ROMEU REGINATTO

CONTRIBUIC� ~OES AO PROJETO DE CONTROLADORES N~AO-LINEARESPARA SISTEMAS COM RESTRIC� ~OES NO CONTROLE

FLORIAN�OPOLIS2000

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINACURSO DE P�OS-GRADUAC� ~AO EM ENGENHARIA EL�ETRICACONTRIBUIC� ~OES AO PROJETO DE CONTROLADORES N~AO-LINEARESPARA SISTEMAS COM RESTRIC� ~OES NO CONTROLE

Tese submetida �aUniversidade Federal de Santa Catarina omo parte dos requisitos para aobten� ~ao do grau de Doutor em Engenharia El�etri a.ROMEU REGINATTO

Florian�opolis, 9 de outubro de 2000.

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CONTRIBUIC� ~OES AO PROJETO DE CONTROLADORES N~AO-LINEARESPARA SISTEMAS COM RESTRIC� ~OES NO CONTROLERomeu ReginattoEsta Tese foi julgada adequada para a obten� ~ao do t��tulo de Doutor em EngenhariaEl�etri a, �Area de Con entra� ~ao em Controle, Automa� ~ao e Inform�ati a Industrial, eaprovada em sua forma �nal pelo Programa de P�os-Gradua� ~ao em Engenharia El�etri a daUniversidade Federal de Santa Catarina.Dr. Edson Roberto De PieriOrientadorDr. Andrew R. TeelCo-OrientadorNome do Coordenador do Programa de P�os-Gradua� ~aoCoordenador do Programa de P�os-Gradua� ~ao em Engenharia El�etri aBan a Examinadora: Dr. Paulo S�ergio Pereira da SilvaPresidenteDr. Pedro Luis Dias PeresDr. Alexandre Tro�no NetoDr. Daniel Juan PaganoDr. Eugenio de Bona Castelan Netoiii

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A Marlene e Vin�� ius.v

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Aos meus pais.vii

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Agrade imentosN~ao �e sen~ao pelo esfor� o de muitos que este trabalho se on retiza. Por isto, gostaria deregistrar minha gratid~ao a todos que estiveram presentes e parti iparam direta ou indireta-mente neste trabalho.�As pe� as fundamentais deste trabalho, Prof. Dr. Edson R. De Pieri e Prof. Dr. AndrewR. Teel pela a olhida e orienta� ~ao deste trabalho. O aprendizado que levo da onviven ia etrabalho om estes professores trans ende qualquer poss��vel agrade imento. N~ao obstante,� a meu agrade imento pela orienta� ~ao, in entivo onstante, pelas aulas, pelas dis uss~oes epela grande amizade.Sou grato ao Prof. Dr. Petar Kokotovi pela oportunidade de realiza� ~ao de meu trabalhode doutorado sandu�� he na UCSB, e por suas valiosas observa� ~oes quanto ao trabalho.A todos os professores do DAS/LCMI vai meu agrade imento pela amizade, pelas aulas,pelas dis uss~oes, pelas sugest~oes, e todas demais ontribui� ~oes neste trabalho. Em espe ial aosProfs. Drs. Alexandre Tro�no Neto e Eugenio Castelan, om quem interagi mais diretamente.Aos olegas do Computer and Control Lab., Murat, Dan, Mike, Cris, Do a, Lu a, Corne-liu, Dragan, Vidar, S ott e Nan y, em espe ial a Lu a e Corneliu (the gang) pelo oleguismoe todas ontribui� ~oes diretas e indiretas ao trabalho.A todos os olegas do LCMI, pela onviven ia e ajudas daqui e dali. Em espe ial a Jos�eOliveira, Luis Carlos, Mauro, Daniel Coutinho e Sonia, meus ompanheiros de sala e trabalho.O meu agrade imento, espe ial��ssimo e arinhoso, �a minha esposa Marlene e ao nosso �lhoVin�� ius, por toda ompreens~ao, ompanheirismo, en orajamento, apoio, arinho e amor quere ebi. Estendo os agrade imentos �a grande fam��lia pelo est��mulo e pensamento positivo.Aos olegas Alexandre Bazanella, Jo~ao Manoel Gomes da Silva e Trist~ao J�ulio Gar ia doSantos, pelo en orajamento e tro as de id�eias.A CAPES pelo apoio �nan eiro, tanto na Bolsa PICDT omo na Bolsa de DoutoradoSandu�� he. Sem este apoio, este trabalho n~ao seria poss��vel. Tamb�em agrade� o a FAPERGSe FAPEU pelo aux��lio na parti ipa� ~ao no 3rd IFAC Symposium on Robust Control Design.Ao Curso de P�os-Gradua� ~ao em Engenharia El�etri a da UFSC, ao Departamento deAutoma� ~ao e Sistemas da UFSC e ao Center for Control Engineering and Computation daUCSB pela infraestrutura de trabalho.Aos grandes idealizadores e mantenedores do pa ote para engenheiro: Linux, Latex,Ema s, S ilab e Matlab. ix

Por �m, agrade� o a tudo e a todos que direta ou indiretamente ajudaram, e aos que n~aoatrapalharam, na realiza� ~ao deste trabalho.

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Resumo da Tese apresentada �a UFSC omo parte dos requisitos ne ess�arios para obten� ~aodo grau de Doutor em Engenharia El�etri a.CONTRIBUIC� ~OES AO PROJETO DE CONTROLADORES N~AO-LINEARESPARA SISTEMAS COM RESTRIC� ~OES NO CONTROLERomeu ReginattoOutubro/2000Orientador: Dr. Edson Roberto De Pieri�Area de Con entra� ~ao: Controle, Automa� ~ao e Inform�ati a IndustrialPalavras- have: Controle om restri� ~oes, anti-windup, ompensa� ~ao de satura� ~aoN�umero de P�aginas: 186Este trabalho apresenta ontribui� ~oes para o projeto de ontroladores n~ao-lineares parasistemas, lineares e n~ao-lineares, om restri� ~oes nos atuadores. S~ao apresentadas tres ontri-bui� ~oes prin ipais neste ontexto.Primeiramente �e onsiderado o problema de estabiliza� ~ao global de sistemas lineares omsatura� ~ao nos atuadores. Um algoritmo de es alonamento �e proposto para efetuar o es alo-namento de ganho de uma lei de ontrole onstru��da a partir de uma fam��lia parametrizadade solu� ~oes da equa� ~ao alg�ebri a de Ri ati. Este algoritmo reduz a onservatividade de al-goritmos existentes, resultando em um melhor desempenho, enquanto garante propriedadesde robustez similares.A segunda ontribui� ~ao fo aliza o problema de seguimento de set-point. A t�e ni a doanti-windup �e utilizada para propor uma estrat�egia de ontrole para seguimento de set-pointpara sistemas lineares om modos exponen ialmente inst�aveis e om restri� ~oes de magnitudee taxa de varia� ~ao no sinal de ontrole. A estrat�egia proposta admite sinais de referen iade magnitude arbitr�aria e assegura total liberdade de projeto para induzir o desempenho deseguimento \lo al" (quando os limites dos atuadores n~ao s~ao atingidos) desejado.O problema de ompensa� ~ao da satura� ~ao de atuadores �e tamb�em onsiderado no on-texto de sistemas n~ao-lineares. A abordagem utilizada baseia-se na id�eia da uni� a� ~ao de ontroladores lo ais (desprezando a satura� ~ao) e globais ( onsiderando a satura� ~ao), umageneraliza� ~ao da t�e ni a do anti-windup para sistemas n~ao-lineares. A estrat�egia de ontroledesenvolvida �e ent~ao apli ada na ompensa� ~ao de satura� ~ao de atuadores em robos manipu-ladores, e resultados de simula� ~ao s~ao apresentados.xi

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Abstra t of Thesis presented to UFSC as a partial ful�llment of the requirements for thedegree of Do tor in Ele tri al Engineering.CONTRIBUTIONS TO THE DESIGN OF NONLINEAR CONTROLLERSFOR CONSTRAINED CONTROL SYSTEMSRomeu ReginattoO tober/2000Advisor: Dr. Edson Roberto De PieriArea of Con entration: Control, Automation and Industrial Informati sKeywords: Constrained ontrol, anti-windup, saturation ompensationNumber of Pages: 186This work presents ontributions to the design of nonlinear ontrollers for bothlinear and nonlinear systems with a tuator onstraints. Three main ontributionsare given.A �rst ontribution is presented in the ontext of the global stabilization pro-blem for linear systems with saturating a tuators. The Ri ati equation approa his employed to onstru t a parameterized ontrol law for with a novel s hedulingalgorithm is proposed. The s heduling algorithm aims at redu ing onservative-ness of existing algorithms so that performan e improvements are obtained forthe losed loop system while preserving similar robustness properties.The se ond ontribution fo us on the set-point tra king problem. An anti-windup based ontrol strategy is proposed to a hieve set-point tra king for ex-ponentially unstable linear systems with both magnitude and rate limits in the ontrol input. The proposed strategy allows for arbitrarily large referen e signals,thus enabling fast transient response, and simultaneously allows total freedom inthe ontrol design to indu e the desired lo al tra king performan e.The problem of saturation ompensation is also onsidered in the ontextof nonlinear systems with saturating a tuators. The ontrol strategy employsthe te hnique of uniting lo al and global ontrollers, onsistently with the lo al(unsaturated) and global (saturated) behavior of the system. This ontrol strategyis applied to saturation ompensation in the ontrol of robot manipulators andits performan e is studied for di�erent robot tasks.xiii

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Sum�arioLista de S��mbolos e Siglas xixIntrodu� ~ao 11 O Problema de Controle om Restri� ~oes nos Atuadores 151.1 Introdu� ~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.2 Colo a� ~ao do Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.3 Con eitos Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.4 Restri� ~oes no Controle: Modelagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.5 Restri� ~oes no Controle: Efeitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.6 Coment�arios Con lusivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282 Estabiliza� ~ao de Sistemas Lineares om Satura� ~ao no Controle 292.1 Introdu� ~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.2 Estabiliza� ~ao Semiglobal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.2.1 Desempenho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.3 Estabiliza� ~ao Global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.3.1 Es alonamento baseado em onjuntos elipsoidais . . . . . . . . . . . . 352.3.2 Es alonamento baseado no sinal de ontrole . . . . . . . . . . . . . . . 362.4 Atenua� ~ao de Perturba� ~oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.5 Robustez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.6 Estudo de Casos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.6.1 Cadeia de 2 integradores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.6.2 Cadeia de 3 integradores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.7 Prova do Teorema 2.4.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572.8 Prova do Teorema 2.5.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64xv

2.9 Coment�arios Con lusivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653 Seguimento sob Restri� ~oes: Uma Abordagem por Anti-windup 673.1 Introdu� ~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673.2 Seguimento de Referen ia om Restri� ~oes no Controle . . . . . . . . . . . . . 693.2.1 Seguimento �otimo om restri� ~oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703.2.2 Controle om horizonte deslizante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723.2.3 Condi ionador de erro/referen ia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 743.3 A T�e ni a do Anti-Windup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 823.3.1 O anti-windup L2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 853.4 AW para Sistemas om Magnitude e Taxa de Varia� ~ao Limitadas . . . . . . . 923.4.1 O ompensador anti-windup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 953.4.2 Requisitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 973.4.3 Projeto de � . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1003.4.4 Situa� ~oes parti ulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1033.5 Estudo de Caso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1043.6 Prova do Teorema 3.4.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1143.7 Coment�arios Con lusivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1184 Compensa� ~ao de Satura� ~ao em Sistemas N~ao-Lineares 1214.1 Introdu� ~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1214.2 Uni� ando Controladores Lo ais e Globais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1234.2.1 A estrat�egia de uni� a� ~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1264.2.2 Espe ializa� ~ao para sistemas lineares om satura� ~ao no ontrole . . . . 1294.2.3 Sistemas lineares om limita� ~ao em magnitude e taxa de varia� ~ao nosinal de ontrole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1314.2.4 Sistemas n~ao-lineares om satura� ~ao no ontrole . . . . . . . . . . . . 1324.2.5 Outros objetivos de ontrole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1334.2.6 Robustez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1344.3 Uni� ando Controladores Lo ais e Globais: Uma Generaliza� ~ao . . . . . . . . 1354.4 Apli a� ~ao em Robos Manipuladores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1394.4.1 Colo a� ~ao do problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1404.4.2 Estrat�egia de ontrole para ompensa� ~ao de satura� ~ao . . . . . . . . . 1424.4.3 Seguimento de set-point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144xvi

4.4.4 Seguimento de trajet�oria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1484.5 Coment�arios Con lusivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153Con lus~ao e Perspe tivas 155Publi a� ~oes do Autor 159A Modelagem do Robo Manipulador 161B Conjuntos Sa��da Admiss��veis 163C Estabilidade de Sistemas N~ao-Lineares 167C.1 Con eitos B�asi os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167C.1.1 Estabilidade om Rela� ~ao a Conjuntos Compa tos . . . . . . . . . . . 170C.1.2 Estabilidade Entrada-Estado - ISS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170C.2 Estabilidade de Sistemas em Cas ata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172C.3 Estabilidade de Sistemas Inter one tados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173C.4 Ganho L2 e Teorema de Pequeno Ganho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174Referen ias Bibliogr�a� as 177

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Lista de S��mbolos e Siglas:= por de�ni� ~ao0 indi a a transposi� ~ao de uma matriz ou vetor^ indi a a transformada de Lapla e de um sinalZ onjunto dos n�umero inteirosZ�0 onjunto dos inteiros n~ao negativosR onjunto dos n�umeros reaisR�0 fx 2 R : x � 0gR>0 fx 2 R : x > 0g2R o onjunto de todos os sub onjuntos de RTr(A) tra� o da matriz Aspe (A) onjunto dos autovalores da matriz AC� semiplano esquerdo do plano omplexoC� semiplano esquerdo fe hado do plano omplexo (in lui eixo j!)int(S) interior do onjunto S�S fronteira do onjunto SS fe ho do onjunto SS omplemento do onjunto SdistS(x) distan ia do ponto x ao onjunto S, distS(x) := infs2S jx� sjsgn(u) fun� ~ao sinalsat(u) minf1; jujg sgn(u)satM (u) Msat(u=M)lim�!t� f(�) limite �a esquerda de f(�) em txix

k w k2 k w k2 :=qR1to w0(t)w(t) dtk w k1 k w k1 := supt2[to;1) jw(t)jL2 espa� o dos sinais w(t) Lebesgue mensur�aveis que satisfazem k w k2<1L1 espa� o dos sinais w(t) Lebesgue mensur�aveis que satisfazem k w k1<1L1e espa� o dos sinais w(t) Lebesgue mensur�aveis que satisfazemess supt2[0; T ℄jw(t)j <1 para todo 0 � T <1K a lasse das fun� ~oes : R ! R�0 , ont��nuas, estritamente res entes etais que (0) = 0K1 a lasse das fun� ~oes (s) 2 K que satisfazem lims!1 (s) =1C1 lasse das fun� ~oes ont��nuas e ontinuamente diferen i�aveisCk lasse das fun� ~oes ont��nuas e om derivadas ont��nuas at�e ordem kNA(U) dom��nio de ontrolabilidade para zeroO1(A;C;Z) onjunto sa��da admiss��vel m�aximo (ver apendi e B)Rsp a lasse de fun� ~oes onstantes r : R ! RpRasp a lasse de fun� ~oes r : R ! Rp assintoti amente onvergentesANC(X;U) Control�avel Assintoti amente para Zero em X om Controle em UANCBC(X) Control�avel Assintoti amente para Zero em X om Controle LimitadoANCBC Control�avel Assintoti amente para Zero om Controle LimitadoAW Anti-WindupBIBO Entrada Limitada - Sa��da Limitada (Bounded-input Bounded-output)LMI Desigualdade Matri ial Linear (Linear Matrix Inequality)LQR Regulador Linear Quadr�ati o (Linear Quadrati Regulator)GAS Estabilidade Assint�oti a Global (Global Asymptoti Stability)LAS Estabilidade Assint�oti a Lo al (Lo al Asymptoti Stability)LES Estabilidade Exponen ial Lo al (Lo al Exponential Stability)ISS Estabilidade Entrada-Estado (Input-to-state Stability)RHC Controle om Horizonte Deslizante (Re eding Horizon Control)RG Condi ionador de Referen ia (Referen e Governor)xx

Introdu� ~aoA implementa� ~ao pr�ati a de qualquer sistema de ontrole utiliza-se ne essariamente desensores e atuadores. Em uma grande maioria de apli a� ~oes, os atuadores operam pr�oximosde algum valor de equil��brio, o que permite realizar aproxima� ~oes razo�aveis que simpli� amos fenomenos n~ao-lineares envolvidos. N~ao obstante, a onstante exigen ia de maior quali-dade e produtividade nos pro essos industriais tem tornado, ada vez mais importante, autiliza� ~ao ao m�aximo dos re ursos dispon��veis, in luindo-se a��, a opera� ~ao de sistemas emfaixas pr�oximas de seus limites de apa idade. Da�� a ne essidade de utiliza� ~ao de ontrolesmais modernos e adequados a ada problema espe ��� o.Dentre os efeitos n~ao-lineares mais omuns em atuadores est~ao as limita� ~oes de magnitudee taxa de varia� ~ao. A primeira, mais omum, revela a limita� ~ao f��si a do atuador em alimentaro sistema. Como exemplo podem ser itados a limita� ~ao na abertura de uma v�alvula, o torquem�aximo de um motor el�etri o, a tens~ao m�axima apli �avel em uma resisten ia el�etri a, o limitena a elera� ~ao de um arro, entre outros. Limita� ~oes na taxa de varia� ~ao revelam a limita� ~aodo atuador em responder a varia� ~oes r�apidas no sinal de ontrole. Pode-se ilustrar estasitua� ~ao om a velo idade m�axima de abertura de uma v�alvula e a velo idade m�axima demovimenta� ~ao de um ap em um avi~ao.A problem�ati a de restri� ~oes nos atuadores ganhou mais importan ia dentro da omuni-dade a ademi a na �ultima d�e ada. Resultaram deste esfor� o onjunto de pesquisa avan� ossigni� ativos, tanto em termos de an�alise omo de projeto, hegando-se atualmente a uma ompreens~ao abrangente do problema. A partir de um pequeno apanhado hist�ori o destatrajet�oria, feita a seguir, pro ura-se olo ar qual �e a ontribui� ~ao deste trabalho e omo estase insere neste ontexto.Lev Pontryagin formulava o prin ��pio do m�aximo na d�e ada de 50 estabele endo on-di� ~oes ne ess�arias para otimalidade de leis de ontrole om magnitude limitada 1. Lozi-1O prin ��pio do m�aximo, algumas vezes tamb�em denominado de prin ��pio do m��nimo de Pontryagin, �e

2 Introdu� ~aoer (LOZIER, 1956) analisava o omportamento em regime permanente de sistemas om satu-ra� ~ao no ontrole. Fertik (FERTIK, ROSS, 1967) propunha uma t�e ni a de anti-windup para ompensar os efeitos da satura� ~ao no ontrole no desempenho do sistema em malha fe hada.Fuller (FULLER, 1969) identi� ava impossibilidades de estabiliza� ~ao global na presen� a derestri� ~oes no ontrole. Nestes trabalhos en ontram-se as bases elementares de muitas t�e ni asmodernas de ontrole para sistemas om restri� ~oes nos atuadores.Do ponto de vista pr�ati o, pode-se dizer que o tratamento de restri� ~oes no ontrole ganhouimpulso om o aumento do uso de ontroladores digitais, os quais permitiram a implemen-ta� ~ao de leis de ontrole adequadas ao problema. O anti-windup e o ontrole �otimo, na formade ontrole preditivo, ontrole por matriz dinami a, ou outros, foram as t�e ni as predominan-temente utilizadas no in�� io. Tal fato deve-se a erta \intuitividade" inerente a estas t�e ni ase a fa ilidade de introduz��-las nos sistemas de ontrole que j�a estavam em fun ionamento.Do ponto de vista te�ori o, o grande desenvolvimento deu-se na d�e ada de 90, embora re-sultados importantes s~ao en ontrados nas d�e adas de 70 e 80. Explorando id�eias de ontrole�otimo, em (SCHMITENDORF, BARMISH, 1980) e, posteriormente (SONTAG, 1984, SON-TAG, SUSSMANN, 1990, ZHENG, MORARI, 1995a), foram formalizadas as ondi� ~oes para ontrolabilidade assint�oti a para zero para sistemas lineares om ontrole limitado. Mostrou-se que, para um sistema linear, ondi� ~oes ne ess�arias e su� ientes para que qualquer estadoini ial possa ser levado assintoti amente para zero om ontrole limitado s~ao (i) o par (A;B)ser estabiliz�avel e (ii) a matriz A n~ao possuir nenhum autovalor om parte real estritamen-te positiva. O on eito de ontrolabilidade assint�oti a para zero envolve um ontrole emmalha aberta e, portanto, n~ao responde diretamente a quest~ao da estabilizabilidade. Esteaspe to foi explorado em (SONTAG, SUSSMANN, 1990), onde mostrou-se que a estabiliza-bilidade global de um sistema linear om ontrole limitado �e equivalente �a ontrolabilidadeassint�oti a para zero om ontrole limitado, abreviadamente ANCBC 2. O ontrole propostoem (SONTAG, SUSSMANN, 1990) �e uma realimenta� ~ao n~ao-linear de estados. Esta ara -ter��sti a n~ao pode em geral ser removida quando o objetivo �e a estabiliza� ~ao global. De fato,em (FULLER, 1969) e posteriormente (SUSSMANN, YANG, 1991), mostrou-se que mesmopara uma adeia de 3 integradores n~ao existe uma realimenta� ~ao linear de estados apaz degarantir estabilidade global da origem na presen� a de satura� ~ao no ontrole.hoje en ontrado em diversos livros, por exemplo (STENGEL, 1994, FLEMING, RISHEL, 1975, ATHANS,FALB, 1966).2ANCBC - Asymptoti ally Null-Controllable with Bounded Controls.

Introdu� ~ao 3Abordagem. Pode-se dizer que, no ontexto de sistema om restri� ~oes no ontrole,en ontram-se duas abordagens maiores. A abordagem direta, na qual o projeto �e exe utadoem uma �uni a etapa, onsiderando estabiliza� ~ao, desempenho e as restri� ~oes onjuntamente;a abordagem indireta, na qual um primeiro projeto �e feito objetivando desempenho, sem levarem onta as restri� ~oes, e, num segundo momento, um projeto adi ional �e feito para ompensaros efeitos das restri� ~oes no ontrole (estabiliza� ~ao). Dentro da abordagem direta, podem-sedesta ar as abordagens: fun� ~oes satura� ~ao aninhadas; equa� ~ao de Ri ati; baseadas em in-varian ia; ontrole �otimo om restri� ~oes; ontrole por horizonte deslizante (RHC). Dentroda abordagem indireta, podem-se desta ar a t�e ni a do anti-windup e o ondi ionamento dereferen ia.Objetivos. A grande maioria dos resultados existentes na literatura sobre sistemas omrestri� ~oes no ontrole trata da estabiliza� ~ao assint�oti a da origem. No ontexto de sistemaslineares, diversos resultados tratam tamb�em da estabiliza� ~ao robusta. Por outro lado, pou osresultados est~ao dispon��veis sobre o problema de seguimento de referen ia na presen� a derestri� ~oes no ontrole.Fun� ~oes satura� ~ao aninhadas. Um pro edimento iterativo de projeto para estabili-za� ~ao global de uma adeia de integradores foi proposto em (TEEL, 1992) atrav�es do qualuma lei de ontrole omposta de um aninhamento de fun� ~oes satura� ~ao �e gerada. Estepro edimento utiliza-se, indiretamente, da forma estritamente feedforward (SEPULCHREet al., 1997, TEEL, 1996a, MAZENC, PRALY, 1996), na �epo a ainda n~ao ompletamentere onhe ida. Posteriormente, em (SUSSMANN et al., 1994), tal pro edimento foi estendidopara a lasse de sistemas lineares satisfazendo as ondi� ~oes ne ess�arias para estabiliza� ~aoglobal. Em (TEEL, 1996a), este pro edimento de projeto re ursivo foi generalizado pa-ra sistemas n~ao-lineares na forma estritamente feedforward, por�em, neste aso, a garantiade estabilidade �e somente lo al. Este resultado baseia-se em teoremas de pequeno ganhon~ao-lineares (JIANG et al., 1994, TEEL, 1996a) derivados da propriedade de estabilida-de entrada-estado (ISS) (SONTAG, 1990, SONTAG, 1995). Seguindo objetivos similares,por�em om abordagem diferente - baseada em Lyapunov - em (MAZENC, PRALY, 1996)foi proposto um projeto para sistemas n~ao-lineares na forma estritamente feedforward o qualpermite obter estabilidade assint�oti a global om ontrole limitado. Estabiliza� ~ao global parasistemas n~ao-lineares tamb�em foi obtida mais re entemente em (FREEMAN, PRALY, 1998)

4 Introdu� ~aoutilizando o ba k-stepping. O pro edimento garante que o ontrole �e limitado em magnitudee taxa de varia� ~ao, por�em os limites n~ao s~ao de�nidos a priori. A estrutura do ontroletamb�em �e de um aninhamento de fun� ~oes satura� ~ao. Outros resultados rela ionados ao ason~ao-linear s~ao (LIN, SONTAG, 1995, SMIRNOV, 1996, BITSORIS, GRAVALOU, 1995).Realimenta� ~ao linear de estados. Para sistemas lineares om restri� ~oes no ontrole, arealimenta� ~ao linear de estados n~ao permite, em geral, obter estabilidade assint�oti a glo-bal. Condi� ~oes quando isto �e poss��vel s~ao analisadas em (CHAN, HUI, 1998). Contudo, arealimenta� ~ao linear de estados onstitui uma op� ~ao muito atrativa devido �a fa ilidade detratamento alg�ebri o e omputa ional. Por isto, esta �e parti ularmente interessante quandoo sistema em malha aberta possui autovalores inst�aveis, aso em que apenas a estabiliza� ~aolo al �e poss��vel. Muitos resultados na literatura exploram leis de ontrole lineares para esta-biliza� ~ao de sistemas lineares om restri� ~oes no ontrole (CASTELAN, 1992, CASTELAN,HENNET, 1992, Gomes da Silva Jr., 1998, LIN, SABERI, 1993). Grande parte destes resul-tados utilizam-se de fun� ~oes de Lyapunov poliedrais (Gomes da Silva Jr., TARBOURIECH,1997), quadr�ati as (HINDI, BOYD, 1998, TARBOURIECH, GARCIA, 1997) ou, mais re en-temente, quadr�ati as por partes (JOHANSSON, 1999). O uso de desigualdades matri iaislineares (LMI) (BOYD et al., 1994) �e muito omum neste ontexto (Gomes da Silva Jr.,TARBOURIECH, 1998, HINDI, BOYD, 1998, TARBOURIECH, Gomes da Silva Jr., 2000).Pro edimentos de an�alise de estabilidade, determina� ~ao do dom��nio de estabilidade e s��ntesede leis de ontrole s~ao os prin ipais problemas abordados.Abordagem pela equa� ~ao de Ri ati. A solu� ~ao da equa� ~ao alg�ebri a de Ri ati para-metrizada tem se revelado uma importante metodologia de projeto de leis de ontrole linea-res para estabiliza� ~ao de sistemas lineares om satura� ~ao no ontrole. Ini ialmente propostaem (LIN, SABERI, 1993), foi, posteriormente, melhor ampliada em (TEEL, 1995b, LIN,SABERI, 1995, SABERI et al., 1996a), entre outros. Um dos aspe tos importantes des-ta onstru� ~ao �e a obten� ~ao de onjuntos elipsoidais positivamente invariantes para o siste-ma em malha fe hada. Para sistemas lineares ANCBC, regi~oes de atra� ~ao arbitrariamentelargas podem ser obtidas, ou melhor, pode-se obter estabilidade semi-global. O projetoent~ao onsiste em sintonizar um parametro de forma a obter a regi~ao de atra� ~ao su� i-entemente larga. O sistema em malha fe hada, ent~ao, opera em um onjunto elipsoidal ontido dentro da regi~ao de linearidade. Isto introduz um erto grau de onservativida-

Introdu� ~ao 5de ao projeto - baixo desempenho. Propostas para melhoria de desempenho s~ao apre-sentadas em (WREDENHAGEN, BELANGER, 1994, LIN, SABERI, 1995, REGINATTOet al., 2000b). Esta metodologia de projeto tamb�em ganhou extens~oes no problema de on-trole robusto (TARBOURIECH, GARCIA, 1997) e atenua� ~ao de perturba� ~oes (SUAR�ESet al., 1997, CASAVOLA, MOSCA, 1998).Esta mesma onstru� ~ao tamb�em tem servido para a estabiliza� ~ao global e obten� ~ao depropriedades de estabilidade entrada-sa��da para sistemas lineares ANCBC. A obten� ~ao deestabilidade global �e tornada poss��vel atrav�es do es alonamento da lei de ontrole parame-trizada em fun� ~ao da evolu� ~ao do estado do sistema, isto �e, o \ganho" da lei de ontrole �evariado em fun� ~ao do estado de forma a garantir estabilidade global. Em linhas gerais, oganho �e reduzido quando o estado aumenta e, aumentado, quando este diminui. Assim, amagnitude do ontrole �e mantida limitada independentemente da magnitude do estado.A id�eia de es alonamento para estabiliza� ~ao global de sistemas lineares om satura� ~ao no ontrole pare e ter sido primeiramente introduzida em (TEEL, 1995a). Neste trabalho, a leide ontrole parametrizada �B0P (�)x obtida da solu� ~ao da equa� ~ao de Ri ati do tipo H1 �ees alonada dinami amente 3. O es alonamento �e guiado pela magnitude de uma fun� ~ao deLyapunov quadr�ati a no estado envolvendo a solu� ~ao P (�). Em (MEGRETSKI, 1996) umat�e ni a de es alonamento est�ati a �e proposta para a mesma lei de ontrole. Aqui, � �e obtidoon-line (instantaneamente) omo resultado de um problema de otimiza� ~ao dependente do es-tado do sistema, por isto a denomina� ~ao est�ati a. Com esta estrat�egia, obt�em-se estabilidadeglobal para sistema lineares ANCBC. Tamb�em, garante-se estabilidade BIBO para sinais deenergia limitada(L2), e as mesmas propriedades s~ao garantidas para realimenta� ~ao dinami ade sa��da. Alguns aprimoramentos deste resultado s~ao apresentados em (LIN, 1998a), onde autiliza� ~ao do ontrole de alto e baixo ganho permite garantir robustez frente a perturba� ~oeslimitadas em norma atuantes na entrada de ontrole do sistema.Estas estrat�egias de es alonamento ompartilham do problema de impor ao sistema, emmalha fe hada, a opera� ~ao dentro da regi~ao linear dos atuadores, isto �e, n~ao �e permitidaa satura� ~ao dos atuadores. Mais espe i� amente, o sistema em malha fe hada �e for� adoa operar dentro de um onjunto elipsoidal (positivamente invariante), o qual est�a ontidona regi~ao de opera� ~ao linear do sistema. Este fato ertamente introduz onservatividade noprojeto, isto �e, o sistema, em geral, opera om \ganho" menor do que poderia ser. Al�em disso,3O parametro � �e obtido da solu� ~ao de uma equa� ~ao diferen ial n~ao-linear.

6 Introdu� ~aodevido �a invarian ia dos elips�oides e �a propriedade de aninhamento dos mesmos, resulta queo parametro es alonado �e mon�otono ao longo do tempo.Neste ontexto �e apresentada a primeira ontribui� ~ao deste trabalho, uma nova estrat�egiade es alonamento da lei de ontrole �B0P (�)x que permite, expli itamente, a o orren ia desatura� ~ao do sinal de ontrole e n~ao restringe a opera� ~ao do sistema a onjuntos elipsoidaispositivamente invariantes (REGINATTO et al., 2000 , REGINATTO et al., 2000b, REGI-NATTO, DE PIERI, 2000). Na estrat�egia proposta, o es alonamento �e guiado diretamentepela magnitude do sinal de ontrole e pode ser n~ao-mon�otono ao longo do tempo. Resultadosde simula� ~ao omprovam as vantagens da t�e ni a proposta em termos de taxa de onvergen iado estado para o sistema em malha fe hada. Adi ionalmente, propriedades similares aos al-goritmos existentes om rela� ~ao a robustez e estabilidade BIBO para sinais limitados emenergia s~ao v�alidas para a t�e ni a proposta.Seguimento de referen ia. O problema de seguimento �e relativamente mais omplexodo que o problema de estabiliza� ~ao, espe ialmente no ontexto de sistemas om restri� ~oesno ontrole. Mesmo que o seguimento assint�oti o fosse poss��vel na ausen ia de restri� ~oes, amesma garantia n~ao se estende ompletamente quando restri� ~oes no ontrole est~ao presentes.Neste aso, fa ilmente s~ao en ontrados sinais de referen ia que n~ao podem ser reproduzidos,nem em regime permanente, pelo sistema em quest~ao, devido �as restri� ~oes em sua entrada de ontrole. Torna-se ent~ao imperioso re onsiderar os objetivos do projeto para adequar a suafun ionalidade �as reais ne essidades da apli a� ~ao. Como as apli a� ~oes s~ao diversas, diversastamb�em dever~ao ser as t�e ni as dispon��veis para obten� ~ao de um projeto adequado.Seguimento �otimo sob restri� ~oes. Uma abordagem natural para o problema de segui-mento om restri� ~oes �e o seguimento �otimo. Nesta abordagem, o problema de seguimento�e olo ado omo um problema de otimiza� ~ao om restri� ~oes. A solu� ~ao deste problema deotimiza� ~ao �e um ontrole de malha aberta que minimiza o ��ndi e de desempenho em quest~ao om as restri� ~oes envolvidas. Apesar de bastante natural, esta abordagem en ontra diversasdi� uldades. Primeiramente, a ne essidade de onhe er o omportamento futuro do sinalde referen ia �e um limitante. Segundo, a grande di� uldade de olo ar o ontrole projetado omo um ontrole em malha fe hada. Resultados nesta dire� ~ao s~ao bem re entes e aindarestritivos (BEMPORAD et al., 1999). Por �m, a omplexidade omputa ional envolvidana solu� ~ao do problema de otimiza� ~ao, um problema menor no aso linear, ainda limita a

Introdu� ~ao 7 lasse de sistemas trat�aveis (POLAK, 1971, MAYNE, 1995). Em fun� ~ao destes problemas,a solu� ~ao �otima �e dif�� il de ser diretamente apli ada na pr�ati a. Contudo, esta t�e ni a podeser de grande valia na avalia� ~ao omparativa de outras t�e ni as existentes.Controle om horizonte deslizante. O ontrole om horizonte deslizante pode ser visto omo uma forma implement�avel do seguimento �otimo om restri� ~oes. A ada instante detempo, um problema de ontrole �otimo om horizonte �nito e om restri� ~oes �e resolvido ombase (RAWLINGS, 2000, CAMACHO et al., 1999, ZHENG, MORARI, 1995b): (i) na medidado estado atual do sistema; (ii) em um modelo que prediz o omportamento futuro do sistema;e (iii) no onhe imento do sinal de referen ia dentro do horizonte de otimiza� ~ao envolvido. Aprimeira amostra do ontrole �otimo assim obtido �e implementada e todo o pro esso �e repetidoa ada instante de amostragem. Assim, o ontrole �e em malha fe hada, pois a ada instantede amostragem a medida do estado �e utilizada para alimentar o problema de otimiza� ~aoresolvido. Contudo, omo o horizonte de otimiza� ~ao �e �nito, o ontrole resultante �e, emgeral, sub-�otimo.A prin ipal vantagem do ontrole om horizonte deslizante �e a fa ilidade de lidar omrestri� ~oes. Isto porque tais restri� ~oes s~ao apenas adi ionadas ao problema de otimiza� ~aoenvolvido, o qual �e resolvido on-line numeri amente. A resolu� ~ao deste problema de otimi-za� ~ao �e, ontudo, um dos prin ipais problemas desta t�e ni a (MAYNE, 1995, SCOKAERT,MAYNE, 1998), uma vez que deve ser resolvido on-line e, om isto, o tempo de pro essa-mento passa a ser fundamental. Adi ionalmente, �e dif�� il garantir, a priori, a fa tibilidade doproblema de otimiza� ~ao, espe ialmente quando o sistema est�a sujeito a est��mulos externos.Outra importante quest~ao no ontrole om horizonte deslizante �e a garantia de estabi-lidade. No problema de estabiliza� ~ao diversos resultados est~ao dispon��veis (RAWLINGS,MUSKE, 1993, MICHALSKA, MAYNE, 1993, ZHENG, MORARI, 1994, CHEN,ALLG�OWER, 1997, DE NICOLAO et al., 1998, SCOKAERT et al., 1999). A quest~ao darobustez ainda are e de resultados mais on retos, apesar dos importantes resultados j�a exis-tentes (MICHALSKA, MAYNE, 1993, ZHENG, MORARI, 1993, QI, FISHER, 1994, DE NI-COLAO et al., 1996). No ontexto de estabilidade entrada-sa��da na presen� a de sinaisde referen ia (perturba� ~oes externas) pou os resultados est~ao dispon��veis (SCOKAERT,MAYNE, 1998, MILLER, PACHTER, 1997, MILLER, PACHTER, 1998).

8 Introdu� ~aoCondi ionamento de referen ia. O ondi ionador de erro/referen ia tem suas bases noproblema de seguimento om restri� ~oes, isto �e, sua on ep� ~ao �e dire ionada ao tratamentodeste problema. A t�e ni a parte de um projeto existente que resolve o problema de seguimen-to na ausen ia de restri� ~oes. Sobre este sistema em malha fe hada, uma modi� a� ~ao no sinalde referen ia apli ado ao sistema �e introduzida objetivando garantir que as restri� ~oes sejamsempre satisfeitas e, om isto, seja garantida a estabilidade BIBO do sistema. As bases destat�e ni a foram lan� adas em (KAPASOURIS et al., 1988, KAPASOURIS et al., 1990), no on-texto do ondi ionador de erro. Uma melhor fundamenta� ~ao foi posteriormente apresentadaem (GILBERT, TAN, 1991) om a formaliza� ~ao da teoria de onjuntos sa��da-admiss��veis, aqual serve de base para o ondi ionador de referen ia dinami o em (GILBERT et al., 1995).Diversas rami� a� ~oes desta t�e ni as s~ao hoje en ontradas na literatura, dentre as quaisdesta am-se (MCNAMEE, PACHTER, 1998, MCNAMEE, PACHTER, 1999) e, no ontex-to de sistemas n~ao-lineares, (ANGELI, MOSCA, 1999, BEMPORAD, 1998, BEMPORADet al., 1997).Anti-windup. A t�e ni a do anti-windup �e provavelmente uma das mais antigas estrat�egiaspara lidar om o problema de restri� ~oes no ontrole. O problema do windup foi ini ialmenteidenti� ado em malhas de ontrole envolvendo ontroladores PID, onde a presen� a de satu-ra� ~ao no sinal de ontrole introduzia perdas signi� ativas de desempenho, devido a sobre ar-ga da a� ~ao integral. Diversas t�e ni as, hoje denominadas ad-ho , foram ent~ao desenvolvidaspara ompensar estes efeitos indesejados, as primeiras datando da d�e ada de 60, ba k al u-lation (FERTIK, ROSS, 1967, ZENI et al., 1984), intelligent integrator (KRIKELIS, 1980),anti-reset-windup (�ASTR�OM, WITTENMARK, 1984, �ASTR�OM, RUNDQWIST, 1989), on-ditioning te hnique (HANUS et al., 1987), entre outros.Na t�e ni a do anti-windup tamb�em parte-se da ondi� ~ao em que um projeto de um on-trole nominal j�a tenha sido exe utado e, modi� a� ~oes adi ionais devem ser introduzidas para ompensar os efeitos das restri� ~oes no ontrole.Progressos signi� ativos s~ao veri� ados no in�� io da d�e ada de 90, onde t�e ni as mais geraisforam introduzidas permitindo o tratamento do problema do anti-windup em sistemas linearesmultivari�aveis, espe i� amente a generalized onditioning te hnique (HANUS, KINNAERT,1989, CAMPO et al., 1989, WALGAMA et al., 1992, WALGAMA, STERNBY, 1993), o ob-server based anti-windup (�ASTR�OM, RUNDQWIST, 1989, �ASTR�OM, H�AGGLUND, 1988)e o anti-windup para ontrole por modelo interno (ZHENG et al., 1994). Em (WALGAMA,

Introdu� ~ao 9STERNBY, 1990) identi� ou-se propriedades de observa� ~ao inerentes em diversas destast�e ni as de anti-windup. Em (CAMPO et al., 1989, KOTHARE et al., 1994), muitas destast�e ni as foram olo adas sob uma formula� ~ao geral, em termos de transforma� ~oes fra ionaislineares. Melhorias no onditioning te hnique s~ao apresentadas em (CHEN, PERNG, 1997)atrav�es da solu� ~ao de um problema de otimiza� ~ao, de forma similar ao resultado de (ZHENGet al., 1994). Todas estas t�e ni as, ontudo, restringem-se ao aso em que tanto o pro esso omo o ompensador s~ao lineares, e n~ao tratam a quest~ao da estabilidade de forma adequada.Baseado na formula� ~ao de (KOTHARE et al., 1994), um projeto de ompensador anti-windup �e desenvolvido em (MIYAMOTO, VINNICOMBE, 1996) atrav�es de um projeto H1,garantindo, assim, estabilidade assint�oti a global do sistema em malha fe hada. Tamb�em,em (KAPOOR et al., 1998) um projeto para o observer based anti-windup de (�ASTR�OM,H�AGGLUND, 1988) om garantias de estabilidade global �e apresentado. Con eitos de pas-sividade s~ao utilizados neste resultado. Garantias de robustez neste ontexto s~ao estudadasem (NIU, TOMIZUKA, 1998). Em (BURGAT, TARBOURIECH, 1998), a t�e ni a do intel-ligent integrator �e generalizada em um projeto de anti-windup om garantia de estabilidadeassint�oti a global. Mais re entemente, em (KOTHARE, MORARI, 1999), ondi� ~oes paraestabilidade assint�oti a global para la� os de anti-windup s~ao apresentadas utilizando-se aformula� ~ao de (KOTHARE et al., 1994), utilizando resultados de passividade e multipli- adores. Uma estrat�egia de anti-windup que utiliza observadores de estado �e apresentadaem (SHAMMA, 1999).O anti-windup L2, apresentado em (TEEL, KAPOOR, 1997a), introduz t�e ni as de on-trole n~ao-lineares no problema do anti-windup. O anti-windup L2 introduz uma de�ni� ~aoformal do problema de anti-windup omo um problema de garantia de estabilidade L2, oque permite um tratamento mais adequado de quest~oes de estabilidade e robustez. O usode ontrole n~ao-linear permite estender a lasse de sistemas para os quais �e poss��vel garantirestabilidade assint�oti a global. Tamb�em, elimina-se a restri� ~ao de que o ontrole nominal sejalinear. Um projeto espe ��� o para o aso em que o sistema em malha aberta possui modosinst�aveis �e apresentado em (TEEL, 1999). Estes resultados onstituem tamb�em apli a� ~oesdo resultado geral para sistemas n~ao-lineares apresentado em (TEEL, KAPOOR, 1997b).Nos estudos ini iais do problema do anti-windup, este era visto omo uma dis repan iaentre o estado do ontrolador e a sua sa��da efetivamente apli ada ao pro esso. Sendo assim,o fo o de aten� ~ao n~ao era dire ionado ao problema de seguimento em si. N~ao obstante, oproblema do anti-windup sempre esteve diretamente ligado �a quest~ao do seguimento om

10 Introdu� ~aorestri� ~oes, espe ialmente o seguimento de set-point. Esta interpreta� ~ao do anti-windup o-mo t�e ni a para seguimento sob restri� ~oes transpare e nos resultados mais re entes (TEEL,KAPOOR, 1997a, BARBU et al., 2000a).Referen ia. Para introduzir a pr�oxima ontribui� ~ao deste trabalho, �e ne ess�ario rever o tra-tamento dado ao sinal de referen ia atrav�es das diversas t�e ni as men ionadas. Nas t�e ni asde seguimento �otimo om restri� ~oes e ontrole om horizonte deslizante, o sinal de referen ian~ao �e modi� ado, e o ontrole projetado minimiza um usto que leva em onsidera� ~ao o errode seguimento, respeitadas as restri� ~oes no ontrole envolvidas.No anti-windup L2, o sinal de refereren ia �e suposto ser realiz�avel em regime permanente,isto �e, sup~oe-se que o equil��brio do sistema seja tal que o sinal de ontrole orrespondenteest�a na regi~ao linear da satura� ~ao.O ondi ionador de referen ia dinami o, por sua vez, exige que a referen ia modi� adaapli ada ao sistema assuma, em todo instante, valores que s~ao realiz�aveis em regime per-manente. Com esta restri� ~ao, o sistema em malha fe hada perde desempenho, pois a suaentrada efetiva � a limitada a valores pequenos durante todo o tempo. Esta restri� ~ao �e re-movida em (MCNAMEE, PACHTER, 1998), onde o ondi ionador de referen ia permite queo sinal de referen ia modi� ado assuma, temporariamente, valores que n~ao s~ao realiz�aveis emregime permanente.A segunda ontribui� ~ao deste trabalho onsiste em um projeto para seguimento de re-feren ia om restri� ~oes no ontrole baseado na t�e ni a do anti-windup. A lasse de sistema onsiderada �e a de sistemas lineares om modos inst�aveis e om restri� ~oes tanto em magnitude omo em taxa de varia� ~ao no sinal de ontrole. Tamb�em, a t�e ni a proposta n~ao imp~oe ne-nhuma restri� ~ao, a priori, sobre o sinal de referen ia a ser seguido. Garantias de estabilidades~ao forne idas mesmo para sinais de referen ia que n~ao s~ao realiz�aveis em regime permanente.O objetivo em permitir sinais de referen ia arbitrariamente grandes �e o de obter transi� ~oesmais r�apidas4 do sistema, em ontraste om a estrat�egia de restringir a priori o sinal dereferen ia a valores pequenos omo meio de garantir estabilidade. Por �m, o uso da t�e ni ado anti-windup permite dividir o projeto em duas fases: (i) projeto do ontrole nominal, semrestri� ~oes, que garante o desempenho desejado; (ii) projeto do ompensador anti-windup paragarantir estabilidade e respeitar o desempenho induzido pelo ontrole nominal sempre que4Embora o sinal de referen ia n~ao seja realiz�avel em regime permanente, esta �e uma forma de estimular osistema a hegar mais rapidamente ao valor realiz�avel mais pr�oximo.

Introdu� ~ao 11poss��vel.Sistemas n~ao-lineares. A grande maioria dos projetos para sistemas de ontrole n~ao-lineares n~ao onsidera as limita� ~oes nos atuadores. Somente n~ao-linearidades no estado s~ao onsideradas, e o sistema, em geral, �e a�m no ontrole, uja magnitude �e arbitr�aria. Arestri� ~ao de magnitude nos atuadores, por outro lado, imp~oe uma n~ao-linearidade na entradade ontrole do sistema. Assim, tais leis de ontrole, na pr�ati a, s~ao v�alidas apenas na regi~aode opera� ~ao linear dos atuadores. Por isto �e natural que se pense em t�e ni as para ompensaros efeitos da satura� ~ao, similarmente ao aso linear, omo estrat�egia de projeto.Na estrat�egia de ompensa� ~ao de satura� ~ao, as leis de ontrole existentes (para ontrolesem restri� ~oes) podem ser utilizadas para induzir, lo almente, o desempenho desejado para osistema. O ontrole adi ional ne ess�ario para garantir a estabilidade na presen� a da satura� ~ao�e o que se tem denominado de ompensa� ~ao da satura� ~ao. Esta estrat�egia de ontrole �e onsistente om os objetivos usuais de ontrole em sistemas n~ao-lineares, onde a ne essidadede desempenho �e lo al, enquanto que a ne essidade de estabilidade �e global (ou, ao menos,em um dom��nio maior).Em (TEEL, KAPOOR, 1997b) uma estrat�egia de uni� a� ~ao de ontroladores lo ais eglobais �e apresentada. Nesta estrat�egia, um primeiro ontrole (lo al) �e projetado sobre ummodelo modi� ado do sistema, o qual �e lo almente onsistente om o modelo real, om oobjetivo de induzir o desempenho desejado ao sistema. Um outro ontrole (global) �e projetado om o �nalidade de garantir estabilidade global, por�em sem requisitos de desempenho. Combase nestes ontroles, um ontrole uni� ado �e onstru��do para o sistema, o qual preserva,lo almente, as propriedades do projeto lo al efetuado. Esta estrat�egia de uni� a� ~ao �e utilizadaem (TEEL, KAPOOR, 1997a, TEEL, 1999, BARBU et al., 1999, BARBU et al., 2000a) paras��ntese de ompensadores anti-windup para sistemas lineares om restri� ~oes no ontrole.Como ter eira ontribui� ~ao deste trabalho, esta t�e ni a de uni� a� ~ao de ontroladoreslo ais e globais �e explorada para ompensa� ~ao de satura� ~ao em sistemas n~ao-lineares. Umapequena generaliza� ~ao �e proposta, a qual n~ao requer que o ontrole global garanta estabilidadeassint�oti a global para o sistema. Com base nisto, um estudo �e feito a er a da ompensa� ~aode satura� ~ao em robos manipuladores. Mostram-se as vantagens, em termos de estabilidadee desempenho, em introduzir a ompensa� ~ao de satura� ~ao nos atuadores para o ontrole derobos manipuladores. Resultados de simula� ~ao s~ao apresentados para um robo manipuladorplanar de dois graus de liberdade.

