Geoprocessamento

Caminhos de mínimo custo

Introdução• Os problemas de tomada de

decisão em ciências ambientais freqüentemente estão relacionados com a escolha de alternativas com o menor impacto, dentre as várias possíveis.

Introdução

• Isto ocorre, por exemplo, em problemas relacionados à definição do traçado de rodovias, canais, ferrovias e linhas de transmissão de energia elétrica e dutos em geral.

Caminhos de mínimo custo – least cost paths

• No jargão do geoprocessamento estes problemas são conhecidos como problemas de caminho de mínimo custo, ou “least-cost-path”, em que o custo pode ser a distância, o impacto ambiental, o risco, o tempo de viagem ou mesmo o custo de construção.

• O objetivo da análise pode ser também, a maximização de uma variável, como a beleza cênica em uma rodovia turística, ou o número de clientes que podem ser atendidos. A maximização e a minimização são casos específicos da otimização de variáveis.

Outros problemas

• Outras aplicações potenciais da otimização em geoprocessamento seriam, por exemplo, a definição das rodovias a percorrer por um caminhão que transporta uma carga tóxica entre duas cidades, de modo a minimizar o risco em caso de acidente, ou a definição da viatura policial, entre todas que transitam pela cidade, que deve atender a um chamado de emergência.

Outro problema

• Que trajetória deve seguir o barco Brasil 1 para chegar mais rápido à Inglaterra?

• Num ambiente plano e homogêneo e/ou isotrópico o caminho mais curto entre dois pontos é uma reta.

• Mas se o ambiente for heterogêneo ou anisotrópico, o caminho mais curto pode não ser o mais rápido ou o mais barato.

• A figura 1 apresenta um mapa em que a cor escura representa o banhado e a cor clara o campo seco.

• Dois excursionistas partem do ponto A para o ponto B, sendo que o primeiro excursionista segue em linha reta pelo banhado e o segundo contorna o banhado, caminhando sempre pelo campo seco.

• Embora o caminho que passa pelo banhado seja o mais curto, o avanço é tão lento neste ambiente, que o excursionista que segue um caminho mais longo chega 1 hora antes ao ponto B. O custo, neste caso, é o tempo de caminhada.

BA

8 km2 horas

3 km3 horas

• No exemplo da figura anterior, o problema pode ficar mais difícil de analisar se, além de campo e banhado, existirem áreas de floresta, lagos e outros obstáculos de várias classes de complexa distribuição, ou se as fronteiras entre as classes forem linhas sinuosas. De qualquer forma, os excursionistas tem liberdade para andar por onde desejarem, não há caminhos obrigatórios como estradas ou trilhos. O ambiente raster é especialmente adequado para analisar problemas deste tipo.

• Mas quando o caminho procurado estiver, obrigatoriamente, sobre as ruas e avenidas de uma cidade, ou sobre as rodovias de uma região, o problema é mais facilmente resolvido em um ambiente “vetor”, onde a dificuldade de avanço, ou tempo de deslocamento, são válidos apenas para os trechos de ruas e avenidas que unem dois pontos. Neste contexto, um vetor poderia ser definido como um “arco” orientado, ou seja com um origem e um final, e um determinado custo para percorrê-lo.

Mapa das ruas de uma cidade com tempo de percurso dos trechos

1012

8

98

7

8

9 7 12 109

88119107

128119

98

N

B

O

M

IC

D P

A

G

K

H

J

E L

F

Caminho mais rápido entre A e B

8

7

8 9

8 10

12

9

88119

101279

8

10

11 812

9

7

9

K

J

IM

O

P

B

8

9

L

N

20

16

21

29

27

28

30

37

35

36

45

43

51

H

A

C

D

E

F

G

Não há caminhos pré definidos

BA

8 km2 horas

3 km3 horas

Banhado

Campo

Vetor x raster

• Funções para a estimativa do caminho de mínimo custo têm sido incluídas em programas de geoprocessamento comerciais há um bom tempo. O programa IDRISI, por exemplo, conta com duas funções para estimar caminhos de mínimo custo sobre planos de informação “raster” (Eastman, 1995). Em ambiente “vetor” os problemas de caminhos de mínimo custo, vem sendo estudadas e resolvidos há bastante tempo pela Pesquisa Operacional, que elaborou as técnicas de Programação Dinâmica, Redes de Fluxo, PERT-CPM, etc.

