Funes Exponenciais e logartmicas Professor Garcia1.1.-Funo Exponencial Definio : Uma funo dada por y = a x chama-se exponencial ( a uma constante positiva , com a 1). Exemplo 1 : As funes dadas por y = 2 x e y = (1/2) x so funes exponenciais. Seus grficos podero ser representados por: y= 2x A funo exponencial y = a x ser crescente se a > 1 e decrescente se 0 < a < 1. Seu grfico ter um dos seguintes aspectos : 0 < a < 1 funo decrescente a > 1 funo crescente EXERCCIOS Construa os grficos das funes exponenciais e classifique-as em crescentes ou decrescentes: a) y = 3 x b) y = (1/3) x Exemplo 2: Podemos representar graficamente uma Progresso Geomtrica (P G). Considere, p. exemplo, a P G em que a 1 = 2 e q = 2 . Como na P. G. tem-se que: a n = a 1 . q (n -1) a n = 2 1. 2 (n -1)(1+ n - 1) a n = 2 a n = 2n

y 1 x

y(M) y 1 y x

LOGARITMOS x -3 -2 -1 0 1 2 3 | __y |__ 1/8 | _ | 1/2 | 1 | 2 | 4 | 8 y = (1/2)x y= (1/2) x | y -3 | 8 -2 | 4 -1 | 2 0 | 1 1 | 1/2 2 | 1/4x

John Napier(Edimburgo,1550 4 de abril de 1617) foi um matemtico, astrlogo e telogo escocs. Ele mais conhecido como o decodificador do logaritmo natural (ou neperiano) e por ter popularizado o ponto decimal.Originrio de uma famlia rica, ele mesmo baro de Merchiston, era um defensor da reforma protestante, tendo mesmo prevenido o rei James VI da Esccia contra os interesses do rei catlico Felipe II de Espanha. Est enterrado na igreja de Saint Cuthbert, em Edimburgo. Uma unidade utilizada em telecomunicaes, o neper, tem este nome em sua homenagem. No incio do sculo XVII, inventou um dispositivo chamado Ossos de Napier que so tabelas de multiplicao gravadas em basto, permitindo multiplicar e dividir de forma automtica, o que evitava 1

y = 2x

Funes Exponenciais e logartmicas Professor Garciaa memorizao da tabuada, e que trouxe grande auxlio ao uso de logaritmos, em execuo de operaes aritmticas como multiplicaes e divises longas.Idealizou tambm um calculador com cartes que permitia a realizao de multiplicaes, que recebeu o nome de Estruturas de Napier. Bibiliografia: http://pt.wikipedia.org/wiki/John_Napier Matemtica Cincias e Aplicaes Vol.1 Ensino Mdio (Gelson Iezzi e outros- AtualEditora) Louvain, onde trabalho com Louis Claude Gilbert que tinha sido um dos seus professores. No entanto Gilbert faleceu em 1892, com apenas 26 anos de idade, e Poussin foi eleito para ocupar o seu cargo. Valle Poussin foi eleito para a Academia Belga em 1909. Mas mais honrarias se seguiriam. Foram celebrados a permanncia dos seus 35 anos e, 50 anos, na Cadeira de Matemtica em Louvain. Um dos primeiros trabalhos de Valle Poussin , de 1892, sobre equaes diferenciais, foi premiado, no entanto o mais conhecido datado de 1896, quando provou o Teorema dos Nmeros primos, isto , (x) - > x/log x. Este Teorema foi demonstrado independentemente por Hadamard, no mesmo ano, de modo diferente. Valle Poussin continuou a trabalhar dentro desta rea fazendo publicaes sobre a funo zeta de Riemann em 1916, para alm do seu trabalho na aproximao de funes por polinmios algbricos e trigonomtricos, datado de 1908 a 1918. A seu maior trabalho foi no entanto Cours d'analyse. Teve vrias edies, cada uma contendo novo material. A terceira edio do Volume 2 foi queimada na Alemanha quando superou Louvain. Teria contido assuntos como o integral de Lebesgue, trabalho esse que nunca foi editado. Contrariamente a muitos livros semelhantes aos do seu tempo Cours d'analyse no contm anlise complexa. Depois de 1925 Valle Poussin estudou variveis complexas, teoria do potencial e representaes conformistas. A publicao do seu trabalho Le potencial logarithimique foi retido pela guerra, sendo apenas publicado em 1949.

ingls, nasceu em fevereiro de 1561, e morreu em 26 de janeiro de1630.Foi o homem mais responsvel pela aceitao dos LOGARITMOS pelos cientistas. Briggs foi educado na Universidade de Cambridge e foi o primeiro professor de geometria na Faculdade de Gresham, Londres. m 1619 ele foi designado o professor de geometria em Oxford.