12 Introdu� ~aoOrganiza� ~ao do trabalhoEste trabalho est�a organizado em 4 ap��tulos. Cada ap��tulo ont�em um apendi e es-pe ��� o onde s~ao olo adas as provas dos resultados apresentados.O ap��tulo 1 introduz o problema de estudo deste trabalho. Os problemas de estabiliza� ~aoe de seguimento para sistemas lineares om restri� ~oes no ontrole s~ao formulados te ni amen-te. Tamb�em, os on eitos fundamentais rela ionados ao tema do trabalho e importantes parao desenvolvimento do mesmo s~ao apresentados.O ap��tulo 2 aborda o problema da estabiliza� ~ao global de sistemas lineares om satura� ~aono ontrole. A onstru� ~ao de leis de ontrole parametrizadas baseadas na solu� ~ao da equa� ~aode Ri ati �e apresentada e, a partir disto, o tema prin ipal do ap��tulo �e desenvolvido. S~aorevistos os prin ipais algoritmos de es alonamento desta lei de ontrole e suas propriedadesde estabiliza� ~ao e robustez. Em seguida �e apresentada a primeira ontribui� ~ao deste trabalho, onsistindo de uma nova metodologia de es alonamento desta lei de ontrole om o objetidode reduzir a onservatividade dos algoritmos existentes e, om isto, melhorar o desempenhodo sistema em malha fe hada omo um todo. Quest~oes de robustez e estabilidade entrada-sa��da para sinais limitados em energia s~ao dis utidas na seq�uen ia. Por �m, s~ao apresentadosdois estudos de aso ilustrando as propriedades e vantanges do algoritmo de es alonamentoproposto em termos de velo idade de resposta para o sistema em malha fe hada.O ap��tulo 3 �e dedi ado ao problema de seguimento de set-point para sistemas lineares om restri� ~oes no ontrole. Restri� ~oes tanto de magnitude omo de taxa de varia� ~ao s~ao onsideradas neste aso. O ap��tulo ini ia olo ando uma revis~ao das prin ipais t�e ni asdispon��veis para projeto de ontroladores visando o seguimento de sinais de referen ia napresen� a de restri� ~oes no ontrole. Espe i� amente, s~ao onsideradas: seguimento �otimo omrestri� ~oes; ontrole om horizonte deslizante; ondi ionamento de referen ia; e anti-windup.A abordagem anti-windup �e desenvolvida em mais detalhes por onsistir no tema entraldo ap��tulo, que onsiste em uma proposi� ~ao de um projeto para seguimento de sinais dereferen ia em sistema lineares om modos inst�aveis e om restri� ~oes de magnitude e taxade varia� ~ao no sinal de ontrole, a qual �e baseada em anti-windup. A t�e ni a propostaestende resultados existentes em diversas dire� ~oes, as quais s~ao melhor olo adas no pr�oprio ap��tulo. Resultados de simula� ~ao s~ao tamb�em apresentados para um sistema de segundaordem inst�avel em malha aberta. O estudo �e ilustrativo de um problema de ontrole manualde voo, onsiderando-se apenas o modelo longitudinal (pit h angle) da aeronave.O ap��tulo 4 trata da quest~ao da ompensa� ~ao de satura� ~ao em sistemas n~ao-lineares.

Introdu� ~ao 13Primeiramente a estrat�egia de uni� a� ~ao de ontroladores lo ais e globais de (TEEL,KAPOOR, 1997b) �e desenvolvida. S~ao feitas parti ulariza� ~oes deste desenvolvimento mos-trando omo o anti-windup L2 e a ontribui� ~ao do ap��tulo 3 s~ao apli a� ~oes deste resultado.Em seguida, uma pequena generaliza� ~ao do resultado de (TEEL, KAPOOR, 1997b) �e apresen-tada e, om base neste resultado, uma estrat�egia de ontrole para ompensa� ~ao de satura� ~aoem robos manipuladores �e desenvolvida. Esta t�e ni a permite que os ontroles tradi ionaissejam utilizados para induzir o desempenho lo al, enquanto introduz modi� a� ~oes de ontrolepara garantir dom��nios de estabilidade. Por �m, esta t�e ni a �e apli ada a um robo manipula-dor planar de dois graus de liberdade e resultados de simula� ~ao s~ao apresentados ilustrandosuas prin ipais propriedades.Con lus~oes e perspe tivas s~ao apresentadas ao �nal do trablho. Con eitos adi ionais s~aotamb�em in lu��dos nos apendi es.

Cap��tulo 1O Problema de Controle omRestri� ~oes nos Atuadores1.1 Introdu� ~aoNeste ap��tulo pro ura-se olo ar, te ni amente, os problemas abordados no trabalho.Estes problemas s~ao apresentados no ontexto gen�eri o de sistemas n~ao-lineares variantes notempo, muito embora as ontribui� ~oes do trabalho restrinjam-se a sub- lasses desta lasse desistemas.A partir da olo a� ~ao do problema, s~ao apresentados on eitos b�asi os ne ess�arios parao desenvolvimento dos problemas em estudo nos ap��tulos subseq�uentes. Pro ura-se tamb�emapresentar os efeitos de orrentes da presen� a de restri� ~oes nos atuadores e suas impli a� ~oesno problema de ontrole.1.2 Colo a� ~ao do ProblemaEm problemas de ontrole em geral torna-se quase impres ind��vel lidar om fatores omon~ao-linearidades, perturba� ~oes e restri� ~oes. A presen� a destes fatores �e que justi� a, emgrande parte, todo o problema de ontrole.Considere ent~ao um sistema des rito por uma equa� ~ao dinami a da forma_x = ~f(t; x; u; w)y = hy(t; x; w)z = hz(t; x; u; w) (1.1)

16 O Problema de Controle om Restri� ~oes nos Atuadoresonde x �e o estado, u �e a entrada de ontrole e w �e uma perturba� ~ao, perten entes aos espa� osX, U e W , respe tivamente, e t 2 R. A sa��das y e z orrespondem a vari�aveis mensur�aveise vari�aveis de desempenho, respe tivamente, e perten em aos espa� os Y e Z. Assume-se que~f , hy e hz sejam, pelo menos, lo almente Lips hitz em x, u e w, e Lebesgue mensur�aveis emt. A regularidade em ~f �e ne ess�aria para garantia de existen ia de solu� ~ao.Restri� ~oes. Como se veri� a em sistemas reais, os atuadores est~ao sujeitos a restri� ~oes,normalmente de orrentes de limita� ~oes t�e ni as. Embora tais restri� ~oes possam ser in orpo-radas na fun� ~ao ~f , em muitas situa� ~oes �e de interesse expli itar tais restri� ~oes om o intuitode enfatizar o seu efeito/parti ipa� ~ao no projeto da lei de ontrole.A restri� ~ao mais omum em atuadores �e a limita� ~ao de magnitude, por exemplo a aberturade uma v�alvula, a orrente forne ida por um inversor, a poten ia de um motor el�etri o, afaixa de opera� ~ao de um ampli� ador, entre outras. Outra restri� ~ao importante �e tamb�em alimita� ~ao em taxa de varia� ~ao, por exemplo a velo idade m�axima de abertura de uma v�alvula,a velo idade m�axima de movimenta� ~ao de um ap em uma asa de avi~ao, a elera� ~ao m�aximade um motor, entre outras.Como o intuito de expli itar estas restri� ~oes nos atuadores, uma nova vari�avel de ontrole�e introduzida us a qual representa a efetiva atua� ~ao sobre o sistema ou a sa��da do atuador.O atuador, neste n��vel de generalidade, �e representado por um operador H om estado xu,entrada u e sa��da us, gerando a seguinte representa� ~ao para o sistema (1.1), onde xuo = xu(to),_x = f(t; x; us; w)us = H(xuo ; us; u)y = hy(t; x; w)z = hz(t; x; us; w) (1.2)Nota 1.2.1 Em muitas situa� ~oes, notadamente na t�e ni a do anti-windup, um ontrole �eprojetado para o sistema (1.2) negligen iando-se as restri� ~oes nos atuadores. Neste aso,toma-se us omo entrada do sistema, ao inv�es de u, e projeta-se us diretamente. Ao sistema(1.2) om restri� ~oes negligen iadas denomina-se sistema sem restri� ~oes. Quando as restri� ~oess~ao apenas em magnitude, tamb�em denomina-se de sistema n~ao saturado.Estabilidade. O objetivo do trabalho �e propor t�e ni as de projeto de ontroladores parasub lasses do sistema (1.2) de forma a garantir determinadas propriedades de estabilidade.

1.2. Colo a� ~ao do Problema 17Assuma que a origem de (1.2) �e um equil��brio para perturba� ~ao e ontrole nulos, isto �e,f(t; 0; 0; 0) = 0 e onsidere os seguintes problemas.Problema 1.2.2 (Estabiliza� ~ao) O problema de estabiliza� ~ao lo al (global) onsiste emprojetar um sistema dinami o1 G ( om estado x 2 Rn , x o = x (to)) tal que o sistemaem malha fe hada (1.2) om u = G (x o ; y) (1.3)tenha, para w � 0, x = 0 omo um equil��brio lo almente (globalmente) assintoti amenteest�avel.Problema 1.2.3 (Estabiliza� ~ao L2) O problema de estabiliza� ~ao L2 onsiste em projetarum sistema dinami o G ( om estado x 2 Rn , x o = x (to)) tal que o sistema em malhafe hada (1.2) om u = G (x o ; y) (1.4)seja (a) globalmente assintoti amente est�avel para w = 0 e (b) (x; x ) 2 L2 sempre quew 2 L2.Problema 1.2.4 (Seguimento om restri� ~oes) Seja r um sinal de referen ia e seja Suma lasse destes sinais. O problema de seguimento om restri� ~oes onsiste em projetar umsistema dinami o G ( om estado x 2 Rn , x o = x (to)) tal que o sistema em malha fe hada(1.2) om u = G (x o ; y; r) (1.5)satisfa� a as seguintes propriedades:1. Se r 2 S �e limitado, ent~ao (x; x ) �e limitado;2. Se r 2 S �e limitado e limt!1 r(t) = �r, ent~ao (x; x ) �e limitado e (x(t); x (t))! (�x; �x )quando t!1;3. Nas ondi� ~oes do item 2, se, ainda, us(t)� u(t)! 0 quando t!1, ent~ao y(t)! r(t)quando t!1.1Para fa ilitar a exposi� ~ao, preferiu-se n~ao expli itar a estrutura do ontrole projetado. Assim, utilizou-se a nota� ~ao u = G (x o ; y) para representar um sistema dinami o om entrada y, sa��da u e estado x . Adependen ia em x o (n~ao em x ) foi introduzida para expli itar que a sa��da u �e dependente da entrada y e doestado ini ial x o = x (0).

18 O Problema de Controle om Restri� ~oes nos AtuadoresO problema de seguimento 1.2.4 onsiste basi amente de um problema de seguimentoassint�oti o om restri� ~oes. As propriedades estabele idas exigem: estabilidade no sentidoentrada limitada sa��da limitada (BIBO); estabilidade no sentido entrada onvergente sa��da onvergente; e o seguimento assint�oti o propriamente dito, quando este for poss��vel.Neste trabalho s~ao onsiderados asos espe ��� os destes problemas envolvendo sistemaslineares om restri� ~oes de magnitude e taxa de varia� ~ao no sinal de ontrole. As ontribui� ~oesdeste trabalho est~ao apresentadas nos ap��tulos 2 e 3 e onsistem no seguinte:Contribui� ~ao na estabiliza� ~ao global e L2 de sistema lineares om satura� ~ao no ontrole. Esta ontribui� ~ao �e apresentada no ap��tulo 2 e onsiste em um algoritmo dees alonamento de uma lei de ontrole parametrizada que apresenta, na ausen ia de pertur-ba� ~oes, desempenho superior a projetos similares existentes na literatura e, na presen� a deperturba� ~oes, propriedades de estabilidade L2 similares a estas leis de ontrole existentes. O ap��tulo tamb�em apresenta dois exemplos ilustrativos da fun ionalidade e desempenho da leide ontrole proposta.Contribui� ~ao no seguimento de set-point de sistema lineares om limita� ~ao emmagnitude e taxa de varia� ~ao no sinal de ontrole. Esta ontribui� ~ao �e apresentadano ap��tulo 3. A t�e ni a do anti-windup �e utilizada para propor um projeto de ontrolevisando o seguimento de set-point para sistemas lineares om restri� ~oes tanto em magnitude om em taxa de varia� ~ao no sinal de ontrole. A t�e ni a objetiva obter um seguimento r�apido om garantia de estabilidade. Para tanto, nenhuma restri� ~ao �e feita a priori sobre o sinal dereferen ia.Contribui� ~ao na ompensa� ~ao de satura� ~ao em sistemas n~ao-lineares. Esta on-tribui� ~ao �e apresentada no ap��tulo 4. A estrat�egia de uni� a� ~ao de ontroladores lo ais eglobais de (TEEL, KAPOOR, 1997b) �e adaptada para propor um esquema de ompensa� ~aode satura� ~ao em sistemas n~ao-lineares. Este esquema �e ent~ao apli ado ao ontrole de robosmanipuladores.1.3 Con eitos PreliminaresNesta se� ~ao s~ao introduzidos diversos on eitos que ser~ao utilizados ao longo do trabalho.O onte�udo desta se� ~ao �e baseado em (SCHMITENDORF, BARMISH, 1980, SONTAG, 1984,

1.3. Con eitos Preliminares 19SONTAG, SUSSMANN, 1990, GILBERT, TAN, 1991, LASSERRE, 1993).Considere o seguinte sistema linear_x(t) = Ax(t) +Bu(t) (1.6)onde x(t) 2 Rn e u(t) 2 Rm s~ao estado e entrada de ontrole, respe tivamente. Dados um ontrole u(�) Lebesgue-mensur�avel e um estado ini ial xo, �(t;xo; u) representa a trajet�oria de(1.6) orrespondente. Nas de�ni� ~oes que seguem, U � Rm �e um onjunto ompa to, onvexoe tal que 0 2 int(U).De�ni� ~ao 1.3.1 O estado xo 2 Rn para o sistema (1.6) �e dito ontrol�avel assintoti a-mente para zero om ontrole em U � Rm se existe um ontrole u : [0;1) ! U tal quelimt!1 �(t;xo; u) = 0. /De�ni� ~ao 1.3.2 Seja X � Rn . O sistema (1.6) �e dito ontrol�avel assintoti amente para zeroem X om ontrole em U � Rm (abreviadamente ANC(X;U)2) se para qualquer xo 2 X,existe um ontrole u : [0;1)! U tal que limt!1 �(t;xo; u) = 0. Quando X = Rn , diz-se queo sistema (1.6) �e ontrol�avel assintoti amente para zero om ontrole em U � Rm . Remove-se a palavra assintoti amente quando for poss��vel levar o estado para zero em tempo �nito./De�ni� ~ao 1.3.3 Seja X � Rn . O sistema (1.6) �e dito ontrol�avel assintoti amente parazero em X om ontrole limitado (abreviadamente ANCBC(X) 3) se para qualquer � > 0e qualquer xo 2 X, existe um ontrole u : [0;1) ! Rm om ju(t)j � �; 8t � 0 tal quelimt!1 �(t;xo; u) = 0. Quando X = Rn , diz-se que o sistema (1.6) �e ontrol�avel assintoti- amente para zero om ontrole limitado (ANCBC). Remove-se a palavra assintoti amente(NCBC) quando for poss��vel levar o estado para zero em tempo �nito. /O seguinte lema mostra que as De�ni� ~oes 1.3.2 e 1.3.3 s~ao equivalentes quando X = Rn(SONTAG, 1984). Disto on lui-se que, do ponto de vista da ontrolabilidade assint�oti aglobal para zero, o limite na magnitude do sinal de ontrole �e irrelevante.Lema 1.3.4 O sistema (1.6) �e ANC(Rn ; U) se e somente se �e ANCBC. Æ2Do ingles, asymptoti ally null- ontrolable.3Do ingles asymptoti null- ontrolability with bounded ontrols

20 O Problema de Controle om Restri� ~oes nos AtuadoresA propriedadeANCBC pode ser ompletamente ara terizada em termos de propriedadesdo par (A;B), onforme olo a o lema a seguir (SONTAG, SUSSMANN, 1990, SCHMITEN-DORF, BARMISH, 1980).Lema 1.3.5 As seguintes a�rma� ~oes s~ao equivalentes:1. O sistema linear (A;B) �e ANCBC.2. O par (A;B) �e estabiliz�avel e spe (A) � C�, isto �e, nenhum autovalor de A possuiparte real estritamente positiva. ÆPara �ns de ompara� ~ao, note que, na ausen ia de satura� ~ao, a estabilizabilidade do par(A;B) �e ondi� ~ao ne ess�aria e su� iente para ontrolabilidade assint�oti a global para zero.De�ni� ~ao 1.3.6 Para o sistema (1.6), o onjuntoN TA (U) := fxo 2 Rn : 9t1 2 [0; T ℄ e u : [0; t1℄! U tais que �(t1;xo; u) = 0g (1.7)�e denominado dom��nio de ontrolabilidade para zero em tempo T < 1. O dom��nio de on-trolabilidade assint�oti a para zero de (1.6) �e o onjuntoNA(U) := fxo 2 Rn : 9u : [0;1)! U tal que limt!1�(t;xo; u) = 0g (1.8)/De�ni� ~ao 1.3.7 Para uma dada lei de ontrole u = k(x) e U � Rm , a regi~ao de fa tibilidade�e o onjunto fx 2 Rn : k(x) 2 Ug (1.9)Se a lei de ontrole �e linear (u = Kx) a regi~ao de fa tibilidade �e denominada de regi~ao delinearidade. /1.4 Restri� ~oes no Controle: ModelagemNo estudo de sistemas om restri� ~oes no ontrole e no estado s~ao em geral onsideradasduas lasses de restri� ~oes, a saber:

1.4. Restri� ~oes no Controle: Modelagem 211. Duras. Restri� ~oes que tem de ser satisfeitas. Usualmente, o projeto do ontrole de-ve garantir o atendimento �as restri� ~oes, o que, em ertos asos, pode ser uma tarefa omplexa (RAWLINGS, MUSKE, 1993);2. Brandas. Restri� ~oes que podem ser violadas. Usualmente, a viola� ~ao das restri� ~oes�e penalizada atrav�es de um ��ndi e de desempenho que deve ser minimizado (ZHENG,MORARI, 1995b).Restri� ~oes s~ao omumente representadas pelo onjunto de valores que as vari�aveis dosistema podem assumir. No ontexto de restri� ~oes no sinal de ontrole, s~ao omumenteen ontradas restri� ~oes do tipo (SHEWCHUN, FERON, 1997)�M i � ui(t) �M i;j _ui(t)j � Ri; i = 1; � � � ;m; t � 0 (1.10)Estas restri� ~oes de magnitude e taxa de varia� ~ao no sinal de ontrole podem tamb�em sermodeladas atrav�es de operadores n~ao-lineares. Restri� ~oes de magnitude no sinal de ontroles~ao usualmente representadas atrav�es de uma n~ao-linearidade tipo satura� ~ao, isto �e,us = �(u) = [�1(u1); � � � ; �m(um)℄ (1.11)onde �i(ui) = 8>><>>: M i ui �M iui �M i � ui �M i�M i ui � �M i (1.12)Uma hip�otese omum �e a de simetria das fun� ~oes satura� ~ao, isto �e, M i =M i =Mi. Neste aso4, as restri� ~oes de magnitude podem ser normalizadas em termos da fun� ~ao satura� ~aosat(ui) = minf1; juijgsgn(ui) na forma�i(ui) =Mi sat� uMi� (1.13)4Sem a hip�otese de simetria, o sistema resultante ser�a a�m, ao inv�es de linear, om respeito a entradasaturada.

22 O Problema de Controle om Restri� ~oes nos AtuadoresUma simpli� a� ~ao adi ional no modelo pode ainda ser introduzida rede�nindo-se o vetorde entrada omo ~u := � u1M1 ; � � � ; umMm �0 (1.14)Assim, �(u) = diagfM1; � � � ;Mmgsat(~u) e a matriz diagfM1; � � � ;Mmg pode ser in orporada �amatriz B do sistema, uniformizando e normalizando as fun� ~oes satura� ~ao em todos os anaisde entrada do sistema.A partir do modelo b�asi o da satura� ~ao (1.12), outras des ri� ~oes podem ser obtidas pararepresentar restri� ~oes de magnitude omo, por exemplo, os modelos polit�opi o e por re-gi~oes (TARBOURIECH, GARCIA, 1997, Gomes da Silva Jr., 1998), e o modelo por ondi� ~aode setor (HINDI, BOYD, 1998, PITTET et al., 1997). Ainda, diversos autores onsideramfun� ~oes satura� ~ao mais gen�eri as, sem exigir a existen ia de uma regi~ao de linearidade (LIUet al., 1996, LIN et al., 1996b).A representa� ~ao do efeito da limita� ~ao na taxa de varia� ~ao do sinal de ontrole �e mais omplexa que a limita� ~ao em magnitude e requer, al�em de n~ao-linearidades, um operador ommem�oria. A Tabela 1.1 resume os modelos mais utilizados5 na literatura (TEEL, 1994, LINet al., 1997, LAUVDAL, 1997, HESS, SNELL, 1997, LIN et al., 1999, BARBU et al., 1999,BARBU et al., 2000a). 1 _us = Rsat(u)2 _us = Rsat(u� Tr us)3 _us = Rsat(k(u� us))4 _us = Rsgn(u� us)Tabela 1.1: Modelos para taxa de varia� ~ao limitada no sinal de ontrole.Note-se que o primeiro modelo (Tabela 1.1) �e onsideravelmente arti� ial, uma vez que aentrada u passa a ser a derivada do sinal de ontrole, ao inv�es do ontrole em si.O quarto modelo (Tabela 1.1) produz omo sinal de sa��da us o pr�oprio sinal de entrada ulimitado em taxa de varia� ~ao no intervalo [�R;R℄, modelando efetivamente a limita� ~ao emtaxa de varia� ~ao. O modelo 3 onstitui uma aproxima� ~ao do quarto, om a vantagem de tero lado direito Lips hitz. Aproxima� ~oes mais suaves podem ser obtidas utilizando-se fun� ~oes5Muito embora, nesta se� ~ao, sejam onsiderados apenas sistemas ont��nuos, toda a formula� ~ao pode serfa ilmente desenvolvida tamb�em para o aso dis reto.

1.4. Restri� ~oes no Controle: Modelagem 23 omo, por exemplo, tangente hiperb�oli a.O modelo 2 onsidera que o atuador tem uma onstante de tempo Tr, a qual represen-ta o efeito da limita� ~ao em taxa de varia� ~ao. Note-se que os modelos 2 e 3 tem efeitos onsideravelmente diferentes, afora o aso trivial Tr = k = 1.Combinando-se a satura� ~ao em magnitude om os modelos para limita� ~ao em taxa devaria� ~ao obtem-se diversos modelos para o efeito onjunto de limita� ~ao em magnitude etaxa de varia� ~ao do sinal de ontrole. A Tabela 1.2 apresenta os modelos mais omumenteen ontrados na literatura (TEEL, 1994, LIN, 1998b, BARBU et al., 1999, BARBU et al.,2000a). 1 _xu = Rsat(u)us = satM (xu)2 _xu = Rsat(u� Tr xu)us = satM (xu)3 _us = Rsat(k(satM (u)� us))4 _us = Rsgn(satM (u)� us)Tabela 1.2: Modelos para magnitude e taxa de varia� ~ao limitadas no sinal de ontrole.Neste trabalho ser�a utilizado o modelo 4 da Tabela 1.2, ilustrado em diagrama de blo- os na Figura 1.1, omo modelo b�asi o para restri� ~oes de magnitude e taxa de varia� ~ao nosinal de ontrole. Esta es olha deve-se ao fato deste modelo ser onsistente om o seguinteentendimento do fenomeno ombinado de limita� ~ao em magnitude e taxa de varia� ~ao em umatuador. Para esta des ri� ~ao assume-se que us(0) 2 [�M; M ℄.se u(to) = us(to); ju(t)j �M; j _u(t)j � R; 8t 2 [to; t1), ent~ao us(t) = u(t); 8t 2 [to; t1)se u(t) = us(t); jus(t)j < M; _u(t) � R ent~ao _us(t) = R sgn( _u(t))se u(t) > us(t); �M � us(t) < M ent~ao _us(t) = Rse u(t) < us(t); �M < us(t) �M ent~ao _u(t) = �Rse u(t) > us(t) �M ent~ao us(t) =M e _us(t) = 0se u(t) < us(t) � �M ent~ao us(t) = �M e _us(t) = 0se u(t) = us(t); jus(t)j =M; sgn(us(t) _u(t)) � 0 ent~ao _us(t) = satR( _u(t))

24 O Problema de Controle om Restri� ~oes nos AtuadoresR R- - - - - -6u usM �Figura 1.1: Diagrama de blo os do modelo de limita� ~ao em magnitude e taxa de varia� ~ao nosinal de ontrole.De todos os itens, apenas o primeiro are e de prova mais formal, a qual �e parte doseguinte lema (BARBU et al., 2000b).Lema 1.4.1 Seja � : R ! R uma fun� ~ao absolutamente ont��nua satisfazendo j�(t)j �M; 8t � 0 e j _�(t)j � R para quase todo t em [0; 1). O problema de valor ini ial_� 2 R SGN�M sat� �M �� �� (1.15)�(0) = �(0) (1.16)onde SGN(x) := 8>><>>: 1; if x > 0�1; if x < 0[�1; 1℄ if x = 0: (1.17)possui omo �uni a solu� ~ao �(t) = �(t) em [0;1).Prova: Como a fun� ~ao multivalor6 SGN : R ! 2R �e semi ont��nua por ima7 e tem valoresn~ao vazios, ompa tos e onvexos para ada x 2 R, segue de (FILIPPOV, 1988, Teorema 1,pg. 77) que existe pelo menos uma solu� ~ao. Como o lado direito de (1.15) �e uniformementelimitado, ada solu� ~ao �e de�nida em [0; 1). Seja � uma solu� ~ao qualquer de (1.15) de�nidaem [0; 1) e seja e := � � �. Ent~ao, e(0) = 0 e, da equa� ~ao (1.15), segue que_e 2 �R SGN(e)� _�; para quase todo t em [0; 1); (1.18)6Uma fun� ~ao multivalor F , denotada por F : R ! 2R, �e uma fun� ~ao que asso ia ada valor de x do dom��nioa um sub onjunto de R, isto �e, a imagem �e um sub onjunto de R (ou um elemento de 2R).7Uma fun� ~ao multivalor F �e semi ont��nua por ima em x se para ada � > 0, existe Æ > 0 tal que jx�yj � Æimpli a F (y) � F (x) + �B, onde B = fx 2 Rn : jxj � 1g e a soma de dois onjuntos S1 e S2 �e de�nida omoS1 + S2 = fx + y : x 2 S1; y 2 S2g. A fun� ~ao multivalor F �e dita semi ont��nua por ima se for semi ont��nuapor ima em todo ponto do dom��nio.

1.5. Restri� ~oes no Controle: Efeitos 25Como, por hip�otese, j _�(t)j � R, vale que para quase todo t 2 [0; 1),12 d(e e)dt = e _e= e (�R sgn(e) � _�)� �Rjej+Rjej = 0;onde a fun� ~ao sgn(x) �e o sinal x para x 6= 0 e de�nida arbitrariamente, dentro do intervalo[�1; 1℄, em x = 0.Assim, e2(0) = 0 e d(e2)dt � 0 para quase todo t. O resultado ent~ao segue apli andoteoremas de ompara� ~ao (KHALIL, 1996). ÆO efeito da restri� ~ao em taxa de varia� ~ao do sinal de ontrole tamb�em pode ser visto omouma restri� ~ao no estado. De�nindo a nova entrada u e aumentando o estado do sistema omo novo estado us determinado por _us = u; (1.19)as restri� ~oes jusj �M e j _usj � R podem ser rees ritas omo juj � R e jusj �M , esta �ultima onsistindo em uma restri� ~ao no estado aumentado (x; us).Para sistemas de tempo dis reto, a restri� ~ao em taxa de varia� ~ao �e simples de ser mode-lada, onsistindo apenas em uma limita� ~ao na norma da diferen� a [u(k) � u(k � 1)℄.1.5 Restri� ~oes no Controle: EfeitosPara o sistema (1.6) a estabilizabilidade lo al �e equivalente a estabilizabilidade do par(A;B). Contudo, n~ao �e verdade, em geral, que para K tal que A + BK �e Hurwitz, tem-se(1.6) globalmente est�avel om u = Kx. Com efeito, mostra-se que mesmo uma adeia de 3integradores ( om satura� ~ao no ontrole) n~ao �e estabiliz�avel globalmente por meio de umarealimenta� ~ao linear de estados (FULLER, 1969, SUSSMANN, YANG, 1991).O seguinte lema formaliza a rela� ~ao existente entre a estabilizabilidade de (1.6) oma propriedade ANCBC e om propriedades do par (A;B) (SONTAG, SUSSMANN, 1990,SCHMITENDORF, BARMISH, 1980).Lema 1.5.1 As seguintes a�rma� ~oes s~ao equivalentes:1. O sistema linear (A;B) �e ANCBC.

26 O Problema de Controle om Restri� ~oes nos Atuadores2. O sistema (1.6) �e globalmente assintoti amente estabiliz�avel om ontrole limitado, isto�e, om ju(t)j �M para algum M > 0 independente da ondi� ~ao ini ial.3. O par (A;B) �e estabiliz�avel e spe (A) � C�. ÆNote-se que, omo onseq�uen ia do Lema 1.5.1, se a estabiliza� ~ao global �e poss��vel, ent~aoela �e poss��vel para qualquer limite na magnitude do sinal de ontrole. As ondi� ~oes doLema 1.5.1 n~ao garantem, ontudo, que a lei de ontrole estabilizante seja uma realimenta� ~aolinear de estados. De fato, em geral, a estabiliza� ~ao global de (1.6) �e obtida om realimenta� ~aon~ao-linear de estados (SONTAG, SUSSMANN, 1990, TEEL, 1992, SUSSMANN et al., 1994,TEEL, 1996a, MEGRETSKI, 1996). Tamb�em, omo resultado do lema, a estabiliza� ~ao globalde (1.6) �e imposs��vel se A ont�em algum autovalor om parte real estritamente positiva.Esta quest~ao �e melhor formalizada no lema a seguir (SCHMITENDORF, BARMISH, 1980,SONTAG, SUSSMANN, 1990, ZHENG, MORARI, 1995a)Lema 1.5.2 Seja 0�24 Au 00 As 35 ;24 BuBs 351A uma de omposi� ~ao do par (A;B) om As 2Rns�ns e tal que Au ont�em todos (e somente) os autovalores de A om parte real estritamentepositiva. Ent~ao, NAu(U) (veja De�ni� ~ao 1.3.6) �e limitado eNA(U) = NAu(U)�Rns ÆLogo, omo resultado do Lema 1.5.2, o dom��nio de ontrolabilidade para zero �e semprelimitado no subespa� o orrespondente aos autovalores om parte real positiva. Portanto, aestabiliza� ~ao global n~ao �e poss��vel para sistemas que ontenham modos inst�aveis.Por outro lado, a estabiliza� ~ao lo al sempre �e poss��vel, mesmo om realimenta� ~ao linearde estados. Desde que U ontenha a origem omo ponto interior, para qualquer K tal queA+BK seja Hurwitz, o onjunto O1(A+BK;K;U) ont�em uma vizinhan� a da origem doRn .A adi� ~ao de restri� ~oes na taxa de varia� ~ao do sinal de ontrole ontribui para restringirainda mais o dom��nio de ontrolabilidade para zero. Apesar disto, a adi� ~ao de restri� ~oes detaxa de varia� ~ao n~ao modi� a as ondi� ~oes para estabilizabilidade global do sistema, onforme olo a o seguinte resultado (SHEWCHUN, FERON, 1997).

1.5. Restri� ~oes no Controle: Efeitos 27Lema 1.5.3 Sejam M > 0 e R > 0. Ent~ao o sistema (1.6) �e globalmente assintoti amenteestabiliz�avel om ju(t)j �M e j _u(t)j � R se e somente se1. o par (A;B) �e estabiliz�avel;2. nenhum autovalor de A possui parte real estritamente positiva. ÆNa presen� a de modos inst�aveis no sistema, a adi� ~ao da restri� ~ao em taxa de varia� ~ao ontribui sensivelmente na redu� ~ao do dom��nio de ontrolabilidade para zero do sistema.Neste aso, o dom��nio de ontrolabilidade para zero deve ser entendido no espa� o de estadosaumentado (x; us) e o valor ini ial do sinal de ontrole us(0) passa ent~ao a interferir naestabilizabilidade do sistema.A Figura 1.2 faz uma ompara� ~ao entre os dom��nios de ontrolabilidade para zero para osistema de primeira ordem _x = x+ us nos asos em que us �e limitado apenas em magnitude(jusj � 1) e us �e limitado tanto em magnitude omo em taxa de varia� ~ao (jusj � 1; j _usj �1). Pode-se notar a redu� ~ao onsider�avel no dom��nio de ontrolabilidade para zero om aintrodu� ~ao da limita� ~ao em taxa de varia� ~ao no ontrole.

−1 −0.5 0 0.5 1

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

PSfrag repla ementsx

usFigura 1.2: Efeito da limita� ~ao em taxa de varia� ~ao no ontrole sobre o dom��nio de ontrola-bilidade para zero do sistema _x = x+ us. Somente om limita� ~ao em magnitude (tra ejada); om limita� ~ao em magnitude e taxa de varia� ~ao (s�olida); variedade de equil��brio (pontilhada).

28 O Problema de Controle om Restri� ~oes nos AtuadoresNota 1.5.4 O efeito da limita� ~ao em taxa de varia� ~ao do sinal de ontrole pode ser interpre-tado omo um atraso de fase introduzido na malha de ontrole, pois onsiste em uma limita� ~aoda velo idade de transferen ia do sinal de ontrole para a entrada efetiva do sistema. Estainterpreta� ~ao baseia-se na obten� ~ao da fun� ~ao des ritiva do modelo que des reve a limita� ~aoem taxa de varia� ~ao e permite o projeto de ompensadores lo ais baseados em interpreta� ~oesheur��sti as dos fenomenos envolvidos (RUNDQWIST, HILLGREN, 1996). ?1.6 Coment�arios Con lusivosA presen� a de satura� ~ao no ontrole onstitui um obst�a ulo importante na estabiliza� ~aode sistemas. No ontexto de sistemas lineares, a estabiliza� ~ao global s�o �e poss��vel se o sistemaem malha aberta n~ao possuir autovalores om parte real positiva, al�em do requisito usual deestabilizabilidade do par (A;B). Na presen� a de modos exponen ialmente inst�aveis no siste-ma em malha aberta, o dom��nio de ontrolabilidade para zero resulta limitado nas dire� ~oes orrespondentes a estes modos, e a estabiliza� ~ao global torna-se imposs��vel.Um ponto importante �e que a adi� ~ao da restri� ~ao em taxa de varia� ~ao ao sinal de on-trole n~ao modi� a as ondi� ~oes para estabilizabilidade global. Logo, se um sistema linear �eestabiliz�avel globalmente om ontrole limitado em magnitude, tamb�em o ser�a om ontrolelimitado tanto em magnitude quanto em taxa de varia� ~ao. Contudo, no aso de sistemaslineares inst�aveis em malha aberta, a restri� ~ao adi ional de taxa de varia� ~ao impli a em umaredu� ~ao no dom��nio de ontrolabilidade para zero.A estabiliza� ~ao global de sistema lineares om restri� ~oes no ontrole s�o �e poss��vel, no asogeral, por meio de um ontrole n~ao-linear. Neste trabalho s~ao estudadas leis de ontrole n~ao-lineares apli adas ao problema de ontrole de sistemas lineares e n~ao-lineares om restri� ~oesno ontrole.

Cap��tulo 2Estabiliza� ~ao de Sistemas Lineares om Satura� ~ao no Controle2.1 Introdu� ~aoNeste ap��tulo s~ao abordados sistemas lineares om satura� ~ao no ontrole do ponto de vistado problema de estabiliza� ~ao. O ap��tulo faz uma s��ntese das diversas t�e ni as de ontrolepara estes sistemas que objetivam a estabiliza� ~ao da origem (no sentido de Lyapunov) e, on omitantemente, �e apresentada uma ontribui� ~ao �a solu� ~ao deste problema ujas prin ipaispropriedades s~ao:1. Garante estabilidade assint�oti a global sempre que esta �e poss��vel;2. Garante estabilidadeL2 de uma entrada de perturba� ~ao para o estado e sinal de ontrole.3. Na ausen ia de perturba� ~ao, apresenta desempenho superior omparada a t�e ni as si-milares propostas na literatura no que tange �a velo idade de onvergen ia do estadopara a origem.Esta ontribui� ~ao onsiste em uma nova metodologia para es alonamento da lei de ontroleparametrizada �B0P (�)x obtida a partir da solu� ~ao da equa� ~ao alg�ebri a de Ri ati parame-trizada em �.O ap��tulo �e organizado da seguinte forma. Primeiramente s~ao apresentadas as prin ipaist�e ni as de projeto para estabiliza� ~ao semi-global e global para estes sistemas, fo alizando aestrat�egia de projeto baseada na solu� ~ao parametrizada da equa� ~ao de Ri ati. Em seguida �e

30 Estabiliza� ~ao de Sistemas Lineares om Satura� ~ao no Controleapresentada a ontribui� ~ao j�a men ionada, abordando-se tamb�em aspe tos de robustez. Doisexemplos de apli a� ~ao da t�e ni a proposta s~ao tamb�em in lu��dos ilustrando suas prin ipaispropriedades de desempenho. Por �m s~ao apresentadas as provas dos teoremas envolvidos eas onsidera� ~oes �nais.Considere o sistema linear om satura� ~ao nos atuadores_x = Ax+Busus = �(u) (2.1)onde x 2 Rn , u 2 Rm , e �(�) �e a fun� ~ao satura� ~ao des entralizada,�(u) = [�1(u1); � � � ; �m(um)℄0 (2.2)e �i(ui) = satM (ui), M > 0 sendo uma onstante. Por simpli idade, assume-se �(�) sim�etri ae o mesmo n��vel de satura� ~ao para todos os anais de entrada.A se� ~ao 1.5 apresenta diversas propriedades sobre a estabilizabilidade do sistema (2.1).Entre elas, est�a a propriedade ANCBC omo ondi� ~ao ne ess�aria e su� iente para a estabiliza-bilidade global de (2.1). Como, ao longo deste ap��tulo lida-se om a quest~ao da estabiliza� ~aoglobal, esta hip�otese ser�a onsiderada v�alida.2.2 Estabiliza� ~ao SemiglobalConforme olo ado na se� ~ao 1.5, a realimenta� ~ao linear de estados n~ao permite, em geral, aestabiliza� ~ao global de (2.1). Contudo, �e poss��vel obter-se regi~oes de atra� ~ao arbitrariamentelargas utilizando realimenta� ~ao linear de estados om \ganhos pequenos". A onstru� ~aodestas leis de ontrole utiliza-se de propriedades da equa� ~ao de Ri ati estabele idas no lemaa seguir (veja (TEEL, 1995b) para uma prova). O lema �e apresentado de forma mais detalhadaque o ne ess�ario para esta se� ~ao, por�em o intuito �e de utilizar este resultado posteriormenteneste ap��tulo.Lema 2.2.1 Seja Q : [1;1) ! Rn�n uma fun� ~ao matri ial ontinuamente diferen i�avel etal que lim�!1Q(�) = 0 e, para todo � 2 [1; 1),Q(�) = Q0(�) > 0; �Q�� (�) < 0 (2.3)

2.2. Estabiliza� ~ao Semiglobal 31Ent~ao, para o sistema (2.1), existe uma fun� ~ao matri ial ontinuamente diferen i�avelP (�) satisfazendo, para todo � 2 [1; 1),A0P (�) + P (�)A� P (�)BB0P (�) +Q(�) = 0 (2.4)P (�) = P 0(�) > 0; �P�� (�) < 0 (2.5)lim�!1 P (�) = Po � 0 (2.6)Adi ionalmente, se (2.1) for ANCBC, ent~ao Po = 0. ÆClaramente, na ausen ia de satura� ~ao, a lei de ontroleu = �B0P (�)x (2.7)estabiliza o sistema (2.1) para qualquer valor de �. Na presen� a de satura� ~ao, ontudo,o parametro � �e utilizado para ajustar o \ganho" da realimenta� ~ao, ontrolando assim amagnitude do sinal de ontrole, omo estabele e o teorema a seguir (TEEL, 1995b, SABERIet al., 1996b).Teorema 2.2.2 Assuma que (2.1) �e ANCBC. Para qualquer onjunto ompa to Xo � Rm ,existe �� 2 [1;1) tal que para qualquer � 2 [��;1) a origem de (2.1), (2.7) �e exponen ial-mente est�avel e a regi~ao de atra� ~ao ont�em Xo.A prova deste resultado �e apresentada por eviden iar aspe tos onstrutivos e propriedadesimportantes para o restante do ap��tulo. A prova �e adaptada de (TEEL, 1995b) utilizandoos resultados de (MEGRETSKI, 1996).Prova: Considere a fam��lia de onjuntos elipsoidaisS�( ) := fx 2 Rn : Tr(B0P (�)B)x0P (�)x � 2g (2.8)Como onseq�uen ia do fato de �P�� (�) < 0, a fam��lia de elips�oides S�( ) possui a importantepropriedade de ser on entri a, isto �e, para qualquer > 0 �xo,�1 < �2 ) S�1( ) � S�2( )

32 Estabiliza� ~ao de Sistemas Lineares om Satura� ~ao no ControleSeja, �� := min� f� 2 [1;1); Xo � S� (M)g (2.9)(2.10)A existen ia de �� �nito �e garantida pela propriedade ANCBC de (2.1), pois, neste aso,P (�)! 0 quando � !1. Logo, para qualquer � 2 [��;1), tem-sex 2 S� (M)) juj = jB0P (�)xj �M (2.11)pois, jB0P (�)xj2 � jB0P 1=2(�)j2jP 1=2(�)xj2 � Tr(B0P (�)B)x0P (�)x (2.12)Seja � 2 [��;1). Para provar a estabilidade exponen ial onsidere a fun� ~ao quadr�ati a andidata V (x) = x0P (�)x. Sua derivada ao longo das trajet�orias de (2.1), (2.7) ontidas emS� (M) resulta, usando (2.11) e (2.4),_V = x0(A0P (�) + P (�)A)x+ 2x0P (�)B �(�B0P (�)x) (2.13)= x0 �A0P (�) + P (�)A� 2P (�)BB0P (�)� x (2.14)� �x0Q(�)x (2.15)de onde o resultado do teorema segue. �Nota 2.2.3 Uma forma alternativa para onstru� ~ao da fam��lia de elips�oides (2.8) po-de ser en ontrada, por exemplo, em (WREDENHAGEN, BELANGER, 1994, SUAR�ESet al., 1997). Embora omputa ionalmente mais omplexa, ela �e menos onservativa no sen-tido que onstr�oi o maior elips�oide ontido na regi~ao de linearidade do ontrole.2.2.1 DesempenhoO ontrole proposto no Teorema 2.2.2 �e inerentemente de baixo ganho, isto �e, o ganho �ereduzido o su� iente para que a regi~ao de interesse Xo esteja ontida na regi~ao de opera� ~aolinear do sistema. Quanto maior o dom��nio de estabilidade desejado Xo, menor ser�a o ganhodo ontrole. O uso de ontrole de baixo ganho freq�uentemente �e asso iado a respostas lentasou de baixo desempenho dinami o. Assim, uma alternativa que possivelmente melhoraria odesempenho do sistema em malha fe hada seria utilizar ganhos mais elevados no ontrole,

2.2. Estabiliza� ~ao Semiglobal 33espe ialmente em torno da origem, quando a magnitude do estado j�a �e relativamente pequena.Uma primeira ontribui� ~ao nesta dire� ~ao �e proposta em (SABERI et al., 1996b). O ontroleproposto, denominado ontrole de alto e baixo ganho, �e dado poru = �(1 + k)B0P (�)x (2.16)onde k �e qualquer onstante positiva. Este ontrole explora a margem de ganho do ontroleLQR (2.7). O ajuste de k n~ao afeta a estabilidade, sendo, portanto, somente para melhoraro desempenho do sistema.Uma abordagem mais elaborada �e apresentada em (WREDENHAGEN, BELANGER,1994), onsistindo em um ontrole LQR linear por partes. Dada a regi~ao de interesse Xo, �egerada uma seq�uen ia �nita �i; i = 1; � � � ; r, om1 = �1 < �2 < � � � < �r = ��da qual obt�em-se a fam��lia de ontroles ki(x; �i) = �B0P (�i)x; i = 1; � � � ; r e de elips�oides 1S�1 (M) � S�2 (M) � � � � � S�r (M) (2.17)Por onstru� ~ao, tem-se que Xo � S�r (M) ex 2 S�i (M)) jki(x; �i)j �M; i = 1; � � � ; rTamb�em, todos os onjuntos S�i (M) s~ao positivamente invariantes (prova similar ao Teore-ma 2.2.2). Como onseq�uen ia, o seguinte algoritmo de ontrole linear por partes garante asmesmas propriedades de estabilidade do Teorema 2.2.2 om o poss��vel a r�es imo do desem-penho devido �a apli a� ~ao de ganho mais elevado. A medida que o estado onverge para zero,ganhos ada vez maiores s~ao apli ados at�e o limite k�1(x; �1). O haveamento �e seguro, isto�e, n~ao h�a possibilidade de o orren ia de haveamentos de alta freq�uen ia, pois baseia-se em onjuntos positivamente invariantes.1. Dado xo 2 Xo, determinar o menor ��ndi e j 2 [1; r℄ tal que xo 2 S�j (M).2. Apli ar o ontrole linear u = kj(x; �j);1No trabalho original (WREDENHAGEN, BELANGER, 1994), os elips�oides s~ao onstru��dos de formamenos onservativa. Optou-se pela onstru� ~ao simpli� ada devido ao en adeamento om o texto subseq�uente.

34 Estabiliza� ~ao de Sistemas Lineares om Satura� ~ao no Controle3. Quando x(t) 2 S�j�1 (M), apli ar o ontrole u = kj�1(x; �j�1);4. Repetir o passo anterior at�e atingir u = k�1(x; ��1)2.3 Estabiliza� ~ao GlobalA estabiliza� ~ao semiglobal desenvolvida na se� ~ao 2.2 utilizou-se de realimenta� ~ao linearde estados. Contudo, em geral, a estabiliza� ~ao global requer realimenta� ~ao n~ao-linear deestados (SONTAG, SUSSMANN, 1990, TEEL, 1992, SUSSMANN et al., 1994, TEEL, 1996a,MEGRETSKI, 1996).Uma abordagem para estabiliza� ~ao global de (2.1) utiliza-se de um aninhamento defun� ~oes satura� ~ao (TEEL, 1992, SUSSMANN et al., 1994, TEEL, 1996a). Nesta aborda-gem, ontudo, � a dif�� il garantir requisitos de desempenho lo al para o sistema em malhafe hada. Esta abordagem n~ao ser�a dis utida em detalhes neste trabalho. Para o leitor inte-ressado sugerem-se as referen ias itadas.Por outro lado, a lei de ontrole parametrizada (2.7) possui inerentemente as propriedadesde desempenho do regulador linear quadr�ati o, permitindo estabele er fa ilmente o desem-penho lo al desejado. Contudo, obt�em-se apenas estabilidade semiglobal, e, �a medida que odom��nio de estabilidade desejado �e aumentado, tamb�em perde-se em desempenho devido �aredu� ~ao do ganho ne ess�aria para garantir opera� ~ao do sistema na regi~ao linear da satura� ~ao.Uma abordagem natural para usufruir do desempenho lo al da lei de ontrole parametri-zada (2.7) e ao mesmo tempo obter estabilidade global �e variar � em fun� ~ao da evolu� ~ao do es-tado do sistema, isto �e, efetuar um es alonamento de ganho 2 om o parametro �. Abordagensneste sentido podem ser en ontradas em (TEEL, 1995a, MEGRETSKI, 1996, LIN, 1998a, RE-GINATTO et al., 2000b).Os prin ipais elementos do es alonamento de ganho s~ao: o parametro a ser es alonado;a informa� ~ao utilizada para tal; e o me anismo utilizado para o es alonamento. No presente aso, a parametro es alonado �e �, enquanto a informa� ~ao e o me anismo podem ser variados,resultando em omportamentos diversos para o sistema em malha fe hada.2Ser�a utilizada esta terminologia para referir-se �a t�e ni a gain s heduling.

