Fundamentos Geométricos da Teoria de Einstein-Cartan (Relatório de IC)

FUNDAMENTOS GEOMÉTRICOS DATEORIA DE EINSTEIN-CARTAN

RODRIGO R. S. NASCIMENTO∗

11 de agosto de 2013

Departamento de Física; Universidade do Estado de Santa Catarina; Centro de Ciências Tecnológicas;

Joinville 89219-710, Santa Catarina, Brasil

Resumo

Este estudo tem como objetivo abordar os conceitos geométricos fundamen-tais inerentes à geometria de Riemann-Cartan, observando as principais diferençasentre esta e a geometria de Riemann tradicional, e introduzindo o conceito de tor-ção espaço-temporal naturalmente. Trata-se de uma revisão bibliográfica baseadana literatura especializada, levada a cabo através de consulta à artigos científicosdifundidos na comunidade. Os estudos considerados sugerem que a torção in-troduzida nas equações de campo pertinentes à teoria de Einstein-Cartan, possuacorrelação física com a densidade de spin da matéria, o que engloba dessa formauma perspectiva para modelos cosmológicos mais gerais. Algumas motivaçõespara o uso da torção em física serão mencionadas, e algumas das perspectivas quepermeiam modelos cosmológicos torcionais serão evidenciadas.

Palavras chaves: Geometria, Torção, Teoria de Einstein-Cartan.

Sumário1 Introdução 3

2 Metodologia 32.1 Convenções e Planejamento do Trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3 Uma Breve Revisão da Geometria Riemanniana 43.1 Objetos Geométricos Espaços-Temporais . . . . . . . . . . . . . . . 43.2 Derivada Covariante, Deslocamento Paralelo e Conexão Afim . . . . 53.3 Tensor de Curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.3.1 Tensor de Ricci e Escalar de Curvatura . . . . . . . . . . . . 73.3.2 Identidades de Bianchi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

∗Bolsista de iniciação científica – PIBIC/CNPq. Acadêmico do Curso de Licenciatura em Fí-sica – CCT-UDESC, Endereço eletrônico: [email protected]. Orientador: ProfessorPh.D. Jorge Gonçalves Cardoso – Departamento de Matemática – CCT-UDESC. Endereço eletrônico:[email protected]

1

SUMÁRIO

4 Geometria de Riemann-Cartan 84.1 Motivações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84.2 Torção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84.3 Conexão em Termos da Métrica e da Torção . . . . . . . . . . . . . . 9

4.3.1 Identidades de Bianchi com Torção . . . . . . . . . . . . . . 104.3.2 Tensor de Ricci e Escalar de Ricci com Torção . . . . . . . . 10

4.4 Equações de Campo da Teoria de Einstein-Cartan . . . . . . . . . . . 10

5 Discussões e Conclusões 12

Referências 13

2

2 METODOLOGIA

1 IntroduçãoAté por volta de 1915, a cosmologia limitou-se ao uso da geometria Euclidiana paramodelar os fenômenos cósmicos observáveis com base nos conceitos provenientes dagravitação Newtoniana. Estes modelos cosmológicos foram fundamentados em intui-ção e empirismo, e capazes de descrever uma ampla gama de fenômenos bem como deprever alguns outros. Todavia, com o desenvolvimento da tecnologia, tornou-se possí-vel construir instrumentos cada vez mais precisos, melhorando deste modo de maneirasignificativa não somente os resultados observacionais, mas também os modelos a se-rem tomados para a descrição dos fenômenos observáveis. Modelos cosmológicos ba-seados no uso de uma geometria mais geral, foram formulados inicialmente por AlbertEinstein (vide Refs.[1]). O impacto causado por tais modelos na comunidade científicaé hoje referenciado ao dizer-se que a teoria física de fundo, a saber, a teoria da relativi-dade geral de Einstein, é uma das mais belas e bem sucedidas teorias da física, a qualmudou dramaticamente a forma como tratamos o tempo e o espaço.

