GRAFOS

Motivação

• Muitas aplicações em computação necessitam considerar conjunto de conexões entre pares de objetos:– Existe um caminho para ir de um objeto a outro seguindo

as conexões?– Qual é a menor distância entre um objeto e outro?– Quantos outros objetos podem ser alcançados a partir de

um determinado objeto?• Grafos são utilizados para modelar tais problemas• São possivelmente as estruturas matemáticas mais

utilizadas na ciência

Algumas Aplicações

• Alguns exemplos de problemas práticos que podem ser resolvidos através de uma modelagem em grafos:– Ajudar máquinas de busca a localizar informação

relevante na Web.– Descobrir qual é o roteiro mais curto para visitar as

principais cidades de uma região turística.– Dentre diversas outras

Conceito Básicos – Definição

• Grafos consistem de dois conjuntos V e E e uma função G, tal que– V(G) é um conjunto finito e não vazio de vértices. Os

vértices são objetos simples que podem ter uma chave e outros atributos;

– A(G) é um conjunto disjunto de arcos ou arestas G é um conjunto de funções que associam pares de

vértices de V(G) – Definição Matemática: G = (V(G), E(G), G)

Exemplo:

• G=(V(G), E(G), G), onde– V(G) ={1, 2, 3, 4, 5}– E(G)={e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7 , e8} G :

G(e1)= (1, 2), G(e2)= (1, 4), G(e3)= (2, 3), G(e4)= (2, 5), G(e5)= (3, 4), G(e6)= (1, 1),

5

1

2

3

4

EXEMPLOS DE GRAFOS

A

CB

1:

A2:

CB

A3:

A

B

4:

A5:

CB

A6:

C

B

Conceitos Básicos

• Quantos arcos teria um grafo com N vértices?• Ex.:

CB

A D

B

A

B

A C1: 2: 3:

R.: 1 arco R.: 3 arcos R.: 6 arcos

O número de arcos é dado pela fórmula

N-1 : Todos os vértices, excluindo ele mesmo/2 : Duas arestas iguais, de ida e volta

N (N-1)2

Conceitos Básicos – Tipos de Grafos• Grafo Não Direcional:

– São grafos onde as arestas E(G) não são ordenadas (direcionadas), ou seja, a ARESTA (V1, V2) é a mesma ARESTA (V2, V1)

• Grafo Direcional (Dígrafo):– São grafos onde as arestas E(G) são ordenadas

(direcionadas), ou seja, a ARESTA (V1, V2) é diferente da ARESTA (V2, V1)

• Exs.:

CB

A1:

CBA2:

D E 2

13:

3

Conceitos Básicos – Grau de um Vértice• Grau de um Vértice

– Número de arcos que incidem sobre um vértice• Em grafos não direcionados, é o número de

arcos que incidem sobre o vértice• Em grafos direcionados, é o número de arestas

que saem dele mais o número de arestas que incidem nele

• Um vértice é dito isolado quando seu grau é zero.• Ex.:

Grau(A) = 0 Grau(C) = 1Grau(B) = 2 Grau(D) = 1

CB

A D

CB

A D

F

E

Grau(A) = 3 Grau(D) = 3Grau(B) = 4 Grau(E) = 1Grau(C) = 4 Grau(F) = 1

Conceitos Básicos – Caminho e Comprimento

• Um caminho de um vértice x a um vértice y em um grafo G = (V;E) é uma seqüência de vértices (v0, v1, v2, ..., vn) tal que x = v0 e y = vn, e (vi-1; vi) ( E, para i = 1, 2, ..., n.

• O comprimento de um caminho é o número de arestas percorridos no caminho.

• Se existir um caminho c de x a y então y é alcançável a partir de x via c.

• Um caminho é simples se todos os vértices do caminho são distintos.

Conceitos Básicos – Caminho e Comprimento

CB

A D

1. Caminho: (C B D)2. Comprimento: 23. D é alcançável a partir de C4. A não é alcançável a partir

de nenhum vértice5. O caminho mostrado é simples

CB

A D

F

E

1. Caminho: (A D C B)2. Comprimento: 33. B é alcançável a partir de A,

mas E não.5. O caminho mostrado é simples6. Já o caminho (A B A B) não é

Conceitos Básicos – Ciclos

• Em um grafo não direcionado:– Um caminho (v0, v1, ..., vn) forma um ciclo se v0 = vn e o

caminho contém pelo menos três arestas.• Em um grafo direcionado:

– Um caminho (v0, v1, ..., vn) forma um ciclo se v0 = vn e o caminho contém pelo menos uma aresta.