2.3. Estabiliza� ~ao Global 352.3.1 Es alonamento baseado em onjuntos elipsoidaisA estrat�egia apresentada em (MEGRETSKI, 1996, LIN, 1998a) determina o parametro � omo resultado de um problema de otimiza� ~ao que emprega as propriedades de on entri i-dade dos elips�oides S�( ) (eq. 2.8). Sejam,R(x) := min� f� 2 [1;1) : Tr(B0P (�)B)x0P (�)x �M2g (2.18)e a lei de ontrole uR(x) := �B0P (R(x))x (2.19)O resultado a seguir (MEGRETSKI, 1996) resume as propriedades da lei de ontrole(2.19) em malha fe hada om (2.1).Teorema 2.3.1 A fun� ~ao uR(x) �e globalmente Lips hitz. O equil��brio x = 0 do sistema (2.1)em malha fe hada om (2.19) �e GAS. �Note-se que o problema de otimiza� ~ao (2.18) sempre tem solu� ~ao, pois P (�)! 0 quando� ! 1. Ainda, ne essariamente, R(x) ! 0 �a medida que jxj ! 1, pois P (�) �e semprepositiva de�nida. Nisto transpare e a id�eia entral do es alonamento, isto �e, utilizar ganhopequeno quando o estado est�a longe da origem e utilizar ganho maior �a medida que o estadose aproxima da origem.Como resultado da minimiza� ~ao em (2.18), R(x) �e tal que sempre se veri� aTr(B0P (R(x))B)x0P (R(x))x =M2; 8x 6= 0Por outro lado, Tr(B0P (�)B)x0P (�)x �M2 ) (2.20)jP 1=2(�)Bj jP 1=2(�)xj �M ) (2.21)jB0P (�)xj �M (2.22)Logo, o algoritmo de es alonamento garante que o sistema em malha fe hada opera sempre naregi~ao linear da satura� ~ao. Mais pre isamente, para ada valor de x, � �e es olhido de formaque o estado x perten� a a um elips�oide ontido na regi~ao de linearidade da lei de ontrole(2.19). A fun� ~ao minimizada introduz erta onservatividade na obten� ~ao de tal elips�oide.

36 Estabiliza� ~ao de Sistemas Lineares om Satura� ~ao no ControleUma formula� ~ao menos onservativa, possivelmente om maior ne essidade omputa ional,pode ser en ontrada em (SUAR�ES et al., 1997).Nota 2.3.2 A margem de ganho da lei de ontrole LQR pode ser explorada para permitirum erto n��vel de satura� ~ao do sinal de ontrole. Isto pode ser obtido substituindo-se M em(2.18) por qualquer valor entre M e 2M . Outra alternativa (LIN, 1998a) �e utilizar a t�e ni ade alto e baixo ganho.Note que se o algoritmo de es alonamento for interrompido no estado x 2 Rn passando osistema em malha fe hada a operar om � = � := R(x), resulta que o onjuntofx : Tr(B0P (�)B)x0P (�)x �M2g�e positivamente invariante para o sistema em malha fe hada (2.1), (2.19), e que o estado onverge para zero exponen ialmente om o sistema operando sempre na regi~ao linear da sa-tura� ~ao. Este fato, aliado ao fato da fun� ~ao Tr(B0P (�)B)x0P (�)x ser mon�otona em �, resultaem que o parametro es alonado � �e mon�otono ao longo do tempo ou, mais pre isamente, �e de- res ente omo fun� ~ao do tempo. Este aspe to da monotoni idade aliado ao uso de elips�oides�e que pare e introduzir onservatividade a este algoritmo e que ser�a tamb�em analisado emmais detalhes junto om a ontribui� ~ao apresentada a seguir.2.3.2 Es alonamento baseado no sinal de ontroleA ontribui� ~ao apresentada nesta se� ~ao objetiva reduzir a onservatividade do algoritmode es alonamento (2.18)-(2.19) e om isto melhorar o desempenho do sistema em malhafe hada, prin ipalmente em rela� ~ao a velo idade de onvergen ia do estado para zero.Ao inv�es de utilizar regi~oes elipsoidais que induzem a opera� ~ao linear do sistema em malhafe hada para guiar o es alonamento, o algoritmo proposto utiliza-se diretamente da magnitudedo sinal de ontrole, isto �e, jB0P (�)xj. Com isto pretende-se reduzir a onservatividade naestimativa da regi~ao de opera� ~ao linear do sistema, permitindo assim a utiliza� ~ao de ganhosmais elevados. A Figura 2.1 ilustra a onservatividade da estimativa elipsoidal da regi~ao delinearidade.Como � ar�a laro posteriormente, o algoritmo de es alonamento proposto admite que oparametro � seja n~ao-mon�otono ao longo do tempo, sendo este outro ponto de poss��vel ganhode desempenho em rela� ~ao ao algoritmo (2.18)-(2.19).

2.3. Estabiliza� ~ao Global 37PSfrag repla ements EstimativaElipsoidal Regi~aoLinear

Figura 2.1: Regi~ao de linearidade versus estimativa elipsoidal.Para introduzir o algoritmo de es alonamento, onsidere as seguintes de�ni� ~oes(REGINATTO et al., 2000a, REGINATTO et al., 2000b, REGINATTO et al., 2000 ):De�ni� ~ao 2.3.3 Considere o sistema (2.1) e o resultado do Lema 2.2.1.1. Sejam � 2 (0; 1), 0 < � < � � 2M e � 2 [0; minf1; (2M � �)=�g℄ onstantes reais.De�na N(�) := �Q(�) + �P (�)BB0P (�) (2.23)v(x; �) := jB0P (�)xj (2.24)��(x) := minf� 2 [1; 1) tal que v(x; �) � �g (2.25)2. Seja W : R�0 ! [0; 1℄ uma fun� ~ao lo almente Lips hitz e que satisfazW (s) = 1; 0 � s � �=2W (s) = 0; s � � (2.26)3. Seja r : R � Rn ! R>0 uma fun� ~ao lo almente Lips hitz e que satisfaz�r(�; x)x0 �P (�)�� x � x0N(�)x; 8(�; x) 2 [1;1)� fRn � f0gg (2.27)/

38 Estabiliza� ~ao de Sistemas Lineares om Satura� ~ao no ControleO algoritmo de es alonamento proposto (REGINATTO et al., 2000b, REGINATTO et al.,2000 ) onsiste em um operador G(�(0); x(t); v(x(t)); �(t)); om �(0) = ��(x(0)), que forne e o valor de �(t) de a ordo om�(t) = min �;� 2 [�(t�); 1)v(x(t); �) � � se v(x(t); �(t)) � � (2.28)_�(t) = � sat(k (�(t)� 1)) r(�(t); x(t))W ( v(x(t); �(t)) ); aso ontr�ario (2.29)onde k �e uma onstante positiva (parametro de projeto) e �(t�) := lim�!t� �(�).O seguinte resultado estabele e as propriedades de estabilidade do sistema em malhafe hada (2.1, 2.7) om o algoritmo de es alonamento de ganho (2.28, 2.29) (REGINATTOet al., 2000b, REGINATTO et al., 2000 ).Teorema 2.3.4 Assuma que (2.1) �e ANCBC. Sejam P (�) e Q(�) onforme o Lema 2.2.1e onsidere a nota� ~ao introduzida na De�ni� ~ao 2.3.3. Ent~ao, o sistema (2.1) om a lei de ontrole (2.7) e o algoritmo de es alonamento (2.28, 2.29) �e tal que x = 0 �e lo almenteexponen ialmente est�avel e globalmente assintoti amente est�avel. Adi ionalmente, �(t) ! 1a medida que t!1. �A prova deste resultado (veja tamb�em (REGINATTO et al., 2000 )) est�a apresentada nase� ~ao 2.7, ao �nal deste ap��tulo, para o aso mais geral de sistemas sujeitos a perturba� ~oesexternas onsiderados na se� ~ao 2.4. No que segue, s~ao apresentadas a fun ionalidade e asprin ipais propriedades do algoritmo de es alonamento proposto.Fun ionalidade e propriedades do algoritmo de es alonamento de ganhoO algoritmo de es alonamento tem a natureza de um sistema h��brido �a medida que adinami a de �(t) �e dada ora por (2.28), ora por (2.29). As transi� ~oes de uma dinami a paraoutra s~ao determinadas pelo valor da fun� ~ao v(x; �), a qual depende do estado x e do pr�oprioparametro de es alonamento �. O valor da fun� ~ao v orresponde a uma medida da magnitudedo sinal de ontrole, �B0P (�)x, aqui tomada omo sendo a norma Eu lidiana. Assim, o

2.3. Estabiliza� ~ao Global 39algoritmo de es alonamento �e diretamente guiado pela magnitude do sinal de ontrole, omorepresentado pela fun� ~ao v(x; �).Como a lei de ontrole (2.7) tamb�em depende de �, o algoritmo de es alonamento(2.28, 2.29) �e de�nido, na verdade, de forma impl�� ita em �(t). A explana� ~ao a seguir objetivaelu idar esta quest~ao, mostrando que o algoritmo �e de fato bem de�nido, ao mesmo tempoque des reve a fun ionalidade do algoritmo.Fun ionalidade do algoritmo: Quando o sinal de ontrole (2.7) �e de magnitude pequena(v(x(t); �(t)) < �), o parametro de es alonamento �(t) �e dado por (2.29). Como r e W s~aon~ao-negativas, �(t) �e n~ao- res ente ao longo do tempo. Em parti ular, �(t) �e estritamentede res ente sempre que v(x(t); �(t)) < �. A fun� ~ao satura� ~ao passa a ter efeito quando �(t)�e pr�oximo de seu valor nominal, 1, for� ando a existen ia do equil��brio � = 1. Embora Wseja nula para v(x(t); �(t)) � � impli ando que _�(t) = 0, n~ao �e dif�� il veri� ar que esta n~ao �euma ondi� ~ao de equil��brio para o sistema em malha fe hada. Portanto, quando a magnitudedo sinal de ontrole �e pequena, o parametro de es alonamento �e n~ao- res ente e onvergentepara seu valor nominal 1. Nesta fase do algoritmo, denominada re upera� ~ao, o ganho da leide ontrole (2.7) �e aumentado em dire� ~ao ao seu valor nominal.Por outro lado, para valores maiores da magnitude do sinal de ontrole, o parametro �(t)passa a ser obtido de (2.28). Esta fase �e denominada de bus a e objetiva reduzir o \ganho"do ontrole tanto quanto ne ess�ario para garantir que o sinal de ontrole n~ao ultrapasse ovalor m�aximo permitido, omo espe i� ado pela ondi� ~ao v(x; �) � �. Esta garantia �e obtidado problema de minimiza� ~ao em (2.28) o qual assegura v(x(t); �(t)) � � para todo t. Isto�e poss��vel porque lim�!1 P (�) = 0 de forma que, para qualquer x 2 Rn sempre �e poss��velen ontrar um �, su� ientemente grande, tal que v(x; �) = �. Esta ondi� ~ao, a igualdadev(x(t); �(t)) = �, �e que de fato �e garantida sempre que (2.28) est�a ativa.Note que �(t) �e n~ao-de res ente omo resultado do problema de minimiza� ~ao (2.28). Estapropriedade aliada ao limite � na magnitude do sinal de ontrole s~ao fundamentais para agarantia de estabilidade do sistema em malha fe hada. Por outro lado, o interesse no m��nimovalor de � satisfazendo (2.28) vem do interesse em n~ao utilizar um \ganho" menor do que one ess�ario.Como v(x; �) n~ao �e ne essariamente mon�otona, omo fun� ~ao de �, a exigen ia de que �(t)seja n~ao-de res ente em (2.28) pode levar a des ontinuidades no parametro de es alonamento.Contudo, tais des ontinuidades em �(t) n~ao ausam des ontinuidades em v(x(t); �(t)) ( omo

40 Estabiliza� ~ao de Sistemas Lineares om Satura� ~ao no Controlefun� ~ao do tempo), pela pr�opria de�ni� ~ao do problema de minimiza� ~ao. Assim, o sinal de ontrole (2.7) n~ao �e ne essariamente des ont��nuo em tais pontos. Por exemplo, no asoes alar, a ontinuidade de v(x(t); �(t)) omo fun� ~ao do tempo garante a ontinuidade deu(t) = �B0P (�(t))x(t). No aso geral, pode-se mostrar que os pontos de des ontinuidadede �(t) s~ao isolados e existe apenas um n�umero �nito deles em qualquer intervalo de tempolimitado (veja a prova do Teorema th:s hedpert na se� ~ao proofmain).Transi� ~oes: Uma quest~ao importante na fun ionalidade do algoritmo de es alonamento(2.28, 2.29), �e a transi� ~ao de (2.28) para (2.29) e vi e-versa. Considere, sem perda de gene-ralidade, que a ini ializa� ~ao do sistema satisfaz v(x(0); �(0)) < �. �A medida que o sistemaevolui ao longo do tempo, a ondi� ~ao v(x(t); �(t)) = � pode ser atingida. Se n~ao for o aso,ent~ao �(t) permane er�a sendo determinado por (2.29) e a abar�a por onvergir para seu valornominal. Por outro lado, se for o aso, a fun� ~ao W garante que �(t) �e onstante durantealgum intervalo de tempo antes da ondi� ~ao v(x(t); �(t)) = � ser atingida. Logo, apenas aevolu� ~ao do estado �e apaz de ausar a transi� ~ao de (2.29) para (2.28).Por outro lado, se o sistema em malha-fe hada est�a operando om v(x(t); �(t)) = �, oproblema de minimiza� ~ao garante a permanen ia desta ondi� ~ao. Assim, de forma similar,apenas a evolu� ~ao do estado �e apaz de ausar a transi� ~ao de (2.28) para (2.29).Por onseq�uen ia, todas transi� ~oes entre (2.28) e (2.29) s~ao suaves e guiadas pela evolu� ~aodo estado, ou seja, a determina� ~ao de �(t) em qualquer instante de tempo n~ao ausa nenhumatransi� ~ao, mesmo que � seja des ont��nuo naquele instante de tempo.Por �m, omo v �e uma fun� ~ao ont��nua do tempo, sempre �e poss��vel ini iar o algoritmoveri� ando a magnitude de v e, a partir disso, de idir na implementa� ~ao de (2.28) ou (2.29).Isto resolve a quest~ao da de�ni� ~ao impl�� ita do algoritmo em �.Como resultado destas propriedades, as trajet�orias do estado x(t) do sistema em malha-fe hada s~ao fun� ~oes ont��nuas e C1 por partes, enquanto que o parametro de es alonamento�(t) �e C1 por partes, mas pode ter des ontinuidades isoladas (ver prova do Teorema 2.4.2 nase� ~ao 2.7).Parametros: O parametro de projeto mais importante do algoritmo de es alonamento �e afun� ~ao r(�; x), a qual determina a taxa de re upera� ~ao do parametro �. Quanto mais r�apidaa re upera� ~ao, maior o ganho do ontrole utilizado e, possivelmente, melhor o desempenhodo sistema, respeitadas as ondi� ~oes de estabilidade do sistema em malha fe hada. Assim,

2.3. Estabiliza� ~ao Global 41em geral, �e de interesse es olher r o maior poss��vel. Uma es olha simples e natural �er(�; x) := � x0N(�)xx0 �P (�)�� x (2.30)Uma es olha alternativa e mais simples para r(�; x) �e a seguinte. Seja ~r : R ! R>0 umafun� ~ao lo almente Lips hitz, globalmente limitada e tal que�~r(�)�P��� � N(�); 8� 2 [0; 1) (2.31)Ent~ao, pode-se es olher r(�; x) = ~r(�). A fun� ~ao ~r(�) em (2.31) pode ser obtida de formafe hada, de maneira que o esfor� o omputa ional exigido ser�a menor que o ne ess�ario em(2.30). O usto disso �e a onservatividade introduzida, o que pode fazer om que a re upera� ~aode � se torne muito lenta.Nota 2.3.5 Todo o esquema de ontrole depende da existen ia da solu� ~ao P (�) da equa� ~aode Ri ati parametrizada. Na es olha da fun� ~ao r tamb�em pode ser ne ess�aria �P (�)=��.Embora todo este esfor� o seja o�-line, em muitos asos a di� uldade na obten� ~ao destasexpress~oes anal��ti as pode ser proibitiva. Por outro lado, a solu� ~ao num�eri a on-line tamb�empare e pou o vi�avel devido ao esfor� o omputa ional requerido. Em (MEGRETSKI, 1996) �eproposta uma alternativa para este problema a qual pode ser utilizada para muitas apli a� ~oespr�ati as. Consiste em obter P (�) atrav�es deP (�) := �P�11 + � � 1�m � 1(P�1m � P�11 )��1 (2.32)onde �m � 1 e P1, Pm s~ao obtidos deA0P1 + P1A� P1BB0P1 +Q(1) = 0 (2.33)A0Pm + PmA� PmBB0Pm +Q(�m) = 0 (2.34)A solu� ~ao parametrizada assim obtida s�o �e v�alida para � � �m. Assim, �m deve ser es olhidogrande o su� iente para englobar a regi~ao de opera� ~ao normal do sistema em quest~ao. ?Os parametros � e � umprem fun� ~oes similares e afetam a taxa de re upera� ~ao de �atrav�es da fun� ~ao r (eq. (2.23)). Eles determinam o peso das matrizes Q(�) e P (�)BB0P (�)na forma� ~ao da matriz N(�) e, obviamente, quanto maior N(�), maior poder�a ser a es olha

42 Estabiliza� ~ao de Sistemas Lineares om Satura� ~ao no Controlede r. O parametro � ainda possui rela� ~ao om a taxa de onvergen ia exponen ial do estadopara a origem. A taxa de onvergen ia que pode ser provada depende de 1��, fato que podelevar a um ompromisso na es olha de �.O parametro � umpre apenas o papel de garantir uma transi� ~ao suave entre as fases dere upera� ~ao e bus a do algoritmo. Seu efeito na taxa de re upera� ~ao �e tanto menor quantomais pr�oximo de � for es olhido.O n��vel de satura� ~ao admiss��vel �e determinado pelo parametro �. Se for de interesse, asatura� ~ao pode ser evitada es olhendo-se � �M . Por outro lado, fazendo uso da margem deganho da lei de ontrole LQR (2.7), pode-se ajustar � at�e 2M possivelmente melhorando odesempenho do sistema.Nota 2.3.6 Embora tenha-se utilizado a norma Eu lidiana na de�ni� ~ao de v(x; �) omo umamedida da magnitude do sinal de ontrole, �e na verdade poss��vel utilizar qualquer norma ppara p 2 [1;1). Este fato pode ser de interesse em sistemas multivari�aveis, pois, neste aso,v(x; �) forne er�a diferentes estimativas para diferentes valores de p. ?Implementa� ~ao: O problema de minimiza� ~ao (2.28) envolvido no algoritmo de es alona-mento onsiste em um problema de programa� ~ao n~ao-linear. Contudo, omo a vari�avel dede is~ao �e es alar, o problema pode ser resolvido fa ilmente. Uma alternativa �e utilizar-se umabus a seq�uen ial e apli ar, em seguida, o m�etodo da bisse � ~ao para lo alizar a solu� ~ao.Como a implementa� ~ao de algoritmos de ontrole �e, em geral, em tempo dis reto, �e im-portante onsiderar o efeito da dis retiza� ~ao do algoritmo de es alonamento. Ademais, aimplementa� ~ao em tempo dis reto �e tamb�em bastante desej�avel em fun� ~ao do problema deminimiza� ~ao (2.28), o qual n~ao �e sol�uvel de forma vi�avel em tempo ont��nuo. Uma abordagemnatural �e utilizar a implementa� ~ao dis reta usual om per��odo de amostragem su� ientementepequeno. Neste aso, ontudo, o resultado ser�a apenas semi-global, isto �e, a estabilidade daorigem pode ser garantida apenas para ondi� ~oes ini iais dentro de um erto onjunto om-pa to no espa� o de estados. Quanto menor o per��odo de amostragem, maior ser�a o onjunto ompa to, ara terizando o termo semi-global. N~ao obstante a esta perda na propriedade daestabilidade global, o resultado ainda �e satisfat�orio para a maioria das apli a� ~oes pr�ati as.

2.4. Atenua� ~ao de Perturba� ~oes 432.4 Atenua� ~ao de Perturba� ~oesNas se� ~oes anteriores foi abordada a quest~ao da estabiliza� ~ao de sistemas lineares omrestri� ~oes no ontrole. Foram onsideradas duas situa� ~oes: estabilidade semiglobal e global.Nesta se� ~ao estes resultados ser~ao aprimorados para embutir propriedades de atenua� ~ao deperturba� ~oes. Para tanto, nesta se� ~ao ser~ao onsiderados sistemas des ritos por_x = Ax+B1�(u) +B2w (2.35)onde w 2 Rnw �e uma entrada de perturba� ~ao, e as demais vari�aveis s~ao an�alogas a (2.1).A quest~ao abordada nesta se� ~ao �e determinar propriedades que podem ser garantidasem rela� ~ao �a perturba� ~ao w por meio dos algoritmos de es alonamento de ganho (2.18) e(2.28), (2.29). Para este �m, a lei de ontrole parametrizada a ser es alonada �e obtida apartir da equa� ~ao de Ri ati asso iada ao problema H1, onforme olo a o pr�oximo lema(TEEL, 1995b).Lema 2.4.1 Seja Q : [1;1)! Rn�n fun� ~ao matri ial ontinuamente diferen i�avel e tal quelim�!1Q(�) = 0 e, para todo � 2 [1; 1),Q(�) = Q0(�) > 0; �Q�� (�) < 0 (2.36)Se (A;B1) e (A;B2) forem ambos estabiliz�aveis, existe uma onstante �nita > 0 e umafun� ~ao matri ial ontinuamente diferen i�avel P (�) satisfazendo para todo � 2 [1; 1),A0P (�) + P (�)A+ P (�)� 1 2B02B2 �B1B01�P (�) +Q(�) = 0 (2.37)P (�) = P 0(�) > 0; �P�� (�) < 0 (2.38)lim�!1 P (�) = Po � 0 (2.39)Ainda, se (A;B1) for ANCBC ent~ao Po = 0. ÆO teorema a seguir (REGINATTO et al., 2000b, REGINATTO et al., 2000 ) estabele eque o algoritmo de es alonamento de ganho proposto (2.28, 2.29) pode ser utilizado paraes alonar a lei de ontrole u = �B01P (�)x (2.40)obtida a partir da solu� ~ao parametrizada apresentada no Lema 2.4.1.

44 Estabiliza� ~ao de Sistemas Lineares om Satura� ~ao no ControleTeorema 2.4.2 Sejam P (�) e Q(�) onforme o Lema 2.4.1 assumindo que (A;B1) e (A;B2)s~ao estabiliz�aveis e que (A;B1) �e ANCBC. Suponha que w 2 L1e. Ent~ao, o sistema (2.35) om a lei de ontrole (2.40) e o algoritmo de es alonamento (2.28), (2.29) �e tal que (x; u) 2 L2sempre que w 2 L2. Na ausen ia de perturba� ~ao, x = 0 �e globalmente assintoti amente est�avele lo almente exponen ialmente est�avel. Adi ionalmente, �(t)! 1 �a medida que t!1. �O teorema estabele e a estabilidade L2 da entrada de perturba� ~ao w para o estado x esinal de ontrole u do sistema em malha fe hada. Isto garante robustez para o sistema emmalha fe hada frente a sinais de perturba� ~ao externos L2. O requisito adi ional de que aperturba� ~ao seja um sinal L1e n~ao restringe o resultado signi� ativamente, pois os sinais deperturba� ~ao, na pr�ati a, s~ao limitados. O requisito apenas imp~oe que a perturba� ~ao w sejalimitada em qualquer intervalo limitado de tempo, podendo ser ilimitada no in�nito.�E f�a il de ver que na ausen ia de perturba� ~ao (w = 0), o Teorema 2.4.2 reduz-se aoresultado do Teorema 2.3.4, de onde se deduz as propriedades de estabilidade do equil��brio.A prova deste teorema en ontra-se na se� ~ao 2.7, ao �nal deste ap��tulo.Nota 2.4.3 Um resultado similar vale para o aso do algoritmo (2.18), apresentado de formamais generalizada em (MEGRETSKI, 1996). Neste aso garante-se um ganho-L2 n~ao-linearde w para (x; u) e n~ao �e ne ess�ario que a perturba� ~ao perten� a a L1e. ?2.5 RobustezNesta se� ~ao ser~ao explorados aspe tos de robustez do algoritmo de es alonamento pro-posto. Ser�a tamb�em proposta uma modi� a� ~ao na lei de ontrole para ompensar in ertezasaditivas ao sinal de ontrole.N~ao linearidades na entrada de ontrole: Para ada � �xo, a lei de ontrole (2.7)(tamb�em (2.40)) �e �otima om respeito ao ��ndi e de desempenho quadr�ati oJ = Z 10 (x0Q(�)x+ u0u) dt (2.41)Embora a otimalidade seja perdida quando � �e es alonado em fun� ~ao do estado, as margens deestabilidade s~ao mantidas, o que garante robustez ao sistema em malha fe hada om rela� ~aoa n~ao-linearidades na entrada de ontrole. O pr�oximo teorema formaliza este resultado.

2.5. Robustez 45Teorema 2.5.1 Seja �(u) := [�1(u1); � � � ; �m(um)℄ onde �i(�); i = 1; � � � ;m, s~ao fun� ~oes n~ao-lineares lo almente Lips hitz que satisfazemui�i(ui) � u2i (2.42)Considere o sistema _x = Ax+B1�(�(u)) +B2w (2.43)em malha fe hada om (2.40) e om o algoritmo de es alonamento (2.28, 2.29) �e tal que(x; u) 2 L2 sempre que w 2 L2. Na ausen ia de perturba� ~ao, x = 0 �e globalmente assintoti- amente est�avel e lo almente exponen ialmente est�avel. Adi ionalmente, �(t) ! 1 �a medidaque t!1 �O Teorema 2.5.1 estabele e limites para n~ao-linearidades na entrada de ontrole que s~aotoler�aveis pelo sistema em malha-fe hada. Basi amente, o teorema estabele e que qualqueraumento de ganho �e toler�avel, enquanto redu� ~oes de ganho n~ao s~ao admiss��veis. O Teore-ma 2.5.1 �e, na verdade, uma onseq�uen ia do seguinte teorema que ara teriza as fun� ~oessatura� ~ao para as quais o resultado de estabilidade �e v�alido.De�ni� ~ao 2.5.2 Uma fun� ~ao � : Rm ! Rm perten e a lasse S(M) se �(�) �e des entralizada(veja equa� ~ao (2.2)), globalmente Lips hitz e satisfazu0�(u) � u0satM (u); 8 juj 2 [0; 2M ℄ (2.44)/Teorema 2.5.3 O Teorema 2.4.2 para o sistema (2.35) �e v�alido para todo �(�) 2 S(M). �Nota 2.5.4 Para ver que o resultado do Teorema 2.5.1 segue do Teorema 2.5.3, note quepara qualquer �(�) satisfazendo (2.42), existe uma fun� ~ao �(�) na lasse S tal que �(u) =satM (�(u)); 8u 2 Rm . ?O Teorema 2.5.3 mostra que os resultados de estabilidade s~ao v�alidos para uma lassemais geral de fun� ~oes satura� ~ao, onforme espe i� ado pela lasse S(M). N~ao h�a ne essidadeda fun� ~ao �(�) possuir uma regi~ao linear, nem de ser mon�otona. Contudo, esta deve ter um omportamento \linear" pr�oximo da origem. O Teorema 2.5.3 �e onseq�uen ia do Lema 2.7.1,apresentado na se� ~ao 2.7 em onjunto om a prova do Teorema 2.4.2.

46 Estabiliza� ~ao de Sistemas Lineares om Satura� ~ao no ControleIn ertezas aditivas na entrada e de norma limitada: Considere que o sistema (2.35)�e perturbado aditivamente na entrada de ontrole na forma_x = Ax+B1�(u+ g(t; x)) +B2w (2.45)onde g �e lo almente Lips hitz em x �e Lebesgue mensur�avel em t, e valem as demais hip�otesesdo sistema (2.35).Considere que a in erteza g �e limitada em norma, omo estabele e a seguinte hip�otese.Hip�otese 2.5.5 A fun� ~ao, g(t; x) satisfazjg(t; x)j � h(jxj); 8(t; x) 2 R � Rn (2.46)onde h(�) �e uma fun� ~ao lo almente Lips hitz e onhe ida. .Estas in ertezas om norma limitada aditivas na entrada de ontrole podem ser ompensa-das om uma modi� a� ~ao na lei de ontrole a ser es alonada pelo algoritmo de es alonamentoproposto (REGINATTO et al., 2000b, REGINATTO et al., 2000 ). Esta modi� a� ~ao segueum prin ��pio similar ao apresentado em (LIN, 1998a), e �e objeto do seguinte teorema, ujaprova est�a apresentada na se� ~ao 2.8.Teorema 2.5.6 Considere o sistema (2.45) om as hip�oteses do Teorema 2.4.2. Suponhaque g(t; x) satisfaz a Hip�otese 2.5.5. Ent~ao, a lei de ontroleu = �( 1 + q(x; �) )B01P (�)x (2.47)onde q(x; �) satisfaz q(x; �) � 5 [h(jxj)℄2(1� �)x0Q(�)x (2.48) om o algoritmo de es alonamento de ganho (2.28, 2.29) �e tal que (x; u) 2 L2 sempre quew 2 L2. Na ausen ia de perturba� ~ao, x = 0 �e globalmente assintoti amente est�avel. Adi io-nalmente, �(t)! 1 �a medida que t!1. �Comparado ao ontrole (2.40), a lei de ontrole (2.47) ont�em o termo adi ionalq(x; �)B0P (�)x. O fator q(x; �) �e es olhido su� ientemente grande (2.48) de forma que oefeito da in erteza �e dominado e as propriedades de estabilidade s~ao mantidas.

2.6. Estudo de Casos 47Nota 2.5.7 �E importante observar que o algoritmo de es alonamento �e guiado pela magnitu-de do sinal v(x; �) = jB0P (�)xj. No presente aso, em que o fator q(x; �)B0P (�)x �e adi ionadoao sinal de ontrole, v n~ao mais orresponde �a magnitude do sinal de ontrole. Enquanto v�e limitado ao valor � pelo algoritmo de es alonamento, o sinal de ontrole propriamente ditou pode atingir valores muito maiores, de forma que o sistema pode permane er saturado pormaior tempo em fun� ~ao do efeito da in erteza. ?2.6 Estudo de CasosNesta se� ~ao s~ao onsiderados dois exemplos para ilustrar as propriedades de desempenho efun ionalidade do algoritmo de es alonamento proposto. O primeiro exemplo, uma adeia de2 integradores, n~ao in lui perturba� ~oes e sua �nalidade �e permitir uma visualiza� ~ao mais om-pleta da fun ionalidade do algoritmo de es alonamento. Aspe tos de desempenho e robustezs~ao explorados mais profundamente no segundo exemplo, uma adeia de 3 integradores.2.6.1 Cadeia de 2 integradoresO seguinte exemplo �e tomado de (LIN, 1998a) e pode tamb�em ser en ontradoem (REGINATTO et al., 2000a). Consiste em uma adeia de 2 integradores om repre-senta� ~ao no espa� o de estados dada por,A = 24 �1 1�1 1 35 ; B = 24 01 35 (2.49)onde onsidera-se que o sinal de ontrole �e limitado ao intervalo [�1; 1℄.A solu� ~ao parametrizada da equa� ~ao de Ri ati (Lema 2.2.1) �e onstru��da para Q(�) =(1=�) I, e �e dada em forma fe hada por (LIN, 1998a)P (�) = 24 g �1 +q2� � g� q2� � gq2� � g g 35 (2.50)onde g :=r1� + 2q2� .A Figura 2.2 ilustra o omportamento do sistema em malha fe hada sem satura� ~ao e om� � 1. Pode-se ver que, para esta ondi� ~ao ini ial, o sistema ultrapassa os limites admiss��veispara o sinal de ontrole.

48 Estabiliza� ~ao de Sistemas Lineares om Satura� ~ao no Controle0 2 4 6 8 10

−1

0

1

2

3

0 2 4 6 8 10−2

0

2

4

6

8PSfrag repla ementsx 1u

t (s)t (s)

Figura 2.2: Simula� ~ao do sistema em malha fe hada sem satura� ~ao para x(0) = [2; �2℄0.As fun� ~oes r(�; x) e W (�) s~ao es olhidas omo (veja (2.30))r(�; x) = � x0N(�)xx0 �P (�)�� x (2.51)W (s) = 8>><>>: 1; s � 0:95�20 �1� s�� ; 0:95� < s < �0; s � � (2.52)para � = 0:9, � = 0:95� e � omo indi ado em ada aso. A fun� ~ao W e o parametro � s~aoes olhidos de forma a n~ao afetar signi� ativamente a taxa de re upera� ~ao de � determinadapela fun� ~ao r. Em todas as simula� ~oes, k = 10, � �e ini ializado em 1, sempre que poss��vel, e oalgoritmo de es alonamento �e implementado em tempo dis reto om per��odo de amostragemde 5ms.O omportamento do sistema em malha fe hada �e ilustrado na Figura 2.3. Para uma ondi� ~ao ini ial pequena, o sistema satura apenas no in�� io da resposta, e o parametro es- alonado � �e mon�otono ao longo do tempo. Para uma ondi� ~ao ini ial grande, o parametroes alonado mostra-se n~ao-mon�otono, pois o sinal de ontrole atinge os limites duas vezes. Emambos os asos o estado onverge para a origem, e o parametro es alonado re upera o seuvalor nominal (� = 1) om uma taxa de onvergen ia similar �a onvergen ia do estado para

2.6. Estudo de Casos 49a origem.0 5 10 15 20

0

20

40

0 5 10 15 20−2

0

2

0 5 10 15 200

0.5

1

PSfrag repla ementst (s)

u;�(u)x 1

1=�Figura 2.3: Simula� ~ao para � = 1:5. Linha s�olida: x(0) = [50; 50℄0; Tra ejada: x(0) = [2; �2℄0.Curva pontilhada: sinal de ontrole antes da satura� ~ao.A fun ionalidade do algoritmo de es alonamento pode ser visualizada no gr�a� o 3D mos-trado na Figura 2.4, devido ao sistema ser de segunda ordem. O algoritmo de es alonamentofor� a o sistema em malha fe hada a operar na regi~ao S := f(x; �) : v(x; �) � �g, a qual orres-ponde ao espa� o entre as duas superf�� ies mostradas na �gura. O parametro es alonado ini iaem � = 1 e �e onstante at�e o instante em que a trajet�oria atinge a fronteira de S (mar ado om Æ na �gura). Neste ponto, uma des ontinuidade o orre om o parametro es alonado �porque a fronteira direita de S tem uma forma on ava nas proximidades de � = 1 (vista dadireita) de forma que se � res esse ontinuamente, a regi~ao S tenderia a diminuir ao inv�esde aumentar. Ent~ao, � salta para um ponto onde a regi~ao S alarga om a r�es imos de �(mar ado om 4 na �gura) e ontinua res endo de forma a manter a trajet�oria na fronteirade S. Ap�os o ter eiro ponto mar ado om 2, a trajet�oria deixa a fronteira de S e onvergepara a origem (do espa� o (x1; x2)) enquanto o parametro es alonado �e lentamente de res idoao seu valor nominal. Pode-se observar que � �e onstante tanto quando a trajet�oria hega nafronteira de S omo quando a trajet�oria deixa esta fronteira. A Figura 2.5 mostra os mesmoresultado omo fun� ~ao do tempo.

50 Estabiliza� ~ao de Sistemas Lineares om Satura� ~ao no Controle

−2

0

2

4

−3−2−101234

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

PSfrag repla ements x1x2�

Figura 2.4: N~ao monotoni idade/des ontinuidade de �(t). Linha s�olida: trajet�oria do sistemaem malha fe hada para x(0) = [4; 1℄0, �(0) = 1, e � = 1:5. A regi~ao entre as superf�� ies orresponde a S.0 2 4 6 8 10

−2

0

2

4

0 2 4 6 8 10−2

0

2

0 2 4 6 8 100

0.5

1

PSfrag repla ementst (s)

x 1;x 2u;�(u)1=�Figura 2.5: Resposta temporal da simula� ~ao ilustrada na Figura 2.4. Linha s�olida: x1(t);Tra ejada: x2(t); Pontilhada: sinal de ontrole antes da satura� ~ao.O efeito do parametro � sobre o desempenho do sistema em malha fe hada pode ser vistona Figura 2.6. Pode-se ver que o valor m�aximo de � = 2 permite uma onvergen ia maisr�apida do estado do que o aso om � = 1. O parametro es alonado � mostra que um ganhomaior �e empregado no aso � = 2 o que permite atingir a satura� ~ao em ontraste om o aso

2.6. Estudo de Casos 51� = 1. Pode-se tamb�em observar a monotoni idade de � neste aso.0 2 4 6 8 10

0

5

10

0 2 4 6 8 10−2

0

2

0 2 4 6 8 100

0.5

1

PSfrag repla ementst (s)

u;�(u)x 11=�Figura 2.6: Efeito do parametro � para x(0) = [10; 10℄0. S�olida: � = 2; Tra ejada: � = 1 ;Pontilhada: sinal de ontrole antes da satura� ~ao.

0 5 10 15 20

0

5

10

0 5 10 15 20−2

0

2

0 5 10 15 200

0.5

1PSfrag repla ements

t (s)u;�(u)x 1

1=�Figura 2.7: In uen ia da fun� ~ao r, x(0) = [10; 10℄0, � = 1:5. S�olida: ~r dada por (2.51);Tra ejada: ~r dada por (2.53); Pontilhada: sinal de ontrole antes da satura� ~ao.Na Figura 2.7 a in uen ia da fun� ~ao r(�; x) no desempenho do sistema em malha fe ha-da �e investigada. Como men ionado anteriormente, pode ser de interesse reduzir o esfor� o

52 Estabiliza� ~ao de Sistemas Lineares om Satura� ~ao no Controle omputa ional atrav�es de uma es olha em forma fe hada para a fun� ~ao ~r omo uma fun� ~ao�. Neste sentido, uma es olha poss��vel �e3~r(�) =p� (2.53)Os requisitos sobre a fun� ~ao r(�; x) s~ao, om alguma onservatividade, satisfeitos om estaes olha e omW (v(x; �)) dado por (2.52). O resultado na Figura 2.7 mostra que a re upera� ~aode � torna-se onsideravelmente mais lenta, fazendo om que a onvergen ia do estado sejamais lenta. Assim, a es olha de r torna-se um ompromisso entre desempenho e omplexidadede implementa� ~ao.A Figura 2.8 ilustra uma primeira ompara� ~ao de desempenho do algoritmo proposto omo algoritmo proposto em (MEGRETSKI, 1996) (equa� ~oes (2.18) e (2.19)). Pode-se observarque o algoritmo proposto produz uma onvergen ia mais r�apida do estado para a origem eum uso mais efetivo do esfor� o de ontrole dispon��vel.0 2 4 6 8 10

0

5

10

0 2 4 6 8 10−1

0

1

0 2 4 6 8 100

0.5

1

PSfrag repla ementst (s)

u;�(u)x 11=�Figura 2.8: Compara� ~ao de desempenho para x(0) = [10; 10℄0, � = 1. S�olida: algoritmo dees alonamento propostos; Tra ejada: algoritmo de (MEGRETSKI, 1996) (equa� ~oes (2.18) e(2.19)).

3Obtida om aux��lio de omputa� ~ao alg�ebri a.

2.6. Estudo de Casos 532.6.2 Cadeia de 3 integradoresComo um exemplo ilustrativo da metodologia de es alonamento, esta ser�a apli ada a umsistema onstitu��do de uma adeia de 3 integradores om perturba� ~ao externa dado por_x1 = x2; _x2 = x3; _x3 = �(u) + w (2.54)O sinal de ontrole �e limitado em magnitude por M = 5, isto �e, �(u) = sat5(u). A solu� ~aoparametrizada da equa� ~ao de Ri ati tipo H1 �e onstru��da para � 4 e para a es olhaQ(�) = 1110diagf25�; 4�2; �g onde � := 1=�. Esta �e dada em forma fe hada por 4P (�) = 1110 2664 p1 p2 p3p2 p4 p5p3 p5 p6 3775 (2.55)onde p3 = 5p�; p6 = 6q1600� + 1100� 85 ; p1 = p3p5p5 = 0:5(p26 � �); p2 = p3p6; p4 = �p3 + p5p6Neste exemplo, r(�; x) �e omputada on-line omo r(�; x) = �x0N(�)x =x0 �P (�)�� x, onde ��e es olhido e diferentes valores para � s~ao onsiderados. A fun� ~ao W �e es olhida da mesmaforma que no exemplo anterior (se� ~ao 2.6.1), tamb�em om � = 0:95�. Em todas as simula� ~oesk = 10 e o algoritmo de es alonamento �e implementado em tempo dis reto om per��odo deamostragem de 5ms.A Figura 2.9 mostra o desempenho do sistema em malha fe hada em resposta a uma ondi� ~ao ini ial pequena em x1. Para �ns de ompara� ~ao, as respostas para os asos semsatura� ~ao e om satura� ~ao, por�em sem es alonamento (� = 1; 8t � 0), s~ao tamb�em apresen-tadas. Pode-se notar que o algoritmo de es alonamento forne e uma resposta intermedi�aria,e o sinal de ontrole atinge a satura� ~ao.4Esta solu� ~ao �e, na verdade, solu� ~ao da inequa� ~ao de Ri ati tipo H1, isto �e, (2.37) om � em lugar de=, e foi obtida om aux��lio de omputa� ~ao alg�ebri a.

54 Estabiliza� ~ao de Sistemas Lineares om Satura� ~ao no Controle0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

−5

0

5

10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

−10

−5

0

5

10PSfrag repla ementst (s)t (s)x 1(t)

�(u)Figura 2.9: Resposta do sistema em malha fe hada para x(0) = [8; 0; 0℄0 e � = 7:5 (s�olida);Resposta do sistema sem satura� ~ao � = 0 (tra ejada); Resposta do sistema saturado semes alonamento (pontilhada).

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

100

200

300

t

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−10

0

10

t

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.5

1

t

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

5

10x 10

4

PSfrag repla ementst (s)

x 1(t)�(t) �(t)u;�(u)

Figura 2.10: Resposta do sistema em malha fe hada para x(0) = [300; 0; 0℄0 e � = 10 (s�olida);� = 5 (tra ejada). Pontilhada: sinal de ontrole antes da satura� ~ao.A Figura 2.10 mostra o omportamento do sistema em malha fe hada para x1(0) = 300,uma ondi� ~ao ini ial grande em x1. O efeito do parametro � pode ser observado, neste aso. Para � = 10, o m�aximo n��vel de satura� ~ao �e permitido, e a onvergen ia do estadomostra-se mais r�apida que no aso � = 5 (sem satura� ~ao). O omportamento do parametro

2.6. Estudo de Casos 55es alonado �(t) tamb�em est�a mostrado na �gura juntamente om �(t) de�nido a ima. A n~ao-monotoni idade do parametro es alonado �e veri� ada no aso � = 10, fato este asso iado aosinal de ontrole ter atingido os limites permitidos duas vezes.0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

0

100

200

300

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

−10

−5

0

5

10PSfrag repla ements t (s)t (s)x 1(t)

u;�(u)Figura 2.11: Compara� ~ao da resposta entre o algoritmo de es alonamento proposto (s�olida) eo algoritmo proposto em (MEGRETSKI, 1996) (tra ejada) para x(0) = [300; 0; 0℄0 e � = 10.Pontilhada: sinal de ontrole antes da satura� ~ao.A Figura 2.11 ompara o desempenho do algoritmo de es alonamento proposto om oalgoritmo proposto em (MEGRETSKI, 1996) (equa� ~oes (2.18) e (2.19)). Para esta ompa-ra� ~ao foi utilizado M = 10 na implementa� ~ao de (2.18) de forma a permitir a o orren ia desatura� ~ao no algoritmo de (MEGRETSKI, 1996). A mesma ondi� ~ao ini ial da Figura 2.10foi utilizada. O algoritmo de es alonamento proposto produz uma onvergen ia mais r�apidado estado e permite que todo o esfor� o de ontrole dispon��vel seja utilizado. Embora a satu-ra� ~ao pudesse o orrer no esquema de (MEGRETSKI, 1996), observa-se que esta de fato n~aoo orre, o que �e uma onseq�uen ia da onservatividade do algoritmo. A resposta assim obtida�e similar a que se obt�em om o algoritmo proposto para � = 5.O omportamento do sistema em malha fe hada sujeito a uma perturba� ~ao externa�e ilustrado na Figura 2.12. Nesta simula� ~ao, a perturba� ~ao �e es olhida omo w(t) =25 os(2�=3 t) exp(�t=6), e a ondi� ~ao ini ial �e nula. Embora a perturba� ~ao seja onvergentepara zero, sua magnitude ini ial �e su� iente para levar o sistema saturado sem algoritmo dees alonamento (�(t) = 1; 8t � 0) para a instabilidade. Pode-se observar que o algoritmo dees alonamento garante x 2 L2 omo desejado.

56 Estabiliza� ~ao de Sistemas Lineares om Satura� ~ao no Controle0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

−20

−10

0

10

20

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−10

−5

0

5

10PSfrag repla ements t (s)t (s)x 1(t);w(t)

u;�(u)Figura 2.12: Resposta do sistema em malha fe hada (s�olida) om perturba� ~ao externa (tra- ejada) para x(0) = 0 e � = 7:5. Pontilhada: sinal de ontrole antes da satura� ~ao.0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

−5

0

5

10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

−10

−5

0

5

10PSfrag repla ements

t (s)t (s)x 1(t)

�(u+g(t;x));v(t)u(t)�(t)Figura 2.13: resposta do sistema em malha fe hada om in ertezas aditivas na entrada parax(0) = [8; 0; 0℄0 e � = 7:5. Linha pontilhada: v(t).A Figura 2.13 mostra o desempenho do sistema em malha fe hada quando sujeito ain ertezas aditivas na entrada. O termo n~ao-linear g(t; x) = 2(x3)2 sin(x1) �e adi ionado naentrada do sistema o qual torna o sistema inst�avel para a ondi� ~ao ini ial x(0) = [8; 0; 0℄0.A Figura 2.13 mostra a resposta do sistema om a adi� ~ao do termo para domina� ~ao da

2.7. Prova do Teorema 2.4.2 57perturba� ~ao g(t; x) dado por q(x; �) = 20 (x3)4(1� �)x0Q(�)xO resultado mostra que a estabilidade do sistema em malha fe hada �e obtida e o desempenhodo sistema �e similar ao aso sem perturba� ~ao ( ompare om a Figura 2.9).2.7 Prova do Teorema 2.4.2O seguinte lema t�e ni o ser�a ne ess�ario.Lema 2.7.1 Seja 0 < � � 2M e � 2 [0; minf1; (2M � �)=�g℄. Seja p 2 [1; 1℄ e seja� : Rm ! Rm uma fun� ~ao globalmente Lips hitz, des entralizada e que satisfaz u0�(u) �u0satM (u) para todo u tal que5 jujp � 2M . Ent~ao,jujp � �) u0u� 2u0�(u) � ��u0u (2.56)Prova: Primeiramente note que o lado direito da impli a� ~ao (2.56) �e equivalente a2u0�(u) � (1 + �)u0u (2.57)Basta provar que 2u0satM (u) � (1 + �)u0u; 8jujp � � � 2M (2.58)de onde o resultado do lema segue, pois, por hip�otese, u0�(u) � u0satM (u) para todo u talque jujp � 2M .A desigualdade (2.58) laramente se veri� a para 0 < � �M , pois, neste aso, satM (u) =u. Para o aso M < � � 2M , note que jujp � � impli a juijp � � para i = 1; � � � ;m. Por suavez, juijp = juij � � impli a 2uisatM (ui) � 2M� u2iConseq�uentemente, 2u0satM (u) � 2M� u0ude onde segue o resultado do lema, pois (1 + �) � 2M=�. Æ5j � jp �e a norma-p usual para vetores.