Einstein propõe o uso da geometria Riemanniana no lugar da geometria pseudo-Euclidiana ocorrente no contexto da teoria da relatividade especial [2], visando genera-lizar os postulados desta e embasar a formulação da teoria da Relatividade Geral (RG).Neste modelo geral, tempo e espaço são conceitualmente "combinados" no conceitode “contínumm” espaço-temporal curvo. Assim, um espaço-tempo do contexto da RGaparece como um ambiente curvo quadri-dimensional real equipado com um elementode arco indefinido, propiciando deste modo uma estrutura causal local. Após este feito,dezenas de outros autores exploraram a riqueza matemática que a geometria Riemanni-ana exibe na gravitação (vide, por exemplo, Ref. [3]). Uma abordagem particular dadaneste sentido foi feita primeiramente por A. Eddington (vide Refs. [4, 5]) ao estudarsistematicamente os objetos geométricos presentes em teorias relativísticas, e ao suge-rir em 1921 que um novo conceito geométrico envolvendo conexões afim assimétricaspoderia ser eventualmente introduzido no contexto espaço-temporal curvo.

Élie Cartan [6], durante os anos 1922-25, trabalhou com conexões antissimétricas,provando que tais conexões transformam-se como tensores e as denominando tensoresde torção. Cartan chegou a sugerir que a torção deveria estar associada a algum tipo demomento angular intrínseco da matéria não chegando, porém, a desenvolver esta ideiaprofundamente. Estas associações de caráter físico supostamente contribuem para otensor energia-momento da RG e, assim, podem afetar o campo gravitacional. Atual-mente, os modelos torcionais ocupam um lugar de destaque na pesquisa científica quevisam formular contextos cosmológicos torcionais [7, 8, 9, 10].

2 MetodologiaEste estudo envolve uma revisão literária especializada, realizada entre setembro de2012 e maio de 2013, na qual consultou-se desde livros e periódicos presentes na Bi-blioteca do Centro de Ciências Tecnológicas da Universidade Estadual de Santa Cata-rina UDESC- CCT, à artigos contidos na rede. Três artigos indicados pelo professororientador foram tomados como base de estudos [11, 12, 13]. Seguindo as referênciasdos artigos base, encontramos a literatura complementar, em sua maioria, no banco dedados eletrônico: arXiv.org. A pesquisa das referências foi realizada entre setembro2011 e fevereiro de 2012, utilizando as palavras chave contidas neste relatório e os tí-tulos sugeridos pelos autores de base. O critério de seleção dos artigos complementaresfoi baseado em: quantidade de citação entre os autores, relevância no estudo abordado,

3

3 UMA BREVE REVISÃO DA GEOMETRIA RIEMANNIANA

sugestão por parte do professor orientador e gosto do aluno. O estudo em si, abran-geu: leitura integral dos artigos de base e complementares, verificação dos principaisconceitos envolvidos e aulas de nivelamento teórico.

2.1 Convenções e Planejamento do TrabalhoAs seguintes convenções serão adotadas neste relatório: índices espaço-temporais se-rão indicados por letras gregas minúsculas µ,ν ,λ ..., e variam de 0 até 3. A convençãode somação usual de Einstein será adotada. Simetrização e antisimetrização serão de-notadas por parênteses e colchetes envolvendo os índices absorvidos pelas operaçõesde simetria, respectivamente. Barras envolvendo um bloco de índices significará queos índices pertinentes estão excluídos das operações de simetria. Nossa escolha deassinatura métrica é (+−−−). O operador derivada parcial ∂/∂xλ será denotado sim-plesmente por ∂λ , e derivadas covariantes serão representadas pelo símbolo ∇µ . Osímbolo xλ em parênteses, geralmente, significará dependência funcional nas quatrocoordenadas espaço-temporais. A constante gravitacional Einsteiniana é denotada pork, e vale k + 8πc−4G, com G sendo a constante gravitacional Newtoniana. Notaçãopara quantidades torcionais será explicada no decorrer do texto a medida que neces-sário. O trabalho tem sido dividido como segue: na Seção 3, apresenta-se uma breverevisão da geometria Riemanniana, onde serão introduzidos alguns conceitos comométrica, conexão afim, tensores, transporte paralelo, derivada covariante e tensor decurvatura, juntamente com as equações de campo da RG. Na Seção 4, apresentaremosas principais motivações para o uso da geometria de Riemann-Cartan e em seguida in-troduziremos a torção a partir da atuação de comutadores entre derivadas covariantessobre vetores mundo no contexto desta geometria. Obteremos a curvatura da geome-tria de Riemann-Cartan, usando-se para isto, uma conexão generalizada contendo umaparte simétrica e uma antissimétrica. Veremos assim, que a geometria de Riemann éum caso particular da geometria de Riemann-Cartan. Ainda na Seção 4, apresentare-mos as equações de Einstein-Cartan e veremos como a torção contribui para o tensorde energia-momento. Por fim, na Seção 5, discutiremos algumas das consequênciasresultantes da torção, apresentaremos o ponto de vista de alguns autores quanto a in-terpretação física da torção, e finalizaremos com algumas conclusões.

