Geometria analitica

MATEMÁTICA PROFESSOR CARLOS CLEY

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EXERCÍCIOS PROPOSTOS

DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS, PONTO MÉDIO, ÁREA DE UM POLÍGONO, TEORIA ANGULAR, ESTUDO DA RETA E INTERSEÇÃO ENTRE CURVAS. 01. (UNEB) Se um triângulo tem vértices nos pontos A = (1, –3), B = (–2, 0) e C = (9, 5), então o triângulo é 01) acutângulo e tem área igual a 12 u.a. 02) retângulo e tem área igual a 24 u.a. 03) obtusângulo e tem área igual a 48 u.a. 04) retângulo e tem área igual a 48 u.a. 05) obtusângulo e tem área igual a 24 u.a.

02. (UFPE) Os pontos P1 = (1, t); P2 = (1/2, 1/2) e P3 = (0, -2) são colineares se t for igual a

A) 1/2 D) 3 B) 2 E) 3/2 C) 5/2 03. (UFPE) Considere um triângulo cujos vértices são os pontos A(0, 0), B(2, 2) e C(2, –2). Se ax + by = c é a equação da reta que contém a altura deste triângulo relativa ao lado AB,

determine a

5b.

04. (UPE) Se (r) é a mediatriz do segmento que liga os pontos de interseção dos gráficos das funções y = x² e y = 3x - 2, podemos afirmar que (r) tem por equação:

A) x + 3y – 9 = 0 D) x + 3y + 9 = 0

B) x + 3y – 12 = 0 E) x + 3y + 12 = 0 C) x + 3y – 6 = 0 05. (UFPB) Determine o menor ângulo, em graus, entre as retas de equações 2x + 2y – 3 = 0 e x – 4 = 0. A) 30º D) 75º B) 45º E) 90º C) 60º

06. (UFPE) A equação cartesiana da reta que passa pelo ponto (1, 1) e faz com o semi-eixo

positivo r0x um ângulo de 60° é:

A) 1-2=y-x2 D) 2

3-1=y+x

2

3

B) 3-1=y+x3 E) 1-2

3=y-x

2

3

C) 1-3=y-x3

07. (UPE) O triângulo OAB tem área igual a 10 unidades de área. O vértice O é a origem do sistema de coordenadas cartesianas. Os vértices A e B pertencem à reta de equação y = – x + 2 e B tem ordenada 1. Sabendo que o vértice A (x ; y) tem abscissa positiva, pode-se afirmar que (x + y) é igual a: A) 0; D) -3; B) -2; E) 2. C) 3; 08. (UFBA) A, B e C são os pontos de interseção

da circunferência 4=y +x 22 , respectivamente,

como o semi-eixo positivo das abscissas, o semi-eixo positivo das ordenadas e a reta y = x. Se C pertence ao 3º quadrante e m é a medida, em u.a.,

da área do triângulo ABC, calcule -1)2+m(1

09. (CEFET-SP/07) A reta (r) e os eixos cartesianos determinam, no primeiro quadrante, um triângulo de área 2k. Se (r) é perpendicular à reta de equação y = x, então, sua equação é A) k2xy +−= D) k2xy +=

B) k2xy +−= E) k2xy −=

C) kxy +−=

10. (MACK/08) Os gráficos de y = x + 2 e x + y = 6 definem, com os eixos, no primeiro quadrante, um quadrilátero de área

A) 12 D) 8 B) 16 E) 14 C) 10 11. (PUC-RS/07) Os pontos A ( – 1, y1) e B (2, y2) pertencem ao gráfico da parábola dada por y = x2. A equação da reta que passa por A e B é A) x – y + 2 = 0 D) 3x – y – 4 = 0 B) x – y – 2 = 0 E) 3x + y – 10 = 0 C) 3x – y + 4 = 0


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12. (PUC-SP/07) Considere o quadrilátero que se obtém unindo quatro das intersecções das retas de equações x = 0, y = 0, y = 6 e 3x – y – 6 = 0 e suponha que uma xícara tem o formato do sólido gerado pela rotação desse quadrilátero em torno do eixo das ordenadas. Assim sendo, qual o volume do café na xícara no nível da metade de sua altura? A) 31π D) 21π B) 29π E) 19π C) 24π 13. (UFMG/08) Seja P = (a,b) um ponto no plano cartesiano tal que 0 < a < 1 e 0 < b < 1. As retas paralelas aos eixos coordenados que passam por P dividem o quadrado de vértices (0,0), (2,0), (0,2) e (2,2) nas regiões I, II, III e IV, como mostrado nesta figura:

