Quadrado mágico

Um quadrado mágico é a disposição de uma série de número inteiro|números inteiros]] em um quadrado ou matriz de forma tal que a soma dos números por colunas, bichas e diagonales principais seja a mesma, a constante mágica. Usualmente os números empregados para rechear as lacunas são consecutivos, de 1 a n², sendo n o número de colunas e bichas do quadrado mágico.

Índice

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1 Introdução 2 História

o 2.1 O quadrado mágico de Durero o 2.2 O quadrado mágico da Sagrada Família

3 Construção de quadrados mágicos o 3.1 Quadrados mágicos de ordem impar (I) o 3.2 Quadrados mágicos de ordem impar (II) o 3.3 Quadrados mágicos de ordem múltiplo de 4 o 3.4 Quadrados mágicos de ordem múltiplo de 4 mais 2

4 Variantes 5 Quadrados mágicos esotéricos

o 5.1 Propriedade de equivalencia o 5.2 Propriedade das esquinas o 5.3 Propriedades do centro o 5.4 Propriedades posicionales o 5.5 Propriedades das diagonales (diametrales) o 5.6 Elaborar quadrados mágicos esotéricos

5.6.1 Caso impar 5.6.2 Caso par

o 5.7 Alusões à Cábala o 5.8 Conclusões

6 Bibliografía complementar 7 Veja-se também 8 Enlaces externos

Introdução

Consideremos a sucessão aritmética 1, 2, 3, 4... 36 (quadrado de ordem 6), e disponhamos os números ordenadamente em duas séries dispostas em zig-zag:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1836 35 34 33 32 31 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 19

Resulta evidente que qualquer par de números alineados verticalmente soma o mesmo já que à medida que nos deslocamos pelas colunas, na bicha superior se acrescenta uma unidade, enquanto na bicha inferior se resta. A soma é em todos os casos a dos números extremos:

n2 + 1 = 36 + 1 = 371 2 3 4 5 6

12 11 10 9 8 7

13 14 15 16 17 18

24 23 22 21 20 19

25 26 27 28 29 30

36 35 34 33 32 31

Se dispomos o conjunto de números em seis bichas (ver tabela à direita), facilmente pode-se apreciar que as somas nas diferentes colunas têm de ser necessariamente iguais, já que os números se encontram agrupados por pares tal e como estavam no primeiro caso (se compare os pares de bichas 1ª-6ª, 2ª-5ª e 3ª-4ª com a disposição original). Agora no entanto, por ser três os pares de bichas (n/2), a soma será:

quantidade que se denomina constante mágica, e que em nosso caso é n×(n² + 1)/2 = 6×(36 + 1)/2 = 111.

Ordem n 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

M2 (n) 15 34 65 111 175 260 369 505 671 870 1105

Salta à vista que o quadro anterior não é um quadrado mágico, já que ao se dispor os números de forma consecutiva, as somas das cifras da cada bicha são a cada vez maiores. No entanto temos encontrado seis séries de números compreendidos entre 1 e 36, de forma tal que, sem se repetir nenhum, as somas das séries são a constante mágica. Se em vez da disposição anterior colocamos os números consecutivamente, obtemos uma disposição na que os números da diagonal principal se podem escrever da forma (a-1)×n + a.

Calculando a soma, sabendo que as bichas a vão de 1 a n:

De novo a constante mágica. Mais ainda, qualquer série de seis valores nos que não tenha dois da mesma bicha ou coluna somará a constante mágica. Escrevendo o termo i, j da matriz como (i-1)×n + j, e tomando 6 termos quaisquer com a condição de que nem i, nem j se repitam e variem de 1 até n, a equação resultante será exactamente a mesma que no caso anterior e a soma, por tanto, a constante mágica.

Como se pode demonstrar, a quantidade de séries possíveis de n números que cumpram a condição anterior é n!, 720 em quadrados de ordem 6, e nem sequer são todas as possíveis, já que dantes tínhamos obtido seis que não estão incluídas entre elas. Em definitiva, sendo possível construir (n²)! matrices nas que nenhum termo se repita e existindo ao menos n! (em realidade muitas mais) combinações de números que somem a constante mágica, se compreende intituivamente que o que seria de magia]] é que com tal multidão de possibilidades fosse impossível construir quadrados mágicos.

De ordem 3 existe um único quadrado mágico (as diferentes variações podem-se obter por rotación ou reflexão), em 1693 Bernard Frenicle de Bessy estabeleceu que há 880 quadrados mágicos de ordem 4 [1], posteriormente encontrou-se que existem 275.305.224 quadrados mágicos de ordem 5; o número de quadrados de maior ordem desconhece-se ainda mas segundo estimaciones de Klaus Pinn e C. Wieczerkowski realizadas em 1998 mediante os métodos de método de Monte Carlo|Monte Carlo]] e de mecânica estatística existem (1,7745 ± 0,0016) × 1019 quadrados de ordem 6 e (3,7982 ± 0,0004) × 1034 quadrados de ordem 7.

Pelo que respecta a ordens inferiores, é evidente que de ordem um existe um único quadrado mágico,   1  , enquanto de ordem 2 não existe nenhum, o que se pode demonstrar considerando o quadrado mágico a, b, c, d da figura; para que tal disposição fosse um quadrado mágico deveriam se cumprir as seguintes equações (sendo M a constante mágica ou qualquer quantidade, se se quer):

a bc d

a + b = Ma + c = Ma + d = Mb + c = Mb + d = Mc + d = M

escrevendo o sistema de equações em forma matricial e procurando a ordem da matriz de coeficientes, obtém-se que é três, enquanto o número de incógnitas é quatro, de modo que o sistema só tem a solução trivial a = b = c = d = M/2 sendo impossível construir um quadrado mágico no que as cuatros cifras sejam diferentes.

