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FUNFUNÇÇÕESÕES
P
x
y
O
y
x
P(x, y)
abscissa do ponto P
ordenado do ponto P
No caso, x e y são as coordenadas de P.
xO
y
E
A
F
B
C D
E (x, 0)
A (+, +)
C (0, y)
B (–, +)
C (–, –)
D (+, –)
FUNFUNÇÇÃOÃODEFINIDEFINIÇÇÃOÃOSejam A e B dois conjuntos não vazios e uma relaSejam A e B dois conjuntos não vazios e uma rela çção R de A ão R de A em B, essa relaem B, essa rela çção serão ser áá chamada de funchamada de fun çção quando ão quando para para todotodo e qualquer elemento de A estiver associado a e qualquer elemento de A estiver associado a um um úúniconicoelemento em B.elemento em B.
A relaA rela çção binão bin áária h = {(x;y)| x > y}ria h = {(x;y)| x > y}
y>x
A B2
4
1
3
5
h: {(2;1), (4;1), (4,3)}h: {(2;1), (4;1), (4,3)}
A relaA rela çção binão bin áária g = {(x;y)| y= x + 3}ria g = {(x;y)| y= x + 3}
3xy +=
2
4
1
3
5
g: {(2;5)}g: {(2;5)}
A B
NÃO NÃO ÉÉ FUNFUNÇÇÃOÃO NÃO NÃO ÉÉ FUNFUNÇÇÃOÃO
c) A relac) A rela çção binão bin áária f = {(x;y)| y = x + 1}ria f = {(x;y)| y = x + 1}
1+= xy
A B2
4
1
3
5
f: {(2;3), (4;5)}f: {(2;3), (4;5)}
f f éé uma funuma fun çção de A em B, pois ão de A em B, pois todotodoelemento de A estelemento de A est áá associado a associado a um um úúniconico elemento em Belemento em B
ELEMENTOS DE UMA FUNELEMENTOS DE UMA FUN ÇÇÃO: f: A ÃO: f: A →→→→→→→→ BB
DOMDOMÍÍNIO: A = {2, 4}NIO: A = {2, 4}CONTRA DOMCONTRA DOMÍÍNIO: B = {1, 3, 5}NIO: B = {1, 3, 5}CONJUNTO IMAGEM: Im (f) = {3, 5}CONJUNTO IMAGEM: Im (f) = {3, 5}
x
y
0 1 2 3 4
Não é função
Não é função
x
y
0 1 2 3 4
É função
Considere a funConsidere a fun çção f: A ão f: A →→→→→→→→ B definida por B definida por y = 3x + 2, podey = 3x + 2, pode --se se afirmar que o conjunto imagem de f afirmar que o conjunto imagem de f éé::
23 += xy
A B 23 += xy521.3 =+=y1
2
3
58
11
15
17
822.3 =+=y
1123.3 =+=y
23)( += xxf
→→→
5)1( =f
8)2( =f
11)3( =f
}11,8,5{)Im( =∴ f
GRGRÁÁFICO DA FUNFICO DA FUNÇÇÃO f: A ÃO f: A →→→→→→→→ B definida por y = 3x + 2B definida por y = 3x + 2
Pares Ordenados Obtidos: {(1,5); (2,8); (3,11)}Pares Ordenados Obtidos: {(1,5); (2,8); (3,11)}
1 2 3
11
8
5
x
y
1 2 3
11
8
5
x
y
GRGRÁÁFICO DA FUNFICO DA FUNÇÇÃO f: ÃO f: ℜℜℜℜℜℜℜℜ →→→→→→→→ ℜℜℜℜℜℜℜℜ definida por y = 3x + 2definida por y = 3x + 2
x
y
0
2
4 10
8
D = [4, 10[
Im = [2, 8[
D = {x ∈ℜ∈ℜ∈ℜ∈ℜ/4 ≤≤≤≤ x < 10}
Im = {y ∈ℜ∈ℜ∈ℜ∈ℜ/2 ≤≤≤≤ x < 8}
Domínio
Imagem
Seja o gráfico abaixo da função f, determinar a soma dos números associados às proposições VERDADEIRAS:
01. O domínio da função f é {x ∈ R | - 3 ≤ x ≤ 3} 02. A imagem da função f é {y ∈ R | - 2 ≤ y ≤ 3} 04. para x = 3, tem-se y = 308. para x = 0, tem-se y = 216. para x = - 3, tem-se y = 032. A função é decrescente em todo seu domínio
VV
(3,3) ou f(3) = 3
(0,2) ou f(0) = 2
(-3,2) ou f(-3) = 2
VVFF
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FUNFUNÇÇÃO POLINOMIAL DO 1ÃO POLINOMIAL DO 1 ºº GRAUGRAU
y = f(x) = ax + b
a > 0
yD = ℜℜℜℜ Im = ℜℜℜℜ
FUNÇÃO CRESCENTE
(0, b)
x
y
(0, b)
x
FUNÇÃO DECRESCENTE
a < 0
Raiz ou zero da funçãoy = 0
y = x – 2
y
(0, -2)
x2 3
1
4
2
5
3
y = 3x – 6 y
(0, -6)
x2 3
3
4
6
5
9
CÁLCULO DO COEFICIENTE ANGULAR – TAXA DE VARIAÇÃO
∆x∆y
a =
Seja f(x) = ax + b. Sabe-se que f(3) = 5 e f(-1) = - 3. Dê o valor de f(8).
