APOSTILA GEOMETRIA ANALITICA
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MAT EIU AL D E PA ST A
P!t'ita: 7..3_ Lctrs: __ ..__~N° Fl~ _:j-,6
pruL_~ f~k1-/1_I~~ __: '_----.---.
Texio N":_.----Obs.:_~ -
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CAPiTULO!
o ESPA(,O VETORIALRz
1.0 conjunto R2
Representarnos par lR.?a .conjunto de todos as pares ordenados de numeros
reais, au seja:
yy
]Rl = {(x, y) I x E lR eyE 1R}
Par exemplo, sao elementos de IR 2 os pares (3,4), (- 2, 7), (; , 0) ,
(-..;2, -V2), (~ ,-1) ,(0, 2y'3), etc.
Cada__lemento do__R 2 podeser associado a urn ponto de um plano no qual
fixamos um - sistema de coordenadas conforme indicamos a seguir.
Yp
--------·lI
I
I
I
II
II
B < p - _ _
1
1
F 1
A------<?E 1
I1
I)
: 01I
0-------C
III
I
II
-----0
n
-x
xA= (4,3) B= (-2,2)
O={3,-3) E=(O,2)
c= (-4,-2)F= (-3,0)= Ixp• Yp)
2. Igualdade e operaeoes com pares -ordenados
a) Igualdade
D izem os qu e os pares ordenados (x ., yd e (Xl, Yl) sao igu ais se, e so rnente
se , Xl = Xl e Yl =Yl'
exemplo 1
(a, b) = (-2, 3) = = = = > a = -2 e b=3
exemplo 2
-, = = >_ { x + 1= °(x + 1, y - I),§: (0, 1) ==> X = - 1 e Y ;:; 2
y - 1 = 1
b) Adiriio
Charnamos soma dos pares (xi, Yl) e (Xl, Yl) ao par (x, + Xl, Yl +Yi) e
indicamos: --
1exemplo 3
(3,1)+ (2, -4) ~ (3+ 2, 1 - 4) = (5, -3)
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c) MultiplicQfiio por numero real
. Chamamos produto do numero real k pelo par (x, y) ao par (kx, ky) e
indicamos:
exemplo 4
9(5, - 3) = (9· 5, 9· (-3») = (45, -27)
d) Propr iedade:
Sejam A = (x., yd, B = (x:!. yz) e C = ( X 3 , . Ya) tres elementos quaisquer
do r n ? e sejam ke m dois numeros reais quaisquer, Podemos constatar as seguintes
propriedades das operaeoes com pares ordenados:
H) associativa: (A + B) + C = A + (B + C)
2~) comutativa: A + - B =B+- A
3~) elemento neutro da adicao: e 0 par 0 = (0, 0). Ternes:
A+O=A
4!!) oposto de A: e 0 par -A = (-Xl' -Yl)' Temos:
A + (-A) =0
A soma A + (-B) indica-se por A-B.
5!!) k(A + B) = kA + kB
6~) (k + rn)A = kA + rnA
7if) k(mA) = (km)A
84}) 1· A = A
. e xemplo 5 . "".. '.
Dados A= (3,7), B= (-:-2, l)e C= (4,4) temosA + B -'- 2C= (3, 7)+ .
+ (-2,1) -2(4,4) = (3 -2- 8;7+(- 8)=(-7, 0),
NOTA: Por serern verdadeiras estas oito-propriedades; a conjunto'R? com as
operacoes definidas e chamado lim espayo vetorial.real. Adiante veremos que os
elementos do1R2podem set associados aosvetores de urn piano.
EXERC1C lOS
·1.. Dar as coordenadas dos pontes indi-
cadosna figura. .
y
CA
I G la
H1 F
.. ' .' 0 1 x·
I
D E .
.'.
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2. Entre os pontosA (4,0), B (- 3,1), C (0, -7), D ( i - ,0) , E(O, -J3) e F (0,0).
a) quais estdo no eixo das abscissas (eixo dos x)?
bf quais estiio no eixo das ordenadas (eixo dos y)?
~ 3. Dizemos qlle urn ponto P (x, y) esta .
no 19 quadrante quando x > 0 e y;;. 0
no 29 quadrante quando x ... 0 e y;" 0
no 39 quadrante quando x 0 ; ; ; 0 e y 0 ; ; ; 0
no 49 quadrante quando x;;' 0 e y';: 0
Dar 0 quadrante onde esta 0 ponto P em cada case:
a) P(-7,2) b)P(-./2,-5) C ) p ( - + , - i )
e j r ( ' 7 , ~i~ . j T )) P{- -./2, .J5- 2)
~ 4. Sa xy < 0 em quais quadrantes pode estar. situado 0 ponte P (x,y)?
.~ 5. Em cada caso calcular x e y d~ modo que seja verdadeira a igualdade:
r a) (x,Y) "" (3, 0) b) (x,I) = (-2, y)
c) (2x, y + 3) = (la, 10) d) (x + y, x - y) = (5, 1)
6. Dados A= (3,.2) eB-=CT, 5), -calcnlar,
a) A + B b) 5A c) .-2B
~ 7.. Dados A ::::(- 3, -I} e B:::: .(4, 0), calcular
a)5A+4B .b)7B-3A c)3{2A)-B
\ 8. Dados A = (- 1,4), B = (- 3, - 2) e C = (0,5), calcular
a) A + B + C b) 2A+ B - C )(. 3A - 2B.+ C
. d} 2A+ 3B
d) 5 (3B - 2A)
..,..,4(A+2B)-3(C-B)
9. Dados A = = (3,7), B = (- 1, 2) e C = (11,4), determinar os numeros x e y que tornarn
verdadeira a igualdadc x A + YB :::: C.
Resolu~o
xA + yB = C =:>(3, 7) +y(~l, 2) "'{11,4)
. (3x, 7x) + (-y, 2y) = = (11,4)
(3x = Y, 7x +ly);'" (11,4) .
C D@
lX - y = 11
7x+ 2y =4
De ill vern y;'" 3x- 11; que sJibstiiuimos em (]):
7x + 2 (3x -11) =4 ~ 7~ + 6~,:""22=4 ==> 13x::: 26 ===;:- x = = 2
.:Y= 3x - 11= 3(2)-11 = - 5. .,"
10. Calcular X . ~ 'i para queseju·verdadeiraa igualdade x (1, 0) + Y(0, n=(4, tv.
ll . Determinar .x e y emcada equacao •
.1!- )(x,O) + 3 (1, y) = (D,O)
b)·3{7,2} - 2(x, si= (6,0)
c) x{3,-1) 4 - y(7,S).= (4,.6). . . . .. ". ~.
12. Calcular x ~ y na equacao X(1,-2}+Y(-2,O}=2(x,y)-3(~,,..x) .. ·
3
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19) 0 cornprimento (au modulo): !AD! = !Ee!
29) a direcao: estao em retas paralelas
39) a sentido
3. Vetores no plano
a) Introducdo
No paralelogramo ABeD (figura) os segmentos orientados AD e Be apre-
sentarn em comum:
D c
A
--+ --+ --+Por isto, dizernos ~ AD e BC representam um mesmo vetor v: AD e 0
vetor v aplicado em A e Be e 0 vetor v aplieado em B.
Urn numero real nao negative (denorninado rn6dulo),urna direcao e urn
senti do sao os tres elementos que caraeterizam 0 que denominarnos vetor, ente
que e represent ado geo rnetric arnente atrav es de segmentos orientados.
b) Vetores no plano cartesiano
Na figura indicarnos tres seg-
mentos orientados, AB, CD e OP,
representantes de urn mesmo vetor
u .
B
---~~AI -3 I, ,, ,, ,
-3
Para eada urn destes segmen-
tos, a proje9ao na direcao (orien-
tada) do eixo x tern rnedida alge-
brica - 3, enquanto que a projecao
na direcao (orientada) do eixo y tern medida algebrica 2. 0 mesmo ocorre coni
qualquer outro segrnento orientado que represente 0 vetor u, istc e, que tenha 0
mesmo modulo, dire9ao e sentido dos segmentos dados. Podemos assim associar
o vetor u ao par (-3,2) do IR?,eserevendo u = (-3,2).Em geral, todo vetor v do plano cartesiano pode ser associado a urn par
ordenado (a, b) do ]R2. Escrevernos
V"" (a,b)
quando a e b sao,nesta ordem, asmedidas algebricas das projecoes de v nas
d~fev6es (orientadas) dos eixos xe y . Dizernos que v e 0 vetor de componentes(ou coordenadas) a e b.
y y
--~..'
v . ~. b
III1I
a
p
o x o a x o x
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V
B
y. -------------_ . . . .
v
V I A
0 xI XlX
X2-Xl> 0 e Vz -YI:> 0
VI
A
onde B - A Ii a diferenca entre os pares ordenados associados aos pontes B e A.
v
Y2B
o
exem plo 6
A=(l,-l)}
B=(5,1)
__..=>v = AB= B - A= (5 - 1,1 -(-1») = (4,2)
d) A.r operacoescom vetores
adirao
Dados dois vetores u e v,i soma u + v corresponde a soma dos pares orde-
nados associados a u e v.
.y k>O···Y
y
mpltiplicarao por numero real
Dado urn nurnero real k e urn vetor v, ao produto kv corresponde 0 produto
de k pelo par ordenado associado a v.
5
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- . _ - ... .2AB +5BC - CA=2(B - A ) +5(C - B ) - (A7-C) =
= 2B ~ 2A + 5C c- 5B - A + C = -3A - 3B + 6C =
=-3(11, -r- 7) - 3(0,3) + 6(-1, I) = (- 39,18)
exemplo 7
Dados A = (11, -7), B = = (0, 3) e C = (-1,1) vamos calcular 0 vetor- - - .2AB + SBC - CA. Temos:
A S = B - A=(0,3) - (11,-7) =, (-11, 10)
B e = C - B = (~1, 1) - (0,3) =(-1, -2) ..
c A =A - C= (11,-7) ~ (-1,1) = (12,-8)
logo 2 A B + S B C -cA =2(-11,10) + 5(-1, -2) - (12,"":8) = (-39,18).
o calculo tambern pode ser efetuado como segue:
EXERCIClOS
13. Dar 0 par ordenado associado ao vetor v nos cases:
a)y
c)
-~------V 1
_ , . 1
I . I! . 1
yb)
y
x x x
d) yf)
v . e) .
. .
.
1.-- . :'
I I·
··G'·1
. 1
,--C_-~--_-'C-. , 1
1 :I ,
14. Determlnaras componentes (coordenadasjao vetor A l i · nos cases, . . . . .
a) A = = (2;1) eB ~(4, 6). ., .
b)A=(7,5) eB:.=(l,i)
d) A = (1,0) eB·~ (0,3)
f)·A "" (2; 5)·e B '"=(2,2)
h) A""(O,O) e B=;:(x,Y)
c).A =(-2, O)eB = = (3, -'-I)
e) A= (4,3) e B = (4,5)'. .' ,'.
g) A = (3, -1) eB = (10, -1). .'. .- : ~' " - '. '
f15. Dados A : . . : : (..,.2, 3),B = (2,0), C = (0,--5) e D =(-4, - 2), verificar que os.vetores
A B .e D C sao 19u!lls eque osvet~res A D ~ C D sao o p o s t o s , Osporitos A , B , C eD ~aoos. _ .
vertices de quequadrilatero? _ .
'_", : , " . : ' , ';...... ' , _ " ... : .. : . . . . . . . " .: - ... ,~
16.. Dados A=.· (2, 1), B = (5, - 1) e C·= (~4, O};-calcuiaro vetor 'soma dos vetores AB eA C . - . . . . . . .
. -
\ r t - J 17. DadosA = (O,l), B =. (-3, 1), C = (4,4)f) .D = (5,"""2), calcular os seguintes veto~es
. a) A i i + 2ED . ... b)3AC-2DB· .
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21. Determinar ~s coordenadas do ponto medio M do segmento de extremidades A ;; [x ; y ,)
e B = = (x., y.).. .
r ) : 19. Dados A :0; (3, 7) e B== (n, 19), determiner 0 ponto C tal que ;t: ==! B .
r . . _ i f J 20. -Os vetores u = (3,4), v= (2a, 7) e w = = (I, 3b) satisfazem a equacao 2u - v + 3w =0,)ronde 0 indica 0 velar milo - .Calcular a e b..
4. Aplicacoes:pontomedio e baricentro
Resolu~ao
I
II
Y ----~ ....---I
I
I II IYl .J__ -'-'_I. __ .__ B
. tilI : l
, :
Sendo M 0 pan to media de AB, as
..vetores A M e M B possuem comprimentos:
iguais, mesma dire~ao e.mesmo sentido,
Logo A M = M B . Ternes entao:
M~A=B-M
2M = = A + B
au seja:
o x M = (xl' Y.) + (x" y,) =.. 2 .
(x,·+x,. Y, + Y 1 )
= -2-'---r-
22. Dar a ponto media do segmento de extrernidades A = P,7) e B = = 01, - 1).
Resolucao
M :0; A .~ B = (3: 7) + ? 1, -1) = e; 11 ,7; 1),;(7, 3).23. Daro ponto media do segmento ABnos casas:
a) A=(2,l) e B=(6,9) b) A==(-1,-4) e B=(7;-1)
c) A = = (3, 0) e B = (- 3, 0) .(. 1 )d} A=2'''' I.e B:: {5,-I}
e}A = (~2 1 ' .~ ) e .B = = (12;- !)
24. Dcterminar ospontos medias dosIados do~triingplo de vertices.A(-ll, 1), BFl,?) eC~-~ .....
. .
25. Obter as pontos que dividem 0 segmento de extremidades A(2, 4) e B(14, 13) em tres.partes iguais, : . . ... .
Resolucao
B
Devemos obter os pontos C e D·taisque.. .' 1 ···2·
X C = 1 " A B e A D ; ; TAB,
Ternos:
.. -;-ot . 1 - - - - > , .AI,;"""TAB==> C .;_.A=
·lB+2A=3(B~ A)~ c = = - - ; '-3-
logo:
. C= (14,13) + 2'(2,4) -'-......... 3· -
_ 04, 13)+ (4,8) .... ...
.~ 3· ·=(6,7)
" . . .
D:: C .f . B= (6,7) +(14;13) _ (1 .. .7·
Notando que D e o ponte medic de CB'p~demos obter Dcomosegue ...
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··2 . .. 2 . ....- 0, 10).
c
26. Obter os pontes que dividern em tIeS partes iguais 0 segmento de extrernidades A(- 3,2)
e B(12, -7).
27. Obter os pontes que dividem em cinco partes iguais 0 segmento de extremidades A (1, 0) eB(-9,S). .
28. Entre os pontes que dividern Q segmento AB, A (7, - 1) e B (- 5,5), em seis partes
iguais, determinar aquele que esta mais proximo de A .
.,j
rf 29. Prolonga-se 0 segrnento AB, A (L, 2) e B (5, 4), no sentldo de A para B, ate 0 ponto P
> :I tal que 0 comprimento de AP e 0 triplo de AB. Deterrninar 0 ponto P.
30. 0egmento AB e prolongado, no sentido de A para B,ate urn ponto e tal que 0 cornpri-menta de Be e 0 quintuplo de AB. Dados A{3, -1) e B(4, - 3), obter C .
A
31. 0 ponto simetrico do ponto A, rcla-
tivamente ao ponte B , e 0 ponto C
tal que B e 0 ponto media de AC.
Dados A (3, in e B(5, 8), obter C.
32. Dais vertices de urn paralelograrno sao A(3,5) e B(5,3). Sendo M(l,-I) 0 ponto
media das diagonals, obter os outros vertices.
33. Os pont os A (3,0) e e (0, 7) ~ao extremidades de uma diagonal de urn paralelograrno.
Dado. tambem 0 vertice B(4,4), obter.cvertice D do paralelograrno.