• O ciclo é simples também se os vértices v1, v2, ..., vn são distintos.

• Grafos sem ciclos são chamados acíclicos, e cíclicos, caso contrário

• O self-loop é um ciclo de tamanho 1.• Dois caminhos (v0, v1, ..., vn) e (v0’, v1’, ..., vn’) formam

o mesmo ciclo se existir um inteiro j tal que vi’= v(i+j) mod n para i = 0, 1, ..., n - 1

Conceitos Básicos – Ciclos

1. Ciclo: (B C D)2. Os caminhos (B C D),(C D B) e (D B C) formam o mesmo ciclo

CB

A D

F

E

1. Ciclo: (A D C B A)2. Self-loop: (C C)3. Os caminhos (A D B A), (D B A D) e (B A D B) formam o mesmo ciclo

CB

A D

Conceitos Básicos - Árvores

• Um grafo acíclico conectado uma árvore pode se tornar uma árvore genérica

73

6 1 5

2

84 973

6

1

5

2 8

4

9

1010

Conceitos Básicos – Grafos Planares

• São grafos em que as arestas não se interceptam entre si, ou seja, as arestas interceptam apenas os seus vértices

73

6

1

5

2 8

4

9

73

6 1 5

2

84 9

Grafo Não Planar: Representação Planar do Grafo:

Conceitos Básicos – Componentes Conectados

• Um grafo não direcionado é conectado se cada par de vértices está conectado por um caminho.

• Os componentes conectados são as porções conectadas de um grafo.

• Um grafo não direcionado é conectado se ele tem exatamente um componente conectado.

CB

A D 1. O grafo não é conectado, pois não é possível alcançar A a partir dos vértices B, C ou D2. O grafo {C D B} é umcomponente conectado do grafo• Inserindo-se o arco (A B), oGrafo passa a ser conectado

Conceitos Básicos – Componentes Fortemente Conectados• Um grafo direcionado é dito fortemente conectado

se cada dois vértices quaisquer são alcançáveis a partir de um outro.

• Os componentes fortemente conectados de um grafo direcionado são conjuntos de vértices sob a relação “são mutuamente alcançáveis”.

• Um grafo direcionado fortemente conectado tem exatamente um componente fortemente conectado.

1. {A B C D são os componentes fortemente conectados

2. {E F}não são, pois F não é alcançável a partir de ECB

A D

F

E

O que fazer para deixar o grafo fortemente conectado?

Conceitos Básicos – SubGrafos

• Um grafo G’ = (V’;A’) é um subgrafo de G = (V;A) se V’ V e A’ A

• Dado um conjunto V’ V , o subgrafo induzido por V’ é o grafo G’ = (V’;A’), onde A’ = {(u; v) A | u; v V’}

CB

A D

F

E

B

A

F

E

C

D

B

A D1: 2: 3: 4:

Conceitos Básicos – Grafos Isomorfos

• G = (V;A) e G’ = (V’;A’) são isomorfos se:– V(G)=V(G’);– E(G)=E(G’); G = G’

• Ex.:

76

4 5

2

1

3

0

76

4 5

2

1

3

0

Conceitos Básicos – Pontos de Articulação

• São vértices que, se forem removidos do grafo, produzem pelo menos dois componentes conectados. Ex.:

1

2 4

3 5

6

7

8

9

1

2 4

3

6

7

8

9

5

Conceitos Básicos – Grafos Bi-Conectados

• São grafos que não possuem nenhum ponto de articulação. Exs.:

1

2 4

31

2

4

36

Conceitos Básicos – Grafos Ponderados

• Grafo Ponderado: grafos com pesos associados a seus arcos

• Ex.:

C

B

A

D

E

2

3

4

2

3

5

1

Outras Definições

• Grafos Finitos: um grafo é finito se V(G) e E(G) são finitos

• Grafos com apenas um vértice são ditos triviais.