Ficheiro:Magic square O Shu.png

The Astronomical Phenomena (Tien Yuan Fa Wei).Compilado por Bao Yunlong no século XIII,

edição da Dinastía Ming, 1457-1463.

Biblioteca do Congresso dos EE.UU.

História

Na antiga China já se conheciam os quadrados mágicos desde o III milénio   a.   C. , como atestigua o O Shu. Segundo a lenda, em um verdadeiro dia produziu-se o desbordamiento de um rio; a gente, temerosa, tentou fazer uma oferenda ao deus do rio O (um dos desbordados) para acalmar sua ira. No entanto, a cada vez que o faziam, aparecia uma tortuga que rondaba a oferenda sem a aceitar,

até que um garoto se deu conta das peculiares marcas do caparazón da tortuga, deste modo puderam incluir em sua oferenda a quantidade pedida (15), ficando o deus satisfeito e voltando as águas a sua cauce.

Igualmente conheceram combinações desta classe a índios, egípcios, árabes e gregos. A tais quadrados, as diferentes culturas atribuíram-lhes propriedades astrológicas e adivinatorias portentosas gravando-se com frequência em talismanes. Assim, como recolhe Cornelius Agrippa em De oculta philosophia libri três (1533), o quadrado de ordem 3 (15) estava consagrado a Saturno, o de 4 (34) a Júpiter, o de 5 (65) a Marte, o do 6 (111) ao Sol, o do 7 (175) a Vénus, o do 8 (260) a Mercurio e o de 9 (369) a a Lua; idêntica atribución pode encontrar-se na astrología indiana.

A introdução dos quadrados mágicos em ocidente atribui-se a Emanuel Moschopoulos em torno do século XIV, autor de um manuscrito no que por vez primeira se explicam alguns métodos para os construir. Com posterioridad, o estudo de suas propriedades, já com carácter científico, atraiu a atenção de grandes matemáticos que dedicaram ao assunto fazes diversas apesar da manifesta inutilidad prática dos quadrados mágicos. Entre eles cabe citar a Stifel, Fermat, Pascal, Leibnitz, Frenicle, Bachet, A Hire, Saurin, Euler,... diríase que nenhum matemático ilustre tem podido escapar a seu feitiço.

4 9 23 5 78 1 6

Melancolia, gravado de Alberto Durero; o quadrado mágico aparece na esquina superior direita.

O quadrado mágico de Durero

O quadrado mágico de Alberto Durero, talhado em sua obra Melancolia está considerado o primeiro das artes européias. No quadrado de ordem quatro obtém-se a constante mágica (34) em bichas, colunas, diagonales principais, e nas quatro submatrices de ordem 2 nas que pode se dividir o quadrado, somando os números das esquinas, os quatro números centrais, os dois números centrais das bichas (ou colunas) primeira e última, etc. e sendo as duas

cifras centrais da última bicha 1514 no ano de execução da obra.

Algumas disposições particulares no quadrado mágico de Durero que somam a constante mágica.

Fachada da Sagrada Família

O quadrado mágico da Sagrada Família

16 3 2 135 10 11 89 6 7 124 15 14 1

16 3 2 135 10 11 89 6 7 124 15 14 1

16 3 2 135 10 11 89 6 7 124 15 14 1

16 3 2 135 10 11 89 6 7 124 15 14 1

16 3 2 135 10 11 89 6 7 124 15 14 1

16 3 2 135 10 11 89 6 7 124 15 14 1

A Fachada da Paixão do Templo Expiatorio da Sagrada Família em Barcelona, desenhada pelo escultor Josep María Subirachs, mostra um quadrado mágico de ordem 4.

A constante mágica do quadrado é 33, a idade de Jesucristo na Paixão. Também se atribuiu a eleição deste número como uma velada alusão à suposta adscripción masónica, que nunca tem sido demonstrada, de Antonio Gaudí, já que 33 são os graus tradicionais da masonería. Estruturalmente, é muito similar ao quadrado mágico de Melancolia, mas dois dos números do quadrado (o 12 e o 16) estão diminuídos em duas unidades (10 e 14) com o que aparecem repetições. Isto permite rebajar a constante mágica em 1.

Construção de quadrados mágicos

Há numerosas formas de construir quadrados mágicos, mas as mais singelas consistem em seguir certas configurações ou fórmulas que geram patrões regulares. Ademais podem impor-se condições adicionais ao quadrado, obtendo-se quadrados bi-mágicos, tri-mágicos, etc. Analogamente podem construir-se círculos, polígonos e cubos mágicos.

Não existe um método geral para construir quadrados mágicos de qualquer ordem, sendo necessário distinguir entre os de ordem impar, os de ordem múltiplo de 4 e o resto de ordem par (4×m + 2).

Quadrados mágicos de ordem impar (I)

Estes quadrados podem gerar segundo o método publicado em 1691 por Simon da Loubere, chamado às vezes método siamés, país no que desempenhou o cargo de embaixador de Luis XIV, método já conhecido pelos astrólogos orientais. Começando na lacuna central da primeira bicha com o primeiro número, recheia-se a diagonal avariada com os seguintes em sentido NÃO (ou NE). Completada a primeira diagonal desce-se uma posição e recheia-se a segunda no mesmo sentido que a anterior, se repetindo o passo anterior com o resto de diagonales até completar o quadrado.

Ficheiro:Quadrado Mágico Impar.png

Obviamente, poder-se-ia ter começado em qualquer das lacunas centrais das bichas ou colunas perimetrales, sendo na cada caso a direcção das diagonales para fora do quadrado e o sentido da deslocação uma vez finalizada a cada diagonal o dado pela posição relativa do centro do quadrado respecto da lacuna inicial.