34. Determinar as coordenadas do baricentro do tridngulo ABC, dados A [xl' y ,), B (Xl' r-) e
c (x" y,). '
Resolu,<ao
o baricentro G e 0 ponto de interseccao
das medianas do triangulo. G divide cada
mediana na razao de 2 para 1, no sen-
tido do vertice para a ponto media do
lado oposto. Sendo M 0ponto .medic
de 'BC temos: '
A G '" 2 a M = = = = : : . G - A '" 2 (M - G)
3G=A+2M
. ( B + C )G=A+2 -2-,
, ,
A
logo:
, (xl' y1) + (Xl' yJ + (Xl', y,)G= 3
35. Usando a fomlUla encontrada no exercfcio anterior, obter 0 baricentro do triangulo ABC
nos cases:
it) A{O, 0), B(9, 0), C{O, 6)
b) A(3.2), B(7, 7), C{5, -3)
c)A( -1; ~2), B(0; - 4), e (1,6)
d) A(a + 1, a -1), B(-I, l);C(1-a, 1 + a)
,~~36. Numjrianguto de baricen~o G ( 0 , t),dOiS d~s vertices sao Ah,n e B
Obter '0 outre vertice.
( - , 2 , ; ) .
37. Num triangulo de bariccntro G (6,2), dais dos Ladas 'tern pontes medics M (7,4) e
,N C , ; ) : Obter os verticesdotriangulo~ 8
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CAPiTULO!!
PRODUTO INTERNO NO R 2
1. Produto escalar de dois vetores
Chamamos produto escalar (ou produto interne usual) de dois vetores
U = (Xl> Yl) e v = (X'l' Y2 ) do lR ? ao num ero real XIX'l + YIYl' Indicamos este
numero pelo simbolo u . v, cuja leitura e "u escalar v". '
Adiante veremos a interpretacao geornetrica deste produto.
'exempio i
Sendo u = (5,3), v = (2,4) e w = (- 6,1) temos:
U·V =5 • 2 + 3 • 4= 22
v· w = 2 (- 6) + 4 • 1 = - 8
U'u =5·5+3·3=34
o prod uta escalar goza das seguintes propriedades:
H) u • u ;;;.0 e u· U = 0 u = 0
2 , ! - ) U· v = v· u
3lJ.) u • (v + w) =u.v + u • w
4lJ.) u • (kv) = k (u- v)
lo t u E 1R.'l, V V EIR2, lo t wE JR 'l e V kE1R. .
exemplo 2
Dados u = (1,2), v = (5, 3) eW=(-3,4) temos:
u.(v+w)= (l~2). (2,7) = 1-2 + 2·7 =16
'u~v +u· Vi =(1~5+ 2.3) + (1· (-3) + 2,4) =11+5 = 16.. .~ .
2. MOduIode umvetor "'\~wA &.~)
Dado o.vetoru ={x, y) do lR2, podemos rnostrar que oseu modulo (compri-
menta) e dado por . .
p
Om6dulo pode-ser expresso usarido 0produto escal~r.De'fato, noternosque
'l.l'U.~ (x,:y), (x, y)= x ., x,+)'.y = X'l+y2 ~ (iul)2
,lin I=:../u ,u l
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NOTA: 0 m odulo de u e tam be rn c h am a do norma de u e indicado por lu i ou lIulL
exernplo 3
u = (-6, 8) =::::;> lui = J(- 6y~+ 82 = J36 + 64 = ...;loO = 10
v e to r u nita rio
Umvetor que .p ossu i m o du lo igual ale chamado vet o r unitario,
l · v . t . u n i tiriO <= - -- -- -;;.J ~ I .~ 1 I
Dado urn vetor nao nulo v, 0 vetor ~'= 1 : 1 e urn vetor unitario de mesmaI·
direcao e sentido de v, denominado versor de v. ~ ( f o . ; . J y .
l?~
exemplo 4
o versor de v = (3,4) e 0vetor .
v' = :!_= (3,4). = (3,4) = (2 4,\. lvl ~32 + 41 5 5' 5;
Notemos que e urn vetor unitario:
} ( 3 ) 2 ( 4 ) 2 j9 .16 ' ! 2 5 .Iv'l = . '5 + 5 " = 2 5 + 25= J 2s =.VI= 1.
EXERc laos
t 1. Dados 1 1 = (4,9), v = (2, -1) e w = = (5,10), calcular
a)u. v
~w.u .. '
>t . .u,(v+w)·
b) v , w
d) v ; V .
·"O"
2. Provar que u . ( v + w) = u • v +u , w
(considere u=(a, b), v = (c, d) e w =(x,y) e faca as contas),
3. Dados u::::; (6, -2),v = (-3,4) e w : : : : ; (l,5) calcular
a) u .(v + w)b) (u- v) •w
c) (u + v) • (u -v) d) (4u). V
e) 4 (u • v)
4. Dados u = (,..., 0), v = (I, -2}, w ,,;,(- 3, ., 3) .e z = (0,0), calcular
a) u. v + v· w + w • z b) (u + v) • (2vi. _; z)
5. Calcular 0 modulo dos seguintes vetores:
a) u = (4, 3)
c) w= (-5,0)
e) q =(-3,-3)
b) v:::: ; (- 2,1)
d)p = (7,-1)
f 6.
a)
7.
8.
a)
Dados u= (1, - n, v = (- 3, 4) e w = (- 2,0), calcular
lui . b) Ivl . , i ' U . + V ' Y IV-WI,lI5WI'
A igualdade Iu + vl= lul+ Ivl cverdadeira para VUE IR.~ e V v.ElR'?
Dados U ~ (3, 7)e y= (1, -4),ca.lculai:
lu-e vl b) .l3u - 2vl c) Iu+2vl
10
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9. Dados u = (6, - 8) e v =(- 4, - 3), calcular lui + Ivl+ 2 (u • v).
10. Entre os vetores seguintes, quais sio unitarios?
a) (t· Dd) (1, n
b) ( + , - i)
e) (~ , i)
c) (- 1, 0)
u. Calcular os valores de a para os quais 0 vetor u = (; , a) e unitano.
12. Dado u = (a, - 2), calcular os valores de a para que se tenha lui = 3.
13. Dados u = (a + 1, 2) e v = ( - 3, a), calcular 0 valor de a para que se tenha u • v =0.~ .. .
~ 14. Calcular os valores de m para que se tenha (u + v) . (u - v) = O. Dados u = (m, 1) e
v = (2,-1). .
J '~ 15. Dados u = (2, - 1) e v = e x , 0), calcular x de modo que se tenha 2~ • (u + v) ~·-2.·
. 16.. Determinar 0 versor de y nos cases
a) v = (10,0)
d) v=(..j3,-l)
b) v = (0, -6)
e) v = (5, 5)
c) v = (4, 3)
f) v = (2,3)
17. Dados u=-(- 12, -:-5) e v-=-(9, - 12), determinar os vetores
a) ~ + ::!_.. lui Ivl ( u . V )) -- v
v.vb} (u . v)v + (v , u)u
18. Provar que:
a) se u=(x,y) e kEIR,entiio Ikul= lkl lul,
b) se u::: (x, Y,) e v= (x, Y,), entao (IU + vi)' = (lui)' +. (lvl)' + 2(u • v).
y
I
III
II
!.
3. Distincia entre dois pontos
Y 2
A distancia d entre dois pon-
. tos A = ( X l > yd eB = (X 2 ' Y 2 ) e:0 comprimento (modulo) do vetor--+AB. A
YiComo
--+AB=B-A-
exemplo 5
A distancia entre A(1, 3)e B(S, 6) e
d = = V(S _1)2+(6_3)2 =.)42 + 32 = V16+9= 55 = s.
EXERctclOS
J!
I.I'I
II
JI.IIIIJ!
I
IJ X
..
B
19. Calcular a distancia entre A eBnos cases:
a) A = (0,4) e B = (l2, 9) ..A\[A =(-1, ~-5}e B = (0, ~6).
c) A= (4, - l)e B ""(2,3) )1A = (3, I) e B= (7,1)
d c Y 20_ Calcular operimetro do triingulode vertices A (3, - 1), B (6,3) e C(7, 2)_
21. Para que valor de x 0ponto A (x, 2) e equidistante d o s pontes B (1, Ole C (- 1, I)?
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A
isto e:
/x
L~.;----P--:_- --- ---B i C
J (1 - X)2 + (0 - 2)' = J c- 1 - X)' + (1 - 2)'
Elcvando ao quadrado ambos as mernbros vern:
1 - 2x + x, + 4 = 1 + 2x + x, + 1
. _ 3
portanto - 4x = - 3 e, entao, x = "4 '
22. Calcular a valor de ydc modo que a ponte (l,y) seja equidistante dos pontos (1,0) e
(0, 2).
23. Dcterrninar urn ponto P que pcrtcnca ao eixo lias x e seja equidistante dos pontes
A(-I,1) e B(5,7).
24. Obter no eixo dos y urn ponto equidistante dos pontes (- 2,0) e (4,2).
25. Calcular a distancia entre a ponto A(l, 1) e 0 ponto simetrico de B(5, 2) em relacao ao
eixo dos x.
26. Os pontos A (1, 1) e B (6, 4) sao ex tremidades de urn Iado de urn quadrado. Qual c a
area dcste quadrado?
4. Paralelismo e ortogonalidade
a) Condiciio de paralelismo de dais vetores
Quando dois vetores u e v do m . .2 sao paralelos, suas representacoes georne-
tricas pm segmentos orientados, a partir da origem 0, ficarn sobre uma mesma
reta.
y
v
- - / ~ , r . o ~ - - - - - - - - - - - - - - ~ - - - - x
/
Neste caso, se v nao e nulo, podemos concluir que u e urn "multiple" de v,
.' . , lu iou seja, u = kv onde k = ± T V T .
Assirn, dado urn vetor nao nulo v , todo vetor u paraleloa v e urn "multiple"de v, isto e ,
onde k e urn nurnero real.
Sendo u = (Xl, Y I) e v = (Xl> y.J temos
u= kv
XlSe Xl • Y 2 '* 0, decorre que k = '_
X2e k ;:: Y l logoyi ~
12
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exemplo 6
" Dados v = (3,5), sao paralelos a v as seguintes vetores:"
Ul = (6,10); porque (6, 10)= 2(3,5), logo u, =2v.
U2 = = (15, 25); porque (15, 25) = 5(3, 5), logo U2 = 5".
U3 = = (-9,-15); porque (-9, -IS):=:: -3(3,5), logo U3 = -3v.
U4 = = ( 1 , ; ) ; porque 0 , ; ) = ; (j, 5),10go U4 = ~v.
, "
exemplo 7
Os v eto res u ::= (8; 16) e v =(io, 20) sao paralelos, pois 180= ~~.
exemplo 8
Os vetores u ::= (10, 12) e v = (25, 40) nao sao paralelos, pais "~~. ' * ~ ~ .
b) Condiciio de ortogonalidade [perpendicularidade] de dais vetores
Dois vetores naonulos u e v
saoortogomiis-quando_ podem ser
representados pore segmentos orien-tados perpendiculares, Neste caso,
temos:
u
Se u = (Xl' Yl) e v =(Xl, Y2), entao, u + v =(Xl + X2, Y. +Y2),
[u + vi = V(XI + Xl)2 + (Yl + Y2)2, lui = .j(Xl)2 + (Yl)2 e
lvl= .j(X2)2 + (Y2)2
De
C Ddecorre que:
(x, + Xl)2 + (Yl + Yl)2'= (Xl)2 +(Yl)2 + (X2)2 +(Y2)2.
ou seja,
(Xl)2 + (Xl)'l +2X,Xl + (Yl)i+(Yl)2+ 2YlYl =(Xl? +(YlF ++ (Xl)2 + (Yl)2
"::,"
Como XIXl +Yl Yl = = U • v, temos que a condicso de ortcgonalidadee:
exem plo "9
Para os vetores u = = (3, 5) e v = = (i0,-:-6) , temos:
\1. v ::= 3 ·10 +"5·(-6}=0;
logo u. e V sao ortogonais,
13xemplo 10" ".
Para os vetores u:;:;(7,-:2)e v=(~4,-15), temos:. .."
'. u . v = 7(-4)+(- 2)(715)=2 ' * ' 0;logo u e V nac saoortogonai~.
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Observacoes:
1~) 0 vetor nulo e considerado paralelo e tarnbem ortogonal a qualquer outro '
vetor. Observemos que se z "'" (0, 0) e v "" (a, b), entao, Z "" O v ez •v "" O .
2<!) A condicao de paralelismo de dois vetores pode ser expressa a partir de urn
determinante de ordem 2, cujas linhas sao formadas pelas coordenadas d~svetores.
Sendo .u = (Xl, Yl) e v "" (X2' yz) a condicao de paralelismo e:
~~ l0
all seja: XI Y2 - X2Y 1= O .
3!l) A condicao de ortogonalidade tarnbem pode ser deduzida a partir de C Dcomo segue:
(u+v)·(u+v)=
=u·u+vov ¢===> u· u+ u 0 v + yoU + v. v ""
""UoU+v,v <==="> 2(u ~v)=0 ¢==o;>u· V =o .
EXERcfclOS
( '11) 27. Dado 0 veto! v = = (4,6), dlzer quais entre os vetores seguintes sao paralelos a v:
a) (8,12) b) (12, 18)
c) (-4,-6) d) (- 20, - 30)
e) (2,3) f) (t,;)
g)
0, !)h) ( -1, - ; )
i) (- 8,12) j) (0,0)
28. Verificar se u e v sao paralelos em cada caso:
/ J u = (4,2) e v = = (12,6) b) u = (-6; -12) e v =(1,2)
' 0 1 u ~ (6,9) e v =(12, 15) d) u=(B, 14) e v = (12,21) '.
¢ u==(-3,4) e. v=(4,-3) f) u={2,O} e v=(-6,O}
~ . ~. .'J 19. Verificar se u e v sao ortogonais nos cases
a) u = = (3, 2) e v = (- 4, 6) ..
b) .U = (-1, - 3) e y= (3, .; 1)
c) U=={5,4) e v::;;(-2,3)I :
!i) u ==(7, 0) e v = = (0, 2)
. 4 u = (-1, 1) e v = (8,0)
n u::o (a, b) e v ==(b,-a)
30. D~OS u "" (2,5) e v = (5,2), verificar se' os vetores u /v e u - v sao ortogonais,
31. Dados u=' (3, 1) ~ v .0= (2, 2), verificar se os vetores u. + ve u .: v sao ortogonais,
32. Para que valor de.m os vetoresu =:(1, m) e V= (- 2,2) sa o ortogonais?
33. Calcular a' para que se tenha u ortogonal a v nos cases:
a) u = (a,""- 3) e y;: (2, 4)
t .> \ 4 . , . ( \ \ ~ ~ ~ . \ ( ' ' ; ; \ ,~ .~ ~ \ i I , } , . ' .
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36. Obter y de modo que os pontes A (3, y), B (0, 4) e C(4, 6) sejarn vertices de urn triangulo
retangulo em A.
BResolu~o
Os vetores 'A n e A C devem ser
ortogonais Temos:
A B " '" B - A '" (0 - 3, 4 - y) "'"=(-3, 4- y)
At '" C - A '" (4 - 3, 6 - y) =
'" (1, 6 - y)
c
A
A B lAC ===: : : ; : : . A B . A C " =0 ~ (- 3). 1 + (4 - y)(6 - y):; 0 ====;>
=? - 3+ 24 - 4y - 6y + y' = 0 ~ y' - lOy + 21 ""0 =:::::;>
10± .J(-lO)' -4 .1.21~ y = 2 • 1 . =:::::;> y "'"7 ou y = 3.
. 37. Obter x para que 0 tr iangulo ABC seja triangulo retfingulo em B. Dados A (5, 4); B e x , 2)eC(4,-2).
38. Calculary pard que 0 quadrilatero de verticesA(O, 0), R(S, 1), C(7, 3) e D(3,y)possua
as diagonals AC e DD perpendiculares.
39. Calcular x de modo que a quadrilatero de vertices A (0, 0), B (- 2, 5), C (1, 11) e D (x, - 1)
possua os lados AB e CD paralelos.
40. Vcrificar que os pontes A (- 3, - 1), B (2, - 4), C (7, - 1) e D (2, 2) sao os vertices de
urn quadrilatero que apresenta os lades opostos paralelos e as diagonais perpendiculares,
41. 0 trllingulo de vertices A(6, -4), B(1l, 2) e C(l, 1)e triangulo retangulo?