Briggs,Henry (15611630) foi um matemtico

E

Briggs publicou trabalhos em navegao,

astronomia, e matemtica. Ele props os logaritmos "comuns", com base dez, e construiu uma tabela de logaritmos que foi usada at o sculo 19.

2.LOGARITMOS Introduo - Considere o seguinte problema: 1.) A que expoente x se deve elevar o nmero 3 para se obter 81? 3x = 81 3x = 34 x = 4 Esse valor 4 encontrado para x denomina-se logaritmo de 81 na base 3 se representa por log. 3 81 = 4 Definio de logaritmo: Apresentaremos uma definio aprimorada, da seguinte forma : Sejam a e b dois nmeros reais positivos e, b 1. Chamase log. de a na base b ao nmero c tal que bc = a log b a = c bc = a A finalidade das condies apresentadas (a > 0 e 0< b 1), garantir a existncia e unicidade de log b a. Exerccios 1- Determine, pela definio, o logaritmo de: a) log2 4

Fontes:http://paginas.terra.com.br/educacao/ca lculu/Historia/briggs.htm

http://paginas.terra.com.br/educacao/pr of.garcia.htm/geometriaespacial.htm

Valle Poussin,Charles Jean Gustave Nicolas De la (1866 1962 )Charles De la Valle Poussin (Nascido a: 14 de agosto de 1866 em Louvain, Blgica Falecido a: 2 de MAro de 1962 em Louvain, Blgica),ficou conhecido pela sua demonstrao do Teorema dos Nmeros Primos, e pelo seu trabalho Cours d'analyse. O seu pai foi Professor de Geologia na Universidade de Louvain. Matriculou-o no Colgio de Jesutas em Mons, mas cedo Valle Poussin achou que o ensino a era inaceitvel e virou-se para as engenharias onde veio a obter o seu diploma dentro desta ltima rea. No entanto um pouco depois, sentiu-se atrado pela matemtica. Em 1891 tornou-se assistente na Universidade de

8

b) log 2 0,5

c) log5

3

x =

2- Para que valor de x se tem log4 x = 2 3- Determine, pela definio, o logaritmo de:2

Funes Exponenciais e logartmicas Professor Garciaa) log8

48 643

b) Log 5 0,2 =z d) Log 16 32 f) Log 4 22

sejam log b (a / c) = x ; log b a = y e log b c (como : log b (a / c) = x bx = a / c ) log b (a / c) = x bx = a / c log b a = y by = a (1) log b c = z bz = c (2) , substituindo (1) em (2) bx = a / c bx = by / bz , propriedade de potenciao bx = by - z como as bases so iguais os expoentes tambm so iguais. portanto: x = y - z log b (a . c) = log b a - log b c Exemplo: log 10 5 = log 10 (10 : 2) = log 10 10 - log10 2 = 1- log 10 2 P3) logaritmo de uma potncia log b a = . log b a demonstrao: log b a = x bx = a log b a = y by = a

c) Log 2

e) Log 47

7

g) Log 2 64 h) log 5 0,000064 4- Determine, pela definio, o logaritmo de: a) log 8 b) Log 4162