Solução• A abordagem matemática do problema,

a priori, não parece fácil, pois a decisão a ser tomada num ponto intermédio qualquer estará em estreita relação com as decisões seguintes. Aparentemente, o problema se apresenta como indefinido.

• Porém, existem dois pontos onde o problema fica perfeitamente definido: os pontos O e P, onde as únicas decisões possíveis são, em ambos casos, ir para o ponto B, gastando um tempo de 8 e 9 segundos respectivamente.

• Então, estas decisões ótimas serão indicadas no diagrama com setas e os tempos mínimos necessários para ir desde O e P até B serão expostos dentro de círculos na figura abaixo. Estes círculos sintetizam, agora, todo o processo para escolher o caminho ótimo para ir desde O e P até o fim.

1012

8

98

7

8

9 7 12 109

88119107

128119

98

N

B

O

M

IC

D P

A

G

K

H

J

E L

F

12

9

8

1012

11

12

8M

O

P

B

8

9

L

N

• Seguindo este raciocínio, poderiam ser avaliadas as melhores decisões a serem tomadas nos pontos L, M e N.

• Para o ponto L, a melhor decisão a ser tomada é única (pois não é permitido “retroceder”): ir para o ponto O. Então, o menor temo para ir desde L até o fim será o temo para ir desde L até O, mais o menor tempo para ir desde O até o fim, já avaliado no passo anterior e colocado num círculo na figura 3. Um raciocínio semelhante pode ser feito no ponto N.

• No ponto M, por outro lado, têm-se duas opções: ir ao ponto O ou ir ao ponto P. Os menores tempos para ir desde O e P até o fim são conhecidos e foram indicados nos círculos da figura 3. Portanto, a melhor decisão em M corresponderá ao caminho que de o menor dentre os tempos para ir desde M até O, mais o mínimo tempo para ir desde O até o fim, neste caso 8 + 8 = 16, e o tempo para ir desde M até P, mais o mínimo tempo para ir desde P até o fim, ou seja 10 + 9 = 19. Portanto, a melhor decisão em M será ir para o ponto O. Na figura 4 são representados estes últimos resultados.

8 10

9

12

10 9

8

128

127

119

11

9

K

J

I

M

O

P

B

8

9

L

N

8

H

20

16

21

Solução

• É possível seguir o mesmo raciocínio até chegar ao ponto de início (ponto A). Este procedimento é chamado de “recursivo”. Em cada ponto do mapa está indicada, por uma seta, a melhor direção a seguir e, pelo número no interior do círculo, o tempo mínimo demandado para atingir o ponto B. Finalmente, o caminho que demanda menos tempo para ir desde A até B é destacado na figura 5.

8

7

8 9

8 10

12

9

88119

101279

8

10

11 812

9

7

9

K

J

IM

O

P

B

8

9

L

N

20

16

21

29

27

28

30

37

35

36

45

43

51

H

A

C

D

E

F

G

• Muitas vezes, por desconhecimento ou por considerar os cálculos dos algoritmos de otimização muito complexos, tanto que pareceria mais sensato (ou menos trabalhoso) utilizar a “experiência” ou a intuição, recorre-se a métodos que, aparentemente, poderiam dar uma boa solução. Estes métodos costumam ser chamados de heurísticos, pois sua lógica se baseia em regras ou métodos práticos que, talvez, conduzam a uma boa solução (Taha, 1994).

• Embora pareçam razoáveis, os métodos heurísticos, ou intuitivos, podem levar a soluções não ótimas. Para ilustrar isto, considere a situação na qual um especialista temerário e não muito ligado aos raciocínios matemáticos, decide resolver o problema anterior aplicando sua intuição ou experiência prévia. Ele acha que uma boa forma de procurar o melhor caminho para ir desde A até B consiste em escolher a cada passo o caminho que demande menor tempo (o que, a um primeiro olhar, parece bastante sensato).