3 Uma Breve Revisão da Geometria RiemannianaApresentaremos aqui brevemente alguns conceitos da geometria Riemanniana, quepropiciam uma base para a compreensão da teoria de Einstein-Cartan. Para uma des-crição completa dessa geometria, ver [1, 14, 15, 16, 17].

3.1 Objetos Geométricos Espaços-TemporaisUm espaço-tempo M é um continuum real quadri-dimensional curvo, identificadocomo um espaço pseudo-Riemanniano.1 A variedade M é equipada com um grupode transformações de coordenadas do tipo x′µ = x′µ(xλ ), o qual é chamado de grupode mapeamentos da variedade (GMV) de M . Tensores em M são definidos como ob-jetos geométricos que obedecem leis de transformações homogêneas sob a atuação do

1O termo "pseudo" significa que a assinatura métrica é indefinida.

4


GMV de M . Por exemplo, um tensor contravariante de primeira ordem U µ obedeceleis de transformações homogêneas do tipo

U ′α =(∂γ x′α

)U γ . (3.1)

Um exemplo bem conhecido de um tensor deste tipo é dado por

dx′α =(∂γ x′α

)dxγ . (3.2)

Para o caso de um tensor covariante temos

U ′α =(∂′α xν)

Uν . (3.3)

Vale ressaltar que se φ representa um escalar, então ∂µ φ transforma-se como um tensorcovariante, a saber,

∂′α φ′ =(∂′α xν)

∂ν φ . (3.4)

Mais geralmente, para um tensor T ′α1...αkβ1...βl

de valência arbitrária, tem-se

T ′α1...αkβ1...βl

=(∂′γ1

xα1)...(∂′γk

xαk)(

∂β1x′ν1)...(∂βl

x′νl)

T γ1...γkν1...νl . (3.5)

O espaço-tempo M é usualmente equipado com um tensor métrico2 covariante gµν

que generaliza o conceito de distância entre dois pontos/eventos, segundo a prescrição

ds2 = gµν(x)dxµ dxν . (3.6)

Pode-se definir o tensor métrico gµν contravariante, inverso de gµν , de tal forma que

gµν gνσ = gλσ gλ µ = δµ

σ , (3.7)

onde δµ

σ é um invariante conhecido como delta de Kronecker, definido por

δµ

σ =

{1, se µ = ν

0, se µ 6= ν. (3.8)

3.2 Derivada Covariante, Deslocamento Paralelo e Conexão AfimEm M , precisamos definir um operador diferencial que mantenha as característicastensoriais dos objetos geométricos. Em geral, as regras usuais de diferenciação parcialnão garantem que o resultado obtido, a partir de um tensor, seja de fato outro tensor.Tomemos como exemplo o tensor covariante definido na Eq. (3.3). Diferenciandoambos os lados da Eq. (3.3) com relação à x′µ obtemos

∂U ′α∂x′µ

=∂xβ

∂x′α∂xγ

∂x′µ∂Uβ

∂xγ+

∂ 2xβ

∂x′α ∂x′µUβ . (3.9)

A presença do segundo termo do lado direito desta igualdade revela que ∂U ′α/∂x′µ nãose transforma como um tensor. Este fato pode, com efeito, ser resolvido da seguinteforma. Se considerarmos dois pontos P e P′ de M suficientemente próximos de coor-denadas xρ e xρ +dxρ , bem como dois vetores V ρ e V ρ +dV ρ assentados nestes pontos,

2Os tensores métricos são comumente utilizados para abaixar e levantar índices de qualquer quantidadedefinida no espaço-tempo, num mesmo sistema de coordenadas.