58 Estabiliza� ~ao de Sistemas Lineares om Satura� ~ao no ControleExisten ia de solu� ~ao: A dinami a do sistema em malha fe hada (2.35), (2.40), (2.28),(2.29) �e omposta pelo sistema n-dimensional (2.35), (2.40) e por uma das duas dinami asposs��veis para �(t), (2.28) ou (2.29).Dado um estado ini ial xo 2 Rn e �o 2 G(xo), por uma solu� ~ao de (2.35), (2.40), (2.28),(2.29) entende-se uma fun� ~ao x(t) de�nida em um erto intervalo de tempo [to; t1℄, ont��nuae absolutamente ont��nua no intervalo [to; t1), que satisfaz, onjuntamente om uma fun� ~ao�(t), absolutamente ont��nua por partes, x(to) = xo, �(to) = �o, e (2.35), (2.40), (2.28), (2.29)para quase todo instante de tempo t 2 [to; t1).No que segue, mostra-se que solu� ~oes para o sistema (2.35), (2.40), (2.28), (2.29) existempara todo estado ini ial x(to) 2 Rn e s~ao de�nidas para todo t 2 [to; 1). Para ver isto, onsidere os seguintes sistemas:�a : 8<: _xa = Axa +B1�(�B01P (�a)xa ) +B2 w(t)_�a = �sat(k (�a � 1) ) r(�a; xa)W ( v(xa; �a) ) (2.59)�b : 8>>>><>>>>: _xb = Axb +B1�(�B01P (�b)xb ) +B2 w(t)�b(t) = min �;� 2 [�b(t�); 1)v(xb(t); �) � � (2.60)Os sistemas �a e �b des revem as dinami as poss��veis para os sistema em malha-fe hada(2.35), (2.40), (2.28), (2.29). As solu� ~oes de (2.35), (2.40), (2.28), (2.29) s~ao onstru��das omojustaposi� ~oes (no tempo) de solu� ~oes de �a e �b, de�nidas em ertos intervalos de tempo.Antes de fazer esta omposi� ~ao, os sistemas �a e �b s~ao analisados separadamente.Claramente �a possui uma solu� ~ao �uni a para todo (x(to); �(to)) 2 Rn � [1;1), a qual �ede�nida para todo t 2 [to; 1) e �e uma fun� ~ao absolutamente ont��nua.Para a an�alise do sistema �b, note primeiramente que o problema de minimiza� ~ao imp~oeque a fun� ~ao �b(t) seja n~ao-de res ente ao longo do tempo. Assim, �b(t) �e ont��nua paraquase todo instante t no intervalo em que a solu� ~ao de �b esteja de�nida. Al�em disso,des ontinuidades em �b(t) podem o orrer apenas nos instantes de tempo em que a restri� ~aoest�a ativa, isto �e, no onjunto O := ft : v(xb(t); �b(t)) = �g.Considere o problema de otimiza� ~ao auxiliarf(x) := minv(x;�)2=�2 � (2.61)

2.7. Prova do Teorema 2.4.2 59Como v(x; �) �e C1, f(x) tamb�em ser�a C1 em uma vizinhan� a de qualquer ponto no qual�v�� (x; f(x)) 6= 0. Deste fato segue que para quaisquer xb(to) 2 Rn e �b(to) 2 G(xb(to)) taisque (�v=��)(xb(to); �b(to)) < 0;o sistema �b possui uma �uni a solu� ~ao de�nida para algum intervalo de tempo [to; t1) om apropriedade de que, para todo t 2 [to; t1), �b(t) �e ont��nua e�v�� (xb(t); �b(t)) < 0 (2.62)Claramente, a solu� ~ao pode ser ontinuada ao longo do tempo enquanto (2.62) for satis-feita. Como �b(t) deve ser n~ao-de res ente, a viola� ~ao da ondi� ~ao (2.62) pode ausar umades ontinuidade em �(t). Se �(�) �e des ont��nua em t = t1, ne essariamente�v�� (xb(t1); �b(t�1 )) � 0 (2.63)e �b(t1) obtido de �b satisfar�a (2.62) em t = t1. Assim, uma �uni a solu� ~ao existir�a para osistema �b em um intervalo [t1; t2) ini iando em xb(t1) e �b(t1). Claramente, para qualquerxb 2 Rn existe um �b satisfazendo (2.62). Al�em disso, omo P (�) �e ontinuamente diferen i�avele w 2 L1e, apenas um n�umero �nito de des ontinuidades pode o orrer em qualquer intervalode tempo �nito. Este fato permite estender as solu� ~oes de �b para todo t 2 [to; 1).A onstru� ~ao de trajet�orias do sistema (2.35), (2.40), (2.28), (2.29) a partir de peda� osde trajet�orias dos sistemas �a e �b �e feita da seguinte forma: seja (x(to); �(to)) 2 Rn �[1;1) e assuma, sem perda de generalidade, que v(x(to); �(to)) < �. Fa� a (xa(to); �a(to)) =(x(to); �(to)). Ent~ao, (x(t); �(t)) = (xa(t); �a(t)) onquanto v(xa(t); �a(t)) < �. Seja t1 >to o primeiro instante de tempo em que v(xa(t); �a(t)) = �. Assuma que t1 < 1, aso ontr�ario as trajet�orias de (2.35), (2.40), (2.28), (2.29) e �a seriam identi as para todo t.Fa� a xb(t1) = xa(t1) e �b(t�1 ) = �a(t1) = �(t�1 ). Agora, (x(t); �(t)) = (xb(t); �b(t)) onquantov(xb(t); �b(t)) = �. Seja t2 � t1 o �ultimo instante de tempo em que esta ondi� ~ao �e satisfeitapelo sistema �b. Ent~ao, 9 Æ1 > 0 tal que v(xb(t); �b(t)) < � e _�b(t) = 0 para todo t 2 (t2; t2 +Æ1). Fa� a (xa(t2); �a(t2)) = (xb(t2); �b(t2)). ComoW (�) �e (Lips hitz) ont��nua eW (v(x; �)) =0 sempre que v(x; �) � �, segue que para algum Æ2 > 0, (xa(t); �a(t)) = (xb(t); �b(t)) em(t2; t2 + Æ2) e logo v(xa(t); �a(t)) < � em (t2; t2 + Æ2). Assim, (x(t); �(t)) = (xa(t); �a(t))para todo t > t2 tal que v(xa(t); �a(t)) < �. Tal propriedade ser�a v�alida ao menos em um

60 Estabiliza� ~ao de Sistemas Lineares om Satura� ~ao no Controleintervalo aberto de tempo de forma que haveamentos de alta freq�uen ia (modos deslizantes)entre (2.28) e (2.29) n~ao s~ao poss��veis.Pela repeti� ~ao do mesmo ra io ��nio, as solu� ~oes do sistema em malha fe hada podemser estendidas para todo t 2 [to; 1). Da an�alise tamb�em segue que x(t) �e ont��nua eabsolutamente ont��nua por partes.Estabilidade exponen ial lo al: Seja Æ > 0, := �2jBj , �(0) 2 C := [1; 1 + Æ℄, e de�naH(x; �) := Tr(P (�))x0P (�)x (2.64)� := fx : H(x; �) � 2; 8� 2 Cg (2.65)A fun� ~ao H(x; �) �e positiva de�nida e � �e um onjunto ompa to. Ainda, para todo � 2 C,vale que x 2 �) Tr(P (�))x0P (�)x � 2 ) jP (�)xj2 � 2 ) ��B01P (�)x�� � �2 (2.66)Assim, x 2 � impli a que, para todo t � to,_� = �sat(k (� � 1) ) r(x; �) (2.67)Usando (2.66), obt�em-se�H�x _x = Tr(P (�))x0(A0P (�) + P (�)A)x+ 2Tr(P (�))x0P (�)B1�(�B01P (�)x)= Tr(P (�))x0(A0P (�) + P (�)A)x� 2Tr(P (�))x0P (�)B1B01P (�)x� �Tr(P (�)) �(1� �)x0Q(�)x+ x0M(�)x� (2.68)De forma an�aloga,�H�� _� = �x0 ��Tr(P (�))P (�)�� sat(k (� � 1) ) r(�; x)� x= � �Tr(P (�))x0 �P (�)�� x+ �Tr(P (�))�� x0P (�)x� sat(k (� � 1) ) r(�; x) (2.69)Sem perda de generalidade, assuma que Æ �e es olhida de forma que 6 para todo � 2 C� �Tr(P (�))�� x0P (�)x sat(k (� � 1) ) r(�; x) � (1� �)2 Tr(P (�))x0Q(�)x; 8x 2 � (2.70)6A existen ia de tal Æ > 0 segue da regularidade de P (�) e Q(�).

2.7. Prova do Teorema 2.4.2 61Levando 2.70 e 2.27 em 2.69 resulta�H�� _� � Tr(P (�)) �(1� �)2 x0Q(�)x+ x0M(�)x� (2.71)uma vez que jsat(k (� � 1) )j � 1. Logo, de (2.68) e (2.71), obt�em-se_H � �(1� �)2 Tr(P (�))x0Q(�)x (2.72)o que impli a que _H �e negativa de�nida em �. A estabilidade exponen ial do equil��brio x = 0segue do fato de que H e _H s~ao uniformemente quadr�ati as em �. Mais espe i� amente, omo � 2 C todo o tempo, existem es alares positivos �i; i = 1; 2; 3 tais que�1 jxj2 � H(x; �) � �2 jxj2 (2.73)_H(x; �) � ��3 jxj2 (2.74)Por �m, segue de (2.67) que �(t)! 1 exponen ialmente.Estabilidade L2 e estabilidade assint�oti a global: De�na o onjunto�(�) := fx 2 Rn : v(x; �) = jB01P (�)xj � �g (2.75)Como o algoritmo de es alonamento de ganho garante v(t) � �; 8 t � 0, resulta quex(t) 2 �(�); 8 t � 0Assim, apenas trajet�orias ontidas em �(�) pre isam ser onsideradas. Para provar que taistrajet�orias possuem as propriedades estabele idas no teorema, onsidere a fun� ~ao positivade�nida V (x; �) := x0P (�)x (2.76)Como �(t) e x(t) s~ao diferen i�aveis em quase todo ponto t � to, o mesmo vale paraV (x(t); �(t)). Ent~ao, para quase todo ponto t � to, V (x; �) pode ser diferen iada ao longodas trajet�orias ontidas em �(�) obtendo-se_V = _x0P (�)x+ xP (�) _x+ x0 _P (�)x (2.77)

62 Estabiliza� ~ao de Sistemas Lineares om Satura� ~ao no ControleNote ini ialmente que_x0P (�)x+ x0P (�) _x = x0(A0P (�) + P (�)A)x � 2x0P (�)B1 �(B01P (�)x) + 2x0P (�)B2w= �x0Q(�)x+ x0P (�)B1B01P (�)x� 2x0P (�)B1 �(B01P (�)x)� 1 2 x0P (�)B2B02P (�)x+ 2x0P (�)B2w� �(1� �)x0Q(�)x� x0M(�)x+ 2 w0w (2.78)onde, no �ultimo passo, foi empregado o Lema 2.7.1 e a desigualdade de Young2x0P (�)B2w � 1 2 jB02P (�)xj2 + 2jwj2Por outro lado, para quase todo ponto t � 0, _�(t) satisfaz_�(t) � �sat(k (�(t)� 1) ) r(�(t); x(t))W ( v(x(t); �(t)) ) (2.79)Usando (2.79), (2.27) e (2.23), resulta quex0 _P (�)x = x0�P�� x _�� �x0�P�� x sat(k (� � 1)) r(�; x)W ( v(x; �) )� x0M(�)x sat(k (� � 1))W ( v(x; �) ) (2.80)Juntando (2.78) om (2.80) resulta que_V � �(1� �)x0Q(�)x+ 2 w0w (2.81)Como �(t) �e absolutamente ont��nua por partes e V (x; �) �e C1, segue que V (x(t); �(t)) �eabsolutamente ont��nua por partes. Logo, _V pode ser integrada em qualquer intervalo �nitode tempo. Ainda, V (x(t); �(t)) de res e em ada ponto de des ontinuidade de �(�), pois x(�)�e ont��nua, �P (�)=�� < 0 e �(�) res e nestes pontos. Por onseq�uen ia, levando-se em ontaque apenas um n�umero �nito de des ontinuidades existem em ada intervalo �nito de tempo,pode-se a�rmar que V (t)� V (0) � Z t0 _V (�) d� (2.82)

2.7. Prova do Teorema 2.4.2 63Logo, (2.82) e (2.81) forne emV (t)� V (0) � Z t0 _V (�) d�� 2 Z t0 w(�)0w(�) d�� 2 jjwjj22 (2.83)mostrando que V (t) �e limitada sempre que w 2 L2. Portanto, em parti ular, P (�)1=2x �elimitado. Isto, por sua vez, impli a que �(t) �e limitado, isto �e, 9 ~� tal que �(t) 2 [1; ~�℄,8t � to. Pois, aso ontr�ario, v(t) = jB01P 1=2(�(t) [P 1=2(�(t))x(t)℄j ! 0 �a medida que t!1e existiria T � to tal que v(t) � �=2; 8t � T , levando a uma ontradi� ~ao.A trajet�oria de estado x(t) �e limitada, omo onseq�uen ia de �(t) e V (x(t); �(t)) seremlimitados. Integrando _V novamente, hega-se �a seguinte desigualdade de dissipa� ~ao,V (t)� V (to) � Z tto _V (�) d�� Z tto � 2 jw(�)j2 � x0Q(�)x� d� (2.84)de onde segue que x 2 L2 sempre que w 2 L2. Segue tamb�em que u 2 L2, pois P (�) �elimitada. Claramente, ~� depende de k w k2 e jx(to)j, o que impede a obten� ~ao de ganho L2�nito.Utilizando a desigualdade de Young, pode-se obter a seguinte limita� ~ao em normaj _x(t)j � k1 + jx(t)j2 + jw(t)j2 (2.85)onde k1 � 0 �e uma onstante. Como x e w s~ao sinais L2, o lado direito de (2.85) �e unifor-memente, lo almente integr�avel (TEEL, 1998), (JONES, 1993, pg. 141). Por onseguinte, adesigualdade (2.85) juntamente om a ontinuidade absoluta de x(�) impli am que x(�) �e uni-formemente ont��nua (TEEL, 1998) em [to;1). Logo limt!1 x(t) = 0 e, onseq�uentemente,limt!1 �(t) = 1.Finalmente, fazendo w = 0 em (2.81) on lui-se que a origem �e globalmente assintoti a-mente est�avel.

64 Estabiliza� ~ao de Sistemas Lineares om Satura� ~ao no Controle2.8 Prova do Teorema 2.5.6Primeiramente, note que a introdu� ~ao da in erteza aditiva g(t; x) n~ao modi� a os argu-mentos de existen ia e uni idade de solu� ~ao apresentados na prova do Teorema 2.4.2. Ainda,todas as solu� ~oes do sistema em malha-fe hada (2.45), (2.40), (2.28), (2.29) est~ao ontidas no onjunto �(�) (eq. (2.75)).Considere novamente a fun� ~ao (2.76) e tome sua derivada (para quase todo ponto t � to)ao longo das trajet�orias de (2.45), (2.40), (2.28), (2.29) para obter_V = _x0P (�)x+ xP (�) _x+ x0 _P (�)x (2.86)Para o primeiro termo de (2.86) tem-se_x0P (�)x+ x0P (�) _x = x0(A0P (�) + P (�)A)x� 2x0P (�)B1 �((1 + q(x; �))B01P (�)x� g(t; x) )+2x0P (�)B2w= �x0Q(�)x+ x0P (�)B1B01P (�)x�2x0P (�)B1 �( (1 + q(x; �))B01P (�)x� g(t; x) )� 1 2 x0P (�)B2B02P (�)x+ 2x0P (�)B2w= �(1� �)x0Q(�)x� x0M(�)x+ 2w0w+(1 + �)x0P (�)B1B01P (�)x� 2x0P (�)B1 �(B01P (�)x)+2x0P (�)B1 ��(B01P (�)x)� �( (1 + q(x; �))B01P (�)x� g(t; x) )�� �(1� �)x0Q(�)x� x0M(�)x+ 2w0w+4 jg(t; x)j2q(x; �)� � (1� �)5 x0Q(�)x� x0M(�)x+ 2w0w (2.87)onde foi utilizado (2.48), Lema 2.7.1 e o seguinte fato (LIN, 1998a)x0P (�)B1 ��(B01P (�)x)� �( (1 + q(x; �))B01P (�)x� g(t; x) ) � � 2 jg(t; x)j2q(x; �) (2.88)Nota 2.8.1 Para ver que o fato a ima �e verdadeiro, note que para qualquer s > 0, u 2 Rm

2.9. Coment�arios Con lusivos 65e � 2 Rm , vale que sjuj � j�j ) u0 [�(u)� �( (1 + s)u+ � )℄ � 0Por outro lado, se sjuj � j�j ent~aou0 [�(u) � �( (1 + s)u+ � )℄ � juj js u+ �j� j�js ( sjuj+ j�j )� 2 j�j2s ?Seguindo pro edimento an�alogo �a prova do Teorema 2.4.2, on lui-se que, para quase todoponto t � 0, _�(t) � �sat(k (�(t)� 1) ) r(�(t); x(t))W ( v(x(t); �(t)) ) (2.89)Logo, x0 _P (�)x � x0M(�)x sat(k (� � 1) ) (2.90)impli ando, onjuntamente om (2.87), que_V � � (1� �)5 x0Q(�)x+ 2 w0w (2.91)A partir de (2.89) e (2.91), todos os resultados seguem onforme a prova do Teorema 2.4.2.2.9 Coment�arios Con lusivosNeste ap��tulo foi abordada a quest~ao da estabiliza� ~ao global de sistemas lineares om sa-tura� ~ao nos atuadores. Atrav�es da equa� ~ao alg�ebri a de Ri ati (ou do tipoH1) foi onstru��daa lei de ontrole parametrizada �B0P (�)x. A estrat�egia utilizada para obter estabilidade glo-bal a partir desta lei de ontrole foi es alonar o parametro � de a ordo om a evolu� ~ao doestado do sistema. A monotoni idade de P (�) permitiu utilizar este artif�� io para \ajustar oganho" da lei de ontrole e assim a magnitude do sinal de ontrole.Um algoritmo de es alonamento desta lei de ontrole foi proposto o qual se baseia direta-

66 Estabiliza� ~ao de Sistemas Lineares om Satura� ~ao no Controlemente na magnitude de B0P (�)x, isto �e, na ondi� ~ao jB0P (�)xj � �. Isto em ontraste om asestrat�egias adotadas em (TEEL, 1995a, MEGRETSKI, 1996, LIN, 1998a) que se baseiam em onjuntos elipsoidais ontidos em fx : jB0P (�)xj � �g, e, portanto, s~ao mais onservativas.A redu� ~ao de onservatividade �e veri� ada em dois exemplos de simula� ~ao, obtendo-seuma onvergen ia mais r�apida do estado para a origem. Diversas propriedades do algoritmoproposto foram tamb�em ilustradas om os resultados de simula� ~ao, espe ialmente a in uen iados parametros �, que determina o n��vel de satura� ~ao admiss��vel, e r, que determina a taxade re upera� ~ao do parametro es alonado.O algoritmo proposto tamb�em garante propriedades de robustez e atenua� ~ao de pertur-ba� ~oes as quais s~ao similares �as obtidas om os demais algoritmos de es alonamento, mos-trando que o ganho em desempenho n~ao impli a em perdas signi� ativas de robustez. Poroutro lado, o algoritmo proposto pode introduzir des ontinuidades no sinal de ontrole, o quepode ser visto omo uma desvantagem, embora as des ontinuidades sejam isoladas e, logo, haveamentos de alta freq�uen ia sejam des artados.

Cap��tulo 3Seguimento sob Restri� ~oes: UmaAbordagem por Anti-windup3.1 Introdu� ~aoO problema, assim denominado windup, �e um efeito n~ao-linear muito onhe ido dentroda omunidade ient��� a e pro�ssional de ontrole e estudado desde longa data (LOZIER,1956, FERTIK, ROSS, 1967). A essen ia deste problema est�a no efeito da satura� ~ao sobre odesempenho de um sistema de ontrole linear, espe ialmente no aso em que o ontroladorpossui a� ~ao integral.Como a atua� ~ao sobre o sistema �e limitada pela satura� ~ao, a sa��da do sistema leva maistempo para atingir o valor da referen ia. Durante todo este tempo, o ontrolador tentaaumentar a magnitude do ontrole atrav�es da a� ~ao integral; ontudo, esta atua� ~ao �e ortada(limitada) pela satura� ~ao, e o pro esso evolui omo que em malha aberta om atua� ~ao m�aximaem sua entrada. Devido a este fato, quando a sa��da do pro esso atinge o valor desejado, aa� ~ao integral estar�a om valor muito maior do que o valor de equil��brio. Como onseq�uen ia,a sa��da do sistema �e for� ada a experimentar uma sobre-eleva� ~ao para \des arregar" a a� ~aointegral. Este efeito �e denominado de sobre arga da a� ~ao integral (LOZIER, 1956, �ASTR�OM,RUNDQWIST, 1989).Em (DOYLE et al., 1987) s~ao estudados 4 asos, in luindo sistemas multivari�aveis, ilus-trativos do efeito do windup. Um dos asos tamb�em ilustra o fato de que o ontrolador n~aopre isa onter a� ~ao integral para que se veri�que o windup.De forma mais geral, no ontexto deste trabalho, entende-se omo windup todo efeito

68 Seguimento sob Restri� ~oes: Uma Abordagem por Anti-windupadverso de estabilidade e desempenho que apare e em um malha de ontrole no momentoem que o sinal de ontrole �e saturado. O problema do anti-windup onsiste ent~ao em propormodi� a� ~oes na malha de ontrole om o objetivo de reduzir o efeito do windup.Desta forma, a estrat�egia do anti-windup ara teriza-se por um projeto em duas etapas:1. O projeto do ontrolador, denominado ontrolador nominal, �e feito des onsiderando-sea existen ia de satura� ~ao.2. Um ontrole adi ional, denominado ompensador anti-windup, �e introduzido na malhapara ompensar o windup.Em ontraste om o projeto direto de um ontrole para o sistema om satura� ~ao, a es-trat�egia anti-windup permite a separa� ~ao do projeto nas duas etapas men ionadas. No projetodo ompensador nominal objetiva-se atender requisitos de desempenho, e, nesta etapa, as res-tri� ~oes s~ao negligen iadas. Na segunda etapa, objetiva-se garantir estabilidade na presen� a dasatura� ~ao, sem maior preo upa� ~ao om aspe tos de desempenho. N~ao obstante, pro ura-sepreservar, quando poss��vel, o desempenho induzido pelo ontrolador nominal. Uma vanta-gem desta metodologia vem do fato de que em muitas apli a� ~oes industriais h�a interesse emmanter ontroladores j�a projetados em malhas de ontrole, por�em introduzindo modi� a� ~oesadi ionais para garantir estabilidade na presen� a de perturba� ~oes e sinais de referen ia quefor� am os limites dos atuadores.Histori amente, o anti-windup tem sido utilizado no seguimento assint�oti o de referen ias,espe ialmente referen ias onstantes, em sistemas lineares envolvendo satura� ~ao no ontrole.Contudo, o fo o de aten� ~ao sempre re aiu sobre a sobre arga da a� ~ao integral. Nas palavrasde K.S. Walgama (WALGAMA, STERNBY, 1990)\Esta falta de onsisten ia dos estados do ontrolador que pode degradar o de-sempenho do ontrole �e de�nida omo o problema geral do windup. A tarefa do ontrolador anti-windup �e garantir esta onsisten ia."Neste ap��tulo, fo aliza-se o problema de seguimento sob restri� ~oes e utiliza-se o anti-windup omo abordagem para propor uma solu� ~ao para este problema. S~ao onsideradas restri� ~oestanto em magnitude omo em taxa de varia� ~ao no sinal de ontrole.Os resultados do ap��tulo 2, embora referentes ao problema de estabiliza� ~ao sob restri� ~oes,s~ao diretamente utilizados na solu� ~ao do problema de seguimento proposta neste ap��tulo no aso parti ular em que apenas restri� ~oes de magnitude s~ao onsideradas.

3.2. Seguimento de Referen ia om Restri� ~oes no Controle 69Este ap��tulo �e organizado da seguinte forma. Primeiramente, na se� ~ao 3.2, s~ao apresen-tados o problema de seguimento sob restri� ~oes e as prin ipais abordagens existentes na lite-ratura para este problema. Na se� ~ao 3.3 �e feita uma revis~ao t�e ni a-hist�ori a do anti-windupe apresentado o anti-windup L2. Com base nisto, na se� ~ao 3.4 �e proposta uma estrat�egiade ontrole para seguimento de referen ia sob restri� ~oes. Uma apli a� ~ao desta estrat�egia de ontrole �e desenvolvida na se� ~ao 3.5 ilustrando suas propriedades de desempenho. Por �m,s~ao apresentadas as on lus~oes do ap��tulo e as provas dos prin ipais resultados.3.2 Seguimento de Referen ia om Restri� ~oes no ControleNeste trabalho fo aliza-se o problema de seguimento de referen ia om restri� ~oes no on-trole. S~ao onsideradas duas lasses prin ipais de sinais de referen ia.De�ni� ~ao 3.2.1 Seja Rsp a lasse de fun� ~oes onstantes r : R ! Rp . /De�ni� ~ao 3.2.2 Seja Rasp a lasse de fun� ~oes r : R ! Rp assintoti amente onvergentes,isto �e, que s~ao ontinuamente diferen i�aveis e satisfazem limt!1 r(t) = �r, onde �r 2 Rp �ealguma onstante. /A presen� a de restri� ~oes no ontrole introduz ompli a� ~oes ainda mais severas quandoo problema em quest~ao �e o seguimento de referen ia ( omparativamente ao problema deestabiliza� ~ao). O efeito mais �obvio �e o sobre o desempenho, uma vez que a presen� a derestri� ~oes no ontrole impossibilita o seguimento de referen ias arbitr�arias. Por onseq�uen ia,torna-se ne ess�ario rede�nir o rit�erio de desempenho para o sistema em malha fe hada, ouseja, de idir a pol��ti a a ser adotada aso o sistema seja alimentado por sinais de referen ia\grandes".Por outro lado, a presen� a de sinais externos pode fa ilmente levar o sistema para al�emdo dom��nio de ontrolabilidade para zero e, da��, �a instabilidade. Este efeito �e mais grave queo primeiro, pois exige que pre au� ~oes sejam tomadas de antem~ao para garantir a estabilidade(limita� ~ao das trajet�orias) do sistema em malha fe hada.Diversas t�e ni as tem sido estudadas na literatura para abordar este problema. Estaspodem ser lassi� adas quanto aos objetivos de desempenho em duas ategorias:1. Desempenho garantido. Neste aso bus a-se garantir o desempenho de seguimentopara o sistema em malha fe hada. O objetivo ent~ao �e identi� ar a lasse de sinais de

70 Seguimento sob Restri� ~oes: Uma Abordagem por Anti-windupreferen ia admiss��veis, isto �e, os sinais de referen ia que o sistema �e apaz de seguir omo desempenho exigido (GRAETTINGER, KROGH, 1992).2. Desempenho male�avel. Neste aso bus a-se exibilizar o rit�erio de desempenho parao sistema em malha fe hada de forma a tolerar ertos efeitos das restri� ~oes no ontrole. Aestrat�egia de exibiliza� ~ao, notadamente dependente da apli a� ~ao pretendida, torna-seent~ao determinante para o projeto e o desempenho geral do sistema em malha fe hada.Tipi amente, erros de seguimento maiores s~ao tolerados durante transit�orios.No que segue, �e feita uma apresenta� ~ao su inta das t�e ni as do seguimento �otimo omrestri� ~oes ( onstrained optimal tra king), o ontrole por horizonte deslizante (re eding horizon ontrol - RHC), o ondi ionador de referen ia (referen e governor - RG) e o anti-windup (AW).Para fa ilitar a exposi� ~ao, esta se� ~ao se on entrar�a apenas em sistemas lineares dis retos omrestri� ~oes no ontrole.3.2.1 Seguimento �otimo om restri� ~oesConsidere o sistema linear dis retox(t+ 1) = Ax(t) +B�u(t)y(t) = Cx(t) (3.1)onde x 2 Rn , �u 2 Rm e y 2 Rp . Como o interesse �e no seguimento assint�oti o de set-pointou, mais generi amente, sinais de referen ia que onvergem para um valor onstante, assume-se que j�a foram in lu��dos, em (3.1), m integradores em sua entrada, isto �e, assume-se que(3.1) possui a seguinte estrutura24 u(t+ 1)xp(t+ 1) 35 = 24 Im 0Bp Ap 3524 u(t)xp(t) 35+ 24 ImBp 35�u(t)y(t) = h Dp Cp i 24 u(t)xp(t) 35 (3.2)onde xp representa o estado do pro esso original om realiza� ~ao (Ap; Bp; Cp;Dp). Assim,�u(t) � a de�nido pela rela� ~ao �u(t) := u(t+ 1)� u(t).Considere que o ontrole u est�a sujeito a restri� ~oes de magnitude e taxa de varia� ~ao, as

3.2. Seguimento de Referen ia om Restri� ~oes no Controle 71quais s~ao representadas por restri� ~oes na entrada �u(t) e no estado u(t),k u(t) k1�M; k �u(t) k1� R (3.3)Um erto sinal de referen ia r(t) �e dado e deseja-se projetar um ontrole �u de forma quea sa��da y(t) siga esta entrada de referen ia de a ordo om um erto rit�erio de desempenho,respeitadas as restri� ~oes no ontrole. Um dos rit�erios mais omuns �e o rit�erio quadr�ati o,ponderando o erro de seguimento, e = r � y, e o ontrole �u na formaJN (xo; r;�u) = N�1Xt=0 �e(t)0Qe(t) + (�u(t))0 R�u(t)� (3.4)onde R = R0 > 0, Q = Q0, (Q1=2; A) �e dete t�avel, N determina o horizonte de otimiza� ~aoe �u := (�u(0); �u(1); � � � ;�u(N � 1)). Em alguns asos pondera-se tamb�em o erro �nale(N), usualmente, tamb�em de forma quadr�ati a e(N)0 PF e(N), onde PF = P 0F > 0.O problema de seguimento om restri� ~oes onsiste em resolver o seguinte problema deotimiza� ~ao: min�u JN (xo; r;�u)sujeito a 8>>>>><>>>>>: k u(t) k1�M; t = 0; � � � ; N � 1k �u(t) k1� R; t = 0; 1; � � � ; N � 1x(t+ 1) = Ax(t) +Bu(t); t = 0; 1; � � � ; N � 1e(t) = r(t)� Cx(t); t = 1; 2; � � � ; N (3.5)O problema de seguimento �otimo om restri� ~oes (3.5) pode ser olo ado omo umproblema de programa� ~ao quadr�ati a (MAYNE, 1995) o qual pode ser fa ilmente resol-vido numeri amente. O resultado do problema de otimiza� ~ao �e uma seq�uen ia �otima�u�N = (�u�(0); �u�(1); � � � ;�u�(N � 1)) que, apli ada ao sistema (3.1), minimiza o ��ndi ede desempenho quadr�ati o (3.4) e satisfaz �as restri� ~oes impostas no problema. No presente aso em que o horizonte N �e �nito, om as hip�oteses sobre o fun ional (3.4), o problemasempre tem solu� ~ao.Note-se que a seq�uen ia �otima �u�N obtida �e um ontrole em malha aberta, portantosujeito a todos os problemas de implementa� ~ao inerentes a qualquer ontrole em malha aberta.Re entemente, em (BEMPORAD et al., 1999), uma solu� ~ao de malha fe hada para o problema(3.5) foi proposta. O ontrole �otimo obtido �e dado por uma realimenta� ~ao de estados a qual

72 Seguimento sob Restri� ~oes: Uma Abordagem por Anti-windup�e ont��nua e a�m por partes, onde o n�umero de partes depende de N e x(0), entre outrosparametros. A onstru� ~ao da lei de ontrole �e feita utilizando-se programa� ~ao quadr�ati amulti-param�etri a.No aso do horizonte ser in�nito, N =1, o problema � a mais omplexo. Primeiramente,para o problema fazer sentido, �e ne ess�ario que o seguimento assint�oti o seja poss��vel para areferen ia em quest~ao. Segundo, a solu� ~ao num�eri a do problema � a dif�� il, pois o problemapassa a ter dimens~ao in�nita. Com rela� ~ao a este �ultimo aspe to, sob ertas ondi� ~oes, �eposs��vel en ontrar a solu� ~ao do problema de seguimento om horizonte in�nito resolvendo-se um problema de horizonte �nito (SCOKAERT, RAWLINGS, 1998). A ondi� ~ao paraisto ser poss��vel �e que a lei de ontrole orrespondente ao seguimento �otimo sem restri� ~oessatisfa� a �as restri� ~oes de ontrole envolvidas para todo t � No para um erto No � 0. Neste aso, a lei de ontrole �otima para o problema de seguimento om horizonte in�nito pode ser onstru��da a partir do problema (3.5) om N � No in luindo-se um usto sobre o estado �naladequado (SCOKAERT, RAWLINGS, 1998, SZNAIER, DAMBORG, 1987).3.2.2 Controle om horizonte deslizanteNo ontrole om horizonte deslizante um problema de seguimento �otimo om restri� ~oese horizonte �nito, omo em (3.5), �e resolvido a ada instante de amostragem. Da seq�uen ia�otima assim obtida, o primeiro elemento, �u(0), �e implementado, isto �e, apli ado ao sistema.No instante de amostragem seguinte, todo o pro esso se repete e, assim, su essivamente.Nesta estrat�egia de ontrole, o modelo do sistema �e utilizado para a predi� ~ao de seu omportamento futuro na formaxt+k+1jt = Axt+kjt +B�ut+kjtyt+kjt = Cxt+kjt (3.6)onde xt+kjt representa do estado do sistema no instante t+ k predito no instante t. Ent~ao, trepresenta o instante de amostragem e k representa a evolu� ~ao do sistema dentro da janelade predi� ~ao. Assume-se que o estado �e medido no instante t, isto �e, xtjt = x(t).O usto a ser minimizado �e quadr�ati o no erro de seguimento, et+kjt := rt+kjt � yt+kjt, eno ontrole �ut+kjt,JN (xt; r;�ut) = N�1Xk=0 he0t+kjtQet+kjt +�u0t+kjtR�ut+kjti (3.7)

3.2. Seguimento de Referen ia om Restri� ~oes no Controle 73onde R = R0 > 0, Q = Q0, (Q1=2; A) �e dete t�avel e N �e o horizonte de predi� ~ao 1, e�ut := (�utjt; �ut+1jt; � � � ; �ut+N�1jt).Para al ular o usto JN (3.7) �e ne ess�ario onhe er o omportamento futuro do sinal dereferen ia. Em muitas apli a� ~oes pr�ati as, omo no seguimento de trajet�orias em rob�oti a,a referen ia �e de fato onhe ida a priori. Se este n~ao for o aso, omo, por exemplo, no ontrole manual de voo, pode-se optar por uma \predi� ~ao" do sinal referen ia (MILLER,PACHTER, 1997).O usto JN deve ser minimizado om respeito a �ut, respeitando as restri� ~oes envolvidase a dinami a (3.6), min�ut JN (xt; r;�ut)sujeito a 8>>>>>>>><>>>>>>>>:k ut+kjt k1�M; k = 0; � � � ; N � 1k �ut+kjt k1� R; k = 0; 1; � � � ; N � 1xtjt = xtdinami a (3.6)et+kjt = rt+kjt � yt+kjt; k = 1; 2; � � � ; N (3.8)

A lei de ontrole om horizonte deslizante �e onstru��da a partir da solu� ~ao �u�t do pro-blema de otimiza� ~ao (3.8) na forma �u(t) = �u�tjt (3.9)Nota 3.2.3 A ada instante de amostragem, um problema de otimiza� ~ao om horizonte N�e resolvido obtendo-se uma seq�uen ia �otima de dimens~ao N . Contudo, esta seq�uen ia �e um ontrole em malha aberta, om seus problemas intr��nse os de implementa� ~ao. Por isto, naestrat�egia do ontrole por horizonte deslizante, apenas o primeiro elemento desta seq�uen ia�otima �e implementado. O ontrole ent~ao passa a ser em malha fe hada, porque no pr�oximoinstante de amostragem, o estado �e medido, e nova solu� ~ao do problema de otimiza� ~ao �eobtida a partir desta medi� ~ao. ?Nota 3.2.4 O problema de otimiza� ~ao (3.8) pode fa ilmente ser olo ado omo um problemade programa� ~ao quadr�ati a (MAYNE, 1995). Embora o tratamento de restri� ~oes no estado1De forma mais geral pode-se onsiderar horizontes diferentes para o erro de seguimento (horizonte depredi� ~ao) e para o ontrole (horizonte de ontrole). Por simpli idade, assume-se aqui que os dois oin idem.

74 Seguimento sob Restri� ~oes: Uma Abordagem por Anti-windupn~ao seja o interesse entral deste trabalho, estas podem ser diretamente in orporadas no pro-blema (3.8), o que onstitui um dos maiores atrativos do ontrole om horizonte deslizante -a fa ilidade de lidar om restri� ~oes. ?As grandes di� uldades do ontrole om horizonte deslizante s~ao a garantia de fa tibi-lidade do problema de otimiza� ~ao e a garantia de estabilidade (CAMACHO, ALBA, 2000,RAWLINGS, 2000). No aso parti ular de sistemas lineares om restri� ~oes apenas no on-trole e om um usto do tipo (3.7), sempre h�a solu� ~ao para o problema de otimiza� ~ao (3.8),resolvendo-se ent~ao o primeiro problema2.A garantia de estabilidade, ontudo, �e um problema mais omplexo, espe ialmente no asode seguimento de referen ia. Os resultados existentes na literatura tratam de estabilidadeassint�oti a da origem, isto �e, n~ao tratam espe i� amente do aso de seguimento de referen ia.Estas ondi� ~oes de estabilidade est~ao intimamente ligadas �a imposi� ~ao de usto e restri� ~oes noestado �nal. Estas ondi� ~oes n~ao ser~ao exploradas neste trabalho por n~ao estarem dentro dofo o prin ipal. Para o leitor interessado, sugere-se (RAWLINGS, MUSKE, 1993, MICHALS-KA, MAYNE, 1993, ZHENG, MORARI, 1995b, CHEN, ALLG�OWER, 1997, KEERTHI,GILBERT, 1998, SCOKAERT et al., 1999).3.2.3 Condi ionador de erro/referen iaEmbora onstituam uma abordagem espe ��� a para o problema de seguimento de re-feren ia sob restri� ~oes, o ondi ionamento de erro (KAPASOURIS et al., 1988, GILBERT,TAN, 1991) e o ondi ionador de referen ia (GILBERT et al., 1995) podem ser vistos omot�e ni as parti ulares de anti-windup. De fato, ambos baseiam-se na hip�otese de existen iade um projeto ( ontrole nominal) que des onsidera a existen ia de restri� ~oes e onstituemmodi� a� ~oes neste la� o om o intuito de garantir estabilidade/desempenho. O que torna o ondi ionador de erro/referen ia um pou o parti ular �e a forma pela qual a modi� a� ~ao �eintroduzida, onde on eitos de otimiza� ~ao e onjuntos sa��da-admiss��vel s~ao utilizados.Nesta se� ~ao �e onsiderada apenas a formula� ~ao em tempo dis reto. Para o leitor interessa-do na formula� ~ao para sistemas ont��nuos sugere-se (KAPASOURIS et al., 1988) e referen iasl�a itadas.Considere que, para um dado sistema linear om restri� ~oes no ontrole, tenha sido proje-2N~ao est~ao sendo onsideradas restri� ~oes no estado. Estas restri� ~oes s~ao, usualmente, as respons�aveis porinfa tibilidade do problema de minimiza� ~ao.

3.2. Seguimento de Referen ia om Restri� ~oes no Controle 75tado um ontrole linear sem levar em onta estas restri� ~oes, e tome a seguinte representa� ~aoem tempo dis reto para o sistema em malha fe hada assim obtidox l(t+ 1) = A l x l(t) +B l r(t)y(t) = Cy l x l(t)z(t) = Cz l x l(t) +Dz l r(t) (3.10)Nesta representa� ~ao z 2 Rnz representa um onjunto de vari�aveis que devem satisfazer res-tri� ~oes representadas na forma z 2 Z � Rnz . Tanto restri� ~oes no estado omo no sinal de ontrole podem ser olo adas desta forma.Assume-se que, na ausen ia de restri� ~oes, o sistema (3.10) �e internamente est�avel e apre-senta um omportamento satisfat�orio, segundo algum rit�erio de interesse. A quest~ao �e queo sinal de referen ia pode fa ilmente levar o sistema a violar os limites da restri� ~ao z 2 Z,a qual deve ser respeitada. Diz-se ent~ao que o sinal de referen ia n~ao �e realiz�avel ou, maisformalmente, de�ne-se:De�ni� ~ao 3.2.5 Para o sistema (3.10), diz-se que uma referen ia onstante r �e realiz�avelem regime permanente se a ondi� ~ao de equil��brio satisfaz a restri� ~ao, isto �e, ze = Cz l xe l +Dz l r 2 Z. O onjunto de referen ias realiz�aveis em regime permanente �e o onjuntoRo := fr : Ho r 2 Zg (3.11)onde Ho := Dz l + Cz l(I �A l)�1B l. /De�ni� ~ao 3.2.6 Diz-se que o sinal de referen ia �e realiz�avel se a trajet�oria orrespondentesatisfaz z(t) 2 Z; 8t 2 Z�0 (se n~ao men ionado expli itamente, assume-se ondi� ~ao ini ialnula). /Condi ionador de erro. O t�e ni a do ondi ionador de erro restringe-se a sistemas quepossuam a estrutura parti ular de realimenta� ~ao na qual a entrada do ontrolador �e o sinal deerro e := r�y. Adi ionalmente, esta t�e ni a permite lidar apenas om restri� ~oes de magnitudeno sinal de ontrole. Assim, no ontexto do ondi ionador de erro assume-se que:Hip�otese 3.2.7 Para o sistema (3.10), sejam z = u, Z = fu : sat(u) = ug = fu :k u k1� 1ge Dz l = 0. .

76 Seguimento sob Restri� ~oes: Uma Abordagem por Anti-windupConforme ilustrado na Figura 3.1, o ondi ionador de erro (KAPASOURIS et al., 1988,GILBERT, TAN, 1991) onsiste em um ganho es alar vari�avel �(t) que atua sobre o sinal deerro e = r � y, modi� ando a entrada do ontrolador nominal. O objetivo do ondi ionadorde erro �e garantir que o sinal de ontrole u(t) satisfa� a os limites da satura� ~ao em todoinstante de tempo. O ganho es alar �(t) �e determinado a todo instante de tempo atrav�es deum problema de otimiza� ~ao baseado na medida do estado x (t) do ontrolador nominal. Seja(A ; B ; C ) uma realiza� ~ao do ontrolador nominal, ent~ao �(t) �e dado por�(t) = max� f0 � � � 1; A x (t) +B � e(t) 2 O1(A ; C ; Z)g (3.12)Controladornominal Pro esso- - - - - -6 ?r e ux us y�(t)I+� Figura 3.1: Esquema do ondi ionador de erro.Note que, om esta estrat�egia, o estado do ontrolador nominal x estar�a on�nado ao onjunto O1 sempre que ini iar dentro deste onjunto. Al�em disso, o problema de otimiza� ~aosempre ter�a solu� ~ao se o estado estiver em O1, pois, por de�ni� ~ao, x (t+ 1) estar�a em O1se �(t) = 0.Nota 3.2.8 Nota-se a��, um aspe to \preditivo" do ondi ionador de referen ia. Bus a-seatuar sobre o erro no instante atual para garantir que no pr�oximo instante de amostragem osistema ontinue satisfazendo a restri� ~ao no ontrole. ?Nota 3.2.9 Em (KAPASOURIS et al., 1988) o ondi ionador de erro �e onsiderado parasistemas ont��nuos, aso em que a obten� ~ao de �(t) envolve a derivada _x . �E tamb�em suge-rida uma es olha para �(t) aso a ondi� ~ao ini ial do ontrolador nominal n~ao esteja dentrodo onjunto sa��da-admiss��vel. O esquema �e estendido para sistemas dis retos em (GILBERT,TAN, 1991), onde O1 �e aproximado por um politopo, reduzindo onsideravelmente a om-plexidade do problema de otimiza� ~ao (3.12). ?Este esquema de ondi ionamento de erro (KAPASOURIS et al., 1988) garante estabi-lidade L1 om ganho �nito (BIBO) da referen ia para a sa��da y. Estas propriedades de

3.2. Seguimento de Referen ia om Restri� ~oes no Controle 77estabilidade para o sistema em malha fe hada s~ao poss��veis somente no aso em que o siste-ma �e assintoti amente est�avel em malha aberta, e o ontrolador nominal �e est�avel no sentidode Lyapunov (equivalentemente, os blo os de Jordan asso iados a autovalores sobre o eixoimagin�ario possuem dimens~ao 1). Sob estas ondi� ~oes, pode-se notar que para �(t) � 0,o sistema estabilizar�a em um valor onstante seja qual for o sinal de referen ia. Este fatonorteia a prova de estabilidade para este esquema.Nota 3.2.10 O ondi ionador de erro tamb�em garante que se a referen ia for tal que n~aoo orre satura� ~ao, ent~ao a referen ia n~ao �e modi� ada. Contudo, n~ao h�a garantia, emprin ��pio, de que para uma referen ia que ausa satura� ~ao, mas que onverge para um va-lor realiz�avel em regime permanente, o sistema em malha fe hada onverge para o mesmoequil��brio que o sistema nominal (GILBERT et al., 1995). ?A t�e ni a do ondi ionador de erro �e estendida em (KAPASOURIS et al., 1990) parasistemas lineares inst�aveis em malha aberta.Condi ionador de referen ia. Diferentemente do ondi ionamento de erro, no ondi i-onamento de referen ia (GILBERT et al., 1995) a modi� a� ~ao �e feita diretamente no sinalde referen ia, e tanto o estado do pro esso omo do ontrolador nominal s~ao utilizados pa-ra efetuar esta modi� a� ~ao. A Figura 3.2 ilustra o esquema b�asi o do ondi ionamento dereferen ia ( ompare om a Figura 3.1).Condi ionadorde Referen ia Sistema Nominalem Malha Fe hada- - --?r rm yzx lFigura 3.2: Esquema do ondi ionador de referen ia.O sistema em malha fe hada �e alimentado pela nova referen ia rm, a qual �e uma vers~aomodi� ada da referen ia original r. Os diversos esquemas de ondi ionamento de referen iadiferen iam-se pela estrat�egia de modi� a� ~ao da referen ia. Desta am-se, pelo menos, tresestrat�egias:� O ondi ionador est�ati o;� O ondi ionador dinami o;

78 Seguimento sob Restri� ~oes: Uma Abordagem por Anti-windup� O ondi ionador est�ati o modi� ado.Estas tres estrat�egias s~ao dis utidas abaixo. No ontexto desta se� ~ao, faz-se a seguintehip�otese, a qual n~ao �e restritiva onsiderando-se que (3.10) �e um sistema em malha fe hada.Hip�otese 3.2.11 A matriz A l �e Hurwitz; O par (Cz l; A l) �e observ�avel; o onjunto Z �e ompa to e determinado por um onjunto de desigualdades na forma Z = fz 2 Rnz : �i(z) �0; i = 1; 2; � � � ; n�g. .�E usual assumir tamb�em que as fun� ~oes � que de�nem Z sejam lineares, de forma que Zresulta em um politopo. Neste aso a ara teriza� ~ao do onjunto sa��da-admiss��vel tamb�em �edada por um politopo ou, na pior das hip�oteses, pode ser aproximada por um politopo.Nota 3.2.12 No ontexto da Hip�otese 3.2.11 tanto restri� ~oes no estado quanto no ontrolepodem ser in lu��das.Condi ionador est�ati o. O ondi ionador est�ati o �e a estrat�egia mais simples para on-di ionamento de referen ia. O sistema (3.10) �e alimentado pela referen ia modi� ada atrav�esde um ganho �(r; x l) na forma (GILBERT et al., 1995)x l(t+ 1) = A lx l(t) +B lrm(t)y(t) = Cy lx l(t)z(t) = Cz lx l(t) +Dz lrm(t)rm(t) = �(r; x l)r(t) (3.13)onde �(r; x l) = max� 2 [0; 1℄ 8<: A lx l(t) +B l � r(t) 2 O1(A l; C l; Z)Cz lx l(t) +Dz l � r(t) 2 Z 9=; (3.14)Observa-se que ondi ionador de referen ia assim obtido �e bastante similar ao ondi io-nador de erro. O ganho �(r; x l) obtido do problema de otimiza� ~ao (3.14) �e tal que a novareferen ia rm = �(r; x l) r apli ada ao sistema (3.10) mant�em o sistema dentro do onjuntosa��da-admiss��vel e garante que as restri� ~oes n~ao s~ao violadas. Note que a �ultima ondi� ~ao em(3.14) �e automati amente satisfeita se Dz l = 0.A despeito da simpli idade, o ondi ionador de referen ia (3.14) n~ao apresenta boas pro-priedades de estabilidade. De fato, �e ilustrado em (GILBERT et al., 1995) que os ila� ~oes

3.2. Seguimento de Referen ia om Restri� ~oes no Controle 79podem o orrer mesmo sob as ondi� ~oes da Hip�otese 3.2.11. Contudo, no aso em que areferen ia �e tal que as restri� ~oes n~ao s~ao violadas, o ondi ionador est�ati o n~ao atua, e odesempenho do sistema nominal �e garantido.Condi ionador dinami o. No ondi ionador de referen ia dinami o (GILBERT et al.,1995), a referen ia �e modi� ada de a ordo om a dinami arm(t+ 1) = rm(t) + �(r; xG) (r(t)� rm(t)) (3.15)onde xG = (rm; x l) �e o estado do sistema aumentado om a dinami a da referen ia modi�- ada. O ganho �(r; xG) �e o que deve ser determinado para garantir que as restri� ~oes sejamsatisfeitas bem omo a estabilidade do sistema.Nota 3.2.13 O ganho �(r; xG) determina rm(t+ 1) omo um elemento perten ente ao seg-mento de reta ligando r(t) a rm(t). Para � = 0, tem-se rm(t+1) = rm(t). Para � = 1, tem-seo outro extremo, rm(t+ 1) = r(t), onde a referen ia �e apenas atrasada em uma amostra. ?Construindo a representa� ~ao do sistema aumentado om o estado da referen ia modi� ada,pode-se hegar a seguinte representa� ~aoxG(t+ 1) = AG xG(t) +BG �(r; xG) (r(t) � [I 0℄xG(t))z(t) = CG xG(t) (3.16)onde AG = 24 I 0B l A l 35 ; BG = 24 I0 35 ; CG = h Dz l Cz l i (3.17)Baseado neste sistema aumentado, o ganho �(r; xG) �e es olhido omo a solu� ~ao do seguinteproblema de otimiza� ~ao (GILBERT et al., 1995)�(r; xG) = max f� 2 [0; 1℄ : AGxG(t) +BG � (r(t)� [I 0℄xG(t)) 2 O1(AG; CG; Z)g (3.18)Atrav�es da es olha (3.18), o sistema em malha fe hada (3.16) �e for� ado a operar dentro do onjunto O1(AG; CG; Z). Observe que este onjunto �e invariante para o sistema (3.16) omreferen ias onstantes e tais que r( dot) = rm(�). Em outros asos, a referen ia �e modi� adade forma que a propriedade de invarian ia seja preservada.

