Geometria Analítica retas equações e inclinações...

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Geometria Analítica – retas – equações e inclinações, distância entre dois pontos, área de triângulo e

alinhamento de 3 pontos.

1. (Ufpr 2014) A figura abaixo apresenta o gráfico da reta r: 2y – x + 2 = 0 no plano cartesiano.

As coordenadas cartesianas do ponto P, indicado nessa figura, são: a) (3,6). b) (4,3). c) (8,3). d) (6,3). e) (3,8). 2. (Uerj 2014)

No gráfico acima, estão indicados os pontos A(1,0), B(2,1) e C(0,1), que são fixos, e os pontos P e Q, que se movem simultaneamente. O ponto P se desloca no segmento de reta de C até A, enquanto o ponto Q se desloca no segmento de A até B. Nesses deslocamentos, a cada instante, a abscissa de P é igual à ordenada de Q. Determine a medida da maior área que o triângulo PAQ pode assumir.


3. (Insper 2014) A figura mostra um tabuleiro de um jogo Batalha Naval, em que André

representou três navios nas posições dadas pelas coordenadas B2, B14 e M3. Cada navio está identificado por um quadrado sombreado.

André deseja instalar uma base em um quadrado do tabuleiro cujo centro fique equidistante dos centros dos três quadrados onde foram posicionados os navios. Para isso, a base deverá estar localizada no quadrado de coordenadas a) G8. b) G9. c) H8. d) H9. e) H10. 4. (Insper 2014) No plano cartesiano da figura, feito fora de escala, o eixo x representa uma

estrada já existente, os pontos A(8, 2) e B(3, 6) representam duas cidades e a reta r, de inclinação 45°, representa uma estrada que será construída.

Para que as distâncias da cidade A e da cidade B até a nova estrada sejam iguais, o ponto C, onde a nova estrada intercepta a existente, deverá ter coordenadas

a) 1

, 0 .2

b) 1, 0 .

c) 3

, 0 .2

d) 2, 0 .

e) 5

, 0 .2


5. (Insper 2014) Considere, no plano cartesiano, o triângulo retângulo determinado pelos eixos

coordenados e pela reta de equação 12x + 5y = 60. A medida do raio da circunferência inscrita nesse triângulo é igual a a) 1. b) 2. c) 3. d) 4. e) 5. 6. (Unicamp 2014) No plano cartesiano, a reta de equação 2x 3y 12 intercepta os eixos

coordenados nos pontos A e B. O ponto médio do segmento AB tem coordenadas

a) 4

4, .3

b) (3, 2)

c) 4

4, .3

d) (3, 2).

7. (Fuvest 2014) Considere o triângulo ABC no plano cartesiano com vértices

A (0, 0), B (3, 4) e C (8, 0). O retângulo MNPQ tem os vértices M e N sobre o eixo das

abscissas, o vértice Q sobre o lado AB e o vértice P sobre o lado BC. Dentre todos os

retângulos construídos desse modo, o que tem área máxima é aquele em que o ponto P é

a) 16

4,5

b) 17

,34

c) 12

5,5

d) 11

,22

e) 8

6,5

8. (Pucrj 2013) Se os pontos A = (–1, 0), B = (1, 0) e C = (x, y) são vértices de um triângulo

equilátero, então a distância entre A e C é a) 1 b) 2 c) 4

d) 2

e) 3


9. (Ufrgs 2013) Considere os gráficos das funções f e g, definidas por 2f x x x 2 e

g x 6 x, representadas no mesmo sistema de coordenadas cartesianas, e os pontos A e

B, interseção dos gráficos das funções f e g, como na figura abaixo.

