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Geometria Espacial - Prismas 1) (NOVO ENEM) Em Florença, Itália, na Igreja de Santa Croce, é possível encontrar um portão em que aparecem os anéis de Borromeo. Alguns historiadores acreditavam que os círculos representavam as três artes: escultura, pintura e arquitetura, pois elas eram tão próximas quanto inseparáveis.

Scientific American, ago. 2008 Qual dos esboços a seguir melhor representa os anéis de Borromeo?

a) d)

b) e)

c) 2) (Mack) Na construção de um dique, foram utilizadas 90 toneladas de terra, acondicionadas em sacos plásticos de 5 litros. Considerando que cada cm3 de terra pesa 3 gramas, a menor quantidade necessária de sacos para a construção do dique foi de a) 4000 b) 6000 c) 8000 d) 9000 e) 10000

3) (UFRN) O banho de Mafalda.

Na hora do banho, Mafalda abriu a torneira da banheira de sua casa e ficou observando o nível da água subir.Deixou-a encher parcialmente para não desperdiçar água. Fechou a torneira, entrou, lavou-se e saiu sem esvaziar a banheira. O gráfico abaixo que mais se aproxima da representação do nível(N) da água na banheira em função do tempo (t) é:

2

4) (ENEM) Representar objetos tridimensionais em uma folha de papel nem sempre é tarefa fácil. O artista holandês Escher (1898-1972) explorou essa dificuldade criando várias figuras planas impossíveis de serem construídas como objetos tridimensionais, a exemplo da litografia Belvedere, reproduzida ao lado.

Considere que um marceneiro tenha encontrado algumas figuras supostamente desenhadas por Escher e deseje construir uma delas com ripas rígidas de madeira que tenham o mesmo tamanho. Qual dos desenhos a seguir ele poderia reproduzir em um modelo tridimensional real? a)

b)

c)

d)

e)

5) (ENEM) Um fabricante de brinquedos recebeu o projeto de uma caixa que deverá conter cinco pequenos sólidos, colocados na caixa por uma abertura em sua tampa. A figura representa a planificação da caixa, com as medidas dadas em centímetros.

Os sólidos são fabricados nas formas de I. um cone reto de altura 1 cm e raio da base 1,5 cm. II. um cubo de aresta 2 cm. III. uma esfera de raio 1,5 cm.

3

IV. um paralelepípedo retangular reto, de dimensões 2 cm, 3 cm e 4 cm. V. um cilindro reto de altura 3 cm e raio da base 1 cm. O fabricante não aceitou o projeto, pois percebeu que, pela abertura dessa caixa, só poderia colocar os sólidos dos tipos a) I, II e III. b) I, II e V. c) I, II, IV e V. d) II, III, IV e V. e) III, IV e V. 6) (Vunesp) Um retângulo de medidas 3cm e 4cm faz uma rotação completa em torno de seu lado maior, conforme a

ilustração. Adotando = 3,14,

a) encontre a área total da figura gerada; b) encontre o volume da figura gerada. 7) (Vunesp) A água de um reservatório na forma de um paralelepípedo retângulo de comprimento 30m e largura 20m atingia a altura de 10m. Com a falta de chuvas e o calor, 1800 metros cúbicos da água do reservatório evaporaram. A água restante no reservatório atingiu a altura de a) 2m. b) 3m. c) 7m. d) 8m. e) 9m. 8) (Mack) A base do cesto reto da figura é um quadrado de lado 25cm. Se a parte lateral externa e o fundo externo do cesto devem ser forrados com um tecido que é vendido com 50cm de largura, o menor comprimento de tecido necessário para a forração é:

a) 1,115m b) 1,105m c) 1,350m d) 1,250m e) 1,125m 9) (Fatec) A diagonal da base de um paralelepípedo reto retângulo mede 8 cm e forma um ângulo de 60° com o lado menor da base. Se o volume deste paralelepípedo é 144 cm3, então a sua altura mede, em centímetros:

a) 5 3

b) 4 3

c) 3 3

d) 2 3

e) 3 10) (UFPE) A figura a seguir ilustra a planificação da superfície de um cubo com arestas medindo 10cm. O ponto B é o centro de uma de suas faces e o ponto A está em outra face distando das arestas de 3cm, 5cm e 7cm.

4

Seja C a curva de menor comprimento ligando A e B e totalmente contida nas faces do cubo. Qual o comprimento, em cm, de C? 11) (Cesgranrio) A figura a seguir mostra três dados iguais. O número da face que é a base inferior da coluna de dados:

a) é 1. b) é 2. c) é 4. d) é 6. e) pode ser 1 ou 4. 12) (Unicamp) A figura abaixo é a planificação de uma caixa sem tampa:

a) Encontre o valor de x, em centímetros, de modo que a capacidade dessa caixa seja de 50 litros. b) Se o material utilizado custa R$ 10,00 por metro quadrado, qual é o custo de uma dessas caixas de 50 litros considerando-se apenas o custo da folha retangular plana?

13) (Mack) A figura acima representa uma caçamba com água, na qual as laterais oblíquas e o piso são retangulares e as laterais paralelas têm o formato de trapézios

isósceles. Se d = 2 a razão entre o volume de água e o volume total da caçamba é

a) 25

17

b) 32

21

c) 28

25

d) 28

17

e) 32

25

14) (Unicamp) A figura ao lado apresenta um prisma reto cujas bases são hexágonos regulares. Os lados dos hexágonos medem 5cm cada um e a altura do prisma mede 10cm.

a) Calcule o volume do prisma. b) Encontre a área da secção desse prisma pelo plano que passa pelos pontos A, C e A’. 15) (Mack) A figura ao lado representa a maquete de uma escada que foi construída com a retirada de um paralelepípedo reto-retângulo, de outro paralelepípedo reto-retângulo de dimensões 12, 4 e 6.

5

O menor volume possível para essa maquete é a) 190 b) 180 c) 200 d) 194 e) 240 16) (FUVEST) A partir de 64 cubos brancos, todos iguais, forma-se um novo cubo. A seguir, este novo cubo tem cinco de suas seis faces pintadas de vermelho. O número de cubos menores que tiveram pelo menos duas de suas faces pintadas de vermelho é

a) 24 b) 26 c) 28 d) 30 e) 32 17) (Mack) A razão entre os volumes dos cilindros inscritos e circunscrito num prisma triangular regular é:

a) 2

1

b) 4

1

c) 8

1

d) 3

1

e) 3

2

18) (UECE) A soma do número de faces, com o número de arestas e com o número de vértices de um cubo é: a) 18 b) 20 c) 24 d) 26

19) (Uneb) A tinta contida em um recipiente, em forma de um prisma de base quadrangular regular, foi distribuída em pequenas latas iguais, com o mesmo formato do

recipiente, de altura igual a 3

1 da altura do recipiente e

lado da base 2

1 do lado da base do recipiente. O número

de latas utilizadas pra esse fim corresponde a: 1) 8 2) 10 3) 12 4) 14 5) 16 20) (FGV) a) A medida da diagonal de uma face de um cubo

mede 6 5 cm. Quanto mede a diagonal desse cubo? b) Sabendo-se que cosx = k, obtenha em função de k o valor de cos4x. 21) (FGV) Ao desdobrar um cubo, obteve-se a figura plana ao lado. Se o montarmos novamente, a face oposta à face B será a face:

a) A b) C c) D d) E e) F 22) (Unicamp) Ao serem retirados 128 litros de água de uma caixa d'água de forma cúbica, o nível da água baixa 20 centímetros. a) Calcule o comprimento das arestas da referida caixa. b) Calcule sua capacidade em litros (1 litro equivale a 1 decímetro cúbico). 23) (Vunesp) As arestas do cubo ABCDEFGH, representado pela figura, medem 1cm.