80 Seguimento sob Restri� ~oes: Uma Abordagem por Anti-windupNota 3.2.14 Como a matriz AG possui autovalores sobre o ��r ulo de raio unit�ario, n~ao h�agarantia de que o onjunto O1(AG; CG; Z) seja �nitamente determinado. Por isto, usual-mente utiliza-se uma aproxima� ~ao onstru��da da seguinte forma (GILBERT et al., 1995).Seja Z(�) := fz 2 Rnz : �i(z) � �� < 0; i = 1; 2; � � � ; n�g e de�na (veja De�ni� ~ao 3.2.5 eTeorema B.0.6) CG := 24 Ho 0Dz l Cz l 35Ent~ao, nas ondi� ~oes da Hip�otese 3.2.11, O1(AG; CG; Z(�)� Z) �e �nitamente determinadoe O1(AG; CG; Z(�) � Z) � O1(AG; CG; Z). �A medida que � tende a zero, a aproxima� ~ao�e melhorada. Contudo, no aso de Z(�) ser um politopo, o n�umero de v�erti es do politopoO1(AG; CG; Z(�)� Z), em geral, res e ilimitadamente quando � tende a zero. ?O desempenho do ondi ionador de referen ia dinami o �e formalizado no seguinte teorema, uja prova pode ser en ontrada em (GILBERT et al., 1995).Teorema 3.2.15 Seja O�1 := O1(AG; CG; Z(�)�Z) e seja R�o := fr : Ho r 2 Z(�)g e assumaque 0 2 int (R�o). Para o sistema (3.16) om �(r; xG) dado por (3.18), xG(0) 2 O�1 e omreferen ias limitadas, vale que:� Para todo t � 0, rm(t) 2 R�o, xG(t) 2 O�1 e z(t) 2 Z;� Se r(t)! ro e 9t1 2 Z; t1 > 0 tal que r(t) 2 R�o; 8t � t1, ent~ao 9t2 2 Z; t2 > 0 tal que�(r(t); xG(t)) = 1; 8t � t2;� Se r(t)! ro e ro =2 R�o, ent~ao, �(r(t); xG(t))! 0 e rm(t)! r�m 2 �(R�o). �O segundo item ara teriza a propriedade de estabilidade mais importante do ondi- ionamento de referen ia dinami o. Garante-se que o sistema re upera assintoti amente odesempenho do sistema nominal quando a referen ia onverge para um valor estati amenterealiz�avel. Esta propriedade �e uma garantia mais forte omparativamente ao que o ondi io-namento de erro e o ondi ionamento est�ati o garantem.Nota 3.2.16 O primeiro item mostra o prin ipal problema do ondi ionamento de referen iadinami o. A referen ia modi� ada � a restrita a valores que s~ao estati amente realiz�aveis,mesmo durante transit�orios. Desta forma, o desempenho do sistema omo um todo � a

3.2. Seguimento de Referen ia om Restri� ~oes no Controle 81prejudi ado, pois valores maiores de referen ia durante transit�orios poderiam a elerar a on-vergen ia da resposta do sistema. ?Condi ionador est�ati o modi� ado. Este problema do ondi ionador dinami o �e onseq�uen ia direta da exigen ia de invarian ia do onjunto O1(AG; CG; Z). Se(rm; x l) 2 O1(AG; CG; Z), ne essariamente rm 2 Ro. O ondi ionador est�ati o modi�- ado (MCNAMEE, PACHTER, 1998, MCNAMEE, PACHTER, 1999) tenta atenuar esteproblema exigindo a invarian ia de um outro onjunto obtido a partir de O1(AG; CG; Z).Conforme (MCNAMEE, PACHTER, 1998, MCNAMEE, PACHTER, 1999), para o ondi io-nador est�ati o ser�a assumido que r 2 R, isto �e, a referen ia �e es alar.Como r 2 R, O1(AG; CG; Z) 2 Rn+1 . Considere a proje� ~ao de O1(AG; CG; Z) sobre oespa� o de�nido por r = 0, isto �e,Xs := 8<:x 2 Rn : 9 rm 2 Ro tal que 24 rmx 35 2 O1(AG; CG; Z)9=; (3.19)Ent~ao, o ondi ionador est�ati o modi� ado onsiste em um ondi ionador est�ati o, isto�e, rm(t) = �(r(t); x l(t)) r(t), om o ganho �(r; x l) determinado do seguinte problema deotimiza� ~ao,�(r; x l) = max f� 2 [0; 1℄ : A lx l(t) +B l � r(t) 2 Xs; Cz lx l(t) +Dz l � r(t) 2 Zg (3.20)Como se veri� a fa ilmente, a �uni a diferen� a entre o ondi ionador est�ati o modi� ado eo ondi ionador est�ati o �e o uso do onjunto Xs em lugar de O1(A l; Cz l; Z). Como ilustrado om um exemplo em (MCNAMEE, PACHTER, 1998), O1(A l; Cz l; Z) 2 Xs e Xs pode ser onsideravelmente maior. Tamb�em, omo o problema de otimiza� ~ao n~ao exige a invarian iade O1(AG; CG; Z), n~ao h�a restri� ~ao da referen ia a valores estati amente realiz�aveis.Nota 3.2.17 A implementa� ~ao do ondi ionador est�ati o modi� ado exige a onstru� ~ao do onjunto Xs, o qual, por sua vez, ne essita de O1(AG; CG; Z). Em (MCNAMEE, PACHTER,1998) �e apresentado um algoritmo para determinar Xs a partir de O1(AG; CG; Z) no asoem que O1(AG; CG; Z) �e um politopo. Pode-se tamb�em onstruir Xs a partir de O�1 (vejaTeorema 3.2.15) quando O1(AG; CG; Z) n~ao for �nitamente determinado. Sendo Xs e Zpolitopos, as restri� ~oes no problema de otimiza� ~ao (3.20) ser~ao todas lineares, o que simpli-� a onsideravelmente a solu� ~ao do problema. Em (MCNAMEE, PACHTER, 1998) tamb�em

82 Seguimento sob Restri� ~oes: Uma Abordagem por Anti-windup�e apresentado um algoritmo para obter uma aproxima� ~ao de Xs om um n�umero menor dev�erti es, permitindo reduzir a omplexidade omputa ional na implementa� ~ao do ondi iona-dor de referen ia. ?Nota 3.2.18 Claramente, as restri� ~oes s~ao sempre satisfeitas por onstru� ~ao do algoritmo.Tamb�em, o problema de otimiza� ~ao sempre tem solu� ~ao, pois � = 0 sempre �e solu� ~ao. Confor-me a�rmado em (MCNAMEE, PACHTER, 1998) (sem prova), o ondi ionador de referen iamodi� ado garante estabilidade BIBO (entrada limitada, sa��da limitada). Contudo, n~ao �efeito nenhum oment�ario a respeito do problema das os ila� ~oes do ondi ionador est�ati omen ionado anteriormente (veja (GILBERT et al., 1995)). ?Como se pode observar, as diversas t�e ni as de ondi ionamento de erro e referen iapro uram garantir que as restri� ~oes sejam satisfeitas alimentando o sistema om um sinal dereferen ia modi� ado. Como o objetivo �e o seguimento da referen ia, bus a-se modi� ar areferen ia o m��nimo poss��vel. Para que o seguimento assint�oti o seja poss��vel, �e laro quea referen ia deve ser realiz�avel em regime permanente. Contudo, a velo idade da respostado sistema pode ser aumentada permitindo que o sinal de entrada assuma valores \maiores"durante o transit�orio. Da�� a importan ia de permitir que o ondi ionador de referen ia n~ao�que restrito a valores de referen ia estati amente admiss��veis.Nota 3.2.19 �E razo�avel admitir que se o ontrolador nominal for projetado om ganhoselevados, pequenos valores de referen ia podem ausar a satura� ~ao do sinal de ontrole.Logo, o projeto do ontrolador nominal afeta o tamanho dos onjuntos O1(A l; Cz l; Z),O1(AG; CG; Z) e Xs, que, por sua vez, afeta o ondi ionador de referen ia. ?A t�e ni a do ondi ionador de referen ia pode ser estendida para sistemas n~ao-lineares.Alguns resultados nesta dire� ~ao podem ser en ontrados em (BEMPORAD, 1998, ANGELI,MOSCA, 1999) e referen ias l�a itadas.3.3 A T�e ni a do Anti-WindupEsta se� ~ao �e desenvolvida para sistemas em tempo ont��nuo. Um breve hist�ori o doproblem do anti-windup �e apresentado, e a t�e ni a do anti-windup L2 �e desenvolvida maisdetalhadamente. Apenas restri� ~oes em magnitude s~ao onsideradas nesta se� ~ao.

3.3. A T�e ni a do Anti-Windup 83Considere o sistema _x = Ax+B1us +B2wy = Cx+D1us +D2w (3.21) om x 2 Rn , us 2 Rm , w 2 Rnw , y 2 Rp e om satura� ~ao no ontrole representada porus = satM (u) (3.22)Alternativamente, a fun� ~ao de transferen ia de us para y ser�a representada por G(s).Suponha que um ontrole (possivelmente n~ao-linear) tenha sido projetado para o sistema(3.21) (desprezando-se o efeito da satura� ~ao). Considere a seguinte representa� ~ao para este ontrolador. _x = g(x ; u ; r)y = k(x ; u ; r) (3.23)onde u e y s~ao entrada e sa��da do ontrolador, respe tivamente, e r �e a entrada de referen ia.O ontrolador (3.23) ser�a denominado de ontrolador nominal. Similarmente, ser�a denomi-nado de sistema nominal o sistema (3.21) em malha fe hada om (3.23) de a ordo om ainter onex~ao3 u = y; us = y (3.24)Assuma que o ontrolador (3.23) foi projetado om o objetivo de garantir um determinadodesempenho para o sistema nominal, medido em termos da vari�avelz = Czx+Dzuus +Dzww (3.25)Muitas t�e ni as de anti-windup assumem que o ontrolador nominal �e linear na forma_x = A x +B u +E ry = C x +D u + F r (3.26)sendo que algumas assumem uma estrutura ainda mais parti ular, representada em termos3Nesta inter onex~ao us �e tomada omo entrada do sistema, eliminando assim a in uen ia da satura� ~ao,equa� ~ao (3.22).

84 Seguimento sob Restri� ~oes: Uma Abordagem por Anti-windupda vari�avel de Lapla e s omo, y = K(s) (r � y) (3.27)onde K(s) �e a matriz de transferen ia e o a ento^ representa a transformada de Lapla e dorespe tivo sinal.O problema do windup foi originalmente atribu��do �a presen� a de a� ~ao integral no on-trolador. T�e ni as de anti-windup foram ent~ao on ebidas para ontroladores tipo PID,isto �e, situa� ~oes em que o ontrolador nominal �e do tipo PID. Diversas estrat�egias, hojedenominadas ad ho , podem ser en ontradas na literatura para lidar om este aso: ba k- al ulation (FERTIK, ROSS, 1967), intelligent integrator (KRIKELIS, 1980), anti-reset win-dup (�ASTR�OM, WITTENMARK, 1984), e outras (ZENI et al., 1984).Como ilustrado em (DOYLE et al., 1987), o problema do windup n~ao � a restrito aos asos em que ontrolador possui a� ~ao integral. Assim, t�e ni as mais gerais de anti-windupforam ent~ao desenvolvidas admitindo ontroladores nominais lineares om m�ultiplas entradase sa��das: onditioning te hnique (HANUS et al., 1987, HANUS, KINNAERT, 1989), generali-zed onditioning te hnique (WALGAMA et al., 1992, WALGAMA, STERNBY, 1993); t�e ni abaseada em observador (�ASTR�OM, WITTENMARK, 1984, �ASTR�OM, H�AGGLUND, 1988);anti-windup para ontrole por modelo interno (ZHENG et al., 1994).Na t�e ni a baseada em observador (�ASTR�OM, WITTENMARK, 1984, �ASTR�OM,H�AGGLUND, 1988), o ompensador anti-windup onsiste em modi� ar o ontrolador no-minal linear (3.26) na forma_x = A x +B u + L(us � y )y = C x +D u (3.28)onde us = satM (y ). O ompensador de windup (3.28) pode ser visto omo um observadorde estados para o ontrolador nominal (3.26) (da�� a sua denomina� ~ao) onde se bus a fazer oestado observado ser tal que este ontrolador reproduza o ontrole saturado us.Em (WALGAMA, STERNBY, 1990) foi observado que diversas t�e ni as de anti-windup,in lusive a onditioning te hnique, ontinham propriedades intr��nse as de observa� ~ao de es-tados e podiam ser olo adas omo asos parti ulares da t�e ni a baseada em observador(3.28). Resultados similares tamb�em foram apresentados em (CAMPO, MORARI, 1990)onde tamb�em se rela ionou o anti-windup (3.28) om o ontrole por modelo interno.Mais tarde, em (KOTHARE et al., 1994), todas estas t�e ni as foram olo adas omo asos

3.3. A T�e ni a do Anti-Windup 85parti ulares da estrutura de anti-windup mostrada na Figura 3.3. O ontrolador nominal,linear e invariante no tempo, possui a estrutura dada na equa� ~ao (3.27). O ompensadoranti-windup �e obtido fazendo-seu = U(s)(r � y) + (I � V (s))us (3.29)onde U(s) e V (s) onstituem uma de omposi� ~ao fra ional linear de K(s), isto �e, K(s) =V �1(s)U(s).I � V (s)U(s)- - - -�6r � y u us

Figura 3.3: Parametriza� ~ao gen�eri a de ontroladores anti-windup (KOTHARE et al., 1994).Usando este resultado, uma de omposi� ~ao fra ional parti ular �e propostaem (MIYAMOTO, VINNICOMBE, 1996) permitindo realizar um projeto om desem-penho H1. Alguns projetos anti-windup baseados em otimiza� ~ao podem ser en ontrados em(ZHENG et al., 1994, PARK, CHOI, 1995, CHEN, PERNG, 1997).Uma metodologia de projeto de ompensadores anti-windup �e tamb�em apresentadaem (BURGAT, TARBOURIECH, 1998). Esta metodologia trata espe i� amente do aso emque o ontrolador nominal possui a� ~ao integral e garante estabilidade global para o sistemaem malha fe hada. A metodologia generaliza o resultado de (KRIKELIS, 1980) (integradorinteligente) para sistemas MIMO.3.3.1 O anti-windup L2A maioria das t�e ni as men ionadas, ex luindo-se apenas (PARK, CHOI, 1995, MIYA-MOTO, VINNICOMBE, 1996, BURGAT, TARBOURIECH, 1998), n~ao trata a quest~ao daestabilidade de forma adequada. Mesmo em (PARK, CHOI, 1995), garantias de estabilidadeglobal s~ao forne idas apenas para o aso do sistema em malha aberta ser est�avel. Similar-mente, o resultado de (MIYAMOTO, VINNICOMBE, 1996) s�o tem garantia de solu� ~ao paraeste aso parti ular.

86 Seguimento sob Restri� ~oes: Uma Abordagem por Anti-windupResultados mais formais para an�alise de estabilidade em problemas de anti-windup s~aopropostos em (KOTHARE, MORARI, 1999). Estes resultados baseiam-se na teoria de multi-pli adores, rit�erio do ��r ulo e rit�erio de Popov e forne em ondi� ~oes su� ientes para estabi-lidade do sistema em malha-fe hada om anti-windup. Tamb�em, em (KAPOOR et al., 1998),uma metodologia de projeto om garantias de estabilidade para o anti-windup baseado emobservador (3.28) foi proposta. A metodologia onsiste em projetar L de forma que um ertosistema auxiliar dependente de (3.21) e (3.26) seja passivo.Como tais resultados apli am-se apenas ao aso em que o ompensador de windup �e linear,�e de se esperar que as hip�oteses sejam muito severas, uma vez que os resultados do ap��tulo 1mostram limita� ~oes das leis de ontrole lineares no ontrole de sistemas om restri� ~oes nosatuadores. Assim, resultados menos onservativos passam pelo re onhe imento de que leis de ontrole n~ao-lineares devem ser permitidas no ompensador anti-windup.Este re onhe imento apare e em (TEEL, KAPOOR, 1997a), onde �e apresentado o anti-windup L2, introduzindo uma generaliza� ~ao onsider�avel no problema do anti-windup. Oesquema proposto admite ontroladores nominais n~ao-lineares e utiliza-se de ontrole n~ao-linear para ompensar os efeitos da satura� ~ao. Desta forma, um tratamento adequado doproblema de estabilidade lo al e global pode ser dado, ao mesmo tempo que os resultados onhe idos sobre a estabiliza� ~ao de sistemas lineares om satura� ~ao no ontrole podem serdiretamente utilizados no projeto do ompensador anti-windup.Para apresentar anti-windup L2, uma vers~ao perturbada do sistema (3.21), (3.22), (3.25)�e utilizada, _x = Ax+B1us +B2w +�(�o; x; u; w)y = Cx+D1us +D2wz = Czx+Dzuus +Dzwwus = �(u) (3.30)onde � �e uma perturba� ~ao dinami a est�avel om estado ini ial �o. Por simpli idade, assume-se que o ontrole nominal �e linear e dado por (3.26) om sinal de referen ia r na lasse Rasp.Assume-se tamb�em que o sistema nominal em malha fe hada, isto �e, (3.30) e (3.26) omu = y e us = y , �e bem olo ado e internamente est�avel. No ontexto do anti-windup L2, afun� ~ao satura� ~ao �(�) pode ser mais geral que satM (�). Os requisitos formais s~ao estabele idosadiante.No que segue, assinala-se om um til (~) as vari�aveis do sistema nominal em malha fe hada

3.3. A T�e ni a do Anti-Windup 87((3.30), (3.26) om u = y e us = y ). O problema do anti-windup L2 �e de�nido para um onjunto ompa to Ue � Rm omo segue (TEEL, KAPOOR, 1997a).De�ni� ~ao 3.3.1 O problema nominal global do anti-windup L2 para o onjunto Ue onsisteem (TEEL, KAPOOR, 1997a) en ontrar um ompensador dinami ov = 24 v1v2 35 = �aw(�(0); y ) (3.31)onde � �e o estado do ompensador, tal que o sistema em malha fe hada (3.30) ( om � � 0),(3.23), (3.31) na forma u = y + v1; u = y + v2 (3.32)satisfa� a1. Se �(0) = 0 e ~y (t) = �(~y (t)); 8t � 0, ent~ao z(t) = ~z(t); 8t � 0;2. Se distUe(~y (�)) 2 L2, ent~ao (z � ~z)(�) 2 L2.A vers~ao lo al onsiste em satisfazer estas duas ondi� ~oes para ondi� ~oes ini iais, pertur-ba� ~oes e referen ias tais que j�(0)j e k distUe(~y (�)) k2 s~ao su� ientemente pequenas. Avers~ao robusta onsiste em satisfazer estas ondi� ~oes para todo � om ganho in remental 4L2 su� ientemente pequeno. /O papel do onjunto Ue �e, basi amente, estabele er o onjunto de valores admiss��veis parao sinal de ontrole em regime permanente. Assume-se que este onjunto satisfaz a seguintehip�otese, em onjunto om a fun� ~ao satura� ~ao.Hip�otese 3.3.2 Seja Ue � Rm um onjunto ompa to tal que existem L > 0 e b > 0 taisque, para todo u; v 2 Rm e � 2 Ue,j�(u+ �)� �� uj � Lu0[�(u+ �)� �℄j�(u+ v)� �(u)j � minfLjvj; bg (3.33).4Diz-se que � possui ganho in remental L2 �nito se existe g > 0 tal que k �(x2; u2; d)� �(x1; u1; d) k2� g k x2 � x1u2 � u1 k2.

88 Seguimento sob Restri� ~oes: Uma Abordagem por Anti-windupNota 3.3.3 A primeira inequa� ~ao em (3.33) impli a que �(�) = �; 8 � 2 Ue (tome u =0). Pode-se mostrar que, no aso em que �(�) = satM (�), qualquer es olha para Ue omo onjunto ompa to estritamente ontido em fu : satM (u) = ug = fu : juij � Mg satisfaz aHip�otese 3.3.2. A ne essidade desta in lus~ao ser estrita pode ser entendida om o seguinteexemplo. Considere o sistema _x = sat(u) + d om d = �1 e tome Ue = [�1; 1℄. Suponhaque o ontrole nominal possua a� ~ao integral de forma que ~x(t) onverge para zero no in�nito.Neste aso ~y (t) = ~u(t) onverge exponen ialmente para 1 e, logo, distUe(~u) 2 L2. Contudo,para qualquer � > 0, x(0) � �� impli a x(t) � �� para todo t e, logo, x(t) =2 L2. Assim, nemo anti-windup L2 lo al teria solu� ~ao. ?O primeiro requisito da De�ni� ~ao 3.3.1 garante que o ompensador anti-windup n~ao mo-di� a o desempenho do sistema nominal nas ondi� ~oes em que n~ao o orre satura� ~ao. Osegundo requisito estabele e uma ondi� ~ao de estabilidade do sistema em malha fe hada e,ao mesmo tempo, uma medida da degrada� ~ao de desempenho do sistema em fun� ~ao do n��velde satura� ~ao do sinal de ontrole. Note que garantias s�o s~ao forne idas para o aso em quedistUe(~u) 2 L2. Em parti ular, isto requer que o sinal de ontrole em regime permanente sejarealiz�avel, isto �e, ~y (t) = �(~y (t)) em regime permanente.O seguinte lema �e ne ess�ario para a solu� ~ao do problema do anti-windup L2. Este lema �euma generaliza� ~ao dos resultados de (MEGRETSKI, 1996, TEEL, 1996b), e se fundamenta,par ialmente, na onstru� ~ao (2.19) apresentada no ap��tulo 2. O resultado do Teorema 2.4.2tamb�em pode ser adaptado para este �m.Lema 3.3.4 Considere a Hip�otese 3.3.2. Para o sistema_� = A� +B [�(u+ �(t)) � �(t)℄ (3.34)onde (A;B) �e estabiliz�avel,1. existe uma realimenta� ~ao u = �(�), globalmente Lips hitz, tal que o ganho L2 dedistUe(�(�)) para �(�) �e �nito para j�(0)j e k distUe(�(�)) k2 su� ientemente pequenos;2. se _x = Ax + Bu �e ANCBC, ent~ao existe uma lei de ontrole u = �(�), globalmenteLips hitz, tal que distUe(�(�)) 2 L2 impli a �(�) 2 L2;3. se existe P = P 0 > 0 tal que A0P + PA � 0, �(�) no item 2 pode ser tomada omo�(�) = �B0P�;

3.3. A T�e ni a do Anti-Windup 894. se A for Hurwitz o ganho L2 de distUe(�(�)) para �(�) �e �nito om a lei de ontrole doitem 3. ÆO pr�oximo teorema formaliza as ondi� ~oes para existen ia de solu� ~ao para o problema doanti-windup L2 (TEEL, KAPOOR, 1997a).Teorema 3.3.5 Para o sistema (3.30),(3.26), (3.24) o problema do anti-windup L21. sempre tem solu� ~ao lo al, tanto nominal quanto robusta;2. tem solu� ~ao global nominal se e somente se o sistema linear _x = Ax+B1 u �e ANCBC;3. tem solu� ~ao global robusta se e somente se A for Hurwitz;Sempre que uma solu� ~ao existe, o problema �e resolvido om o seguinte ompensador_� = A� +B1[�(y + v1)� y ℄ (3.35)v1 = k(�) (3.36)v2 = �C� �D1[�(y + v1)� y ℄ (3.37)onde �(�) �e obtido do Lema 3.3.4. �A Figura 3.4 ilustra o diagrama de blo os do sistema em malha-fe hada om ompensadoranti-windup. Este ompensador atua na entrada da planta, v1, e na entrada do ontroladornominal, v2. Note que a dinami a do ompensador anti-windup �e obtida de uma �opia par ialda dinami a da planta (3.30).ControladorNominal SistemaOriginal- - - - ---�?

6 AW ?�ru y u us zy

++++ v1v2 �+

Figura 3.4: Diagrama de blo os do sistema em malha fe hada om anti-windup L2.

90 Seguimento sob Restri� ~oes: Uma Abordagem por Anti-windupNota 3.3.6 As ondi� ~oes para existen ia de um ompensador de windup global s~ao as mes-mas ondi� ~oes para um sistema linear om satura� ~ao no ontrole ser globalmente estabiliz�avelpor realimenta� ~ao de estados. Isto �e onseq�uen ia do Lema 3.3.4, o qual �e uma extens~ao dosresultados do ap��tulo 2. Por outro lado, a existen ia de solu� ~ao lo al n~ao �e surpreenden-te, uma vez que, lo almente, o sistema se omporta omo um sistema linear, permitindo aobten� ~ao do desempenho requerido. ?Nota 3.3.7 Considere o aso parti ular em que o sistema (3.30) �e est�avel em malha abertae o ontrole nominal possui a estrutura (3.27). Seja P (s) a matriz de transferen ia de uspara �y := �y. Para v1(�) � 0, o sinal de ontrole u no sistema anti-windup em malha fe hadaresulta u = Kr �K �y +KP (us � u)(I +KP )u = K(r � �y) +KPusu = (I +KP )�1K(r � �y) + (I +KP )�1KPusu = (I +KP )�1K(r � �y) + [I � (I +KP )�1℄us (3.38)Comparando (3.38) om (3.29) nota-se que os dois oin idem para U = (I + KP )�1K eV = (I + KP )�1. Logo, o esquema de anti-windup (3.29) �e um aso parti ular do anti-windup L2. O fato de (I+KP ) ser invers��vel �e onseq�uen ia da hip�otese do sistema nominalser bem olo ado. ?Note que o Teorema 3.3.5, para o aso lo al, n~ao garante nenhuma regi~ao de atra� ~aoou limites espe ��� os sobre a magnitude da referen ia, perturba� ~oes e ondi� ~oes ini iais en-volvidas. Este problema �e melhor tratado em (TEEL, 1999), onde �e proposto um projetoespe ��� o para o aso de sistemas lineares om modos inst�aveis e satura� ~ao em magnitude no ontrole. O projeto �e onduzido utilizando-se uma fun� ~ao de Lyapunov quadr�ati a, fato queintroduz um grau de onservatividade onsider�avel em rela� ~ao ao dom��nio de estabilidade e amagnitude de k distUe(~us) k2. Neste projeto ainda exige-se que a referen ia e as perturba� ~oessejam tais que o sinal de ontrole seja realiz�avel em regime permanente. A t�e ni a propostana se� ~ao 3.4 estende estes resultados para o aso em que h�a limita� ~ao tanto em magnitude omo em taxa de varia� ~ao do sinal de ontrole bem omo os sinais de referen ia admiss��veiss~ao mais gerais.

3.3. A T�e ni a do Anti-Windup 91Prova: (do Teorema 3.3.5) Ser�a provada apenas a su� ien ia. Para uma prova omple-ta veja (TEEL, KAPOOR, 1997a). Considere a seguinte transforma� ~ao de oordenadas(�p; � ; �) := (x � � � ~x; x � ~x ; �) e seja � := [�p; � ℄0. Nas novas oordenadas o sistemaem malha fe hada (3.30), (3.26),(3.32), (3.35)-(3.37) tem a seguinte representa� ~ao._� = A l� + 24 �(x; �(y + v1); d) � �(~x; ~y ; d)0 35 (3.39)_� = A� +B1[�(y + v1)� y ℄ (3.40)v1 = k(�) (3.41)onde A l �e a matriz de estado do sistema nominal em malha fe hada om � � 0. Para�(0) = 0, (�p(0); � (0)) = (0; 0), e �(~y (t)) = ~y (t) para todo t � 0, segue de (3.39)-(3.41)( omo v1(0) = 0) que (�p; � ; �) = (0; 0; 0). Por sua vez, isto impli a z(�) = ~z(�), e o item 1 dade�ni� ~ao do problema do anti-windup L2 � a provado.Da transforma� ~ao de oordenadas pode-se obterjy � ~y j � 1j�jjx� ~xj � j�j+ j�jz � ~z = Cz(�p + �) +Dzu[�(y + v1)� ~y ℄ (3.42)Como �(�) �e globalmente Lips hitz, usando (3.33) obt�em-sej�(y + v1)� ~y j = j�(y � ~y + �(�) + ~y )� �(~y ) + �(~y )� ~y j� Ljy � ~y + �(�)j+ j�(~y )� ~y j� Ljy � ~y j+ L2j�j+ j�(~y )� ~y j� L1j�j+ L2j�j+ distUe(~y ) (3.43)onde L1 = 1L e L2 = LfL e Lf �e a onstante de Lips hitz de �(�).Como A l �e, por hip�otese, Hurwitz e � possui ganho in remental �nito limitado por g,segue que existem 1 > 0 e 1(�) 2 K tais que (3.39) satisfazk �(�) k2� 1(j�(0)j) + 2 g �k (x� ~x)(�) k2 + k (�(y + v1)� ~y )(�) k2 � (3.44)

92 Seguimento sob Restri� ~oes: Uma Abordagem por Anti-windupUtilizando (3.42) e (3.43), hega-se a seguinte rela� ~ao, onde L3 := 1 + L1 e L4 := 1 + L2,k �(�) k2� 1(j�(0)j) + 2 g �L3 k �(�) k2 +L4 k �(�) k2 + k distUe(~y (�)) k2 � (3.45)Das propriedades da fun� ~ao distan ia e de (3.33), segue quedistUe(y ) � distUe(~y ) + jy � ~y j (3.46)De (3.46), (3.42), e do Lema 3.3.4, segue que existem fun� ~oes i(�) 2 K; i = 2; 3; 4, tais que(3.40) satisfaz k �(�) k2� 2(j�(0)j) + 3 (k distUe(~y (�)) k2) + 4 (k �(�) k2) (3.47)De (3.47) e (3.45) segue que, para g, ondi� ~oes ini iais, e k distUe(~y ) k2 su� ientementepequenos, 3 e 4 podem ser tomadas omo lineares, e o teorema do pequeno ganho (vejaapendi e C) �e apli �avel, donde se on lui que �(�) 2 L2 e �(�) 2 L2 desde que distUe(~y (�)) 2L2. Logo (z� ~z)(�) 2 L2. Na hip�otese de A ser Hurwitz, 3 e 4 s~ao lineares e o resultado valeglobalmente em k distUe(~y (�)) k2 e nas ondi� ~oes ini iais, para g su� ientemente pequeno. �3.4 AW para Sistemas om Magnitude e Taxa de Varia� ~aoLimitadasNesta se� ~ao, uma estrat�egia baseada em anti-windup �e apresentada para o problema deseguimento de referen ia em sistemas lineares om modos inst�aveis e om limita� ~ao em mag-nitude e taxa de varia� ~ao no sinal de ontrole. A estrat�egia estende resultados anteriores emdiferentes dire� ~oes:� O resultado de (TEEL, 1999) �e estendido para sinais de referen ia mais gerais, dando-seum tratamento mais detalhado ao dom��nio de estabilidade e onsiderando-se tamb�emtaxa de varia� ~ao limitada no sinal de ontrole;� Os resultados de (GILBERT et al., 1995, MILLER, PACHTER, 1998, MCNAMEE,PACHTER, 1998, MCNAMEE, PACHTER, 1999) s~ao estendidos om ondi� ~oes deestabilidade menos restritivas e independentes do ontrolador nominal projetado;� O resultado apresentado pode ser visto omo uma onstru� ~ao mais expl�� ita do resultado

3.4. AW para Sistemas om Magnitude e Taxa de Varia� ~ao Limitadas 93de (TEEL, KAPOOR, 1997b) para o aso de sistemas lineares om modos inst�aveis e om limita� ~ao em magnitude e taxa de varia� ~ao no sinal de ontrole.Vale lembrar que o aso ombinado de restri� ~oes em magnitude e taxa de varia� ~ao no sinalde ontrole tem sido menos abordado na literatura. Al�em disso, grande parte dos resultadosdizem respeito a sistemas de tempo dis reto. Veja-se, por exemplo, prati amente toda aliteratura sobre o ondi ionador de referen ia (GILBERT, TAN, 1991, GILBERT et al., 1995,BEMPORAD et al., 1997, MILLER, PACHTER, 1998, MCNAMEE, PACHTER, 1998) e,similarmente, a literatura de ontrole por horizonte deslizante (RAWLINGS, MUSKE, 1993,SCOKAERT, MAYNE, 1998, SCOKAERT, RAWLINGS, 1998, CAMACHO, ALBA, 2000,RAWLINGS, 2000). No ontexto de sistemas de tempo ont��nuo, alguns resultados podemser en ontrados em (KAPASOURIS et al., 1988, SHEWCHUN, FERON, 1997, LIN, 1998a,TEEL, KAPOOR, 1997b).Considere um sistema linear ontendo modos inst�aveis. Sejam us 2 Rm , y 2 Rp e z 2 Rqa sua entrada, sa��da de vari�aveis mensur�aveis e sa��da de desempenho, respe tivamente. Sejax 2 Rn o seu estado e, sem perda de generalidade, onsidere a seguinte representa� ~ao para osistema_x = Ax+B us = 24 A� A120 A+ 35 x+ 24 B�B+ 35us (3.48)y = Cy x+Dy us (3.49)z = Cz x+Dz us; (3.50)onde A+ ont�em todos os autovalores om parte real estritamente positiva (modos inst�aveis)e A� ont�em todos os demais. Seja x := 24 x�x+ 35 om x+ 2 Rn+ e x� 2 Rn� o parti ionamento do estado orrespondente �a de omposi� ~aomodal apresentada.Ser�a onsiderado o aso em que a entrada de ontrole us do sistema (3.48)-(3.50) �e limitadaem magnitude e taxa de varia� ~ao. Tais restri� ~oes ser~ao representadas aumentando-se o estado

94 Seguimento sob Restri� ~oes: Uma Abordagem por Anti-windupdo sistema om o modelo _us = R sgn (satM (u)� us) ; (3.51)onde u 2 Rm �e a nova entrada de ontrole, sgn �e a fun� ~ao sinal, satM �e a fun� ~ao satura� ~ao om limite em M e R �e o valor m�aximo da taxa de varia� ~ao. Desta forma, assume-se quetodas as entradas de ontrole possuem as mesmas restri� ~oes. Este modelo orresponde aomodelo 4 da Tabela 1.2.Considere que um ontrole, possivelmente n~ao-linear, tenha sido projetado para o sistema(3.48)-(3.50) de forma a atender ertos requisitos de desempenho, sem levar em onta asrestri� ~oes no ontrole. Represente este ontrolador, denominado ontrolador nominal, naforma _x = g(x ; u ; r)y = k(x ; u ; r); (3.52)onde x 2 Rn �e o estado, r 2 Rq �e uma entrada de referen ia, u 2 Rp e y 2 Rm s~ao entradae sa��da do ontrolador, respe tivamente.O ontrolador nominal (3.52) em malha fe hada om o sistema (3.48)-(3.50) na formaus = y ; u = y; (3.53) onstitui o sistema nominal, o qual est�a ilustrado no diagrama de blo os da Figura 3.5. Emrela� ~ao ao sistema nominal, assume-se que:ControladorNominal-- Sistema --r y zyusu Figura 3.5: Diagrama de blo os do sistema nominal.Hip�otese 3.4.1 O projeto do ontrolador nominal (3.52) �e tal que:1. O sistema nominal �e bem olo ado, isto �e, � a garantida existen ia e uni idade desolu� ~ao;2. O sistema nominal �e internamente est�avel. Em parti ular, isto requer que o par (A;B)

3.4. AW para Sistemas om Magnitude e Taxa de Varia� ~ao Limitadas 95seja estabiliz�avel e o par (Cy; A) dete t�avel;3. Garante onvergen ia assint�oti a da vari�avel de desempenho na formalimt!+1 z(t) = r:4. Garante que, para ada referen ia onstante r, existe um �uni o equil��brio (x�; x� ) parao sistema nominal, o qual �e globalmente assintoti amente est�avel. .De�ni� ~ao 3.4.2 De a ordo om o item 4 da Hip�otese 3.4.1, de�na o mapa de equil��brioE : Rp ! Rn � Rm omo E(r) := (x�; u�) = (x�; y� ) (3.54)onde y� �e o ontrole asso iado ao equil��brio do sistema nominal (x�; x� ), orrespondente �aentrada de referen ia r. De�na tamb�em a variedade de equil��brio E � Rn � Rm omo o onjunto de todos os pares estado-entrada (x; us) do sistema linear (3.48) asso iados a umequil��brio do sistema nominal. Em fun� ~ao do mapa de equil��brio E (3.54), tem-seE := f(x; us) 2 Rn � Rm : 9 r 2 Rq tal que (x; us) = E(r)g : /3.4.1 O ompensador anti-windupComo o projeto do ontrolador nominal negligen ia as restri� ~oes de magnitude e taxade varia� ~ao no sinal de ontrole, problemas de estabilidade e desempenho podem apare erquando este ontrolador �e olo ado em malha fe hada om o sistema real, isto �e, om asinter onex~oes u = y; u = y (3.55)A quest~ao da estabilidade �e espe ialmente r��ti a devido ao fato do sistema (3.48) possuirmodos inst�aveis (autovalores om parte real estritamente positiva). Da�� adv�em a ne essidadede introduzir um ontrole adi ional, o ompensador anti-windup, para ompensar os efeitos

96 Seguimento sob Restri� ~oes: Uma Abordagem por Anti-windupdas restri� ~oes no ontrole garantindo dom��nios de estabilidade para o sistema em malha-fe hada.Por outro lado, o desempenho induzido pelo ontrolador nominal �e desej�avel para o sistemaem malha-fe hada. Apesar de n~ao ser poss��vel garantir este desempenho globalmente, aomenos lo almente (onde n~ao h�a in uen ia das restri� ~oes no ontrole), �e desej�avel que o sistemaem malha-fe hada se omporte omo o sistema nominal.Assim, o projeto do anti-windup deve a omodar estes dois requisitos prin ipais, isto �e,respeitar o desempenho induzido pelo ontrolador nominal, ao mesmo tempo que garan-te estabilidade para o sistema em malha-fe hada. A estrutura de anti-windup apresentadaem (TEEL, 1999) ontempla estes requisitos apenas no aso em que h�a limita� ~ao somenteem magnitude no sinal de ontrole e o sinal de referen ia �e realiz�avel, onservativamente, emregime permanente. Nesta se� ~ao prop~oe-se uma extens~ao do resultado de (TEEL, 1999) aqual permite tratar os asos de taxa de varia� ~ao limitada no sinal de ontrole e referen iasn~ao-realiz�aveis em regime permanente.O projeto a ser apresentado utiliza-se de uma estrutura para o ompensador anti-windupsimilar �a utilizada em (TEEL, 1999). Espe i� amente, a estrutura do ompensador anti-windup �e dada por _� = A� +B (us � y ) (3.56)v1 = �(x+; us; x+ � �+; �; y )� y (3.57)v2 = �Cy � �Dy (us � y ); (3.58)onde � 2 Rn ; u, x+ e y s~ao vari�aveis do sistema (3.48)-(3.50) e do ontrolador nominal (3.52);e � : Rn+ � Rm � Rn+ � Rn � Rm ! Rm �e uma fun� ~ao a ser projetada. O ompensadoranti-windup (3.56)-(3.58) �e one tado em malha fe hada om o sistema (3.48)-(3.50), (3.51)e o ontrolador nominal (3.52) de a ordo omu = y + v1; u = y + v2: (3.59)Nota 3.4.3 O ompensador anti-windup (3.56)-(3.58) utiliza a par ela x+ do estado do sis-tema. Nem sempre esta informa� ~ao �e mensur�avel diretamente, podendo ser ne ess�aria a me-di� ~ao ompleta do estado para obter-se tal informa� ~ao. Caso o estado n~ao seja mensur�avel,

3.4. AW para Sistemas om Magnitude e Taxa de Varia� ~ao Limitadas 97pode-se empregar observadores de estado, omo, por exemplo, em (SHAMMA, 1999). ?O sistema em malha fe hada (3.48)-(3.50), (3.51), (3.52), (3.56)-(3.58, (3.59) ser�a deno-minado de sistema anti-windup em malha fe hada. A Figura 3.6 ilustra o diagrama de blo osdeste sistema.ControladorNominal Limites dosAtuadores Sistema- - - - -�- �? �

-�?

6 AWru y u us zy+�

+++ + v1v2 x+

Figura 3.6: Diagrama de blo os do sistema anti-windup em malha-fe hada.A liberdade de projeto do ompensador anti-windup est�a na fun� ~ao �. Esta fun� ~ao deveser projetada de forma que o sistema anti-windup em malha fe hada satisfa� a os requisitosde desempenho j�a olo ados qualitativamente e que s~ao formalizados a seguir.3.4.2 RequisitosSeja X+ �X� uma soma direta do Rn ondizente om a de omposi� ~ao modal do sistema(3.48). Seja V � Rn+m o dom��nio de ontrolabilidade para zero do sistema (3.48), (3.51).Segue do Lema 1.5.2 que V = V+ [X�, onde V+ � Rn+ �Rm �e o dom��nio de ontrolabilidadepara zero do subsistema (x+; us).Como onseq�uen ia deste fato, a regi~ao de opera� ~ao do sistema em malha fe hada, emtermos de (x+; us), deve � ar restrita a V+. Seja U � V+ a regi~ao de opera� ~ao desejada,isto �e, o onjunto no qual as trajet�orias (x+(t); us(t)) devem permane er para todo t � 0. Aseguinte hip�otese �e feita em rela� ~ao ao onjunto U .Hip�otese 3.4.4 O onjunto U �e ompa to e estritamente ontido em V+. .Nota 3.4.5 Pode-se, �a primeira vista, pensar que a melhor ondi� ~ao para o sistema em malhafe hada seria obtida es olhendo-se U o mais pr�oximo poss��vel de V+. Contudo, veri� a-se queeste ra io ��nio �e enganoso. Isto porque o sistema (3.48) possui modos inst�aveis e, logo, exis-tem pontos sobre a fronteira de V+ que s~ao pontos de equil��brio do sistema (3.48) para algum

98 Seguimento sob Restri� ~oes: Uma Abordagem por Anti-windupvalor admiss��vel de us. Utilizando-se argumentos de ontinuidade de solu� ~oes om rela� ~ao �a ondi� ~ao ini ial, on lui-se que o sistema poder�a levar um tempo arbitrariamente grande pa-ra mover-se de uma ondi� ~ao ini ial arbitrariamente pr�oxima de um destes equil��brios. Estefato tem sido veri� ado na literatura (veja, por exemplo, (MILLER, PACHTER, 1998)) e �e onhe ido omo o sti kiness e�e t. ?A Nota 3.4.5 justi� a a es olha de U omo um onjunto estritamente ontido em V+, om o objetivo de evitar que o sistema tenha omportamento muito lento em determinadas ondi� ~oes de opera� ~ao. Baseado no onjunto U , onsidere a seguinte de�ni� ~ao.De�ni� ~ao 3.4.6 Para U � V+, satisfazendo a Hip�otese 3.4.4, sejam1. F um onjunto ompa to estritamente ontido em U ;2. F+ := fx+ 2 Rn+ : 9us 2 Rm tal que (x+; us) 2 Fg3. P : Rn+ � Rm ! F+ uma fun� ~ao ont��nua tal quex+ 2 F+ ) P(x+) = x+ : (3.60)/O papel dos onjuntos F , F+ e da fun� ~ao P ser~ao melhor expli itados na seq�uen ia daPropriedade 3.4.7. Em termos dos onjuntos U ;F e da fun� ~ao proje� ~ao P, a propriedade aseguir estabele e formalmente os requisitos de estabilidade e desempenho desejados para osistema anti-windup em malha fe hada.Propriedade 3.4.7 Denote por um til ( ~ ) as vari�aveis orrespondentes ao sistema nominalem malha fe hada ini iadas em (~x(0); ~x (0)) = (~x0; ~x 0). Ent~ao, o sistema anti-windup emmalha fe hada (3.48)-(3.50), (3.51), (3.52), (3.56)-(3.58, (3.59) �e tal que para (x(0); x (0)) =(~x0; ~x 0),1. Se �(0) = 0; us(0) = ~y (0), e existe um onjunto ompa to F0 e onstantes positivasM0, R0, tais que, (~x+(t); ~y (t)) 2 F0 � int(F)j~y (t)j �M0 < M; j _~y (t)j � R0 < R; 8t � 0

3.4. AW para Sistemas om Magnitude e Taxa de Varia� ~ao Limitadas 99ent~ao z(t) = ~z(t); 8t � 0.2. Se a ondi� ~ao ini ial satisfaz (x+(0); us(0)) 2 U e r �e limitada, ent~ao (x+(t); us(t)) 2U ; 8t � 0 e todas as trajet�orias s~ao limitadas.3. Se a ondi� ~ao ini ial satisfaz (x+(0); us(0)) 2 U e selimt!1(~x�(t); ~x+(t); ~x (t)) = (~x��; ~x�+; ~x� ); (3.61)ent~ao limt!1(x�(t); x+(t); x (t); �(t); us(t); z(t)) = (x��; P(~x�+); x� ; ��; u�s; z�). .A obten� ~ao dos requisitos estabele idos na Propriedade 3.4.7 para o sistema anti-windupem malha fe hada re ai sobre o projeto da fun� ~ao �, prin ipal parametro de projeto do ompensador anti-windup. Os pap�eis dos onjuntos U ;F e da fun� ~ao P e uma interpreta� ~aodos itens da propriedade 3.4.7 s~ao onsiderados a seguir.� O item 1 da Propriedade 3.4.7 estabele e as ondi� ~oes nas quais o sistema em malha-fe hada deve reproduzir o desempenho do sistema nominal. Duas o orren ias podemimpedir que o sistema em malha-fe hada se omporte omo o sistema nominal. Primeiro,porque os atuadores podem atingir seus limites. Segundo, porque a trajet�oria do estadopode estar se aproximando da fronteira da regi~ao de opera� ~ao. A primeira situa� ~ao �elevada em onta diretamente, enquanto que a segunda �e onsiderada atrav�es do onjuntoF . Assim, F determina uma sub-regi~ao dentro da regi~ao de opera� ~ao do sistema emmalha-fe hada onde a opera� ~ao �e onsiderada segura e o desempenho nominal podeser reproduzido. O onjunto F �e um parametro de projeto que pode ser es olhidoarbitrariamente dentro das ondi� ~oes da De�ni� ~ao 3.4.6. Quanto maior o onjunto F ,maior a regi~ao em que se pro ura respeitar a atua� ~ao do ontrole nominal.� O item 2 da Propriedade 3.4.7 se refere �a regi~ao de opera� ~ao U . O onjunto U deve serpositivamente invariante para a par ela da trajet�oria (x+(t); us(t)), independentementedo sinal de referen ia. Ao mesmo tempo, exige-se que as trajet�orias do sistema emmalha-fe hada sejam limitadas. Este item, al�em de impor a ne essidade do sistema� ar restrito �a regi~ao de opera� ~ao, tamb�em imp~oe a propriedade de entrada limitada -estado limitado om rela� ~ao ao sinal de referen ia.

