Apoio Escolar – Explicações – Ana Tapadinhas

Matemática 10º Ano

Função Quadrática

Definição de Função Quadrática

Uma função f: chama-se quadrática quando existem números reais a, b, c, com

a 0, tal que f(x) = ax² + bx + c para todo x .

f:

x ax² + bx + c

Alguns exemplos:

* f(x) = -x² + 100x, em que a = -1, b = 100 e c = 0

* f(x) = 3x² - 2x + 1, em que a = 3, b = -2 e c = 1

* f(x) = x² - 4, em que a = 1, b = 0 e c = -4

* f(x) = 17x², em que a = 17, b = 0 e c = 0

Observe que não são funções quadráticas:

* f(x) = 3x

* f(x) = 2 x

* f(x) = x³ + 2x² + x + 1

Gráfico da Função Quadrática

O gráfico de uma função quadrática é uma parábola.

Exemplo: f(x) = x² - 4x + 3

Observe a tabela abaixo:

x Y = f(x) = x² -4x + 3 (x, y)

0 3 (0, 3)

1 0 (1, 0)

2 -1 (2, -1)

3 0 (3, 0)

4 3 (4, 3)

Gráfico:

Zeros da Função Quadrática

Os zeros de f(x) = ax² +bx + c são os números x tais que f(x) = 0, ou seja, os zeros

da f são os pontos do eixo das abscissas onde a parábola o intercepta.

Determinação dos Zeros da Função Quadrática

A fórmula que fornece os zeros da função e, portanto, às raízes da equação do 2º grau

ax² + bx + c = 0 é a fórmula de Báscara: x = a

b

.2com = b² - 4.a.c

(discriminante).

Observações:

1) Quando > 0, a função f(x) = ax² + bx + c tem dois zeros reais diferentes (a parábola

intersecta o eixo x em dois pontos distintos).

2) Quando = 0, a função f(x) = ax² + bx + c tem um zero real duplo (a parábola

intersecta o eixo x em um só ponto).

3) Quando < 0, a função f(x) = ax² + bx + c não tem zeros reais (a parábola não

intersecta o eixo x).

4) Relação entre coeficientes e raízes da equação ax² + bx + c = 0, com a 0.

Existindo zeros reais tal que:

x 1 = a

b

.2 e x 2 =

a

b

.2, obtemos:

x 1 +x 2 =a

b

.2 +

a

b

.2 =

a

b

.2

2 =

a

b

Logo, x 1 +x 2 = a

b.

x 1 . x 2 =a

b

.2 .

a

b

.2=

²4

)(² 2

a

b=

²4

4²²

a

acbb=

a

c

Logo, x 1 .x 2 = a

c.

Gráfico da função definida por f(x) = ax² + bx + c

Vamos estudar o efeito dos parâmetros a, b e c na parábola que representa a função

quadrática f(x) = ax² + bx + c.

Parâmetro a: Responsável pela concavidade e abertura da parábola.

Além disso, quanto maior o valor absoluto de a, menor será a abertura da parábola

(parábola mais “fechada”), independentemente da concavidade.

Parâmetro b:

Um ponto ao percorrer a parábola, da esquerda para a direita, ao cruzar o eixo das

ordenadas poderá estar subindo ou descendo.

Se b = 0 o vértice a parábola cruza o eixo y no vértice V, isto é, o vértice V da parábola

está no eixo das ordenadas.

Parâmetro c: Indica o ponto onde a parábola cruza o eixo y.

A parábola cruza o eixo y no ponto (0, c).

Exemplo: Na função quadrática f(x) = ax² + bx + c da figura abaixo, a < 0, b > 0, c > 0.

Imagem da Função Quadrática

A determinação do vértice da parábola ajuda na elaboração do gráfico e permite

determinar a imagem da função, bem como seu valor máximo ou mínimo.

As coordenadas do vértice V(x v , y v ) da função quadrática f(x) = ax² + bx + c podem ser

calculadas de duas maneiras:

1ª Maneira: Utilizando as seguintes fórmulas:

x v = a

b

2 e y v =

a4

2ª Maneira:

* Para calcular o x v , obtemos as raízes x 1 e x 2 da equação do 2º grau e calculamos o

ponto médio das mesmas. Assim:

x v = 2

21 xx

* Substituímos o valor do x v na função quadrática para que possamos obter a

coordenada y v .

Examine os exemplos:

1º) f(x) = 2x² - 8x

Obtendo as raízes, teremos x 1 = 0 e x 2 = 4. Portanto, x v = 2

21 xx =

2

40 = 2

Substituindo x v = 2 na função, obtemos a ordenada do vértice:

y v = f(x v ) = 2 (x v )² - 8(x v )

y v = f(2) = 2 . 2² - 8 . 2 = -8

2º) f(x) = -4x² + 4x + 5

* O vértice é o ponto (2, 8).

