Função do 2º grau Questões Extras Prof. Hugo...
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1. (Uemg 2016) O lucro de uma empresa é dado
pela expressão matemática L R C, onde L é
o lucro, C o custo da produção e R a receita
do produto.
Uma fábrica de tratores produziu n unidades e
verificou que o custo de produção era dado
pela função 2C(n) n 1000n e a receita
representada por 2R(n) 5000n 2n .
Com base nas informações acima, a
quantidade n de peças a serem produzidas
para que o lucro seja máximo corresponde a um
número do intervalo
a) 580 n 720
b) 860 n 940
c) 980 n 1300
d) 1350 n 1800
2. (Imed 2016) Em um determinado mês, o lucro
de uma indústria de cosméticos é expresso por 2L(x) x 10x 11, em que x representa a
quantidade de cosméticos vendidos e L(x), o
valor do lucro em reais. Nessas condições, o lucro
máximo, em reais, atingido por essa indústria
corresponde a:
a) 24. b) 36. c) 48. d) 56. e) 64.
3. (Pucsp 2016) Para abastecer seu estoque, um
comerciante comprou um lote de camisetas ao
custo de 16 reais a unidade. Sabe-se que em um
mês, no qual vendeu (40 x) unidades dessas
camisetas ao preço unitário de x reais, o seu
lucro foi máximo. Assim sendo, pela venda de
tais camisetas nesse mês, o percentual de
aumento repassado aos clientes, calculado
sobre o preço unitário que o comerciante pagou
na compra do lote, foi de:
a) 80% b) 75% c) 60% d) 45%
4. (Fepar 2016) O número de atendimentos N(d)
num pronto-socorro, num dia d da semana, é
dado pela função 2N(d) 2d 16d 14,
conforme o gráfico a seguir.
(Considere 0 d 7)
Analise os dados e avalie as afirmativas.
( ) No segundo dia da semana não houve
nenhum atendimento.
( ) O maior número de atendimentos ocorreu
no quarto dia da semana.
( ) O maior número de atendimentos num dia
foi 12.
( ) Em dois dias da semana não ocorreram
quaisquer atendimentos.
( ) A frequência de atendimento foi maior nos
fins de semana.
5. (Epcar (Afa) 2016) Uma fábrica produz
casacos de determinado modelo. O preço de
venda de um desses casacos é de R$ 200,00,
quando são vendidos 200 casacos. O gerente
da fábrica, a partir de uma pesquisa, verificou
que, para cada desconto de R$ 2,00 no preço
de cada casaco, o número de casacos
vendidos aumenta de 5.
A maior arrecadação possível com a venda dos
casacos acontecerá se a fábrica vender cada
casaco por um valor, em reais, pertencente ao
intervalo
a) [105 , 125[ b) [125 , 145[
c) [145 , 165[ d) [165 , 185[
6. (Uece 2015) Um objeto é lançado
verticalmente, para cima, de forma que a altura
alcançada h, medida em metros, e o tempo
decorrido após o lançamento t, medido em
segundos, estão relacionados pela equação 2h 120t 5t 0. Considerando h 0 e t 0 no
instante do lançamento, então o tempo
decorrido desde o lançamento até alcançar a
altura máxima, e a altura máxima atingida são
respectivamente
a) 10 seg e 700 m.
b) 12 seg e 720 m.
c) 12 seg e 800 m.
d) 10 seg e 820 m.
7. (Espcex (Aman) 2015) Um fabricante de
poltronas pode produzir cada peça ao custo de R$ 300,00. Se cada uma for vendida por x reais,
este fabricante venderá por mês (600 x)
unidades, em que 0 x 600.
Assinale a alternativa que representa o número
de unidades vendidas mensalmente que
corresponde ao lucro máximo.
a) 150 b) 250 c) 350 d) 450 e) 550
8. (Insper 2015) O número n de pessoas
presentes em uma festa varia ao longo do
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tempo t de duração da festa, em horas,
conforme mostra o gráfico a seguir.
Das opções abaixo, aquela que melhor
descreve a função n(t) é
a) 2n(t) 10t 4t 50.
b) 2n(t) 10t 40t 50.
c) 2n(t) 10t 4t.
d) 2n(t) t 40t.
e) 2n(t) 10t 40t.