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Se M, N, P e Q são os pontos médios das arestas a que pertencem, então o volume do prisma DMNCHPQG é: a) 0,625 cm3. b) 0,725 cm3. c) 0,745 cm3. d) 0,825 cm3. e) 0,845 cm3. 24) (Vunesp) As arestas dos cubos ABCDEFGH medem 1m. Seja S1 a parte do cubo que a face AEHD geraria se sofresse uma rotação de 90° em torno do DH até coincidir com DCGH. E seja S2 a parte do cubo que a face ABFE geraria se sofresse uma rotação de 90° em torno de BF até coincidir com BCGF.

Nessas condições: a) Determine o volume de S1 e o de S2. b) Determine o volume de S1 2. 25) (UFMG) As dimensões de uma caixa retangular são 3cm, 20mm e 0,07m. O volume dessa caixa, mililitros, é: a) 0,42 b) 4,2 c) 42 d) 420 e) 4200 26) (OMU) As medidas, em centímetros, das arestas de um paralelepípedo são números inteiros ímpares consecutivos

e a área lateral total do mesmo é de 142cm2. Qual é o volume do paralelepípedo? 27) (ETEs) As tecnologias atuais, além de tornar os equipamentos eletroeletrônicos mais leves e práticos, têm contribuído para evitar desperdício de energia. Por exemplo, o ENIAC (Eletronic Numerical Integrator and Computer) foi o primeiro computador eletrônico digital e entrou em funcionamento em fevereiro de 1946. Sua memória permitia guardar apenas 200 bits, possuía milhares de válvulas e pesava 30 toneladas, ocupando um galpão imenso da Universidade da Pensilvânia – EUA. Consumia energia correspondente à de uma cidade pequena. O ENIAC utilizava o sistema numérico decimal, o que acarretou grande complexidade ao projeto de construção do computador, problema posteriormente resolvido pelo matemático húngaro John Von Neumann, que idealizou a utilização de recursos do sistema numérico binário, simplificando o projeto e a construção dos novos computadores. Considere o formato do ENIAC um bloco retangular de volume igual a 396 m3. Sabendo que o ENIAC tinha 5,5 metros de altura e 30 metros de comprimento, a medida de sua largura, em metros, é igual a a) 2,4. b) 2,8. c) 3,0. d) 3,3. e) 4,0. 28) (Vunesp) Aumentando em 2cm a aresta a de um cubo C1, obtemos um cubo C2, cuja área da superfície total aumenta em 216cm2, em relação à do cubo C1.

Determine: a) a medida da aresta do cubo C1; b) o volume do cubo C2. 29) (UEL) Aumentando-se em 1 m a altura de um paralelepípedo, seu volume aumenta 35 m3 e sua área total aumenta 24 m2. Se a área lateral do paralelepípedo original é 96 m2, então o volume original é a) 133 m3 b) 135 m3 c) 140 m3 d) 145 m3 e) 154 m3

7

30) (PUC-RJ) Calcule a maior distância entre dois pontos de

um cubo de aresta 3 cm. 31) (UNIFESP) Colocam-se n3

cubinhos de arestas unitárias juntos, formando um cubo de aresta n, onde n > 2. Esse cubo tem as suas faces pintadas e depois é desfeito, separando-se os cubinhos. a) Obtenha os valores de n para os quais o número de cubinhos sem nenhuma face pintada é igual ao número de cubinhos com exatamente uma face pintada. b) Obtenha os valores de n para os quais o número de cubinhos com pelo menos uma face pintada é igual a 56. 32) (UFBA) Com relação a um prisma reto de base quadrada, é correto afirmar: 01. Cada diagonal de uma face divide-a em dois triângulos congruentes. 02. Existem exatamente 8 segmentos que ligam pares de vértices não pertencentes a uma mesma face. 04. Dadas duas faces não adjacentes e quatro vértices, dois em cada uma dessas faces, existe um plano que contém esses quatro vértices. 08. {1,3,5,7} existe um caminho poligonal que liga esses vértices e é formado por n arestas, cada uma percorrida uma única vez. 16. Se a medida do lado da base e a altura do prisma são números inteiros consecutivos, e o volume é um número primo p, então p é único. 32. Existem exatamente 24 pirâmides distintas cujas bases são faces do prisma e cujos vértices são também vértices do prisma. 33) (UFPR) Considerando o paralelepípedo reto-retângulo representado , no qual AB = 4 cm, AE = 3 cm e AD = 5 cm, é correto afirmar:

01. O número de segmentos cujas extremidades são dois vértices do paralelepípedo é igual ao número de arranjos simples de 8 elementos tomados 2 a 2. 02. Quando são escolhidos aleatoriamente dois vértices do paralelepípedo, a probabilidade de que eles pertençam à mesma face é 6/7.

04. O plano que contém as arestas BC e EH divide o paralelepípedo em dois prismas de volumes iguais. 08. Quando são escolhidos aleatoriamente dois vértices do paralelepípedo, a probabilidade de que a distância entre eles seja 5 cm é 1/7. 16. O comprimento de qualquer diagonal da face ABFE é 5 cm. Marque como resposta a soma dos itens corretos. 34) (UNIUBE) Considere o cubo representado na figura abaixo, cuja base é o quadrado ABCD. Qual das figuras, a seguir, representa uma planificação deste cubo na qual a linha em negrito representa a sua intersecção com um plano, que passa por uma das diagonais do quadrado ABCD e por exatamente um vértice da face paralela à base?

35) (Vunesp) Considere o sólido da figura (em cinza), construído a partir de um prisma retangular reto.

Se AB = 2 cm, AD = 10 cm, FG = 8 cm e

8

BC = EF = x cm, o volume do sólido, em cm3, é: a) 4x.(2x + 5). b) 4x.(5x + 2). c) 4.(5 + 2x). d) 4x2(2 + 5x). e) 4x2(2x + 5). 36) (Vunesp) Considere o sólido resultante de um paralelepípedo retângulo de arestas medindo x, x e 2x, do qual um prisma de base quadrada de lado 1 e altura x foi retirado. O sólido está representado pela parte escura da figura.