3

c) Log 5625e) Log 2

d) Log 0,5 0,125 f) Log 9 3 3 h) Log0,1 0,0000128 DE

54

g) Log 3437

1.1.PROPRIEDADES OPERATRIAS LOGARITMO P1) logaritmo de um produto

log b (a . c) = log b a + log b c demonstrao: sejam log b (a . c) = x ; log b a = y e log b c =z (como : log b (a . c) = x bx = a . c ) log b (a . c) = x bx = a . c eq.1 log b a = y by = a eq2 log b c = z bz = c ,substituindo eq 1 na eq.2 bx = a . c x = by . b bz , propriedade de potenciao bx = by + z como as bases so iguais os expoentes so =s Portanto: x = y + z log b (a . c) = log b a + log b c Exerccios: 1) Dados log10 2 = 0,301 e log10 3 = 0,477, calcule: a) log10 6 b) log 10 12 ( faa log10 12 = log10 2 . 6) c) log10 9 d) log10 4 P2) logaritmo de um quociente log b (a/c) = log b a - log b c (Obs. : a/c = a : c) demonstrao

subst. Eq. na Eq. , temos: bx = (by ) comparando os expoentes x = . y log b a = . log b a Exemplo: log 10 16 = log 10 24 = 4. log 10 2 P4) logaritmo de um radicallog an:n

b m:n = log a b m / n = m / n. log

a

b

P5 ) Uma propriedade interessante l og b a a = b log b a = x bx = a Se, bx = a eq. e x = log substituindo eq. 1 na eq. 2 , temos b = a

b a eq. 1 ,

0 1 x

Grafico 2: y = log2x a > 1 , a funo y = log a x crescente y x 1/8 1 2 4 8 y -3 -2 -1 0 1 2 3 y = log2x x = 2y

_______________________________________ > 1 x

Obs.: Ao que tudo indica, temos uma importante relao entre eles, so simtricos em relao a bissetriz 1 e 3 Quadrantes * 0 < a < 1 , a funo y = log a x decrescente EXERCCIOS 1- Esboar os grficos das funes e classific-las como crescente ou decrescente: a) y = log 2 x b) y = log 3 x y = log 1/3 x 1.4-FUNO EXPONENCIAL E LOGARTMICA Faa um esboo dos grficos da funo y = 2x e y = log 2 x. Compare os grficos e procure estabelecer uma relao entre ambos. y = 2x 1 1 Grfico 1 y = 2x y = log2x Exerccio 1) Faa um esboo dos grficos das funes y = (1/2)x e y = log 1/2 x. Compare estes grficos e procure descobrir uma relao entre ambos. 13.5- LOGARITMOS DECIMAIS Detenhamos um pouco na anlise de algumas particularidades do sistema de logaritmos na base 10 . Iniciaremos com os seguintes exemplos: EXEMPLOS: Sabendo que log 2841 = 3,45347. Vamos calcular log 284,1 ; temos :log 284 ,1 =log10

2841 =log 2841 log 10 10

3,45347 - 1 e, portanto log 284,1 = 2,45347 b) Calculemos agora log 28,41 ; temos :log 28 ,41 =log10

2841 =log 2841 log 100 = 100

= 3,45347 - 2 = 1, 45347 e, portanto log 28,41 = 1, 45347 2841 = 1000 = log 2841 - log 1000 = 3, 45347 - 3 = 0,45 347 c) Calculemos agora log 2,841 = log5

Funes Exponenciais e logartmicas Professor GarciaObserve que : os logaritmos 2841 ; 284,1 ; 28,41 e 2,841 (que diferem entre si quanto `a posio da vrgula) , tm mesma porte decimal. Continuaremos ento com os nossos exemplos : *d) log 0,2841; temos : log 2941 = log 2841 - log 10.000 = log 0,2841 = 10 .0003, 45 347 - 4 = - 0,54653 e, portanto log 0,2841 = - 0, 54653 e) log 0,02841 = = 100.000 =

(105 = 100.000) b) Qual a caracterstica c de log327 ? 102 < 327 < 10 3 2 < log 327 < 3 C=2 3 algarismos c) Qual a caracterstica c de log 8,521 ? 100 < C=0 8, 521 1 algarismo < 10 1 0 < log 8,521< 1

log 2941 = log 2841 - log 100 .000

d) Qual a caracterstica c de log 0,751 ? log 2841 f ) log 0,002841 = =log 2841 log 1000 .000 = 10-1 < 0, 751 < 10 0 -1 < log 8,521< 0 1.000 .000 C= -1 3, 45 347 - 6 = - 2, 54653 e, portanto log 0,02841 = 1 zero que precede o 1. algarismo -2, 54653 Log a = C + m ; 0