5, Angulo de dois vetores
Neste item vamos mostrar que 0produto escalar de dais vetores esta relacio-
nado com 0 angulo formado por des. Lernbremos que 0 angulo e entre dois
vetores nao nulos u e v varia desde 0° ate 1800:
o 'u
e = 0°
u e y paralelos, de mesmo
sentido
u
ey
e~' 90°u ev ortogonais
v
e~ ~ _ _ t : \ L ' ~ '_v~
o
e = 1800
u ev paralelos. de sentidos opostos
15
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Aplicando a lei dos cossenos ao triangulo ABC indicado na figura, temos:
(JU-VI)2 =(!uI)2 +(lvI)2-
- 21ullvl cos (J , isto e :
(u - v ) , (u - v ) = u ' u +v ' v-c
A
- 21ujjv] cos (J • isto
e :u • u - 2(u . v) + v' v =u . u +
+ V· v - 2 1 u l l v l cos B , o u seja:
- 2(u • v) =-:2 [ullv] cos 8
B
Logo, 0 produto escalar de dols vetores u eve 0 produto 'dos seus modules
pelo cosseno do angulo formado par eles,
Observemos que:
19) u,' v > 0 cos e > a
o produto escalar e positivo quando 0 angulo e agudo (au nulo)
29)u.v<O cos8<O 90°<8<180°
O produto escalar e negativo quando 0 angulo e obtuso (au raso)
39) u . v = 0 cos B = 0 8 = 90°
o produto escalare nulo quando 0 angulo e reto.
Para determinar 0 angulo e , sendo dados u ,;" (Xl> Y1) e v = (X 2. Y 2),
, partimos da formula
exemplo 11
Determinemcs 0 anguloentre u = (1,3) e v =(-2,4):
10 V 2= ~--='--~- - --
~VW 2
, .:.y'T e ; : ; 45°. 'Como 0°< 8 < 180° e cos f =Temos que
EXERCICIOS
42,. Determinar 0angul0 entre u ev nos casos:
a) u = (1,2) e v 0=(-1,3)
b) u r= (3,0) e v = (1,..[3)'
c) u = (0 , 2)e v = ( - - c I, - 1)
43; Obteroanguio entre uev noscasos:
a) i.l= (1,-2) ev=(10,5)
b) u = = (4, 3) e ,v ~ (8,6) "
c)u = (3,-1) , ev =(~3,l).
44. Dados U := (4, 3) ~ v = (2,...: 1), determinar 0 lingulo entre os vetores u + v e u - v~
45. D~dosu = (1, I), v = ( 1 , O)e w:= (O~I), ohter oangulo entre osVetonis u - we w ~ v •. " ."
46.~ad~ o. triangulo de' vertices A (0,2): B c . J 3 , 5) e C (0, 6), calcular a medida do angulo
interne-A.
16
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. , - - , . , . ,-.,- .. , .. -- '_"
Resolu~ao
Notemos que 0 angulo interno A do
trianguloABC e 0 angulo 8 entre os ve-
teres A Ir e X C .Ternes:
A B = B- A"" (.. /3- 0,5 - 2)=
. = (.,f'J: 3)
A C = C - A.= (O - O . 6 - 2) = C O , 4)'
, A l i .X Ccos IJ = --> -;-;t
, IABIIA\.:{
".J3.0+3-4 12 =.J3;/12.4 2
.'Logo, IJ = A = 300•47. Ca1cular~ medidas dos tres iinguIos internes do triangulo ABC. Dados A (1,2), B (2, 0)
e C{O,-1).
48. Dados A (1,0), B (4, 1) e C(4, y), calcule yde modo que se tenha BAC : = 60°.
49. Seja v urn vetor ·unWirio. Mestre que a" proje~aode urn vet or u ria diregao de 'v e 0vetor p = (u • v)v.
Resolu~
. Como p e urn vetor de dire~[o igual a.de v, ternos que p = kv.
Para calcular k vamos usar a ortogona-
Iidade dos vetores u - p e v:
u- P J.v==;' (u- p) .' v= 0 ==::>
-~ (u - kv) . v=0 ==>
==::> u • v - k (v •v) = O.
Sendo v unitario (lVI= 1) tern os v • v = 1 e, entao, k = u . v,Logo, P = (u • v)v.
.. . ,
50. Calcular a ploje«ao de u na dire~ao dev nos casos
a) u = = (10.5)' ev = ( ~ ,~ )
b)u=(:"'3,2) e v=(l,3)
Resolugio
a) VerifiquCIrul~se v ~'unicirio:
' : ' . " j ' ( 3 ) ~ . '(4 ) · 2 · · · · · j · . 9· 16Ivl = ", ~ + -, =' -. + - = . . . r r = 15 ," ,. 5' , 25 .. 25 .' .
• . _ ·c ' " _ • " • " c
Como vi: unitirioaprojegaoi: p =(u.' vjv, Temos:
" 3 : · " . 4U·V = 10.'S +,5 '3= 10
p~(u·.Y)r= l O ( f , ~ ) =(6,8)'
b) 1,,1=Jp+3' =.JlQ ==>cvnio e unitarlo,
'Neste caw, de~e~i,namosiniciaimenteo versor de v:
. ,·v .. (l,h " ' ( . 1 " ," ~ " ) " .v = 1 v T = V I? =.,'.ffi"fa. :
A proje~ao pedida e p';'. (u ;v')v'. Temos:
. " . ,r .' ,,' ..3 ". ' 3 .'u.v =(-3) ;rtn, . + 2 .. f'j'fl'= ' . r : i - t \
'.. ',,10 vIO' y 10
P =(u . V } V , = i r o ( ) w · J r o ) = (1 3 0';0) .17
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. 51. Determinar a proje;;ao de u na dire~o de v nos casos:
. . ( 1 . , [ 3 )a) u = = (5.2) e v::= "2' -2-
'. b) u = (0, < 1 - ) e v = = (1, 1)
c) u::={-7,2) e v=(3,O)
d) u ::=(4, ~ 2) e v = (4, 8)
52. .Se pea praj~~1ia de u = = (0,2) sobre v = = (1, -1), determine a vetor u - p.
53. Calcular 0 modulo da projeyao de u = = (2, 6) sobre v = (t,~).
. 54. Mostre que se v e unitario, entao; 0 produto escalar u . v e , em valor absolute, 0modulo
da proje~ao de u sobre v. .
55. Mestre quese v e urn vetor nao nulo, entia. a projelJ'ao de urn vetor u sobre v e urnvetor de modulo igual a lu L!cos81, onde 8 e 0 angulo entre u e v.
6. Area de urn triangulo e alinhamento de his pontos
a) Area de urn ~ngulo
Consideremos dois vetores nao pariUeios,u = (a, b) e v =(c, d), aplicados
num ponto A. Seja B a extremidade de u e C a extremidade de v. Vamos caIcular
a area S do triangulo ABC.
Sendo e 0 angulo entre u e v, e h a
altura relativa ao lado AB, temos:
s = ~ I U l h } 1. ====!> S=-2lullvlsen8
h =lvlsen8 .
Como 00 < e < 180
0
e cos 8 =u • v
= lu llyl • temosA B
. V e l l l l ) 2 e l v l ? ~ e l l • y)2'
[u l lv]en 8 =
Logo:
....•.1.JOul)2(1vI)2 - : - e u .y)'l
S= lJuIIY I_ . lullyl
s= '.~(luI12(lvl)2 _ (UV)2
. S ~ _ ! _ _ V (a2, + b2)(C2 + < 1 2 ) . _ (ac + bd)?2 '.. '., .', .
"l' . ..... .
S =- J a2c2 + a2d2 + b1c2 + b2d2 - a2c 2_ 2abcd -r- b1d22 . . . .. - ..
·s ='_l':.ja2d2-2abcd+ b2cl. '.. , 2 ""." :'.
'1 ....•. ,.. . J' .'.
S=, l e a d - bC)2 = = -lad -t- bel. 2 .... ·2 '.
Fazendo 6= 1 : . : 1 = o a d - bccondufmos que: 18
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exempla 12
Dados A(3, 1), B(7, 5) e C(2,4) calculemos a area do triangulo ABC:
c
B
--+u = AB = B - A = = (4, 4)
---+v = = AC = C - A =(- 1, 3 )
I4 4 1 . .
/ : , . = = -13 =12-(-4)=16
1 1S =2 I / : " I = 2 1 1 6 1 = 8
A
b) Alinhamento de tres pontos
Dados tr es pontos, A (x 1, YI)' B (X2 , Y2 ) e C(X3 ' Y3 ) , seja /:,.0 determinante- - - - + - - - - +cujas linhas s~o formadas pelas componentes dos vetores AB e AC:
---+
Aft = B - A =-(Xl -xI> Y1.~ __ I)} . . 1 X2·- x,---+ ====>-ti=AC = C - A = (x, - X" Y3 - YI) . Xl - Xl
Se A, B e C sao os vertices de urn triangulo, entao, a area desse triangulo e
. ; I / : " I e, portanto, b. : / = O. Assirn, se /:,.= 0 podemos_ concluir que A, Be C nao
sao vertices de urnmesmo triangulo e, portanto.tsao pontos colineares ...
y
-:--+-------- xo
_ Por.outro lado,.' observernos que as pontos A, B e C sao coline ares se, e. _. ---+ ...
sornentese, os.vetores AB e AC-Je rn amesma--di!:e¢o-(sao~paralelos). Assim:
- - - -, B e C sao coline ares 3 k E JR 1 AC =kAB
:X3-XI =k(X2 -xI)e Y3-, YI =k(Y2 -yr) -¢==::::::>
<= == *" /:,. [ X 2 - XI -.Yl ·-YI. I 0. . = = k(Xi ~ XI) k(Y2 ~ YI) =
logo
exemplo13
Dados A(-l, ...,..1),B(1, 3) e C(4,9) temos:
~ ... ::. .. . ..
.... = B.~.A.·.=...2,.4L} ~ L =[.2· .1
4..0..[= .0
AC = C - A =5, 10) -: 5. ..
logo, A; Bee sao colineares,19
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EXERCICIOS
56. Ern cada caso, verificar se os pontos A, B e C sao colineares au se definern urn triangulo.
Se definirern trlangulo, dar a sua area. .
a) A = (3,11), B·::: (4, 13), C = (6,18)
b) A = (0,-1), B = (2,5), C = (-1,-4)
c) A = (-:2,1), B = (1, -10), C = (-4,7)d) A = (6,5), B = (-4, O),e :::: (0,2)
57. Para que valor de x os pontes A (2, 5), B (7, 15) e C (x, 38) sao colineares?
58. Para que valores de x os pontes A(1,O), B(8,3) e C(x,6) definern urn triangulo de
area igual a 67
59. Para que valores de y os pontos A (- 1, 1), B (3, y) e C (4, 0) definem urn triangulo de
area igual a 0,5?
60. Dados A = (1,0) e B = (4,0), determinar urn ponto C no eixo dos y de tal modo que
o triangulo ABC tenha area igual a 5. .
61. Dados A ::: (2, 3) e B ::: (4, 1) determinar 0 ponto onde a reta AB corta a eixo dos x,
62. Calcular a area do paralelograrno de lades definidos pelos vetores u '" (5; 3) e v ::::(2,4),
Resoluyao
D cNoternos que a area do paralelograrno eduas vezes a area do trlangulo que tern
dois lades definidos por u e v:u
SABCO= 2 ( t 1 f l . 1 ) = 1 f l . 1 }
f l . = I : : I=14 ~
====::;:> SABCD = 14
63. Calcular a area do paralelogramo delados definidos pelos vetores u = (4, -1) e
v = ( - 2, - 3).
A u B
64. Calcular a area de cada quadnlateroJndicado.
a) y c ..4
3
2 AC
1
x
0
65. Dados f l . 1 = 1 : : f ~ s, = I c: a d : b I pede-sea) ca1cular III e lI,.
b) justificar a igualdade I l l , I = I L l . d atraves de areas de p~alelogramos.
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20
CAP iTULO III
ESTUDO DA RETA NO 1(1
1. Equaelo da reta
Denominamos equacao de uma reta [10 IR? a toda equacao nas incognitas
x e y qu e e satisfeita pelos pontos P(~, y) que pertencem a .reta e so por eles.
a) Equacdo geral da reta
Dada uma reta r do plano cartesiano, vamos supor que r passe pelos pontes
A(xt, Yl) e B (X 2, Y 2), A 0 / = B, e considerernos urn ponto generico P(x, y).
Ternes:
. A P = P - A = (x.- Xl, Y - Y I)-+
AB = B - A = (X2 - Xl. Y2 - Yl)
Y-Yl IYz - Yl
x
o
o ponto P pertence a reta r se, e somente se, A, B e P sao colineares,
isto e:
PEr
Desenvolvendo 0 determinante encontramos
I ax +by + c ~ 0 I
Esta e quac ;; ao e denominada equadio geral da reta.
exemplo 1
Vamos obter a equayao da reta que passa pelos pontes A(1,4) e B(2, 2):
Y - Y l \ =0 ==> \ X - l Y - 4 \ =0 ===>Yz - Yl 2 - 1 2 - 4
Y-4!=O -->-2(x-l)-1(y-4)=O==?
-2
x-I
===-->1
~ -2x-y+6=O ~ 2x +y -6 =0
b) Condicdo para urn ponto pertencer a utna reta
Dada uma reta rde equacao ax + by+ c = 0 e urn ponto P(xo, Yo) , a
cOI1ui~ao para P pertencer are
G(xo) + b(yo)+c =0 Iou seja, o par (Xo, Yo) deve satisfazer a equayao de r.
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exemplo 2
Dada a reta r de equacao 2x + Y - 6 = = 0 e os pontos P C 5, -4) e Q( - 2, 8)
temos:
2(xp) +(yp) - 6 = 2(5) + (-4) - 6 = 0, logo PEr
2(xQ) + (YQ) - 6 = 2( - 2) + (8) - 6 = - 2 * 0, logo Q f f . r.
c) Anulamento dos coeficientes da equaciio
Consideremos novamente a reta r que passa pelos pontes A (Xl. YI) e
B(X2, Y2), A * B. Conforme vimos a equacao geral de r e
ax + by + c = 0
onde a = Y2 - y" b = XI ~ Xl e c = X1YI - XIY1'
Observemos que:
19) a * 0 ou b * 0porque a = b = o=> (Yl = Y l e Xl =Xl) =c::!> B= A
29) Caso a = 0 (e b * " 0). a reta e para/e/a ao eixo dos x
porque a = 0 Y 2 = Y I <===> r II eixo x
39) Caso b ::: ° (e a = 1 = 0). a reta e paralela ao eixo dos y
porque b -:::o ¢::===='> r I I eixo y
49) Caso c = 0, a reta passa pela origem
porque 0 ponto (0, 0) satisfaz a equacao se, e somente se, a(O) + b (0) + c = = 0,
isto e, c = d . . .
y y
Yl c B
B
V I ~-- - - -.,..---- A
x-0· · I I - - - + - - - - - - !
l= XlXl ..
exemplo 3A reta de equacao
..y- 2 = 0
e paralela ao eixo .dos x.E a reta cujos pontos apre-
sentarnordenada (y)igual a 2.
y
x
(0,2) (1,2) 12,2) (3,2)
o
exemplo 4
A Teta de' equacao
X -t- 3=0
y
(3,1)
13,2)
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exemplo 5
A reta de equacao
2 x -3y= 0
y
(3,2)
passa pela origem do sistema carte-
siano pois 2(0) - 3(0) = O.
Ela tambem passa pelo ponto(3,2), pois 2(3) - 3(2) = O. x
d) a grilfico da equadio (IX + by + c = 0
o grafico de toda equaeao da forma ax + by + c = 0, onde a*'O ou b 1 = 0,
no plano cartesiano, e uma reta
De fato, vamos considerar duas solucoesda equacao:
-c
para x = 0: a(O) + by + c = 0 ~ y =~b
-a-cpara x =1: a(1) +by + c =0 ~ y = ---
b
(estamos supondo que b 1 = O. Caso b = 0 as solucoes da equacao seriam todos as
pares (x, y) onde x = - : ' e 0 grafico seria uma reta paralela ao eixo dos y )
Sejam A = (0, -b C ) e B = (1, - \- C ) 'e determinemos a equacao
da reta AB:
1-0
x - o y- ( - b C)~a;c - ( - b C )
Y - Y 1 1 =0Yl -Yl
=0 ====>
I.
by+c
b
-a
b
x. -aby+c
=0~ .l)x- -b- =0=:::::>
====> ax + by + c = °. logo, todasolucao (x, y) da equacao dada e formada pelas coordenadas de urn
. ponto da reta AB, e todo ponto desta reta e soluc;:ao da equacao dada
exempla .6
Ogcifico da equacao 2x + y - 4 = 0 no plano cartesiano e uma reta. Para
obter pontes desta retabasta atribuir valores arbitrarios a uma das incognitas e
.:calcular a outra na equac;:ao: .