100 Seguimento sob Restri� ~oes: Uma Abordagem por Anti-windup� Se o sinal de referen ia n~ao �e realiz�avel em regime permanente, o sistema anti-windupem malha-fe hada n~ao poder�a atingir o mesmo estado de equil��brio atingido pelo sistemanominal. �E desej�avel, ontudo, que o estado de equil��brio atingido esteja pr�oximo, se-gundo algum rit�erio, daquele atingido pelo sistema nominal. A fun� ~ao P �e respons�avelpor fazer este mapeamento entre o equil��brio do sistema nominal e o equil��brio do sis-tema anti-windup em malha-fe hada. O item 3 da Propriedade 3.4.7 estabele e ent~aoque o equil��brio atingido pelo sistema anti-windup em malha-fe hada deve ser tal quex�+ = P(~x�+). A fun� ~ao P �e de�nida omo uma identidade dentro do onjunto F+ deforma que, se o equil��brio do sistema nominal �e tal que ~x�+ 2 F+, ent~ao o sistema anti-windup onvergir�a para o mesmo equil��brio. O item 3 tamb�em exige que a onvergen iaseja assint�oti a para qualquer ondi� ~ao ini ial onsistente om a regi~ao de opera� ~ao U .Nota 3.4.8 A fun� ~ao P pode, em prin ��pio, ser de�nida livremente para pontos fora de F+.Uma es olha poss��vel �e a proje� ~ao ortogonal sobre o onjunto F+, isto �e, tal quejP(x+)� x+j = distF+(x+); 8x+ 2 Rn+ ?3.4.3 Projeto de �O projeto direto de � para atender aos requisitos da Propriedade 3.4.7 �e muito dif�� il.Nesta se� ~ao, �e apresentada uma estrat�egia de projeto para � que se baseia na realiza� ~aode um projeto de uma lei de ontrole mais simpli� ada. Para introduzir esta metodologia, onsidere as seguintes de�ni� ~oesDe�ni� ~ao 3.4.9 Com base nos onjuntos F e U , de�na uma fun� ~ao � : Rn+ �Rm ! [0; 1℄, ontinua em todos seus argumentos e tal que�(x+; us) := 8<: 1; if (x+; us) 2 F0; if (x+; us) 2 �U [ U : (3.62)/De a ordo om a De�ni� ~ao 3.4.9, o papel da fun� ~ao � �e lo alizar a par ela (x+(t); us(t))da trajet�oria em rela� ~ao aos onjuntos F e U . A liberdade na es olha de � est�a apenas na

3.4. AW para Sistemas om Magnitude e Taxa de Varia� ~ao Limitadas 101regi~ao F \ int(U) e sua in uen ia sobre o desempenho do sistema em malha-fe hada n~ao �esigni� ativa. Portanto, � n~ao �e vista omo um parametro de projeto. Uma es olha poss��velpara a fun� ~ao � �e �(x+; us) := min8<:1; dist(�U[U )(x+; us)infz2F dist(�U[U ) (z)9=; :Teorema 3.4.10 Sejam U 2 Rn+ � Rm , F , F+, E, P e � omo nas De�ni� ~oes 3.4.6, 3.4.2e 3.4.9. Considere a nota� ~ao da Propriedade 3.4.7.Ent~ao, o sistema anti-windup em malha-fe hada (3.48)-(3.50), (3.51), (3.52), (3.56)-(3.58, (3.59) satisfaz os requisitos da Propriedade 3.4.7 para qualquer es olha de � na forma�(x+; us; �+; �; y ) := (x+; us; P(�+); �; y ) + �(x+; us) (y � (�+; y ; �+; 0; y )) :(3.63)onde a fun� ~ao : Rn+ �Rm �Rn+ �Rn �Rm ! Rm �e ontinuamente diferen i�avel e tal quepara ada r 2 Rq (e seu orrespondente par de equil��brio (~x��; ~x�+; ~y� ) = E(r)) e para qualquer ondi� ~ao ini ial (x�(0); x+(0); us(0)) 2 Rn� � U , as seguintes propriedades s~ao satisfeitas:1. A lei de ontrole u = (x+; us; P(~x�+); x� ~x�; ~y� ) (3.64)garante estabilidade assint�oti a de um equil��brio (x��; x�+; u�s) 2 Rn� �F para o sistema(3.48), (3.51) om regi~ao de atra� ~ao in luindo Rn� � U e om x�+ = P(~x�+);2. Para qualquer ~x�+ 2 Rn+ e u; ~y� 2 Rm , (~x�+; u; ~x�+; 0; ~y� ) = ~y� ; (3.65)3. Para qualquer es olha de fun� ~oes assintoti amente onvergentes para zero "1(t), "2(t),"3(t) e "4(t), a lei de ontroleu = (x+; us; �(~x�+ + "1(t)); x� ~x� + "2(t); ~y� + "3(t)) + �(x+; us)"4(t) (3.66)para o sistema (3.48), (3.51), �e tal que U �e positivamente invariante, e todas as tra-jet�orias s~ao limitadas.

102 Seguimento sob Restri� ~oes: Uma Abordagem por Anti-windup�Com base no projeto da fun� ~ao , onforme os requisitos estabele idos no Teorema 3.4.10,uma fun� ~ao � pode ser diretamente obtida de (3.63), a qual garante que o sistema anti-windupem malha fe hada atende a todos os requisitos da Propriedade 3.4.7. �E importante ent~ao omparar o n��vel de di� uldade do projeto de om o n��vel de di� uldade que se teria noprojeto direto de �.Um primeiro aspe to est�a asso iado aos requisitos de desempenho no projeto de � estaremasso iados ao sistema anti-windup em malha fe hada enquanto que os requisitos para o projetode est~ao ligados somente ao sistema original (3.48), (3.51). Assim, as dinami as, tanto do ontrole nominal omo do ompensador anti-windup, n~ao afetam o projeto de .Um outro aspe to �e que o projeto de n~ao utiliza informa� ~oes de desempenho do sistemanominal, onsistindo basi amente em um problema de estabiliza� ~ao, ao inv�es de estabiliza� ~aomais desempenho, na presen� a de restri� ~oes de magnitude e taxa de varia� ~ao no sinal de on-trole. Assim, resultados existentes na literatura sobre este problema podem ser diretamenteapli ados no projeto de , em espe ial os resultados de (BLANCHINI, 1999, SHEWCHUN,FERON, 1997).Nota 3.4.11 Neste ponto � a mais lara a pol��ti a adotada om rela� ~ao ao seguimento dosinal de referen ia. O desempenho do sistema nominal om rela� ~ao ao seguimento da re-feren ia �e reproduzido pelo sistema anti-windup em malha-fe hada enquanto os limites dosinal de ontrole n~ao s~ao atingidos e a trajet�oria �e tal que a par ela (x+(t); us(t)) 2 F .Quando os limites dos atuadores s~ao atingidos, isto passa a n~ao ser mais poss��vel e o om-pensador anti-windup passa a atuar devido ao fato de us 6= u. Contudo, o sistema ontinua,dentro das limita� ~oes dos atuadores, bus ando seguir o sistema nominal. Este omportamentomuda quando a trajet�oria do sistema deixa o onjunto F . Neste ponto, a lei de ontrole �passa a mudar de a ordo om a fun� ~ao � e, quando a trajet�oria atinge a fronteira de U , � adeterminada apenas por . Das propriedades da fun� ~ao , veri� a-se que o sistema passaa objetivar o seguimento de P(~x+(t)), ao inv�es de ~x+(t), isto �e, o seguimento da referen iaoriginal passa a ser ignorado, e todos os esfor� os s~ao dire ionados para manter o estadolimitado e dentro da regi~ao de opera� ~ao U .Note-se que, em ontraste om a pol��ti a adotada em (GILBERT et al., 1995), a modi-� a� ~ao da referen ia atrav�es de P s�o �e introduzida quando a trajet�oria do sistema atinge afronteira de F . Note-se tamb�em que o sinal de referen ia pode assumir qualquer valor, seja

3.4. AW para Sistemas om Magnitude e Taxa de Varia� ~ao Limitadas 103ele realiz�avel ou n~ao, em regime permanente. ?Em algumas situa� ~oes parti ulares, o projeto de pode ser simpli� ado. A se� ~ao seguintedis ute duas destas situa� ~oes.3.4.4 Situa� ~oes parti ularesAusen ia de modos sobre o eixo j!: No aso em que o sistema (3.48) n~ao tem au-tovalores sobre o eixo imagin�ario, o estado x� �e limitado sempre que o sinal de referen iae a par ela x+ forem limitados. Assim, o item 3 do Teorema 3.4.10 reduz-se a garantir ainvarian ia de U , uma vez que isto impli ar�a nas limita� ~ao das trajet�orias. Contudo, omo ��e zero na fronteira de U , isto �e equivalente a exigir que a lei de ontroleu= (x+; us;P(~x�++"1(t)); x�~x�+"2(t); ~y� +"3(t)) (3.67)torne U positivamente invariante para quaisquer fun� ~oes "1(t), "2(t) e "3(t) assintoti amente onvergentes para zero.Uma simpli� a� ~ao adi ional que pode ser introduzida no projeto de para este asoparti ular est�a rela ionada ao seu quarto argumento. Considere, por exemplo, a seguinteestrutura para , (x+; us; P(~x�+); x� ~x�; ~y� ) = 1(x+; us; P(~x�+); ~y� ) + �(x+; us) 2(x� � ~x��);Nesta estrutura, 2 atua sobre os modos est�aveis do sistema (3.48) e, pode-se assumir 2(0) =0. Eventualmente, 2 pode ser es olhido identi amente zero, aso em que nenhuma a� ~ao ser�arealizada sobre os modos est�aveis.Na fronteira de U , o efeito de 2 �e zerado pela fun� ~ao �. Logo, 2 n~ao tem efeito sobre ainvarian ia de U e esta pode ser obtida atrav�es do seguinte ontrole em lugar de (3.67).u = 1(x+; us; P(~x�+ + "1(t)); ~y� + "3(t));Por onseq�uen ia, os itens 2 e 3 do Teorema 3.4.10 s~ao independentes de 2 e, se 2 � 0, oquarto argumento de � a des artado. Assim, para atender aos requisitos do Teorema 3.4.10�e su� iente projetar 1 om base apenas na par ela x+ do estado do sistema.

104 Seguimento sob Restri� ~oes: Uma Abordagem por Anti-windupSem modos inst�aveis: No aso parti ular em que o sistema n~ao ont�em modos inst�aveis,isto �e, n+ = 0, a regi~ao de ontrolabilidade para zero engloba todo o espa� o de estados Rn (vejaLema 1.5.3 e (SCHMITENDORF, BARMISH, 1980, SHEWCHUN, FERON, 1997)). Comoa par ela do estado x+ n~ao existe neste aso, as fun� ~oes � e P n~ao tem mais signi� ado, e asa��da (3.57) � a simpli� ada na formav1 = �(x+; us; x+ � �+; �; y ) � y = 0(us; �; y ) + y � 0(y ; 0; y ) � y = �(�); (3.68)onde se fez a es olha 0(us; �; y ) = �(�) + y , independente da vari�avel us. Se �(0) = 0, oitem 2 do Teorema 3.4.10 � a satisfeito. Os itens 1 e 3 do teorema resumem-se a garantirestabilidade assint�oti a global do sistema original (3.48) om restri� ~oes de magnitude e taxade varia� ~ao no sinal de ontrole e na presen� a de perturba� ~oes assintoti amente onvergentespara zero. O projeto de �(�) atendendo a estes requisitos pode ser feito empregando-seresultados existentes na literatura (TEEL, 1996a, SHEWCHUN, FERON, 1997, LIN, 1998b,LAUVDAL, 1998, FREEMAN, PRALY, 1998). No aso do sistema estar sujeito apenas arestri� ~oes em magnitude, o ompensador anti-windup (3.56)-(3.58) reduz-se ao ompensadoranti-windup L2 (3.35)-(3.37).3.5 Estudo de CasoNesta se� ~ao ser�a onsiderado um exemplo ilustrativo do problema de seguimento de re-feren ia om restri� ~oes no ontrole. Atrav�es deste exemplo, algumas propriedades de de-sempenho da t�e ni a baseada em anti-windup proposta na se� ~ao 3.4 s~ao elu idadas. Umaan�alise omparativa om as t�e ni as de seguimento �otimo, ontrole om horizonte deslizantee ondi ionamento de referen ia �e tamb�em apresentada.Os resultados apresentados nesta se� ~ao s~ao baseados em (BARBU et al., 1999), por�emdiversas extens~oes s~ao feitas para tornar a an�alise mais abrangente. Consiste em um ontroleda taxa de varia� ~ao do angulo de pit h em um ontrole manual de voo, onde �e onsideradoapenas o modelo longitudinal da aeronave.Considere o seguinte sistema linear ont��nuo orrespondente a um modelo linearizado da

3.5. Estudo de Caso 105dinami a longitudinal de uma aeronave.A = 24 �1 16 �2 35 ; b = 24 08 35 ; = h 0 1 i (3.69)Como estado tem-se x = [�; q℄0, onde � �e o angulo de ataque e q �e a taxa de varia� ~ao doangulo de pit h (pit h rate). A entrada us representa do efeito on entrado da atua� ~ao, e onsidera-se que �e limitada em magnitude (M = 0:35) e taxa de varia� ~ao (R = 0:7) na forma_us = R sgn(satM (u)� us) (3.70)O problema de seguimento onsiste em projetar um ontrole tal que o desempenho dosistema em malha fe hada reproduza o desempenho do seguinte modelo de referen ia,Gr(s) := yr(s)rr(s) = s+ 1s2 + 1:5s+ 1 (3.71)Para atingir tal objetivo, uma es olha poss��vel para o ontrole nominal �e a ilustrada naFigura 3.7 om Cff (s) = s+ 11:5s+ 1 ; Cfb(s) = 1:5s+ 18 s ; Ks = 18[�6 2℄ (3.72)Pode-se veri� ar fa ilmente que a fun� ~ao de transferen ia de r para y oin ide om Gr(s).Cfb(s) -Cff (s) - - -Ks6 �- 6 Sistemaoriginal -� +Nominal xr yControlador us+ +

Figura 3.7: Controle nominal.Para o sistema nominal em malha fe hada (Figura 3.7) a variedade de equil��brio E podeser obtida omo E = n(x1; x2; us) = �r; r;�r2� ; r 2 Ro (3.73)

106 Seguimento sob Restri� ~oes: Uma Abordagem por Anti-windupCom uma transforma� ~ao de oordenadas adequada, o sistema (3.69) pode ser diagonali-zado na forma 24 _x+_x� 35 = 24 1 00 �4 35 24 x+x� 35+ 24 b1b2 35 us (3.74a)y = h 1 2 i24 x+x� 35 (3.74b)A presen� a de um autovalor no semiplano direito indi a que o dom��nio de ontrolabilidadepara zero �e limitado na dire� ~ao de x+. No presente aso, o dom��nio do ontrolabilidade parazero pode ser determinado expli itamente omoV = V+ � R (3.75)V+ = f(x+; u) : juj �M; v(x+; u;M;R) < 0g (3.76)onde v(x+; u;M;R) = � [(x+ + b1u+ b1R)e(M�u)=R � b1(R+ 2M)℄[(x+ + b1u� b1R)e(M+u)=R + b1R℄ (3.77)Para evitar a opera� ~ao do sistema pr�oximo �a fronteira do dom��nio de ontrolabilidadepara zero, foi adotada omo regi~ao de opera� ~ao U o onjuntoU = f(x+; u) : juj �M; v(x+; u; ~M; ~R) � 0g (3.78)onde ~M = 0:7M e ~R = 0:7R. Por �m, o onjunto F �e es olhido uma ontra� ~ao de U , isto �e,para Æ > 0 pequeno, F = f(x+; u) 2 R � R : (1 + Æ)(x+; u) 2 Ug (3.79)Para o presente aso, foi adotado Æ = 0:01, signi� ando que os onjuntos F e U s~ao muitosimilares, por�em F � U estritamente.Os onjuntos V+, U e F5 est~ao ilustrados na Figura 3.8. A variedade de equil��brio tamb�em5Para tornar a �gura mais did�ati a, foi utilizado um valor maior para Æ, Æ = 0:05, na determina� ~ao do

3.5. Estudo de Caso 107

−0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

PSfrag repla ements x +uEFUV+

Figura 3.8: Conjuntos V+, U , F e E .esta mostrada na mesma �gura.Como o sistema n~ao ont�em autovalores om parte real nula, re ai-se em um dos asosparti ulares men ionados na se� ~ao 3.4.4 e pode ser projetada om base no subsistema x+.Para os onjuntos U e F des ritos a ima, a lei de ontrole (�1; �2) = � 1b1 (�1 +K(�1 � �2)) (3.80)satisfaz as ondi� ~oes do Teorema 3.4.10 para K 2 (0;Kmax) onde Kmax = e2M=R� 1e2M=R(2M=R�1)+1 .Note que no equil��brio, u = �x+=b1 = (x+; x+), satisfazendo o item 2 do teorema.Tamb�em, a lei de ontrole us = (x+; ��+) estabiliza globalmente o ponto x+ = ��+ na ausen iade restri� ~oes. Com isto, para provar os itens 1 e 3 do teorema, basta provar a invarian ia deU . Isto pode ser feito analisando as trajet�orias do sistema sobre a fronteira de U e on luindoque, para K dentro da faixa espe i� ada, nenhuma trajet�oria deixa U .O projeto do ompensador anti-windup � a terminado om uma es olha para �. Esta �e onjunto F .

108 Seguimento sob Restri� ~oes: Uma Abordagem por Anti-windupes olhida omo uma fun� ~ao ont��nua na forma 6�(x+; u) = 8<: 0; v(x+; u; ~M; ~R) � 0minf1; Kv v(x+; u; ~M; ~R)g; aso ontr�ario (3.81)O desempenho da estrat�egia anti-windup para seguimento de referen ia om restri� ~oesno ontrole �e analisado a seguir. O desempenho desejado �e determinado pelo modelo dereferen ia (3.71). A an�alise �e feita para um sinal de referen ia rr onsistindo em degraus naforma rr = 8>><>>: Ar 0 � t < 4s�Ar 4s � t < 8s0 8s � t � 12s (3.82)A Figura 3.9 ilustra a resposta do sistema anti-windup e do modelo de referen ia. Tamb�emmostra o sinal de ontrole do sistema anti-windup. Para este aso, o sistema anti-windupreproduz om boa pre is~ao o sinal de referen ia, resultanto em um bom desempenho deseguimento, pois prati amente n~ao h�a atua� ~ao dos limites dos atuadores.0 2 4 6 8 10 12

−1

−0.5

0

0.5

1

0 2 4 6 8 10 12−0.4

−0.2

0

0.2

0.4PSfrag repla ements u sy;r

t (s)t (s)

Figura 3.9: Resposta do sistema anti-windup em malha fe hada para Ar = 0:45 (linha s�olida).Sinal de referen ia (linha tra ejada).6Basta es olher Kv su� ientemente grande para que � = 1 em F .

3.5. Estudo de Caso 1090 2 4 6 8 10 12

−1

−0.5

0

0.5

1

0 2 4 6 8 10 12−0.4

−0.2

0

0.2

0.4PSfrag repla ements u sy;r

t (s)t (s)

Figura 3.10: Resposta do sistema anti-windup em malha fe hada para Ar = 0:7.

−0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

PSfrag repla ements usx +

Figura 3.11: Resposta do sistema anti-windup em malha fe hada para Ar = 0:7 (linha s�olida).Vista no plano (x+; us) em onjunto om a regi~ao de opera� ~ao U e a variedade de equil��brio(linha pontilhada).Na Figura 3.10 tem-se a resposta do sistema anti-windup e do modelo de referen ia paraum sinal de referen ia maior, no aso Ar = 0:7. Observa-se que o erro de seguimento �e maior

110 Seguimento sob Restri� ~oes: Uma Abordagem por Anti-windupneste aso, espe ialmente em torno do degrau para baixo na referen ia. Pare este sinal dereferen ia, os limites do atuador s~ao atingidos, bem omo a fronteira da regi~ao de opera� ~aoU . Isto �e melhor ilustrado na Figura 3.11, onde se tem a mesma trajet�oria da Figura 3.10mostrada no plano (x+; us) juntamente om a regi~ao de opera� ~ao U . Nota-se que o sistemaopera grande parte do tempo na fronteira da regi~ao de opera� ~ao. Ini ialmente, o sistemaopera apenas om o limite de taxa de varia� ~ao no atuador fazendo um seguimento pre isoda referen ia. Ao atingir a fronteira de U , o sistema �e impedido de ontinuar o seguimento elimita-se a garantir a invarian ia de U . Somente no �nal do ensaio o sistema onsegue voltarao seguimento pre iso do sinal de referen ia.Para propi iar uma an�alise omparativa de desempenho, s~ao apresentados, a seguir, re-sultados obtidos da apli a� ~ao de outras t�e ni as de seguimento de referen ia sob restri� ~oesao presente problema. Foram onsideradas as t�e ni as de seguimento �otimo om restri� ~oes, ontrole om horizonte deslizante e o ondi ionamento de referen ia. Para a apli a� ~ao des-tas t�e ni as o sistema (3.69) e o ontrolador nominal (Figura 3.7) foram dis retizados omper��odo de amostragem Ta = 0:1s.Seguimento �otimo om restri� ~oes. Nesta an�alise pro ura-se responder a seguinte per-gunta. Dadas as restri� ~oes do problema, o que pode ser feito de melhor, em termos deseguimento da referen ia em quest~ao?Para tratar esta quest~ao, um problema de seguimento �otimo om restri� ~oes �e formulado dea ordo om a se� ~ao 3.2.1. O sistema (3.69) em tempo dis reto �e aumentado om um integradorna entrada onforme (3.2), e o problema de otimiza� ~ao (3.5) �e resolvido para Q = 1, R = 1e N = 120. Ao problema (3.5) s~ao a res idas restri� ~oes para for� ar a opera� ~ao do sistemadentro do onjunto U . Para tanto, uma aproxima� ~ao polit�opi a do onjunto U �e onsiderada(Figura 3.12) para permitir a solu� ~ao do problema omo um programa quadr�ati o.A trajet�oria �otima obtida para as mesmas ondi� ~oes da Figura 3.10 est�a mostrada naFigura 3.13. Como seria de se esperar, devido �a natureza preditiva do ontrole �otimo, oseguimento da referen ia �e mais pre iso que o obtido om o anti-windup. Nota-se, ontudo,as mesmas limita� ~oes de seguimento nos instantes pr�oximos aos pi os de ima e de baixo daresposta, mostrando que estas n~ao s~ao limita� ~oes do anti-windup em si, mas s~ao devidas �aregi~ao de opera� ~ao.

3.5. Estudo de Caso 111

−0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

PSfrag repla ements usx +

Figura 3.12: Aproxima� ~ao polit�opi a do onjunto U .0 2 4 6 8 10 12

−1

−0.5

0

0.5

1

0 2 4 6 8 10 12−0.4

−0.2

0

0.2

0.4PSfrag repla ements u sy;r

t (s)t (s)

Figura 3.13: Seguimento �otimo om restri� ~oes para Ar = 0:7 (linha s�olida). Sinal de referen ia(linha tra ejada).Esta estrat�egia de seguimento �otimo, embora produza um bom resultado, n~ao �e pr�ati a,pois o ontrole obtido �e em malha aberta. O prop�osito de in luir este resultado �e apenas para�ns de ompara� ~ao.

112 Seguimento sob Restri� ~oes: Uma Abordagem por Anti-windupControle om horizonte deslizante. A estrat�egia de ontrole om horizonte deslizantedes rita na se� ~ao 3.2.2 �e tamb�em apli ada ao presente estudo de aso. O problema (3.8) �eresolvido on-line a ada instante de amostragem, e o ontrole implementado de a ordo om(3.9). Para a solu� ~ao deste problema �e onsiderado um horizonte N = 20 e pesos Q = R = 1.A Figura 3.14 ilustra os resultados obtidos. Quando a restri� ~ao da regi~ao de opera� ~ao U�e onsiderada, o ontrole om horizonte deslizante forne e desempenho similar ao seguimento�otimo (Figura 3.13). Neste aso, a restri� ~ao da regi~ao de opera� ~ao garante estabilidade,pois garante limita� ~ao do estado inst�avel que, juntamente a limita� ~ao do ontrole, garantelimita� ~ao do estado est�avel x�.0 2 4 6 8 10 12

−1

−0.5

0

0.5

1

0 2 4 6 8 10 12−0.4

−0.2

0

0.2

0.4PSfrag repla ements u sy;r

t (s)t (s)

Figura 3.14: Controle om horizonte deslizante para Ar = 0:7 e horizonte N = 20 implemen-tado sem (s�olida) e om (tra� o-ponto) a restri� ~ao da regi~ao de opera� ~ao U . Sinal de referen ia(tra ejada).Por outro lado, observa-se que o seguimento da referen ia �e mais pre iso quando a restri� ~aoda regi~ao de opera� ~ao n~ao �e onsiderada, mostrando que, permitindo-se uma maior regi~ao deopera� ~ao, �e poss��vel obter resultados melhores para sinais de referen ia espe ��� os. Contudo,neste aso, existem sinais de referen ia para os quais esta estrat�egia de ontrole �e inst�avel,espe ialmente sinais que n~ao s~ao realiz�aveis em regime permanente.

3.5. Estudo de Caso 113Condi ionamento de referen ia. Primeiramente o sistema (3.16) �e onstru��do a partirde (3.69) e do ontrolador nominal 7 (Figura 3.7) om sa��da z(k) = (u(k); u(k+1)�u(k)). O onjunto de restri� ~oes �e ent~ao determinado omo Z = f(u; v) 2 R �R : juj �M ; jvj � RTag.Com isto, uma aproxima� ~ao do onjunto sa��da admiss��vel �e obtida de a ordo om a Nota 3.2.14para � = 0:3M . Para obten� ~ao desta aproxima� ~ao foi utilizado (GILBERT et al., 1995,Algoritmo 3.2). Esta aproxima� ~ao �e representada por 304 desigualdades lineares 8.0 2 4 6 8 10 12

−1

−0.5

0

0.5

1

0 2 4 6 8 10 12−0.4

−0.2

0

0.2

0.4PSfrag repla ements u sy;r

t (s)t (s)

Figura 3.15: Resposta do ondi ionador de referen ia para Ar = 0:45 (linha s�olida). Re-feren ia (linha tra ejada).Com o onjunto sa��da admiss��vel assim obtido, o ondi ionador de referen ia (3.18) �eimplementado por meio de um programa linear resolvido on-line. Os resultados est~ao nasFiguras 3.15 e 3.16, as quais mostram simula� ~oes nas mesmas ondi� ~oes das Figuras 3.9e 3.10. Observa-se que o ondi ionador de referen ia produz uma resposta om forma similara referen ia, por�em om erro de seguimento onsider�avel no aso da Figura 3.16. Tamb�em,observa-se que o erro de seguimento no in�� io da simula� ~ao �e maior que no aso do anti-windup.Isto �e inerente ao ondi ionador de referen ia que limita, a priori, o sinal de referen ia avalores admiss��veis em regime permanente. O anti-windup, por outro lado, somente modi� ao ontrole nominal quando ne ess�ario, fato que lhe onfere uma resposta mais pr�oxima da7O ontrolador nominal possui um modo n~ao-observ�avel de sua sa��da, o qual pode ser removido para �nsde �al ulo do onjunto sa��da admiss��vel.8N~ao houve preo upa� ~ao em eliminar desigualdades redundantes, de modo que existem desigualdades des-ne ess�arias.

114 Seguimento sob Restri� ~oes: Uma Abordagem por Anti-winduplinear (mais r�apida) no in�� io.0 2 4 6 8 10 12

−1

−0.5

0

0.5

1

0 2 4 6 8 10 12−0.4

−0.2

0

0.2

0.4PSfrag repla ements u sy;r

t (s)t (s)

Figura 3.16: Resposta do ondi ionador de referen ia para Ar = 0:7 (linha s�olida). Referen ia(linha tra ejada).3.6 Prova do Teorema 3.4.10Na prova do teorema 3.4.10 utiliza-se o resultado do Lema 1.4.1.O teorema ser�a provado mostrando que, sob as ondi� ~oes estabele idas sobre , a fun� ~ao� de�nida por (3.63) �e tal que todos os itens da Propriedade 3.4.7 s~ao satisfeitos.Sejam X := x � �, Y := y + v2, z� := Cz � + Dz (u � y ) e Z := z � z�. A representa� ~aoo sistema anti-windup em malha fe hada (3.48)-(3.50), (3.51), (3.52), (3.56)-(3.58, (3.59) nasnovas oordenadas (X; x; x ; u) resulta,(X; x ) 8>>>>>>>><>>>>>>>>:

_X = AX +B y Y = CyX +Dy y Z = CzX +Dz y _x = g(x ; Y; r)y = k(x ; Y; r) (3.83)

3.6. Prova do Teorema 3.4.10 115(x; us) 8>><>>: _x = Ax+B us_us = R sgn ( satM (u)� us) ;u = (x+; us; P(X+); x�X; y ) + �(x+; us) (y � (X+; y ;X+; 0; y ))(3.84)Note que o sistema nesta forma possui uma estrutura em as ata, onde o subsistema(X; x ) alimenta o subsistema (x; us).Item 1. Sejam as seguintes ondi� ~oes ini iais para o sistema anti-windup em malha-fe hadax(0) = ~x(0) (3.85)x (0) = ~x (0) (3.86)u(0) = ~y (0) (3.87)�(0) = 0 : (3.88)Assim, (X(0); x (0)) = (~x(0); ~x (0)) e, omo as equa� ~oes des revendo o subsistema(X; x ) (3.83) oin idem om as equa� ~oes des revendo o sistema nominal, segue queX(t) = ~x(t); 8t � 0; (3.89)Z(t) = ~z(t); 8t � 0; (3.90)y (t) = ~y (t); 8t � 0: (3.91)Basta provar que, sob as ondi� ~oes deste item, (x(t); us(t)) = (X(t); y (t)) �e a �uni asolu� ~ao 9 do subsistema (x; us) (3.84). Deste fato, segue imediatamente que z�(t) = 0; 8t � 0,e da�� z(t) = ~z(t); 8t � 0.Para a prova da uni idade ser�a utilizado o Lema 1.4.1 ap�os derivar limites sobre juj e j _uj.Primeiramente note que P(X+(t)) = X+(t) = ~x+(t); 8t � 0 (3.92)fato que segue da hip�otese (~x+(t); ~y (t)) 2 F ; 8t � 0 em onjunto om a equa� ~ao (3.89) e apropriedade (3.60) de P(�).Adi ionalmente, se (x+; us) 2 F , segue da ompa idade de F e das equa� ~oes (3.48),9Pode-se fa ilmente veri� ar que esta onstitui uma solu� ~ao. Por�em, n~ao �e poss��vel a�rmar a sua uni idadediretamente, pois o lado direito de (3.84) n~ao �e lo almente Lips hitz.

116 Seguimento sob Restri� ~oes: Uma Abordagem por Anti-windup(3.51), que existe L > 0 tal que������ _x+_us ������ = ������ A+ x+ +B+ usR sgn (satM (u)� us) ������ � L: (3.93)Sejam Æ := infx2F0 dist�F (x) e T := Æ=L. Uma vez que F0 �e um onjunto ompa toestritamente ontido em F , a partir da desigualdade (3.93) e invo ando a ontinuidade desolu� ~oes om rela� ~ao ao tempo, pode-se a�rmar que para qualquer to � 0 (note que T n~aodepende de to),(x+(to); us(to)) 2 F0 =) (x+(t); us(t)) 2 F ; 8t 2 [to; to + T ℄; (3.94)De (3.85) obt�em-se x+(0) = ~x+(0), o qual ombinado om (3.87) e om a hip�otese de que(~x+(t); ~u(t)) 2 F0; 8t, permite on luir que (x+(0); us(0)) 2 F0. Assim, de (3.94) obt�em-seque (x+(t); us(t)) 2 F ; 8t 2 [0; T ℄, e utilizando-se (3.91), a de�ni� ~ao de �, e (3.92), o sinalde ontrole u �e dado poru(t) = ~y (t) + (x+(t); ~y ; X+(t); x(t) �X(t); ~y )� (X+(t); ~y ; X+(t); 0; ~y ); 8t 2 [0; T ℄ (3.95)Utilizando a ompa idade de F e a diferen iabilidade de , podem-se en ontrar fun� ~oes ont��nuas, n~ao-negativas e n~ao-de res entes �i; i = 1; 2; 3, tais que �1(0) = �2(0) = 0, e paratodo t 2 [0; T ℄,ju(t)j � j~y (t)j+ �1 (jx(t)�X(t)j)j _u(t)j � j _~y (t)j+ �2(jx(t)�X(t)j) + �3(jx(t) �X(t)j) j _x(t)� _X(t)j; (3.96)Como x(0) = X(0), us(0) = ~y (0) e pela ontinuidade das fun� ~oes �i; i = 1; 2; 3, para ada� > 0, existe T� > 0, independente das ondi� ~oes ini iais, tal que (lembrando que � = x�X)maxn�1(jx(t)�X(t)j); �2(jx(t)�X(t)j) + �3(jx(t)�X(t)j) j _x(t)� _X(t)jo � �; 8t 2 [0; T�℄:Assim, levando em onta as hip�oteses j~y (t)j � M0 < M , j _~y (t)j � R0 < R, e es olhendo

3.6. Prova do Teorema 3.4.10 117� = minfM �M0; R�R0g, as equa� ~oes em (3.96) podem ser limitadas onformeju(t)j �Mj _u(t)j � R; 8t 2 [0; T�℄: (3.97)As desigualdades em (3.97) permitem fazer uso do Lema 1.4.1 para obter que(x(t); us(t)) = (~x(t); ~y (t)); 8t 2 [0; T�℄;�e a �uni a solu� ~ao do subsistema (x; us) (3.84) para as ondi� ~oes ini iais (3.85) e (3.87) nointervalo [0; T�℄. Logo, (x+(T�); u(T�)) = (~x+(T�); ~y (T�)) 2 F0, e o mesmo argumento podeser repetido para estender a solu� ~ao para o intervalo [T�; 2T�℄, e, assim, su essivamente, at�eo tempo T . Como T �e uniforme om rela� ~ao ao tempo ini ial, a solu� ~ao pode ser estendidaat�e o in�nito, e o item 1 da Propriedade 3.4.7 est�a satisfeito.Item 2. Como as equa� ~oes do subsistema (X; x ) (3.83) oin idem om as do sistemanominal e, por hip�otese, (~x(t); ~x (t))! (~x�; ~x� ),X(t) = ~x� � "2(t)X+(t) = ~x�+ + "1(t)y (t) = ~y� + "3(t);onde "1(t), "2(t) e "3(t) s~ao fun� ~oes assintoti amente onvergentes para zero e ~y� =limt!1 ~y (t). Como, por hip�otese do Teorema 3.4.10 (item 2), (x+; y ; x+; 0; y ) = y para quaisquer x+ e y , ent~ao, por ontinuidade de ,"4(t) := y (t)� (X+(t); y (t); X+(t); 0; y (t))! 0 quando t!1;e u pode ser es rito omou(t) = (x+(t); us(t); P(~x�+ + "1(t)); x(t)� ~x� + "2(t); ~y� + "3(t))+�(x+(t); us(t)) "4(t): (3.98)Do item 3 do Teorema 3.4.10, on lui-se que para qualquer ondi� ~ao ini ial(x+(0); us(0)) 2 U , resulta (x+(t); u(t)) 2 U ; 8t � 0 e (x(t); u(t)) �e limitado. Conseq�uente-mente, todos os estados s~ao limitados, e o item 2 da Propriedade 3.4.7 est�a satisfeito.

118 Seguimento sob Restri� ~oes: Uma Abordagem por Anti-windupItem 3. Como "1(t), "2(t), "3(t) e "4(t) na equa� ~ao (3.98) s~ao onvergentes para zero,o item 3 do Teorema 3.4.10 garante limita� ~ao das trajet�orias. Devido �a hip�otese (3.61) noitem 3 da Propriedade 3.4.7 e devido a (3.89)-(3.91), segue quelimt!1(X�(t); X+(t); x (t)) = (~x��; ~x�+; ~x� ) : (3.99)Baseado em resultados sobre a estabilidade de sistemas em as ata (SEPULCHRE et al.,1997, ap. XX) apli ados sobre o sistema em as ata (3.83), (3.84), a estabilidade interna dosistema nominal e a hip�otese de estabilidade do item 1 do Teorema 3.4.10 (lembrando queas trajet�orias do sistema anti-windup em malha-fe hada s~ao limitadas) s~ao su� ientes paragarantir a propriedade de onvergen ia (lembrando que � = x�X)limt!1(x�(t); x+(t); x (t); �(t); us(t)) = (x��; x�+; x� ; ��; u�s):Adi ionalmente, pela equa� ~ao (3.63) e das propriedades de , segue quelimt!1u(t) = limt!1 (x+(t); us(t); P(~x�+); x(t)� ~x�; ~y� );Da��, pelo item 1 do Teorema 3.4.10, x�+ = P(~x�+), garantindo que o item 3 da Propriedade 3.4.7est�a satisfeita.3.7 Coment�arios Con lusivosO problema de seguimento de referen ia para sistemas lineares om modos inst�aveis e omrestri� ~oes tanto em magnitude omo em taxa de varia� ~ao no sinal de ontrole foi onsiderado.Uma estrat�egia de ontrole foi proposta a qual segue a abordagem do anti-windup.Resultados de simula� ~ao foram apresentados para um ontrole do angulo de pit h deuma aeronave, mostrando as prin ipais propriedades da estrat�egia proposta. Tamb�em foramapresentados resultados omparativos om outras estrat�egias de ontrole, a saber: ontrole�otimo sob restri� ~oes, ontrole om horizonte deslizante e ondi ionamento de referen ia.A estrat�egia de ontrole proposta n~ao imp~oe restri� ~oes sobre a magnitude do sinal dereferen ia, omo �e o aso no ondi ionador de referen ia. Tamb�em, a t�e ni a permite totalliberdade no projeto do desempenho de seguimento lo al (para sinais de pequena magnitude).No ondi ionador de referen ia, por outro lado, o ontrole lo al projetado interfere no dom��nio

3.7. Coment�arios Con lusivos 119de estabilidade garantido, pois o onjunto sa��da admiss��vel �e dependente do estado do ontrolenominal.A vantagem em n~ao impor restri� ~oes na magnitude do sinal de referen ia �e que, destaforma, pode-se manipular o sinal de referen ia para obter transi� ~oes mais r�apidas do sistemaem malha fe hada.Os resultados de simula� ~ao tamb�em foram omparados �as respostas obtidas om ontrole�otimo e om ontrole por horizonte deslizante. Estas t�e ni as, por sua natureza preditiva, onseguem uma melhor utiliza� ~ao do esfor� o de ontrole na tarefa de seguimento da referen ia.Por outro lado, a estrat�egia de ontrole baseada em anti-windup tem a vantagem de n~aoexigir a solu� ~ao de um problema de otimiza� ~ao on-line e n~ao exigir o onhe imento do sinalde referen ia futuro.

Cap��tulo 4Compensa� ~ao de Satura� ~ao emSistemas N~ao-Lineares4.1 Introdu� ~aoNeste ap��tulo onsidera-se o problema de satura� ~ao para sistemas n~ao-lineares. A pri-meira vista, pode pare er estranho, no ontexto de sistemas n~ao-lineares, tratar a satura� ~aono ontrole omo algo diferen iado, e n~ao apenas omo mais uma n~ao-linearidade no sistema.Entretanto, basta observar que a grande maioria dos sistemas pr�ati os se enquadra na lassede sistemas n~ao-lineares a�ns, possuindo uma representa� ~ao na forma_x = fa(x) + fb(x)u (4.1)Para este sistema, as n~ao-linearidades � am restritas ao estado, enquanto a entrada de ontrole n~ao sofre a a� ~ao direta de n~ao-linearidades. Pois que a satura� ~ao no ontrole �eexatamente isto, uma n~ao-linearidade presente no anal de entrada.O ponto ru ial da satura� ~ao no ontrole est�a em diferen iar drasti amente o omporta-mento lo al do sistema (sinais de ontrole pequenos) de seu omportamento em termos glo-bais (sinais de ontrole de magnitude maior). Esta separa� ~ao de omportamentos, ontudo,�e onsistente om os objetivos usuais de projeto, motivo pelo qual a satura� ~ao �e usualmentenegligen iada a priori. Negligen iar a satura� ~ao �e, sobretudo, uma fa ilita� ~ao do projeto,mesmo no ontexto de sistemas n~ao-lineares. N~ao obstante, negligen iar a satura� ~ao �e uma onsidera� ~ao muito menos restritiva do que linearizar o sistema em torno de um ponto de

122 Compensa� ~ao de Satura� ~ao em Sistemas N~ao-Linearesopera� ~ao. Da�� uma das ne essidades de onsiderar o problema da ompensa� ~ao de satura� ~aono ontexto de sistemas n~ao-lineares.Os requisitos de desempenho do sistema re aem usualmente sobre seu omportamentolo al, em torno do ponto de opera� ~ao. Em geral, di� ilmente ser�a ne ess�ario garantir desem-penho sobre uma ondi� ~ao de opera� ~ao do sistema f��si o a qual �e espor�adi a e, eventualmente,de ris o. Contudo, h�a ne essidade de estabele er garantias para que, mesmo nestas situa� ~oesadversas e espor�adi as, o sistema ainda opere em uma ondi� ~ao \segura".Desta observa� ~ao adv�em a no� ~ao de que os objetivos de ontrole s~ao distintos em diferentes ondi� ~oes de opera� ~ao do sistema. Notadamente, de a ordo om a dis uss~ao elaborada,objetivos de desempenho est~ao rela ionados ao omportamento lo al do sistema, enquantoestabilidade �e um objetivo de ontrole que deve valer em termos mais globais 1.Dado que os objetivos de ontrole lo ais e globais s~ao distintos, �e natural a alternativa deprojetar ontroladores distintos para atingir tais objetivos. Naturalmente, segue a ne essidadede \juntar", \uni� ar" estes ontrole distintos na tarefa de ontrolar o sistema em quest~ao.Este passo n~ao �e ne essariamente simples, uma vez que �e pre iso preservar o desempenhoinduzido pelo ontrolador lo al, pois, de outra forma, a metodologia n~ao faria sentido.O problema da ompensa� ~ao da satura� ~ao em sistemas n~ao-lineares pode ser visto dentrodesta formula� ~ao, tendo em vista a divis~ao natural (lo al, global) introduzida pela satura� ~ao.Tendo em vista que a grande maioria das t�e ni as de ontrole para sistemas n~ao-linearesassume que o sinal de ontrole �e ilimitado (REGINATTO, DE PIERI, 1999, REGINATTO,DE PIERI, 1998, REGINATTO, 1998, KHALIL, 1996, SEPULCHRE et al., 1997, KRSTI�Cet al., 1995), pode-se ver omo uma vantagem desta abordagem a possibilidade de utilizarestas t�e ni as para induzir o desempenho lo al do sistema.Neste ap��tulo, a estrat�egia de uni� a� ~ao de ontroladores lo ais e globais propostaem (TEEL, KAPOOR, 1997b) �e apresentada na se� ~ao 4.2. Com base neste estrat�egia, s~aorevelados aspe tos estruturais do anti-windup L2 e do ontrole proposto na Se� ~ao 3.4, umaestrat�egia anti-windup para seguimento de referen ia em sistemas lineares om limita� ~ao emmagnitude e taxa de varia� ~ao no sinal de ontrole.Esta metodologia de uni� a� ~ao de ontroladores �e parti ularizada para o problema de ompensa� ~ao de satura� ~ao em sistemas n~ao-lineares. �E desenvolvida uma apli a� ~ao destametodologia no ontrole de robos manipuladores, se� ~ao 4.4, atrav�es da qual mostram-se as-1A no� ~ao de global aqui n~ao est�a ligada a seu sentido estritamente te�ori o, mas a no� ~ao de que o dom��niode validade �e muito mais amplo do que a opera� ~ao em torno do equil��brio.

4.2. Uni� ando Controladores Lo ais e Globais 123pe tos de desempenho bem omo justi� a-se a importan ia de onsiderar o problema de ompensa� ~ao de satura� ~ao, mesmo no ontexto de sistemas n~ao-lineares.4.2 Uni� ando Controladores Lo ais e GlobaisNesta se� ~ao �e apresentada a estrat�egia de uni� a� ~ao de ontroladores lo ais e globaisapresentada em (TEEL, KAPOOR, 1997b). Esta t�e ni a ser�a posteriormente adaptada para a ompensa� ~ao de satura� ~ao em sistemas n~ao-lineares, espe i� amente em robos manipuladores.Ver-se-�a tamb�em que esta estrat�egia fundamenta o projeto anti-windup proposto na se� ~ao 3.4para seguimento assint�oti o de set-point.Considere o sistema n~ao linear _x = f(x; u) + dy = h(x) (4.2)onde x 2 Rn , y 2 Rp , u 2 Rm e d 2 Rn �e uma perturba� ~ao onstante e n~ao mensur�avel.Assume-se que f �e, ao menos, lo almente Lips hitz em (x; u).Dada uma referen ia r = r� 2 Rp , onstante, o objetivo geral de ontrole para o sistema(4.2) �e garantir estabilidade e onvergen ia assint�oti a para um equil��brio x� tal que y� =h(x�) = r�.Ata ar diretamente o problema de projeto para o sistema (4.2) pro urando atender esteobjetivo de ontrole �e uma tarefa omplexa. Uma alternativa para abordar o problema �edesdobr�a-lo em duas etapas:1. Um primeiro projeto �e realizado para garantir os objetivos lo ais, isto �e, a opera� ~aopr�oxima ao ponto de equil��brio. Neste projeto, utiliza-se um modelo modi� ado, even-tualmente linear, onsistente om (4.2) lo almente. Por ser um projeto v�alido apenaslo almente, ser�a denominado de ontrolador lo al.2. Um segundo projeto �e realizado diretamente sobre o sistema (4.2), por�em om o objetivoapenas de estabiliza� ~ao, sem levar em onta os requisitos de desempenho lo al. Este ontrolador ser�a denominado de global.Uma vez dispon��veis estes ontroles lo al e global, a t�e ni a apresentada a seguir permitejunt�a-los dinami amente de forma que tanto as ara ter��sti as de estabilidade garantidas

124 Compensa� ~ao de Satura� ~ao em Sistemas N~ao-Linearespelo segundo ontrolador omo as ara ter��sti as de desempenho lo al do primeiro sejampreservadas. Este pro edimento ser�a denominado de uni� a� ~ao destes ontroladores.O entendimento do ontrole lo al �e formalizado na seguinte hip�otese na qual onsidera-seque r e d s~ao onstantes. O aso geral de r e d possivelmente variantes no tempo �e onsideradonas se� ~oes 4.2.5 e 4.2.6.Hip�otese 4.2.1 (Controle lo al) Existe uma fun� ~ao F : Rn �Rm ! Rn e um ontroladorna forma _x = g(x ; u ; r)y = k(x ; u ; r) (4.3)tais que para ada valor admiss��vel de d e r, existe um ponto (x�; x� ) tal que1. F (x; u) = f(x; u) em uma vizinhan� a N de (x�; u�) onde u� = k(x� ; x�; r);2. Para o sistema em malha fe hada_x = F (x; u) + d; y = h(x) (4.4)_x = g(x ; x; r); u = k(x ; x; r) (4.5)o ponto (x�; x� ) �e globalmente assintoti amente est�avel e satisfaz h(x�) = r. .Exemplo 4.2.1 Para � ar mais lara rela� ~ao entre f e F , onsidere o aso em que o sistema(4.2) onsiste em um sistema linear om satura� ~ao, isto �e, f(x; u) = Ax + Bsat(u). Neste aso, uma es olha direta para F �e F (x; u) = Ax+Bu, a qual oin ide om f(x; u) para u naregi~ao linear da satura� ~ao. ?De a ordo om a Hip�otese 4.2.1, o ontrolador lo al �e projetado sobre a dinami a (4.4),a qual difere da dinami a do sistema original (4.2). As duas dinami as, determinadas porF e f , respe tivamente, oin idem em uma vizinhan� a N do ponto (x�; u�). Este pontoestabele e o valor de equil��brio do sistema (4.4)-(4.5) para os valores de r e d em quest~ao.O fato das duas dinami as oin idirem apenas em torno do ponto de equil��brio �e que ara teriza este projeto omo lo al. �E importante observar que o projeto �e lo al em rela� ~ao�a dinami a do sistema original (4.2). Em rela� ~ao �a dinami a modi� ada (4.4) o projeto �eglobal, isto �e, exige-se estabilidade assint�oti a global do equil��brio (x�; x� ) de (4.4)-(4.5).