Resulta evidente que começando por qualquer outra lacuna as somas das bichas e colunas será a constante mágica, já que a posição relativa das cifras será a mesma que no caso anterior; no entanto, na diagonal paralela à direcção de recheado não cumprir-se-á esta condição (sim na outra). De facto, a particular eleição da lacuna inicial responde à necessidade de que na diagonal paralela à direcção de enchido se coloquem consecutivamente os cinco números centrais da série já que qualquer outros cinco números consecutivos não somarão a constante mágica.

Quadrados mágicos de ordem impar (II)

Passo 1: Escrevem-se os números do 1 ao n². Escreve-se o 1 na lacuna superior do rombo e seguir-se-á de forma oblicua como se vê neste exemplo. O quadrado mágico será um quadrado inscrito no rombo que temos formado.

        1              6   2          11   7   3      16   12   8   4  

21   17   13   9    5   22   18   14   10      23   19   15          24   20      

        25        

Passo 2: Transladamos os números das esquinas do rombo às lacunas vazias que há no lado oposto do quadrado.

        1              6   2          11 24 7 20 3      16 4 12 25 8 16 4  

21   17 5 13 21 9    5   22 10 18 1 14 22 10      23 6 19 2 15          24   20              25        

Passo 3: Tiramos as esquinas do rombo: já temos um quadrado mágico de ordem impar.

11 24 7 20 34 12 25 8 1617 5 13 21 910 18 1 14 2223 6 19 2 15

Quadrados mágicos de ordem múltiplo de 4

Constrói-se um quadrado com os números dispostos consecutivamente (veja-se o segundo quadrado de ordem seis da introdução), disposição na que como sabemos, as somas das diagonales são a constante mágica. Uma vez feito isto, e conservando a submatriz central de ordem n/2 e as quatro submatrices de esquina de ordem n/4 os números restantes se giram 180º respecto do centro do quadrado, ou se se prefere se recolocan em ordem decreciente (em ambos casos o resultado é o mesmo).

Ficheiro:Quadrado Mágico Parmente par.png

Partindo da mesma disposição e escolhendo patrões simétricos similares das cifras a conservar podem construir-se quadrados mágicos diferentes ao obtido dantes, como o seguinte:

Ficheiro:Quadrado Mágico Parmente par2.png

Quadrados mágicos de ordem múltiplo de 4 mais 2

Para construir esta classe de quadrados pode-se usar o método LUX. Em parte baseia-se no método da Loubere, que se usa na construção de quadrados mágicos de ordem impar (ver mais acima).

Como exemplo, vamos construir um quadrado mágico de lado 10.

1º passo:

Vamos agrupar as lacunas em subcuadrados de 2x2, e a cada um deles etiquetá-lo-emos da seguinte forma:

- Os quadrados do k+1 primeiras bichas, onde k é a divisão inteira do tamanho do quadrado entre quatro, se etiquetam com a letra L (3 bichas neste caso).

- Os quadrados da seguinte bicha etiquetam-se com a letra Ou.

- Os quadrados das bichas restantes etiquetam-se com a letra X.

Estas letras mais adiante indicar-nos-ão como rechear a cada subcuadrado de 2x2.

                                           L     L     L     L     L                                           L     L     L     L     L                                           L     L     L     L     L                                           Ou     Ou     Ou     Ou     Ou                                           X     X     X     X     X

2º passo:

Troca-se o quadrado Ou central com o quadrado L imediatamente superior.

                                           L     L     L     L     L                                           L     L     L     L     L                                           L     L     Ou     L     L                                           Ou     Ou     L     Ou     Ou                                           X     X     X     X     X

3º passo:

Etiquetaremos a cada subcuadrado de 2x2 com um número seguindo o método da Loubere. Desta forma indicaremos a ordem no que se vai rechear a cada subcuadrado.

17     24     1     8     15        L     L     L     L     L23     5     7     14     16        L     L     L     L     L4     6     13     20     22        L     L     Ou     L     L10     12     19     21     3        Ou     Ou     L     Ou     Ou11     18     25     2     9        X     X     X     X     X

4º passo:

Agora, ao subcuadrado i-ésimo lhe correspondem os números 4i - 3, 4i - 2, 4i - 1 e 4i. Por exemplo, ao subcuadrado 10 correspondem-lhe os números 37, 38, 39, e 40.

Só nos falta saber como se colocam os quatro números dentro de seu subcuadrado correspondente, e aí entra em jogo o etiquetado LUX.

4º número 1º número2º número 3º númeroSubcuadrado tipo L

1º número 4º número2º número 3º númeroSubcuadrado tipo Ou1º número 4º número3º número 2º númeroSubcuadrado tipo X

Como pode se ver, as letras recordam à forma que fazem os números ao se colocar na cada quadrado.

Com todos estes elementos já pode se construir o quadrado:

68 65 96 93 4 1 32 29 60 5766 67 94 95 2 3 30 31 58 5992 89 20 17 28 25 56 53 64 6190 91 18 19 26 27 54 55 62 6316 13 24 21 49 52 80 77 88 8514 15 22 23 50 51 78 79 86 8737 40 45 48 76 73 81 84 9 1238 39 46 47 74 75 82 83 10 1141 44 69 72 97 100 5 8 33 3643 42 71 70 99 98 7 6 35 34

Variantes

Existem multidão de variantes dos quadrados mágicos simples que acabamos de descrever, bem como métodos alternativos de construção dos mesmos que podem encontrar nas páginas abaixo indicadas, de maneira que aqui limitar-nos-emos a fazer uma breve descrição de algumas das variantes existentes.

Há, por exemplo, quadrados mágicos que continuam sendo mágicos quando se lhes tira uma banda exterior; inclusive há que continuam sendo mágicos se se lhes tira uma banda e depois uma segunda banda,...