. para. x = 0 .temos:
2(O} + y -4= O;logoy= 4.
..para y= 0 temos : . ..
2x + (0) ·.~4===O, logo x = 2.
xAreta passapelospontos (0,4)e(2,0). ...
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EXERClclOS
1. Obter a equ~ao da reta que passa por A (3,1) e B(5,2).
2. Qbter a "equa95o da reta AB nos casas:
a) A ;:; (1,2) e B "" (7,6)
b) A ;:; (-1,2) e B =: (3,0)
3. Dados A (1, 2), B(4, 0), c (0, - 2) e D (;, ;), determiner as equacoes das retas AB,
Be e CD. " ~
4. Obter a eq!la.9ao da reta que passa por A(p, -p) e B(-p, - 2p), p = f. O .
5. Provar que para todos os valores reais de k e t os pontos A(1, 2}, B ( 1 + k, 2 ~ k) eC (1 - t, 2 + t) sao colineares. Determiner a equayao da reta que os contem,
6. .Vcrificar que os pontes A {2, 3}, B(5, 11) e C (10,25) sao vertices de urn mesmo triangulo
e detenninar as cquacoes das retas .suporte dos lades deste triangulo,
7. Dados ACO, 0), B (3,7) e C (5, -1), determinar a equ~ao da reta que passa por A e pelo
ponto medic do segmento BC.
8. Determiner as equal,;oes das retas I,
S, t e u indicadas no grafico, 5
- - ~ - - - r - - - + - - - i - - ~ r - - - t - - 7 ~ ~ X
t
9. Quais entre as pontes A (2, 3), B (3, 2), C ( - 6, 8) e D (18, - 8) estao na reta
r: 2x + 3y - 12 ;:; 01
10. Calcular k Para que 0 ponto p e l . k) pertenca a leta r: 3x - 4 y + 1 = O.
11. Calculark para que a reta r: 2x + ky + k = = 0 passe pelo ponto P(- 3, 2).
12. Para que valor de k a reta r: 5x - 3y + k;: 0 passa pelo bancentro do triangulo de
vertices A(-5,-5), B(1,5) I: C(19,0)~
13. Representar: graficamente as equacdes
a) 3x+2y-6;:Ob) x-3y;:O
c) 2x - 4 '" 0 ' d) y + 3=0
14. Dada a equacao rn'x + my + (2 - m) =: 0, mE IR,
a) para que valores dern ela representa uma reta?
b) para que valor de m ela reprcsenta reta passando pela origem do sistema cartesiano?
15. Quais s a O . as equa~6es das bissetrizes dos quadrantes?
16. Obter lim ponte A na reta r: x - y = 0 e equidistante dos pontosB (1, 0) e C (5,2).
,"~.
Resolueao
A E r :> XA - YA ;: 0 ==2>-
~ YA=xA
logo. A:= (x, x).
Determinamos x impondo a condiciio
dAB:::: dAC:
"J(l- x)' + (0 - x)'= J(5 -x)' + (2- x)'
1 - 2x+ x' + x' =: 25 .; lOx + x' + 4 - 4x + XlB
x
v r ,
A
I
I
I
/I
II
III(
: 7 ( 7 7 )2x"" 28, portauto x=<T e A= 3'3
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17. Obter urn ponte A na reta r: 2x - y = 0 e equidistante dos pontes B (0, 1) e C (6,3).
18. Obter um ponte P na reta r: y = 3x e equidistante dos pontes A (4,0) e B (0,2).
19. Obter urn ponto Ana reta I: Y " " x tal que 0 ponto medic do segmento AB, B = (2,4),
pertenca it reta s: 2x - y - 4 = = o .
20. Obter um ponto A na reta r: Y ;0 x e urn ponto B na reta s: y :: 4x tais que 0 ponte
media do segmento AB seja M ::::;(I, 2).
2. Posicoes relativas e Interseccoes de retas
a) Vetor normal a uma reta
Consideremos a reta r do plano cartesiano, de equacao ax + by + c ::::O.
y
x
n
Oscoeflcientes de x e de y .
sao, nestaordem, as cornponentesde .urn vetornczmal (ortegenal) areta r, isto e : .
AB
)o
De fato, se A(x1, Y1) e B (Xl, Y 2 ) sao dais pontos quaisquer da reta r temos--+
que AB = (X1 . __:Xl> Y 2 - yd e:
A E r ===> ax, + bY l + c = 0 C D
@E r ===.> aXl + bY2 + C = 0
o - C D ==>- aX2 -ax! +bYl-bYl +¢-¢=O ==?...;.
=::>{x2-xl) + b (Y 2 - Yi) = 0 ===> n; A B := 0
....-..+
.. logo n e A B sao ortogonais,
exemplo 7
Urn vetor normal a reta 2x ~ 5y + 4 =0 en:: (2, -5).
b ) Posifoes relativas de dues retas
Duas retas re s do plano cartesiano podem ser concorrentes OU paralelas:
o x.
concorrerues
r X 5
paralelas distintas
rll sparalelas coincidentes
, Dadas asequacoes de res, r: ax + by + c = 0 e s: a'x + b'y + c'= 0,
podernos reconhecer a posi~ao das .retas a partir doscoeficientes das equacoes.
Como 1 1 = = (a, b) e n' = = (a', b') sao vetores normals a r e as, nesta ordem,
temos que
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abc _NOTA: Quando -;' = = b' = = C' as retas sao paralelas coincidentes e quando
--;-= bb,.*- ~as [etas sao paralelas distintas.a . c
exemplo 8 .
Dadas r: 2x + 5y + 4 = 0 e s: 4x - lay - 3 = ° temos:
n = (2,5)
n' =(4,-10)
exemplo 9
Dadas r: 2x. - 3y + 1 = 0 e s: 6x -9y +4-= 0 temos:
n :::::2, -3)
n' :::: :(6,-9)
2 -3 1Como 6" = _ 9 = F A ' res sao paralelas distintas.
n II n' ==;> r II s
exemplo 10
Dadas r: 2x +3 y +4 = 0 e s: 4x + 6y + 8 :;;;0 temos:
n = (2,3)
n' = (4, 6)n / I n' :::::==;:> r / I s
C2 3 4 _. id t
omo 4" =6=8' res sao comet en es.
c) Ponto de intersecdio y
U r n ponte d e in te rs ec ca o P(xp,
yp) de duas retas,
r: ~x + by + c=0 e
s: a'x + b'y +c'= 0,
satisfaz a s equaeoes de ambas as
retas e, entao, e s olU9 ao d o sistemao )(
. { a x + by+ c = = 0
S: . a'x +b'y+c' = 0 .
. Reciprocam.ente,toda solus;ao (x, y) do sistema Se ponto de interseccao d a s
du as r et as .
exemp/o 11
Dadas . r : 2x + y + 1 = 0 e s: x - 2y - 7= 0 ternos:
. . xz·:. { . 2 x+ y +.....1 = . 0. -- - - '- . . ;. . 4x +2y +2::- : as : . . . . . +x--:2y - 7 = 0 _.-~~ x - 2y - 7 :::::0
5 )( ~ 5 = 0 ~ xr= 1
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Substituindo x na Hl equacao vern:
2(1) + Y+ 1 = 0 ===::;. y:::-3
Logo, res sao concorrentes no ponto 1 > = (1, -3).
d) 0 sistema das equaoiies de duas retas
Considerando que
19) duas retas concorrentes apresentam urn unico ponto de interseccao;
29) duas retas paralelas coincidentes apresentam infinitos pontos comuns;
39) duas retas paralelas distintas nao apresentam ponto comum.
A partir dos itens b) e c) p()demos tirar as seguintes conclusces sobre 0
sistema
{
ax + by + c = 0s· .. a'x + b'y + c' =0
formado peJas equacoes de duas retas res:
10) ~ = 1 = ~.. a' b'
S admite uma unica solucao
(Se sistemapessfvel edetermmadc)
abc20) - --_. --:-;- b' - ,
a c
/
S admiteInfinitas solucoes
(S e sistema possfvel e indeterrninado)
39) ~a
= b o F . . 5 : _ .b' c'
o¢: :==*" S nao admite solucao
(8 e sistema impossivel)
exemplo 12
{2 x + 3 y --' 1 = 0
8' ..' 6x - 9y - 3 = 0
1...J._3_ < a _J_ b S'd' d6 'f'" -9 ==>-;; -r- b"~ eetermma o.
Dado temos:
A unica solucao de 8 e ( ; , .0) , que e obtida resolvendo o sistema. 0 ponto
( ; , 0) e a ponto de interseccao das retas 2x + 3y - 1 = 0 e 6x .c .. .9 y - 3 = O.
exemplo 13
{2 x + 3y + 4 = O .
Dado S: temos:4x +6y + 8 = 0
2 3 4 abe4 6 8 ===? - ; > = b' =c' ~ S e indeterminado.
As infinitas solucoes de S sao as coordenadas dos pontes da reta 2x + 3y + 4 = O.
exemplo 14
{2X + 5y +4= 0
s: 4x + lOy _ 1 =0
2 5· 4 a'b c4' =10 ;/; - 1 ~ -;;- = b' ;/;C'~ S e impossivel.
Dado Lemos:
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EXERctCIOS
21. Classificar em verdadeiro (V) ou falso"(F):
a} Urn vetor normal it reta 3x.+ y -- 1 := 0 e n = (3, Ii
b) Urn vetor normal a reta 2x - 5y + 3 = = 0 e u r= (2, 5)
c) U rn v etor normal it 'reta x+y+l==O e v "" (2, 2)
d) Urn vetor normal a reta 4x - 1 = 0 e VI = = (1,0)
e) Urn vetor paralelo 1 1 leta 2x + 5y - 3 = 0 e v = = (5, - 2)
f) Urn vetor paralelo it reta 3x - y + 1 :;: 0
ev ;: (l, 3)
22. Dar a posi~ao relativa de res nos cases:
a) r: 5x - 2y - 1 = 0 e s: 2x - 4y + 7 = = 0
b) r: 3x + y + 1 = 0 e s: 6x + 2y + 3 :: 0
3c) I: 8x - 4y + 6 ::: a e s: 2x - y +"2 = = a
d) r: Sx + 2y = 0 e s: lOx - 4y ::: a
23. Determiner os valores de k para os quais as retas r: kx + y + 2 ::: 0 e s: 3x - 6y - 2 = = 0 sioconcorrentes,
24."De1enninar a.interseccac das retas X + 3y :;::4 e 2x + 5y := 7.
25. Determiner o ponto de interscc'tao-das-retas r e snos "casos:
a) r: 3x + 4y - 11 = 0 e s: 4x - 2y - 14 = = 0
xb) r: 2 " + y ::;; 1 e s: y :;: 3x - 1
c) r: 3x - 2y :;:: 7 e s: 4x + Sy = = - 6
26. Dados A (1, 1), B (3, -1), C (4, 2) e D (3, 1), achar as equacoes das retas AB e CD e,
depots, obter 0 ponto de interseccao destas retas,
27. Dados A{3,0), B{5, 0), C(0,5) cD(-I, 2), deterrninar 0 ponto de interseccao das
diagonais AC e BD do quadrilatero ABCD.
v
28. Determinar ascoordenadas do ponte
P indlcado na figura.
x
29. DadosA{O,O), BOO, a} , C(6,4) e D(2,4), pede-so
a) determinar a ponto de interseccao P das retas AD e Be
b) determiner os pontes medias Me N dos segmentos AB e CD, respectivarnente
c) provar que M, N e P sao colineares
30. Deterrninar as vertices do triangulo cujos lados estao nas retas x - 2y ::= 0, 2)( ~ y=:O ex + Y - 6 = = O .
31. Calcular 0 penrnetro e a area do triangulo cujos Iados e51110 nas retas x - y = = 0,
x - 3y =' 0 e y - 2:= o .
32. Considere 0 triangulo cujos Iados estao nas retas 2x - 3y ;: 0, x + y -5 = ° ex + 6y::=
= = o.
a) Determinar os "vertices do triangulo
b) Determinar os valores de y para os quais 0ponto P (3, y) estd no interior do triiinguio.
33. Mosti:ar que as retas 3x - 2y - 8 = 0, x + 2y - 8 =: 0 e 5)( - 6y - 8 = = a sao con COI-
rentes num mesmo ponte P.
Resolucao
Notemos que r: 3x ..;_2y - 8 = 0, s: x + 2y - 8 =0 e t: 5x - 6y -:-.8 = = 0 sao con-correntes duas a duas; pois as vetores normals sa o n ee (3, - 2), n' = (1,2) e n" = = (5, - 6}.
P a ra m o s u a r que saoconcorrentes num mesrno ponto devernos mostrar que existe urn
unicopar (x, y ) quesatisfaz a s t:resequa~iies, i s t o e , q u e 0 s i s t e m a
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5
{
3X - 2y - 8 = = OQ)
x + 2y - 8 = = 0 C Y5x -;: 6y - 8 = = 0 Q )
apresente uma unica solucao. Temos:
. . {3_X-2Y=8 0·C D e @~ ... ==9 4x = 16===?x = = 4
x + 2y == 8
em <y : 4 + 2 y = = 8 ====;0. Y = = 2
logo, 0 par (4, 2) e 0 unico que satisfaz simuitaneamente a s equacoes (i) e Q). Mostrernos
que ele satisfaz tanlbem aequa~iio ®:
para x=4 e y=2 temos 5x-6y-8==S(4)-6(2)-B=Q.
Portanto, 0 ponto (4, 2) esta nas. tres retas.
34. Verificar se as retas 3x + y - 4 = 0, 2x - 3y + 23. = 0 e 5x - y + 12 = ° slio concor-rentes msm.mesmoponto.
35. Verificar se as retas2x + 3y - 5 = 0, 3x + 2y - 5 = ° e x + y - 5 = 0 sao concor-
rentes num mesmo ponto,
3. Paralelismo e perpendicu1aridade
a) Condifiio de paralelismo e de perpendicularidade de duas retas
Conforme vimos, dadas as retas r: ax + by + c=0 e s: a'x + b'y + c'= 0,
os vetores n = (a, b) e n' = (a', b') sao, nesta ordern, vetores normals are
a s, Usamos esse fato para obter a condicao de paralelismo de duas retas:
Podemos tambem obter a condiltao de perpendicularidade de duas retas:
y
5
x
rlls~ nUn' rl =- '> n1's
exemplo 15
Dadas r: 2x + 5y -3 = 0 e s:lOx + 25y + 29 = 0 temos:
n = (2, 5)
n' = (10,25)
·_l_=2· ===?r II s10 25 29
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exemplo 16
Dadas r: 2 x + 5y - 3 = 0 e s: lOx - 4y - 1 = ° temos:
n = (2,5) } = = = = > n . n ' = 2(10) + 5(-4) ~ 0 ==> r 1n' =(10, -4)
b) Obtenciio de uma reta paralela a uma reta dada
Dada uma reta r de equat;ao ax + by + c = 0, toda reta paralela a r admite
urna equaeao da forma
onde k E IR.
De fato, como n = (a, b) e urn vetor normal it reta r, ele tarnbem e vetornorm al a qualquer reta paralela a reta r. -
exemplo 17
Toda reta paralela a leta r: 3x
+2 y
+1 =0 admite uma equacao da forma
3 x + 2 y + k =O.
Vamos obter a reta sparalela are que passa pelo ponto- P(4, n o
Determinamos k impondo que
P satisfaea a equacao;
Logo, a equacao de S e
,p E S <===> 3(4) + 2(1)+ k =0-¢"!=~>
~~ k=-14
3x + 2 y -'- 14 =O.
'c ) Obtenriio de uma reta perpendicular a uma reta dada.
Dada uma reta r de equacao ax + by + c = 0, toda reta perpendicular a r
admite uma equacao da forma
onde k E R.
De fato, os vetores n = (a, b) e n' = (- b, a) sao o r togona is pois n . n' =
= a(-b) +ba =O.Como n e urn vetor normal a I, °vetor n' e urn vetor normala qualquer reta perpendicular a r.
exemplo 18
Toda reta perpendicular it reta r: 3x + 2y + 1 = 0 admite uma equacao da
forma3y -2x + k = O.