O volume desse sólido, em função de x, é dado pela expressão: a) 2x3 - x2. b) 4x3 - x2. c) 2x3 - x. d) 2x3 - 2x2. e) 2x3 - 2x. 37) (IBMEC) Considere um cubo ABCDEFGH cujas arestas medem 8cm. Tomam-se os pontos J, K, L e M sobre as arestas AE, BF, CG e DH, respectivamente, de modo que AJ

= BK = 2dcm e GL = HM = dcm, em que 0 < d < 4, como

mostra a figura.

Seja S a área, em cm2, do quadrilátero JKLM. a) Calcule S para que d seja igual a 1.

b) Calcule S para que d seja igual a 3. c) Determine d para que S seja a menor possível. 38) (Vunesp) Considere um pedaço de cartolina retangular de lado menor 10 cm e lado maior 20 cm. Retirando-se 4 quadrados iguais de lados x cm (um quadrado de cada canto) e dobrando-se na linha pontilhada conforme mostra a figura, obtém-se uma pequena caixa retangular sem tampa.

O polinômio na variável x, que representa o volume, em cm3, desta caixa é a) 4x3 - 60x2 + 200x. b) 4x2 - 60x + 200. c) 4x3 - 60x2 + 200. d) x3 - 30x2 + 200x. e) x3 - 15x2 + 50x. 39) (Vunesp) Considere um prisma hexagonal regular, sendo a altura igual a 5cm e a área lateral igual a 60cm2. a) Encontre o comprimento de cada um de seus lados. b) Calcule o volume do prisma. 40) (FAZU) Considere uma piscina retangular de 10m x 15m e cujo fundo horizontal está com água até 1,5m de altura. Um produto químico deve ser misturado à água à razão de um pacote a cada 4500 litros. O número de pacotes a serem usados é: a) 75 b) 55 c) 45 d) 50 e) 60 41) (UFPE) Constrói-se uma pirâmide sobrepondo-se 15 blocos, cada qual na forma de um paralelepípedo retângulo de altura igual a 1m e base quadrada cujos lados medem 15m, 14m, 13m, 12m, 11m, 10m, 9m, 8m, 7m, 6m, 5m, 4m, 3m, 2m, e 1m, respectivamente (veja um corte desta pirâmide, na figura a seguir, obtido através de um

9

ponto dos seus planos de simetria).

Sabendo que 12+22+32+...+n2= 6

1)n1)(2n(n

e que o

volume da pirâmide é V m3, determine 31

V

. 42) (ITA) Dado um prisma hexagonal regular, sabe-se que sua altura mede 3cm e que sua área lateral é o dobro da área de sua base. O volume deste prisma, em cm3, é:

a) 27 3

b) 13 2 c) 12

d) 54 3

e) 17 5 43) (OBM) De quantas maneiras diferentes podemos construir um paralelepípedo usando exatamente 216

considerados iguais. 44) (ESPM) De um cubo com 4 cm de aresta retira-se um paralelepípedo reto-retângulo, resultando no sólido mostrado na figura, com as medidas indicadas em centímetros. O volume desse sólido varia conforme o valor de x. O menor valor que esse volume poderá ter é:

a) 52 cm3

b) 36 cm3

c) 48 cm3

d) 40 cm3

e) 32 cm3

45) (FEI) De uma viga de madeira de seção quadrada de lado 10cm extrai-se uma cunha de altura h=15cm, conforme a figura.

O volume da cunha é: a) 250cm3 b) 500cm3 c) 750cm3 d) 1000cm3 e) 1250cm3 46) (OBM) Diga como dividir um cubo em 1999 cubinhos. A figura mostra uma maneira de dividir um cubo em 15 cubinhos.

47) (Fuvest) Dois blocos de alumínio, em forma de cubo, com arestas medindo 10cm e 6cm são levados juntos à fusão e em seguida o alumínio líquido é moldado como um paralelepípedo reto de arestas 8cm, 8cm e x cm. O valor de x é: a) 16 b) 17 c) 18 d) 19 e) 20 48) (UFPE) Dois cubos C1 e C2 são tais que a aresta de C1 é igual à diagonal de C2. Se V1 e V2 são, respectivamente, os volumes dos cubos de C1 e C2, então, a razão V1/V2 é igual a:

a) 3 3

10

b) 27

c) 27

1

d) 3 3

1

e) 3 9

49) (Mack) Dois paralelepípedos retângulos de mesmas dimensões cortam-se conforme a figura, sendo igual a 1 o volume da região assinalada. Se ABCD é um quadrado, e o volume total do sólido obtido, incluindo a região assinalada, é 9, a dimensão b é igual a

a) 2 b) 6 c) 5 d) 3 e) 4 50) (ENEM) Eclusa é um canal que, construído em águas de um rio com grande desnível, possibilita a navegabilidade, subida ou descida de embarcações. No esquema abaixo, está representada a descida de uma embarcação, pela eclusa do porto Primavera, do nível mais alto do rio Paraná ate o nível da jusante.

A câmara dessa eclusa tem comprimento aproximado de 200 m e largura igual a 17 m. A vazão aproximada da água durante o esvaziamento da câmara e de 4.200 m3

por minuto. Assim, para descer do nível mais alto até o nível da jusante, uma embarcação leva cerca de a) 2 minutos.

b) 5 minutos. c) 11 minutos. d) 16 minutos. e) 21 minutos. 51) (Fatec) Em certa região árida prevê-se construir um açude, cuja superfície tem aproximadamente a forma de um losango, conforme a vista superior apresentada.

A capacidade do açude em litros pode ser estimada multiplicando-se a área de sua superfície pela profundidade, lembrando que 1m3 corresponde a 103 litros. Se a profundidade média do açude é 2m e ele estiver completamente cheio, aproximadamente quantas famílias com consumo mensal de 2 x 104 litros de água cada uma poderiam ser atendidas em um mês? A resposta correta é a) 640 b) 1 600 c) 6 400 d) 16 000 e) 64 000 52) (SpeedSoft) Em reportagem sobre a Casa dos Artistas 2, foi escrito: “...Outra inovação é a piscina aquecida com 61 mil litros (9m x 4,5m), que vai ter uma parede de vidro...”. De acordo com o que foi escrito na reportagem, qual é a profundidade média dessa piscina ? 53) (Fuvest) Em um bloco retangular (isto é,

paralelepípedo reto retângulo) de volume 8

27, as medidas

das arestas concorrentes em um mesmo vértice estão em progressão geométrica. Se a medida da aresta maior é 2, a medida da aresta menor é:

a) 8

7

b) 8

8

c) 8

9

d) 8

10

11

e) 8

11

54) (Vunesp) Em um camping, sobre uma área plana e horizontal, será montada uma barraca com a forma e as dimensões dadas de acordo com a figura. Em cada um dos quatro cantos do teto da barraca será amarrado um pedaço de corda, que será esticado e preso a um gancho fixado no chão, como mostrado na figura.