4.2. Uni� ando Controladores Lo ais e Globais 125Esta exigen ia, entretanto, �e mais f�a il de ser atendida, uma vez que o modelo modi� ado �e,supostamente, mais fa ilmente estabiliz�avel.Nota 4.2.2 De a ordo om a Hip�otese 4.2.1, o ponto (x�; x� ) �e um ponto interior de N .Este ponto estabele e o valor de equil��brio do sistema (4.4)-(4.5) para os valores de r e d emquest~ao. Note que, quanto a esta hip�otese, n~ao h�a nenhum problema em d e r serem variantesno tempo, desde que sejam tais que o sistema nominal onvirja para um equil��brio em regimepermanente e que, no entorno deste equil��brio, a dinami a de (4.4) oin ida om a de (4.2).N~ao obstante, esta hip�otese imp~oe restri� ~oes sobre os valores admiss��veis de d e r. ?O sistema em malha fe hada (4.4)-(4.5) ser�a denominado de sistema nominal em malhafe hada. De a ordo om este sistema, denotando por (x(t;xo); x (t;x o)) a trajet�oria deestado no instante t ini iada em (xo; x o) e por u(t;xo; x o) o sinal de ontrole orrespondente,de�na o onjunto de ondi� ~oes ini iais para as quais a trajet�oria do sistema � a on�nada aN , isto �e, Z := f(xo; x o) 2 Rn � Rn : (x(t;xo); u(t;xo; x o)) 2 N ;8 t � 0g (4.6)Os requisitos sobre o ontrolador global s~ao formalizados na hip�otese a seguir.Hip�otese 4.2.3 (Controlador global) Sejam x�, u� e N onforme a Hip�otese 4.2.1. Exis-te uma fun� ~ao � : Rn � Rn � Rm ! Rm tal que�(x; x; u) = u; 8(x; u) 2 N (4.7)e tal que o ponto x = x� onstitui um equil��brio globalmente assintoti amente est�avel para osistema _x = f(x; u) + du = �(x; x�; u�) (4.8).A lei de ontrole � onsiste em uma realimenta� ~ao est�ati a de estados n~ao linear parao sistema (4.2). Esta lei de ontrole onstitui o ontrolador global, isto �e, deve garantirestabilidade assint�oti a global para o equil��brio x = x� do sistema original (4.2). Note queo projeto de � �e onduzido sobre o modelo ompleto e n~ao sobre o modelo modi� ado dosistema. N~ao obstante, o estado de equil��brio �e o mesmo obtido do projeto lo al, isto �e, os

126 Compensa� ~ao de Satura� ~ao em Sistemas N~ao-Lineares ontroladores lo al e global devem on ordar om rela� ~ao ao equil��brio. No sistema nominal(4.4)-(4.5), o equil��brio �e determinado por d e r. No sistema (4.8), o equil��brio �e determinadopor x� e u�. Como ver-se-�a em seguida, o ontrolador �nal n~ao ne essitar�a, expli itamente,de x� e u�.Nota 4.2.4 A propriedade da lei de ontrole � estabele ida na equa� ~ao (4.7) �e fundamentalpara garantir que o desempenho induzido pelo ontrolador nominal seja preservado lo almente.Esta exigen ia n~ao �e, em geral, restritiva. Em ertos asos, a satisfa� ~ao desta restri� ~aode orre automati amente do projeto. ?4.2.1 A estrat�egia de uni� a� ~aoOs ontroles global e lo al projetados para o sistema (4.2) atendem a objetivos distintos.O ontrole lo al s�o �e v�alido em torno do equil��brio, e garante um erto desempenho lo al. O ontrole global garante estabilidade global para o sistema, por�em n~ao garante desempenholo al. Nesta se� ~ao �e apresentada uma estrat�egia para uni� ar estes ontroladores pro urandopreservar as propriedades positivas de ada um.A estrat�egia de uni� a� ~ao dos ontroladores lo al e global onsiste em introduzir o seguinte ontrolador dinami o, que ser�a denominado de ompensador de uni� a� ~ao,_� = f(x; u)� F (x� �; y )v1 = �(x; x� �; y )� y v2 = �� (4.9) om estado �, entradas u, y e x, medidas de (4.2) e (4.3), e sa��das v1 e v2 one tadas emmalha fe hada om (4.2) e (4.3) na forma u = x+v2 e u = y +v1. O pro esso de obten� ~ao do ompensador de uni� a� ~ao a partir dos projetos lo al e global est�a ilustrado, qualitativamente,na Figura 4.1. O sistema ompleto em malha fe hada � a assim determinado,Planta 8<: _x = f(x; u) + dy = h(x) (4.10)Controlelo al 8<: _x = g(x ; u ; r)y = k(x; ; u ; r) (4.11)

4.2. Uni� ando Controladores Lo ais e Globais 127Globalf(x; u)Lo alF (x; u) Uni� a� ~aof(x; u)� F (x� �; y )1qFigura 4.1: Constru� ~ao do ompensador de uni� a� ~ao.Compensadorde uni� a� ~ao 8>><>>: _� = f(x; u)� F (x� �; y )v1 = �(x; x � �; y )� y v2 = �� (4.12)Conex~oes 8<: u = y + v1u = x+ v2 (4.13)Nota 4.2.5 O ompensador de uni� a� ~ao n~ao ne essita das medidas de d, nem dos valoresde x�, x� e u� expli itamente. ?Antes de apresentar as propriedades do sistema em malha fe hada (4.10)-(4.13), a se-guinte hip�otese �e introduzida, a qual se faz ne ess�aria para a garantia de validade global dosresultados.Hip�otese 4.2.6 Sejam x� e u� onforme a Hip�otese 4.2.1 e seja � onforme a Hip�otese 4.2.3.Para o sistema _x = f(x; �(x; x� + "1(t); u� + "2(t))) + d (4.14)as trajet�orias de estado s~ao limitadas, para quaisquer sinais "1(t) e "2(t) que onvergemassintoti amente para zero. .A Hip�otese 4.2.6 estabele e uma propriedade de estabilidade entrada onvergente, estadolimitado om rela� ~ao as entradas "1(t) e "2(t). Esta propriedade �e relativamente restritivano aso geral. Por�em, parte dos resultados s~ao v�alidos sem esta hip�otese e, em ertos asosparti ulares, torna-se relativamente f�a il atende-la.

128 Compensa� ~ao de Satura� ~ao em Sistemas N~ao-LinearesTeorema 4.2.7 Suponha que as Hip�oteses 4.2.1 e 4.2.3 s~ao v�alidas. Ent~ao,1. o ponto (x; x ; �) = (x�; x� ; 0) para o sistema (4.10)-(4.13) �e lo almente assintoti amen-te est�avel e a regi~ao de atra� ~ao in lui os onjuntosZl := f(x; x ; �) : (x; x ) 2 Z; � = 0g (4.15)Zg := f(x; x ; �) : (x� �; x ) = (x�; x� )g (4.16)2. om a adi� ~ao da Hip�otese 4.2.6, o equil��brio (x; x ; �) = (x�; x� ; 0) �e globalmente assin-toti amente est�avel.Prova: De�na e := x� �, "1 := e� x� e "2 := k(x ; e; r) � u�. Nas oordenadas (e; x ; x) osistema (4.10)-(4.13) resulta emSubsistema(e; x ) 8<: _e = F (e; k(x ; e; r)) + d_x = g(x ; e; r) (4.17)Subsistemax n _x = f (x; � (x; x� + "1; u� + "2)) + d (4.18)Re onhe e-se imediatamente a estrutura em as ata do sistema resultante, o subsistema(e; x ) alimentando o subsistema x. Da Hip�otese 4.2.1, o ponto (e; x ) = (x�; x� ) do subsistema(e; x ) �e globalmente assintoti amente est�avel. Neste ponto de equil��brio (x�; x� ), "1 e "2 s~aonulos. Logo, da Hip�otese 4.2.3 e da estrutura em as ata (veja Teorema C.2.3) de (4.17)-(4.18), segue que o ponto (e; x ; x) = (x�; x� ; x�) �e lo almente assintoti amente est�avel. Comoe = x� �, o ponto de equil��brio orresponde a (x; x ; �) = (x�; x� ; 0).Conjunto Zl. A estrutura de (4.9) impli a que se (x; y ) 2 N e � = 0, ent~ao _� = 0. Logo,�(0) = 0 e (x(0); x (0)) 2 Z impli a �(t) = 0; 8 t � 0. Da Hip�otese 4.2.1 e da propriedade 4.7segue que (x(t); x (t)) onverge assintoti amente para (x�; x� ).Conjunto Zg. No aso em que (x(0)� �(0); x (0)) = (x�; x� ), �e onseq�uen ia daHip�otese 4.2.1 que (e(t); x (t)) � (x�; x� ) e, logo, ("1(t); "2(t)) � (0; 0). Assim, daHip�otese 4.2.3, segue que x(t) onverge para x�. Como e(t) = x(t)� �(t) � x�, �(t) onvergepara zero.Nas ondi� ~oes da Hip�otese 4.2.6 a estabilidade global do equil��brio segue de resultados deestabilidade global de sistemas em as ata (SEPULCHRE et al., 1997). �

4.2. Uni� ando Controladores Lo ais e Globais 129Para todas as ondi� ~oes ini iais no onjunto Zl, �(t) � 0 para todo t e o sistema em malhafe hada (4.10)-(4.13) se omporta omo o sistema nominal em malha fe hada, isto �e, somenteo ontrole lo al atua e, logo, seu desempenho �e preservado lo almente. Para todas ondi� ~oesini iais em Zg, o ontrolador lo al est�a em estado esta ion�ario, e somente o ontrolador globalatua sobre o sistema.Como resultado do Teorema 4.2.7, o desempenho do ontrolador lo al �e preservado no onjunto Zl. O pr�oximo teorema estabele e que, para ondi� ~oes ini iais pequenas em �, amodi� a� ~ao introduzida no ontrole lo al tamb�em �e pequena.Teorema 4.2.8 Suponha que as Hip�oteses 4.2.1 e 4.2.3 s~ao v�alidas. Ent~ao, para Z um onjunto ompa to estritamente ontido em Z (equa� ~ao 4.6) e � > 0, existe Æ > 0 tal que(x(0); x (0)) 2 Z e j�(0)j � Æ impli am que as trajet�orias de (4.10)-(4.13) satisfazem j�(t)j ��; 8t � 0.Prova: De a ordo om o Teorema 4.2.7, o ponto (x; x ; �) = (x�; x� ; 0) �e lo almente assin-toti amente est�avel, o onjunto Zl � f0g est�a in lu��do na regi~ao de atra� ~ao e as trajet�oriasini iadas neste onjunto satisfazem �(t) � 0. O resultado do teorema ent~ao segue da on-tinuidade das solu� ~oes om respeito �as ondi� ~oes ini iais em intervalos ompa tos de tempojuntamente om a propriedade de onvergen ia uniforme devida �a estabilidade assint�oti alo al. ��E oportuno, neste ponto, onsiderar alguns asos parti ulares. O prin ipal prop�osito�e mostrar que, no aso de sistemas lineares om restri� ~oes no ontrole, o ompensador deuni� a� ~ao reduz-se ao ompensador anti-windup apresentado no Cap��tulo 3.4.2.2 Espe ializa� ~ao para sistemas lineares om satura� ~ao no ontroleConsidere o sistema linear om satura� ~ao_x = Ax+Bsat(u) + dy = Cx+Dsat(u) (4.19)Considere que o par (A;B) e d satisfazem ondi� ~oes ne ess�arias para que o sistema sejaglobalmente estabiliz�avel e onsidere que u = �(x� x�) + u�; �(0) = 0, �e uma realimenta� ~aode estados n~ao linear que estabiliza globalmente o ponto x = x� para o sistema (4.19), ondeu� �e tal que Ax�+Bsat(u�)+d = 0. O aso mais simples �e quando d = 0, isto �e, estabiliza� ~ao

130 Compensa� ~ao de Satura� ~ao em Sistemas N~ao-Linearesda origem x� = 0 e u� = 0.Nota 4.2.9 Claramente x� n~ao pode ser arbitr�ario. Al�em de satisfazer a ondi� ~ao deequil��brio, tem de ser poss��vel levar todas as ondi� ~oes ini iais para x� om ontrole limi-tado. Note que nem sempre �e poss��vel estabilizar um equil��brio x� que exija um ontrolesaturado. Considere por exemplo o sistema es alar_x = sat(u) + 1Qualquer valor de x �e um equil��brio para este sistema que exige u� = �1 (saturado). Contudo,nenhum equil��brio x� < x(0) pode ser al an� ado. ?

Para o sistema (4.19), f(x; u) = Ax+Bsat(u), e uma es olha natural para F �e F (x; u) =Ax+Bu. Neste aso, N = Rn �fu 2 Rm : juij � 1; i = 1; � � � ;mg. Para qualquer projeto derealimenta� ~ao de sa��da efetuado sobre o modelo linear_x = Ax+Bu+ dy = Cx+Du (4.20)o ompensador de uni� a� ~ao reduz-se �a forma simpli� ada_� = Ax+Bsat(u)�A(x� �)�By = A� +B [sat(u)� y ℄v1 = �(�) + y � y = �(�)v2 = �C� �D [sat(u)� y ℄u = y + v1 (4.21)O ompensador (4.21) �e exatamente o ompensador anti-windup L2 desenvolvido naSe� ~ao 3.3.1. Note que, neste aso parti ular, a implementa� ~ao do ompensador de uni� a� ~aorequer somente a medida de y , se a fun� ~ao satura� ~ao for onhe ida.

4.2. Uni� ando Controladores Lo ais e Globais 1314.2.3 Sistemas lineares om limita� ~ao em magnitude e taxa de varia� ~ao nosinal de ontroleConsidere o sistema linear om limita� ~ao em magnitude e taxa de varia� ~ao nos sinal de ontrole, representado por _x = Ax+Bus + dus = R sgn (satM (u)� us)y = Cx+Dus (4.22)Uma es olha natural para representar o sistema (4.22) de forma simpli� ada �e negligen iaras restri� ~oes de magnitude e taxa de varia� ~ao no sinal de ontrole. Isto equivale a fazer R!1e M !1. O modelo simpli� ado resultante �e linear na forma_x = Ax+Bu+ dy = Cx+Du (4.23)Note que as dinami as de (4.22) e (4.23) possuem dimens~oes diferentes. Por isto, para o�m de obter a dinami a do ompensador de uni� a� ~ao, o sistema (4.23) �e representado, deforma equivalente, atrav�es do sistema aumentado_x = Ax+Bus + d_us = R1sgn (u� us)y = Cx+Dus (4.24)onde R1 �e tomado su� ientemente grande, representando o fato de que n~ao h�a limita� ~aoem taxa de varia� ~ao. Quando R1 !1, o modo deslizante (DECARLO et al., 1996) riadosobre a par ela us do estado for� a a opera� ~ao do sistema sobre a variedade u � us = 0, deonde segue a equivalen ia de (4.23) e (4.24).De (4.22) e (4.24), a dinami a do ompensador de uni� a� ~ao resulta em_� = Ax+Bus �A(x� �)�B(us � �u)_�u = R sgn (satM (u)� us)�R1sgn (y � us + �u) (4.25)Como (i) R �e limitado, (ii) R1 !1 e (iii) existe uma realimenta� ~ao negativa de �u atrav�esda fun� ~ao sinal, um modo deslizante �e riado for� ando a opera� ~ao do sistema (4.25) sobre

132 Compensa� ~ao de Satura� ~ao em Sistemas N~ao-Linearesa variedade y � us + �u = 0. Logo, �u = us � y , e o ompensador de uni� a� ~ao pode serrepresentado, de forma equivalente, pelo sistema de ordem reduzida_� = A� +B(us � y )v1 = �(x; x� �; y )� y v2 = �C� �D(us � y ) (4.26)onde a fun� ~ao � �e obtida do ontrolador global e a estrutura de v2 assume que o ontroladorlo al �e projetado om base na sa��da y do sistema (4.22).O ompensador (4.26) justi� a a es olha da estrutura do ompensador de anti-windup(3.56)-(3.58) na Se� ~ao 3.4.4.2.4 Sistemas n~ao-lineares om satura� ~ao no ontroleO objetivo deste ap��tulo �e utilizar esta estrat�egia de uni� a� ~ao de ontroladores lo aise global para a ompensa� ~ao de satura� ~ao em sistemas n~ao-lineares. Por isto, a seguir �edesenvolvida a estrutura que o ompensador de uni� a� ~ao (4.9) assume neste aso parti ular.Considere o sistema _x = f(x; sat(u)) + dy = h(x; sat(u)) (4.27)onde a entrada de ontrole �e limitada de a ordo om a fun� ~ao satura� ~ao. Como o interesse �ena ompensa� ~ao da satura� ~ao, o modelo modi� ado es olhido orresponde ao sistema (4.27)sem satura� ~ao no ontrole, isto �e, F (x; u) = f(x; u), ou_x = f(x; u) + dy = h(x; u) (4.28)Para um erto ontrolador global �, o ompensador de uni� a� ~ao assume a forma_� = f(x; sat(u))� f(x� �; y )v1 = �(x; x � �; y )� y v2 = �� (4.29)Note que, ao ontr�ario do aso linear (4.21), a implementa� ~ao deste ompensador requera medida do estado do sistema, muito embora o ontrole lo al possa ser projetado a partir

4.2. Uni� ando Controladores Lo ais e Globais 133da realimenta� ~ao da sa��da y.4.2.5 Outros objetivos de ontroleA estrat�egia de uni� a� ~ao apresentada on entrou-se no prop�osito de seguimento de set-point. Esta se� ~ao pro urar�a mostrar que a metodologia n~ao se restringe a este aso, podendoabranger outros objetivos de ontrole.Para ilustrar este fato, onsidere o aso em que o ontrole nominal n~ao �e projetado paragarantir onvergen ia para um equil��brio, mas sim para um determinado onjunto ompa toW , isto �e, limt!1distW (x(t); x (t)) = 0 (4.30)Com este objetivo de ontrole, n~ao h�a mais ne essidade que d e r sejam onstantes,englobando-se assim asos mais gerais de seguimento de referen ia e atenua� ~ao de pertur-ba� ~oes.Para a estrat�egia de uni� a� ~ao fazer sentido, �e ne ess�ario que o onjunto residualW seja onsistente om a regi~ao N de oin iden ia das dinami as lo al e global. Assim, o seguintedeve ser verdade (x; x ) 2 W =) (x; k(x ; x; r)) 2 N (4.31)Note que (4.31) tamb�em imp~oe restri� ~oes sobre o sinal de referen ia. Esta in lus~ao deveser satisfeita para a lasse de sinais de referen ia de interesse. Contudo, a restri� ~ao n~ao �esobre o omportamento temporal de r e sim sobre a gama de valores que r assume.Como os objetivos de ontrole foram modi� ados, o ontrolador global tamb�em deve sermodi� ado de a ordo. Como o objetivo do ontrole lo al �e levar o estado para W , �e naturalque o ontrole global n~ao atue sobre o sistema quando este objetivo �e atingido. Logo, umrequisito para o ontrole global �e que �(t)! 0 a medida que (x(t); x (t))!W .Observando a estrutura em as ata (4.17)-(4.18) nota-se que, mesmo om este objetivomais geral de ontrole, o ontrole uni� ado ainda preserva o desempenho do ontrole lo al.Isto porque esta propriedade n~ao depende dos objetivos de ontrole do ontrolador lo al, massim dos seguintes fatos:1. as dinami as f e F oin idirem em N ;2. o ompensador de uni� a� ~ao �e ini ializado em zero, �(0) = 0;3. a propriedade de � em N , equa� ~ao (4.7).

134 Compensa� ~ao de Satura� ~ao em Sistemas N~ao-Lineares4.2.6 RobustezA estrat�egia de uni� a� ~ao de ontroladores lo ais e globais foi apresentada onsiderandoque o sistema (4.2) est�a sujeito a uma perturba� ~ao externa onstante. Uma quest~ao natural �eperguntar se o esquema �e robusto �a adi� ~ao de dinami as n~ao-lineares de pequena magnitude.Para estudar esta quest~ao, onsidere que o sistema (4.2) �e afetado por uma uma perturba� ~ao�o(zo; x; d; u), possivelmente dinami a, na forma_x = f(x; u) + d+�o(zo; x; d; u)y = h(x) (4.32)onde �o representa um sistema dinami o determinado pelo estado ini ial zo e as entradas x,d e u. Assume-se que �o �e est�avel, e, no mais, arbitr�ario.O ontrolador lo al, neste aso, deve garantir a estabilidade robusta do equil��brio (x�; x� )ou, no aso mais geral, onvergen ia para um onjunto ompa to W , para o sistema modi�- ado _x = F (x; u) + d+�o(zo; x; d; u)y = h(x) (4.33)Para um dado ontrolador global �, a estrat�egia de uni� a� ~ao (4.9) permite obter aseguinte representa� ~ao para o sistema em malha fe hada nas oordenadas (e; x ; x) ( omreferen ia ao sistema (4.17)-(4.18))Subsistema(e; x ) 8<: _e = F (e; k(x ; e; r)) + d+�o(zo; x; d; u)_x = g(x ; e; r) (4.34)Subsistemax 8<: _x = f (x; u) + d+�o(zo; x; d; u)u = � (x; x� + "1; u� + "2) (4.35)Nota-se que a preserva� ~ao do desempenho do ontrolador lo al para trajet�orias satisfazen-do �(0) = 0 (equivalentemente, e(0) = x(0)) e (x(t); y (t)) 2 N ; 8 t � 0, ontinua valendo.Portanto, esta propriedade �e robusta �a perturba� ~ao �o. �E laro que a estabilidade robustadeve ser garantida pelo projeto do ontrolador lo al, mas o importante �e que a estrat�egia deuni� a� ~ao n~ao destr�oi esta propriedade.Por outro lado, nota-se laramente em (4.34)-(4.35) que a estrutura em as ata foi perdidadevido �a presen� a da perturba� ~ao �o. O estado x perturba o subsistema (e; x ) por meio daperturba� ~ao �o.

4.3. Uni� ando Controladores Lo ais e Globais: Uma Generaliza� ~ao 135Claramente, a estabilidade robusta de (4.34)-(4.35) exige re onsidera� ~oes no projeto do ontrole global �, em fun� ~ao da perturba� ~ao �. Isto basi amente signi� a exigir que aestabilidade assint�oti a global garantida por � seja tamb�em robusta �a perturba� ~ao �o.Feitas as devidas re onsidera� ~oes no projeto do ontrole global, apesar do sistema (4.34)-(4.35) n~ao ter mais a estrutura as ata, sua estabilidade pode ainda ser testada. Na hip�otesede �o ser est�avel, o teorema do pequeno ganho forne e um formalismo para tanto. Estabele- endo os ganhos n~ao-lineares dos sistemas envolvidos, o teorema do pequeno ganho (veja, porexemplo (TEEL, 1996a, JIANG et al., 1994) e apendi e C) permite determinar uma lasse deperturba� ~oes �o para as quais a estabilidade robusta de (4.34)-(4.35) e, onseq�uentemente,do sistema em malha fe hada, � a garantida. Usando esta abordagem, garantidas de robustezpara o anti-windup L2 foram estabele idas na se� ~ao 3.3.1.4.3 Uni� ando Controladores Lo ais e Globais: Uma Genera-liza� ~aoA estrat�egia de uni� a� ~ao de ontroladores lo ais e globais apresentada na se� ~ao 4.2 on-siderou o aso parti ular em que ambos os ontroladores lo al e global garantem estabilidadeassint�oti a global do equil��brio. Contudo, nem sempre �e poss��vel trabalhar om garantias deestabilidade global. Em muitos asos, h�a interesse apenas de garantir uma erta regi~ao deatra� ~ao para o equil��brio em quest~ao. Assim, torna-se importante estabele er ondi� ~oes sob asquais a estrat�egia de uni� a� ~ao apresentada preserva os dom��nios de estabilidade garantidospelos projetos lo al e global. A proposi� ~ao estabele ida nesta se� ~ao formaliza tais ondi� ~oes.Considere novamente o sistema (4.2), reproduzido a seguir,_x = f(x; u) + dy = h(x) (4.36)onde x 2 Rn , y 2 Rp , u 2 Rm e d 2 Rn �e uma perturba� ~ao onstante e n~ao mensur�avel.Assume-se que f �e, ao menos, lo almente Lips hitz em (x; u).Considere que s~ao dados: uma lasse de sinais de referen ia onstantes Rsp, uma lassede sinais de perturba� ~ao onstantes Wsp e um onjunto ompa to Xo. O objetivo geral de ontrole �e garantir a estabilidade assint�oti a do equil��brio (determinado por r, d e a dinami ado sistema) de forma que o onjunto Xo esteja in lu��do na regi~ao de atra� ~ao.No ontexto da t�e ni a de uni� a� ~ao de ontroladores lo ais e globais, o problema de

136 Compensa� ~ao de Satura� ~ao em Sistemas N~ao-Lineares ontrole n~ao �e ata ado diretamente. Um primeiro projeto (lo al) �e feito sobre um sistemamodi� ado o qual oin ide om (4.36) lo almente. Um segundo projeto (global) �e feito sobreo sistema ompleto (4.36), por�em om objetivos de ontrole menos exigentes. Por �m estes ontroladores s~ao uni� ados em um s�o, de forma que o desempenho induzido pelo ontrolelo al seja preservado. Nesta se� ~ao, bus a-se tamb�em garantir a preserva� ~ao da regi~ao deatra� ~ao garantida nos projetos individuais.A hip�otese a seguir formaliza os requisitos que devem ser satisfeitos pelo ontrole lo al.Hip�otese 4.3.1 (Controle lo al) Existe um ontrolador na forma_x = g(x ; u ; r)y = k(x ; u ; r) (4.37)onde x 2 Rn , u 2 Rn e y 2 Rm , um onjunto ompa to Xl � Rn � Rn � Rp � Rn , um onjunto (n~ao ne essariamente ompa to) N � Rn � Rm , e uma fun� ~ao F : Rn � Rm ! Rntais que1. F (x; u) = f(x; u) para todo (x; u) 2 N ;2. Para o sistema em malha fe hada_x = F (x; u) + d; y = h(x) (4.38)_x = g(x ; x; r); u = k(x ; x; r) (4.39)vale que, para qualquer (x(0); x (0); r; d) 2 Xl, a trajet�oria (x(t); x (t)) �e limitada e onverge uniformemente para um ponto (x�; x� ) tal que(a) (x�; u�) 2 int(N ), onde u� = k(x�; x� ; r),(b) h(x�) = r. .Conforme estabele e a Hip�otese 4.3.1, o ontrolador lo al �e projetado sobre a dinami a(4.38), a qual �e uma modi� a� ~ao da dinami a do sistema original (4.36). As duas dinami as,determinadas por F e f , respe tivamente, oin idem emN , o qual ont�em o valor esta ion�ario(x�; u�) omo um ponto interior.

4.3. Uni� ando Controladores Lo ais e Globais: Uma Generaliza� ~ao 137A onvergen ia para o equil��brio (x�; x� ) �e exigida somente para as ondi� ~oes ini iais emXl, o qual ara teriza a regi~ao de atra� ~ao do equil��brio para ada valor de r e d. Novamente,o ontrole lo al deve satisfazer a ondi� ~ao de regula� ~ao (desempenho) h(x�) = r.De�ni� ~ao 4.3.2 Em onformidade om o sistema (4.38)-(4.39) de�na o onjuntoZa := f(xo; x o; r; d) 2 Xl : (x(t); u(t)) 2 N ; 8 t � 0g (4.40)/Em seguida �e estabele ida a hip�otese que ara teriza o projeto do ontrole global. Neste ontexto, a palavra \global" �e utilizada para se referir ao projeto efetuado sobre o modelo ompleto (4.36), e n~ao sobre a garantia de estabilidade, a qual �e lo al, por�em om garantiade regi~ao de atra� ~ao.Hip�otese 4.3.3 (Controlador global) Sejam x�, u� e N onforme a Hip�otese 4.2.1. Exis-te um onjunto Xg � Rn � Rn e uma fun� ~ao � : Rn � Rn � Rm ! Rm tais que�(x; x; u) = u; 8(x; u) 2 N (4.41)e para o sistema em malha fe hada_x = f(x; u) + du = �(x; x� + "1(t); u� + "2(t)) (4.42)vale que,1. para "1(t) = 0, "2(t) = 0, e 8 (x(0); d) 2 Xg, x(t) �e limitado e onverge uniformementepara x�;2. x(t) �e limitado para todo (x(0); d) 2 Xg e para quaisquer sinais "1(t) e "2(t), fun� ~oeslimitadas e assintoti amente onvergentes para zero. .A realimenta� ~ao n~ao linear de estados � para o sistema (4.36) deve garantir estabilidadeassint�oti a do equil��brio x� om regi~ao de atra� ~ao determinada por Xg para ada valor ded. Mais do que isto, ela deve garantir que as trajet�orias de (4.42) permane em limitadas napresen� a das perturba� ~oes "1 e "2.

138 Compensa� ~ao de Satura� ~ao em Sistemas N~ao-LinearesNota 4.3.4 �E importante omparar as Hip�oteses 4.2.3 e 4.2.6 om a Hip�otese 4.3.3. Noteque esta �ultima exige as propriedades de estabilidade assint�oti a do equil��brio e a propriedadede entrada onvergente estado limitado apenas para as ondi� ~oes ini iais onsistentes omXg. ?Com base nos ontroles lo ais e globais estabele idos de a ordo om as Hip�oteses 4.3.1e 4.3.3 e na estrat�egia de uni� a� ~ao (4.9), o sistema em malha fe hada resultaPlanta 8<: _x = f(x; u) + dy = h(x) (4.43)Controlelo al 8<: _x = g(x ; u ; r)y = k(x; ; u ; r) (4.44)Compensadorde uni� a� ~ao 8>><>>: _� = f(x; u)� F (x� �; y )v1 = �(x; x � �; y )� y v2 = �� (4.45)Conex~oes 8<: u = y + v1u = x+ v2 (4.46)O sistema em malha fe hada (4.43)-(4.46) �e tal que os dom��nios de estabilidade dos on-troles lo al e global, bem omo o desempenho induzido pelo ontrole lo al, s~ao preservadosno sentido formalizado na seguinte proposi� ~ao.Proposi� ~ao 4.3.5 Suponha que as Hip�oteses 4.3.1 e 4.3.3 s~ao v�alidas. Denote por(~x(t); ~x (t)) as trajet�orias do sistema lo al em malha fe hada (4.38)-(4.39) e assuma que(~x(t); ~x (t))! (x�; x� ) quando t!1. Ent~ao, para quaisquer (x(0)��(0); x (0); r; d) 2 Xl e(x(0); d) 2 Xg, a trajet�oria (x(t); x (t); �(t)) �e limitada e onverge uniformemente para o pon-to (x�; x� ; 0). Adi ionalmente, se (x(0); x (0); r; d) 2 Za e �(0) = 0, ent~ao �(t) = 0; 8 t � 0.� A prova da Proposi� ~ao 4.3.5 segue as mesmas linhas da prova do Teorema 4.2.7 e, poresta raz~ao, �e omitida. A proposi� ~ao formaliza omo os dom��nios de estabilidade obtidos nosprojetos lo al e global s~ao traduzidos em dom��nios de estabilidade para o sistema em malhafe hada.

4.4. Apli a� ~ao em Robos Manipuladores 1394.4 Apli a� ~ao em Robos ManipuladoresRob�oti a �e um ampo abrangente envolvendo diversas �areas de onhe imento omo f��si a,projeto me ani o, estat��sti a, dinami a, eletroni a, instrumenta� ~ao (sensores e atuadores),pro essamento de sinais e projeto de ontrole. Nesta se� ~ao fo aliza-se a quest~ao do projetode ontrole para robos manipuladores.Na maioria das apli a� ~oes industriais, os robos s~ao empregados para exe utar umaseq�uen ia de tarefas durante um erto per��odo �nito de tempo. Um problema b�asi o no ontrole de tais robos �e garantir que o efetuador �nal siga um trajet�oria previamente pla-nejada, movendo-se pelo espa� o livre, at�e atingir um determinado ponto desejado (LEWISet al., 1993, SPONG, VIDYASAGAR, 1989, QU, DAWSON, 1996). Na exe u� ~ao de tal ob-jetivo de ontrole, muitos aspe tos entram em jogo, entre os quais a quest~ao inerente deque os atuadores, motores que a ionam as juntas, possuem apa idade limitada. Adi io-nando o fato de que o ontrole de robos industriais em geral possui a� ~ao integral (LEWISet al., 1993, SPONG, VIDYASAGAR, 1989, QU, DAWSON, 1996, ROCCO, 1996) �e esperadoque se en ontrem problemas de windup.De um ponto de vista pr�ati o, se as exigen ias de seguimento da referen ia s~ao fortes, �enatural que se pro ure, antes de mais nada, modi� ar os atuadores para que os problemas om a satura� ~ao sejam minimizados ou a eitar uma opera� ~ao mais lenta de forma que oesfor� o de ontrole seja reduzido. Isto porque, a satura� ~ao ertamente limitar�a, omo foiressaltado no Cap��tulo 3, as possibilidades de seguimento da referen ia. Por outro lado, talpro edimento nem sempre �e vi�avel devido a restri� ~oes usualmente alheias ao problema de ontrole propriamente dito, omo ustos, peso, tamanho, produtividade, entre outras. Da��que passa a ser razo�avel a eitar uma erta degrada� ~ao de desempenho quanto ao seguimentode referen ia, quando em ondi� ~oes um pou o adversas de opera� ~ao, desde que o sistema de ontrole onsiga garantir que tal opera� ~ao seja \segura". Adi ionalmente, a ompensa� ~ao desatura� ~ao pode permitir a opera� ~ao mais r�apida do robo pela utiliza� ~ao mais adequada doesfor� o de ontrole dispon��vel.As t�e ni as de anti-windup tradi ionais (HANUS et al., 1987, WALGAMA et al., 1992,�ASTR�OM, H�AGGLUND, 1988, �ASTR�OM, RUNDQWIST, 1989, ZHENG et al., 1994,KOTHARE, MORARI, 1997, KAPOOR et al., 1998) bem omo o anti-windup L2 (TEEL,KAPOOR, 1997a, TEEL, 1999) e a estrat�egia de ontrole proposta na Se� ~ao 3.4 s~ao dedi adasa sistemas em que a �uni a n~ao-linearidade envolvida �e a satura� ~ao no ontrole, seja em mag-

140 Compensa� ~ao de Satura� ~ao em Sistemas N~ao-Linearesnitude, taxa de varia� ~ao ou ambas. Desta forma, estas t�e ni as n~ao podem ser diretamenteapli adas ao aso de robos manipuladores, pois estes s~ao sistemas n~ao-lineares.Embora seja defendido em (LEWIS et al., 1993) que t�e ni as tradi ionais de anti-winduppodem ser utilizadas em robos manipuladores ap�os realizada uma lineariza� ~ao exata pormeio de realimenta� ~ao linearizante, �e fundamental observar que a satura� ~ao de fato o orreno atuador, e n~ao no ontrole \virtual" riado a partir da realimenta� ~ao linearizante. Combase nisso, h�a uma di� uldade adi ional em garantir estabilidade ao sistema ompleto.A abordagem de uni� a� ~ao de ontroladores lo ais e globais dis utida na Se� ~ao 4.2 torna-se, ent~ao, atrativa para tratar deste problema, permitindo uma formaliza� ~ao adequada para a ompensa� ~ao de satura� ~ao em sistemas n~ao-lineares om garantias de estabilidade e robustez.Nesta se� ~ao �e onsiderado a quest~ao da satura� ~ao de atuadores em robos manipulado-res. Mostra-se om simula� ~oes que a satura� ~ao dos atuadores in ui signi� ativamente naestabilidade e no desempenho geral do robo. Com base nos resultados da se� ~ao 4.2 (vejatamb�em (TEEL, KAPOOR, 1997b)), um esquema de ompensa� ~ao de tais efeitos �e propos-to. A abordagem utilizada �e onsistente om a id�eia de projeto em duas etapas, a saber:primeiramente �e projetado um ontrolador que forne e o desempenho desejado na ausen iade satura� ~ao; depois, modi� a� ~oes s~ao introduzidas para ompensar os efeitos da satura� ~aode forma que o desempenho induzido pelo ontrolador original seja preservado para sinais depequena magnitude.4.4.1 Colo a� ~ao do problemaO modelo ompleto do robo manipulador utilizado nesta se� ~ao �e apresentado noApendi e A. No que segue, apenas o modelo gen�eri o �e apresentado.Considere um robo manipulador de dois grau de liberdade des rito pela equa� ~ao diferen ialM(q) �q +C(q; _q) _q +G(q) = ~� (4.47)onde q = [�1; �2℄0 �e o vetor de angulos das juntas, ~� = [~�1; ~�2℄0 �e o torque nas juntas, M �ea matriz de in�er ia, C engloba os efeitos de for� as entr��fugas e de Coriolis, e G engloba ostermos de gravidade. Assume-se que a dinami a dos atuadores (motores) tenha sido in lu��dano modelo a ima de forma que ~� �e a entrada de ontrole efetiva do sistema. Por simpli idadede nota� ~ao, de�na, V (q; _q) := C(q; _q) _q.As estrat�egias de ontrole tradi ionais para robos manipuladores onsistem, basi amente,

4.4. Apli a� ~ao em Robos Manipuladores 141em dois la� os aninhados (LEWIS et al., 1993, ROCCO, 1996): o la� o interno, onstitu��dode uma realimenta� ~ao n~ao-linear est�ati a e atuando omo realimenta� ~ao linearizante ou om-pensa� ~ao de gravidade; o la� o mais externo, formado por ontroladores l�assi os tipo PD ouPID objetivando forne er o desempenho de seguimento/regula� ~ao desejado.O ontrole, assim denominado, torque omputado, onsiste na lineariza� ~ao da dinami a doerro para o robo manipulador. Seja e := qd � q o erro entre a trajet�oria dos angulos desejadaqd e a trajet�oria real q. Em termos do erro e, o ontrole por torque omputado �e dado por~� = � , onde � :=M(q)(�qd � u) + V (q; _q) +G(q) (4.48)e produz uma dinami a linear para o robo, de u para e, isto �e,�e = u (4.49)Por outro lado, a ompensa� ~ao de gravidade onsiste em ompensar diretamente os ter-mos de gravidade G(q), por�em sem an elar os demais termos n~ao-lineares do modelo. A ompensa� ~ao de gravidade �e implementada omo ~� = �g, onde�g := u+G(q) (4.50)A dinami a dos sistema em malha fe hada om ompensa� ~ao de gravidade (4.47), (4.50)resulta em M(q) �q + V (q; _q) = u (4.51)O la� o externo �e, freq�uentemente, omposto por um ontrolador l�assi o tipo PD ou PID.A a� ~ao integral se faz omumente ne ess�aria para evitar erros em regime permanente napresen� a de torques de arga.No ontexto deste estudo, os limites de apa idade dos atuadores em suprir torque �asjuntas s~ao levados em onsidera� ~ao no projeto. Estes limites s~ao modelados omo fun� ~oessatura� ~ao na entrada de torque de ada junta do robo, isto �e,~� = sat(�) (4.52)

142 Compensa� ~ao de Satura� ~ao em Sistemas N~ao-Linearesonde sat(�) = [sat(�1); sat(�2)℄0, esat(�i) = 8>><>>: �Mi ; �i � �Mi�i; ��Mi � �i � �Mi��Mi ; �i � ��Mi (4.53)Com isto, as leis de ontrole (4.48) e (4.50) passam a ser implementadas, efetivamente,na forma � = � :=M(q)u+ V (q; _q) +G(q) (4.54)� = �g := u+G(q) (4.55)Como as limita� ~oes dos atuadores s~ao freq�uentemente ignoradas durante o projeto, �eesperado que problemas de desempenho e estabilidade possam o orrer om o sistema emmalha fe hada. Este fato �e espe ialmente importante no aso em que transi� ~oes r�apidase de larga magnitude s~ao exigidas do efetuador �nal do robo, exigindo o esfor� o m�aximodos atuadores. Este problema �e ainda mais agravado pela presen� a de a� ~ao integral no ontrolador, o que �e omumente o aso, devido �a sobre arga da a� ~ao integral. Tais problemass~ao melhor ilustrados nas simula� ~oes apresentadas nas se� ~oes 4.4.3 e 4.4.4, as quais mostrama importan ia de onsiderar estrat�egias de ontrole apazes de ompensar tais efeitos.4.4.2 Estrat�egia de ontrole para ompensa� ~ao de satura� ~aoConforme ilustrado nas se� ~oes 4.2.2 e 4.2.3, tanto o anti-windup L2 omo a estrat�egia deanti-windup proposta no ap��tulo 3 para seguimento de set-point em sistemas lineares omlimita� ~ao em magnitude e taxa de varia� ~ao do sinal de ontrole s~ao apli a� ~oes da metodologiade uni� a� ~ao de ontroladores lo ais e globais apresentada na se� ~ao 4.2. Na se� ~ao 4.3 mostrou-se que a metodologia de uni� a� ~ao de ontroladores lo ais e globais pode tamb�em ser utilizadano ontexto regional, isto �e, quando o ontrole global objetiva garantir apenas uma regi~aode atra� ~ao, ao inv�es de estabilidade global propriamente dita. Estes resultados ser~ao agoraempregados omo estrat�egia para ompensa� ~ao de satura� ~ao em robos manipuladores.Seja xp := [q0; _q0℄0 = [xp1 ; xp2 ; xp3 ; xp4 ℄0. Nestas oordenadas o modelo do robo manipula-dor resulta na forma _xp = fa(xp) + fb(xp) sat(�) (4.56)

4.4. Apli a� ~ao em Robos Manipuladores 143onde fa : R4 ! R4 e fb : R4 ! R4 s~ao dadas porfa(xp) := 2664 xp3xp4�M�1(xp) [V (xp) +G(xp)℄ 3775fb(xp) := 2664 00M�1(xp) 3775De�na tamb�em o seguinte sistema auxiliar, o qual onsiste no modelo do robo manipuladorsem restri� ~oes nos atuadores, _z = fa(z) + fb(z) � (4.57)O projeto de um ontrolador para o sistema (4.56) �e usualmente elaborado om baseno sistema (4.57), isto �e, sem levar em onsidera� ~ao as restri� ~oes nos atuadores. Assumaque um erto ontrolador tenha sido projetado de forma que o sistema em malha fe hada(sem satura� ~ao) apresente as ara ter��sti as de desempenho desejadas. Considere que este ontrolador possui a seguinte representa� ~ao, onde qd �e a trajet�oria desejada para os angulosdas juntas, _x = g(x ; u ; qd)y = k(x ; u ; qd) (4.58)O ontrolador (4.58) garante o desempenho desejado quando em malha fe hada om (4.57),isto �e, u = z e � = y . Contudo, quando olo ado para operar om o sistema real (4.56), omu = xp e � = y , problemas de estabilidade e desempenho podem surgir devido �a presen� ada satura� ~ao no sinal de ontrole. Seguindo a abordagem da se� ~ao 4.3, bus a-se introduzirmodi� a� ~oes no la� o de ontrole para ompensar tais efeitos indesej�aveis ao mesmo tempoque se pro ura preservar, lo almente, o desempenho induzido pelo ontrolador (4.58).Para obter a regi~ao de estabilidade desejada para o robo manipulador na presen� a desatura� ~ao, a lei de ontrole � do ontrole \global" �e es olhida na forma,�(x; x�; u�) = �(x; x�) + u� (4.59)Desta forma, o ompensador de uni� a� ~ao (4.9) � a determinado por � e a dinami a do

144 Compensa� ~ao de Satura� ~ao em Sistemas N~ao-Linearesrobo manipulador omo segue,_� = fa(xp)� fa(xp + v2) + fb(xp) sat(y + v1)� fb(xp + v2) y v1 = �(xp; xp + v2)v2 = �� (4.60)O sistema ompleto em malha fe hada ent~ao resultaRobo n _xp = fa(xp) + fb(xp)sat(�) (4.61)Controlelo al 8<: _x = g(x ; xp � �; qd)y = k(x ; xp � �; qd) (4.62)Compensadorde uni� a� ~ao 8<: _� = fa(xp)� fa(xp � �) + fb(xp) sat(y + v1)� fb(xp � �) y v1 = �(xp; xp � �) (4.63)Conex~oes 8<: � = y + v1u = xp � � (4.64)Para o sistema em malha fe hada (4.61)-(4.64), a Proposi� ~ao 4.3.5 pode ser diretamenteapli ada garantindo um dom��nio de estabilidade e a preserva� ~ao do desempenho induzidopelo ontrole lo al (4.58) lo almente.Nas pr�oximas se� ~oes, esta estrat�egia de ompensa� ~ao de satura� ~ao �e estudada para um a-so parti ular de robo manipulador atrav�es de simula� ~ao. S~ao onsideradas diferentes es olhaspara os ontroladores lo al e \global" e diferentes tarefas para o robo manipulador.�E onsiderado um robo planar de dois graus de liberdade ujos parametros s~ao dadospor 2 m1 = 1:5Kg, m2 = 1Kg, r1 = 1:2m, e r2 = 1m. A a elera� ~ao da gravidade �e tomada omo 9:8m=s2. O torque m�aximo produzido pelos atuadores nas juntas 1 e 2 �e onsiderado50Nm e 20Nm, respe tivamente.4.4.3 Seguimento de set-pointNesta tarefa s~ao utilizadas varia� ~oes em degrau nos angulos das juntas bus ando-se obterestabiliza� ~ao do angulo das juntas om pequena (ou nenhuma) sobre-eleva� ~ao.Para atingir este objetivo, um ontrole omposto de um ontrolador PID om estruturamodi� ada em onjunto om ompensa� ~ao de gravidade �e utilizado para induzir o desempenho2O modelo ompleto do robo pode ser en ontrado no apendi e A.

4.4. Apli a� ~ao em Robos Manipuladores 145desejado para o sistema em malha fe hada na ausen ia de satura� ~ao. Este ontrole �e dadopor _x = qd � qy = Ki x �Kpq �Kd _q +G (4.65)Para os resultados de simula� ~ao, os parametros do ontrolador (4.65) foram ajustados apartir do modelo do robo obtido por meio da realimenta� ~ao linearizante, equa� ~ao (4.49), etal que se obtivesse estabiliza� ~ao r�apida om sobre-eleva� ~ao nula. A sintonia do ontrolador(4.65) foi baseada em uma alo a� ~ao de p�olos, de onde resultaram os seguintes ganhos: Kp =diagf10935; 3645g, Ki = diagf27337:5; 9112:5g, e Kd = diag f1093:5; 364:5g.Na Figura 4.2 pode-se observar o omportamento do sistema em malha fe hada obtido omo ontrolador (4.65). Na ausen ia de satura� ~ao, o set-point �e atingido sem sobre-eleva� ~ao,e o a oplamento entre as juntas �e desprez��vel, isto �e, n~ao h�a in uen ia dos omandos deposi ionamento de uma junta sobre a posi� ~ao da outra. Este �e o desempenho desejado parao robo manipulador para esta tarefa.0 1 2 3 4 5

−100

−50

0

0 1 2 3 4 5

0

50

100PSfrag repla ements

Junta 1Junta 2

t (s)

q 1;q d 1q 2;q d 2

Figura 4.2: Resposta de angulo das juntas do robo manipulador om ontrolador (4.65).S�olida: om satura� ~ao; Tra ejada: sem satura� ~ao; Pontilhada: sinal de referen ia.Quando o ontrolador (4.65) �e olo ado a operar sobre o robo manipulador om satura� ~ao,nota-se uma degrada� ~ao signi� ativa na respota de angulo das juntas em dois aspe tos prin i-pais: na existen ia de uma sobre-eleva� ~ao onsider�avel para os mesmos degraus de referen ia;

146 Compensa� ~ao de Satura� ~ao em Sistemas N~ao-Linearesna existen ia de os ila� ~oes na resposta devidas ao aumento do a oplamento entre as juntas,espe ialmente na junta 2. Tal degrada� ~ao �e natural uma vez que o ontrolador (4.65) n~ao foiprojetado para operar na presen� a de satura� ~ao.Para introduzir o esquema de ompensa� ~ao de satura� ~ao proposto, �e ne ess�ario projetarum ontrole para umprir a tarefa de ontrole \global". No aso, foi utilizado um ompensadorPD om ompensa� ~ao de gravidade, dado por�(x; y) = [K1; K2℄ (x� y) +G(x)�G(y) (4.66)Note que, para esta es olha, �(x; x) = 0 para todo x, satisfazendo a primeira propriedadeda lei de ontrole � (equa� ~ao (4.41)). Por outro lado, o ontrolador (4.66) garante estabilidadeglobal para o sistema (4.57) (sem satura� ~ao) para sinais de referen ia onstantes e torquesde arga nulos. Uma prova deste fato pode ser en ontrada em (LEWIS et al., 1993, ap. 3).Deste resultado on lui-se que o ontrolador (4.66) tamb�em garante estabilidade lo al para osistema (4.56) ( om satura� ~ao). Embora seja dif�� il determinar a regi~ao de atra� ~ao garantidapelo ontrolador (4.66), os resultados de simula� ~ao mostram que esta �e onsideravelmentemaior do que a regi~ao de atra� ~ao que seria obtida utilizando-se diretamente o ontrole (4.65).No ajuste de ganhos do ontrolador global (4.66) fo alizou-se mais o dom��nio de estabi-lidade, ao inv�es de desempenho. Foram ajustados os seguinte valores K1 = diagf256; 64g eK2 = diagf64; 16g.Com este projeto, o desempenho da estrat�egia de ompensa� ~ao de satura� ~ao �e analisada.O sistema ompleto em malha fe hada �e onstru��do omo em (4.61)-(4.64) utilizando os ontroladores (4.65) e (4.66). Os resultados omparativos de simula� ~ao est~ao mostrados nasFiguras 4.3 e 4.4.Em termos de resposta de angulo das juntas, observa-se na Figura 4.3 que a sobre-eleva� ~ao�e signi� ativamente reduzida ( omparativamente ao aso sem ompensa� ~ao de satura� ~ao),bem omo os efeitos de a oplamento entre as juntas. Com isto, a resposta do sistema � amais pr�oxima da resposta do sistema sem satura� ~ao, eviden iando a diminui� ~ao da degrada� ~aode desempenho introduzida pela satura� ~ao dos atuadores, omo pode ser observado na �gura.Na Figura 4.4 ompara-se os sinais de ontrole efetivos obtidos om e sem ompensa� ~aoda satura� ~ao. Observa-se que a ompensa� ~ao da satura� ~ao aumenta a suavidade do ontrolebem omo reduz o tempo em que os atuadores permane em saturados, ara ter��sti as ques~ao ertamente positivas para o desempenho geral do sistema em malha fe hada.

4.4. Apli a� ~ao em Robos Manipuladores 1470 1 2 3 4 5

−100

−50

0

0 1 2 3 4 5

0

50

100PSfrag repla ements

Junta 1Junta 2

t (s)

q 1;q d 1q 2;q d 2

Figura 4.3: Resposta de angulo das juntas do robo manipulador om ontrolador (4.65).S�olida: om ompensa� ~ao de satura� ~ao; Tra ejada: sem satura� ~ao; Pontilhada: sinal dereferen ia.0 1 2 3 4 5

−50

0

50

0 1 2 3 4 5

−50

0

50PSfrag repla ementsSem ompensa� ~ao de satura� ~aoCom ompensa� ~ao de satura� ~ao

t (s)�(Nm)�(Nm)

Figura 4.4: Sinal de ontrole para o robo manipulador om ontrolador (4.65). S�olida: torquena junta 1; Tra ejada: torque na junta 2.

