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COLÉGIO PEDRO II - UNIDADE ESCOLAR SÃO CRISTÓVÃO III APROFUNDAMENTO DE MATEMÁTICA APOSTILA II – EXAME DE QUALIFICAÇÃO UERJ ALUNO(A): ________________________________________________ AULA 6: Progressões Aritméticas e Geométricas - GABARITO 1) (UERJ) Maurren Maggi foi a primeira brasileira a ganhar uma medalha olímpica de ouro na modal a distância. Em um treino, no qual saltou n vezes, a atleta obteve o seguinte desempenho: - todos os saltos de ordem ímpar foram válidos e os de ordem par, inválidos; - O primeiro salto atingiu a marca de 7,04m, o terceiro a marca de 7,07m e assim sucessivamente aumentou sua medida em 3cm. O último salto foi de ordem ímpar e atingiu a marca de 7,22m Calcule n. Solução. Os saltos validados foram a 1, a 3, a 5, .... Escrevendo a expressão do termo geral para a razão 3cm e considerando n’ o número de saltos de ordem ímpar, temos: 7 3 21 3 701 722 ' n 722 704 3 ' n 3 722 3 ). 1 ' n ( 704 22 , 7 a 3 ). 1 ' n ( 704 a ' n ' n = = − = ⇒ = + − ⇒ = − + ⇒ = − + = . Como houve 7 saltos de ordem ímpar iniciando com a 1 e finalizando com a 13. Houve 6 saltos de ordem par. Logo n = 7 + 6 = 13. 2) (PUC) Temos uma progressão aritmética de 20 termos onde o 1º termo é igual a 5. A soma de tod termos dessa progressão aritmética é 480. O décimo termo é igual a: (A) 20 (B) 21 (C) 22 (D) 23 (E) 24 Solução. Utilizando as informações do problema, temos: 23 18 5 ) 2 ( 9 5 r 9 5 a 2 19 38 r r 19 38 r ). 1 20 ( 5 43 r ). 1 n ( a a 43 20 860 a 960 a 20 100 960 20 ). a 5 ( 2 20 ). a 5 ( 480 480 S 5 a 20 n 10 1 20 20 20 20 20 n 1 = + = + = + = ⇒ = = ⇒ = ⇒ − + = ⇒ − + = = = ⇒ = + ⇒ = + ⇒ + = ⇒ = = = . 3) (FUVEST) A soma de todas as frações irredutíveis, positivas, menores do que 10, de denominad a) 10 b) 20 c) 60 d) 80 e) 100 Solução. As frações irredutíveis pedidas são: 4 39 ...; ; 4 7 ; 4 5 ; 4 3 ; 4 1 . Todas com os numeradores ímpares. A soma de todas as frações será a fração cujo numerador será a soma da PA de razão 2 com 1º termo igual a 1 e último termo, 39. 100 ) 20 )( 5 ( 8 20 ). 40 ( 4 2 20 ). 39 1 ( 4 39 .. 7 5 3 1 4 39 ... 4 7 4 5 4 3 4 1 S ) ii . 20 n 40 n 2 2 38 n 2 2 n 2 1 39 2 ). 1 n ( 1 39 ) i = = = + = + + + + + = + + + + + = = ⇒ = ⇒ + = ⇒ − = − ⇒ − + = . 4) As medidas do lado, do perímetro e da área de um triângulo equilátero são nessa ordem, número progressão aritmética. A razão dessa progressão é: a) 3 3 20 b) 20 c) 3 3 40 d) 3 20 e) 3 40 Solução. Escrevendo as expressões para essas medidas e encontrando a razão considerando o lado d triângulo como L, temos: − = ⇒ + = ⇒ + = ⇒ + = = ⇒ = − = − ⇒ = = = 8 L 4 3 ² L r r 8 L 4 3 ² L r 2 L 4 3 ² L r 2 a a L 2 r r L L 3 a a 4 3 ² L Área : a L 3 Perímetro : a L Lado : a ) i 1 3 1 2 3 2 1 .