a) Calcule qual será o volume do interior da barraca.

b) Se cada corda formará um ângulo de 30° com a

lateral da barraca, determine, aproximadamente, quantos metros de corda serão necessários para fixar a barraca, desprezando-se os nós. (Use, se necessário, a aproximação

3 = 1,73). 55) (UFBA) Em um paralelepípedo retângulo P, a altura h, a diagonal da base d e a diagonal D são, nessa ordem, os termos consecutivos de uma progressão aritmética de razão r =1. Sendo a base do paralelepípedo P um quadrado, pode-se afirmar: (01) h.d.D = 60 cm3 (02) O volume de P é V = 16 cm2

(04) A área total de P é S = 4(4+3 2 ) cm2 (08) A área do círculo inscrito na ba 2 (16) O perímetro do triângulo cujos lados coincidem com h, d, D é p =12cm A resposta é a soma dos pontos das alternativas corretas 56) (Unicamp) Em um sistema de piscicultura superintensiva, uma grande quantidade de peixes é cultivada em tanques-rede colocados em açudes, com alta densidade populacional e alimentação à base de ração. Os tanques-rede têm a forma de um paralelepípedo e são revestidos com uma rede que impede a fuga dos peixes, mas permite a passagem da água. a) Um grupo de 600 peixes de duas espécies foi posto em um conjunto de tanques-rede. Os peixes consomem, no total, 800 g de ração por refeição. Sabendo-se que um peixe da espécie A consome 1,5 g de ração por refeição e que um peixe da espécie B consome 1,0 g por refeição,

calcule quantos peixes de cada espécie o conjunto de tanques-rede contém. b) Para uma determinada espécie, a densidade máxima de um tanque-rede é de 400 peixes adultos por metro cúbico. Suponha que um tanque possua largura igual ao comprimento e altura igual a 2 m. Quais devem ser as dimensões mínimas do tanque para que ele comporte 7200 peixes adultos da espécie considerada? 57) (UFPB) Foram feitas embalagens de presente em forma

de prisma regular de altura 36H cm e base triangular de lado L = 8 cm, conforme ilustra a figura ao lado. Sabendo-se que as embalagens não têm tampa e que o custo para a sua produção, por cm2, é de R$ 0,05, o custo total de fabricação de cada unidade é:

Dado: Considere 713 , a) R$ 12,30 b) R$ 13,60 c) R$ 8,16 d) R$ 15,20 e) R$ 17,30 58) (UFSC) Na figura a seguir, que representa um cubo, o

perímetro do quadrilátero ABCD mede 8(1+ 2 )cm. Calcule o volume do cubo em cm3.

59) (UFPR) Na figura abaixo está representado um cubo de aresta 6 m, com a face ABCD na posição horizontal. Um plano contém a aresta EH e o ponto médio M da aresta BF. Assim, é correto afirmar:

12

paralelos

a) O comprimento do segmento EM é 3 3 m

pirâmide c) A área do trapézio ABME é 27 m2

igual a 162 m3. 60) (Fuvest) Na figura abaixo, X e Y são, respectivamente, os pontos médios das arestas AB e CD do cubo. A razão entre o volume do prisma AXFEDYGH e o do cubo é:

a) 3/8. b) 1/2. c) 2/3. d) 3/4. e) 5/6. 61) (Fuvest) Na figura abaixo:

a) ABCD e EFGH são trapézios de lados 2, 8, 5 e 5. b) Os trapézios estão em planos paralelos cuja distância é 3. c) As retas AE, BF, CG e DH são paralelas.

62) (UECE) Na figura, as arestas do cubo medem 1m e estão divididas em 4 parte iguais. A poligonal ABCDE construída sobre as faces do cubo mede:

a) m13

b) m15

c) m17

d) m19 63) (UFMG) Nesta figura, estão representados o cubo ABCDEFGH e o prisma ACRPQO :

Sabe-se que: » P, Q e R são, respectivamente, os pontos médios das arestas AE, CG e CD; » o ponto O é o centro da face CDHG; e » o volume do prisma ACRPQO é 24 cm3. Então, é CORRETO afirmar que o comprimento de cada aresta desse cubo é

a) 4.3 2 cm

b) 2.3 3 cm

c) 4.3 3 cm

d) 2.3 2 cm

64) (UFPE) No cubo da figura a seguir, as arestas medem 4cm. Quanto mede a diagonal AB?

a) 4 3 cm

13

b) 2 3 cm

c) 4 2 cm

d) 2 2 cm e) 2 cm. 65) (Mack) No cubo da figura dada , a distância do vértice

A à diagonal PQ é 6 . Então, o volume do cubo é:

a) 27 b) 64 c) 125

d) 9 3

e) 8 3 66) (Fuvest) No paralelepípedo reto retângulo da figura abaixo, sabe-se que AB = AD = a, AE = b e que M é a intersecção das diagonais da face ABFE. Se a medida de MC também é igual a b, o valor de b será:

a) 2 a

b) 23

a

c) 57

a

d) 3 a

e) 35

a 67) (Fuvest) No paralelepípedo reto retângulo mostrado na figura, AB=2cm e AD=AE=1cm.

Seja X um ponto de segmento AB e x a medida do segmento AX. a) Para que valor de x, CX = XH? b) Para que valor de x, o ângulo CXH é reto ? 68) (Mack) Num paralelepípedo retângulo a soma das

medidas de todas as arestas é 52 e a diagonal mede 91 . Se as medidas das arestas estão em progressão geométrica, então o seu volume é: a) 216. b) 108. c) 81. d) 64. e) 27. 69) (Fuvest) Numa caixa em forma de paralelepípedo reto-retângulo, de dimensões 26 cm, 17 cm e 8 cm, que deve ser tampada, coloca-se a maior esfera que nela couber. O maior número de esferas iguais a essa que cabem juntas na caixa é: a) 1 b) 2 c) 4 d) 6 e) 8

70) (Mack) O cubo da figura tem aresta 2 2 . Se P e Q

área do quadrilátero PQDE é

14

a) 9 b) 10 c) 7 d) 12 e) 6 71) (FUVEST) O cubo de vértices ABCDEFGH, indicado na figura, tem arestas de comprimento a. Sabendo-se que M é o ponto médio da aresta AE, então a distância do ponto M ao centro do quadrado ABCD é igual a

a) 5

3a

b) 3

3a

c) 2

3a

d) a 3

e) 2a 3 72) (Emescam) O figura abaixo representa um sólido que foi construído seccionando-se um cubo de aresta a por um plano que contém os pontos A, B, C, D. Esses pontos são pontos médios de arestas do cubo. O volume desse sólido é dado por:

a) a3/3 b) a3/2 c) 3a3/4 d) 7a3/8 e) 15a3/16 73) (ESPM) O seno do ângulo que a diagonal de um cubo forma com uma das arestas concorrentes a ela tem como valor:

a) 3

22

b) 2

6

c) 3

6

d) 3

3

e) 3

2

74) (UEL) O sólido representado na figura a seguir é formado por um cubo de aresta de medida x/2 que se apóia sobre um cubo de aresta de medida x.