A distância entre os pontos A e B é

a) 2 2.

b) 3 2.

c) 4 2.

d) 5 2.

e) 6 2. 10. (Uepb 2013) A reta de equação (m 3)(x 2)m y m 4 0, com m constante real,

passa pelo ponto P(2,0). Então, seu coeficiente angular é:

a) 4 b) –4

c) 1

4

d) 1

–4

e) 2

11. (Mackenzie 2013) As raízes reais da equação 4x 1 0, dispostas em ordem crescente,

formam, respectivamente, os coeficientes a e b da reta r : ax by 1 0. A equação da reta s,

perpendicular à r e que passa pelo ponto P(1,2), será a) x y 3 0

b) x y 1 0

c) x y 3 0

d) 2x y 1 0

e) 2x y 3 0

12. (Uem 2013) Sobre a reta r de equação 3x 2y 5 0, assinale o que for correto.

01) O ponto 2, 5 pertence a r.

02) Se (x, y) pertence a r, então x e y não podem ser ambos racionais. 04) O menor ângulo que a reta r faz com o eixo das abscissas é superior a 45°.

08) A reta de equação 6x 3y 3 5 0 é paralela à reta r.

16) A reta r intercepta o eixo das ordenadas no ponto 5

0, .2


13. (Espm 2013) Seja A = (4, 2) um ponto do plano cartesiano e sejam B e C os simétricos de

A em relação aos eixos coordenados. A equação da reta que passa por A e é perpendicular à reta que passa por B e C é: a) 2x – y = 6 b) x – 2y = 0 c) x − y = 2 d) x + 2y = 8 e) x + y = 6 14. (G1 - cftrj 2012) No plano cartesiano abaixo, a reta r passa pela origem e forma um ângulo

θ com o eixo x. Escolhendo um ponto P (a, b) qualquer da reta r, e considerando 40 ,θ

podemos afirmar que:

a) Se P pertence ao 1º quadrante, então a = b. b) Se P pertence ao 3º quadrante, então a < b. c) a = b independente de qual quadrante estiver P. d) Se P pertence ao 3º quadrante, então a > b. 15. (Fgv 2012) Em um paralelogramo, as coordenadas de três vértices consecutivos são,

respectivamente, (1, 4), (–2, 6) e (0, 8). A soma das coordenadas do quarto vértice é: a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12 16. (Unioeste 2012) Dado o ponto A(–2, 4), determine as coordenadas de dois pontos P e Q,

situados, respectivamente, sobre as retas y 3x e y –x, de tal modo que A seja o ponto

médio do segmento PQ. a) P(1,3) e Q(–5,5). b) P(2,6) e Q(4,–4). c) P(0,0) e Q(–5,5). d) P(1,3) e Q(4,–4). e) P(2,6) e Q(0,0). 17. (Ufrgs 2012) Os pontos A(1, 2), B(6, 2) e C são os vértices de um triângulo equilátero, sendo o segmento AB a base deste. O seno do ângulo formado pela o eixo das abscissas e a reta suporte do lado BC no sentido anti-horário é

a) 1

.2

b) 3

.2

c) 1

.2

d) 2

.2

e) 3

.2

18. (Fgv 2012) No plano cartesiano, M(3, 3), N(7, 3) e P(4, 0) são os pontos médios

respectivamente dos lados AB , BC , e AC de um triângulo ABC. A abscissa do vértice C é:

a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 0


19. (Ita 2012) Sejam A = (0, 0), B = (0, 6) e C = (4, 3) vértices de um triângulo. A distância do

baricentro deste triângulo ao vértice A, em unidades de distância, é igual a

a) 5

3

b) 97

3

c) 109

3

d) 5

3

e) 10

3

20. (Enem 2011) Um bairro de uma cidade foi planejado em uma região plana, com ruas

paralelas e perpendiculares, delimitando quadras de mesmo tamanho. No plano de coordenadas cartesianas seguinte, esse bairro localiza-se no segundo quadrante, e as distâncias nos eixos são dadas em quilômetros.

A reta de equação y x 4 representa o planejamento do percurso da linha do metrô

subterrâneo que atravessará o bairro e outras regiões da cidade. No ponto P ( 5,5) , localiza-

se um hospital público. A comunidade solicitou ao comitê de planejamento que fosse prevista uma estação do metrô de modo que sua distância ao hospital, medida em linha reta, não fosse maior que 5 km. Atendendo ao pedido da comunidade, o comitê argumentou corretamente que isso seja automaticamente satisfeito, pois já estava prevista a construção de uma estação no ponto a) ( 5,0) .

b) ( 3,1) .

c) ( 2,1) .

d) (0,4) .

e) (2,6) .


