Fundamentos de Análise de Sinais Erros Estatísticos nos Estimadores.

Fundamentos de Análise de Sinais

Erros Estatísticos nos Estimadores

Conceitos Básicos

Definição dos tipos de erros

2ˆE Erro médio quadrático

2 2ˆ ˆ ˆVar E E Variância do estimador

ˆ ˆb E Tendência do estimador

Conceitos Básicos


22

2

2

ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2

ˆ

E E E E

E E E E E

E E

ˆ ˆ ˆ ˆ 0E E E E

Conceitos Básicos


2 22

2

ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆVar

E E E E E

b

Conceitos Básicos


2 2ˆ ˆ ˆE E Erro aleatório

2

2 2

ˆrms error

ˆ ˆrms error

E

b

Erro rms

Conceitos Básicos


ˆ

r

Erro aleatório normalizado

ˆ

b

b

2 2ˆ ˆb

Erro de tendência normalizado

Erro RMS normalizado

Conceitos Básicos

Considerações sobre os erros e as FDP dos estimadores

2

2

ˆˆ1ˆ exp

ˆ2 2p

E

ˆ 0b ˆ 0.20

ˆ ˆ com 68% de confiança

1 1

ˆ ˆcom 95% de confiança

1 2 1 2

Estimador da média

0

1ˆ

T

x

x

x t dtT

E x t

ˆ 0

1ˆVar 1

1ˆVar

x

T

x xxT

x xx

b

C dT T

C dT

Estimador da média

22

2

0

0

sin 2

2

xx

xx

xx x

f f BG f B

f B

BC

B

2

se 5

ˆVar2

1ˆ

2

xx

xx

x

BT

BT

BT

Ruído de banda estreita

2

2 2

2

2ˆ

2ˆ

xr x

x

xr x

x

BT

BT

Estimador da média quadrática

2 2

0

2 2

1ˆ

T

x

x

x t dtT

E x t

2

2 2 2

2 2 2

ˆ 0

2ˆVar 1 2

2ˆVar 2

x

T

x xx x xxT

x xx x xx

b

C C dT T

C C dT

Estimador da média quadrática

Ruído de banda estreita

22

2

0

0

sin 2

2

xx

xx

xx x

f f BG f B

f B

BC

B

4

2 2

2

22

se 5

2ˆVar

1 2ˆ

xx x x

x x xx

x x

BT

BT BT

BT BT

2 1ˆ

1ˆ

2

r x

r x

BT

BT

Estimador da variância

2 2 2

22

ˆˆ ˆx x x

x xE x t

22 2 2

24 2

2 2 2

4 4 2 2 4

4 2 2 4

ˆ ˆVar

ˆ ˆ

ˆˆ ˆ

ˆ ˆˆ ˆ ˆ2

ˆ ˆ ˆ ˆ2

x x x

x x

x x x

x x x x x

x x x x

E

E E

E E E

E E

E E E


2 2 2

22

ˆˆ ˆx x x

x xE x t

2 2 2 2 2 2 2ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆVar Var Var 2x x x x x x xE E E


22

42

ˆ2

ˆVar

xx

xx

bBT

BT

22

2

0

0

sin 2

2

xx

xx

xx x

f f BG f B

f B

BC

B

2 1ˆ

1ˆ

2

r x

r x

BT

BT

Estimador da Função Densidade Probabilidade

00 0

2

2

2

2

1ˆ , Prob2 2

ˆ, ,ˆlim lim lim

ˆ ,ˆ

,

ˆ , , 1ˆ

xi

i

T TWW W

x

x W

x W

x W

x W

TW WP x W x x t x t

T T

P x W P x Wp x p x

W W

P x W Tp x

W TW

P x W p d

E P x W P x WE p x p d

W W W


ˆE p x p x

2 2

2

2

2

2 22 32 2

2 22

ˆ ˆ ˆ

ˆ2

1ˆ

Exp. Série de Taylor2

02 2 24

x W

x W

x Wx W x W

x W x Wx W

E p x p x Var p x b p x

p xVar p x

BTW

E p x p dW

xp p x x p x p x

x Wx d x d

Estimador com erro de tendência


3

3

ˆ24

ˆ ˆ

ˆ24

WE p x p x p x

b p x E p x p x

Wb p x p x

Erro RMS normalizado

2 42 ˆ

2 576

p xc Wp x

BTWp x p x

c=1 para sinais discretos

Estimador das Funções Correlações

0

10

ˆ1

0

T

xy T

x t y t dt TT

Rx t y t dt T

T

Simplificando-se para se evitar o uso da função módulo pode-se utilizar:

0

0

0

1ˆ 0

1ˆ 0

1ˆ 0

T

xy

T

xx

T

yy

R x t y t dt TT

R x t x t dt TT

R y t y t dt TT


0

0 0

1ˆ

1 1

T

xy

T T

xy xy

xy

E R E x t y t dtT

R dt R dtT TR

2 2

2

1ˆ 02

1ˆ 0 02

xx xx xx

xy xx yy xy

Var R R RBT

Var R R R RBT

Este estimador não possui erro

sistemático.

21ˆ

1ˆ

xx xx xx xx

xy xx yy xy yx

Var R R R R dT

Var R R R R R dT

Para ruídos de banda estreita “B”.


2

1 22

1ˆ ˆ0 0

1ˆ 12

0

xx x

xx xx

xxxx

xx

RBT

RBT

R

R

1 221ˆ 12

0 0

xy xy

xyxy

xx yy

RBT

R

R R

Casos especiais.


22 2

2

1ˆ 12

1ˆ 0 22

xyss

xy

S M S NR

BT S

R M S N S M S N SBT

Relações Sinal/Ruído

x t s t m t

y t s t n t

2

22

1ˆ 02

1ˆ 02

xy

xy

NR

BT S

NR

BT S

0 1M N S

1M N N S

Estimador das Funções CorrelaçõesLocalização do pico

3

2

sin 20

2

2sin 2 2

6

2ˆ 0 13

ˆ 0 0

xx xx

xx xx

xx xx

BR R

B

BB B

BR R

E R R

2

4 2 4

22

4 4

ˆ ˆ0 0 0

40

9ˆ 0

ˆ 00

4

9

xx xx xx

xx

xx

xxxx

Var R E R R

B R E

Var RR

R

B E

Estimador das Funções CorrelaçõesLocalização do pico

1

2 21

4 41

42 41

0.5

1

1 1

0 possui uma distribuição normal

E 3

4ˆ 03

0.93 ˆ 0

2 2

xx

xx

E

E

R B

RB

Estimador das Funções Densidades Espectrais

Estimador através de filtro passa banda e integração


2 2

0

2 2 2

0

22

000 0

22

0

22 21 2 1

1ˆ , , ,

1ˆ, , lim , ,

, 1 ˆlim lim , , lim

ˆ ,1ˆ , ,

, ,

e

e e

T

x e e

T

x e x e eT

Tx exx e xxT TB

e eB B

T x exx e

e e

f

x xx x e xxf

f B x t f B dtT

f B E f B x t f B dtT

f BG f x t f B dt G f

B B T

f BG f x t f B dt

B T B

f f G f df f B G d

2

2

22

2

, 1ˆ

f Be

f Be

f Bex exx xx xxf Be

e e

f BE G f G d G f

B B


22

2

2

2

42

ˆ ˆ ˆ

ˆ24

0 nos picosˆ0 nos vales 24

ˆ

1 1ˆ ˆ576

xx xx xx xx

exx xx xx

xxexx xx

xx

xxxx

e

xxer xx xx

ee

E G f G f Var G f b G f

BE G f G f G f

G fBb G f G f

G f

G fVar G f

B T

G fBG f G f

B TB T

2

xxG f


2

2

0

2

2 2 2

12 lim ,

,

2,

, , ,

xxT

T j ft

xx

R I

G f E X f TT

X f T x t e dt

G f X f TT

X f T X f T X f T

Soma de duas variáveis independentes


22 Distribuição de probabilidade Qui-quadrado

2

2 2

Distribuição de probabilidade Qui-quadrado com 2 graus

de liberdade n=2

21

xx

xx

xx

r xxxx

r xx

G f

G f

G f nG f

G f n n

G fn


2

1 1

1 2 1ˆ ,

1ˆ

1

1ˆ

d dn n

xx i xxi id d

r xx

d

r d

e

r xx

e r

G f X f T G fn T n

G fn

T n T

B f T

G fB T


2 2; 2 ; 1 2

ˆ ˆ

2 2ˆ ˆ1 1

xx xxxx d

n n

xx xx xx

d d

nG f nG fG f n n

G f G f G fn n

Intervalos de confiança

Tempo de Amostragem Necessário

Estimadores Avançados

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