Considere o ponto ab),ba(Q 22 += . Então, é

CORRETO afirmar que o ponto Q está na região A) I. D) IV. B) II. C) III. 14. (UFRN/08) Um triângulo ABC possui vértices A = (2, 3), B = (5, 3) e C = (2, 6). A equação da reta

bissetriz do ângulo Â é: A) y = 3x + 1 B) y = 2x C) y = x – 3 D) y = x + 1 15. (UPE/08) As retas perpendiculares à reta de equação 3x + 4y – 9 = 0, que distam 4 unidades da origem, são: A) 4x – 3y = 5 e 4x – 3y = – 5 B) 4x – 3y = 20 e 4x – 3y = – 20 C) 4x – 3y = 4 e 4x – 3y = – 4 D) 3x + 4y = 10 e 3x + 4y = –10 E) 4x – 3y = 10 e 4x – 3y = – 10

16. (UPE/09) Na figura abaixo, R é a região limitada pelas inequações 5x + y ≤ 5, x ≥ 0 e y ≥ 0, e as medidas x e y são medidas em unidades de comprimento. Então o volume do sólido gerado pela rotação da região em torno do eixo dos y é igual a A) 3π u.v B) 4/3π u.v C) 5/3 π u.v D) 2/3 π u.v E) 1/3π u.v 17. (UPE/04) No sistema cartesiano de eixos, a distância do ponto (5; 3) à reta que passa pelos pontos de coordenadas (0, 4 ) e (3, 0), é igual a

A) 5

23 D)

5

11

B) 5

17 E)

5

9

C) 5

13

18. (UNIVASF/08.2) Qual a área do triângulo com vértices nos pontos com coordenadas (0,0), (1,5) e (2,3)? A) 3,1 D) 3,4 B) 3,2 E) 3,5 C) 3,3 19. (UPE/09) Sejam A, B e C pontos de intersecção da circunferência x2 + y2 = 4x com as retas de equação y = x e y = - x. Então, a área do triângulo de vértices A , B e C, em u.a (unidades de área), vale A) 6 u.a D) 10 u.a

B) 8 u.a E) 22 u.a C) 4 u.a 20. (UFPE/06) O conjunto solução do sistema

=−

≤+

02xy

5yx 22

consiste: A) dos pontos (1,2) e (-1,-2). B) do segmento com extremos nos pontos (1,2) e (-1,-2). C) dos pontos (1,-2) e (1,2). D) do segmento com extremos nos pontos (0,0) e (1,2). E) dos pontos (0,0), (1,2) e (-1,-2).


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21. (UNIVASF/08) Calcule a distância d entre os pontos de interseção das circunferências com equações. x2 + y2 – 2x – 2y +1 = 0 e x2 + y2 – 4x – 2y + 4 = 0. Indique 4d2. 22. (UEFS/08.2) Os amigos J e P combinaram de se encontrar em um restaurante R da cidade. Analisando-se o gráfico, no qual os segmentos JR e PR representam os trajetos feitos por J e P, respectivamente, de suas casas até o ponto de encontro, pode-se concluir que a razão entre as distâncias percorridas por P e J é

A) 2

3

B) 4

5

C) 1

D) 5

4

E) 3

2

23. (UNEB/09) A reta r de equação 6x + 8y– 48 = 0 intersecta os eixos coordenados cartesianos nos pontos P e Q. Desse modo, a distância, em u.c., de P a Q é igual a 01) 7 04) 14 02) 8 05) 18 03) 10 24. (UFBA/09) No plano cartesiano, considere a reta r que passa pelos pontos P(24, 0) e Q(0, 18) e a reta s, perpendicular a r, que passa pelo ponto médio de P e Q. Assim sendo, determine a hipotenusa do triângulo cujos vértices são o ponto Q e os pontos de intersecção da reta s com a reta r e com o eixo Oy. 25. (UFPE) Qual a área da região, no plano cartesiano, determinada pelas seguintes desigualdades: Y ≥ 0, X + Y ≤ 10 e 3X – Y ≥ 6 A) 24 D) 35 B) 30 E) 60 C) 31

26. (UFBA) Considerando-se os pontos A = (1, 2), B = (–1, 4) e C(2, 7) no plano cartesiano, é válido afirmar: (01) Se A, B, C e D são, nessa ordem, vértices consecutivos de um retângulo, então o produto das coordenadas de D é 20. (02) A área do triângulo ABC é 6 u.a. (04) O ponto médio do segmento BD pertence à

reta y = x + 5

21.

(08) A circunferência de centro )2

9,

2

3( e raio

2

26está circunscrita ao retângulo ABCD.