• Um grafo é simples se não possuir loops e arestas múltiplas.

• Um grafo é completo se todos os vértices são adjacentes entre si.

Grafos - Representações

• Existem muitas formas de se representar grafos, porém vamos ver 3 tipos:– Matriz de Adjacências– Lista de Adjacências

Matriz de Adjacências

• Seja G = (V, A) um grafo com N vértices, a matriz de adjacência “A” de “G” é um arranjo bidimensional NXN, com as seguintes propriedades:1. A[i, j] = 1, se existe um arco do vértice i ao vértice j (ou

incide em j, no caso de grafos direcionados)2. A[, j] = 0, caso contrário3. Em casos de grafos ponderados (com pesos associados

às arestas), o valor a ser inserido refere-se ao peso da aresta;

Matriz de Adjacências - Exemplo

C

B

A

D

A B C DA 0 1 1 0B 1 0 1 0C 1 1 0 1D 0 0 1 0

C

B

A

D

A B C DA 0 0 1 0B 1 0 0 0C 0 1 0 1D 0 0 0 0

Matriz de Adjacências - ExemploA B C D

A 0 2 4 0B 2 0 3 0C 4 3 0 5D 0 0 5 0

A B C DA 0 0 4 0B 2 0 0 0C 0 3 0 5D 0 0 0 0

C

B

A

D

2

3

4

5

C

B

A

D

2

3

4

5

Matriz de Adjacências – Características

1. Vantagens:• Fácil visualização para vértices adjacentes

– Muito útil para algoritmos em que necessitamos saber com rapidez se existe uma aresta ligando dois vértices

• Fácil cálculo do grau do nó. – A soma dos números de uma linha retorna o grau do vértice,

em grafos não direcionados– Em grafos direcionados

• A soma dos números de uma linha retorna o grau de saída• A soma dos números de uma coluna retorna o grau de

entrada2. Desvantagens:• Requer muito espaço de armazenamento

– Deve ser mais utilizada para grafos densos

Lista de Adjacências

• Na Lista de Adjacências, as linhas da matriz são representadas por listas ligadas – Cada vértice corresponde a uma linha– Vértices que contém ligações diretas têm um nó

associado na linha

• Um vetor Vi é usado como cabeçalho para estas listas, onde i é um determinado vértice

Lista de Adjacências - Exemplo

C

B

A

D

C

B

A

D

A

B

C

D

B C

A C

A B

C

D

A

B

C

D

C

A

B D

Listas de Adjacências - Características

• Mais utilizada para grafos esparsos, pois também exige muito espaço para armazenamento

• Verificação de grau:– Não Direcionais: quantidade de nós em uma linha– Direcionais:

• A quantidade de nós de uma linha representa o grau de saída.

• Como saber o grau de entrada de cada nó?Deve-se pesquisar em todos os vértices do grafo, excluindo ele, se existe alguma referência para o nó em questão!!!

Implementações

Operações Básicas

• Iniciar_Grafo (Var G: Grafo): Inicializa um novo grafo• GrafoVazio (G: Grafo): Verifica se o grafo está vazio• InserirVertice (Var G: Grafo; x:TipoItem, Var flag:

boolean): insere o novo vértice (ou nó) x dentro do grafo G

• Inserir_Aresta (G: Grafo; x_orig, x_dest: TipoItem; Var flag: boolean): insere uma aresta (ou arco) que sai do nó x_orig ao nó x_dest

• Dentre outros, por exemplo, a busca, que será vista na próxima aula.

