3.2.1 Relacoes de recorrencia e funcoes geradoras

Dada uma sucessao (an)n=0,1,2,... seja

g(x) = a0 + a1x+ a2x2 + · · ·+ anx

n + · · ·

a funcao geradora associada aquela sucessao. Esta funcao geradora g(x)contem toda a informacao relativa a sucessao (an)n=0,1,2,... sendo muitasvezes mais facil de manipular do que a propria sucessao.

O termo geral da sucessao, an, pode ser recuperado a partir do coeficientede xn no desenvolvimento em serie de potencias de g(x). Muitas vezes epossıvel obter g(x) algebricamente e entao, depois de expressar esta funcaoem serie de potencias, obtem-se os termos an da sucessao correspondente.

Exemplo 3.15 Resolver a relacao de recorrencia

an = 2an−1

usando a funcao geradora ordinaria associada a sucessao (an)n∈IN.Resolucao. Seja

g(x) = a0 + a1x+ a2x2 + · · ·+ anx

n + · · ·

a funcao geradora ordinaria associada a sucessao (an)n=0,1,2,.... Multiplicando am-bos os membros da relacao de recorrencia por xn, vem

anxn = 2an−1x

n, n = 1, 2, 3, . . .

Entao, fazendo n = 1, 2, 3, . . ., sucessivamente,

a1x = 2a0xa2x

2 = 2a1x2

a3x3 = 2a2x

3

...anx

n = 2an−1xn

...

Somando, ordenadamente, todas estas igualdades, vem

a1x+ a2x2 + · · ·+ anx

n + · · · = 2(a0x+ a1x2 + a2x

3 + · · ·+ an−1xn + · · ·)

ou seja,

−a0+(a0+a1x+a2x2+· · ·+anx

n+· · ·) = 2x(a0+a1x+a2x2+· · ·+an−1x

n−1+· · ·)

153

e, portanto,−a0 + g(x) = 2xg(x)

dondeg(x) =

a0

1− 2x

Desenvolvendo g(x) em serie de potencias, vem

g(x) = a0

(1 + 2x+ 22x2 + 23x3 + · · ·+ 2nxn + · · ·

)e, portanto,

an = a0 · 2n, n = 0, 1, 2, 3, . . .

e a solucao da relacao de recorrencia dada.

Exemplo 3.16 Resolver a relacao de recorrencia

an = 2an−1 −n

3, n = 0, 1, 2, 3, . . .

onde a0 = 1.Resolucao. Visto que a0 = 1, a funcao geradora ordinaria associada a sucessao eda forma

g(x) = 1 + a1x+ a2x2 + · · ·

Multiplicando por xn a relacao de recorrencia, vem

anxn = 2an−1x

n − n

3xn

e, portanto, fazendo n = 1, 2, 3, . . ., sucessivamente,

a1x = 2x− 13 x

a2x2 = 2a1x

2 − 23 x

2

a3x3 = 2a2x

3 − 33 x

3

...anx

n = 2an−1xn − n

3 xn

...

Somando ordenadamente estas equacoes

a1x+ a2x2 + · · ·+ anx

n + · · · = 2(x+ a1x2 + a2x

3 + · · ·+ an−1xn + · · ·)−

13(x+ 2x2 + · · ·+ nxn + · · ·

)donde

g(x)− 1 = 2xg(x)− x

3(1 + 2x+ 3x2 + · · ·+ nxn−1 + · · ·

)154

ou seja,g(x)− 1 = 2xg(x)− x

3f(x)

onde

f(x) = 1 + 2x+ 3x2 + · · ·+ nxn−1 + · · ·=

(x+ x2 + x3 + · · ·+ xn + · · ·

)′=

(−1 +

11− x

)′=(

x

1− x

)′=

1(1− x)2

Entao,

g(x)− 1 = 2xg(x)− x

31

(1− x)2

e, portanto,(1− 2x) g(x) = 1− x

3(1− x)2

donde,

g(x) =3(1− x)2 − x

3(1− x)2(1− 2x)=

3− 7x+ 3x2

3(1− x)2(1− 2x)

Decompondo a fraccao do lado direito em elementos simples, obtem-se

g(x) =13

(1

1− x+

1(1− x)2

+1

1− 2x

)Como

11− x

= 1 + x+ x2 + x3 + · · ·+ xn + · · ·

1(1− x)2

=(

11− x

)′= 1 + 2x+ 3x2 + · · ·+ (n+ 1)xn + · · ·

11− 2x

= 1 + 2x+ 22x2 + · · ·+ 2nxn + · · ·

entao o termo an, que e o coeficiente de xn no desenvolvimento de g(x), e dado por

an =13

(1 + (n+ 1) + 2n) =2 + n+ 2n

3

Exercıcios 3.2.2

1. Determinar a funcao geradora ordinaria para a relacao de recorrencia

an = c1an−1 + c2an−2

com a0 = α e a1 = β onde c1, c2, α, β sao constantes dadas.

155

2. Sendo

g(x) =2

(1− x)(1− 2x)

a funcao geradora ordinaria associada a uma relacao de recorrencia que en-volve os termos da sucessao (an)n=0,1,2,..., determinar a forma do termo geralan.

3. Resolver a relacao de recorrencia

an = an−2 + 4n

com as condicoes iniciais a0 = 3 e a1 = 2, usando uma funcao geradoraordinaria apropriada.

4. Determinar a funcao geradora ordinaria para a relacao de recorrencia

an+1 = αan + bn

com a condicao inicial a0 = c onde α, b e c sao constantes e, entao, obter otermo geral an.

5. Resolver as relacoes de recorrencia que se seguem usando o metodo da funcaogeradora ordinaria.

(a) an = 4an−2 para n ≥ 2; a0 = 0, a1 = 1(b) an = an−1 + an−2 para n ≥ 2; a0 = 1, a1 = 3(c) an = an−1 + 9an−2 − 9an−3 para n ≥ 3; a0 = 0, a1 = 1, a2 = 2(d) an = 8an−1 − 16an−2 para n ≥ 2; a0 = −1, a1 = 0(e) an = 3an−2 − 2an−3 para n ≥ 3; a0 = 1, a1 = 0, a2 = 0(f) an = 5an−1 − 6an−2 − 4an−3 + 8an−4 para n ≥ 4; a0 = 0, a1 = 1, a2 =

1, a3 = 2(g) an = 2an−1 − 4an−2 + 8an−3 + 16an−4 para n ≥ 4; a0 = 1, a1 = 2, a2 =

1, a3 = 2

6. Determinar a funcao geradora ordinaria da sucessao de cubos 0, 1, 8, . . . , n3, . . ..

7. Seja a0, a1, . . . , an, . . . a sucessao definida por an = n3 para n = 0, 1, 2, . . ..Mostrar que

an = an−1 + 3n2 − 3n+ 1 para n = 1, 2, . . .

e, usando esta relacao de recorrencia, determinar a funcao geradora ordinariapara a sucessao.

8. Seja a0, a1, . . . , an, . . . a sucessao definida por an = Cn2 para n = 0, 1, 2, . . ..

Determinar a funcao geradora ordinaria para a sucessao.

156