Funcoes parte1

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Conceitos Iniciais Conceitos Iniciais PAR ORDENADO PAR ORDENADO conceito primitivo conceito primitivo P(x,y) P(x,y) ponto no plano cartesiano ponto no plano cartesiano Abscissa Ordenada P(x,y) P (x,0) P (0,y) x y

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Conceitos IniciaisConceitos Iniciais

PAR ORDENADO PAR ORDENADO –– conceito primitivoconceito primitivo

P(x,y) P(x,y) –– ponto no plano cartesianoponto no plano cartesiano

Abscissa Ordenada

P(x,y)

P (x,0)

P (0,y)

x

y

Page 2: Funcoes parte1

FUNFUNÇÇÃO ÃO DEFINIDEFINIÇÇÃOÃOSejam A e B dois conjuntos não vazios e uma relaSejam A e B dois conjuntos não vazios e uma rela çção R de A ão R de A em B, essa relaem B, essa rela çção serão ser áá chamada de funchamada de fun çção quando ão quando para para todotodo e qualquer elemento de A estiver associado a e qualquer elemento de A estiver associado a um um úúniconicoelemento em B.elemento em B.

A relaA rela çção binão bin áária h = {(x;y)| y < x}ria h = {(x;y)| y < x}

xy <

A B2

4

1

3

5

h: {(2;1), (4;1), (4,3)}h: {(2;1), (4;1), (4,3)}

A relaA rela çção binão bin áária g = {(x;y)| y= x + 3}ria g = {(x;y)| y= x + 3}

3+= xy

2

4

1

3

5

g: {(2;5)}g: {(2;5)}

A B

NÃO NÃO ÉÉ FUNFUNÇÇÃOÃO NÃO NÃO ÉÉ FUNFUNÇÇÃOÃO

Page 3: Funcoes parte1

c) A relac) A rela çção binão bin áária f = {(x;y)| y = x + 1}ria f = {(x;y)| y = x + 1}

1+= xy

A B2

4

1

3

5

f: {(2;3), (4;5)}f: {(2;3), (4;5)}

f f éé uma funuma fun çção de A em B, pois ão de A em B, pois todotodoelemento de A estelemento de A est áá associado a associado a um um úúniconicoelemento em Belemento em B

ELEMENTOS DE UMA FUNELEMENTOS DE UMA FUN ÇÇÃO: f: A ÃO: f: A →→→→→→→→ BB

DOMDOMÍÍNIO: A = {2, 4}NIO: A = {2, 4}CONTRA DOMCONTRA DOMÍÍNIO: B = {1, 3, 5}NIO: B = {1, 3, 5}CONJUNTO IMAGEM: Im (f) = {3, 5}CONJUNTO IMAGEM: Im (f) = {3, 5}

Page 4: Funcoes parte1

Não é função

CONTRA EXEMPLO DE FUNCONTRA EXEMPLO DE FUN ÇÇÃO ÃO

Page 5: Funcoes parte1

Considere a funConsidere a fun çção f: A ão f: A →→→→→→→→ B definida por B definida por y = 3x + 2, podey = 3x + 2, pode --se se afirmar que o conjunto imagem de f afirmar que o conjunto imagem de f éé::

23 += xy

A B 23 += xy521.3 =+=y1

2

3

58

11

15

17

822.3 =+=y

1123.3 =+=y

23)( += xxf

→→→

5)1( =f

8)2( =f

11)3( =f

}11,8,5{)Im( =∴ f

Page 6: Funcoes parte1

GRGRÁÁFICO DA FUNFICO DA FUNÇÇÃO f: A ÃO f: A →→→→→→→→ B definida por y = 3x + 2B definida por y = 3x + 2

Pares Ordenados Obtidos: {(1,5); (2,8); (3,11)}Pares Ordenados Obtidos: {(1,5); (2,8); (3,11)}

1 2 3

11

8

5

x

y

Page 7: Funcoes parte1

1 2 3

11

8

5

x

y

GRGRÁÁFICO DA FUNFICO DA FUNÇÇÃO f: ÃO f: ℜℜℜℜℜℜℜℜ →→→→→→→→ ℜℜℜℜℜℜℜℜ definida por y = 3x + 2definida por y = 3x + 2

Page 8: Funcoes parte1

Seja o gráfico abaixo da função f, determinar a soma dos números associados às proposições VERDADEIRAS:

01. O domínio da função f é {x ∈ R | - 3 ≤ x ≤ 3} 02. A imagem da função f é {y ∈ R | - 2 ≤ y ≤ 3} 04. para x = 3, tem-se y = 308. para x = 0, tem-se y = 216. para x = - 3, tem-se y = 032. A função é decrescente em todo seu domínio

VV

(3,3) ou f(3) = 3

(0,2) ou f(0) = 2

(-3,2) ou f(-3) = 2

VVFF

Page 9: Funcoes parte1

APLICAAPLICA ÇÇÕES: y =f(x)ÕES: y =f(x)