• Então, iniciando em A, ele decide que é melhor se deslocar até C, pois isso consumiria 7 segundos, contra 8 que demoraria ir até D. Seguindo este raciocínio, ele optaria pelo percurso A-C-E-H-L-O-B, demorando 7 + 9 + 8 + 9 + 12 + 8 = 53 segundos, um pouco maior que o tempo ótimo obtido seguindo um raciocínio otimizante, que foi de 51 segundos.

• No exemplo apresentado, o prejuízo da escolha não ótima, é de apenas alguns segundos a mais para percorrer a distância de A a B. Existem, porém, situações onde as conseqüências poderão comprometer uma grande quantidade de dinheiro, um grande risco para o meio ambiente ou para vidas humanas, e qualquer diferença em relação ao ótimo correspondem a um grande prejuízo. Este é o caso da transposição das águas de um rio para zonas áridas, por centenas de quilômetros de canais, ou do transporte de gás, por longas extensões de dutos.

• Em casos como estes, insistir em tomar decisões com base na experiência prévia é muito audaz e até uma negligência. Nestas situações muito especiais a experiência passada pode não dar bons conselhos e o bom senso pode produzir enganos.

Análise do problema em ambiente raster

1

5

2 3

4 6

7 8 9

a b

• Considera-se que há arcos unindo células vizinhas• O caminho em cada célula pode seguir na direção de uma das oito células vizinhas

Problema isotrópico

3

3

3

3 33

3 3 3

3

7

3 3

3

7

7 7

7

7

7 77

77

3

3

3

3 3

33

3

3

3

7

3 3

3

7

7 7

7

7

7 7

7

7

7 7

7

7

7

3 7 7

3 3 7

Ambiente raster• Em ambiente raster, é que a combinação do sistema

de informações geográficas com os algoritmos de busca de caminhos de mínimo custo tem mostrado seus melhores resultados. O maior trunfo do SIG é a possibilidade de combinar e considerar uma grande quantidade de informações na análise. Um bom exemplo de aplicação é apresentado por Weber e Hasenack (1998). Neste exemplo, o objetivo era determinar o melhor traçado de um trecho de gasoduto a ser construído, próximo à cidade de Uruguaiana, no RS. O ponto final do gasoduto é uma usina termelétrica, e havia duas alternativas para ponto inicial, próximas ao rio Uruguai. Os critérios para a escolha do traçado ótimo procuraram impedir a passagem do gasoduto por áreas urbanas, corpos aquáticos e áreas de preservação ambiental. A passagem por mata nativa e vegetação também foi penalizada. O resultado – dois traçados alternativos, da margem do rio ao local de construção da usina - é apresentado na figura 6.

Problemas que podem ser resolvidos

Weber e Hasenack, 1998

Custos de passagem utilizados no exemplo anterior

Uso do solo Custo de passagemÁgua 1000Mata nativa 10Vegetação paludosa 8Campo sujo 1Campo limpo 1Arroz 1Solo exposto 1Área urbana 1000Área de Preservação Permanente 1000

Os algoritmos para encontrar o caminho de mínimo custo em ambiente “raster”, separam o problema em

três partes:• Gerar um plano de custo de passagem. O custo de passagem é um valor

atribuído às células de um plano ou grade. Este valor deve refletir o custo local em termos de tempo de deslocamento, impacto ambiental, etc. O valor de custo de passagem pode ser obtido pelo processamento simultâneo de vários planos de informação, como uso do solo, cobertura vegetal e topografia.

• Calcular um plano de custo acumulado até o fim do caminho a partir de um plano de custo de passagem. O plano de custo acumulado é calculado iterativamente e em etapas, como será descrito a seguir. A regra para calcular o plano de custo acumulado é semelhante à regra para vetores, descrita no item 2, isto é, se o caminho de menor custo de A até B passa pelo ponto C, então o caminho de menor custo de A até C é parte do caminho de menor custo de A até B.