O quadrado completo da figura, de ordem 7, tem por constante mágica 175 (os quarenta e nove primeiros números); o quadrado interior de ordem 5 que

compreende os números centrais da série anterior (13 a 37), também é mágico e tem por constante mágica 125, ao igual que o quadrado de ordem três central (números 21 a 29) que tem uma constante mágica de 75.

Alguns quadrados conservam a soma mágica ao longo de todas as diagonales avariadas, além de bichas, colunas e diagonales principais, como o da direita. Estas disposições costumam-se denominar quadrados diabólicos, ainda que também se chama às vezes assim ao quadrado de Durero que não cumpre esta condição. Este último também se chamou às vezes quadrado satánico porque existem muitas combinações, certamente peculiares, de números simetricamente distribuídos ao longo da matriz com os que se consegue a soma mágica, como já mostrámos com anterioridad quando falamos dele. Ao respecto cabe recordar que o número de combinações de n cifras, tomadas da série aritmética 1 a n×n, é inclusive superior ao de quadrados que se podem construir com ditas cifras, pelo que encontrar disposições aparentemente peculiares tais que se obtenha a soma mágica é mais comum do que se crê. Se fixamos-nos por exemplo no quadrado diabólico da figura, veremos que tais disposições também somam 34 (as quatro esquinas e as quatro centrais, as quatro submatrices de ordem quatro, etc., e ademais as diagonales avariadas,

49 48 11 46 6 12 37 13 14 31 32 35 438 30 28 21 26 20 4245 33 23 25 27 17 59 34 24 29 22 16 4110 15 36 19 18 37 4047 2 39 4 44 38 1

7 2 11 149 16 5 46 3 10 1512 13 8 1

claro que nele não aparece a data de criação de Melancolia como sucedia no quadrado de Durero, no que existem mais de 34 combinações).

Se entendemos os quadrados mágicos como matrices, com suas operações usuais de soma de matrices|soma]] e produto, o quadrado mágico de ordem 3 tem a interessante propriedade de que sua matriz inversa volta a ser um quadrado mágico que tem valores fraccionarios positivos e negativos e cuja constante mágica é 1/15.

Este é o quadrado mágico de ordem 3 habitual...

4 9 23 5 78 1 6

...e este é seu quadrado mágico inverso.

23/360 -52/360 53/36038/360 8/360 -22/360-37/360 68/360 -7/360

O quadrados p-mágicos são aqueles tais que elevadas todas as cifras do quadrado ao k potência, sendo 1≤k≤p, seguem sendo mágicos:

O quadrado bi-mágico menor conhecido é o de ordem 8 mostrado mais adiante e que tem por constantes mágicas 260 (k=1) e 11180 (k=2). Se conjectura que não existem quadrados bi-mágicos de ordem inferior, ainda que não existe prova concluyente disso. Em 1998, J. R. Hendricks demonstrou que é impossível construir quadrados bi-mágicos de ordem 3, salvo o que contém 9 cifras iguais, que de mágico tem mais bem pouco.

Construíram-se quadrados tri-mágicos de ordens 12, 32, 64, 81 e 128; o único de ordem 12 foi construído pelo matemático alemão Walter Trump em junho de 2002.

O primeiro quadrado tetra-mágico, de ordem 64, obteve-o Andrés González, em junho de 1998, usando números do 1 ao 4096 sem repetir nenhum deles. Pode segregarse em 64 tabuleiros de ajedrez e sempre somaria igual, indistintamende da posição nas que resultem as bichas norte, sul, este e oeste. Segundo González, nesta obra não se usou nenhum computador para cuadrarlo. O quadro encontra-se registado no Arquivo Internacional Central de Objectos de Arte [2].

O primeiro quadrado tetra-mágico, de ordem 512, obtiveram-no André Viricel e Christian Boyer em maio de 2001; em um mês mais tarde apresentaram o primeiro quadrado penta-mágico, de ordem 1024. Já em 2003, apresentaram um quadrado tetra-mágico de ordem 256 e o matemático chinês Li Wen um penta-mágico de ordem 729.

16 41 36 5 27 62 55 1826 63 54 19 13 44 33 81 40 45 12 22 51 58 3123 50 59 30 4 37 48 938 3 10 47 49 24 29 6052 21 32 57 39 2 11 4643 14 7 34 64 25 20 5361 28 17 56 42 15 6 35

    

1 22 33 41 62 66 79 83 104 112 123 1449 119 45 115 107 93 52 38 30 100 26 13675 141 35 48 57 14 131 88 97 110 4 7074 8 106 49 12 43 102 133 96 39 137 71140 101 124 42 60 37 108 85 103 21 44 5122 76 142 86 67 126 19 78 59 3 69 2355 27 95 135 130 89 56 15 10 50 118 90132 117 68 91 11 99 46 134 54 77 28 1373 64 2 121 109 32 113 36 24 143 81 7258 98 84 116 138 16 129 7 29 61 47 8780 34 105 6 92 127 18 53 139 40 111 6551 63 31 20 25 128 17 120 125 114 82 94

Quadrado bi-mágico de ordem 8(constantes mágicas 260 e 11.180)

Quadrado tri-mágico de ordem 12

(constantes mágicas 870, 83.810 e 9

082.800)

Podem construir-se quadrados mágicos com números extraídos de qualquer sucessão aritmética independentemente do número inicial e da razão da série. Sendo a0 o primeiro termo e r a razão, facilmente demonstra-se que a constante mágica será neste caso:

Analogamente, podem-se construir quadrados mágicos a partir de sucessões geométricas, em cujo caso serão os produtos os que dêem por resultado a constante mágica. Estes podem construir com as regras dadas para os quadrados aritméticos, sem mais que substituir o termo da série geométrica na posição indicada pela correspondente da série aritmética:

Sucessãoaritmética

6 1 87 5 32 9 4

    

Correspondência

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 2 4 8 16 32 64 128 256    

Sucessãogeométrica32 1 12864 16 42 256 8

A constante mágica é no caso geral

cuja similitud com a já obtida para as séries aritméticas é palpable.