9. (Uern 2015) Se o ponto (k,9) representa o
vértice da parábola determinada pela função
quadrática 2y 6x bx 15, então o valor da
incógnita b é
a) 6. b) 7. c) 12. d) 13.
10. (Acafe 2015) A figura abaixo representa um
portal de entrada de uma cidade cuja forma e
um arco de parábola. A largura da base (AB) do
portal e 8 metros e sua altura é de 10 metros. A
largura MN, em metros, de um vitral colocado a
6,4 metros acima da base é:
a) 5,2.
b) 3,6.
c) 6,0.
d) 4,8.
11. (G1 - ifsul 2015) Um móvel de R$ 360, 00
deveria ser comprado por um grupo de rapazes
que contribuíram em partes iguais. Como 4
deles desistiram, os outros precisaram aumentar
a sua participação em R$ 15, 00 cada um.
Qual era a quantidade inicial de rapazes?
a) 8 b) 12 c) 15 d) 20
12. (Acafe 2014) O vazamento ocorrido em
função de uma rachadura na estrutura da
barragem de Campos Novos precisa ser
estancado. Para consertá-la, os técnicos
verificaram que o lago da barragem precisa ser
esvaziado e estimaram que, quando da
constatação da rachadura, a capacidade C de
água no lago, em milhões de metros cúbicos,
poderia ser calculada por 2C(t) 2t 12t 110,
onde t é o tempo em horas.
Com base no texto, analise as afirmações:
l. A quantidade de água restante no lago, 4
horas depois de iniciado o vazamento, é de 30
milhões de metros cúbicos.
II. A capacidade desse lago, sabendo que
estava completamente cheio no momento
em que começou o vazamento, é de 110
milhões de metros cúbicos.
III. Os técnicos só poderão iniciar o conserto da
rachadura quando o lago estiver vazio, isto é,
5 horas depois do início do vazamento.
IV. Depois de 3 horas de vazamento, o lago está
com 50% de sua capacidade inicial.
Todas as afirmações corretas estão em:
a) I - II - III b) I - III - IV
c) III - IV d) I - II - III - IV
13. (Upe 2014) A empresa SKY transporta 2 400
passageiros por mês da cidade de Acrolândia a
Bienvenuto. A passagem custa 20 reais, e a
empresa deseja aumentar o seu preço. No
entanto, o departamento de pesquisa estima
que, a cada 1 real de aumento no preço da
passagem, 20 passageiros deixarão de viajar
pela empresa.
Nesse caso, qual é o preço da passagem, em
reais, que vai maximizar o faturamento da SKY?
a) 75 b) 70 c) 60 d) 55 e) 50
14. (Uea 2014) A figura mostra um quadrado de
lado igual a 10 m. A região assinalada é
constituída de dois quadrados que não se
intersecionam e cujos lados medem x metros. A
área da região não assinalada pode ser obtida
pela lei 2A 100 2x .
Desse modo, quando x assumir o maior valor
inteiro permitido, a área da região não
assinalada será igual, em metros quadrados, a
a) 84. b) 36. c) 48. d) 68. e) 64.
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15. (Espcex (Aman) 2014) Uma indústria produz
mensalmente x lotes de um produto. O valor
mensal resultante da venda deste produto é 2V(x) 3x 12x e o custo mensal da produção
é dado por 2C(x) 5x 40x 40. Sabendo que o
lucro é obtido pela diferença entre o valor
resultante das vendas e o custo da produção,
então o número de lotes mensais que essa
indústria deve vender para obter lucro máximo é
igual a
a) 4 lotes. b) 5 lotes. c) 6 lotes. d) 7 lotes.
e) 8 lotes.
16. (G1 - ifce 2014) Seja f: R R uma função
quadrática dada por onde
R são constantes e cujo gráfico
(parábola) está esboçado na figura.
É correto afirmar-se
que
a)
b)
c)
d)
e)
17. (Unifor 2014) Na figura abaixo, temos a
representação geométrica do gráfico de uma
parábola, cuja equação é 2y ax bx c.