5


então estes vetores podem ser relacionados com o uso do conceito de deslocamento pa-ralelo, o qual fornece uma maneira de comparar objetos deslocados paralelamente emuma vizinhança suficientemente pequena. Matematicamente, o deslocamento paraleloobedece a seguinte prescrição

δV ρ =−Γρ

µν (x)V µ dxν , (3.10)

onde Γρ

µν é chamada de conexão afim e caracteriza o deslocamento paralelo eventu-almente levado a cabo. A lei geral de transformação da conexão afim é

Γ′ ρ

µν =∂x′ρ

∂xα

∂xσ

∂x′µ∂xλ

∂x′νΓ

α

σλ+

∂x′ρ

∂xα

∂ 2xα

∂x′µ ∂x′ν. (3.11)

Transportes paralelos de tensores em M proporcionam uma forma invariante deconectar objetos geométricos definidos em pontos suficientemente próximos. Tais des-locamentos são capazes de caracterizar geometricamente a variedade através das cone-xões afim escolhidas. Desde que ambos V ρ e V ρ +δV ρ estejam definidos localmente,a diferencial covariante é definida por

DV ρ + dV ρ −δV ρ =(∂µV ρ +Γ

ρ

µσ V σ)

dxµ . (3.12)

A derivada covariante de V ρ é então identificada como a expressão entre parênteses

∇µV ρ = ∂µV ρ +Γρ

µσ V σ . (3.13a)

Naturalmente, a derivada covariante de um tensor covariante Vρ é dada por

∇µVρ = ∂µVρ −Γσ

µρ Vσ , (3.13b)

posto que D(V µVµ) = d(V µVµ). De forma geral, a derivada covariante de um tensorarbitrário possui a forma

∇µ T α1...αkβ1...βl

= ∂µ T α1...αkβ1...βl

+Γα1

µγ T γ...αkβ1...βl

+ ...+

Γαk

µγ T α1...γβ1...βl

−Γγ

µβ1T α1...αk

γ...βl− ...−Γ

γ

µβlT α1...αk

β1...γ. (3.13c)

A derivada covariante possui as seguintes propriedades formais:

1. Linearidade (com a e b constantes)

∇µ

(aAα1...αk

β1...βl+bBα1...αk

β1...βl

)= a∇µ Aα1...αk

β1...βl+b∇µ Bα1...αk

β1...βl.

2. Regra de Leibniz

∇µ

(Aα1...αk

β1...βlBα1...αk

β1...βl

)=(

∇µ Aα1...αkβ1...βl

)Bα1...αk

β1...βl

+Aα1...αkβ1...βl

(∇µ Bα1...αk

β1...βl

).

3. Quando ∇µ atua num escalar φ , tem-se

∇µ φ = ∂µ φ .

6


No contexto da geometria Riemanniana, tem-se conexões afim que satisfazem a se-guinte propriedade de simetria

Γλ

µν = Γλ

(µν) . (3.14)

Em adição, o caráter invariante do elemento de linha ds implica que gµν precisa sercovariantemente constante em relação à conexão Γ λ

µν , i.e.,

∇λ gµν = 0. (3.15)

Tal propriedade implica que as conexões afim correspondentes possuem a forma explí-cita

Γρ

µν =12

gρσ(∂µ gνσ +∂ν gµσ −∂σ gµν

), (3.16)

as quais são denominadas de símbolos de Christoffel.3

3.3 Tensor de CurvaturaO tensor de Riemann para conexões afim do tipo (3.16) emerge a partir do comutadorentre operadores derivadas covariantes. Para verificar isto, definimos

4µν + ∇µ ∇ν −∇ν ∇µ = 2∇[µ ∇ν ], (3.17)

tal que, deixando o operador (3.17) atuar em um dado vetor V ρ , obtém-se

4µνV ρ = R ρ

µνσ V σ , (3.18)

com o tensor de curvatura de Riemann sendo definido por

R ρ

µνσ + ∂µ Γρ

νσ −∂ν Γρ

µσ +Γρ

µλΓ

λνσ −Γ

ρ

νλΓ

λσ µ . (3.19)