Também se construíram quadrados mágicos com séries de números primos consecutivos, ou com as cifras decimales dos recrípocos da série aritmética dos números naturais, etc.

Por último assinalaremos a existência de disposições mágicas n-dimensionales; assim, com a série 1 - n³ podem se construir cubos mágicos, e em general, com a série 1 - nr quadrados mágicos r-dimensionales de ordem n, com suas respectivas variantes multi-mágicas e cuja visualización não é imediata, ainda que podem se tratar comodamente mediante o emprego de computador]]é.

Quadrados mágicos esotéricos

Nota: para apreciar as comparações, para os quadrados mágicos esotéricos, tomou-se outras cores, diferentes aos empregados até aqui.

Um quadrado mágico esotérico, utiliza critérios mais restrictivos quanto a condicionantes para ser tido por um quadrado mágico, tanto é assim, que só existe um pela cada n. A seguir detalham-se os condicionantes.

Propriedade de equivalencia

Em sentido esotérico, só se considera quadrado mágico, àqueles que têm as mesmas cifras que o número de lacunas (que seguem a série de números naturais desde 1 até n²). O quadrado da

figura (cor laranja, à esquerda) não é um quadrado mágico esotérico. Neste caso é o resultado de um quadrado mágico de n=3 a cujas cifras se lhe tem somado 20, comparar com o original (cor laranja à direita)de n=3, vendo a localização das cifras e sua concordancia.

Propriedade das esquinas

Em sentido esotérico, um quadrado mágico, deve reunir umas condições de soma de suas esquinas (que chamamos Cifra mágica-2, ou de segunda ordem). Explicação de como se acha:

Se chamamos Composição ao sumatorio dos números que compõem o quadrado mágico: C= sum (1+2+3....), ou também C= ((n²+1)×(n²/2)...

...e se chamamos Número baseie (Nb) à Composição dividida entre o número de lacunas que compõem o quadrado, teremos que Nb= C / (n²). O número baseie também pode se calcular da seguinte maneira: Nb= (n²+1)/2 (observe na tabela anexa mais abaixo a relação de suas cifras entre ambas columas onde Nb é quase a metade de n² ). O número baseie em um quadrado mágico esotérico de n= impar sempre aparece na lacuna central, o que em verdadeiro modo ajuda a reconhecer e recusar de um simples vistazo os que não cumpram dita condição. (Veja-se a secção propriedades posicionales mais abaixo para mais detalhes).

Também obtemos a Cifra mágica, ao multiplicar o Número baseie por n Cm=Nb×n (ou ao inverso, obtemos Nb, ao dividir a Cifra mágica entre n Nb= Cm/n ).

E sendo Cifra mágica-2 a soma das esquinas então: Cm2= r+s+t+ouEntão Cm2, a soma das esquinas Cm2= Cm - (Nb( n-4))

Ou também (partindo de que Cm=Nb×n) : Cm2= Nb×n - (Nb(n-4)).Ou reduzindo : Cm2= 4Cm / n.Assinalam-se nos desenhos as lacunas de esquina, para quadrados de n=4 e n=3

Deduze-se que se o quadrado tem menos esquinas de 4, então dita cifra é somada, que se é maior de 4 esquinas, a cifra é restada. Para o caso de 4 esquinas exactas, nem soma-se nem resta-se, ou bem se soma e se resta, (como prefira ser considerado).

Podemos comprovar que no quadrado mágico de 4 a soma das 4 esquinas Cm2 =Cm (Cifra mágica2= Cifra mágica).

Também a soma das cifras das 4 lacunas que formam uma cruz (as que estão no médio entre dois esquinas adjacentes), somam Cm2. A particularidad de n=par_impar produz dois casos.

28 21 2623 25 2724 29 22

8 1 63 5 74 9 2

r _ _ s_ _ _ __ _ _ _t _ _ ou

r _ s_ _ _t _ ou

Para o caso de n=impar: Cm2= C +R +Ou +Z (desenho da esquerda)

E para o caso de n=par as duas lacunas adjacentes que formam a cruz nas mesmas condições, só que neste caso ao ser dois grupos de 4 lacunas, é duas vezes CM; =2 Cm2): Cm2=(C1 +C2 +R1 +R2 + Ou1 +Ou2 +Z1 +Z2 )/2 (desenho da direita)

Mostram-se um quadrado de n=3 para exemplo de caso impar, e um de n=6 para exemplo de caso par. Observe-se que do caso par, se tomam as duas lacunas centrais de CRUZ, razão, pela que há que dividir depois entre duas.

Tem-se remarcado na tabela o exemplo mostrado sobre o quadrado mágico com o caso de n= 7 : ao aplicar C=1225; Nb=25; Cm= 25×7=175; Cm2= 175- (25(7-4)=100

Pode-se comprovar Cm2=R+S+T+Ou, (as esquinas, em amarelo 22 + 4 + 46 + 28 ) = 100

Igualmente pode-se comprovar Cm2=C+R+Ou+Z,(os centros em cruz, em escuro 41 + 13 + 9 + 37 ) = 100

Isto é C+R+Ou+Z=R+S+T+Ou

lado n das quadrado

Lacunas n×n

Sumatorio (n²+1)×(n²/2)

Cifra mágica C/n

Número baseie Cm/n

Cifra mágica-2 Cm2= 4Cm / n

n n² C Cm Nb Cm2

1 1 1 1 1 4 Não mág.

2 4 10 5 2,5 10 Não mág.

3 9 45 15 5 20

4 16 136 34 8,5 34

5 25 325 65 13 52

6 36 666 111 18,5 74

7 49 1225 175 25 100

8 64 2080 260 32,5 130

9 81 3321 369 41 164

.