Para esta parábola representada no gráfico
abaixo, os sinais dos produtos a b, a c e b c
são, respectivamente
a) negativo, negativo e positivo.
b) negativo, positivo e negativo.
c) negativo, negativo e negativo.
d) positivo, positivo e positivo.
e) positivo, negativo e negativo.
18. (Ufsm 2014) Ao descartar detritos orgânicos
nos lagos, o homem está contribuindo para a
redução da quantidade de oxigênio destes.
Porém, com o passar do tempo, a natureza vai
restaurar a quantidade de oxigênio até o seu
nível natural.
Suponha que a quantidade de oxigênio, t dias
após os detritos orgânicos serem despejados no
lago, é expressa por 2
2
t 20t 198f(t) 100
t 1
por
cento (%) de seu nível normal.
Se 1t e 2t , com 1 2t t , representam o número de
dias para que a quantidade de oxigênio seja
50% de seu nível normal, então 2 1t t é igual a
a) 4 5.
b) 2 5.
c) 2 5 .
d) 4 5 .
e) 40.
19. (Upe 2014) Num terreno, na forma de
triângulo retângulo, com catetos de medidas 60
metros e 80 metros, Sr. Pedro construiu uma casa
retangular com a maior área possível, como na
figura a seguir:
Qual é a medida da área do terreno destinado
à construção da casa em metros quadrados?
a) 600
b) 800
c) 1 000
d) 1 200
e) 1 400
20. (Fgv 2014) Um restaurante francês oferece
um prato sofisticado ao preço de p reais por
unidade. A quantidade mensal x de pratos que
é vendida relaciona-se com o preço cobrado
através da função p 0,4x 200.
Sejam 1k e 2k os números de pratos vendidos
mensalmente, para os quais a receita é igual a
R$21.000,00. O valor de 1 2k k é:
a) 450
b) 500
c) 550
d) 600
e) 650
2f(x) ax bx c,
a, b, c
a 0.
b 0.
c 0.
2b 4ac.
2f(a bc) 0.
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Gabarito:
Resposta da questão 1:
[C]
Tem-se que
2 2 2L 5000n 2n (n 1000n) 3000000 3(n 1000) .
Portanto, deverão ser produzidas 1.000 peças
para que o lucro seja máximo.
Resposta da questão 2:
[B]
O lucro da indústria é expresso por uma função
do segundo grau. O lucro máximo é dado pela
ordenada do vértice, isto é:
2
v
b 4acy ,
4a 4a
Δ onde:
a 1
b 10
c 11
Logo:
2
max max
10 4( 1)(11)L L 36 reais
4( 1)
Resposta da questão 3:
[B]
O lucro L(x) será a diferença entre a receita e o
custo. Temos, então, a seguinte equação:
2
2
L(x) (40 x) x 16 (40 x)
L(x) 40x x 640 16x
L(x) x 56x 640
Determinando o valor de x (preço) para que o
lucro seja máximo;
V56
x 282 ( 1)
Portanto, o percentual de aumento será dado
por:
28 16 12 375%
16 16 4
Resposta da questão 4:
F – V – F – V – F.
Vamos supor que N : {d |1 d 7} , sendo
d 1 o primeiro dia, d 2 o segundo dia, e
assim por diante, até d 7, o último dia.
No segundo dia da semana houve 10
atendimentos, pois
2N(2) 2 2 16 2 14 10.
O maior número de atendimentos ocorreu no
quarto dia da semana, pois
y16
d 4.2 ( 2)
O maior número de atendimentos num dia foi
18, pois
2N(4) 2 4 16 4 14 18.
Nos dias d 1 e d 7 não ocorreram quaisquer
atendimentos, pois N(1) N(7) 0.
Não foi informado quais são os dias que
correspondem ao final de semana.
Resposta da questão 5:
[B]
Pode-se deduzir duas funções em x :
- Função do preço 1f (x) 200 2x, sendo x o
número de vezes que o desconto será dado.
- Função do quantidade 2f (x) 200 5x, sendo
x o número de vezes que o desconto será
dado.