Vamos obter a reta s perpendicular are que passa pelo ponto P(4, 1).
Determinamos k impondo que P satisfaca a equacao: ..
PE s 3(1) - 2(4) +k=o<:====*"
k=5
Logo, a equacao de s e sp
ou seja, 30y - 2x + 5= 0,
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EXERClclOS
36. Associar a cada item (1 a X) urna das afirmayOes (A a C).
A) I e s sao paralelas.
B) res sao perpendieu1ares.
C) r e 8 s a o concorrentes, mas MO perpendiculares,
I.r;3x+4y=0, s:lSx+20y-l=O
II.·r:8x - 4y - 3 "" 0, s: 2x - y + 1 ""0
III. r:3x+2y'--1=O, s:4x-6y-3=O
IV; r: 5x+ y = 0, s: x - 5y + 2:= 0
V . r: x + y + 1 = 0, s: X - Y - 1 = 0
VI. r: 3x - 4y = 0, a: 4x :- 3y - 1 =0
VII. r: 7x + y = 0, s: x - 7y = 0
VUI. r;4x + 3y - 1", 0, s: 2x +5:= aIX. r: 2 J I : + 3 = 0, 5: 3y - 7 = 0
X. r: 3x - 2
=0, S: 4x + 5
=0
37~ Determinar 0 valor de.k.para queasretas r: kx + 2y + 3 :::.0 es: 3Xc- y - k =0 sejam
paralelas.
38. Determinar os valores de k que tomam as zetas r: 2x - ky + 1 ::::0 e s: 8x + ky - 1 :::;0perpendiculares,
39. Obter a equa¢oda leta paralelaji reta r: 2x+ 3y + 1 = = 0 e que passa pelo' ponto
P(5, -2).
40. ConduziI por P a leta paralela a r, nos casas:
.alP = = (1,1) e r: 3x.- 4y + 2 := 0
.b) P = (O,2) e r: 7x + y = = 0
e)P= (-3,-5) e r: x - 2y - 4 = 0
41. Q u a t e a equayao da reta paralela a I; 7x + 15y - 11 ::: 0 e que passa pe1a origem do
sistema cartesiano? .
42. Umareta r e paralela a reta x+2y = Oe passa pelo ponto P(-4, 8). Determinar os
pontos de intersecao de r com os eixos coordenados,
43.· Obtera equa~ da.reta.perpendtcular a . leta. r: 2x + .Sy - 1 ::::ue que passa pelo ponto
P (1, 1).
4 4 . Conduzir por P a reta perpendiculara I, nos cases:
a} p.::: (0,7) e r: 3x - y + 2 := 0
b) P "" (-.i, 3) e r: x + 2y = = 0
e} P=0
(0, 0) e I:x- Y ~. 1 ;: 0
45. Determinar a pIoje¢o ortogonal do ponto P(2,3) sobre a re ta r: x + .yf- 1 = = O.
Resolu,<oo. . .
.Obtemos a reta s, que passa porP
.e e perpendicular a r :
. s: x - Y + k = 0
PE 5~ (·2)- (:3) + k,:: 0 ==*"
.====;> k,::J
r1, .
,..s
logo, s: x ~ y + 1 = = O .
A projei;iio. or togonal de P 5Ob[~ r e 0 ponte de intelse¥ao de! e s:
p ; . { x + y + 1 = 0 ~ 2x + 2 = = 0 ==*.x"" _ 1
x - y + l = = O
ria l~ equ~ao: (-:- 1) + yt 1.'"' 0 ..- - : > . y = = 0
{ 1 m
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46. Determinar a projeiiao ortogonal do ponto P (7, 2) sobre a reta r : x - y + 1 '" 0.
47. Determiner 0 p e da perpendicular baixada de P (1, 6) a r : 3x + 4y - 2"" 0.
48. Dadas as retas r: 3x - y:; 0, s: 2x + y=:O e 0 ponto H(3, 4), conduzir por H a reta t,
perpendicular a r, e determiner 0 ponto onde t intercepta s.
49. Determinar 0 ponto simetrico do ponto P (2, 3) em [ela~ao a [eta r: x + y + 1 :;; 0.
tPResolu~ : f
Os .dados sao os mesmos do
exercfcio 53, onde determinamos P' = =
:= (-I, 0).
Como P' e ponto media do seg-
menta PQ temos:
r
P'::::;P~Q ===>P+Q::;:2P' ~Q==2P'-P ===>Q=2(-1,O)-(2,3):;:
::: (- 2,0) - (2,.3):;: (- 4, - 3).
50. Determinar 0 ponto simetrico do ponte P (0,4) em relaltao a [eta r: 2x + y = O.
51. Dados P (0,0) e r : x + y -'- 5.=: .0, ·determinar 0ponte med.io do segmento cujas extre-
midades sao 0 ponto Pea sua .proje~ao ortogonal sobre r,
52. Num tridngulo retiingulo ABC a hipotenusatem extremidades B:;: (2,1) e C= (6,8),
e 0 cateto que passa por B e paralelo ii reta 31'. + 4y + 5 = = O. Deterrninar 0 venice A.
53. Num triangulo retingulo ABC, a vertice do angulo reto e A =: (7, 7), a hipotenusa esta
na [eta 4x - 3y '" 0 ~ um cateto e paralelo a reta x + y + 1 ::;: 0. Calcular a medida da
hipotenusa..
54. Dois lados de um paralelogramo estao ern I:x - 2y = 0 e s: 2x - y :;:: 0 e urn dos
vertices e 0 ponto A (10, Hi). Determinar as outros vertices.
55 . Calcular as medidas dos angulos formados pelas retas r: 2x + y + 1 :; 0 e s: 3x - y -1 :;::G.
Resolur;io
Notemos que se res formam osangulos de medidas (j e 180
0
- 8, 0
mesmo ocorre com as direcoes normals
a r e a s. Assim, vamos determiner 0
angulo entre os vetores n := .; (2,1) e
n' :;:: (3, - 1) que sao vetores normals a
rea s:
n .v n' 2(3)+1(-1)
cos 8 := Inlln't "" .J2'+Tl . J 3 ' + (_i)'
Concluimos que res formam angulos de 45" e 135°.
56. Calcular as medidas dos angulos forrnados por res nos casos:
a) r : 2x - 2y - 1 :=.; 0
b) r : x + y _c 1 =:. 0
c) r: 5x - 3 =: 0
s:y+4~O
s: x + 3y + 3:; 0
s: X +.,f3y + 3 =0 0
57. A distfincia entre urn ponte P e urna re ta rea distancia entre Pea sua projecao ortogonal
P' scbre r. Danos P =: (7, - 3) e r: 8x + 6y + 17 :;::O,ca1cular a distancia entre' Per.
4. Ponto e reta: distincia
Distiincia
A distancia entre urn ponto P e uma reta r e , por definicao, a distanciaentre Pe a sua projeqao ortogonal P' sobre r:
~d = IP'PI
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19) tomemos urn ponte A (Xb Y l) em r:
AE r ===> ax, + by! + c = 0 C D2 9) notemos que P ; P e a p ro je ~ao d e A P n a d ir e, !; ao d e n =(a , b); p ortanto sen do 8
o angulo entre A P e n temos; . >
d = I P ' P I = ( A P l l c o s 8 ! = I A P I 1 ~ . n 1 '= · 1 M i - nIAPllnl !n]
Dados P(xo, Yo) e
r :- ax + by .+ c ::::;0,
podernos calcular d da segUinte mao
neira: A p'
---+
39) como AP = P - A = ( x o - X l > Y o - Y I ) en = (a, b), decorre que
d = I A . " P . n I : : : : I (xo - Xl) a + (yo - Yl) b I =I ax~ + bYa - ax! - bY l 1
[n] . J a 2+b2 .Ja2+b2
De C D temos c = - ax! - by1e, portanto,
exemplo 19
A distancia entre P(7, -3) e r: 8x + 6y + 17 = 0 e:
d = ! 8(7) + 6(-3) + 1 7 1 : : 156-18 + 1 7 ! = 1 E . \ = 55V S 2 + 62 J l O O 10 10 = 5,5
EXERCiCIOS
S8. Calcular a distfincia entre P(-7, -4) c r; 4x + 3y - 20:: 0,
59. Calcnlar a distancia entre P e -r nos casas
a) P ::; (2; 4) e I;Sx - 6y + 13 ::;:0
b) P=(3,-1) e r:2x+y=O
c) P "" (- 3, 0) e I:3x + Zy = = 1
d) P :;; (6, 5)e_ r: 3x -""4y - 2
60. Calcular a distancia daorigem do sistema cartesiano a reta de eq uay ao ;;_ +~;:: 1.- -
61. Calcular a distancia entre 0 ponte A (1;2) e a reta que passa pOI B (-1, -1) e C(5,7).
62.Calcular a altura; relativa ao vertice A, do triangulo de vertices A(l, 1), B (-1,~3) e_
crz, -7).
63. Dado 0 IIiangulo de lados contidos nas retas or; x + y "" 6,5: x - y =2 e t: 3x + Sy ;:: 30,
calcular as suas tres alturas.
64. Calcular a hea .de urn quadrado que temum vertice no ponte P(7, -5) e umladc na
reta r: 2x + y + 1= O. -
65. Cal~lar 0 lado de urn quadrado que tern urn vertice no ponto PCO,5) e lima diag;nai na
reta r: x - "y ;: o . 3366. Calcular a distancia entre as retas r: x+2y + 3 = 0 e s : x + 2y + 13 =-0.
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Como res sao paralelas, a distancia entre res e a distancia entre urn ponto P,
PEr, e a reta s.
Em r: x + 2y + 3 = 0, para y "" °temos
x + 2 (O ) + 3 = 0; logo x = - 3 .
Assirn, P =(- 3, 0) E r Temos:
_ _ I ( - 3) + 2(0) + 131 " ,,_ !_ Q __ " " 20dr,s-dp,s- ..)1'+2' .J5
s
67. Calcular a dismncia entre as retas r: 3x: + 4y - 12 = 0 e s: 3x + 4y + 18 = O.
68. Calcular a distilncia entre as retas r: 3x + y - 1 = 0 ..e s: 6x + 2y - 3 = O.
~~, Deterrninar os pontos da reta s: y "" 2x que distam 3 unidades da reta r: 3x - 4y = O.
Resolucao
PE s = = = = > Yp = 2xp ~
===> P =(x, 2x)
13 (x) - 4 (2x) 1 _ 3dP,r = 3 ~ J(3)'+ (-4)' - =>
~1-5xl=15 =>x=±3
p s
logo, P =.(3, 6) ou P = (- 3, - 6).
70. Detemtinar as pontos da reta s: y = x + 1 que distam uma unidade da reta .
r: x + y -1 =O.
71..Detenninar os pontes do eixo do s x que 'sao equidistantes das retas r: 3x + 4y + 6 = 0
e s: 4x + 3y + 1 = 0.
t dovei dos y q ' ue e equidistante do ponto .,A (2, 52) e da reta2. Determinar a . pan 0 . elxo •
r: 2 y + 1 = = o.
5. Bquacao reduzida e inclinatj:ao
a) Equacio reduzida
Consideremos uma reta r: ax + by + c = 0, onde b 1 = - O. Notemos que:
. . a . Cax + by+C =0 ==:;:. by = -ax - c =:;'>Y= -"i)x -b-
. -a ~cFazendo-se T=m e -b- =q obtemos aequacao
que e . denorninada equacao reduzida da reta.
exemplo 20
Dada a reta r: 3x + 2y ;_ 6 = o vamos obter a sua equatj:ao reduzida:
3x+2y - 6 = 0 ==*' 2y= -3x + 6 ===>y =_lx + 3. . . . 2
b) Os coeficientes na equilftlo reduzida
Na eqtia9aoreduzida, y = rnx + q, os coeficientes rn e q sao denominados,respectivamente,coefidenteangular e coeficiente linearda reta r. As suas inter-pretay5es geometricas sao asseguintes: .
coeficiente angular 34
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coeficiente linear
q e a ordenada do ponto onde r corta 0 eixo dos y.
q Q P
y
o 1 x
CC= ~ agudo
m=tgCC>O
CC=s(r=O
m=tgcc=O
a: = i'r obtu50m=tg(t<O
De fato, considerando- a- equ~aoy =mx + q_ temos que:
19) para x :;:; 0, y = mCO) + q = q.
Logo, a reta r corta 0 eixo dos y no ponto Q = (0, q).
29) para x = 1, y =mCl) + q = m + q
Logo, 0 ponto P = (1, In + q) pertence a f.
Se m > 0, entso m + q> q, e temos 0 caso da figura C D , onde, no trianguloPQR , tg a: = = m .
Se m = 0, entao m + q = q, e temos 0 caso da figura 0.Se m < 0, entao m + q < q, e temos a caso da figura ®, onde, no trianguloPQR , tg(rr - a) = -m; logo, tg C t = =m,
exemplo 21
A reta de equayao reduzida
y = X + 3 tern coeficiente angular
m= 1 e coeficiente linear q :::; 3.
Logo, ela formaarrgnlo de 45° com
o .eixo x e intercepta 0 eixo y no
ponto (0, 3).
y
x
c) Paralel ismo e perpendicularidade
Considerernos duas retas res de equacoes reduzidas y =mx + q e
y = m'x +s'. nesta ordem,
As retas res sao paralelas se, e sornente se, suas inclinacoes em relacao ao
eixo x sao iguais, Logo, podemos concluir que:
y s
Observemos ainda que:
x
r: y "" mx + q ==?-mx + y - q = 0
s: y =: m 'x + q' ::::::=:> -m'x + y - q'= = 0
o
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r 1 / S $ = = = = = > n 1 / n' m=m'
Logo:
A condicao de perpendicularidade e:
r Ls <;===:;:.n1n' <==:;=:;>n·n'=O<==:;:.(-m)(-m')+l=O
portanto
exemplo 22
Dadas r: Y = 3x + 4 e s: y = 3x - 7 ternos:
(m, ;;;;;3 e ms= 3) ==!> mr::;;;; In s ==:::> s I I r
exemplo 23
3Dadas r: y = 2 " x + S
2 1e s: Y = - 3" x + 2 " temos:
.3 2.)(mr =l'e ffis::':; - 3 ::=:!> m, . In s =- 1 = = = = > 5 1
d) Celculo do coeficiente angular a partir de dais pontes
Consideremos uma reta r,de equacao reduzida y ;;;;mx. + q, e vamos supor
que A (Xl, Yl) e B (X 2 , Y2 ) sao dois pontos de r. Ternos:,
A E r ~ Yl =mx, + q C DB E r ===.> Y2 = = rnx, + q Q)
@ - C D ==> Y2 - Yl =m X ; -mxl +~- l
logo
exemplo 24 .
Vamos calcular 0 coeficiente angular dareta que passa pelos pontes A (2, 3)
e B(S, 9):
m = = Y2 - YI = 9- 3 = = _f =2.~ - x, 5- 2' 3
e) Obtenriio de uma reta passando num ponto P(xo, Yo) dado
y y y
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19 caso: a reta e paralela ao eixo dos x.
Neste caso, urn ponto Q(x, y) esta na reta se, e somente se, y =Yo. A equacao
da reta e , portanto:
29 caso: a reta e paralela ao eixo dos y.
Neste caso, a equacao da reta e
39 caso: a reta niio e paralela a nenhum dos eixos.
Neste caso, sendo m 0 coeflciente angular da reta, urn ponto Q = (x, Y)
pertence i reta se, e sornente se,
y - Y o
x ,- X o=m
A equacao da reta e, portanto:
exemplo 25
Dado a ponto P(4, 3) temos:
19) a equacao da leta r, que passa
por Pee paralela ao eixo dos
x, e
y
t
3
s
Y = 3
29) a equacao da reta s, que passa
por Pee paralela ao eixo dos
y, e
x=4
39) a equacao da reta t, que passa par P e tern inclinacao de 45°, e
y-3=1(x-4)
Na forma reduzida, esta equacao fica Y= x - 1, enquanto que na forma geral
e x - Y - 1 = O. '
EXERciclOS
73. Colocar na forma reduzida e dar 0 coeficicnte angular:
a) 2x + y - 3 = 0 b) 4x + 2y + 5 = 0 c) 3x -y + 1 = 0
d) a. - 4y - 3 = 0 e) 3x - 9 y = 1 f)x y2" +5'= 1
g) 8x = 2y - 9 h) 2y + 3 = 0 i) Y - 1 = 0
74. Dar 0 angulo de inclinacao, em relacao ao cixo des x, das seguintes retas
'a) y = x + I b) y =..j3x - 1" c) y = -x + 2
75. Represcntar graficarnente .cada reta, indicando 0 angulo-ce inclinacfio e 0 ponto onde
corta 0 eixo dos y:
a) I: y = x + 2 , s: y= x + 3 , t: Y = x -'- 2 , u: y = x
b) r: y '" - x + 3, s: y = - x, t: y = - x - 3
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76. Associar cada item (1 a V) a uma das afirmacdes (A a C).