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COLGIO PEDRO II - UNIDADE ESCOLAR SO CRISTVO IIIAPROFUNDAMENTO DE MATEMTICAAPOSTILA II EXAME DE QUALIFICAO UERJALUNO(A): ________________________________________________AULA 6: Progresses Aritmticas e Geomtricas -GABARITO1) (UERJ) Maurren Maggi foi a primeira brasileira a ganhar uma medalha olmpica de ouro na modalidade salto a distncia. Em um treino, no qual saltou n vezes, a atleta obteve o seguinte desempenho:- todos os saltos de ordem mpar foram vlidos e os de ordem par, invlidos;- O primeiro salto atingiu a marca de 7,04m, o terceiro a marca de 7,07m e assim sucessivamente cada salto aumentou sua medida em 3cm.O ltimo salto foi de ordem mpar e atingiu a marca de 7,22m Calcule n.Soluo. Os saltos validados foram a1, a3, a5, .... Escrevendo a expresso do termo geral para a razo 3cm e considerando n o nmero de saltos de ordem mpar, temos:73213701 722' n 722 704 3 ' n 3 722 3 ). 1 ' n ( 70422 , 7 a3 ). 1 ' n ( 704 a' n' n + + ' + .Como houve 7 saltos de ordem mpar iniciando com a1 e finalizando com a13.Houve 6 saltos de ordem par. Logo n = 7 + 6 = 13. 2) (PUC) Temos uma progresso aritmtica de 20 termos onde o 1 termo igual a 5. A soma de todos os termos dessa progresso aritmtica 480. O dcimo termo igual a:(A) 20(B) 21(C) 22 (D) 23(E) 24Soluo. Utilizando as informaes do problema, temos:23 18 5 ) 2 ( 9 5 r 9 5 a 21938r r 19 38 r ). 1 20 ( 5 43 r ). 1 n ( a a4320860a 960 a 20 100 960 20 ). a 5 (220 ). a 5 (480480 S5 a20 n10 1 2020 20 2020n1 + + + + + + + + '.3) (FUVEST) A soma de todas as fraes irredutveis, positivas, menores do que 10, de denominador 4, e:a) 10b) 20 c) 60 d) 80 e) 100Soluo. As fraes irredutveis pedidas so: 439...; ;47;45;43;41. Todas com os numeradores mpares. A soma de todas as fraes ser a frao cujo numerador ser a soma da PA de razo 2 com 1 termo igual a 1 e ltimo termo, 39. 100 ) 20 )( 5 (820 ). 40 (4220 ). 39 1 (439 .. 7 5 3 1439...47454341S ) ii. 20 n 40 n 2 2 38 n 2 2 n 2 1 39 2 ). 1 n ( 1 39 ) i ++ + + + + + + + + + + + .4)As medidas do lado,do permetro eda rea deum tringulo equiltero sonessa ordem,nmeros em progresso aritmtica. A razo dessa progresso :a) 33 20b)20 c) 33 40d)3 20 e)3 40Soluo. Escrevendo as expresses para essas medidas e encontrando a razo considerando o lado do tringulo como L, temos:' + + + '8L 4 3 Lr r 8 L 4 3 L r 2 L43 Lr 2 a aL 2 r r L L 3 a a43 Lrea : aL 3 Permetro : aL Lado : a) i1 31 2321.Relacionando as expresses da razo, temos:( )33 4033 202 L 2 r , Logo .33 2033.320320L ) iiiok 20 3 L0 L 0 L0 20 3 L L 0 L 20 3 L 0 L 16 L 4 3 L L 28L 4 3 L) ii
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' > .5) Numa sala de aula cada um dos 100 alunos recebe um nmero que faz parte de uma sequncia que est em progresso aritmtica. Sabendo que a soma de todos os nmeros 15050 e que a diferena entre o 46 e o 1 135, determine o 100 nmero.Soluo. Expressando os termos em relao ao 1 termo e a razo, temos:299 2 301 a , Logo .. 2 a 4 297 301 a 2 301 ) 3 ( 99 a a301 a a10030100a a 150502100 ). a a (2100 ). a a (S15050 S) ii345135r 135 a r 45 a135 a ar 45 a a) i100 1 1 1 1100 1 100 1100 1100 11 11 461 46 + + + + +'+ + ' + .6) (FUVEST) Uma progresso aritmtica e uma progresso geomtrica tm, ambas, o primeiro termo igual a 4, sendo que os seus terceirostermos soestritamente positivos e coincidem. Sabe-se aindaque o segundo termo da progresso aritmtica excede o segundo termo da progresso geomtrica em 2 unidades. Ento, o terceiro termo das progresses :a) 10b) 12 c) 14d) 16e) 18Soluo. As progresses so: PA (4, a2 + 2, y); PG (4, a2, y). Utilizando as propriedades, temos:( ) ( ) ,... 16 , 8 , 4 ,... 16 ,216, 4 : PG e ,... 16 , 10 , 4 ,... 16 , 2216, 4 : PA16 y0 y 0 y0 ) 16 y ( y 0 y 16 y4 yy 42yy 4y 4 a2y24 y 422y 4a2y 42 a22 2 ,_