Gabarito: Resposta da questão 1: [C] O ponto P possui coordenadas (x, 3), logo:

2 3 x 2 0 x 8 P 8,3 .

Resposta da questão 2:

Equação da reta AC: y = -x + 1 Equação da reta AQ: y = x – 1 P(a, a-1) e Q(a+1, a) Cálculo da área do triângulo APQ:

2

1 0 11

A a 1 a 1 a a2

a 1 a 1

Como 0 < a < 1, temos:

2A a a

Valor da Área máxima: máx1 1

A .4 a 4 ( 1) 4

Δ

Resposta da questão 3: [A] Adotando, convenientemente, um sistema de coordenadas cartesianas, com origem no vértice

inferior esquerdo do quadrado O1, tem-se B2 (1,5;13,5), B14 (13,5;13,5) e M3 (2,5; 2,5).

Queremos determinar o circuncentro do triângulo B2B14M3.

A mediatriz do segmento B2B14 é a reta

1,5 13,5x x 7,5.

2

A reta B2M3 tem coeficiente angular igual a 13,5 2,5

11.1,5 2,5

O ponto médio do segmento B2M3 é

2,5 1,5 2,5 13,5, (2, 8).

2 2

Logo, a equação da mediatriz do segmento B2M3 é dada por

1 1 86y 8 (x 2) y x .

11 11 11

Daí, a ordenada do circuncentro é


1 86 93,5y 7,5 8,5.

11 11 11

Portanto, como o ponto (7,5; 8,5) corresponde ao centro do quadrado G8, segue-se o

resultado. Resposta da questão 4:

[C]

Seja M o ponto médio do segmento de reta AB.

Se A, r B, rd d d, então M pertence à reta r. Logo,

8 3 2 6 11M , , 4

2 2 2

e, portanto, a equação de r é

11 3y 4 tg45 x y x .

2 2

Em consequência, tomando y 0, segue-se que 3

C , 0 .2


[B]

Fazendo y 0 na equação 12x 5y 60, obtemos o ponto A (5, 0), que é o ponto de

interseção da reta com o eixo das abscissas. Tomando x 0, encontramos o ponto B (0,12),

que é o ponto de interseção da reta com o eixo das ordenadas.

Desse modo, sendo O a origem do sistema de eixos cartesianos, queremos calcular o raio r

da circunferência inscrita no triângulo AOB.

Pelo Teorema de Pitágoras, encontramos AB 13. Logo, temos

OA OB OA OB ABr 5 12 (5 12 13) r

2 2

r 2.



[D]

A equação segmentária da reta AB é

x y2x 3y 12 1.

6 4

Desse modo, como A (6, 0) e B (0, 4), segue-se que o ponto médio do segmento AB

tem coordenadas

6 0 0 ( 4), (3, 2).

2 2


[D] Considere a figura.

A equação da reta AB é dada por

B

B

y 4y x y x.

x 3

Logo, tem-se 3y

Q , y4

e 3y

M ,, 04

com 0 y 4.

Além disso, a equação da reta BC é

B CC C

B C

y y 4 0y y (x x ) y 0 (x 8)

x x 3 8

4 32y x .

5 5

Daí, 32 5y

P , y4

e 32 5y

N , 0 ,4

com 0 y 4.

A área do retângulo MNPQ é dada por


2

2

2

(MNPQ) MN PN

32 5y 3y(y 0)

4 4

2y 8y

2 [(y 2) 4)]

8 2 (y 2) .

Portanto, o retângulo MNPQ tem área máxima quando y 2, ou seja, quando 11

P , 2 .2

Resposta da questão 8: [B] Como o triângulo ABC é equilátero, segue que

2 2AC AB ( 1 1) (0 0) 2.