15

O volume de sólido representando é dado por a) 9x3/8 b) x3/8 c) 3x3 d) 3x3/2 e) 7x3 75) (Fuvest) O volume de um paralelepípedo reto retângulo é de 240 cm3. As áreas de duas de suas faces são 30 cm2 e 48 cm2. A área total do paralelepípedo, em cm2, é: a) 96 b) 118 c) 236 d) 240 e) 472 76) (UFMG) O volume de uma caixa cúbica é 216 litros. A medida de sua diagonal, em centímetros, é:

a) 0,8 3 b) 6 c) 60

d) 60 3

e) 900 3 77) (UFMG) Observe a figura.

Nessa figura, está representado um cubo de aresta 10. Sabendo que AP = QC = 4, calcule a distância de P e Q. 78) (UFMG) Observe a figura.

Essa figura representa uma piscina retangular com 10 m de comprimento e 7 m de largura. As laterais AEJD e BGHC são retângulos, situados em planos perpendiculares ao plano que contém o retângulo ABCD. O fundo da piscina tem uma área total de 77 m2 e é formado por dois retângulos, FGHI e EFIJ. O primeiro desses retângulos corresponde à parte da piscina onde a profundidade é de 4 m e o segundo, à parte da piscina onde a profundidade varia entre 1 m e 4 m. A piscina, inicialmente vazia, recebe água à taxa de 8.000 litros por hora. Assim sendo, o tempo necessário para encher totalmente a piscina é de: a) 29 h e 30 min b) 30 h e 15 min c) 29 h e 45 min d) 30 h e 25 min 79) (UERJ) Observe as figuras a seguir:

(I)

16

(II) A figura I mostra a forma do toldo de uma barraca, e a figura II, sua respectiva planificação, composta por dois trapézios isósceles congruentes e dois triângulos. Calcule: a) a distância h da aresta AB ao plano CDEF; b) o volume do sólido de vértices A, B, C, D, E e D, mostrado na figura I, em função de h. 80) (UEMG) Observe o desenho a seguir:

O vasilhame I é cúbico com a medida da aresta igual a 10 cm. O vasilhame II tem a forma de um paralelepípedo retangular com dimensões 10 cm, 12 cm e 40 cm. Enchendo o vasilhame I de água e despejando esse líquido na II, que está vazia, esta terá sua capacidade ocupada em, aproximadamente, a) 20,8% b) 28% c) 22,2% d) 12,5% 81) (PUC-SP) Para obter a peça esboçada na figura abaixo, um artesão deve recortar 8 cubos iguais, a partir dos vértices de um bloco maciço de madeira que tem as seguintes dimensões: 25cm x 18cm x 18cm

Se ele pretende que o peso da peça obtida seja 6,603 kg e sabendo que a densidade da madeira é 0,93 g/cm3, a aresta de cada cubo recortado deverá medir, em centímetros: a) 6,5 b) 6 c) 5,5 d) 5 e) 4,5 82) (PUC-SP) Para obter a peça esboçada na figura ao lado, um artesão deve recortar 8 cubos iguais, a partir dos vértices de um bloco maciço de madeira que tem as seguintes dimensões: 25cm x 18cm x 18cm. Se ele pretende que o peso da peça obtida seja 6,603kg e sabendo que a densidade da madeira é 0,93g/cm3, a aresta de cada cubo recortado deverá medir, em centímetros,

a) 6,5 b) 6 c) 5,5 d) 5 e) 4,5 83) (UNICAMP) Por norma, uma folha de papel A4 deve ter 210mm x 297mm. Considere que uma folha A4 com 0,1mm de espessura é seguidamente dobrada ao meio, de forma que a dobra é sempre perpendicular à maior dimensão resultante até a dobra anterior. a) Escreva a expressão do termo geral da progressão geométrica que representa a espessura do papel dobrado em função do número k de dobras feitas. b) Considere que, idealmente, o papel dobrado tem o formato de um paralelepípedo. Nesse caso, após dobrar o papel seis vezes, quais serão as dimensões do paralelepípedo?

17

84) (ENEM) Prevenindo-se contra o período anual de seca, um agricultor pretende construir um reservatório fechado, que acumule toda a água proveniente da chuva que cair no telhado de sua casa, ao longo de um período anual chuvoso. As ilustrações a seguir apresentam as dimensões da casa, a quantidade média mensal de chuva na região, em milímetros, e a forma do reservatório a ser construído.

Sabendo que 100 milímetros de chuva equivalem ao acúmulo de 100 litros de água em uma superfície plana horizontal de um metro quadrado, a profundidade (p) do reservatório deverá medir a) 4m b) 5m c) 6m d) 7m e) 8m 85) (AFA) Qual deve ser a medida da altura de um prisma reto, cuja base é um triângulo equilátero de lado a, para que seu volume tenha valor a3?

a)

a 3

4

b)

3 3

4

a

c)

a 3

3

d)

4 3

3

a

86) (PUC-PR) Qual o número de diagonais das faces e das bases de um prisma de 2n vértices?

a) 2

3) -n(n

b) n(n + 3)

c) 2

3) n(n

d) n(n - 1)

e)2

1) -n(n

87) (Unifesp) Quando se diz que numa determinada região a precipitação pluviométrica foi de 10mm, significa que a precipitação naquela região foi de 10 litros de água por metro quadrado, em média. Se numa região de 10km2

de área ocorreu uma precipitação de 5cm, quantos litros de água foram precipitados?

a) 5 x 107. b) 5 x 108. c) 5 x 109. d) 5 x 1010. e) 5 x 1011. 88) (PUC-RJ) Quantos azulejos de 30cm x 30cm são necessários para forrar as paredes laterais e o fundo de uma piscina de 9m x 7,5m x 3m ? 89) (UFSCar) Se a soma das medidas de todas as arestas de um cubo é 60cm, então o volume desse cubo, em centímetros cúbicos, é a) 125. b) 100. c) 75. d) 60. e) 25. 90) (PUC-PR) Se aumentarmos de 0,5 m a aresta de um cubo, o seu volume aumentará 2375 dm3. Qual era o valor da aresta do primeiro cubo? a) 1 m b) 2 m c) 3 m d) 4 m e) 5 m 91) (Unitau) Se dobrarmos convenientemente as linhas tracejadas das figuras a seguir, obteremos três modelos de figuras espaciais cujos nomes são:

18

a) tetraedro, octaedro e hexaedro. b) paralelepípedo, tetraedro e octaedro. c) octaedro, prisma e hexaedro. d) pirâmide, tetraedro e hexaedro. e) pirâmide pentagonal, prisma pentagonal e hexaedro. 92) (FMTM) Seja ax3 + bx2

+ cx + d = 0 uma equação algébrica que possui 3 raízes reais positivas. Se as raízes dessa equação são numericamente iguais às dimensões de um paralelepípedo reto retângulo, o quadrado da diagonal desse prisma é igual a

a)2

2 2

a

bca

b) 2

2 2

a

acb

c) 2

2 2

a

cdb

d) 2

2 2

a

abc

e) 2

2 2

a

adc

93) (UFPE) Seja C um cubo cujo lado mede 5cm e plano contendo duas diagonais de C. Particiona-se C em 125 cubos com lado medindo 1cm através de planos

quantos destes 125 cubos com lado medindo 1cm? 94) (PUC-SP) Suponha que o bolo mostrado na tira abaixo apóie-se sobre um suporte circular feito de chocolate que, por sua vez, encontra-se sobre uma mesa de madeira de tampo retangular, cujas dimensões são 0,90m de comprimento, 0,80m de largura e 0,02m de espessura. Assim, a parte dura que o Cebolinha mordeu diz respeito apenas a um pedaço do tampo da mesa.

Se o pedaço de madeira na fatia tem a forma de um prisma regular triangular, cuja aresta da base mede 6cm, o volume de madeira do pedaço equivale a que

porcentagem do volume do tampo da mesa? (Use 3 = 1,7) a) 0,2125% b) 0,425%

c) 2,125% d) 4,25% e) 21,25% 95) (NOVO ENEM) Suponha que, na escultura do artista Emanoel Araújo, mostrada na figura a seguir, todos os prismas numerados em algarismos romanos são retos, com bases triangulares, e que as faces laterais do poliedro II são perpendiculares à sua própria face superior, que, por sua vez, é um triângulo congruente ao triângulo base dos prismas. Além disso, considere que os prismas I e III são perpendiculares ao prisma IV e ao poliedro II.

Disponível em: www.escritosriodearte.com.br. Acesso em: 28 jul. 2009.

Imagine um plano paralelo à face do prisma I, mas que passe pelo ponto P pertencente à aresta do poliedro II, indicado na figura. A interseção desse plano imaginário com a escultura contém a) dois triângulos congruentes com lados correspondentes paralelos. b) dois retângulos congruentes e com lados correspondentes paralelos. c) dois trapézios congruentes com lados correspondentes perpendiculares. d) dois paralelogramos congruentes com lados correspondentes paralelos. e) dois quadriláteros congruentes com lados correspondentes perpendiculares. 96) (UFMG) Todos os possíveis valores para a distância entre dois vértices quaisquer de um cubo de aresta 1 são:

a) 1, 2 e 3

b) 1 e 2

c) 1, 3 e 2

d) 1, 2 e 3

19

97) (SpeedSoft) Um aquário de 20x30x10 cm, totalmente fechado, está com água dentro de modo que quando ele fica apoiado no retângulo de 30x10 cm, o nível da água atinge 15cm. Virando o aquário, de modo que ele fique apoiado pelo retângulo de 20x10 cm, que altura atingirá o nível d’água?

98) (CPCAR) Um aquário tem formato de um paralelepípedo retângulo com as arestas da base medindo 20 cm e altura medindo 40 cm. O aquário receberá uma quantidade de água equivalente a 80% de sua capacidade máxima. Para preparar a água para receber os peixes recomenda-se 1 gota de antifungo para cada 256 ml de água. O número de gotas de antifungos necessário para a preparação desse aquário é a) 50 b) 40 c) 30 d) 20 99) (FGV) Um arquiteto tem dois projetos para construção de uma piscina retangular com 1m de profundidade: Projeto 1: dimensões do retângulo: 16m x 25m Projeto 2: dimensões do retângulo: 10m x 40m Sabendo-se que as paredes laterais e o fundo são revestidos de azulejos cujo preço é R$ 10,00 por m2. a) Qual a despesa com azulejos em cada projeto? b) Se a área do retângulo for de 400m2, e x for uma de suas dimensões, expresse o custo dos azulejos em função de x. 100) (Fuvest) Um bloco retangular (isto é, um paralelepípedo reto-retângulo) de base quadrada de lado

4cm e altura 20 3 cm, com 3

2 de seu volume cheio de

água, está inclinado sobre uma das arestas da base, formando um ângulo de 30° com o solo (ver seção lateral abaixo). Determine a altura h do nível da água em relação ao solo.

101) (Unirio) Um engenheiro vai projetar uma piscina, em forma de paralelepípedo reto-retângulo, cujas medidas internas são, em m, expressas por x, 20-x, e 2. O maior volume que esta piscina poderá ter, em m3, é igual a: a) 240 b) 220 c) 200 d) 150 e) 100 102) (UFRJ) Um marceneiro cortou um cubo de madeira maciça pintado de azul em vários cubos menores da seguinte forma: dividiu cada aresta em dez partes iguais e traçou as linhas por onde serrou, conforme indica a figura .

a) Determine o número de cubos menores que ficaram sem nenhuma face pintada de azul. b) Se todos os cubos menores forem colocados em um saco, determine a probabilidade de se retirar, ao acaso, um cubo com pelo menos duas faces azuis. 103) (UNICAMP) Um pluviômetro é um aparelho utilizado para medir a quantidade de chuva precipitada em determinada região. A figura de um pluviômetro padrão é exibida ao lado. Nesse pluviômetro, o diâmetro da abertura circular existente no topo é de 20cm. A água que cai sobre a parte superior do aparelho é recolhida em um tubo cilíndrico interno. Esse tubo cilíndrico tem 60cm de

20

altura e sua base tem 1/10 da área da abertura superior do pluviômetro. (Obs.: a figura ao lado não está em escala).

a) Calcule o volume do tubo cilíndrico interno. b) Supondo que, durante uma chuva, o nível da água no cilindro interno subiu 2cm, calcule o volume de água precipitado por essa chuva sobre um terreno retangular com 500m de comprimento por 300m de largura. 104) (UFMG) Um recipiente cúbico, sem tampa, com arestas medindo 12 cm, está apoiado em um plano horizontal e contém água até um nível de h cm. Ao se inclinar esse recipiente sobre uma de suas arestas, de maneira que a face inferior faça um ângulo de 30o com o plano horizontal, são derramados 300 cm3 de água, conforme mostrado nestas figuras.

