Formulário Mecânica Dos Materiais

FORMULÁRIO → EXAME: MECÂNICA DOS MATERIAIS

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FORMULÁRIO PARA MECÂNICA DOS MATERIAIS

CONVERSÃO DE UNIDADES

1 bar 1 x 105 Pa

1 Pa 1 x N/m2

1 MPa 1000 kPa

1 MPa 1 x 106 Pa

1 Mpa 1 N/mm2

1 Mpa 1 x 106 N/m2

1 kgf/cm2 0,0981 MPa

1 kgf/cm2 0,0981 N/mm2

1KN.m 1 x 106 N.mm

1 GPa 1000 MPa

1 GPa 1 x 109 Pa

1 KN 1000 N

1cm2 100 mm2

1cm 10 mm

1cm3 1000 mm3

1cm4 10000 mm4

1cm4 1 x 10-8 m4

1 x 10-8 m4 10000 mm4

1 rpm (1 x 2π)/60 rad/s

1⁰ π/180 rad

ÁREAS = secção

VARIAÇÃO DE ÁREA → -

CONVENÇÃO DE SINAIS (positivos)

MF MF

N N

T

T

+

X

MT X

MT

+


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TIPOS DE APOIO E REACÇÕES

Apenas reacção na vertical

Reacção na vertical e na horizontal

Reacção na vertical e na horizontal

Reacção na vertical, na horizontal e movimento de

rotação (momento)


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TRIGONOMETRIA

LEI DOS SENOS:

LEI DOS COSSENOS:

CARGAS DISTRIBUIDAS

CARGA UNIFORMEMENTE DISTRIBUIDA

Em que, R ≡ carga equivalente →

X ≡ ponto de aplicação da carga equivalente →

CARGA DISTRIBUIDA TRIANGULAR

Em que,

R ≡ carga equivalente →


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CARGA DISTRIBUIDA TRAPEZOIDAL

Em que,

R ≡ carga equivalente →

DIAGRAMA DE ESFORÇOS

Desenhar a viga com as reações e forças que lhe são aplicadas

NÃO ESQUECER DE COLOCAR AS REAÇÕES NOS PONTOS SE EXISTIREM E A FORÇA

DA BARRA QUE SUPORTA A VIGA (não esquecer do ângulo)

“Seccionar” cada troço, de modo a obter:

Troço DB

N1

T1

M1

1

OBTEMOS:

Manter e não substituir

por qualquer valor

Manter e não

substituir por qualquer valor

Substituir valor de q

Substituir FB; Ay;Ax, se tiver

algum momento coloca-lo

com o valor.


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→

→

Se →

Se →

NOTA: SUPONDO QUE (↓) então o sentido real é (↑), quando passamos á análise do troço seguinte, consideramos o valor real. No entanto a seta é oposta ao real no troço seguinte.

→

Se →

Se →


NOTA: SUPONDO QUE (→) então o sentido real é (←), quando passamos á análise do troço seguinte, consideramos o valor real. No entanto a seta é oposta ao real no troço seguinte.

NOTA: SUPONDO QUE (↖) então quando passamos á análise do troço seguinte, consideramos o

sentido da seta oposto e o valor oposto (TROÇO BC: (↙).

Troço BC

N2

T2

M2

2

2

ɵ

FB

B A

T2 TB

MB

s2

NÃO ESQUECER DE

VERIFICAR SE ESTÃO TODAS

AS REACÇÕES E FORÇAS


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→

→

Se →

Se →

→

Se →

Se →

DIAGRAMA DE ESFORÇOS:

M( KN.M)

N( KN)

T( KN)


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ALONGAMENTO / ENCURTAMENTO →

Em que,

≡ alongamento (+) / encurtamento(-) [mm]

F ≡ Força que é aplicada na barra transversal [N]

A ≡ Área Total da barra (tabela perfil xNP, ver secção) [mm2]

E ≡ Módulo de elasticidade: (tabela REAE)= 206000 [MPa]

L ≡ comprimento inicial da barra [mm]

= deslocamento vertical do ponto D


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PERIFL INP equivalente para outros perfis, muda apenas em consultar outra tabela de perfis

Utilizar para DIMENSIONAMENTO DO PERFIL 1xINP, considerando apenas o Mflector

(significa que temos que dimensionar para satisfazer a condição de resistência).

1º CALCULAR, :

Em que, * é retirado da tabela (REAE) de acordo com o tipo de aço dado no enunciado, em [MPa] N ≡ Coeficiente de segurança [adimensional]

2º CALCULAR, :

Em que,

em [N.mm]

≡ Módulo de flexão ou módulo de resistência para a flexão, obtemos através da equação em [mm3]

Utilizar para DIMENSIONAMENTO DO PERFIL (n x PERFIL (INP,UNP…etc)

3º CALCULAR, :

≡

NOTA: é obtido em [mm3] PASSAR PARA [cm

3] PORQUE NA TABELA SÃO APRESENTADOS EM [cm

3]

1 [ ] → 0,001 [ ]

4º PROCURAR na TABELA de perfis INP:

Se , procuramos na tabela o valor de imediatamente ABAIXO do obtido.

