionesc. rara vez se somete a revisión después de haber sido construidod. todo lo anterior

4.- Un modeloa. obliga al gerente a ser explícito en cuanto a sus objetivos

b. obliga al gerente a identificar explícitamente los tipos de decisiones que influyen en los objetivosc. obligan al gerente a reconocer en forma explícita las restricciones impuestas a los valores que lasvariables pueden asumir.d. todo lo anterior

5.- Los modelosa. desempeñan distintos papeles en los diferentes niveles de la empresab. rara vez se utilizan en el proceso de planeación estratégicac. son una forma costosa de tomar decisiones de rutina diariasd.- solo permiten tomar decisiones teóricas que no son aplicables en la realidad


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Caso práctico de estudio TECNO COPIASPedro y Jorge Páez han decidido fundar una compañía, TECNOCOP, que instalará máquinas deautocopiado en los locales de los clientes: bibliotecas, universidades, colegios, centros comerciales, etc.Ellos han planeado mantener sus costos de capital en un nivel mínimo, alquilando copiadoras para uso detrabajo pesado, provistas de un dispositivo adjunto de autoservicio que funciona con monedas. Ademásdel costo de alquiler y otros gastos de la copiadora, TECNOCOP pagaría una cuota a la organizacióncliente que le proporcionara espacio para instalarla. La cuota consistiría en un pago mensual fijo por elalquiler del espacio. Como parte de su plan de negocios, Pedro y Jorge hicieron las siguientessuposiciones:

Número de copiadoras alquiladas 40Precio cobrado por copia $0,05Costo Variable por copia (materiales, reparación, etc) $0,03Tarifa de alquiler mensual de espacio para copiadora $150Otros gastos mensualesCosto de alquiler por copiadora $250Trabajo de recolección de moneda por copiadora $35

Costos fijos diversos por copiadora $50

a.- Desarrollar un modelo que represente estos datosb.- Los Pérez consideran varios convenios alternativos sobre los pagos de alquiler de espacio para lascopiadoras. Además de proponer la cuota fija de alquiler mensual de $150 por copiadora, podrían preferirque se le pagaran solamente $50 al mes por el alquiler del espacio para copiadora, pero recibiendo el pagode una comisión de medio centavo por cada copia producida. En una tercera opción que ahora está bajoestudio se propondría un alquiler fijo de $75, más el pago de un centavo de comisión por copia, que solopagaría por la parte del volumen mensual que rebasara un cifra limite determinada, por ejemplo 20000copias al mes.Se necesita se elabore un modelo con estas nuevas alternativas y se analice cuál sería el punto de equilibriopara cada opción, para valores óptimos.

PROBLEMAS PROPUESTOS

1.- Ronaldo vende decoraciones artesanales para jardín en ferias de la ciudad. El costo variablepara realizarlas es $20 por cada una y las vende a $50. El costo de renta del kiosco en las feriases de $150.¿Cuántas decoraciones debe vender Ronaldo para quedar en el punto de equilibrio?Realizar el grafico que indique el punto de equilibrio y las zonas de pérdida y gananciaSi los ingresos son de 2250$, ¿Cuál será la utilidad esperada?Si el precio de una decoración cambia a 40$, ¿Cuántos productos deberá vender para alcanzar el

punto de equilibrio

2.- Una cadena de restaurantes está estudiando la posibilidad de añadir trucha fresca de rio en sumenú. Los clientes podrían elegir entre pescar su propia trucha en un arroyo de montaña simulado,o simplemente pedir que el camarero saque la trucha con una red. Para operar el arroyo senecesitan $10600 por concepto de costos fijos anuales. Los costos variables se estiman en $6,70por trucha. La empresa desea alcanzar el punto de equilibrio con la venta de 800 comidas detrucha al año. ¿Cuál deberá ser el precio del nuevo plato?

3.- Diana planea financiar su educación universitaria vendiendo programas informáticos para la

carrera de la universidad. Existe un costo fijo de $400 por imprimir los programas y el costo variable


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es de $3. También hay una cuota de $1000 que se paga a la universidad por el derecho a venderestos programas.Si Diana logra vender los programas a $5 cada uno, ¿Cuántos programas tendría que vender paraalcanzar el punto de equilibrio? ¿Cuál sería su ingreso en esta situación?Diana está preocupada de que las ventas se caigan porque no compren sus programas debido a

que existen pocos estudiantes en la materia de uso. De hecho, piensa que venderá tan solo 500programas el siguiente semestre. Si fuera posible elevar el precio de venta del programa y detodas formas vender 500 ¿Cuál deberá ser el precio para que Diana alcance el punto de equilibriocon la venta de 500 programas?Para cada caso anterior realizar el grafico que corresponda y explique su respuesta.

4.- Ana es una especialista en el área financiera y brinda asesoría para una jubilación satisfactoria.La empresa ofrece seminarios sobre el importante tema de la planeación del retiro. Por unseminario típico, la renta del espacio en un hotel es de $1000 y el costo de publicidad e imprevistoses cerca de $10000 por seminario. El costo de materiales y regalos especiales por cada asistentees $60 por cada persona que asiste. La empresa cobra $250 por persona para asistir al seminario,

ya que así parecería competitiva frente a otras empresas del mismo ramo.¿Cuántas personas deben asistir a cada seminario para que ANA alcance el punto de equilibrio?¿Cuál sería su ingreso en esta situación?Si por una buena negociación en los materiales y regalos el costo cambia a $50 por persona,¿Cuántas personas deben asistir a cada seminario para que ANA alcance el punto de equilibrio?¿Cuál sería su ingreso en esta situación?Para cada caso anterior realizar el gráfico que corresponda y explique su respuesta.

5.- Determinar la cantidad de equilibrio de Fabricaciones Industriales dada la informaciónsiguiente: costo fijo total, $1200; costo variable por unidad, $2; ingreso total por la venta de X

unidades es

I = 100√ X; ¿establecer el modelo matemático para las utilidades, costos e

ingresos?, graficar las funciones e indicar las zonas de perdida y ganancia de las utilidades,interprete y comente los resultados

6.- Gina ha iniciado su propia compañía ABC que fabrica camisetas impresas para ocasionesespeciales. Como está comenzando a operar, renta el equipo a un taller de impresiones localcuando es necesario. El costo de usar el equipo es de $300. Los materiales utilizados en unacamiseta cuestan $9 y Gina puede venderlas en $14 cada una.Si Gina vende 18 camisetas, ¿Cuál será su ingreso total? ¿Cuál será su costo variable total?¿Cuántas camisetas debe vender Gina para alcanzar el punto de equilibrio? ¿Cuál es el ingresototal en este caso?

Si la utilidad esperada y proyectada para cumplir con el plan estratégico deberá ser de 1750,¿Cuántas camisetas debe vender?Si los ingresos son de 2250$, ¿Cuál será la utilidad esperada?Si el precio de una camiseta cambia a 12$, ¿Cuántas camisetas deberá vender para alcanzar elpunto de equilibrioPara cada caso anterior realizar el grafico que corresponda y explique su respuesta

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