• Percorrer o plano de custo acumulado de um ponto de início até o ponto final do caminho. Na maioria dos casos o plano de custo acumulado é percorrido “morro abaixo”, isto é, do ponto final do caminho até o início, sempre na direção da célula vizinha que tiver o menor custo acumulado.

Problema anisotrópico

• O custo de passagem depende da direção e do sentido

8

6

1

3 8 45 2 2

7

2

1 1

1

1

3 5

14

3

24 68

7

4

2

9

22

2 5

36

3

4

8

8

3 8

9

7

4 4

19

7

5 9

12

7

8 2

7

1

7

9 4 1

4 6 14

Problema das 8 direções

CAMINHOS DE MÍNIMO CUSTO NO PROJETO DE

ESTRADAS, GASODUTOS E CANAIS DE IRRIGAÇÃO

W. Collischonn e J. V. Pilar IPH - UFRGS

Bibliografia

• Douglas, D. H. 1994 Least cost path in GIS using an accumulated cost surface and slopelines. Cartographica Vol. 31, No. 3; pp. 37-51.

• Eastman, J. R. 1995 Idrisi for Windows users guide. Clark University. Worcester.• Jaga, R. M. N.; Sundaram, A.; Natarajan, T. 1993 Wasteland development using geographic

information system techniques. International Journal of Remote Sensing, Vol. 14, No. 17, pp. 3249-3257.

• Jensen, S., Domingue, J. 1988 Extracting Topographic Structure from Digital Elevation Data for Geographic Information System Analysis. Photogrammetic Engineering and Remote Sensing., v.54, n.11, p.1593-1600.

• Lee, J.; Stucky, D. 1998 On applying viewshed analysis for determining least-cost paths on Digital Elevation Models. International Journal of Geographical Information Science. Vol. 12, N. 8, 891-905.

• Stefanakis, E.; Kavouras, M. 1995 On the determination of the optimum path in space. Proceedings of the European Conference on Spatial Information Theory, COSIT 95, Semmering, Austria. Springer-Verlag.

• Taha, H. A. 1996 Operations research: an introduction. Prentice Hall. 864p.• Weber E.; Hasenack H. 1998 Análise de alternativas de traçado de um gasoduto utilizando rotinas de

apoio à decisão em SIG. GIS-Brasil-98. • Xu, J.; Lathrop, R. G. 1995 Improving simulation acuracy of spread phenomena in a raster-based

Geographic Information System. International Journal of Geographical Information Systems, Vol. 9, No. 2, pp. 153-168.

Bibliografia• Collischonn, W.; Pilar, J. V. P. 1999a Caminhos de mínimo custo no projeto de canais de

irrigação. Submetido ao Congresso Brasileiro de Engenharia Agrícola. Pelotas. Julho.• Collischonn, W.; Pilar, J. V. P. 1999b A direction dependent least-cost-path algorithm for

roads and canals. International Journal of Geographical Information Science.• Douglas, D. H. 1994 Least cost path in GIS using na accumulated cost surface and slope

lines. Cartographica Vol. 31, No. 3; pp. 37-51.• Eastman, J. R. 1995 Idrisi for Windows users guide. Clark University. Worcester.• Lee, J.; Stucky, D. 1998 On applying viewshed analysis for determining least-cost paths

on Digital Elevation Models. International Journal of Geographical Information Science. Vol. 12, N. 8, 891-905.

• Stefanakis, E.; Kavouras, M. 1995 On the determination of the optimum path in space. Proceedings of the European Conference on Spatial Information Theory, COSIT 95, Semmering, Austria. Springer-Verlag.

• Taha, H.A. 1995. Investigación de operaciones. 5.ed. México. Alfaomega. 960 p.• Ventsel, E.S. 1983. Investigación de operaciones: problemas, principios, metodología.

Moscú: MIR. 280 p.• Weber E.; Hasenack H. 1998 Análise de alternativas de traçado de um gasoduto utilizando

rotinas de apoio à decisão em SIG. Fator-GIS. http://www.fatorgis.com.br/artigos/gis/gasoduto/gasoduto.htm.