Definindo Rµσνρ + R λµσν gλρ , podemos facilmente verificar as seguintes proprieda-

des4

Rµσνρ =−Rσ µνρ =−Rµσρν , (3.20a)Rµσνρ = Rνρµσ . (3.20b)

3.3.1 Tensor de Ricci e Escalar de Curvatura

O tensor de Ricci é dado por5

Rµν + gρσ Rµσνρ . (3.21)

Da propriedade (3.20b), verifica-se que o tensor de Ricci de uma conexão afim deChristoffel é simétrico, e portanto possui 10 componentes independentes. O escalar decurvatura, ou escalar de Ricci, é dado pela contração de todos os índices do tensor deRiemann, a saber,

R + gµν Rµν . (3.22)3Na bibliografia tradicional, os símbolos Γµνρ e Γ

ρ

µν são chamados de símbolos de Christoffel de pri-meira e segunda espécies respectivamente.

4As propriedades 3.20a e 3.20b reduzem o número de componentes independentes do tensor de Riemannde 256 para 20 componentes.

5Há uma convenção de sinal absorvida na definição do tensor de Ricci.

7

4 GEOMETRIA DE RIEMANN-CARTAN

3.3.2 Identidades de Bianchi

Uma outra propriedade muito importante do tensor de Riemann de uma conexão deChristoffel, é a propriedade de ciclidade

Rµσνρ +Rνµσρ +Rσνµρ = 0. (3.23a)

Esta propriedade é conhecida como primeira identidade de Bianchi. A segunda identi-dade de Bianchi é dada por

∇µ R λσνρ +∇σ R λ

νµρ +∇ν R λµσρ = 0. (3.23b)

A segunda identidade de Bianchi contraída adequadamente, e reescrita em termos dotensor de Ricci e do escalar de curvatura, nos fornece a seguinte relação:

∇µ Gµν = 0, (3.24a)

comGµν ≡ Rµν − 1

2gµν R. (3.24b)

O tensor Gµν é denominado o tensor de Einstein [18], e ocorre nas equações decampo da RG:

Gµν =−kT µν . (3.25a)

A relação (3.24a), produz a lei de conservação de energia-momento

∇µ T µν = 0. (3.25b)

4 Geometria de Riemann-Cartan

4.1 MotivaçõesEmbora a RG seja amplamente aceita na comunidade científica, e possua fortes evidên-cias experimentais a seu favor [19], esta teoria sozinha não consegue responder váriasquestões em aberto relacionadas com energia escura e matéria escura [20]. Conjectura-se que deva haver alguma extensão da RG que consiga explicar aquela fenomenologia.Uma teoria presumivelmente adequada neste sentido envolveria um embasamento ge-ométrico que porta torção. Dessa forma, uma versão torcional da teoria da gravitaçãoseria realizada dentro do contexto de uma geometria de Riemann-Cartan [7]. Emboraesta característica torcional não constitua uma visão definitiva, hoje em dia a ideia maisaceita é a de que, de fato, a torção tem como fonte o spin [11]. Uma vez que a maneiramais geométrica de introduzir-se o spin na gravitação é via torção, esta acaba sendouma das grandes motivações para o estudo de teorias cosmológicas modernas [20].

4.2 TorçãoCartan introduziu conexões antissimétricas na lei de transporte paralelo, e aplicou odeslocamento paralelo ao longo de curvas fechadas, encontrando deste modo que acurvatura gerada difere da curvatura tradicionalmente usada na geometria Riemanniana[21, 6, 11, 9]. Falando a grosso modo, para obtermos a torção, deixamos o comutador

8


de derivadas covariantes [∇µ,∇ν ] atuar em um dado vetor V ρ em M , e relaxamos acondição de simetria das conexões afim, tal que

Γµνλ = Γ(µν)

λ +Γ[µν ]λ . (4.1)

Na presença de torção, torna-se muito mais fácil trabalhar em termos do operadorCyrillic-D [18]. Tem-se, com efeito,

ÄµνV ρ + R ρ

µνσ V σ , (4.2)

ondeÄµνV ρ =4µνV ρ −T λ

µν ∇λV ρ . (4.3)