f(3) = 5
f(-1) = -3
(3, 5)
(-1, -3)
y = ax + b
5 = a(3) + b
-3 = a(-1) + b
=+=+
3- b a-
5 b 3a
a = 2 b = - 1
f(x) = ax + b
f(x) = 2x – 1
Logo: f(8) = 2.8 – 1 f(8) = 15
Sabe-se que o valor de um carro novo é R$ 30 000,00 e, com 4 anos de uso, passa a ser R$ 20 000,00. Considerando o decrescimento li near, obtenha o valor desse carro depois de 8 anos de uso.
x(anos)
y(reais)
0 4
30 000
20 000
Função do 1º grau:
f(x) = a.x+ b
P1(0,30000)
P2(4,20000)
30000 = a.0 + b
b = 30000
20000 = a. 4 + 30000
a = -2500
f(x) = a.x+ b
f(x) = -2500x+ 30000
f(8) = -2500.8+ 30000f(8)f(8) = = 10 00010 000
Portanto após 8 anos o valor do carro será R$ 10000,00
y = a.x+ b
y = a.x+ b
O valor de uma máquina decresce linearmente com o t empo, devido ao desgaste. Sabendo-se que hoje ela vale R$800,00, e que daqui a 5 anos valerá R$160,00, o seu valor, em reais, daqui a três anos será:
x(anos)
y(reais)
0 5
160
800
Função do 1º grau:
f(x) = a.x+ b
P1(0,800)
P2(5,160)
800 = a.0 + b
b = 800
160 = a. 5 + 800
-640 = 5a
a = -128
f(x) = a.x+ bf(x) = -128.x+ 800
f(3) = -128.3+ 800f(3)f(3) = = 416416Portanto após 3 anos a Máquina valerá R$ 416,00
A semi-reta representada no gráfico seguinte expres sa o custo de produção C, em reais, de n quilos de certo produto.
C(reais)
x(quilogramas)0 20
80
180
Se o fabricante vender esse produto a R$ 102,00 o quilo, a sua porcentagem de lucro em cada venda será?
Função do 1º grau:
f(x) = a.x+ b
P1(0,80)
P2(20,180)
80 = a.0 + b
b = 80
180 = a. 20 + 80
20a = 100
a = 5
f(x) = a.x+ b
f(x) = 5.x+ 80
f(1) = 5.1+ 80 ⇒⇒ f(1) = 85f(1) = 85
R$ 85 ⇔ 100%
R$102 ⇔ x
x = 120%
LUCRO DE 20%
Um camponês adquire um moinho ao preço de R$860,00. Com o passar do tempo, ocorre uma depreciação linear no preço desse equipamento. Considere que, em 6 anos, o preço do moinho será de R$ 500,00. Com base nessas informações, é correto afirmar:
x(anos)
y(reais)
0 6
500
860
Função do 1º grau:
f(x) = a.x+ b
A(0,860)
B(6,500)
860 = a.0 + b
b = 860
500 = a. 6 + 860
-360 = 6a
a = -60
f(x) = a.x+ b
f(x) = -60.x+ 860
a) f(3) = -60.3+ 860f(3) = 680
A
B
F
b) f(9) = -60.9+ 860f(9) = 320
F
c) f(7) = -60.7+ 860f(7) = 440
F
d) - 60x + 860 < 200-60x < -660
x > 11anos
F
e) f(13) = -60.13+ 860f(13) = 440f(13) = 80
V
Em um termômetro de mercúrio, a temperatura é uma fu nção afim (função do 1 o
grau) da altura do mercúrio. Sabendo que as tempera turas 0 oC e 100oC correspondem, respectivamente, às alturas 20 ml e 2 70 ml do mercú rio, então a temperatura correspondente a 112,5 ml é
ml
temperatura0 100
20
270
Função do 1º grau:
f(x) = a.x+ b
P1(0,20)
P2(100,270)
20 = a.0 + b
b = 20
270 = a. 100 + 20
100a = 250
a = 2,5
f(x) = a.x+ b
f(x) = 2,5.x+ 20
y = 2,5x + 20
112,5 = 2,5x + 20
92,5=2,5x
37°C = x