148 Compensa� ~ao de Satura� ~ao em Sistemas N~ao-Lineares4.4.4 Seguimento de trajet�oriaConsidera-se a seguir o aso de seguimento de referen ia mais geral. A tarefa es olhida �eum movimento senoidal do angulo das juntas ini iando e terminando no mesmo ponto.Para esta tarefa de seguimento s~ao analisadas duas es olhas distintas para o ontrole lo al,empregando o mesmo ontrole global utilizado na tarefa de seguimento de set-point.PID + torque omputado. Primeiramente, onsidere o aso que um ontrole ompostopor um PID om ontrole por torque omputado �e es olhido para induzir o desempenho deseguimento desejado na ausen ia de satura� ~ao. Na nota� ~ao de (4.58), tem-se_x = Ki (qd � q)y = M [x +Kp(qd � q) +Kd( _qd � _q)℄+M �q + V +G (4.67)Para as simula� ~oes foram ajustados os seguintes ganhos, baseado em uma alo a� ~ao dep�olos: Kp = 102 I, Ki = 10 I, Kd = 20 I, onde I �e a matriz identidade 2� 2.A Figura 4.5 ilustra o omportamento do sistema em malha fe hada obtido om o ontrole(4.67). Na ausen ia de satura� ~ao, o objetivo de seguimento �e atingido pelo ontrole proposto om um erro menor que 10�3 graus, o qual �e onsiderado satisfat�orio.Quando a limita� ~ao de torque dos atuadores �e introduzida na simula� ~ao, pode-se observar,na mesma �gura, a degrada� ~ao resultante no seguimento da referen ia. O erro de seguimento�e onsider�avel em diversos instantes de tempo e a resposta apresenta pequenas os ila� ~oes.Em seguida o esquema de ompensa� ~ao de satura� ~ao (4.60) �e introduzido. O mesmo ontrole \global" (4.66) utilizado no seguimento de set-point foi utilizado. Contudo, neste aso foram utilizados os seguinte ganhos: K1 = 64 I e K2 = 16 I.O omportamento do sistema em malha fe hada om ompensa� ~ao de satura� ~ao �e mostra-do na Figura 4.6. Pode-se ver que o desempenho do sistema �e re uperado signi� ativamente,em ontraste om a resposta do sistema om satura� ~ao, por�em sem ompensa� ~ao de satu-ra� ~ao. O erro m�aximo de seguimento �e signi� ativamente reduzido, espe ialmente na junta2. Este resultado ilustra o fato de que a ompensa� ~ao de satura� ~ao permite o sistema operarem ondi� ~oes mais extremas om garantia de estabilidade e om desempenho ainda razo�avel.

4.4. Apli a� ~ao em Robos Manipuladores 1490 1 2 3 4 5 6

−150

−100

−50

0

50

0 1 2 3 4 5 6

−150

−100

−50

0

50PSfrag repla ements

Junta 1Junta 2

t (s)

q 1;q d 1q 2;q d 2

Figura 4.5: Resposta de angulo das juntas do robo manipulador om ontrolador (4.67).S�olida: om satura� ~ao; Tra ejada: sem satura� ~ao; Pontilhada: sinal de referen ia.

0 1 2 3 4 5 6

−150

−100

−50

0

50

0 1 2 3 4 5 6

−150

−100

−50

0

50PSfrag repla ements

Junta 1Junta 2

t (s)

q 1;q d 1q 2;q d 2

Figura 4.6: Resposta de angulo das juntas do robo manipulador om ontrolador (4.67).S�olida: om ompensa� ~ao de satura� ~ao; Tra ejada: sem satura� ~ao; Pontilhada: sinal dereferen ia.

150 Compensa� ~ao de Satura� ~ao em Sistemas N~ao-LinearesA Figura 4.7 mostra os sinais de ontrole obtidos om e sem a ompensa� ~ao de satura� ~ao.Similarmente ao seguimento de set-point, observa-se que a ompensa� ~ao de satura� ~ao produzum sinal de ontrole mais suave e que satura durante menos tempo.0 1 2 3 4 5

−50

0

50

0 1 2 3 4 5

−50

0

50PSfrag repla ementsSem ompensa� ~ao de satura� ~aoCom ompensa� ~ao de satura� ~ao

t (s)�(Nm)�(Nm)

Figura 4.7: Sinal de ontrole para o robo manipulador om ontrolador (4.67). S�olida: torquena junta 1; Tra ejada: torque na junta 2.PID + ompensa� ~ao de gravidade. Em seguida �e analisada uma es olha alternativapara induzir o desempenho na ausen ia de satura� ~ao. O ontrolador (4.67) �e substitu��do porum ontrolador PID om ompensa� ~ao de gravidade dado por_x = Ki (qd � q)y = x +Kp(qd � q) +Kd( _qd � _q) +G (4.68)onde foram utilizados Kp = 408 I, Ki = 40 I, Kd = 80 I. A sintonia desta ontroladortamb�em foi baseada na alo a� ~ao de p�olos onsiderando-se o modelo linear do robo obtido om realimenta� ~ao linearizante.Na Figura 4.8 pode-se observar o omportamento do sistema em malha fe hada obtido om o ontrolador (4.68). Na ausen ia de satura� ~ao, o ontrolador (4.68) permite obter umerro de seguimento menor que 1 grau para a tarefa de seguimento da referen ia senoidal, oqual �e onsiderado satisfat�orio. Como pode ser visto na mesma �gura, o efeito da satura� ~ao �e

4.4. Apli a� ~ao em Robos Manipuladores 151mais severo neste aso, omparativamente ao resultado mostrado na Figura 4.5 obtido om o ontrolador lo al (4.67). A resposta, no presente aso, �e ina eit�avel para o sistema em malhafe hada. Este efeito est�a rela ionado aos ganhos mais elevados que s~ao ne ess�arios paragarantir o erro de seguimento desejado, neste aso. O uso de ontrole por torque omputadopermitiu ajustes om ganhos menores.0 1 2 3 4 5 6

−150

−100

−50

0

50

0 1 2 3 4 5 6

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−50

0

50PSfrag repla ements

Junta 1Junta 2

t (s)

q 1;q d 1q 2;q d 2

Figura 4.8: Resposta de angulo das juntas do robo manipulador om ontrolador (4.68).S�olida: om satura� ~ao; Tra ejada: sem satura� ~ao; Pontilhada: sinal de referen ia.N~ao obstante a degrada� ~ao mais signi� ativa do desempenho em fun� ~ao da satura� ~ao, aestrat�egia de ompensa� ~ao de satura� ~ao ainda permite obter uma re upera� ~ao de desempenhosigni� ativa. Isto pode ser observado na Figura 4.9, a qual mostra a resposta do robo om ontrole lo al (4.68) e om ompensa� ~ao de satura� ~ao. Para este aso, o mesmo ompensador(4.66) foi utilizado, por�em om ganhos K1 = diagf256; 64g e K2 = diagf64; 16g.Uma melhoria signi� ativa no sinal de ontrole tamb�em �e veri� ada neste aso, at�e maisevidente que nos asos anteriores, omo ilutra a Figura 4.10. Como resultado da ompen-sa� ~ao de satura� ~ao introduzida, o tempo em que os atuadores permane em saturados foisigni� ativamente reduzido sendo que, na junta 2, n~ao foi mais observada a satura� ~ao.

152 Compensa� ~ao de Satura� ~ao em Sistemas N~ao-Lineares0 1 2 3 4 5 6

−150

−100

−50

0

50

0 1 2 3 4 5 6

−150

−100

−50

0

50PSfrag repla ements

Junta 1Junta 2

t (s)

q 1;q d 1q 2;q d 2

Figura 4.9: Resposta de angulo das juntas do robo manipulador om ontrolador (4.68).S�olida: om ompensa� ~ao de satura� ~ao; Tra ejada: sem satura� ~ao; Pontilhada: sinal dereferen ia.0 1 2 3 4 5

−50

0

50

0 1 2 3 4 5

−50

0

50PSfrag repla ementsSem ompensa� ~ao de satura� ~aoCom ompensa� ~ao de satura� ~ao

t (s)�(Nm)�(Nm)

Figura 4.10: Sinal de ontrole para o robo manipulador om ontrolador (4.68). S�olida:torque na junta 1; Tra ejada: torque na junta 2.

4.5. Coment�arios Con lusivos 153A Tabela 4.1 ondensa as ompara� ~oes de desempenho obtidas atrav�es dos resultadosde simula� ~ao. S~ao utilizados tres ��ndi es de desempenho para omparar o desempenho nas ondi� ~oes de opera� ~ao: linear (isto �e, sem satura� ~ao); om satura� ~ao, por�em sem ompensa� ~aode satura� ~ao; om ompensa� ~ao de satura� ~ao. Os ��ndi es de desempenho utilizados foram osseguintes: IAE : R tf0 jqd(t)� q(t)j dtISE : qR tf0 jqd(t)� q(t)j2 dtSUP : supt2[0; tf ℄ jqd(t)� q(t)jNota-se a signi� ativa melhoria de desempenho obtida om a introdu� ~ao da ompensa� ~aode satura� ~ao em prati amente todos os asos e, em espe ial, na junta 2.Junta 1 Junta 2Torque omputado Comp. gravidade Torque omputado Comp. gravidadeIAE ISE SUP IAE ISE SUP IAE ISE SUP IAE ISE SUPLin. 0 0 0 0 0 0 0.04 0.02 0.01 0.03 0.02 0.01Sat. 0.61 0.41 0.53 0.92 0.70 1.07 2.87 1.68 1.78 2.44 1.45 1.61Comp. 0.59 0.32 0.27 0.15 0.09 0.09 .64 0.39 0.42 0.20 0.11 0.10Tabela 4.1: Compara� ~ao de desempenho de seguimento de referen ia.Embora a estrat�egia de ompensa� ~ao de satura� ~ao utilizada permita grande exibilidade om rela� ~ao ao projeto do ontroles lo al e global, o desempenho do sistema em malha fe hadadepender�a do ajuste dos parametros destes ontroladores, pois sempre haver�a intera� ~ao entreas a� ~oes de ada um deles. Assim, �e de se esperar que diferentes ajustes dos ontroladoresPID utilizados neste estudo de aso onduzam a resultados diferentes, muito embora o efeitoda ompensa� ~ao da satura� ~ao sobre a estabilidade do sistema deva ser o mesmo.4.5 Coment�arios Con lusivosUma metodologia de ompensa� ~ao de satura� ~ao em sistemas n~ao-lineares foi desenvolvida om base na estrat�egia de uni� a� ~ao de ontroladores lo ais e globais apresentada em (TEEL,KAPOOR, 1997b). Tamb�em, este esquema de uni� a� ~ao foi adaptado para o aso em que o ontrole \global" garante um determinado dom��nio de estabilidade, ao inv�es de estabilidadeglobal, e deseja-se que a estrat�egia de uni� a� ~ao preserve este dom��nio, al�em de preservar o

154 Compensa� ~ao de Satura� ~ao em Sistemas N~ao-Linearesdesempenho do ontrole lo al, sempre que poss��vel.Esta metodologia foi apli ada ao ontrole de robos manipuladores e resultados de simu-la� ~ao foram apresentados. Estes resultados mostram o efeito signi� ativo da satura� ~ao sobreo desempenho/estabilidade do sistema e ilustram os benef�� ios da ompensa� ~ao de satura� ~ao.A introdu� ~ao de ompensa� ~ao de satura� ~ao permite uma re upera� ~ao signi� ativa do desem-penho do sistema que fora originalmente projetado sem onsiderar a existen ia de satura� ~aono ontrole.

Con lus~ao e Perspe tivasNeste trabalho foram abordados alguns aspe tos do problema de projeto de ontroladoresn~ao-lineares para sistemas om restri� ~oes nos atuadores. Foram propostas alternativas desolu� ~ao no ontexto dos seguintes problemas:1. Estabiliza� ~ao global de sistemas lineares om satura� ~ao nos atuadores;2. Seguimento de set-point, ou, no aso mais geral, referen ias limitadas que onvergempara um valor onstante, para sistemas lineares om modos inst�aveis e om restri� ~oestanto em magnitude omo em taxa de varia� ~ao do sinal de ontrole, utilizando a t�e ni ado anti-windup;3. Compensa� ~ao de satura� ~ao no problema de seguimento de set-point em sistemas n~ao-lineares om satura� ~ao nos atuadores.Foram onsiderados estudos de asos ilustrando a efetiva ontribui� ~ao dos ontroles pro-postos, in lusive fazendo-se ompara� ~oes om t�e ni as de ontrole existentes na literatura.Estabiliza� ~ao. O algoritmo de es alonamento proposto permitiu reduzir a onservatividadeinerente aos algoritmos baseados em onjuntos elipsoidais positivamente invariantes. Comoresultado, obteve-se uma melhoria de desempenho observada omo uma onvergen ia maisr�apida do estado do sistema nos dois estudos de aso onsiderados. Mostrou-se tamb�em que oganho em desempenho obtido om o algoritmo de es alonamento proposto, omparativamenteaos algoritmos existentes, n~ao imp~oe perdas signi� ativas em termos de robustez para osistema em malha fe hada nem em in remento de omplexidade omputa ional. Em ertassitua� ~oes, o algoritmo proposto pode introduzir des ontinuidades no sinal de ontrole, o quepode ser visto omo uma desvantagem deste algoritmo, embora tais des ontinuidades sejamisoladas, eliminando assim a possibilidade de haveamentos de alta freq�uen ia.

156 Con lus~ao e Perspe tivasSeguimento. A t�e ni a do anti-windup foi utilizada omo abordagem para propor umaestrat�egia de ontrole para seguimento de referen ias assintoti amente onvergentes para umvalor onstante no ontexto de sistemas lineares om restri� ~oes nos atuadores. A estrat�egia de ontrole abrange sistemas lineares om modos inst�aveis e om limita� ~ao tanto em magnitude omo em taxa de varia� ~ao do sinal de ontrole.O seguimento de referen ia atrav�es do anti-windup proposto apresenta propriedades atra-tivas omo as rela ionadas a seguir.� Liberdade total no projeto do ontrole nominal, isto �e, o ontrole que induz o desem-penho de seguimento desejado quando o sinal de referen ia e as ondi� ~oes ini iais s~aotais que o sistema opera na regi~ao linear dos atuadores;� Nenhuma restri� ~ao sobre a magnitude do sinal de referen ia �e imposta a priori;� �E garantida a preserva� ~ao do desempenho induzido pelo ontrole nominal, sempre queposs��vel;� Permite utilizar t�e ni as de ontrole j�a desenvolvidas para estabiliza� ~ao robusta desistemas lineares om restri� ~oes no ontrole;� De omp~oe o projeto em dois est�agios: um lo al, visando desempenho; um outro \glo-bal", visando garantia de estabilidade.Estas propriedades ofere em uma erta exibilidade de projeto, onjuntamente om umaquase separa� ~ao de objetivos de desempenho e estabilidade no projeto. Ao mesmo tempo,o fato de n~ao restringir a magnitude do sinal de referen ia permite que esta possa ser utili-zada para obter transi� ~oes mais r�apidas para o sistema em malha fe hada, utilizando maisefetivamente o esfor� o de ontrole dispon��vel.Compensa� ~ao. Atrav�es do estudo do ontrole de um robo manipulador, mostrou-se a im-portan ia e as vantagens de dispor de estrat�egias para ompensa� ~ao de satura� ~ao mesmo emsistemas n~ao-lineares. Uma das motiva� ~oes para tal vem do fato de que a grande maioria dast�e ni as de ontrole dispon��veis para sistemas n~ao-lineares onsidera o sinal de ontrole ilimi-tado. Assim, estrat�egias de ompensa� ~ao de satura� ~ao podem tornar mais vi�avel a apli a� ~aodestas t�e ni as.A estrat�egia de uni� a� ~ao de ontroladores lo ais e globais desenvolvida em (TEEL,KAPOOR, 1997b) mostrou-se atrativa para o prop�osito da ompensa� ~ao de satura� ~ao em

Con lus~ao e Perspe tivas 157sistemas n~ao-lineares, forne endo um formalismo adequado para o tratamento do problema.Esta mesma estrat�egia fundamenta a t�e ni a do anti-windup L2 e a ontribui� ~ao apresentadapara seguimento de referen ia no ontexto de sistemas lineares. Uma extens~ao desta t�e ni afoi proposta e apli ada na ompensa� ~ao de satura� ~ao no ontrole de robos manipuladores. Osresultados de simula� ~ao atestam melhorias signi� ativas de desempenho/estabilidade obtidas om a estrat�egia de ompensa� ~ao de satura� ~ao proposta.Con lus~ao geral. Virtualmente todo sistema f��si o est�a sujeito a restri� ~oes de magnitudee/ou taxa de varia� ~ao em sua entrada. Devido a simpli� a� ~oes de projeto e ao fato de quemuitos sistemas reais s~ao operados em torno de um ponto de opera� ~ao, normalmente estasrestri� ~oes s~ao negligen iadas na fase de projeto. Contudo, varia� ~oes de referen ia e/ou pertur-ba� ~oes podem fa ilmente levar o sistema a atingir os limites dos atuadores, omprometendoestabilidade e desempenho do projeto original. Esta �e uma primeira motiva� ~ao para o proble-ma da ompensa� ~ao de satura� ~ao. Por estas raz~oes, pode-se supor que muitos sistemas f��si oss~ao superdimensionados para evitar que os limites dos atuadores sejam ultrapassados. Alter-nativas para ompensa� ~ao de satura� ~ao podem, portanto, ontribuir para redu� ~ao de ustose/ou aumento de produtividade, explorando de forma mais adequada as poten ialidades dosistema.Desta forma, o tratamento mais adequado de restri� ~oes no ontrole �e um problema deimportan ia pr�ati a onsider�avel. Neste ontexto, en aixam-se as t�e ni as do anti-windup ea uni� a� ~ao de ontroladores lo ais e globais, permitindo que os ontrole projetados ini ial-mente, negligen iando-se as restri� ~oes nos atuadores, possam ser reutilizados integralmentee apenas adi ionados de modi� a� ~oes que garantem estabilidade em ondi� ~oes extremas deopera� ~ao. Al�em disso, do ponto de vista de apli a� ~oes, os esquemas de ontrole em uso pou o ontemplam as restri� ~oes nos atuadores, de onde pode ser vislumbrada a utiliza� ~ao pr�ati adas t�e ni as desenvolvidas neste trabalho.Perspe tivasA abordagem da equa� ~ao de Ri ati e o algoritmo de es alonamento proposto no ap��tulo 2poderiam ser estendidos para sistemas lineares des ritores. A quest~ao de realimenta� ~ao desa��da tamb�em poderia ser abordada.No ontexto do anti-windup L2, a s��ntese de �(�) tal que minimize k z k2 �e um problema

158 Con lus~ao e Perspe tivasimportante que poderia ser ata ado.A ontribui� ~ao ao seguimento de set-point apresentada no ap��tulo 3 are e de uma an�alisede robustez adequada quanto a in ertezas param�etri as nas matrizesA eB do sistema original.Um projeto mais expl�� ito de tamb�em seria desej�avel.O ap��tulo 4 abre diversas frentes que poderiam ser melhor exploradas. Uma ontribui� ~aoimportante seria relaxar a ne essidade do ontrole global garantir estabilidade assint�oti ado equil��brio, para garantir apenas onvergen ia para um onjunto que ont�em o equil��brio.Desta forma, apenas o ontrole lo al seria respons�avel por garantir o equil��brio do sistemasem malha fe hada.No ontexto da apli a� ~ao a robos manipuladores uma primeira perspe tiva �e a implemen-ta� ~ao pr�ati a da lei de ontrole proposta para veri� ar sua fun ionalidade em uma apli a� ~aoreal. Tamb�em abe uma an�alise mais detalhada da garantia de estabilidade para o robo ma-nipulador, al�em de extens~oes para lasses mais gerais de robos, onsiderando mais graus deliberdade e exibilidade nas juntas, a qual sempre o orre quando robos, onsiderados r��gidos,operam em velo idades elevadas.

Publi a� ~oes do Autor1. R. Reginatto and E. R. De Pieri. Saturation ompensation for robot manipulators. InXIII Congresso Brasileiro de Autom�ati a, pg. 955-960, Florian�opolis, Brasil, Setembro2000.2. R. Reginatto, A. R. Teel, and E. R. De Pieri. Enhan ed performan e global stabilizationof linear systems with saturating a tuators. InXIII Congresso Brasileiro de Autom�ati a,pg. 949-954, Florian�opolis, Brasil, Setembro 2000.3. R. Reginatto, A. R. Teel, and E. R. De Pieri. Robustness and enhan ed performan e forlinear systems with saturating a tuators. In 3rd IFAC Symposium on Robust ControlDesign, ROCOND'2000, Prague, Cze k Republi , Jun. 21-23, 2000.4. R. Reginatto, A. R. Teel, and E. R. De Pieri. Stabilization of saturated linear systems:A s heduling me hanism based on the ontrol signal. Relat�orio t�e ni o, UniversidadeFederal de Santa Catarina, Florian�opolis, Brasil, Janeiro, 2000.5. C. Barbu, R. Reginatto, A. R. Teel, and L. Za arian. Anti-windup for exponentiallyunstable linear systems with inputs limited in magnitude and rate. In Ameri an ControlConferen e, Chi ago, IL, June 2000.6. C. Barbu, R. Reginatto, A. R. Teel, and L. Za arian. Anti-windup for exponentiallyunstable linear systems with inputs limited in magnitude and rate. Te hni al report,University of California at Santa Barbara, Santa Barbara, USA, February 2000.7. C. Barbu, R. Reginatto, A. R. Teel, and L. Za arian. Anti-windup design for manual ight ontrol. In Ameri an Control Conferen e, San Diego, CA, June 1999, pages3186{3190.

160 Publi a� ~oes do Autor8. R. Reginatto and E.R. De Pieri. Nonlinear robust ontrol design: A survey. Cien ia eEngenharia, 1(4):1{8, Jan./Junho 1999.9. R. Reginatto and E. R. De Pieri. Some nonlinear robust ontrol design approa hes. InXII Congresso Brasileiro de Autom�ati a, volume 4, pg. 1443-1450, Uberlandia, MG,Brasil, Setembro de 1998.10. Romeu Reginatto. Controle Robusto de Sistemas N~ao-Lineares: T�e ni as de Projeto.Relat�orio t�e ni o RT 002/98, DAS, Universidade Federal de Santa Catarina, Flori-an�opolis, Brasil, Fevereiro de 1998.11. A. S. Bazanella, R. Reginatto, and R. Valiatti. Robustness margins for global asymp-toti stability in indire t �eld-oriented ontrol of indu tion motors. In XIII CongressoBrasileiro de Autom�ati a, pg. 1048-1053, Florian�opolis, Brasil, Setembro de 2000.12. A. S. Bazanella and R. Reginatto. Robustness margins for indire t �eld-oriented ontrolof indu tion motors. IEEE Trans. Aut. Cont., 45(6):1226-1231, June 2000.13. A. Bazanella, R. Reginatto, and R. Valiati. On Hopf bifur ations in indire t �eldoriented ontrol of indu tion motors: Designing a robust PI ontroller. In Conferen eon De ision and Control, pages 689-694, Phoenix, USA, De ember 1999.14. A. S. Bazanella and R. Reginatto. Robustness margins for indire t �eld-oriented ontrolof indu tion motors. In Conferen e on De ision and Control, pages 1001-1006, Tampa,Florida, De ember 1998.15. C. C. Pain, A. S. Bazanella, and R. Reginatto. Uma Nova Abordagem para a Adapta� ~aoParam�etri a em Controle por Orienta� ~ao de Campo de Motores de Indu� ~ao. In Anais doXII Congresso Brasileiro de Autom�ati a, pg. 1811-1816, Uberlandia, Brasil, Setembrode 1998.

Apendi e AModelagem do Robo Manipulador

Neste apendi e �e apresentado o modelo ompleto de um robo manipulador de dois grausde liberdade. Este modelo foi utilizado para obter os resultados de simula� ~ao apresentadosno Cap��tulo 4.

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���

g

PSfrag repla ements�1 = q1

�2 = q2�1 �2m1

m2l1 l2

xy

Figura A.1: Esquem�ati o de um robo manipulador planar de 2 graus de liberdade.A Figura A.1 ilustra esquemati amente um robo planar de dois graus de liberdade. Sup~oe-se que a massa dos bra� os esteja on entrada nas extremidades, representadas por m1 e m2.Os bra� os possuem omprimentos l1 e l2, respe tivamente. O torque apli ado em ada junta�e representado por �1 e �2. O angulo medido em ada junta �e representado por �1 e �2,respe tivamente. A a elera� ~ao da gravidade �e representada por g. S~ao desprezados os atritosnas juntas e as dinami as dos atuadores.

162 Modelagem do Robo ManipuladorOs angulos nas juntas 1 e 2 orrespondem �as oordenadas de trabalho, e ser~ao tamb�emrepresentados por q1 e q2, respe tivamente. Considere tamb�em a nota� ~ao vetorialq := 24 q1q2 35 = 24 �1�2 35 (A.1)e a representa� ~ao usual de derivadas temporais _q e �q.Com estas hip�oteses e a nota� ~ao introduzida, o modelo do robo planar ilustrado na Figu-ra A.1 �e dado por (LEWIS et al., 1993)M(q)�q +C(q; _q) _q +G(q) = � (A.2)onde, M(q) = 24 (m1 +m2)l21 +m2l22 + 2m2l1l2 os(q2) m2l22 +m2l1l2 os(q2)m2l22 +m2l1l2 os(q2) m2l22 35 (A.3)C(q; _q) = 24 �2m2l1l2 sin(q2) _q2 �m2l1l2 sin(q2) _q2m2l1l2 sin(q2) _q1 0 35 (A.4)G(q) = 24 (m1 +m2) g l1 os(q1) +m2 g l2 os(q1 + q2)m2 g l2 os(q1 + q2) 35 (A.5)Neste modelo, M representa a matriz de in�er ia, G representa o efeito da gravidade e Crepresenta o efeito da for� a entr��fuga e de Coriolis.Para onsiderar torques de arga nas juntas, basta substituir �1 e �2 na equa� ~ao (A.2)pelo torque l��quido apli ado na respe tiva junta.

Apendi e BConjuntos Sa��da Admiss��veisNeste apendi e �e apresentado o on eito de onjunto sa��da admiss��vel bem omo um onjunto de resultados que permitem sua utiliza� ~ao na an�alise e projetos de sistemas omrestri� ~oes no ontrole. Todos os resultados s~ao apresentados no ontexto de sistemas linea-res dis retos, embora o on eito de onjunto sa��da admiss��vel seja independente do fato dosistema ser ont��nuo ou dis reto no tempo. Os resultados apresentados s~ao parti ularmenteimportantes para o ap��tulo 3.Considere o sistema linear dis reto.x(t+ 1) = Ax(t)z(t) = Cx(t) (B.1)onde x 2 Rn , z 2 Rnz e t 2 Z�0. A sa��da z representa um onjunto de vari�aveis do sistemaque est~ao sujeitas a restri� ~oes.Todas as de�ni� ~oes apresentadas no ap��tulo 1 no ontexto de sistemas ont��nuos, possuemde�ni� ~oes an�alogas para sistemas dis retos. Em parti ular, os Lemas 1.3.4 e 1.3.5 ontinuamv�alidos om a devida substitui� ~ao de C�, no Lema 1.3.5, pelo dis o fe hado de raio unit�ario.De�ni� ~ao B.0.1 Para o sistema (B.1), um onjunto X � Rn �e dito admiss��vel para a sa��daz om respeito ao onjunto Z � Rnz se CAtX � Z; 8t 2 Z�0. Abreviadamente, diz-se queX �e (A;C;Z)-admiss��vel ou sa��da-admiss��vel. O onjunto X �e dito sa��da-admiss��vel m�aximo,e �e representado por O1(A;C;Z), se ont�em todos os onjuntos (A;C;Z)-admiss��veis. /Um onjunto sa��da-admiss��vel n~ao ne essariamente �e invariante para o sistema (B.1).N~ao obstante, O1(A;C;Z) �e positivamente invariante e, mais do que isto, �e o maior onjunto

164 Conjuntos Sa��da Admiss��veispositivamente invariante tal que as trajet�orias de (B.1) satisfazem a restri� ~ao z(t) 2 Z; 8t 2Z�0.Nota B.0.2 Em parti ular, para o sistema x(t + 1) = Ax(t) + Bu(t), O1(A + BK;K;U)�e o maior onjunto positivamente invariante obtido pela lei de ontrole linear u = Kx e talque o ontrole satisfaz a restri� ~ao u(t) 2 U; 8t 2 Z�0. Ne essariamente, O1(A+BK;K;U)�e um sub onjunto da regi~ao de linearidade da lei de ontrole u = Kx (em geral bem menor).A igualdade s�o se veri� a em alguns asos parti ulares (CASTELAN, 1992). ?A seguir s~ao estabele idas algumas propriedades de onjuntos sa��da-admiss��veis as quaisser~ao importantes para a apresenta� ~ao do ondi ionador de referen ia. Provas destes resul-tados podem ser en ontradas em (GILBERT, TAN, 1991).O primeiro teorema estabele e propriedades de O1(A;C;Z) rela ionadas om proprieda-des de Z. Quando o ontexto permitir, utilizar-se-�a O1 para denotar O1(A;C;Z).Teorema B.0.3 As propriedades de fe hamento, onvexidade e simetria de O1 s~ao herdadasdas propriedades orrespondentes de Z. Adi ionalmente,1. Se (C;A) �e observ�avel, ent~ao Z limitado impli a O1 limitado.2. Se A �e Lyapunov est�avel, ent~ao 0 2 int(Z) impli a 0 2 int(O1).3. Para � 2 R, O1(A;C; �Z) = �O1(A;C;Z)4. Se T 2 Rn�n �e n~ao singular, ent~ao O1(A;C;Z) = T O1(T�1AT;CT;Z).5. Se (C;A) �e dete t�avel e C = [C1 0℄, A = 24 A1 0A2 A3 35 om (C1; A1) observ�avel, ent~aoO1(A;C;Z) = O1(A1; C1; Z). �O pr�oximo teorema estabele e ondi� ~oes para que O1 possa ser des rito por um onjuntode desigualdades.Teorema B.0.4 Suponha que A �e Lyapunov est�avel e o onjunto Z �e dado porZ = fz 2 Rnz : Fi(z) � 0; i = 1; 2; � � � ; nfg (B.2)

165onde, para i = 1; � � � ; nf , Fi : Rnz ! R s~ao fun� ~oes ont��nuas e tais que Fi(0) � 0. Ent~ao,0 2 O1(A;C;Z) eO1(A;C;Z) = fx 2 Rn : Fi(CAtx) � 0; i = 1; 2; � � � ; nf ; t 2 Z�0g (B.3)�De a ordo om a des ri� ~ao (B.3), O1 �e determinado por um n�umero in�nito de desigual-dades. Diz-se que O1 �e determinado �nitamente se existe t� tal queO1(A;C;Z) = fx 2 Rn : Fi(CAtx) � 0; i = 1; 2; � � � ; nf ; t = 0; 1; � � � ; t�g (B.4)O pr�oximo lema forne e ondi� ~oes para que O1 seja determinado �nitamente. As on-di� ~oes s~ao apenas su� ientes, mas existem exemplos que eviden iam di� uldades em enfra-que e-las.Teorema B.0.5 Suponha que: (i) A �e S hur-est�avel1, (ii) (C;A) �e observ�avel, (iii) Z�e limitado, e (iv) 0 2 int(Z). Ent~ao, O1 �e determinado �nitamente. �A ondi� ~ao mais forte para a determina� ~ao �nita de O1 �e a primeira, que requer que Aseja S hur-est�avel. Quando A �e apenas Lyapunov est�avel n~ao h�a garantia de que O1 sejadeterminado �nitamente. Neste aso, �e poss��vel obter-se uma aproxima� ~ao de O1 a qual �edetermin�avel �nitamente. O seguinte teorema estabele e as ondi� ~oes para tal.Teorema B.0.6 Sejam,C = h CL Cs i ; A = 24 I 00 As 35 ; ~C = 24 CL 0CL Cs 35 (B.5) om (C;A) observ�avel e As Hurwitz. Baseado em Z (eq. (B.2)) de�na,Z(�) = fz 2 Rnz : Fi(z) � ��; i = 1; 2; � � � ; nfg (B.6)Ent~ao, para ada � 2 (0;�maxfFi(0); i = 1; � � � ; nfg℄, O1(A; ~C;Z(�) � Z) �e determinado�nitamente e O1(A;C;Z(�)) � O1(A; ~C;Z(�)� Z) � O1(A;C;Z) (B.7)1A �e S hur-est�avel sse todos os seus autovalores est~ao no interior do ��r ulo de raio unit�ario.

166 Conjuntos Sa��da Admiss��veis�Assim, de a ordo om o Teorema B.0.6, ao inv�es de determinar-se O1(A;C;Z) (que n~ao�e determin�avel �nitamente), en ontra-se O1(A; ~C;Z(�) � Z), o qual sempre �e determin�avel�nitamente para algum � dentro das ondi� ~oes do teorema. Este onjunto pode ent~ao serutilizado omo uma aproxima� ~ao de O1(A;C;Z) uja pre is~ao depende de � e pode serinferida de (B.7).

Apendi e CEstabilidade de SistemasN~ao-LinearesC.1 Con eitos B�asi osDe�ni� ~ao C.1.1 Uma fun� ~ao ont��nua g : R ! R�0 perten e a lasse G se for n~ao-de res ente. Uma fun� ~ao ont��nua � : [0; a) ! R�0 perten e a lasse K se for estrita-mente res ente e �(0) = 0. Ela �e uma fun� ~ao da lasse K1 se, adi ionalmente, a = 1e limr!1 �(r) = 1. Uma fun� ~ao ont��nua � : [0; a) � R�0 ! R�0 perten e a lasse KLse, para todo s �xo, �(r; s) perten e a lasse K om respeito a r e, para todo r �xo, o mapa�(r; s) �e de res ente em s e �(r; s)! 0 quando s!1. /Considere o sistema n~ao-linear _x = f(t; x) (C.1)onde f : [0;1) � X ! Rn satisfaz as ondi� ~oes usuais de existen ia e uni idade de so-lu� ~ao (KHALIL, 1996) e X � Rn �e um dom��nio que ont�em a origem omo ponto interior.Considere, sem perda de generalidade, que a origem �e um ponto de equil��brio de C.1, isto �e,f(t; 0) = 0; 8 t � 0.A de�ni� ~ao usual de estabilidade no sentido de Lyapunov utiliza o formalismo de �; Æ0s(KHALIL, 1996, YOSHIZAWA, 1966). O seguinte lema forne e uma ara teriza� ~ao em ter-mos de fun� ~oes de lasse K e KL, a qual �e mais on isa. Para uma prova deste resultadoveja (KHALIL, 1996).Lema C.1.2 O equil��brio x = 0 de C.1 �e

168 Estabilidade de Sistemas N~ao-Lineares� uniformemente est�avel se e somente se existir uma fun� ~ao �(�) 2 K e uma onstante > 0, independente de t0, tais quejx(t)j � �(jx(t0)j); 8 t � t0; 8 jx(t0)j � (C.2)� UAS se e somente se existir uma fun� ~ao �(�; �) 2 KL e uma onstante > 0 tais quejx(t)j � �(jx(t0)j ; t� t0); 8 t � t0; 8 jx(t0)j � (C.3)� GUAS se e somente se a ondi� ~ao C.3 for satisfeita para toda estado ini ial x(t0).� exponen ialmente est�avel (ES) se a ondi� ~ao C.3 for satisfeita om�(r; s) = kre� s; k > 0; > 0Ainda, �e globalmente exponen ialmente est�avel (GES) se esta ondi� ~ao for satisfeitapara qualquer estado ini ial. ÆO teorema seguinte onstitui o ali er e do segundo m�etodo de Lyapunov (KHALIL, 1996).Teorema C.1.3 Seja V : [0;1)�X ! R uma fun� ~ao ontinuamente diferen i�avel e sejam�1(�) 2 K e �2(�) 2 K tais que para todo t � t0 e todo x 2 X�1(jxj) � V (t; x) � �2(jxj) (C.4)_V (x) = �V�t + �V�x f(t; x) � �W (x) (C.5)para algum W (x). As seguintes senten� as s~ao verdadeiras.� Se W (x) � 0, ent~ao x = 0 �e uniformemente est�avel.� Se W (x) � �3(jxj) 2 K, ent~ao x = 0 �e UAS.� se �1(jxj) � k1 jxj , �2(jxj) � k2 jxj eW3(x) � k3 jxj para algumas onstantes positivask1; k2; k3; , ent~ao x = 0 �e exponen ialmente est�avel;

C.1. Con eitos B�asi os 169Ainda, se todas as ondi� ~oes do teorema forem satisfeitas globalmente e �1(jxj) for radial-mente ilimitada, ent~ao a ara ter��sti a do equil��brio x = 0 �e global. Finalmente, para sistemasautonomos (invariantes no tempo), V (t; x) pode ser es olhida independente de t e a quali�- a� ~ao uniformemente pode ser suprimida. �De�ni� ~ao C.1.4 Considere o sistema n~ao-linear autonomo_x = f(x) (C.6)onde x 2 Rn e om as hip�oteses usuais de existen ia e uni idade de solu� ~ao. Um onjuntoM � Rn �e hamado de onjunto invariante em rela� ~ao ao sistema C.6 sex(0) 2M ) x(t) 2M; 8 t 2 RUm onjunto M �e hamado onjunto positivamente invariante sex(0) 2M ) x(t) 2M; 8 t � 0 /A no� ~ao de invarian ia pode auxiliar na prova de estabilidade assint�oti a, onforme esta-bele e o teorema de LaSalle (KHALIL, 1996, SLOTINE, LI, 1991).Teorema C.1.5 Seja X � Rn um dom��nio e seja � X um onjunto ompa to e positiva-mente invariante em rela� ~ao ao sistema C.6. Seja V : X ! R uma fun� ~ao ontinuamentediferen i�avel tal que _V (x) � 0 em . Seja E := fx 2 : _V (x) = 0g e seja M o maior onjunto invariante ontido em E. Ent~ao se x(0) 2 , x(t) tende a M a medida que t!1.� Para os sistemas n~ao-autonomos, um resultado similar �e poss��vel, por�em o onjunto parao qual as trajet�orias onvergem n~ao pode ser determinado t~ao pre isamente. O resultadobaseia-se no lema de Barbalat (KHALIL, 1996, SLOTINE, LI, 1991).Lema C.1.6 Considere o sistema C.1 e seja V (t; x) uma fun� ~ao limitada inferiormente. Se_V (t; x) �e semide�nida negativa e uniformemente ont��nua em t, ent~ao _V (t; x) ! 0 quandot!1. Æ

170 Estabilidade de Sistemas N~ao-LinearesC.1.1 Estabilidade om Rela� ~ao a Conjuntos Compa tosUma ara teriza� ~ao mais geral de estabilidade �e a estabilidade om rela� ~ao a onjuntos ompa tos. O seguintes resultados apresentam ara teriza� ~oes em termos de fun� ~oes de lasseK e KL, e em termos de fun� ~oes de Lyapunov (LIN et al., 1996a, LIN, 1992).Teorema C.1.7 Seja M � Rm um onjunto ompa to e invariante para o sistema (C.6).Ent~ao (C.6) �e globalmente assintoti amente est�avel om rela� ~ao a M se e somente se existiruma fun� ~ao � 2 KL tal quedistM (x(t)) � �(distM (xo); t); 8 t � 0; 8xo 2 Rn �Teorema C.1.8 O sistema (C.6) �e globalmente assintoti amente est�avel om rela� ~ao a Mse e somente se existir uma fun� ~ao V : Rn ! R, diferen i�avel em (Rn �M) e que satisfaz1. existem �1 2 K1, �2 2 K1 tais que�1(distM (x)) � V (x) � �2(distM (x))2. existe uma fun� ~ao ont��nua e positiva de�nida �3 tal que�V�x f(x) � ��3(distM (x)) �C.1.2 Estabilidade Entrada-Estado - ISSConsidere o sistema _x = f(x; u) (C.7)onde x 2 Rn , u 2 Lm1 e f(0; 0) = 0. A seguinte de�ni� ~ao �e devida a Sontag (SONTAG, 1990,SONTAG, 1995, SONTAG, WANG, 1996).De�ni� ~ao C.1.9 O sistema (C.7) �e entrada-estado-est�avel (ISS) se existirem fun� ~oes � 2

C.1. Con eitos B�asi os 171KL e 2 K tais que 8 u 2 Lm1 e 8 x0 2 Rn a solu� ~ao x(t) om x(0) = x0 existe e satisfaz 1para todo t � 0 jx(t)j � maxf�(jx0j ; t); (k ut k1)g (C.8)onde ut �e o trun amento de u em t. O sistema (C.7) �e dito lo almente ISS se (C.8) valerpara k ut k1 e jxoj su� ientemente pequenos.O uso de k ut k1 ou simplesmente k u k1 �e indiferente na de�ni� ~ao. A de�ni� ~ao estabele eque o estado x(t) �e limitado para todo u(t) limitado. Tamb�em que o equil��brio x = 0 �eglobalmente assintoti amente est�avel para u � 0. A fun� ~ao (�) �a hamada de ganho L1n~ao-linear de (C.7).Nota C.1.10 Se o equil��brio x = 0 de (C.7) om u � 0 for assintoti amente est�avel, ent~ao(C.7) �e lo almente ISS. Contudo, o mesmo n~ao vale no aso global. ?O pr�oximo teorema ara teriza ISS em termos de fun� ~oes ISS-Lyapunov (SONTAG, 1995,SONTAG, 1990, SONTAG, 1989).Teorema C.1.11 O sistema (C.7) �e ISS se e somente se uma das seguintes ondi� ~oes forsatisfeita:1. existem uma fun� ~ao V : Rn ! R, diferen i�avel e positiva de�nida, fun� ~oes �1 e �2 de lasse K1, � e �3 de lasse K, tais que�1(jxj) � V (x) � �2(jxj)jxj � �(k u k1)) �V (x)�x f(x; u) � ��3(jxj); 8x; u (C.9)2. existem uma fun� ~ao V : Rn ! R, diferen i�avel e positiva de�nida, fun� ~oes �1, �2, �3e �4 da lasse K1, tais que �1(jxj) � V (x) � �2(jxj)�V (x)�x f(x; u)� �3(jxj) + �4(juj); 8x; u (C.10)O sistema (C.6) �e lo almente ISS se e somente se uma destas ondi� ~oes se veri� ar em umavizinhan� a da origem de Rn � Rm . �1A de�ni� ~ao seria equivalente se fosse tomada a soma de � e ao inv�es do m�aximo entre elas, poismaxfa; bg � a+ b � maxf2a; 2bg.

172 Estabilidade de Sistemas N~ao-LinearesC.2 Estabilidade de Sistemas em Cas ataConsidere a omposi� ~ao em as ata na forma_x = f(x; �)_� = a(�) (C.11) om f(0; 0) = 0 e a(0) = 0. O objetivo desta se� ~ao �e estabele er ondi� ~oes sobre o sistema(C.11) para on luir sobre a estabilidade da origem (x; �) = (0; 0) a partir da estabilidadeindividual dos subsistemas x e �. Os resultados desta se� ~ao podem ser en ontrados em(SEPULCHRE et al., 1997, KHALIL, 1996).Teorema C.2.1 Considere o sistema (C.11) om as seguintes hip�oteses:1. o equil��brio x = 0 do subsistema _x = f(x; 0) �e LAS;2. o equil��brio � = 0 do subsistema _� = a(�) �e LAS;Ent~ao, o equil��brio (x; �) = (0; 0) �e LAS. �N~ao �e poss��vel estender este resultado diretamente para o aso global. O sistema (C.12) �eum exemplo em que os equil��brio dos subsistemas individuais �e GAS, mas o sistema ompleton~ao �e. _x = �x3 + x3�_� = �� (C.12)Garantia de estabilidade global do sistema em as ata (C.11) pode ser obtida om ahip�otese de estabilidade entrada-estado.Teorema C.2.2 Considere o sistema (C.11) om as seguintes hip�oteses:1. o subsistema _x = f(x; �) �e ISS (tomando � om entrada);2. o equil��brio � = 0 do subsistema _� = a(�) �e GAS;Ent~ao, o equil��brio (x; �) = (0; 0) �e GAS. �A hip�otese de ISS para o subsistema x de (C.11) �e onsideravelmente restritiva. O resul-tado mais geral para garantia de estabilidade global de (C.11) �e estabele ido a seguir.Teorema C.2.3 Considere o sistema (C.11) om as seguintes hip�oteses:

C.3. Estabilidade de Sistemas Inter one tados 1731. o equil��brio x = 0 de _x = f(x; 0) �e GAS;2. o equil��brio � = 0 do subsistema _� = a(�) �e GAS;Ent~ao, o equil��brio (x; �) = (0; 0) �e LAS e, adi ionalmente, todas as trajet�orias limitadas s~ao onvergentes. �Em outras palavras, o Teorema C.2.3 estabele e que a estabilidade assint�oti a globaldos equil��brios individuais onjuntamente om a limita� ~ao de todas as trajet�orias onstitui ondi� ~ao su� iente para estabilidade assint�oti a global da origem do sistema em as ata(C.11).C.3 Estabilidade de Sistemas Inter one tadosConsidere o sistema _x = f(x; �)_� = g(�; x) (C.13) om f(0; 0) = 0 e g(0; 0) = 0. Para o sistema (C.13), a estabilidade assint�oti a lo al dossubsistemas _x = f(x; 0) e _� = g(�; 0) n~ao �e su� iente para garantir a estabilidade assint�oti ada origem. O seguinte teorema forne e ondi� ~oes su� ientes para tal, em termos de uma ondi� ~ao de pequeno ganho.Teorema C.3.1 Considere o sistema (C.13) om as seguintes hip�oteses:1. o subsistema _x = f(x; 0) �e lo almente ISS om ganho x;2. o subsistema _� = g(�; 0) �e lo almente ISS om ganho �;3. existe Æ > 0 tal que ( x Æ �)(s) < s; 8 s 2 (0; Æ).Ent~ao, o equil��brio (x; �) = (0; 0) �e LAS. �A vers~ao global deste resultado requer que a ondi� ~ao de pequeno ganho (item 3) sejav�alida globalmente, omo estabele e o resultado a seguir.Teorema C.3.2 Considere o sistema (C.13) om as seguintes hip�oteses:1. o subsistema _x = f(x; 0) �e (globalmente) ISS om ganho x;2. o subsistema _� = g(�; 0) �e (globalmente) ISS om ganho �;

174 Estabilidade de Sistemas N~ao-Lineares3. ( x Æ �)(s) < s; 8 s 2 (0; 1)Ent~ao, o equil��brio (x; �) = (0; 0) �e GAS. �C.4 Ganho L2 e Teorema de Pequeno GanhoComo o on eito de ganho L2 e o teorema do pequeno ganho foram utilizados ao longodo trabalho, estes s~ao desenvolvidos nesta se� ~ao para maior ompletude do trabalho. Estesresultados podem ser en ontrados em maiores detalhes em (KHALIL, 1996, TEEL et al.,1996, VAN DER SHAFT, 1996, DESOER, VIDYASAGAR, 1975)De�ni� ~ao C.4.1 Seja w : R ! Rp uma fun� ~ao Lebesgue mensur�avel. A norma L2 de w �ede�nida omo a seguinte integral (se existir)k w k2 :=sZ 10 jw(t)j2 dt: (C.14)Diz-se que w 2 L2 se k w k2<1. /De�ni� ~ao C.4.2 Diz-se que o sistema n~ao-linear_x = f(x; u) (C.15)possui ganho L2 menor ou igual a (�) se existir � 2 G tal que, para qualquer u 2 L2 e qualquer ondi� ~ao ini ial xo 2 Rn , as trajet�orias de (C.15) existem para todo t � 0 e satisfazemk x k2� (k u k2) + �(jxoj): (C.16)Diz-se que o ganho L2 �e �nito se (s) = � s e �(s) = �� s para alguns � > 0 e �� � 0. /Para sistemas n~ao-lineares a�ns, o ganho L2 �nito pode ser ara terizado atrav�es dainequa� ~ao de Hamilton-Jo obi-Isaa s, onforme estabele e o pr�oximo teorema.Teorema C.4.3 Considere o sistema n~ao-linear_x = f(x) + g(x)uy = h(x) (C.17)

C.4. Ganho L2 e Teorema de Pequeno Ganho 175Seja � > 0 e assuma que exista uma fun� ~ao V : Rn ! R ontinuamente diferen i�avel epositiva semide�nida que satisfaz�V�x f(x) + 12� 2 �V�x g(x)��V�x g(x)�0 + 12h0(x)h(x) � 0; 8x 2 Rn : (C.18)Ent~ao, o sistema (C.17) possui ganho L2 �nito menor ou igual a � de u para y. �Para o aso linear, a ara teriza� ~ao �e dada pelo onhe ido Lema da Limita� ~ao Real (Boun-ded Real Lemma).Lema C.4.4 Para o sistema linear _x = Ax+Buy = Cx (C.19) om A Hurwitz, k y k2� � k u k2 +�� jxoj se e somente se existir P = P 0 � 0 tal queA0P + PA+ 1� 2PBB0P + C 0C � 0 (C.20)ÆO teorema a seguir forne e uma ondi� ~ao de pequeno ganho para garantir estabilidadeglobal de sistemas inter one tados. Este resultado pode ser en ontrado em (TEEL et al.,1996).Teorema C.4.5 Considere o sistema _x = f(x; �)_� = g(�; x) (C.21) om as seguintes hip�oteses:1. o subsistema _x = f(x; u) �e GAS e possui ganho L2 menor ou igual a x;2. o subsistema _� = g(�; u) �e GAS e possui ganho L2 menor ou igual a �;3. ( x Æ �)(s) < s; 8 s 2 (0; 1)Ent~ao, o equil��brio (x; �) = (0; 0) �e GAS. �

176 Estabilidade de Sistemas N~ao-Lineares

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