De forma explícita, nós temos(∇µ ∇ν −∇ν ∇µ −T λ

µν ∇λ

)V ρ = R ρ

µνσ V σ . (4.4)

O lado direito da igualdade (4.4) envolve o tensor de Riemman para a conexão afimassimétrica (4.1). Agora, o termo novo a saber, T λ

µν é definido como a torção. Nesteestágio, uma observação a ser feita é que a torção é antissimétrica nos dois primeirosíndices, T λ

µν =−T λνµ e, portanto, possui 24 componentes independentes:

T λµν + 2Γ

λ

[µν ] = Γλ

µν −Γλ

νµ . (4.5)

Evidentemente para o caso em que T λµν = 0, o operador ∇µ é dito ser livre de torção

e, neste caso, recuperamos a curvatura da geometria Riemanniana.

4.3 Conexão em Termos da Métrica e da TorçãoComo a variedade M é dotada de uma métrica gµν , pode-se ainda impor que a con-dição de compatibilidade (3.15) aplica novamente. Assim sendo, podemos obter umaexpressão natural para a conexão em termos da métrica e da torção, a partir das seguin-tes expansões:

∇µ gνσ = ∂µ gνσ −Γλ

µν gλσ −Γλ

µσ gνλ = 0, (4.6a)

∇ν gσ µ = ∂ν gσ µ −Γλ

νσ gλ µ −Γλ

νµ gσλ = 0, (4.6b)

∇σ gµν = ∂σ gµν −Γλ

σ µ gλν −Γλ

σν gµλ = 0. (4.6c)

Manipulando-se (4.6a), (4.6b), (4.6c) e usando (4.5) chegamos a

Γ̃µνλ = Γ(µν)

λ +K λµν , (4.7)

onde K λµν é um tensor dado pela diferença Γ̃µν

λ −Γ(µν)λ , denominado cotorção, o

qual possui o mesmo número de componentes independentes que a torção. Tem-se adefinição

K λµν +−1

2

(T λ

µν +T λνµ −T λ

µν

). (4.8)

Aqui, Γ(µν)λ é identificado com o símbolo de Christoffel da geometria Riemanniana

(vide 3.16). Assim, usando (4.1), podemos expandir a contribuição da torção no tensorde Riemann, tal como segue

R λµνσ = R λ

µνσ +∇[µT λ

ν ]σ − 12T λ

ρ[µ Tρ

ν ]σ− 1

2T

ρ

µν T λρσ . (4.9)

9


A generalização das propriedades do tensor de Riemann seguem diretamente a partirdaquelas da torção, a saber,

Rµνσλ =−Rνµσλ =−Rµνλσ , (4.10a)

Rµνσλ 6= Rσλ µν . (4.10b)

Observa-se, então, que Rµνσλ possui 36 componentes independentes, é antissimétriconos índices da cada par mas, no entanto, não porta mais a simetria nos pares de índicescomo explicitado pela equação (4.10b).

4.3.1 Identidades de Bianchi com Torção

As identidades de Bianchi em uma geometria com torção são escritas na seguinte forma[21, 9]

∇[µR λ

νσ ]ρ = T δ

[µνR λ

σ ]ρδ, (4.11a)

R λ

[µνσ ] =−∇[µT λ

νσ ] +Tρ

[µνT λ

σ ]ρ , (4.11b)

É interessante notar que os duais do tensor de curvatura com torção não possuemquadri-divergências nulas [18]. Em adição, a propriedade cíclica de antes não aplicaaqui. Notamos que se a torção for nula, recuperamos as identidades de Bianchi dageometria Riemanniana.

4.3.2 Tensor de Ricci e Escalar de Ricci com Torção

Podemos definir o tensor de Ricci pela contração [18]

Rνσ = Rµνσλ gµλ = R µ

µνσ , (4.12)

isto é,

Rνσ = Rνσ +3∇[µT ν

νσ ] −T ν

νλT λ

µσ , (4.13)

onde Rνσ o tensor de Ricci para a conexão de Christoffel [18]. Pode-se observar daexpressão acima que o tensor de Ricci assim definido é um tensor de 16 componentesindependentes e, portanto, assimétrico. O escalar de Ricci é obtido pela contração totaldos índices do tensor de Ricci, a saber,