• Trabalhos de Alexandre Gonçalves (Universidade Técnica de Lisboa)

• Ant Colony Optimization

• Ambientes dinâmicos: custos mudam com o tempo e posição de forma pouco previsível. Que direção tomar? (Cidades com engarrafamentos, por exemplo)

Exercício

• Qual é o melhor caminho para uma estrada para escoar a produção de castanholas da região produtiva até a região de consumo, considerando os custos da tabela.

• Região produtiva: x=351000 ; y=4473500• Região de consumo: x=363200 ; y=4461400• Idrisi: funções cost grow e pathway

Célula Custo

Rede de drenagem 100

Área de proteção drenagem 20

Outras 1

Considere que 500 m em torno da rede de drenagem são área de proteção

1. Definir a rede de drenagem1. Usar runoff para calcular área acumulada2. Usar reclass para definir rede de drenagem (células com

mais de 300 células de área acumulada)

2. Definir área de proteção1. Usar buffer com 500 m

3. Criar imagem de custo de passagem4. Transformação vetor raster para o ponto final5. Transformação vetor raster para o ponto inicial6. Operação cost-grow a partir do ponto final sobre

o custo de passagem (gera custo acumulado)7. Operação pathway a partir do ponto inicial sobre

o custo acumulado.

Exercício

• Teste o problema do ambiente raster em duas resoluções diferentes se o aumento da resolução resolve o problema.

• Pague o valor apostado ao professor!

Exercício Minter

• Qual é o melhor caminho para uma estrada entre as seguintes posições na região do arquivo rio da Palma (mnt exercício)

• Região produtiva: x=400000 ; y=8700000• Região de consumo: x=290000 ; y=8630000• Idrisi: funções cost grow e pathway

Declividade Custo

Muito alta 9000

Alta 5000

Moderada 10

Baixa 1

1. Recupere a imagem de declividade separada em classes baixa, moderada, alta e muito alta

2. A partir desta, usar reclass para criar imagem de custo de passagem com base na tabela anterior

3. Transformação vetor raster para o ponto final (para isso, gerar um raster com tudo zero exceto a célula que corresponde ao fim da estrada)

1. Gerar um novo arquivo raster com zeros, usando como base o mapa de custos (copiar as características deste arquivo)

2. Fazer a operação vetor-raster para o ponto final sobre o arquivo raster zerado.

4. Transformação vetor raster para o ponto inicial (idem)5. Operação cost-grow a partir do ponto final sobre o custo

de passagem (gera custo acumulado)6. Operação pathway a partir do ponto inicial sobre o custo

acumulado.

Outro exercício Minter

• Refaça o problema anterior considerando, além das declividades, um peso 300 para travessia da rede de drenagem.

Outro exercício Minter

• Refaça o problema anterior considerando, além das declividades, um peso 300 para travessia da rede de drenagem de largura até 15 m e que é peso 1000 a travessia de rios com mais de 15 m de largura.

• Considere que a largura de um curso d’agua pode ser estimada a partir da área de drenagem da bacia a montante pela equação: B=3,2466.A0,4 onde B é a largura em metros e A é a área em km2.

Mais um exercício

• Resolva a prova do semestre de 2007-1 que está disponível na Internet

Proposta: Usar mesmos métodos para determinar local ideal para construir indústria

• 1) Suponha que é necessário determinar qual a melhor localização de uma indústria:

• perto da matéria prima

• perto de corpo d’água abundante

• perto de transporte fluvial ou marítimo

• estradas para suprimento de matéria prima

• não muito distante de algum centro urbano

Indústria de celulose

Proposta: Usar mesmos métodos para determinar local ideal para construir indústria

• 2) Determinar qual a melhor localização de estação rebaixadora de tensão

• custo de linha de alta tensão é diferente de custo de linhas de baixa tensão

• deve suprir 5 locais

• impactos ambientais

usina

estação rebaixadora