A função da arrecadação será dada pela
multiplicação do preço pela quantidade de
casacos vendidos. Assim:
3
23
23
f (x) 200 2x 200 5x
f (x) 40.000 1.000x 400x 10x
f (x) x 60x 4.000
Logo, percebe-se que a função de
arrecadação é uma função do 2º grau,
representada graficamente por uma parábola
com concavidade para baixo. O vértice da
parábola representa a arrecadação máxima. A
coordenada x do vértice da parábola será
igual ao número máximo de vezes que o
desconto poderá ser concedido para conseguir
a arrecadação máxima.
Da fórmula para encontrar a coordenada x do
vértice, tem-se:
vértice
vértice
b 60x
2a 2 ( 1)
x 30
Para se descobrir por qual valor será vendido
cada casaco na arrecadação máxima, basta
substituir o valor de x na função do preço:
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1f (x) 200 2 30 140, que pertence ao
intervalo [145 ,165[.
Resposta da questão 6:
[B]
Pode-se reescrever a função dada no
enunciado: 2 2h 120t 5t 0 h 5t 120t
Sabendo que trata-se de uma função do
segundo grau, seu gráfico será uma parábola
cujo vértice (ponto máximo) representa a altura
máxima atingida e o tempo decorrido desde o
lançamento. Assim, a altura máxima máxh será
dada pelo vértice da parábola, calculado pela
fórmula: 2 2
máx máxb 4 a c 120 4 ( 5) 0
h h 720 m4a 4a 4 ( 5)
De forma análoga, substituindo o valor de máxh
e calculando a coordenada x do vértice, tem-
se: 2 2 2720 5t 120t 5t 120t 720 0 t 24t 144
b 24x x 12 s
2a 2
Resposta da questão 7:
[A]
O lucro L(x) será dado por (600 x) (300 x). As
raízes da função são 300 e 600, o valor de x
para que o lucro seja máximo é a média
aritmética das raízes, portanto
vx (300 600) : 2 450. Logo, o número de
peças para que o lucro seja máximo, é:
600 450 150.
Resposta da questão 8:
[E]
Seja n : a função dada por
1 2n(t) a (t t ) (t t ), com 1t e 2t sendo os
zeros da função n. Logo, sabendo que 1t 0,
2t 4 e (2, 40) pertence ao gráfico de n, vem
40 a (2 0)(2 4) a 10.
Portanto, a lei de n é 2n(t) 10 (t 0)(t 4) 10t 40t.
Resposta da questão 9:
[C]
Se o ponto (k,9) representa o vértice da
parábola descrita no enunciado, então k é
igual a coordenada x do vértice, que é dada
por:
v vb b b
x x k2a 12 12
Substituindo o ponto dado (k,9) e o valor de k
na equação da parábola, tem-se: 2
2
2 22 2
9 6k bk 15
b b9 6 b 15
12 12
6b b6 0 b 144 0 b 144 b 12
144 12
Resposta da questão 10:
[D]
Supondo um eixo vertical y dividindo a
parábola verticalmente e um eixo x passando
por A e B, pode-se deduzir que as
coordenadas do vértice serão (0, 10) e as
coordenadas dos pontos A e B serão ( 4, 0) e
(4, 0), respectivamente.
A equação geral da parábola é dada por: 2ax bx c y.
Sabendo que a coordenada x do vértice é
zero, então b 0, pois vérticex b 2a 0 b 0.
Assim, a equação da parábola em questão
terá a forma 2ax c y.
Substituindo os pontos conhecidos da parábola
na equação, tem-se: 2
2
V(0,10) a 0 c 10 c 10
5B(4, 0) a 4 c 0 16a c a
8
A equação final da parábola será:
25x 10 y.
8
Os pontos M e N têm coordenadas y
conhecidas: M( x, 6,4) e N(x, 6,4). Substituindo
os valores do ponto N na equação da
parábola, tem-se: 2 2 2 25 5 5
x 10 6,4 x 6,4 10 x 3,6 x 5,76 x 2,48 8 8
A distância entre M e N é o dobro do valor de
x, ou seja, 4,8 metros.