A) res sao paralelas,
B) res sao perpeadiculares.
C) res sao concorrentes, mas nao perpendiculares,
I. r: y := 2x 1- S e s: y := 2x - 3
x . 1II. r:y := - 3x + e s: y "" "3 + "2
.. xIII. r: y := " " 2 - J e s: y =:; - 2x.t 5
3x 2 2x 3IV. r: y =: - T+ 3' e s: y ~ - "3 - 2
v. r: y = = X + 100 e s: y "" 100 - x
2 + a - a - 277. Calcular 0 valor de a que torna as retas y =.-2~- x + 1 e y = 3x - --2paralelas.
. -a a+
78. Calcular 0 valor de k que torna as retas y = ~ + k' e y = = 2k:lx - 1 perpendiculares.
79. Determinar 0 coeficiente angular da [eta que passa pelos pontes A e B nos cases:
II) A =n, 2) e B =: (5, 10)
c) A := (- 1, 2) e. B= (3, 10)
b) A =(-.1.1"'1) e B:= (4,6)
d) A=c{3,--Ue._B. =: (- 2, 4)
80. Determinar 0 valor de k que torna a reta kx + 2y + 3 ::= 0 paralela a [eta que passa
par A(4, 3) e B (6,13).
81. Determinar 0 valor de x para 0 qual a [eta que passa par A(1, 1) e B(x + 1, 2x) terninclina"ao de 60· em rela,.ao ao eixo des x, .
82. Dar a equ~ao geral da leta que passa POI P e tem coeficiente angular m nos casas:
a) P = = (2,3) e in::: - ~ ..
c) P = (3, - 1) e m >3
b) P := (~5, - 5) e m:= - 1
1d) p:= (-1,0) e m =0 '2
83, Determinar a equacdo da {eta que passa por PC2, 5) etem inclina~o Ct nos cases
a) ill =: 45· b) a;: 1350
84, Determinar a equ~ao da reta que passa par P(S, 0) ee paralela a reta y = = 3x + 1.. .
BS~ .Determiner a.equacaodu.reta.que passa por P {2, -1}e e perpendicular a retay = - 2 x + 7. . .
. .
86. Conduzir pOI P (6, 3) as seguintesretaa:
a) r , paralela a reta y =: Sx
b) .s, paralela a · bissetriz .do, 19· e 3~ quadrantes
c) t, paralela ao eixo des x
d) U, perpendicular a reta y = = lOx
87. Determinar a equal(ao d~ reta suporte da altura relativa aovertice A do triangulo ABC.
Dados A (5, 5), sa, 0) e C (6,1), .
Resolu~ao
o problema pede a reta h, que .
passa par A e e perpendicular a reta a c ,Temos: .... .
c
portanto mh = - 5
.. . ;
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88. Deterrninar a cquaciio da reta suporte da altura relativa ao vertice B do triiingulo ABC.
Dados: A(l,O), B(5,2) e C{3,6).
89. Deterrninar a ortocentro (ponto de intersecfio das alturas) do triangulo de vertices
A(1,2), B(2,G) e C(4,4).
90. Determinar a equacjio da mediatriz do segmento de extremidades A(3, 2) e B(0,1).
91. Determinar 0 ponto de encontro das mediatrizes (circuncentro) do triangulo de vertices
A(8, 0), B{0,4) e C(-l, 3).
92. Dais lados de urn triangulo estao nas retas y := X e y = 6x, e a ortocentro e H (3, 4).Determinar as vertices do' triangulo.
93. Determinar os outros vertices de urn trifingulo sendo dados 0 vertice A (1,1) e as equacoes
das retas suporte de duas alturas, r: y :: 3 - xes: y :: 3x.
94. Conduzir pelo ponto P (2, 4) duas retas perpendiculares entre SI e que interceptum a
eixo dos x em dais pontes que dis tam entre si 10 unidades.
6. Formas da equayao da reta
a) Equllfiio geral: ax + by+ c = 0
b) Equariio reduzida: y = mx + q
c) Equafiio segmentdria
Vamos determinar a equacao da reta que intercepta os eixos coordenados
nos pontos P (p, 0) e Q (0, q), distintos:
y
l x-p y-o! =0O-p q-O.
q(x-p)+ py=0x
qx+ py -pq =0 a
Transpondo 0 terrno constante para 0 segundo membro:
qx + p y = pq
e dividindo par pq, obtemos a equacao
que e denominadaequa~aosegmentaria da reta.
y
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d) Equac iie s p ar ame tr ic as
Consideremos a reta r que passa pelo ponto P(x o, Y o) e tern a direcao do
vetor nao nulo v = (a, b). Urn ponto Q(x, y) pertence a r se, e somente se,--+ --+
o vetor PQ e urn .multiplo de v, isto e , existe t E 1R tal que PQ = = tv. Temos:
--+PQ::: tv
Temos.entao
{
X,- Xo=at
y ~ Yo ;=bt
(x ~ Xo , y- Yo) =tfa, b) <====:> ex - Xo, Y - Yo);= (at, bt )
y
x
.>:(x, yl .obternos a par de equayOes V _ . - : : : :
Plxo, Yo)
l~it'~~~~~~que denominamos equacoes parametricas de r.
Noternos que para cad a valor real atribuido a t obtemos as coordenadas
(x, y) de urn ponto da reta.
o
exemplo 27
A reta que passa por P(2, - 3) e tern a direcao do vetor v =(5, 4) possui
as seguintes equacoes pararnetricas:v
{
X = 2 + 5t, (t E IR)
Y = -3 + 4t
----------- (12,51
I
III
Vamos obter alguns pontos
desta reta:
{
X == 2 + 5 (1) = 7= * " =;. (7,1) E reta
y = -3 + 4 (1) = I
::::;:.{x ,=2 +5 (2) = 12 ~ (12,5) Ereta
y = - 3 + 4 (2) = 5
{
X = 2+ 5(-1) ::::: 3t =- 1 ::::;:. " _ ' . =:> (- 3, ~ 7) E reta
y - -3 + 4(-1) = ~7
t = 1
t = = 2
EXERdaos
95. Dar a equaeao segmentaria d e cada reta
a)b)
y
3.
G !.
o
c) d)v y'
o x
~2"··
o x
40
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96. Dar as equacoes parametricas da reta que passa por P e tern a direcao do vetor v nos
cases:
a) P"" (1,2) e v = (7,6)
c) P=(O,-l) e v=(2,4}
b) P=(-1,4) e v==(3,3)
d) P = (1,1) e v =(5, - 3)
97. Determinar a equacfio geral da reta de equayoes parametricas x = 2 + 3t e y "" 5 - 4t,
t E IR. .
Resolu~o
19 modo: Tomamos dais pan tos da reta:
- . { x = 2 + .3(0)= 2.t= 0 ~ . ==> P(2,5)
y = 5 - 4 (0) = = 5
. . { x == 2 + 3 (1) == 5t == 1 ==- ==*' Q(5,1)
y==5. -4(1)==1
e obternos a equacao geral:
Ix - 2
5 - 2
Y - 5 1 . - _ 0 ====> -4(x - 2 ) - 3(y - 5) = 0 ~
1 - 5~ - 4x - 3y + 23 ==0 -=::::;> 4x + 3y - 23 ==0
29 modo: Obtemos diretamente a equacao geral el irninando 1 nasequacoes parametricas:
{
X = = 2 + 31 X @,. 4x-= 8-'+ 12tX Q) .
y == 5 - 4 t --=--;..) 3y == 15 - 12t
4x + 3y = = 23 ~ 4x + 3y - 23 = O.
98. Determinar a equ.ayao gaul das seguintes retas:
{
X = 3 + t { x = 2...+ 2tIt) (t ER) - b)
y = 1 - t y = 3 - t
{
X = 1 + 31
c) y = -1 + 21 (t E IR)
(t E IR)
99. Determiner a equ~o reduzida das seguintes zetas
b) {.
x = = 3- 2t.a) ~ +L = 1-2 7 y = = 4 + 5t
100. Dete:rminar a ponto d~ interseyio das retas
. { X : : : 3 + 21r: . (1E JR ) e
y-=s ~ t.
(t E J R . )
: { X = 5 - 7ks " .
.y=4+ 5 k(k ER)
101. Calcular a distancia entr~'o pontoP(1,l} e a reta r: { X =3t (t E JR .)
Y = 4t
102. Dada a reta r Indieada no grmco,obter a equacao
a) da reta simetrica dercmrelacao ao
eixo X
b) da reta simetrica de r em rela~oao
eixoy
c) da reta simetrica d e rem .r~illyao. aorigem
- .
l03~ Detennin~ a equaya~'lia .reta que passa p~rP (3,2) e tern direyiio i:to~mal~o-vetorn '" (5,-4). . '. .
Resolm,;ao
.Se n = (5, -A}e.urn vetor normal a reta, ~nt[o, esta feci admite.ina fo~agenii, a
.equa~ao· .
5x:..:c:4y. . j : . c = = 0" . ,.
onde 0 vaior de cedeterminado pelo ponte P:
p ""(3,2)Eleta~ 5(3) -4(2) c"" 0 ~c ==>'-7
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p "" +
cAPirULOIV
A C IRCUNFERENCIA NO R 2
1. Equaf30 da circunferencia
a) Equaciio reduzida
De maneira geral, em Geometria Analitica Plana denominamos equaeao de
uma curva a toda equacao em x e y cujas solucoes (x, y) sao as coordenadas dos
pontos da curva.
No caso de uma circunferencia de centro C (Xo , Yo ) e raio r, dados, temos:
o
p (x, y) E curva <===> dCp = r <===>
~ ctl:p= r2v
Usando a formula da distancia.
e~tre<dais pontos, obtemos
1 ' : ' , , < g : ~ I S ~ ' ) t ~ ~ : ' : ( ~ ~ " ~ * : 9 ) ; . ; ~ ~ " : i ~ ~ , 1que e denominada equacao redu-
zida da circunferencia.
exemplo 1
A equacao reduzida da circunferencia de centro C (3 , -1) e raio r = 2 IS
(x - 3 )2 + (y _(_1»2=2
2
, ou seja, (x - 3i + (y + 1 )2=4.
exemplo 2
A equacso (x +4)2 + (y - 7)2 = 2 5 IS a da circunferencia d e c entr o
C(-4, 7) e raio r=5~
exemplo 3
Dada a circunferencia (x - 5) 2 + (y - 1) 2 = 100 e as pontos A (- 3,7) e
B (12 , - 2 ) temos:
(XA - 5) 2 +(YA - 1) 2 = (-3 - 5) 2 + (7 ,: " '" 1)"2= (-8? + 62 = .
= 100 ==;>A Ecurva
(XB - 5) 2 + (YB - II (12 - 5)? + (- 2 - 1) 2 = 72 + (- 3 )2 =
= 58 ' * lOO~ B f F curva
b) Equac iio g era l
Vamos partir da equacao reduzida:
(x - XO)2 +(y _ YO)2=:r2
x2_ 2xox + X : . + y2 -2yoY + y~ - [2 =0
x 2 + y2 ._ 2Xox ., 2 yoY + ( X 5 + Y 5 - r2 ) = 0
Pondo- 2 xo = it, - 2yo = b e x; + Y 5 - r2
= c, obtemos a equacao
[ . ~ ~ ~ ; + y ~ + · a x + ' · b Y + ~ · s ' , o . : I .
que e denominada equacao geral da circunferencia.
Observemos que: . .
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-axO=2
-bYo=::-y-
y~ = - ( - 8 ) = 4 } '..... 2 .
-12yo=~=-6
C= (4,-6)
exemplo 4
Vamos obter a equacso geral da circunferencia de centro C(2, 3) e raio 1.
P ar tim o s d a eq ua ca o reduzida:
(x - 2? + (y -'- 3)" = 1 ==> x2 - 4x +4+ y2 - 6y + 9 - 1= 0
==:>x2 + y2 _ 4x - 6y + 12=0
exempio 5
Vamos 0bter 0 centro e.0 raio da -circunferencia de~e-qua¢b
x2 + y2 _ 8x + 12y + 3 = O.
19 modo: Ternos a = -8, b = 12 e c = 3.
29 modo: Colocando a equac;ao dada na forma reduzida.
Xl + y2 -8x + 12y + 3 = 0 ===> (x2 - 8x) +<l + 12y) = - 3=====:> (x2 - 8x+ 16}+ (y2 + 12y + 36) = -3 + 16 + 36 .-:> .'
===>. (x - 4 )2 + (y+ 6) 2 = 49
logo, C=4, ,.--6) e r=V49 = 7
c) 0 grafico da equ[Jfao x2 + y2 + ax +by+ c'= 0
Dada a equac;ao x2 + y2 + ax + by + c = 0, onde a,b ec saonumeros
re ais , fa r;:amos:
+ - b _2 2 2
Xo =2 Yo. =2 e r = Xo + Yo - c .-
. -
C0111 isto, a equacao dada eequivalente- .
(x - XO)2 + (y .._.y~)2 = r _
e podemos tirar as seguintes conclusoes;. - 2' '2- '" . -'. _. '. - _-.- -. _. • -....
HI)sexo+yo - c >0, en tao, a eq ua ca cre pre sen ta a circ un fe re ncia de centra
{xo, yo)e -raio \fxg +yo2 . . : . : _ c. Neste caso, as solu~6es (x, y)da equac;aos~o.
ascoordenadasdos pontes da curva .... - .. '. _
. 2 2 ·· .. ·.· . : -- .- . - ;2~)se Xo + Y o -:-C . = O,entao, a equacao.fica
(x . . . c X O ) 2 +(y ,- yo)2 = 0
e a {mica solucao e x =xo e y = yo. Neste' caso, dizemos que a e~ uayao ','.. representao ponte (x o, Yo) . . ' . - . . .
'. "
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3~) se x5 + Y 5 - c < 0, 'entao, a equacao nao admite solucao, Neste caso,
dizemos que ela representa 0 conjunto vazio,
exemplo 6
Sobre a equacao (x - 1)2 + (y - 2? = c podemos afirmar que:
19) se c > 0, entao, ela representa a circunferencia de centro (1, 1) e raio r =: Vc
2Q) sec = 0, entao, ela representa 0 ponto ( 1, 2 )
39) se c < . 0, entao, ela representa 0conjunto vazio,
exemplo 7
Dada a equacao x2 + y2 + 4x + 6y + c = ° temos:
-a -4 -b-6Xo =2:=;2=- 2, Yo = "2= '2 - 3,
r" =x; + y ; - c= 13 - c
19) se 13 - c > 0, istoe, c< 13, ela representa circunferencia de centro (- 2, - 3)
e raio r = v i 13 - c. .
2 9) se 13 - c ~ 0, isto e, c = 13, ela representa 0 ponte (- 2, - 3).
39) se 13 - c < 0, isto e ; c > 13, ela representa oconjunto varia.
Estas conclusoes podem ser tiradas colocando-se a equacao dadana forma
reduzida,
EXERClclOS
1. Dar a equ:u;:ao reduzida da circunferencia de centro C e raio I nos .casos; .
a) C ~ (3, 5) e r = = 2·
c) c = = (0, 2) e r = 5
b)C= (-2,-1) e I.= 1
d) C '7 (0,0) eI = = fi
2. Escrever na forma geral a equacao da circunferericia de centro C e raio r nos cases:
a) C = (1 , ~ 2 ) e r = 4 b) C= (2, 0) . e .r = 1
3. Dar 0 centro e 0 raio das cireunferencias
a) (x - 2)' + (y - W = 4
c) x' + y' =1
b) (x+ 1)' + (y + 5)2 = 9 ..