02) Dado que f(1) = 2 e, para todo x, f(x) = 5 f(x – 1), obtenha:

a) f(2)b) f(3)c) f(0)d) f(– 1)

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Page 11: Funcoes parte1
Page 12: Funcoes parte1

Resposta: 220000 == bea

Page 13: Funcoes parte1

Resposta: 12

Page 14: Funcoes parte1

y = f(x) = ax + b

a > 0

yD = ℜℜℜℜ Im = ℜℜℜℜ

FUNÇÃO CRESCENTE

(0, b)

x

y

(0, b)

x

FUNÇÃO DECRESCENTE

a < 0

Raiz ou zero da funçãoy = 0

Page 15: Funcoes parte1

y = x – 2

y

(0, -2)

x2 3

1

4

2

5

3

y = 3x – 6 y

(0, -6)

x2 3

3

4

6

5

9

CÁLCULO DO COEFICIENTE ANGULAR – TAXA DE VARIAÇÃO

∆x∆y

a =

Page 16: Funcoes parte1

Seja f(x) = ax + b. Sabe-se que f(3) = 5 e f(-1) = - 3. Dê o valor de f(8).

f(3) = 5

f(-1) = -3

(3, 5)

(-1, -3)

y = ax + b

5 = a(3) + b

-3 = a(-1) + b

=+=+

3- b a-

5 b 3a

a = 2 b = - 1

f(x) = ax + b

f(x) = 2x – 1

Logo: f(8) = 2.8 – 1 f(8) = 15

Page 17: Funcoes parte1

O valor de uma máquina decresce linearmente com o t empo, devido ao desgaste. Sabendo-se que hoje ela vale R$800,00, e que daqui a 5 anos valerá R$160,00, o seu valor, em reais, daqui a três anos será:

x(anos)

y(reais)

0 5

160

800

Função do 1º grau:

f(x) = a.x+ b

P1(0,800)

P2(5,160)

800 = a.0 + b

b = 800

160 = a. 5 + 800

-640 = 5a

a = -128

f(x) = a.x+ bf(x) = -128.x+ 800

f(3) = -128.3+ 800f(3)f(3) = = 416416Portanto após 3 anos a Máquina valerá R$ 416,00

Page 18: Funcoes parte1

A semi-reta representada no gráfico seguinte expres sa o custo de produção C, em reais, de n quilos de certo produto.

C(reais)

x(quilogramas)0 20

80

180

Se o fabricante vender esse produto a R$ 102,00 o quilo, a sua porcentagem de lucro em cada venda será?

Função do 1º grau:

f(x) = a.x+ b

P1(0,80)

P2(20,180)

80 = a.0 + b

b = 80

180 = a. 20 + 80

20a = 100

a = 5

f(x) = a.x+ b

f(x) = 5.x+ 80

f(1) = 5.1+ 80 ⇒⇒ f(1) = 85f(1) = 85

R$ 85 ⇔ 100%

R$102 ⇔ x

x = 120%

LUCRO DE 20%

Page 19: Funcoes parte1
Page 20: Funcoes parte1

Um camponês adquire um moinho ao preço de R$860,00. Com o passar do tempo, ocorre uma depreciação linear no preço desse equipamento. Considere que, em 6 anos, o preço do moinho será de R$ 500,00. Com base nessas informações, é correto afirmar:

x(anos)

y(reais)

0 6

500

860

Função do 1º grau:

f(x) = a.x+ b

A(0,860)

B(6,500)

860 = a.0 + b

b = 860

500 = a. 6 + 860

-360 = 6a

a = -60

f(x) = a.x+ b

f(x) = -60.x+ 860

a) f(3) = -60.3+ 860f(3) = 680

A

B

F

b) f(9) = -60.9+ 860f(9) = 320

F

c) f(7) = -60.7+ 860f(7) = 440

F

d) - 60x + 860 < 200-60x < -660

x > 11anos

F

e) f(13) = -60.13+ 860f(13) = 440f(13) = 80

V

Page 21: Funcoes parte1

Em um termômetro de mercúrio, a temperatura é uma fu nção afim (função do 1 o

grau) da altura do mercúrio. Sabendo que as tempera turas 0 oC e 100oC correspondem, respectivamente, às alturas 20 ml e 2 70 ml do mercú rio, então a temperatura correspondente a 112,5 ml é

ml

temperatura0 100

20

270

Função do 1º grau:

f(x) = a.x+ b

P1(0,20)

P2(100,270)

20 = a.0 + b

b = 20

270 = a. 100 + 20

100a = 250

a = 2,5

f(x) = a.x+ b

f(x) = 2,5.x+ 20

y = 2,5x + 20

112,5 = 2,5x + 20

92,5=2,5x

37°C = x

Page 22: Funcoes parte1

Função do 1º grau:

y = f(x) = a.x+ b

GRÁFICO PASSA PELA ORIGEM

y = a.x

CÁLCULO DO COEFICIENTE ANGULAR

y = a.x

50 = a.40 → a = 5/4

xy

xay

.4

5

.