R = gνσ Rνσ = R+2∇µK νµ

ν −K µ

µ ρKνρ

ν −K µ

νρ Kνρ

µ , (4.14)

com R = gνσ Rνσ . Tal como na geometria Riemanniana, o tensor de Einstein pode serdefinido em termos do tensor de Ricci e do escalar de curvatura:

Gµν + Rµν −12Rgµν . (4.15)

4.4 Equações de Campo da Teoria de Einstein-CartanVimos que a diferença entre as equações de campo da RG e da teoria de Einstein-Cartan, reside particularmente na natureza do operador ∇λ que é usado. A condiçãode compatibilidade métrica (3.3) é formalmente preservada, mas em geral, o tensor de

10


torção T λµν não é nulo, como vimos anteriormente (Vide 4.4). De acordo com a in-

terpretação usual [18], a torção do espaço-tempo pode ser relacionada com a densidadede spin τµνλ contida na matéria pela equação

T λµν +−k

(τ

λµν +g λ

[µ τσ

ν ]σ

), (4.16)

com T λµν sendo o tensor torção modificado, o qual depende da densidade de spin, e

com τµνλ satisfazendo a condição de antissimetria nos dois primeiros índices

τλ

µν =−τλ

νµ . (4.17)

Rearranjando os termos na (4.16), obtemos

T λµν +2g ν

[µ T σ

ν ]σ =−kτλ

µν . (4.18)

Pode-se introduzir um tensor de energia-momento assimétrico Ξµν , juntamente com otensor densidade de spin τµνλ [22], de tal modo que a estrutura das equações de campode Einstein-Cartan [23, 24] torna-se

Rµν −12

gµνR =−kΞµν , (4.19a)

T λµν +2g ν

[µ T σ

ν ]σ =−kτλ

µν . (4.19b)

Da Eq. (4.11b) deduz-se a “lei de conservação de spin” [18]

∇σ τλ

µν −Tρ

ρλτ

λµν = Ξνµ −Ξµν . (4.20)

Alguns autores [11, 22] obtém as equações de campo de Einstein-Cartan a partir de umprincípio variacional envolvendo a métrica e a torção. O tensor energia-momento totalaparece, então, como sendo6

Ξµν + T µν +

∗∇λ

(τ

µνλ − τνλ µ + τ

λ µν

), (4.21)

onde T µν é o tensor de energia-momento métrico dado pela Eq. (3.25a), e τµνλ otensor momento angular de spin, o qual pode ser dado pela derivada funcional

τµν

λ+

δL

δK λµν

√−g

. (4.22)

Por fim, define-se as equações de campo da teoria de Einstein-Cartan por

G µν =−kΞµν , (4.23a)

Tµνλ =−kτµνλ . (4.23b)

A equação (4.21), nos permite verificar que, na ausência de spin, a torção desapa-rece e as equações de campo tornam-se as equações de campo clássicas de Einstein.Outra observação importante, a qual é certamente digna de ser enfatizada, é que agora otensor de Ricci não é mais simétrico na presença de torção. Esta propriedade encontra-se devidamente exibida pela (4.10b).

6Por conveniência, o trabalho da Ref. [11], define a seguinte derivada∗∇λ = ∇λ +2T σ

λσ.

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5 DISCUSSÕES E CONCLUSÕES

5 Discussões e ConclusõesCom o formalismo exposto, vê-se claramente que a geometria de Riemann-Cartan ge-neraliza a geometria Riemanniana através da inclusão do tensor de spin. Na utilizaçãode uma conexão afim mais geral para a caracterização da curvatura da geometria deRiemann-Cartan, encontramos dessa forma que o tensor de spin aparece como con-sequência nas expressões para as propriedades de simetria correspondentes, de formaa contribuir com um aumento do número de graus de liberdade dos tensores de Rie-mann e de Ricci. Alem disto, as equações de Einstein-Cartan permitem estabelecer-seum princípio de correspondência que recupera a RG. A condição de compatibilidademétrica é mantida o que torna a teoria de Einstein-Cartan uma teoria que mantém oconceito de metricidade. Na visão usual (vide, por exemplo, Hehl [11]), o caráter fí-sico da torção é explanado através das equações de campo da teoria de Einstein-Cartan,relacionando densidade de spin com torção de tal modo que não pode haver torção doespaço-tempo fora da distribuição de matéria com spin [11]. Assim sendo, percebe-seque a torção é portanto uma propriedade intrínseca da matéria que somente é perceptí-vel através da influência que o spin exerce sobre a geometria espaço-temporal.