Matriz de Adjacência

CONST max=20; {Quantidade de vértices no grafo}TYPE TipoItem = Record

Chave: long; {Mais Outras Declarações Desejadas}END;TYPE TipoVertice = RECORD

Item: TipoItem; {Dado associado ao vértice}Visitado: Boolean; {Indica se o vértice já foi visitado}

END;TYPE Grafo = RECORD

Vertice: ARRAY[1..max] OF TipoVertice;Arestas: ARRAY[1..max, 1..max] OF

Boolean;VAR

G: Grafo;

Matriz de Adjacência – Iniciar Grafo

Procedure Iniciar_Grafo (Var G: Grafo)Var i, j: integer;Begin

For i :=1 to max doBegin {Denominar os vértices do grafo}

G.Vertice[i].Item := “”;G.Vertice[i].Visitado := false;

End;For i :=1 to max do {Arestas para cada vértice do grafo}

For i :=1 to max doG.Mat[i, j] := false

End;

Matriz de Adjacência – Verificar Grafo Vazio

Function Grafo_Vazio (G: Grafo): Boolean;Var i: integer;Begin

Grafo_Vazio := true;i := 1;While i <=max and Grafo_Vazio do

if G.Vertice[i].Item <> “” thenGrafo_Vazio := False;

End;

Matriz de Adjacência – Inserir Vértice

Procedure Inserir_Vertice (Var G: Grafo; x: TipoItem, Var flag: boolean);

Var i: integer;Begin

i := 1;while (i<=max) and G[i].Item <> ‘’ do

i := i+1;if i > n then

flag := falseelse begin

flag := true;G.Vertice[i].item := x;G.Vertice[i].visitado := false;

end;End;

Matriz de Adjacência – Inserir Aresta

Procedure Inserir_Aresta (Var G: Grafo; x_orig, x_dest: TipoItem, var flag: boolean);

Var linha, coluna: integer; paux: ponteiro; achou := false;Begin {Ao entrar nesse algoritmo, deve-se garantir que existe o ponteiro de origem}

linha := 1; achou := false;while (linha<=max and not achou) do {Achar a posição do item de destino}

if G.Vertice[linha].item = x_dest then achou := true;

coluna := 1; achou := false;while (j<=max and not achou) do {Achar a posição do item de origem}

if G.Vertice[coluna].item = x_orig then achou := true;

if linha>max or coluna >max then {Não achou a posição de origem ou destino}

flag := falseelse begin {Inserir a aresta}

flag := true;G.Aresta[linha, coluna] := true;

end;End;

Lista de Adjacência

CONST max=20; {Quantidade de vértices no grafo}TYPE ponteiro=^No;TYPE TipoItem = Record

Chave: long; {Outras Declarações Desejadas}

END;TYPE Vertices = RECORD

Item: TipoItem; {Dado associado ao vértice}Visitado: Boolean; {Indica se o vértice já foi visitado}Prox: Ponteiro; {Aponta para o próximo vértice, caso haja}

END;TYPE Grafo = ARRAY[1..max] OF Vertices;Var

G: Grafo;

Lista de Adjacência – Iniciar Grafo

Procedure Iniciar_Grafo (Var G: Grafo)Var i: integer;Begin

For i :=1 to max doBegin

G[i].Item := “”;G[i].Visitado := false;G[i].Prox := nil;

End;End;

Lista de Adjacência – Verificar Grafo Vazio

Function Grafo_Vazio (G: Grafo): Boolean;Var i: integer;Begin

Grafo_Vazio := true;i := 1;While i <=max and Grafo_Vazio do

if G[i].Item <> “” thenGrafo_Vazio := False;

End;

Lista de Adjacência – Inserir Vértice

Procedure Inserir_Vertice (Var G: Grafo; x: TipoItem, Var flag: boolean);

Var i: integer;Begin

i := 1;while (i<=max) and G[i].Item <> ‘’ do

i := i+1;if i > n then

flag := falseelse begin

flag := true;G[i].item := x;G[i].visitado := false;G[i].prox := nil;

end;End;

Lista de Adjacência – Inserir Aresta

Procedure Inserir_Aresta (Var G: Grafo; x_orig, x_dest: TipoItem, var flag: boolean);

Var i: integer; paux: ponteiro; achou := false;Begin {Ao entrar nesse algoritmo, deve-se garantir que existe o ponteiro de origem}

i := 1; achou := false;while (i<=max and not achou) do {Achar a posição do item de destino}

if G[i].item = xdest then achou := true;

if i>max then {Não achou a posição de destino}flag := false

else begin {Inserir a aresta}flag := true;new (paux);paux^.Item := x_orig;paux^.visitado := G[i].visitado;paux^prox := G[i].prox;G[i].prox := paux;

end;End;

FIM