. d) x, + (y - 4)' ::::5
4. .Dar 0 centro e 0 raio das circunferenclas
a) x, + y' - 4x -6y. - 12 = = 0
c) x, + y" - 12x + 16y = 0
e) x, + y~ - 3y :::: 0
. b)x' + y' + Bx + 2y + 11 = 0
d) x' +y2 ~ lOx + 24 = = 0
f) x' + y~ .~4 ==0
S. Determinar o centro e 0 raio da circunferencia d~ equ~ao 4x' + 4y2 + 8x-4y .. . : . : . 3 =0.
ResotufJao
. .
Comecamos dividindo a .equayao pOI. 4 para coloca-la na forma geral: .
l·22· 3 0x +y·+·x-Y-T==
Ternes; -a .-2 ... }.x o =·2""-2-=-1
~ .. c= (.-1 ,;)...... .. ., b ., (- 1) 1 . .. \YO~2=-2~=2 -.
r : = , vx; + y ; ~ C : : : : } - l ? : t - { ;r~·-!}= ..1. 44
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6. Determinar a centro e a raia das circunferencias
a) 9x,' + 9 y2 - 6x + 12y - 11 "" 0
b) 2X2 + 2y~ + 5x + 6y + 7 = 0
7. Calcular p de modo que a circunferencla x, + y2 - 2px + ipy + p' ~ 0 tenha raio iguala2 .
8. Calcular Q! e jJ de modo que as circunferencias
.• x' + y' - 4ax + Sy - 1 = 0 e x' + y2 + 8x - (jJ - 4)y ;;: 0
sejam concentricas (uta e, tenham centres coincidentes).
9. Determinar quais entre as pontes A (5, 3), B (1. - 5), C (- 3,4) e D n . 0) pertencem acircunferencia de eq~ao x' + y2 - 2x - 24 = O.
10.· Determiner as valores de k para as quais a ponto A(k, 2) pertence a circunfcrencia
x + y2.= 9.
11. Quais as pontos da circunferencia X' + (y - 1)2 = 4 que tern abscissa 11
12. Quais sao as pontes onde a circunferencia x' + y' - 4x - 5y + 3 = 0 intercepta 0eixo dos x1
13. Mostrarque existe urn Unico pori to do plano cartesiano que- satisfaz a equa~ao
X' + y' - 2x - 2y + 2 = o.
14. Associar cada eq~ao (1 a V) a' uma das op~oes (A a C),
1. x' +·yl = 1
II. x· + y2 = 0 .
III. x' + y' + 1 ;; 0
IV. x2 + yl - 2x + 1 = 0
V. x? + y' - 2x - 1= 0
A) circunferencla
B) ponto
C) conjunto vazio
15. Indicar as condicces sabre m e p para que a equa~ao 2x' + my' + 4x + Sy + p = 0
represente uma circunferencia •
.2. A circunferencia definida por tres pont os .
Para obter a equacao de uma circunferencia que satisfaz a deterrninadas con-
d ic ;: 5e s, p odemos p ens ar em descobrir antes ° centro C ( xo. Y o) e 0 raio r (se nao
fotem dados), a partir dos quais formamos aequacao (x -XoY1. + (y - Yo? =r2 .
Caso nem ° centro e nem a raio .sejam conhecidos, temos tres incognitas a
determinar: Xo . Yo e r. Procuramos entao determinar tais incognitas a partir das
condicoes a Clue a circunferencia deve satisfazer,
exemplo 8
.Vamos deterrninar a equacao da circunferencia de centro C(2, 0) e que passa
pelo ponte P(4. 1).
Comecamos obtendoo raio.:
i= c l e p = J(4 ~2)Z+{1 - 0)2=
=..;5:
A'equacao da c i r c U n f e re nc t a e 45
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exemplo 9
Vamos determinar a equacao da circunferencia que passa pelos pontos
M (2,0) e N(4, - 2), e tern centro na reta s: y = 2x.
o centro C (xo. Yo) equidista
de MeN; logo:
dCM =:; deN ~
V(2 - xoyl + (0 - Y O ) 2 =
= .J(4 - XO)2 +(-2 - Yorl ===?
4 -AXe + x~+ y J : : : :16 - 8xo +
+ ~ + 4 + 4yo + Y 5 ~
4Xo - 4yo = = 16
Xo-Yo=4 C D
Como C(xo, Yo) pertence a s: y ==2x, temos: Yo = 2xo 0De (De @ decorre: Xo = -4 e Yo = - 8.
Assirn, 0 centro e C:::: (-4, -8) e'p~demos obter 0raio:
r = deM = . . / (2 + - 4 )2 + (0 + B Y : = 10
A equacao da circunfereneia e
(x + 4 )2 + (y + 8) 2 = 100
NOTA: o centro e o ponto de interseccao darnediatriz do segrnento MN com a
reta s.
A equacao C D , Xo - Yo=4,
exprime 0 fato de. que C pertence a'. mediatriz (reta formada por pontos
equidistantes deM eN).
exempioLO
Vamos deterrninar a equacao da circunferencia quepassa pelos pontes
M (3, - l),N (a, 8) .e P (0, a).
Como 0 centroC (xo, Yo ) equidista de M, N e P ternos:
"dCM=dCN =>,-~~--~--~~
===>../(3 ~XO)2 +(_;_1-:-yo)2
=V'(O - xof+ (8- Y O ) 2 ->
. ... '.' 2 ". '. ·'2
9 -6:<0 +xo+ 1+ 2yo + Y o =' 2 • . .> 2 ..... .'
: :: : Xo +64 -16yo + Yo ' .' ~
:;_6xo +18yo= 54 "
. '. .' -Xo+ 3yo=9 C D . '
dCN = dcp~J(O .-:Xo)'2+ (8 -: Yo)2=J(O - : , " : xoj2+ (O-YO)22'· ", '2 2.' '2 ., .
Xc i +64-'16yo + Y o =Xo + Yo'.
64 ... ,. 1 6y o = 0
. Y o=AQ)
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De C D e C D decorre: Y o = 4 e Xo = 3.
Assim, 0 centro e C = (3 ,4 ). A ch ernos 0 raio:
I = dcp = J (0 - 3 )2 + (0 - 4 )2 = 5.
A equacao da circunferencia e
(x - 3 )2 + (y - 4 )2 ::;: 25.
N este ex ernp lo , deterrnin am os a equ acao de u m a circu nferenc ia da qu al eram
conh ecidos tres pontes. L ernbrem os que tres pontos nao colineares M , N e P
sempre determinarn um a circunferencia, c u jo c en tr o e a interseccao das mediatrizes
do s segmentos MN, NP e PM ,
Outro metoda p ara ob ter a equ acao, neste ex em plo.ve 0 s eg u in te : s u pomos
qu e a equ acao e x2 + y2 + ax + by + c = 0 e im pomos qu e M, N e P satisfaeam
a equacao:
M(3, - 1) E curva 32+ (- 1)2 + a . 3+ b(- 1)+ c = 0=>===-:;:._ 3a - b + c =~10 · C D
N (0, 8) E curva 02 + 82 + a • 0 + b . 8 + c =0 ~
=>8b+c=-64 @. .
P.(O , 0) E cu rva 02 + 02 + a • 0 + b . 0 + c = 0 ~
c=O@
De C D , (1 ) e ® decorre: c = 0, b =-8 e a=-6
Logo, a equacao ex2+y2 -6x - By ~ O.
As equacoes' encontradas por urn ou por outro metoda sao equivalentes:
EXERciClOS. . .; .
16. Determi~ar.~ equa~o da circunferencia de centroC(S, 2)e quepassa pelo ponto P (5, 5).
17. Determiner a equacao de cada eircunferencia:
a) by. y c)
4
2 x
1S. Detcrminar a equacao de uma circunferencia de raio igual a 3, tangente aos eixos coorde-
nados e. contida no .29 quadrante,
19. Dar as equacoes das circunfere~ci:isde raio I.e tangentes aoseixosccordenados.
20. Deterrninar a equacao da dIc~ferencia de centro C (2, -l) etarig~nte a retat:4~ '+ 3y - 2 = 0 . - . . . . .
Resohi~o
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o raio e igual it distancia do centro areta tangente:
r;o:d =14(2)+3(-L)-2j:::lC,t ~ 5
A equaqao da circunferencia e
9(x - 2)' + (y + 1)' ;0 -
. 25
21. D~telminar a equacao da circunferencia de centro C(- 3, - 3) e tangente it reta
t: 12x - 5y - 5 = O.
22. Detenninar a equacao da circunferencia de centro na origem da sistema cartesiano e
tangente it leta x + y = S.
23. Determinar a equacao da circunferencia de centro C(3,4) e tangente exteriormente 11
circunferenciade equacao x' + yl = 1.
24. Determinar a equa ..ao da circunferencia que possui urn diametro de extremidades A(?, 10)
e B (1,2).
25. Determinar a equa¢io. .da circunferencia que passa pelos pcntos A (2, 0) e B (4, - 2) e
tern centro na reta y ~ 2x.
26. Determinar a equayao da circunferencia que passa pelos pontos A (-1,0) e B0,0) e
tern raio r = . . ; r o :
27. Determinar a equayaa da circunferencia quepassa pelos pontes P ( - 2, 0), Q (0, 2) e
R(4.0}.
2B . Determinar a equacao da circunferencia que passa pelos pontos.A(7, 10), B(-9,2) e
C(9, -4).
29. Determinar a circunferencia circunscrita ao triangulo de vertices (O, 0), (4, 0) e (0,6).
30. Deterrninar a circunferencia que passa pelo ponto P (4,9), e tangente it reta. t: y + 1 "" °e tern 0centro no eixo dos v - .
3. Posi~ijes relatives e interseccoes
a)Reta e circunferencia
Uma reta t euma circW1fere~cia r do planocartesiano podem apresentar as
seguintes posicoes relativas:
Secantes Tangantes
d< r e tn r= {P,o}. . .
E){teriores .
d>r e tnr=¢
Dada a equacac de t, ax +by+ c =0, 0 centro eo raio de "{,C(xo, Yo)
e r, podemos estabelecer a posicao relativa calculandoa distsncia d entre 0 centroe a reta: .
· · _ 1 axo +byo + c 1 .d -. V a 2 + b2 .
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Outra maneira de verificar a posicao relatlva entre uma reta e uma circun-ferencia e descobrir 0 numero de pontos de intersecao, Cada ponto de intersecao
satisfaz a s equacoes de t e de'Y e, entao, e solucao do sistema forrnado por elas:
{
ax + by + c = 0
S (x _ XO)l + (y _ YO)l = ['2
Resolvendo 0 sistema S podernos encontrar duas, uma au nenhuma solucao
conforme a reta e a circunferencia tenham dois, urn au nenhum ponte cornurn,
respectivamente. Assim;
_'s- ' i~Ir i · i -~~~b. i~ i jes·~~".- te' " . y ~ a o '~tes;-~[;t,
. _ ; - ' . : , · _ . , ' S s · , · _ : " : • •: - : .i , n a, ' -~ , . _' - .~ , : ·_ ~ , .- . ~ .- . _ ,· , - ._ , . ·· , . _: t .: ! ,- e . ". , ;' _ m i '- . - • • ~ : ' , ' _ l , · _ s : ~ , : _ o " : _ - - ~ " l•. ' U - - ' I . • _ ·- r - . , · . - ' . - . , " ~ ·· - ; ; : . t e 1..oi~"~iei'i"\i-< ..•_ . : - o ' ' . , ' . ' . . . ~ ' . ' , . , .""t .. · ' C ' _ t ' e ' + _ ~ ? ~ ~ i ~ i ~ ~ ~ ' ; _
exemplo 11
Consideremos a reta t: X+ y - 4 = 0 e a circunferencia "!: x2 + y2 = 16 e
verifiquernos a posicao relativa entre t er.
19 modo:
centro e raio de"!: .C (0. 0) e r "" 4
. _ . ' I (0) + (0) ..:.4 1 4'distancia entre C e t: d = ..; '2 2 ' ,= ,,,,= 2..[2
,1,+ 1 , y2 '
Como 2..;2 < 4 temos d < r e concluimosque t e r .sao secantes,
29 modo:
Vamos resolver 0 sistema das equacoes de te v:
{
X+Y-4=0S 'Xl + / = = 16
De C D obtemos y=4 - x , que substitu irnos em Q):
x2+ (4-,-:,xf =.Hi =o=:!>2Xl ~ ax =0 ==::!> X = 0 ou x = 4
Para x = 0 ternos y = 4 - x=4 -0 = 4, enquanto que para x =4 temos
y = 4 - 4 = O. . .. .
Logo, S apresenta duassolucoesrf O i -l} e (4,0).Conclufmos quet .e "(SaO secantes e que os pontes de interseccao sao os
pontos de coordenadas (0, 4) e (4. oj. 49
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b) Duos c ir cun/erencias
Duas circunferencias "11 e "1 1 do plano cartesiano pcdern apresentar as
seguintes posi~es relativas:
"1 1
(II) TANGENTES EXTERIORMENTE
11)
!II EXTERIORES
12
d > It +'1 e "11 n12 = r p d = rl + '2 e "11 n "1a = {p}
(III) SECANTES (IV) UMA NO INTERIOR DA OUTRA
p
fl
C ------1 ....~---
d
(V) TANGENTES INTERIORMENTE (VII CONC~NTRICAS
. Quando rl ;: fZ . "11 e "12 sao coincidentes.
Observamos que a posi~a0fi~a determiIlada pela comparaeao da distancia d
entre os centros com·~ soma ou difererica dos raios, Notamos ainda que 11 e 12podem apresentar infinitos, dais, urn ou nenhum ponto de interseccao conforme
sejam,respectivamente, coincidentes, secantes, tangerites (exteriormente ou inte-
riormentej ou de interseccao vazia (exteriores OU u m a no interior da outra),
exempla 12.
Vamosverificar a posicao relativa dascircunferencias
11:(X -l)z+.(y _-2)2 ,~Se
''/2: ex - 3i + (y ~ 3)2=io.
centro e raio de'}"l: CI = (1, 2 ) .. e II= . . ; s 5ernos:
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d = VS } ==> d < rl + r2r1 + Ii.=V S + V T O .
==*' i1 e i2 sa o
secantes
P ara determ inar as p ontos de interseccao devem os resolver 0 sistema
{
(x -I ? - _ :
{y -2 )2
=.
5 ' .2 ( )2 ,htoe,(x - 3) + Y> : 3 = 10
{
X2 + y2 - 2 x - 4y = 0
x2 + y2 _ 6x - 6y = - 8 C Doa que podemos fazercomo segue: -
C D - < ]) 4 x + 2y = 8 ~ 2 x + y =4 =>Y = 4 - 2 x Q )
o e C D =-==:;:.. x2 + (4 __:2X )2 - 2 x - 4 (4 - 2 x )_= 0 =>
==~ Sx'l - lOx=0 ==> x = 0 au x =2
Em Q ), parax= 0 ternosy =4 - 2(0) =4, e para x=2 ternos y =4 - 2 ( 2 ) = O .
Logcr,osponios.de in te rse cc ao d e ')'1 e i2 sao (0, 4 )e (2 , 0).
EXERClclOS
31. Verificar a posj~iio relativa de t e 'Ynos' casos:
a) t: x + y + ·1 = 0 e'Y: x~ + yl ::::2
b) t: x + y+ 2 ",; 0 e -y : x' + y' = 2
c) t: x +y + 3= ,0 e or: Xl + y~ = 2 '
32. Verificar a posi!f3o relativa de t e 'Y nos casos:
a) oy: x' + y' = 20 e t: 2)( + y -'- 10 :::: 0
b) 'Y : Xl + y' = 25 e t: 2x +.y '- 10 ;:; 0 ,
c) 1: x' + y2 = 19 c :' t: 2x + y -r- 10,= 0. ., . :.
33. Veriflear a posicao relativa entre a reta)x+4y'+ 15 =0 e a circunferencia
x, + y' -4x - lOy- 35 = 0 ,
34. Determiner, se.existir, os pontes de inteISe~~.da reta coma~~erencia. nos cases:
a) {2X-Y .= 0 b ) '{2 .X ...+Y .:.:cs;:;oC) {X+Y-l.O=O
x'+y'=5 . x'+y',=5 ,x'+Y'=25
35. Calcular 0 cornprimento da corda que a reta x '+y - 3 = 0 determina na circunferencia
(x + 2)'+(y - 1)2 =10.