=

=

xg

x

=

=

24

.4

530

Page 23: Funcoes parte1

EXTRAS01)

02)

RESPOSTA:

Page 24: Funcoes parte1

RESPOSTA: 0,2

Page 25: Funcoes parte1

y = f(x) = ax2 + bx + c

Vértice

(0,c)

xV

yV

x1 x2

Vértice

(0,c)

xV

yV

x1 x2

y

x x

y

a > 0 a < 0

RaRaíízeszes : x: x11 ee xx22

ax2 + bx + c = 0 2 4V V

bx e y

a a

− −∆= =

Page 26: Funcoes parte1

Após o lançamento de um projétil, sua altura h, em metros, t segundos após o seu lançamento é dada por h(t) = – t 2 + 20t. Em relação a este lançamento, analise as afirmações a seguir.

l. A altura máxima atingida pelo projétil foi de 10m.ll. O projétil atingiu a altura máxima quando t=10s.lll. A altura do projétil é representada por uma função polinomial quadrática cujo domínio é [0,20].lV. Quando t = 11, o projétil ainda não atingiu sua altura máxima.Todas as afirmações corretas estão em:

a) I – III b) I – II – IV c) II – III d) III – IV

ACAFE - 2010 PUC – PR - 2010

O lucro de uma determinada empresa é dado pela lei L(x) = L(x) = -- xx22 + 8+ 8x x -- 77, em que x é a quantidade vendida (em milhares de unidades) e L é o lucro (em reais). A quantidade que se deve vender para que o lucro seja máximo bem como o valor desse lucro são, respectivamente:

A) 3.000 unidades e R$ 6.000,00B) 4.000 unidades e R$ 9.000,00C) 4.000 unidades e R$ 8.000,00D) 5.000 unidades e R$ 12.000,00E) 4.500 unidades e R$ 9.000,00

Page 27: Funcoes parte1

UFSC - 2009

Se o lucro de uma empresa é dado por L(x) = 4(3 – x)(x – 2) , onde x é a quantidade vendida, então o lucro da empresa é máximo quando x é igual a:

UFSC - 2013

O lucro, em reais, para a comercialização de x unidades de um determinado produto é dado por L(x) = - 1120 + 148x – x 2. Então, para que se tenha lucro máximo, deve-se vender quantos produtos?

UFSC - 2005Tem-se uma folha de cartolina com forma retangular, cujos lados medem 56cm e 32cm e deseja-se cortar as quinas, conforme ilustração a seguir. Quanto deve medir x, em centímetros, para que a área da região hachurada seja a maior possível?

GABARITO: 11

Page 28: Funcoes parte1

As dimensões de um retângulo são dadas em centAs dimensões de um retângulo são dadas em cent íímetros, pelas metros, pelas expressões: 2x e (10 expressões: 2x e (10 –– 2x) com 0 < x < 5. Determinar, neste caso, o valor 2x) com 0 < x < 5. Determinar, neste caso, o valor mmááximo da ximo da áárea em cmrea em cm 22 , que esse retângulo pode assumir., que esse retângulo pode assumir.

Vértice

5/2

yV

0 5

2x

10 – 2x

A = base x altura

A = 2x . (10 – 2x)

A(x) = – 4x 2 + 20x

a = - 4 b = 20 c = 0

RAÍZES OU ZEROS DA FUNÇÃO

0 = – 4x2 + 20xx2 - 5x = 0x1 = 0 x2 = 5

Área

Área Máxima é o y v

A(5/2) = – 4(5/2)2 + 20(5/2)

A(5/2) = 25cm 2

Page 29: Funcoes parte1

RESUMO GRÁFICO

∆∆∆∆ > 0

x1 ≠≠≠≠ x2

x1 x2

y

x

∆∆∆∆ = 0

x1 = x2

x1 = x2 x

y

∆∆∆∆ < 0

x1, x2 ∉∉∉∉ R

x

y

Page 30: Funcoes parte1

04)

GABARITO: 1/2

Page 31: Funcoes parte1

05)

GABARITO: E

Page 32: Funcoes parte1

06)

GABARITO: E

Page 33: Funcoes parte1

a)

Page 34: Funcoes parte1
Page 35: Funcoes parte1

Considere o triângulo ABC, com base BC medindo 6cm e com altura 5cm. Um retângulo inscrito nesse triângulo tem o lado MN pa ralelo a BC, com x cm de comprimento. Qual o valor de x, em cm, para que a área do retângulo seja máxima?

Page 36: Funcoes parte1

EXERCÍCIOS EXTRAS

01)

GABARITO: A

Page 37: Funcoes parte1

EXERCÍCIOS EXTRAS

02)

GABARITO: 09