Pode entender-se que o quadrado de 1, não tem 4 esquinas, e no entanto sua cifra mágica-2, é 4, ao não poder somar mais que 1, fica fora de ser um quadrado mágico esotérico.

_ C _R _ Ou_ Z _

_ _ C1 C2 _ __ _ _ _ _ _

R1 _ _ _ _ Ou1R2 _ _ _ _ Ou2_ _ _ _ _ __ _ Z1 Z2 _ _

22 47 16 41 10 35 45 23 48 17 42 11 2930 6 24 49 18 36 1213 31 7 25 43 19 3738 14 32 1 26 44 2021 39 8 33 2 27 4546 15 40 9 34 3 28

O quadrado de dois, se tem 4 esquinas, mas sua cifra mágica-2 arroja um resultado de 10, o qual é impossível que resulte. Explica-se mais acima neste artigo, o porqué um quadrado mágico de n=2, não o é (Cm não resulta), e aqui ademais porqué não é esotérico.

Propriedades do centro

Em um quadrado mágico esotérico também se cumpre a seguinte condição (além de todo o anteriormente explicado):

* Nos casos impares: Obtemos a Cifra Mágica-2 nos quadrados mágicos esotéricos ao multiplicar o valor central da lacuna por 4* No caso dos quadrados pares: Obtemos a Cifra Mágica-2 com a soma de suas 4 lacunas centrais ( ao igual que sucede com os centros em cruz explicados mais acima em que devem se tomar 2).

Isto é o 'peso específico' do centro mantém-se em equilíbrio. Se quiséssemos usar uma fórmula geral seria esta: a média das lacunas centrais * 4. Dado que os casos impares não tem uma lacuna central como única, deve se considerar o menor caso que reúna essa condição, sendo sempre 4 lacunas.

Pode-se comprovar com o exemplo de 7 lacunas a mais acima, ou com o de 3,etc.

Propriedades posicionales

Pela que se considera a um quadrado mágico esotérico que está ordenado quando se cumprem ademais outras condicones que são ligeiramente diferentes nos quadrados de n-par sobre os de n-impar. (o mesmo quadrado rotado ou refletido, deixa de ser ordenado ainda que não deixa de ser esotérico.

1. n-impar: Nb ocupa a casila central. A cifra maior está em cima da lacuna central e a inferior embaixo.A esquina r está ocupado pela cifra Nb-(n/2-(1/2)) e a oposta ou por lacifra Nb+(n/2-(1/2)). A esquina s está ocupado pela cifra n/2+(1/2) e a lacuna oposta t, por 2×Nb- (a cifra de s), ou o que tanto faz, pela cifra maior do quadrado mágico, - (n/2-(1/2)).

Diagonales: A diagonal que vai desde a esquina superior esquerda para a esquina inferor direita sempre leva suas lacunas numeradas correlativamente. A outra diagonal leva suas lacunas numeradas em saltos de n começando justamente por (n +1)/2

1. n-par : A lacuna r (a 1ª), é ocupada pela cifra n, a cifra 1 ocupa a lacuna s, e a última cifra, a diagonal t, e a casila ou=t+s-r.Ao ser par, não existe lacuna central, e pelo mesmo Nb, não é inteiro, e não ocupa lacuna.

Diagonales: a 1ª diagonal leva as lacunas numeradas em saltos de n -1 começando por n e a outra diagonal leva as lacunas numeradas em saltos de n +1 começando por 1 e acabando em n².

Propriedades das diagonales (diametrales)

Verifica-se que a soma de duas lacunas diametralmente opostas sempre somam n² + 1. Aplica-se por igual aos casos de n= impar como aos casos de n=par, sendo só diferente, que para o caso impar o centro é uma lacuna e para o caso par não há lacuna definida

Para não saturar seu comprobación se ilustram só quatro exemplos denominados a, b, c, d com seu correspondente diametralmente oposto respecto do centro (que se deixou a propósito).

Pode verificar com os valores do quadrado da direita. Sendo: DEI n² + 1= 7² + 1= 50 demonstra-se que: para a DEI= 47 + 3= 50 , para b DEI=42 + 8= 50, para c DEI=6 + 44= 50, para d DEI=31 + 19= 50 ...

22

47 16 41 10 35 4

5 23 48 17 42 11 2930 6 24 49 18 36 1213 31 7 25 43 19 3738 14 32 1 26 44 2021 39 8 33 2 27 4546 15 40 9 34 3 28

Pode ver-se então que a propriedade das esquinas é uma consequência natural derivada desta. Esta propriedade junto com as propriedades posicionales proporcionam todas as regras necessárias para elaborar uma fórmula geral com a que elaborar quadrados mágicos esotéricos de qualquer tamanho que se aborda a seguir.

Elaborar quadrados mágicos esotéricos

O processo de elaborar quadrados mágicos esotéricos aborda-se em 2 fases. como se veio vendo ao longo do artigo, os casos de n par ou impar implicam situações que requerem diferente trato.

Primeiramente e por abreviar lembramos chamar à cada diagonal com os seguintes símbolos: diagonal directa (acima esquerda para abaixo direita) com chamá-lo-emos d \. Diagonal inversa (acima direita para abaixo esquerda) chamá-lo-emos d /

Pronto de figuras: para reconhecer melhor a mudança operada na cada passo tem-se despejado o quadrado de todo o não necessário para entender o passo, por dita razão à cada passo não necessariamente se vai acumulando os valores já obtidos.

Caso impar

Para explicar como elaborar um quadrado mágico esotérico de lado impar, previamente decidimos n que para o exemplo será 9

Sendo n=9 calculamos o nº de lacunas n²=9*9=81 e a sua vez calculamos NB com cualqiera das fórmulas que se deram anteriormente, ao caso NB = (n²+1) /2=41. NB não precisa ser calculado neste instante, no entanto serve de verificación para constatar que se trata de um quadrado mágico esotérico e não de outro qualquer.