Resolu~o
19 modo
{
X +Y'.c ,,3 =0- ~
, (x » 2)'+ (y -I)' ::::10
~(x= 1, y=2)ou(x=:_ 1,y=4)
Determinamos as interseccoes da leta
com acircunferencia:
51
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2? modo Determinarnos a centro e 0 raio da clr-
eunferencia:
c ""{-2,1) e r = ..;'TO
Calculamos a distancia entre 0 centro e
a reta:
d ;;: I ( - 2) + (1) - 3 1 = 2J2~
Calcularnos Q no triangulo hachurado na
figura:
Ql :;:; rl - dl ;:; 10 - 8 :;:;2 ===;:> Q = ..ff
o comprimento da corda e 211;portanto, 2.jI
36. Determinar a comprirnento da corda definida pelo eixo dos x na circunferencia .
Xl + y1 _ 5x + 4y + 4 = O.
37. Determinar a comprimento da corda que a reta x + y - 2 = 0 deterrnina na circunferencia
de centro (1,0) e raio 2.
38.·Calcular 0 comprimento da corda da circunferencia x'
+yl
media e M (4,4).
2x = = 168, cujo ponto
39- Determinaro ponte medio.da ..corda que a reta x + y + 4 = 0 define na circunferencia
x' + - r - 2x - 4y- 100=- O.
40. Dada a reta y :;:;x + k e a circunferencia x, + y' = 9, deterrninar k nos casas
a) a reta e a circunferencia sao tangentes
b) a reta e a circunferencia sao seeantes
41. Para que valores de k a reta x = k intercepta a clrcunferencia x' + y' -·2x :;:; 0 em
dois pontes distintos? .
42.- Para que v~lores de k a reta y';::o kx e tangente a circunferdncia x, + v ' - 2 0y + 36 :;:;O ?
43_ Obter uma reta paralela a s:x + y + 1= 0 e tangente Ii circunferencia x' + yl - 2x
- 2 y +1 :;:; o.
Resoluedo
.Sendo t a reta pedida, t r s, ela admite
uma equa\iw da forma
x + y +.k.= O .
o valor de kfica determinadn.hrrpcndo-
-se a condicjio de tangdncia:
dC, t : : : : r
Ternos:
X' + y' - 2x _2y + 1:;:; 0 ::=::=::;::. C := (1,1) e r.> 1
d = r ===!:> I (1) + (1) +k l = 1 ===> k = ~ 2 ± .j2C,t . ~
logo, t: x + y - 2 + - / 2 =0 ou x +y ~ 2 -'- .J2:;:;
44. Determinar uma reta paralela a s: 3x + 4y = 0 e tangente a circunferencia x' + y' = 25.
. 45. Determinar as retas paralelasa reta x - y '- 1 ::;;.0 e tangentes Ii circunferencia
x· + y' .:..4x -4y - 1= o.
46. Obter uma reta perpendicular a reta x - y - 1 = 0 e tangents it circunferencia
x· + (y .; 1)2:; 1.
47. Determinar as retas tangentes a circunferencia x~ + y' + 8x + 6y = De paralelas ao 52
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49. Detennin~ os pontes de interseccao das circunferencias 1', e 1', nos cases:
{
1'I: x' + y2c+ 2x + 2y = 2 {'YI: x' + y' - 2x - 8y + 7 = °a) b)
1',: x' + y2 = 2 'Y2: x, + y2 .: 4x- 6y + 9= 0
50. Determinar a intersec~ao da circunferencia de centro (0, 1) e raio 1 com a de centro
(3,5) e raio 4.
51. As circunfcrencias de equacfies x' + y2 + 2x - 4y =0 e x' + y2 - X - y=:O cortam-se
nos pontes A e B. Obter a equa~ao da reta AB. C
52. Verificar a posi~iio relativa de 1'1
{
1'I:Xl+y2=1
a)
1',: (x - 3)2 + y' = 4
CAPITULO I
1. A12. 31. BI4, 21. C(~4 . 31, 0(- 2, - 3). E(3. - 31,
F(3. 01;GIO,2), HI-3, 0).110, -21
2. 01 A, 0, F bl c. E, F3 , alc2 '? b ) 4< ;> cl s' ? dl 2 < ;> .1 I'?
16. al (1,01 bl (0. -1) cl 11. ~ I5' 5
dl ( ' 1 " 3 -_1_).) (.f2 Y2 I2' 2 2' 2
I) ( 2 ...{lJ 3.j13 I13 • 13
.) ~ bJ 242
al 6.1=l!,z "'ad-bc C
. ---lo,,~ ~
bl Sendo OA = I.. b), 00 '" ic, dl • OC = (e + . , cd + bl,c 0 paraloLogramodeflnldc por ate a D tarn~ ~gUll a do paralelograma ·deft.nido par C i t e
CC.
4.
5.
17."-21 -77
oj (6!f' 6"5 1
"46 64cc i (25'251
.1 13 b) ..f210 +..f2
~ o4'?
~X=~y30 ~x=-~y=1
d x '" 5, y =7 dl x =J, Y '" 2
al 110, 71 bl (15. 10) cl (-14, - 10) dl 127,191
• 1 II, - 51 b) (37, 3) c) (- 22. - 61 dl (90. 1DI
aJ [-4,7) bl (-5, 1) c) (3,21) dll-:)7,-21f
x .. 4, y =7
0) x = - 3, y =0 bl x = ~ C , Y = 3 cf x = = - I,
,=1 C
12. XC =< V" 0
.) \4,:))
d] (3,-2)
.1 (2,5)
dl [-1,3)
9) (7. 0)
6.'9.20.
7,
s .
22. ~
23. (6, 01
24. (0•.4)
25. 5
26. 34
27. a, b, C, d, e, g, h e j
2B. .) su n b) slrn
0) nao fJ sirn
10.
11.
13. bl 1-4,2)
eJ (-4.:))
b) (-6, - 3)
0) [0,2)
hi lx, yJ
0) IS , I)
fl[-4,-2)
d 15,-11
fI(O. -31
14.
1S. paral.logramo
16. 1- 3, -:)1I"?~ .1 1-1,~121 b) (28,31.
d] (0,01
18. 18 , ·10)
19.. 15,10)
20. ca= t
2~, al .im
el nao30. sirn
.bl slm
fl . 'm3t.nao
bl J.3
C b] 3
c) (- 10,151
33. .a J 6
34. 20
35. al-6
9 ± v ' 3 337--2--
2939. '5
42. ill 45"
43. .1 90"44• CC .45°
bl rID"
bl O~
23. .J (4,51
• bC= c_ i
-6bI13.;Z) cl 10,01.
~4.
~6.
27,
28.
29 .
30.
31.
32 .
33 .
d) [ 1j ,-1) eJ I-i- ' 1 1 '(-6.41.12,-1).1-3,-41
[2. -11 eI7,-c4)
(_ ~I 1- 16) 1_ .24 _. J2 C
I, 5' 3, '5 ' .5. '5 I e I 7, 5"Ic
[5,01
113,8)
(9. -131
(7.5)
(- 1. - 71 • 1- 3, :- 5)(-I, :))
al (3, 21 bJ Is, 21
dl (.!. 2. + 1 )3 '3
52.
53.
5 6 .
47.
48 .
A"=45a~ 8=90°. e~45D
6 ±SV3
aJ(5+2yS" 5..(3'+6)
4 ' 4
0 1 1-7.01
[1.11
6.
aJ triangulo d.area 1.. 2
C cl fr.angulo d. a r e a 237
2'
51.
35 . cl[O,OI
36. Ii -1.) ., 6
14, ~ 21, 13,71 e (II, jl 5 9 . Oou3.5
(5,0)
.57.
37 .
CAPITULO II
61.
6 4 .
65,
1. 01 -r 1 bl 0 cl 110 dl 5 el.1092. al - 30 b) - 21 01 15c dl -104 .1 - 1044. a) 0 b) 24
.c
5. al5 bJ V5 c) 5 d15V2 .1·3V26. C alVs bl5
d y'l3. dl Y17 oJ 107. Nao
8: aJ 5 bl y'8sO c) V269. 15
1O. b, 0 • d
11., ± -r:-2-12. ± v'513. -3
bl l1'l4, S16)
cl 2 v'5 dl 4
cl n a " o dl sirn
32.1
c) lou -4
C , ±2
38• .!l3
41. Nao
c) 135·
e! 180·
45 . 1350
bl(2,21
dl (a, OJ
b] coli near ••
d l col ine.r • •
58 . 1l ou 19
60. (a ±!Q,'3
143.
53
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. .
CAP(TULO lit
1. x -21' -1 = 02. oj 2x - 31' + 4·= 0
3. AS: 2"+ 3v - a = 0CD: 5" - v - 2 - .
4. x - 2y _ 3p=0- 0
5. x + v -3 =·06. AS: , a x - 3v -7 =AC:.l1"-41' -10 2 ; 0Be , 14"- 51'-15 = 0
7. 3x.:- 41'=0 . '
8. r: 2x - 31' + 6 =.0t: 2x + Jy - 6 = O·
9. B, C eD'
11. 2
bJ x -I - 21' - 3 =0
Be; " - 21'- 4 = 0,
s: 2x - 3v -.6 = 0
u: 2x + 31 ' + 6 = a10. 1
12. - 25
14. al m*O15. x -v = 0
bJ 2
• x+ V = 0
17. III,~J5 . 5 18 • 1-3,-9)
19. 18,81
20. A"".i 43 '3
21•• 1 V bl F
22. .1 c:onc;orrentes
cl c:oineidenteS
23. k => .12
2 5 •• 1 I 39
1
• · 1. 1
1 tt26. 12.01
27. It, .-65
J 28. (!~ 16·
29. .J I . ! .Q . 20 7 . ~ '"1)30. (O 3' 3") bl Mis. 0), N14,4)
3 .0),12.41 e 14 2)1. per(metro = 4 + 2 '· ., ~ . .32 V 2 +2y'1O .. a) 10. 0) (3 2)' area = 4
• , Q 16, - 11 b J - t< V < 2
34. .im, no ponto (- ". 71
e B=I1.. 83 • '3)
oj V d) V Jbl e V
par.lelao di5tlnla.
til ccnccrrentes
24. 11,1)
fly
b) I 1. • .!!.)77
cl [1«. -2)
38. ·I'X.A ItA HI.S IV S.S X.A • V.B VI.C VII,·S:r7. _ 6 VUI.C
39•. 2" + 31' -4 = 0 38. ±4
40. :.J 3x - 4 +'e) I' T,=O
41..' x - 21' - 7 = 0.vt« + 15'1=0
43. 5x-2Y""3;"'0
44. alX+3y-21=0
olx+y=O
46. [4.5) .
48. (- 3,6)
b)7x+ 1':-2 =0
42. 112;01 e (0. 6)
ST. (.§. • .!!.I4 ·.4·
~. 10
bI2x-y+5=0
. 47. 1 :- 2. 2)
50 . [ - : . . . . ! § . 12.5' "5)
52. (§. B5 '5"
54.. 10, OJ, t3!!. 10. 3 '3) e [.!.Q:20
... 3 '"3)
bl. arccos :2 v'5 .'. rz:, .: 5 e iT - ere cos ~ V. 5
. . -5-0) 4,,° e 135°
el 60°,e 120"
Hl1 ..
"2
59 ol.!.:2 dl a
6 . 0 , 6C ;13
62 4
4j;vf2. 4..;z e' - 4V34 .64. 20. .... -1-7-
·,66 •. 5
61. 1.5'
67. 6 , 68. v ' 1 O
70. 1 V 2 V 2 + 2 --w-2 .~I.I-V2
n. 1- 1, 0) • 15 01 2
5 '10. 3)2
73. a) 1'=-2,,+3. m=
bl V =-:2x-~ m2· •
c J V = f'+ I, m":3
d) V =2!. -~ T2 4,m=-
). 2.V=2!.-.1 1
3 9' m="3
fl y=-.!!.x+ . .:2 5.m=- §_
9JY""4x+.!l.. _ 22 ' m-4
hi V =-l!.2 • m=O
1 ' 1 , . ) 45°
75. at
bl 60~
iI y=. m=O
01 135°
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01
+- "•
76. I.A II B ." III.S lV.C V.S
11. 1 1
2 "B.
b] LBO. _ TO 5 c J 2
8~. .1 4x + 3y 81. 2+Ya. -17=0
ua, c J 3x-Y-l0=0 b) x+Y+l0=0al V - 5 = Ill( _ 2 dl x - 2y + 1=0
c J V "7 5 I bJ Y - 5 =- 1Ix- 21
84. ,V =3(" _ 5 1 . d) x "" 2
Si. ' 85.: 1'+1 - 1 I' ''"_ al 1'-3- f" -2 " x-21
" -5(x-6) bJ. c J y': 3 . V - 3 - =1["- 6)
d,(-3=- 1 '10 Ix-6)
79. al4d)-l
88. x+3V-1I=0
89. (! 9.)24
91. 13,0)
90'V-3-' 2 "> = -3 Ix -.!12
93.
to . 0), 11.6) • IE. 277-' -I
10.0) e I~ 1 72 " 2 )
2x-v =0 •x-2y+6- x+2y-l0>=0_ 0 e 2x + _ .:.. OU,
.I!o+ V y 8-0
4 "3=1 b)~+V-c J 1!...+.y..- 4 -"3-
1
-2 :2 - I d) 2 ! . _ + Y --3 -2 " - 1
94.
95.
98.·
al{x '" 1 +7t1'=2+6t
o f {"=-1+3ty=4t-3t
al,,+y-4=0
c J 2" - 3y - 5 ""0
al 1'_7- 2 " x+7 bJ Y =- _ § _ 23.2 x+-
1 2
5
bl_~ ++=1
54
bJ {X=2t"
1'=-1+41
d) {x =1 +sr. V""I-3t
b] x+2y-8=0
100.15,4) 101.
102 alf +-=i=1
c) .!... +L=1
-4 -2
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1. al [x - 31' + !v - 512 =4
hI [x + 212 + Iv + H2 = 1
cl x2+ !~- 2J
2'" 25
d) ,,2 + V = J
2. a) x2 + yl - 2x + 4V - 11 =0
bl x2+i-" + 3 '" 0
J. al CIl, 31 e , =2 hI CI- I, - 51 e r =Jcl CIO,OIe r= dl CW,41 e r =..[5 .
4. 01 CI2, 31• t=5 bl CI- 4, - lIe r =V Bcl C!6, - 81,. r =10 dl C!5, 01 • r =1
01 CIa,tIe r = t fJ CIO, 01 e r '" 2
6. al CI~,-%Ior=~ bl CI-t,-tler=f
7. ±2 8. a"-2 e ~=-4
9. A e B 10. ±V511. 11,1±.;J J 12.!l, 01 e !J,O)
14. LA 11.9 IILC IV,S V,A
15. m =.1 e p <10 16..· Ix - 31~+ I~-212=1317. 0 1 x Z +i=16 bJ Ix -1) + v =1
e} Ix-2)Z +ly-212 =4
18. I" + 3J' + Iv - 3)2 =9
19. [x ± r)2 + Iv ± rJ' =l
CAPiTULO IV
21. Ix + JI' + Iv +·3)2= 4
22 ,,2 + V' = 25• 2
23. lx - 312 + Iv - 4J
2 = 16
24. (x - 4J2 + Iy- 612.= 25
25. Ix + 4)' + I~ + 6)2 =100
26. ,,2 + Iv ± 3) = 10
'1.7. Ix =,j2 + Iy + 1}2 =10
2a. Ix -1)2 + Iy -2J2 = 100
29. 1r.-2)2.+ly-3J2 =13
3 0 . x2 + Iy - 2 : )2 .. S ; ~
31. al ...cantes h) tangent es
32. al tangent.. bl .. cant es
33. exterior.'34. .1 II, 21 • 1- I, - 21
~. 3 R,
cI extarioresc) exterioras
cl n30exls te
38. 24 -.112
4D.
4 2. ± 34
44~3x + 4y ± 25 =045. x-y±3../2 =0
46. x + Y - I ± -.(2 = 0
·47. x== t e ,,=-9
15../2 .: 5.,[2 148. 2 '1 .
49. oj 11,-1). I-I, 11 bl 12, II • 14,31
3 950. 15 " "5 ) 51." - Y = 0
52. al tanqentes exterlcrmsnte b) secentes
~~~..• ~ORILLO
. Professor UNISUAM
Mat. 1023
55