(16) O coeficiente angular da reta AC é positivo. (32) O simétrico do segmento AB, em relação ao eixo Oy, está contido no 2º quadrante.

27. (UFPE) Calcule a soma das coordenadas do pé da perpendicular à reta y = 2x + 36 passando pelo ponto (21, 18). 28. (UFG/08) Para que, na figura apresentada, a área da região sombreada seja o dobro da área da região não sombreada, a equação cartesiana da reta r deve ser:

A) x3

3y =

B) x2

2y =

C) x2

1y =

D) x2

3y =

E) x3

1y =


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ESTUDO DA CIRCUNFERÊNCIA E CÔNICAS

29. (UPE) A equação 0=8+4y-4x-y+x 22

representa, no plano cartesiano ortogonal, A) uma circunferência de raio 2 e centro no ponto (2; 2). B) uma parábola. C) uma elipse. D) um ponto no plano. E) uma reta. 30. (FACAPE/08.2) Considere a circunferência cujo diâmetro é o segmento de reta com extremos em A(0; 6) e B(10; 2). O comprimento da corda determinada pela interseção do eixo y com a circunferência é: A) 5 D) 3,75 B) 4,5 E) 3 C) 4 31. (MACK/08) Com relação à reta que passa pela

origem e é tangente à curva ( ) ( ) 524y3x 22 =−+− ,

considere as afirmações: I. é paralela à reta 3x – 4y = 25. II. é paralela à bissetriz dos quadrantes pares. III. é perpendicular à reta 4x – 3y = 0. Dessa forma, A) somente I está correta. B) somente II está correta. C) somente III está correta. D) somente I e III estão corretas. E) I, II e III estão incorretas. 32. (UNEB/09) Se (m,n) são as coordenadas do

centro da circunferência x2+ 32 x+ y2– 6y + 7 = 0,

então (– 3m + 3 n) é igual a

01) 36 04) 3− 02) 1 05) – 3 03) 0 33. (UESB/06) O maior valor da constante m, para que a reta y = −2x + m seja tangente à circunferência de equação x2 + y2 − 2x − 4y = 0, está entre

01) −6 e −2 04) 6 e 10 02) −2 e 2 05) 10 e 14 03) 2 e 6 34. (UESB/07) A circunferência C, de centro no ponto M(1,–3), é tangente à reta de equação 3x + 4y -26 = 0. Com base nessa informação, é correto afirmar que a medida do raio de C, em u.c., é igual a

01) 7 04) 23

02) 33 05) 3 03) 5 35. (UFPE) Determine o maior valor de r de forma que as circunferências (x – 1)² + (y – 1)² = 1 e (x – 3)² + (y – 3)² = r² tenham um único ponto de interseção. Indique o inteiro mais próximo de 10r. 36. (UFBA) No sistema de coordenadas XOY, tem-se uma circunferência C, de centro no ponto A(1, 1) e tangente à reta s: 4x + 3y + 3 = 0. (01) O raio de C mede 2 u.c.

(02) A equação de C é 4=y +x 22 .

(04) A área do quadrado inscrito em C tem 12 u.a. (08) A reta que passa pelo ponto A e é perpendicular à reta s tem equação 3x – 4y + 1 = 0. (16) Sendo B(x, 1) ponto da região interior a C, então – 1 < x < 3.

37. (UPE/08) Seja C o centro da circunferência de

equação 0y26yx 22 =−+ . Considere A e B os

pontos de interseção dessa circunferência com a

reta de equação x2y = . Nessas condições a

área do triângulo de vértices A, B e C é igual a

A) 26 D) 27

B) 24 E) 34

C) 25


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38. (UNEB) A circunferência circunscrita ao triângulo de vértices A(0, 0), B(6, 0) e C(0, 8) tem

uma equação na forma 0=c+by+ax+y+x 22 .

Nessas condições, a + b + c é igual a 01) –14 04) 6 02) –8 05) 8 03) 2 39. (UFPE) Sendo α a circunferência de equação (x – 3)2 +(y – 2)2 = 4 e r a reta de equação y = 2x–4 ,é incorreto afirmar que: A) r contém um diâmetro de α. B) α é tangente ao eixo dos x no ponto (3,0). C) A área do círculo determinado por α é 4π unidades de área. D) O ponto (2,0) está mais próximo do centro de α que o ponto (5,4). E) Os pontos (1,1) e (4,3) estão no interior de α. 40. (UFPE) Deseja-se preencher a região delimitada por 0 ≤ y ≤ 50x2 , 0,1 ≤ x ≤ 1 utilizando retângulos de base horizontal medindo 0,2, inteiramente contidos na referida região e com altura ≥ 2. Qual a área máxima possível de preencher com tais retângulos sem ponto interior comum? 41. (UFPE) A reta (r) de equação 3 4 17 0x y− + = é

tangente à circunferência ( )1λ de centro no ponto

(1;-10). A reta (r) determina na circunferência

( )2 λ , concêntrica com ( )1λ , uma corda de 18cm

de comprimento. Podemos afirmar que o raio de

( )2 λ mede:

A) 13cm D) 15cm B) 12cm E) 8cm C) 14cm 42. (UFBA/08) Considere os pontos A(−1,2), B(1,4) e C(−2, 5) do plano cartesiano. Sendo D o ponto simétrico de C em relação à reta que passa por A e é perpendicular ao segmento AB, determine a área do quadrilátero ABCD. 43. (UNEB/08) Na circunferência de equação

( ) ( ) 92y1x 22 =−+− , o ponto que tem menor

abscissa pertence à reta r que é paralela à reta x – y – 5 = 0 e que tem como equação 01) y = x + 4 04) y = – x + 2 02) y = x + 2 05) y = – x – 1 03) y = x – 1

44. (UESB/07) Sabe-se que, na figura, OM e MN têm a mesma medida, MN é paralelo ao eixo OY e M (4,3). Nessas condições, pode-se afirmar que uma equação da circunferência que circunscreve o triângulo OPN é 01) (x−2)2 + (y−4)2 = 20 02) (x−2)2 + (y−4)2 = 80 03) (x−4)2 + (y−2)2 = 20 04) (x+2)2 + (y−4)2 = 20 05) (x+4)2 + (y−2)2 = 20 45. (UEFS/07.2) Uma reta de coeficiente angular positivo m passa pelo ponto P(0, 2) e é tangente à circunferência inscrita no quadrado ABCD, representada na figura. É verdade que

A) 4

1m

7

1 2 <<

B) 5

2m

4

1 2 <<

C) 4

3m

5

2 2 <<

D) 4

5m

4

3 2 <<

E) 2

3m

4

5 2 <<

46. (FUVEST/08-2ª FASE) São dados, no plano cartesiano de origem O, a circunferência de

equação 5yx 22 =+ , o ponto )3P(1, e a reta s

que passa por P e é paralela ao eixo y. Seja E o ponto de ordenada positiva em que a reta s intercepta a circunferência. Assim sendo, determine a) a reta tangente à circunferência no ponto E. b) o ponto de encontro das alturas do triângulo OPE. 47. (UNEB/09) A reta 3x + 4y – 6 = 0 determina na circunferência x2 + y2 – 2x – 4y + 1 = 0 uma corda MN de comprimento igual, em u.c., a

01) 6 04) 22

02) 32 05) 3 03) 3


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48. (UNEB) Da intersecção da reta 2

3=y com a

circunferência de raio igual a 1 u.c. e centro em (1, 1), obtém-se uma corda que mede, em unidades de comprimento

01) 3+1 04) 2

02) 32 05) 1

03) 3 49. (UFBA/08) Sendo r a reta no plano cartesiano, representada pela equação 2x + 3y = 5, é correto afirmar: (01) A reta paralela à reta r que passa pelo ponto (−3, 0) pode ser representada pela equação 2x + 3y = − 6 . (02) A reta perpendicular à reta r que passa pela origem pode ser representada pela equação − 3x + 2y = 0 .

(04) Para cada

−∈2

5Rc , existe uma única

circunferência com centro (c, 0) que é tangente à reta r. (08) O triângulo cujos vértices são a origem e os pontos de interseção da reta r com os eixos

coordenados tem área igual a 12

25unidades

de área. (16) A imagem da reta r pela rotação de ângulo

de 60º, em torno do ponto

0 ,

2

5, no sentido

anti-horário, coincide com o eixo das abscissas.

(32) Dado um ponto (a, b) ∉ r, existem infinitas circunferências de centro (a, b) que interceptam r.

50. (UFPE) Considere dois pontos distintos A e B de um plano. O lugar geométrico dos pontos P deste plano tal que a soma das distâncias de P aos pontos A e B é constante, é uma curva denominada: A) circunferência D) elipse B) parábola E) reta C) hipérbole

51. (UPE) A equação da reta que passa pelo ponto (3, 4) e que é tangente à circunferência x2 + y2 – 2x – 4y – 3 = 0 é ax + by + c = 0. Podemos afirmar que |a + b + c| pode ser igual a: A) 2. D) 7. B) 4. E) 8. C) 5. 52. (UFPE) Assinale a soma das coordenadas do ponto da parábola y = 2x2 mais próximo da reta y = 4x - 20. 53. (UPE) Assinale I para verdadeiro e II para falso: I II 0 0 A excentricidade da curva

400=4)-25(y+2) -16(x 22 é 3

5.