FI GU RA AA AA AA AA AA 01

-a |

bgcolor="#e0d4c2" | -- - - 04

- - - - b 11 -- c - - 18 - -- d - 25 - d -- - 32 - - c -- 39 b - - - -

46 - - - - a -

- - - - - - - - -- - - - - - - - -- - - - - - - - -- - - - 81 - - - -- - - - 41 - - - -- - - - 1 - - - -- - - - - - - - -- - - - - - - - -- - - - - - - - -

FI GU RA AA AA AA AA AA 02- - - - - - - - 5- - - - - - - 14 -- - - - - - 23 - -- - - - 32 - - -- - - - 41 - - - -- - - 50 - - - -- - 59 - - - - - -- 68 - - - - - - -

77 - - - - - - - -

Mostra-se o quadrado vazio e onde irão os valores 1, NB e n² como se indica em propriedades posicionales mais acima no artigo. (ver figura-1 ). Faz-se notar a importância estratégica de NB, que se emprega no passo-3

Passo 1: elaborar a diagonal principal; d / como se indica em propriedades posicionales: calculamos a primeira cifra: = (n + 1) /2 = 9 +1 /2=5 primeiro valor por tanto 5, os seguintes serão ((nº bicha-1) * n) + valor 1ª bicha caso da bicha 2= ((2-1) * 9) +5=14, sucessivamente aplicando o mesmo cálculo serão: 23,32,41,50,59,68 e 77 (ver figura-2).

Na imagem (figura-8) 1ª à a direita da figura 7 mostra-se um método rápido de rechear ambas diagonales sem necessidade de calcular.

FI GU RA AA AA AA AA AA 03- - - - - - - - 5- - - - - - - 14 -- - - - - - 23 - -- - - - 32 - - -- - - - 41 - - - -- - - 50 42 - - -- - 59 - - - 43 - -- 68 - - - - - 44 -

77 - - - - - - - 45FI GU RA AA AA AA AA AA 04* - - - - 5- 38 - - - 14 -

- 39 - - 23 -- - 40 32 - -

- - 41 - -- - 50 42 - -

- 59 - 51 - 43 -- 68 - 60 - 52 - 44 -

77 - 69 - 61 - 53 - 45

Passo 2: elaborar as diagonales respecto da princial; todas o d \ que desembocam a d / tem valores correlativos portanto, começando pela lacuna central para abaixo serão: 42,43,44,45 (figura-3) e para acima serão: 40,39,38,37... proceder igualmente desde o resto das lacunas que formam d / . Com isto já temos resolvido a metade do quadrado, todas as lacunas impares... (figura-4). Para não enturbiar a figura-4 se recheiam só umas poucas lacunas e se marcam os demais afectados com a mesma cor de fundo que estes...

Pode ver na imagem (figura-9) (a 2ª à direita da figura-7, mais abaixo), quais lacunas são estas, tomadas do quadrado original do que se tomam os valores, e que ao caso são correlativos. Observe-se o giro a 45º da imagem para ver a concordancia claramente. A imagem ilustra a não necessidade de calcular ditas lacunas. Por exemplo para a primeira bicha vê-se que estas são: 37 - 29 - 21 - 13 e 5.

FI GU RA AA AA AA AA AA 0537 - 29 - 21 - 13 - 5- 38 - 30 - 22 - 14 -

47 - 39 - 31 - 23 - 15- 48 - 40 32 - 24 -

57 - 49 - 41 - 33 - 25- 58 - 50 42 - 34 -

67 - 59 - 51 - 43 - 35- 68 - 60 - 52 - 44 -

77 - 69 - 61 - 53 - 45FI GU RA AA AA AA AA AA 06

- 29 70 - -- - - - -

- - - -- - - -

17 41 -- 58 - - 34 -

- 10 51 - 75- - - - -

- - - -

Passo 3: Desde este momento há que considerar o quadrado em 4 zonas, primeiro em 2 separadas por d / e novamente dividimos a cada zona em 2 de acordo a d \ (ver figura-5 onde pintamos a cada área de uma cor (só a lacuna que faltam por resolver)) . A cada uma das 4 zonas delimitadas resolve-se com soma ou resta de um valor já existente na lacuna adhyacente operando com NB, sendo condicionado a cada zona ao seguinte critério; O valor da cada lacuna resulta de operar a lacuna imediata ao lado:

Na zona norte, esquerda + NB Na zona sul, direita - NB Na zona oeste, inferior - NB Na zona este, superior + NB . Isto é, uma lacuna na zona este se calcula somando o valor da

que está em cima desta + NB.

Em última imagem (3ª à direita da figura-7) mostra-se de onde procedem estas lacunas no quadrado original, e como se localizam na cada sector. Compare-se a cada sector com a localização da figura-9. Pode ver-se como os sectores têm sido transladados. Todas as lacunas correspondem às que se mostram na figura-7 em cor amarelo.

Calculou-se só uma lacuna na cada zona(ver figura-6), para apreciar com mais clareza a cada caso, analisemos por exemplo a da zona este. Tomemos (ver figura-5) a lacuna situada entre

aquela que tem o valor 34 e a que tem valor 44, valerá, o que vale a lacuna segundo se indica pela zona a que corresponde, este caso a de em cima dela + NB= 34 + 41=75 ( ver resultado em figura-6 e comprovar com figura-7).

A figura-7 mostra o quadrado completamente recheado e de uma mesma cor as casilas obtidas na cada passo. Corresponde à cada passo as seguintes cores: passo 1: marrón, passo 2: areia, passo 3: amarelo. À direita mostra-se uma imagem onde se relacionam as lacunas que correspondem às diagonales sem necessidade de calcular, se note que o quadrado da imagem (figura 8) tem todas suas lacunas correlativamente numeradas do 1 ao 81.