DETERMINE o valor de h. 105) (Vunesp) Um reservatório de água de uma creche tem a forma de um paralelepípedo retângulo com área da base igual a 2 m2

e altura de 2 m. O reservatório estava completamente vazio e às 0 horas (quando a creche estava fechada) ele começou a encher de água. A altura do nível de água no reservatório ao final de t horas, após começar a

encher, é dada por h(t) = 6t5t com h(t) em metros.

a) Determine a capacidade total de água do reservatório e o volume V(t) de água no reservatório no instante t (em m3). b) Determine entre quais horários da madrugada o volume V(t) do reservatório será maior que 2m3

e menor que sua capacidade total. 106) (PUC-SP) Um tanque de uso industrial tem a forma de um prisma cuja base é um trapézio isósceles. Na figura a seguir, são dadas as dimensões, em metros, do prisma:

O volume desse tanque, em metros cúbicos, é: a) 50 b) 60 c) 80 d) 100 e) 120 107) (Fuvest) Um tanque em forma de paralelepípedo tem por base um retângulo horizontal de lados 0,8 m e 1,2 m. Um indivíduo, ao mergulhar completamente no tanque, faz o nível da água subir 0,075 m. Então, o volume do indivíduo, em m3, é: a) 0.066 b) 0,072 c) 0,096 d) 0,600 e) 1,000 108) (Vunesp) Um tanque para criação de peixes tem a forma da figura

onde ABCDEFGH representa um paralelepípedo retângulo e EFGHIJ um prisma cuja base EHI é um triângulo retângulo

5

3). A superfície interna do tanque será

pintada com um material impermeabilizante líquido. Cada metro quadrado pintado necessita de 2 litros de impermeabilizante, cujo preço é R$ 2,00 o litro. Sabendo-se que AB = 3 m, AE = 6 m e AD = 4 m, determine: a) as medidas de EI e HI; b) a área da superfície a ser pintada e quanto será gasto, em reais. 109) (PUCCamp) Um tanque tem a forma de um prisma reto de base quadrada e está totalmente cheio d'água. Se a aresta de sua base mede 2m e a altura mede 0,9 m, quantos litros d'água devem ser retirados do seu interior

21

para que o líquido restante ocupe os 2/3 de sua capacidade? a) 12000 b) 2400 c) 1200 d) 240 e) 120 110) (Unicamp) Uma caixa d’água cúbica, de volume máximo, deve ser colocada entre o telhado e a laje de uma casa, conforme mostra a figura ao lado.

Dados: AB = 6m, AC= 1,5m, CD= 4m. a) Qual deve ser o comprimento de uma aresta da caixa? b) Supondo que a altura máxima da água na caixa é de 85% da altura da caixa, quantos litros de água podem ser armazenados na caixa? 111) (Fuvest) Uma caixa d’água tem forma cúbica com 1 metro de aresta. De quanto baixa o nível d’água ao retirarmos 1 litro de água da caixa? 112) (UEL) Uma caixa é totalmente preenchida por cinqüenta cubos idênticos. Quantos cubos iguais a esses podem ser colocados em uma caixa cujas dimensões internas têm, respectivamente, o dobro das dimensões da caixa anterior? a) 100 b) 150 c) 200 d) 400 e) 500 113) (ENEM) Uma editora pretende despachar um lote de livros, agrupados em 100 pacotes de 20 cm x 20 cm x 30 cm. A transportadora acondicionará esses pacotes em caixas com formato de bloco retangular de 40 cm x 40 cm x 60 cm. A quantidade mínima necessária de caixas para esse envio é: a) 9 b) 11 c) 13 d) 15 e) 17

114) (Mack) Uma piscina com 5 m de comprimento, 3 m de largura e 2 m de profundidade tem a forma de um paralelepípedo retângulo. Se o nível da água está 20 cm abaixo da borda, o volume de água existente na piscina é igual a: a) 27000 cm3 b) 27000 m3 c) 27000 litros d) 3000 litros e) 30 m3 115) (FGV) Uma piscina com o formato de um paralelepípedo retângulo tem dimensões, em metros, iguais a 20 por 8 por h, em que h é a profundidade. Quando ela está cheia de água até 80% de sua capacidade, o volume de água é 256m3. Podemos concluir que a medida em metros de h é: a) Um número racional não inteiro. b) Um número inteiro. c) Um número menor que 1,8. d) Um número maior que 2,2. e) Um número irracional. 116) (Vunesp) Uma piscina de forma retangular tem 8m de largura, 15m de comprimento, 0,9m de profundidade num de seus extremos e 2,7m de profundidade no outro extremo, sendo seu fundo um plano inclinado. Calcule o volume da água da piscina quando a altura do nível da água é de 0,6m na extremidade mais funda. 117) (UFC) Uma piscina na forma de um paralelepípedo retângulo de 9 m de comprimento, 4 m de largura e 2 m de altura está sendo abastecida de água à razão constante de 50 litros por minuto. O tempo necessário, em horas, para encher esta piscina, sem desperdício de água, é: a) 26 b) 24 c) 22 d) 20 e) 18

22

Gabarito 1) Alternativa: E 2) Alternativa: B 3) Alternativa: A 4) Alternativa: E 5) Alternativa: C 6) a) 131,88cm2 b) 113,04cm3 7) c) A água evaporada tem a forma de um paralelepípedo de 20x30xh onde h é a altura de água evaporada. Assim,

Sobrou então 10 – 3 = 7m de água. 8) Alternativa: E 9) Alternativa: C 10) C = 8cm. (note que, no cubo montado, os pontos A e B ficam em faces adjacentes...) 11) Alternativa: D 12) a) 50cm b) R$ 8,40 13) Alternativa: E

14) a ) 375. 3 cm3

b ) 50 3 cm3 15) Alternativa: E 16) Alternativa: A 17) Alternativa: B 18) Alternativa: D 19) Alternativa: C

20) a) 3 30 b) 8k4 - 8k2 + 1

21) Alternativa: C 22) a) 80 cm b) 512 L 23) Alternativa: A 24) a) Volume de S1 = Volume de S2 = 3 b) Volume da intersecção de S1 e S2 - 1 m3

25) Alternativa: C 26) Isso nos dá que 2[n(n - 2) + n(n + 2) + (n - 2)(n + 2)] = 142, isso nos dá que 3n2 - que convém é n = 5. Assim o volume será 3 x 5 x 7 = 105cm3. 27) Alternativa: A 28) a) 8cm b) V = 1000 cm3 29) Alternativa: C

30) A maior distância é:.3)3()3()3( 222

31) a) n = 8 b) n = 4 32) Resposta: 57 33) F – V – V – F – V 2+4+16 = 22 34) Alternativa: A 35) Alternativa: A 36) Alternativa: C 37) Resposta:

a) 8 89 cm2

b) 8 65 cm2

c) 3

8

cm 38) Alternativa: A 39) a) as arestas da base medem 2cm cada e as arestas laterais medem 5cm cada.

23

b) 30 3 cm3 40) Alternativa: D 41) V/31 = 40 42) Alternativa: D 43) Resp: 19

Resolução: Sejam cba as medidas do paralelepípedo. Temos então que a, b e c são inteiros positivos e

216abc .