1 1 Os focos da hipérbole

1=16

2)-(y-

9

1)-(x 22

são (2, 6) e (2, –6).

2 2 O centro da elipse de focos F1(16, –2) e F2(–8, –2) é (4, –2). 3 3 A distância focal da curva

52 é 0=4+36y-8x-9y+4x 22 .

4 4 O centro da curva 0=4-2y-4x-y+x 22

é (2, 1). 54. (UPE) Assinale I para verdadeiro e II para falso: I II 0 0 Se o segmento de reta AB, onde A(2; 1) e B(5; 3) é o diâmetro de uma circunferência, então o centro da circunferência é ( )4 7, .

1 1 A circunferência de equação

0=9+6y-4x-y+x 22 tem como centro

(2; 3).

2 2 A elipse de equação 1=9

y+

4

x 22

tem

excentricidade igual a 9

5.

3 3 Pelo ponto (2; 3) podemos traçar duas

tangentes à curva 15=y+x 22 .

4 4 A área da elipse 1=9

y+

4

x 22

é 6π unidades

de área.


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55. (UPE) As retas x = a e x = b são tangentes à circunferência x2 + y2 + 8x + 6x = 0. Podemos afirmar que a + b é igual a: A) 7; D) 10; B) 8; E) 6. C) 9; 56. (UFPB) Na figura abaixo, estão representadas

a circunferência 9=y+x 22 e uma reta r. A

equação da reta r é A) 3x – y + 3 = 0 B) x + y – 3 = 0 C) 2x + y – 2 = 0 D) x + 2y – 3 = 0 E) x + 2y – 4 = 0 57. (UEFS) Sejam a circunferência de centro (–1; 3) e raio 3, um ponto P1 dessa circunferência e o ponto P(2, –1). Se d é a distância de P a P1, então P é um ponto A) exterior à circunferência e d ≤ 3. B) exterior à circunferência e d ≥ 2. C) da circunferência. D) interior à circunferência e d ≥ 2. E) interior à circunferência e d < 2. 58. (UPE) Assinale I para verdadeiro e II para falso: Dada a curva de equação

0=11-18y-16x-9y+4x 22 , conclui-se que

I II 0 0 A área da região do plano limitada pela curva é numericamente igual a 6π. 1 1 A excentricidade da curva é numericamente

igual a 3

2.

2 2 As coordenadas dos focos são ( 5 , 0) e

( 5- ,0) . 3 3 A curva é uma elipse de distância focal igual

a 52 . 4 4 A curva é uma elipse de eixo maior numericamente igual a 6.

59. (UPE) Assinale I para verdadeiro e II para falso: I II 0 0 A reta de equação y = 2x – 1 passa pelo centro da circunferência

0=12-6y-4x-y+x 22 .

1 1 A reta de equação 3x – 4y – 43 = 0 é tangente à circunferência de centro (2; 3) e raio 5.

2 2 A área da elipse 1=9

y+

4

x 22

é 36π unidades

de área. 3 3 A área do triângulo de vértices A(0; 0), B(4; 0) e C(0; 3) é 12 unidades de área.

4 4 A equação 0=y-x 22 representa, no plano,

um par de retas perpendiculares. 60. (UPE/09) Uma hipérbole cujo eixo real é horizontal, e o eixo imaginário mede 6, o eixo real mede 8, e o centro é C (-2; 1). Sobre essa hipérbole, é CORRETO afirmar. A) Os pontos A (2 , 1) e B (6 , 1) estão na hipérbole

B) Possui excentricidade 4

5e =

C) Sua equação reduzida é 19

2)(x

16

1)(y 22

=+

−−

D) Os focos são 5)2F(1, ±−

E) A distância focal é 10 GABARITO 01 02 16 C 31 D 46 •••• 02 D 17 B 32 01 47 02 03 05 18 E 33 04 48 03 04 A 19 C 34 01 49 47 05 B 20 B 35 38 50 D 06 C 21 12 36 25 51 C 07 E 22 E 37 A 52 03 08 02 23 03 38 01 53 F,F,V,V,V

09 B 24 25 39 E 54 F,V,F,F,V

10 14 25 A 40 12 55 B 11 A 26 27 41 D 56 B 12 E 27 27 42 08 57 B 13 B 28 A 43 01 58 V,F,F,V,V

14 D 29 D 44 01 59 V,F,F,F,V

15 B 30 C 45 B 60 E • a) x + 2y – 5 = 0 b) ( )0 ;132 +

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