[E]

As abscissas dos pontos A e B são tais que

2

2

A B

f(x) g(x) x x 2 6 x

x 2x 8 0

(x 2) (x 4) 0

x 4 e x 2.

Logo, Ay 6 ( 4) 10 e By 6 2 4.

Portanto, a distância entre A e B é igual a

2 2( 4 2) (10 4) 6 2.

Resposta da questão 10: [B]

Se a reta passa pelo ponto P, então

(2 2) m (m 3) 0 m 4 0 m 4.

Logo, a equação explícita da reta é

(x 2) 4 (4 3) y 4 4 0 y 4x 8

e, portanto, seu coeficiente angular é 4.



[C] As raízes reais da equação x

4 – 1 = 0 são -1 e 1. Logo, a = – 1 e b = 1 e a equação da reta r

será:

– x + y + 1 = 0 y = x – 1, onde mr = 1. Como a reta s, que passa por P(1,2) é perpendicular à reta r, temos ma = – 1 e sua equação será dada por:

y – 2 = – 1(x – 1) x + y – 3 = 0. Resposta da questão 12: 02 + 04 + 16 = 22.

[01] Falsa, pois 3 2 2 5 5 0.

[02] Verdadeira, pois a soma de 3x – 2y dever ser 5.

[04] Verdadeira, pois a tangente desse ângulo é 3

1,( 2)

portanto, este ângulo é maior que

45°. [08] Falsa, pois seus coeficientes angulares são distintos.

[16] Verdadeira, substituindo zero em x temos 5

y .2


[A]

Temos B (4, 2) e C ( 4, 2). Logo, o coeficiente angular da reta que passa por B e C é

2 ( 2) 1.

4 4 2

A reta cuja equação queremos determinar passa por A e é perpendicular à reta que passa por

B e C. Logo, sua equação é

y 2 2 (x 4) 2x y 6.



[B]

Se P pertencer ao primeiro quadrante:

Como tg40 0 e b

tg40 ,a

temos b < a.

Se P pertencer ao terceiro quadrante:

Como tg40 0 e b

tg40 ,a

temos a < b, pois a e b são negativos.

Se P pertence ao 3º quadrante, então a < b. Resposta da questão 15:

[B]

M é o ponto médio das diagonais do paralelogramo da figura. Na diagonal AC, temos:

M

M

1 0 1x

2 2

4 8 12y 6

2 2

Logo, M(1/2, 6)


Na diagonal BD, temos:

DD

DD

x 2 1x 3

2 2

y 66 y 6

2

Logo, temos D(3, 6) e 3 + 6 = 9. Resposta da questão 16: [A] O ponto P pertence à reta y =3x, logo P(a, 3.a). O ponto Q pertence à reta y = –x, portanto Q(b, –b). Sabendo que A é ponto médio de PQ, temos:

a b2 a b 4

2

3a b4 3a b 8

2

Resolvendo um sistema com as equações acima, encontramos a = 1 e b = –5. Portanto, P(1,3) e Q(–5,5). Resposta da questão 17:

[E]

3sen60 .

2



[C]

D é ponto médio de PN, logo:

D7 4 11

x .2 2

D é ponto médio de CM, logo:

CC

x 3 11x 8.

2 2

Resposta da questão 19: [B]

Determinando o ponto G (baricentro do triângulo ABC), temos:

G0 4 0 4

x3 3

G0 3 6

y 33

Logo, 4

G ,33


Calculando a distância do ponto G ao ponto A.

224 16 97

d 0 3 93 9 3

Resposta da questão 20: [B] Os únicos pontos das opções das respostas que pertencem à reta são B (-3,1), D (0,4) e E (2,6); Calculando agora a distância de P a cada um deles, temos:

22

P,Bd ( 5 ( 3)) 5 1 20 5

22

P,Dd ( 5 0)) 5 4 26 5

22

P,Ed ( 5 2)) 5 6 50 5

Logo, o ponto (-3,1) atende às condições do problema.

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