,_
+'> ' + + + +.7) Um veculo parte de uma cidade A em direo a uma cidade B, distante 500km. Na 1 hora do trajeto ele percorre 20km, na 2 hora 22,5km, na 3 hora 25km e assim sucessivamente. Ao completar a 12 hora do percurso, a que distncia esse veculo estar de B?a) 95 km b) 115 km c) 125 kmd) 135 kme) 155 kmSoluo. Calculando o total percorrido aps a 12 hora, temos:km 95 km 405 km 500 : B de Distncia . km 0 , 405 ) 6 ).( 5 , 67 (212 ). 5 , 47 20 (Skm 5 , 47 5 , 27 20 ) 5 , 2 ( 11 20 5 , 2 ). 1 12 ( 20 a 5 , 2 20 5 , 22 r25 a5 , 22 a20 a1212321 + + + + '.8) (UFRJ) Mister MM, o Mgico da Matemtica, apresentou-se diante de uma plateia com 50 fichas, cada uma contendo um nmero. Ele pediu a uma espectadora que ordenasse as fichas de forma que o nmero de cada uma, excetuando-se a primeira e a ltima, fosse a mdia aritmtica do nmero da anterior com o da posterior. Mister MM solicitou a seguir espectadora que lhe informasse o valor da dcima sexta e da trigsima primeira ficha, obtendo como resposta 103 e 58 respectivamente. Para delrio da plateia, Mister MM adivinhou ento o valor da ltima ficha.Determine voc tambm este valor.Soluo. A propriedade de cada nmero ser a mdia aritmtica do nmero anterior e do posterior da progresso aritmtica. Escrevendo os nmeros indicados em relao ao 1 elemento e razo, temos:1 147 148 ) 3 ).( 49 ( 148 ) 3 ).( 1 50 ( 148 a148 90 58 ) 3 ( 30 58 a 3 r 45 r 1558 r 30 a103 r 15 a58 r 30 a) 1 ( 103 r 15 a58 a103 a50111113116 + + + ' + ' + +'.9) So dadas duas progresses: uma aritmtica (PA) e outra geomtrica (PG). Sabe-se que: - a razo da PG 2;- em ambas o primeiro termo igual a 1; - a soma dos termos da PA igual soma dos termos da PG;- ambas tm 4 termos. Pode-se afirmar que a razo da PA : a) 1/6b) 5/6 c) 7/6 d) 9/6 e) 11/6Soluo. De acordo com as informaes escrevemos as expresses das progresses e encontramos as relaes.( )( )611r 4 15 r 6 15 r 6 4 ) PG ( S ) PA ( Sr 6 4 ) PA ( S r 3 1 , r 2 1 , r 1 , 1 : PA15 8 4 2 1 ) PG ( S 8 , 4 , 2 , 1 : PG + '+ + + + + + + 10) O professor G. Ninho, depois de formar uma progresso aritmtica de 8 termos, comeando pelo nmero 3 e composta apenas de nmeros naturais, notou que o 2, o 4 e o 8 termos formavam, nessa ordem, uma progresso geomtrica. G. Ninho observou ainda que a soma dos termos dessa progresso geomtrica era igual a: a) 42 b) 36c) 32 d) 28 e) 24Soluo. Escrevendo os termos da PA e identificando os termos em PG, temos:( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )42 24 12 6 ) 3 . 7 3 ( ) 3 . 3 3 ( ) 3 3 ( ) PG ( S3 r0 r 0 r0 ) 3 r ( r 2 0 r 6 r 2 0 r 24 r 18 r 7 r 9 r 7 r 3 r 21 9 r 9 r 18 9) r 7 3 )( r 3 ( r 9 r 18 9 r 7 3 . r 3 r 3 3 r 7 3 . r 3 r 3 3 : ) PG ( opriedade Prr 7 3 , r 3 3 , r 3 : PGr 7 3 , r 6 3 , r 5 3 , r 4 3 , r 3 3 , r 2 3 , r 3 , 3 : PA22 + + + + + + + ' + + + + + + + + + + + + + + + +'+ + ++ + + + + + +.