FI GU RA AA AA AA AA AA 0737 78 29 70 21 62 13 54 56 38 79 30 71 22 63 14 4647 7 39 80 31 72 23 55 1516 48 8 40 81 32 64 24 5657 17 49 9 41 73 33 65 2526 58 18 50 1 42 74 34 6667 27 59 10 51 2 43 75 3536 68 19 60 11 52 3 44 7677 28 69 20 61 12 53 4 45Ficheiro:DiagonalesCM.png Rechear lacunas diagonales respecto da diagonal principalFicheiro:DiagonalesCM03.png Rechear as lacunas do passo 3 sem calcular

Caso par

Os métodos explicados detalhadamente valem para qualquer que seja o número de n, que por razões de espaço se trabalhou com exemplos cujo n resulta facilmente manejable.

Quando já se conhecem as regras podem se construir seguindo outro critério baseando na relação que mantêm entre si as lacunas. Com todo se recomenda seguir as instruções quando se faz manualmente.

Uma vez realizado um quadrado mágico esotérico pode facilmente mudar-se em qualquer outro tipo de quadrado mágico simplesmente por substituição, adición, giro ou qualquer outro método.

Alusões à Cábala

Primeira alusão à Cábala: Há equivalencias entre as cifras dos quadrados mágicos esotéricos e as letras do alfabeto hebreu, considerado pelos cabalistas, de maneira que só quando se aplica ao

quadrado adequado, pode se tomar correctamente o resultado cabalístico, sendo inexacto as conclusões se se toma o quadrado mágico equivocado.

As regras particulares, bem como esta geral, tem sido desconhecida por muitos que ao longo dos tempos trataram de desentrañar seus mistérios ou de desenmascarar suas mentiras, é por isso que os estudos daqueles que ignoraram tais questões carecem de validade, pois a palavra tomava o número de acordo às regras deste para interpretar a palavra, e não a palavra se convertia em número para interpretar a palavra, como tais pretendiam. Bem como as palavras tinham suas regras, também as tinham os números, e era bem como se convertia em sagrada sua interpretação, pois não bastava com conhecer os números se não se conheciam suas regras, igual que não basta para compreender um idioma, ainda que se conheçam suas letras, se se desconhecem suas regras....

Segunda alusão à Cábala : É de assinalar que no entanto, apesar do anotado mais acima desta secção, os mencionados como quadrados satánicos, estritamente em sentido esotérico, não são tido por tais se não tão só o quadrado de n=6 esotérico, já que a soma de suas cifras (Composição), soma 666. E é em onde os cabalistas procuram ou devessem procurar o número da Besta tal como se menciona na Biblia.

Conclusões

Como se pode apreciar desde o princípio do artigo, o quadrado mágico, denota um grande equilíbrio em sua construção. O quadrado mágico esotérico requer um equilíbrio maior ainda, razão pela que não qualquer quadrado mágico é esotérico.

Para entender esse equilíbrio (em general), pode fazer-se uma idealización da seguinte forma: Imaginemos que a cada lacuna representa uma peça de um peso tal como reflete o número contido nela. Bem, agora imaginemos que colocamos a matriz em equilíbrio sobre seu centro geométrico, pelas somas que em apartados superiores deste artigo se explicaram e supondo pesos exactos, a tabela fica equilibrada. Se as lacunas da tabela fossem posicionadas em sua ordem correlativo, veríamos que não manteriam seu equilíbrio, e que uma zona seria notoriamente mais pesada que a outra.

Pode considerar-se que o quadrado mágico por tanto é um método de equilibrar uma superfície (ou uma dimensão se se considera o cubo mágico) em seu centro geométrico, que a sua vez é o centro de gravidade. Assumindo esta mesma definição diferenciaríamos o quadrado mágico do quadrado mágico esotérico em que este último a sua vez não considera aquelas situações que são simétricas, múltiplos ou cuja ordem faz vacilar o equilíbrio em grande parte se se retira um "peso" do tabuleiro. Evidentemente só aquele ordem que mantenha o maior número de proporções equivalentes respecto de dito centro geométrico, mantê-lo-á também respecto de seu centro de gravidade, e igualmente se estava em uma situação de equilíbrio, ao retirar uma única peça o rompimento do equilíbrio será menor que outra ordem (disposição) que por exemplo, só iguale proporções perimetrales.

Quanto menor é o número do lado de lacunas tanto menor é a proporção de equilíbrio entre partes simétricas. Excepto que consideremos o caso do 1.

O equilíbrio mencionado ao caso, por tanto consiste em uma ordem específica de numeración (ou posicionamiento, se quer idealizarse com os pesos) que implica a que o centro de geométrico seja também o centro de gravidade.

Não se conhecem aplicações tecnológicas concretas que se beneficiem destas características, razão pela qual segue enclausurado ao divertimento curiosidade e ao pensamento matemático.

Bibliografía complementar

Andrews, William Symes: Magic Squares and Cubes. Nova York: Dover, 1960. ISBN 0-486-20658-0

Fults, John Lê: Magic Squares. A Saia-lhe, Illinois: Open Court, 1974. ISBN 0-87548-197-3

Pickover, Clifford: The Zen of Magic Squares, Circles, and Stars. Princeton, Nova Camisola: Princeton University Press, 2003. ISBN 0-691-11597-4

Knorr Rosenroth: Aesch Mezareph ou Fogo Purificador, original: Sulzbach ano-1677-84, presente edição em espanhol: Muñoz Moya e Montraveta editores, Cerdanyola dos Vales, ano-1987, ISBN 84-86335-32-9

Cornelio Agrippa: Numerología Oculta , Edições Obelisco ano-1996 ISBN 978-84-7720-493-0