Posto isto, na linha do valor verificado na tabela, obtemos também a SECÇÃO/ÁREA (A)

REAE Aços *

Fe360 235 MPa

Fe430 275 MPa

Fe510 355 MPa

CONDIÇÃO DE

RESISTÊNCIA

OBTEMOS DO DIAGRAMA DE ESFORÇOS

(valor de “pico”), esteja no sentido do eixo positivo ou negativo obtido através do

diagrama de esforços, utilizando-se sempre o valor POSITIVO.

1 [KN.m] → 1 x 10

6 [N.mm] INCÓGNITA

Será obtida em [mm3]


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Se , procuramos na tabela o valor de imediatamente ACIMA do obtido.

Posto isto, na linha do valor verificado na tabela, obtemos também a SECÇÃO/ÁREA (A)

RESPOSTA: Pelas tabelas de perfis INP, o perfil que satisfaz a condição é:

Utilizar para DIMENSIONAMENTO DO PERFIL INP, considerando o Mflector e Esforço axial (significa que juntamos o esforço axial ao momento flector e verificamos se satisfaz a condição de resistência)

1º CALCULAR, :

Em que, * é retirado da tabela (REAE) de acordo com o tipo de aço dado no enunciado, em [MPa] N ≡ Coeficiente de segurança [adimensional]

2º CALCULAR, :

Em que,

em [N.mm]

≡ Módulo de flexão ou módulo de resistência para a flexão, obtemos através da equação em [mm3]

1 [ ] → 0,001 [ ]

1 [KN.m] → 1 x 106 [N.mm]


TABELA: REAE

Aços *

Fe360 235 MPa

Fe430 275 MPa

Fe510 355 MPa

PERFIL INPxxx

[cm3]

[cm2]

→ OBTEMOS DO DIAGRAMA DE

ESFORÇOS

(valor de “pico”), esteja no sentido do eixo positivo ou negativo obtido através do diagrama de esforços, utiliza-se sempre o valor POSITIVO.


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3º CALCULAR, :


4º VERIFICAR se a condição de resistência é verdadeira:

≡


≡

→ OBTEMOS DO DIAGRAMA DE

ESFORÇOS em KN (seja positivo ou negativo o valor,

utiliza-se sempre o valor POSITIVO)

1 [KN] → 1000 [N]

CONDIÇÃO DE

RESISTÊNCIA

[ cm2 ]

1 [ ] → 100 [ ]

CONDIÇÃO DE

RESISTÊNCIA


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Utilizar para DIMENSIONAMENTO DO PERFIL INP, considerando o Esforço TRANSVERSO MÁXIMO

(significa que juntamos o esforço axial ao momento flector e verificamos se satisfaz a condição de resistência)

1º CALCULAR, :

Em que,

é retirado da tabela (REAE) de acordo com o tipo de aço dado no enunciado, em [MPa]

N ≡ Coeficiente de segurança [adimensional]

2º CALCULAR, :

Em que,

em [N] (utiliza-se sempre o valor POSITIVO)

≡ Momento estático de meia secção obtemos através da tabela de perfis em [mm3]

≡ Momento de inércia, obtemos através da tabela de perfis em [mm4]

≡ espessura, obtemos através da tabela de perfis em [mm]

1 [ ] → 0,001 [ ]

3º VERIFICAR se a condição de resistência é verdadeira:

≡

TABELA: REAE

Aços

Fe360 135 MPa

Fe430 160 MPa

Fe510 205 MPa

CONDIÇÃO DE

RESISTÊNCIA


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1. DIMENSIONAMENTO À RIGIDEZ

Em que,

≡ Tensão de rotura [MPa]

n ≡ Coeficiente de segurança [adimensional]

Em que,

≡ Tensão instalada [MPa]

F ≡ Força [N]

A ≡ Área [mm2]

CONDIÇÃO DE

RESISTÊNCIA


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REAE → REGULAMENTAÇÃO NACIONAL

(utilizar para VERIFICAÇÃO DA CONDIÇÃO DE RESISTÊNCIA ESTABELECIDADE PELA REAE,

através da geometria e dimensões da secção transversal)

Em que,

→ Valor de cálculo da tensão actuante, determinado tendo em conta os efeitos da encurvadura [MPa]

→ Valor de cálculo da tensão resistente [MPa] → (TABELA )

1º OBTER DA TABELA ACIMA, , de acordo com o aço dado no enunciado.

2º CALCULAR ou OBTER DA TABELA SE FOR DADO O PERFIL DA BARRA

(da secção transversal) em [ mm2 ]

FIGURA PARA EXEMPLO:

REAE – Regulamentação Portuguesa

Aços

Fe360 235 MPa 235 MPa

Fe430 275 MPa 275 MPa

Fe510 355 MPa 355 MPa

Módulo de elastecidade (E) 2,06 x 105 MPa

Coeficiente de Poisson ( ) 0,3

Módulo de corte(distorção) (G) 0,8 x 105 MPa

CONDIÇÃO DE

RESISTÊNCIA


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3º CALCULAR os momentos de inércia, e

(da secção transversal ) em [ mm4 ]

ou OBTER DA TABELA SE FOR DADO O PERFIL DA BARRA

EXEMPLOS:

EXEMPLOS:

4º VERIFICAR qual dos momentos de inércia, ou

é o de menor valor


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Se então =

Se então =

6º CALCULAR O RAIO DE GIRAÇÃO: em [ mm ]

Nota: Quando não consigo obter , arbitrar e obter assim o depois ir à

tabela INP(A.1) e encontra na coluna o valor imediatamente superior ao ao obtido.