Resposta da questão 11:
[B]
Sendo x igual ao número de rapazes e y igual
à quantia que cada um deve disponibilizar
inicialmente, pode-se escrever:
360xy 360 y
x
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Após a desistência de 4 rapazes, a quantia que
cada um deve que disponibilizar aumentou 15
reais, ou seja:
x 4 y 15 360 xy 4y 15x 60 360
Sabendo o valor de xy e de y conforme a
relação inicial, pode-se substituir:
2
2 2
2
1 2
360xy 4y 15x 60 360 360 4 15x 60 360
x
3604 15x 60 0 1440 15x 60x 0
x
15x 60x 1440 0 x 4x 96 0
( 4) 4 1 ( 96) 400
4 20x x 12 ; x 8
2
Como é impossível ter uma quantidade
negativa de pessoas, conclui-se que o número
inicial de rapazes era 12.
Resposta da questão 12:
[A]
[I] Correta. De fato, a quantidade de água no
lago, em milhões de metros cúbicos, após 4
horas, é dada por
2C(4) 2 4 12 4 110 30.
[II] Correta. Com efeito, tem-se que C(0) 110.
[III] Correta. Os técnicos só poderão iniciar o
conserto da rachadura quando C(t) 0, ou
seja, quando
22t 12t 110 0 2 (t 5) (t 11) 0
t 5 h.
[IV] Incorreta. A quantidade de água no lago,
em milhões de metros cúbicos, após 3
horas, é igual a
2C(3) 2 3 12 3 110 56.
Por outro lado, tem-se que 0,5 110 55 milhões
de metros cúbicos.
Resposta da questão 13:
[B]
Seja n o número de aumentos de 1 real no
preço da passagem. Logo, se f é o
faturamento da empresa, então
f (n 20)(2400 20n) 20(n 20)(n 120).
Donde podemos concluir que o número de
aumentos de 1 real que maximiza f é
20 12050.
2
Portanto, o resultado pedido é
20 50 R$ 70,00.
Resposta da questão 14:
[D]
O maior valor inteiro para o lado do quadrado,
de acordo com as condições acima, é 4m.
Portanto, a área da região não assinalada é: 2 2A 100 2 4 68m .
Resposta da questão 15:
[D]
Seja L(x) o lucro obtido, então:
L(x) = V(x) – C(x) = – 2x2 + 28x + 40
O valor de x para que L(x) seja máximo será
dado por:
Vb 28
x 72 a 2 ( 2)
Resposta da questão 16:
[D]
A concavidade da parábola voltada para
cima implica em
Desde que e tem-se
Note, no gráfico, que
Como para todo e
segue-se que
Do gráfico sabemos que a parábola não
intersecta o eixo das abscissas. Logo,
Resposta da questão 17:
[D]
Como a parábola tem concavidade para
baixo e intersecta o eixo das ordenadas em um
ponto de ordenada negativa, temos a 0 e
c 0. Além disso, a abscissa do vértice também
é negativa. Daí, só pode ser b 0. Em
consequência, a b 0, a c 0 e b c 0.
Resposta da questão 18:
a 0.
vb
x 02a
a 0, b 0.
f(0) c 0.
f(x) 0 x 2(a bc) ,
2f(a bc) 0.
2 2b 4ac 0 b 4ac.
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[C]
2
2
2
2
2 2
2 2
2
2
2 1
t 20t 198f(t) 100
t 1
100 (t 20t 198)50
t 1
2.(t 20 t 198) t 1
2 t 40 t 396 t 1 0
t 40t 395 0
( 40) 4 395 20
( 40) 20 40 2 5t 20 5
2 1 2
Portanto, t t 20 5 (20 5) 2 5
Δ
Resposta da questão 19:
[D]
Considere a figura, em que AC 80 m e
AB 60 m.
Tomando AD y e AF x, da semelhança dos
triângulos ABC e DEC, obtemos
CD DE 80 y x
80 60CA AB
4xy 80 .
3
Logo, a medida da área do terreno destinado à
construção da casa é dada por
2
2
2
(ADEF) AF AD
4xx 80
3
4(x 60x)
3
4[(x 30) 900]
3
41200 (x 30) .
3
Portanto, a área máxima é igual a 21200 m ,
quando x 30 m.
Resposta da questão 20:
[B]
Desde que p 0,4x 200, temos
2
p x 21000 ( 0,4x 200) x 21000
x 500x 52500 0.
Portanto, pelas Relações de Girard, segue-se
que 1 2k k 500.