É natural dizer-se que a teoria de Einstein-Cartan é capaz de fornecer uma descriçãodo movimento de uma partícula teste em um espaço-tempo com torção, que possa pro-piciar uma aproximação da equação de movimento dada pela RG. Yasskin [25] genera-lizou as equações de Papapetrou [26] usando como fundo o tensor de energia-momentocanônico das equações de campo de Einstein-Cartan, e obteve como resultado que a tor-ção se acopla com spin. Assim, uma partícula teste sem spin, irá mover-se de acordocom as equações usuais de Papapetrou. Yasskin ainda afirma que os testes padrões degravidade são insensíveis para detectar um campo com torção e propõe experimentospara comparar o movimento de rotação de um corpo com spin polarizado. Em umestudo similar [7], os autores discutem o movimento de um corpo extenso (giroscópioou pacote de onda) inseridos em uma geometria efetiva de fundo que contem camposgravitacionais e torção, do ponto de vista de dois formalismos distintos: A Teoria decalibre de Poincaré e outra a qual os autores intitulam de “A nova relatividade geral”.O primeiro formalismo é baseado no espaço-tempo de Riemann-Cartan e o último édado num espaço-tempo de Weizenböck, que possui paralelismo absoluto. Caso a cur-vatura seja identicamente nula, a gravitação ficaria atribuída à torção do espaço-tempo.Ambos os formalismos estão de acordo com as mesmas predições da relatividade geral.A torção quando acoplada ao spin intrínseco de partículas fundamentais (quarks, lép-tons), irá fornecer efeitos não triviais no movimento destas partículas, como precessão,dando assim, uma forma de detectar a torção do espaço-tempo. Em [27], os autoresusaram o método WKB (vide por exemplo: [28, 29]) nas equações de Dirac e Proca,obtendo as equações de movimento e precessão de spin para partículas massivas que semovem em um ambiente espaço-temporal torcional. Como resultado, demonstraramque as equações de movimento destas partículas é uma família de geodésicas métricas.Porém, segundo eles, a equação de precessão de spin não pode ser representada geo-metricamente da mesma maneira, nem mesmo com o uso de transportes paralelos deFermi-Walker [30]. Dessa forma, os autores discordam com o modelo de “spin-fluid”proposto por Adamovicz e Trautmann [31], o qual sugere uma abordagem fisicamentesimilar. No entanto, os autores afirmam que é altamente recomendado que o métodode Fock-Papapetrou [32] seja implementado para descrever o movimento de partículascom spin em um espaço-tempo de Riemann-Cartan.

Dos estudos levados a cabo aqui, vemos que a teoria de Einstein-Cartan é de grandeinteresse da física por ser a extensão mais simples da relatividade geral que permite

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REFERÊNCIAS

de forma natural a inclusão de spin em fontes geométricas. Assim como a energia ematéria curvam o espaço, na teoria de Einstein-Cartan, a energia do spin torce o espaço.Esta é uma das razões pela qual pode-se dizer que o spin entra de forma tão natural nestateoria. Todavia, a associação do spin com a torção não é uma característica exclusivada teoria de Einstein-Cartan. Várias outras teorias também fazem esta associação e,de fato, há uma tendência a se acreditar que a torção realmente esteja associado com ospin.

Este estudo foi de fundamental importância para inserir o autor no contexto dasteorias torcionais. Evidentemente, há muito estudo ainda a ser desenvolvido para ali-cerçar os conceitos adquiridos, que em geral não são tão bem palatáveis como demons-trado aqui. Ao longo desta pesquisa, construiu-se uma base consideravelmente amplae abrangente a cerca do formalismo tensorial no contexto da relatividade geral e, porúltimo, na teoria de Einstein-Cartan, abrindo assim novos horizontes para o autor de-senvolver projetos de pesquisa futuros.

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Fundamentos Geométricos da Teoria de Einstein-Cartan (Relatório de IC)

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