Como 6 aaaacba e ,216|a temos

.6ou 4 ,3 2, ,1 aaaaa

Se ,1a temos .216 cb As possibilidades neste caso

são ;108 e 2 ;216 e 1 cbcb

.18 e 12 ;24 e 9 ;27 e 8;36 e 6 ;54 e 4 ;72 e 3 cbcbcbcbcbcb

Se ,2a temos ,108 cb com .2b Temos então as

possibilidades ;36 e 3;54 e 2 cbcb

.12 e 9 ;18 e 6 ;27 e 4 cbcbcb

Se ,3a temos ,72 cb com .3b Temos então as

possibilidades ;18 e 4;24 e 3 cbcb

.9 e 8 ;12 e 6 cbcb

Se ,3a temos ,72 cb com .3b Temos então as

possibilidades ;18 e 4;24 e 3 cbcb .9 e 8 ;12 e 6 cbcb

Se ,4a temos .4 com ,54 bcb Neste caso,

temos uma só solução, que é .9 e 6 cb

Se ,6a a única solução é .6 cb Temos, assim, 19 maneiras de construirmos o paralelepípedo. Observação: pode-se verificar que o número de soluções

de r, b.c com cb naturais, é

,

2

nd

onde

xdenota o menor número inteiro maior ou igual

a ndx e é o número de divisores de n. Assim,

216 cb tem

8

2

216

d

soluções; 108 cb com

2b tem

51

2

108

d

soluções (descontamos aqui

a solução 108 e 1 c b ); 72 cb com 3b tem

42

2

72

d

soluções (eliminamos

36 e 2 e 72 e 5 cbcb ); 54 cb com

4b tem

13

2

54

d

solução (eliminamos

b, bb 3 e 21 ) e 36 cb com 6b tem

14

2

36

d

solução (elimina-se b = 1, 2 ,3 ou 4). 44) Alternativa: C 45) Alternativa: C 46) O cubo deve ser dividido em 1000 cubinhos, ou seja 10

10 10, depois, deve-se pegar um deles e dividí-lo novamente em 1000 cubinhos para que obtenhamos 1999 cubinhos. Assim teremos 1000 – 1 (que será dividido) + 1000 = 1999 cubinhos. 47) Alternativa: D 48) Alternativa: B 49) Alternativa: C 50) Alternativa: D 51) Alternativa: D 52) Resposta: 1,51m 53) Alternativa: C Sejam x/q, x e xq as 3 arestas. Assim, o volume é x/q.x.xq =

x3 = 8

27

2

3 . Como x é a aresta intermediária entre a

maior e a menor, ela é a média geométrica dessas duas.

Então, (2

3 )2

8

9

54) a) 36m3 b) 9,23 55) V - F - F - V - 25 56) Respostas Esperadas • (CONVEST/UNICAMP) a) Seja xA o número de peixes da espécie A e xB o número de peixes da espécie B postos nos tanques-rede. Como o número total de peixes é igual a 600, tem-se xA + xB = 600. Conhecendo os hábitos alimentícios dos peixes, tem-se também a equação 1,5xA + 1xB = 800. Obtemos, assim, um sistema linear. Subtraindo a primeira equação da segunda, chegamos a 0,5xA = 200. Assim, xA = 400, o que implica xB = 600 - xA = 600 - 400 = 200.

24

Resposta: o grupo continha 400 peixes da espécie A e 200 peixes da espécie B. b) Para comportar 7200 peixes, o tanque deve ter um volume igual a 7200/400 = 18 m3. Sejam L, C e A, respectivamente, a largura, o comprimento e a altura do tanque-rede. Com base nos dados do problema, concluímos que o volume do tanque é V = L.C.A = 2L2. Assim, temos 2L2 = 18, ou L2 = 9, ou ainda L = 3m. Desta forma, L = C = 3 m. Resposta: o tanque deve ter largura e comprimento iguais a 3 m e altura igual a 2 m. 57) Alternativa: B 58) V = 64 cm3

59) V – V – F – F – V – V 60) Alternativa: D

61) V = 60

62) Alternativa: C

63) Alternativa: C

64) Alternativa: A 65) Alternativa: A 66) Alternativa: E 67) a) x = 0,75 cm b) x = 1 cm 68) Alternativa: E 69) Alternativa: D 70) Alternativa: A 71) Alternativa: C 72) Alternativa: D 73) Alternativa: C 74) Alternativa: A 75) Alternativa: C 76) Alternativa: D

77) PQ = 2 38

78) Alternativa: C 79) a)

m 7,12

4,3BM

m 5,12

3M'B

h'BB

h2 + 1,52 = 1,72 m

b)

volume = V = V(prisma) + V(pirâmide)

h3

32AB

2

h3V

h24

2

h3V

8hV

80) Alternativa: A 81) Alternativa: D 82) Alternativa: D

83) a) (0,1) 2kmm

b) 37,125mm; 26,25mm e 6,4mm. 84) Alternativa: D 85) Alternativa: D 86) Alternativa: D (cada base tem n vértices, além de n laterais com 2 diagonais cada) 87) Alternativa: B

25

88) R: 1850 azulejos 89) Alternativa: A 90) Alternativa: A 91) Alternativa: E 92) Alternativa: B 93) 25 cubos 94) Alternativa: A 95) Alternativa: A (com ressalvas) Nota do Editor: A alternativa A é a menos pior. Entretanto, há muitas controvérsias. Nota-se pela imagem que há um 3º sólido sendo interceptado pelo plano, com uma face unida com parte da face do prisma IV, e que portanto transformaria a intersecção pedida em um triângulo e um quadrilátero (provavelmente um losango). Teríamos 2 triângulos apenas se a intersecção pedida fosse do plano com os prismas II e IV. E ainda assim, Como saber se os lados dos triângulos da intersecção são realmente paralelos? 96) Alternativa: A 97) 22,5 cm 98) Alternativa: A 99) 2 portanto custo de R$ 4820,00 2 portanto custo de R$ 5000,00

b) Custo = 400 + 2x + x

800

100) h = 21cm 101) Alternativa: C 102) a) 512 cubos b) 96/1000 = 0,096 = 9,6%

103) a) 600cm3 b) 300m3

104) h = 12

324169

105) a) V = 4m3 e V(t) = 6t10t

b) entre 1h30min e 4 horas da manhã 106) Alternativa: D 107) Alternativa: B 108) a) EI = 5m e HI = 4m b) A = 104 m2 e o custo será de R$ 416 109) Alternativa: C 110) a) 1,2m = 12dm b) 0,85.123 = 1468,8 L 111) baixa 0,001 metro. 112) Alternativa: D 113) Alternativa: C Em cada pacote cabem 8 pacotes, de forma que precisaríamos de uma quantidade maior que 12,5 caixas. 114) Alternativa: C 5x3x1,80 = 27 m3 = 27000 litros 115) Alternativa: B 116) 12 m3 117) Alternativa: B