Cossecante

Por definição, cossecante é a relação do inverso do seno.

Assim: cossecX = 1/senX

Dado um número real x , tal que x kπ, considerando a reta s tangente ao circulo trigonométrico no ponto P que intercepta o eixo do seno no ponto C, definimos por cossecante o módulo do segmento que vai do centro da circunferência trigonométrica até o ponto C.

Sinal da cossecante.

Quando o ângulo é do primeiro ou do segundo quadrante seu sinal é positivo, quando do terceiro ou quarto seu sinal é negativo.

SecantePor definição temos que secante é a relação do inverso do cosseno.

Assim: secX = 1/cosX

Dado um número real x , tal que x ã/2 + kã , considerando a reta s tangente ao circulo trigonométrico no ponto P que intercepta o eixo do cosseno no ponto C, definimos por secante o módulo do segmento que vai do centro da circunferência trigonométrica até o ponto S.

Sinal da secanteQuando o ângulo é do primeiro ou do quarto quadrante seu sinal é positivo, quando do segundo ou do terceiro seu sinal é negativo.

CotangentePor definição temos que cotangente é a relação do inverso da tangente.

Assim: cotgX = 1/tanX = cosX / senX

Dado um número real x , tal que x kã, considerando a reta d tangente ao circulo trigonométrico no ponto B seja D o ponto de intersecção da reta d com o segmento OP, definimos por cotangente o módulo do segmento que vai do ponto B até o ponto D.

Sinal da cotangente

Quando o ângulo é do primeiro ou do terceiro quadrante seu sinal é positivo, quando do segundo ou do quarto seu sinal é negativo.

Cotangente Podemos definir cotangente como a relação que admite ser o inverso da tangente, sendo tangente o quociente do seno pelo cosseno, então cotangente será o quociente do cosseno pelo seno.

Tangente: tg Cotangente: cotg

(tgx ≠ 0)

Cossecante Definimos cossecante como a relação que admite ser o inverso do seno. Quando senx ≠ 0, dizemos que a cossecante de x é o inverso do sen de x.

(senx ≠ 0)

Secante Definimos secante como a relação que admite ser o inverso do cosseno. Observemos o mesmo caso anterior, se cosx ≠ 0 a secante de x é inverso do cosx.

(cosx ≠ 0)

Estudo das funções cotangentes, secante e cossecante.

O estudo das funções Cotangente, Secante e Cossecante, podem ser definidos a partir das três funções seno, cosseno e tangente.

Vejamos:

Função secante

Definição

Denomina-se função secante a função f(x) = 1/cos x, definida para todo xÎ R diferente de ½p + kp , onde kÎ Z.

Sinal da função

Como a função secante é a inversa da função cosseno, então os sinais da função secante são os mesmos da função cosseno.

Função cossecante

Definição

Denomina-se função cossecante a função f(x) = 1/sen x, definida para todo xÎ R diferente de kp , onde kÎ Z.

Sinal da função

Como a função cossecante é a inversa da função seno, então os sinais da função cossecante são os mesmos da função seno.

Função cotangente

Definição

Denomina-se função cossecante a função f(x) = 1/sen x, definida para todo xÎ R diferente de kp , onde kÎ Z.

Sinal da função

Como a função cossecante é a inversa da função seno, então os sinais da função cossecante são os mesmos da função seno.

Função secante

Temos:

Definição: .

Logo, o domínio da função secante é .

Também, a partir da circunferência trigonométrica, já sabemos que, na figura abaixo, para cada

, sec x é a medida algébrica do segmento OS ou do segmento OT.

Da figura, observamos também que, para todo , , onde k é um número inteiro qualquer. Assim a função sec é periódica, de período 2p.

A fim de esboçar o gráfico de y=sec x, façamos a análise de como é a variação de y conforme x varia:

e, nesse intervalo, a função é estritamente crescente, ou seja, conforme x aumenta, y aumenta;

e, nesse intervalo, a função é estritamente crescente, ou seja, conforme x aumenta, y aumenta;

e, nesse intervalo, a função é estritamente decrescente, ou seja, conforme x aumenta, y diminui;

e, nesse intervalo, a função é estritamente decrescente, ou seja, conforme x aumenta, y diminui.

Observemos que as retas verticais de equação , para k inteiro, não nulo, são assíntotas ao gráfico da função.

A função y=sec x tem como imagem o intervalo . Ela é uma função não limitada e periódica, de período 2p

função cossecante

Temos:

Definição: .

Logo, o domínio da função cossecante é

Também, a partir da circunferência trigonométrica, já sabemos que, na figura abaixo, para cada

, cossec x é a medida algébrica do segmento OU ou do segmento OC.

Da figura, observamos também que, qualquer que seja ,

, onde k é um número inteiro qualquer. Assim a função cos sec é periódica, de período 2p.

A fim de esboçar o gráfico de y=cossec x, façamos a análise de como é a variação de y conforme x varia:

e, nesse intervalo, a função é estritamente decrescente, ou seja, conforme x aumenta, y diminui;

e, nesse intervalo, a função é estritamente decrescente, ou seja, conforme x aumenta, y diminui;

Observemos que as retas verticais de equação , para k inteiro, não nulo, são assíntotas ao gráfico da função.

A função y=cotg x tem como imagem o intervalo . Ela é uma função não limitada e periódica.