* A função assume valor mínimo -8 quando x = 2

* Im(f) = {y │y 0}

* Essa função não tem valor máximo.

Sabemos que o vértice V de uma parábola dada por f(x) = ax² + bx + c, a 0, também

pode ser calculado assim: V = (x v , y v ) = a

b

2,

a4.

Neste caso, temos:

f(x) = -4x + 4x + 5

x v = a

b

2 =

8

4=

2

1

y v = a4

= 16

96

16

)8016( = 6

V = (1/2, 6)

De modo geral, dada a função f: tal que f(x) = ax² + bx + c, com a 0, se

V (x v , y v ) é o vértice da parábola correspondente, temos então:

a > 0 y v é o valor mínimo de f Im(f) = {y │y y v }

a < 0 y v é o valor máximo de f Im(f) = {y │y y v }

* O vértice é o ponto (1/2, 6).

* A função assume valor máximo 6 quando x = 1/2

* Im(f) = {y │y 6}

* Essa função não tem valor mínimo.

f(x) = 0 para x = x 1 ou x = x 2

f(x) > 0 para x < x 1 ou x > x 2

f(x) < 0 para x 2 < x < x 1

Estudo do sinal da função quadrática

Estudar o sinal da função quadrática f(x) = ax² + bx + c, a 0, significa determinar os

valores reais de x para os quais f(x) se anula (f(x) = 0), f(x) é positiva (f(x) > 0) e f(x) é

negativa (f(x) < 0).

O estudo do sinal da função quadrática vai depender do discriminante = b² - 4ac da

equação do 2º grau correspondente ax² + bx + c = 0 e do coeficiente a.

Dependendo do discriminante, podem ocorrer três casos e, em cada caso, de acordo com

o coeficiente a, podem ocorrer duas situações. Portanto, temos um total de seis casos.

Acompanhe:

1º Caso: > 0

Neste caso:

* A função admite dois zeros reais distintos, x 1 e x 2 ;

* A parábola que representa a função intersecta o eixo x em dois pontos.

2º Caso: = 0

Neste caso:

* A função admite um zero real duplo x 1 = x 2

* A parábola que representa a função tangencia o eixo x.

a > 0 a < 0

f(x) = 0 para x = x 1 ou x = x 2

f(x) > 0 para x 1 < x < x 2

f(x) < 0 para x < x 1 ou x > x 2

a > 0 a < 0

f(x) = 0 para x = x 1 = x 2

f(x) > 0 para x x 1

f(x) = 0 para x = x 1 = x 2

f(x) < 0 para x x 1

3º Caso: < 0

Neste caso:

* A função não admite zeros reais;

* A parábola que representa a função não intersecta o eixo x.

Exemplos:

1º) Vamos estudar os sinais das seguintes funções:

a) f(x) = x² - 7x + 6 b) f(x) = 9x² + 6x + 1 c) f(x) = -2x² +3x – 4

a) f(x) = x² - 7x + 6

a = 1 > 0

= (-7)² - 4 (1) (6) = 25 > 0

Zeros da função: x 1 = 6 e x 2 = 1

Então:

* f(x) = 0 para x = 1 ou x = 6

* f(x)< 0 para x < 1 ou x > 6

* f(x) < 0 para 1 < x < 6

Portanto, f(x) é positiva para x fora do intervalo [1, 6], é nula para x = 1 ou x = 6 e

negativa para x entre 1 e 6.

b) f(x) = 9x² + 6x + 1

a = 9 > 0

= (6)² - 4 (9) (1) = 0

Zeros da função: x = -1/3

a > 0 a < 0

f(x) > 0 para todo x real f(x) < 0 para todo x real

Então:

* f(x) = 0 para x = -1/3

* f(x) > 0 para todo x -1/3

c) f(x) = -2x² +3x – 4

a = -2 < 0

= (3)² - 4 (-2) (-4) = -23 < 0

Portanto, < 0 e a função não tem zeros reais.

Logo, f(x) < 0 para todo x real, ou seja, f(x) é sempre negativa.

2º) Quais são os valores reais de k para que a função f(x) = x² - 2x + k seja positiva para

todo x real?

Condições:

* a > 0 (já satisfeita, pois a = 1 > 0)

* < 0

Cálculo de :

= (-2)² - 4 (1) (k) = 4 – 4k

Daí:

4 – 4k < 0 -4k < -4 4k > 4 k >4/4 k > 1

Logo, k │k > 1.