Nesta mesma linha, obtemos e INPxxx

EXEMPLO:

PERFIL: INP260

cm

cm2

Excepto se a função estrutural for a de contra-ventamento →

7º CALCULAR O COEFICIENTE DE ESBELTEZA: [adimensional ]


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8º CONHECIDO o coeficiente de esbelteza , e o tipo de Aço, ver no QUADRO II qual o a

fórmula para calcular o Coeficiente de Encurvadura correspondente.

9º CALCULAR o Coeficiente de Encurvadura [adimensional ]

10º CALCULAR, [MPa]

Em que:

QUADRO II

Tipo de Aço Coeficiente de Esbelteza

[adimensional ]

Coeficiente de Encurvadura

[adimensional ]

Fe 360

Fe 430

Fe 510

já calculada através dos DCL e calculo de reacções/forças actuantes na estrutura [N]

c.s ≡ Coeficiente de segurança (SE FOR DITO) [adimensional]

→

→

[adimensional ]


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11º CALCULAR: VERIFICAÇÃO DA CONDIÇÃO DE RESISTÊNCIA ESTABELECIDADE PELA REAE

RESPOSTA:

é satisfeita a CONDIÇÃO DE RESISTÊNCIA e

Se o Coeficiente de Esbelteza calculado for superior a 180 ( significa que é ultrapassado

o limite do coeficiente de esbelteza imposto pelo REAE. Neste caso é necessário aumento o

momento de inércia mínimo da secção transversal.

Se não se verificar, não é satisfeita a CONDIÇÃO DE RESISTÊNCIA, temos de selecionar um novo

PERFIL INP

FLEXÃO: MÉTODO DA CARGA UNITÁRIA ( para correcção do deslocamento NUM PONTO)

Desenhar apenas a viga em análise:

Colocar a carga unitária no ponto em questão: (exemplo: aplicada no ponto D)

Colocar as reacções (apenas verticais) nos restantes pontos da viga [adimensionais]

=0 → obtemos [adimensionais]

=0 → obtemos [adimensionais]

Calcular os momentos necessários para obter o valor de cada reacção.

“Seccionar” cada troço, de modo a obter: ;

Troço DB

CONDIÇÃO DE

RESISTÊNCIA

B D

S1

1


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→ [KN]

→ [KN]

→

Se → [m]

Se → [m]

NOTA: SUPONDO QU (→) então o sentido real é (←), quando passamos á análise do troço seguinte, consideramos o valor real. No entanto a seta é oposta ao real no troço seguinte.




Troço BC

→ [KN]

→ [KN]

→

Se → [m]

Se → [m]

A B

S2

[m]

Diagrama do

momento

flector


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→ Comprimento do tramo:

(TRAMO D-B = X m) ; (TRAMO B - A =Y m)

NOTA: temos de passar de [m] para [mm] para colocar na tabela.

1 [m] → 1000 [mm]

→ Através do , sabemos o perfil (INPxxx), nessa mesma linha obtemos o valor de em [cm4]

NOTA: temos de passar de [cm4] para [mm4] para colocar na tabela. ( e = em todos os tramos)

1 [cm

4] → 10000 [mm

4]

→ Momento flector do carregamento real. VEMOS NO DIAGRAMA DE ESFORÇOS

(TRAMO D-B): = xx KN.m

(TRAMO B-A): = xx KN.m

NOTA: temos de passar de [KN.m] para [KN.mm] para colocar na tabela.

1 [KN.m] → 1000 [KN.mm]


(TRAMO D-B): = xx KN.m

(TRAMO B-A): = xx KN.m


1 [KN.m] → 1000 [KN.mm]

→ Momento flector da carga = Momento unitário. VEMOS NO DIAGRAMA DE MOMENTO FLECTOR

(TRAMO D-B): = xx m

(TRAMO B-A): = xx m


1 [m] → 1000 [mm]


1GPa = 1000 Mpa

Valor a adicionar

ao deslocamento

inicial do ponto


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(TRAMO D-B): = xx m

(TRAMO B-A): = xx m


1 [m] → 1000 [mm]

→ Corresponde ao valor da carga distruibuida (q)

(TRAMO D-B): = 0 KN/m se for do tipo carga distribuída triangular

(TRAMO B-A): q = xx KN/m se for do tipo carga uniformemente distribuída

NOTA: temos de passar de [KN/m] para [N/mm] para colocar na tabela.

1 [KN/m] → 0,001 [KN/mm]

(TRAMO D-B): = q KN/m se for do tipo carga distribuída triangular

(TRAMO B-A): = 0 KN/m se for do tipo carga uniformemente distribuída


1 [KN/m] → 0,001 [KN/mm]

RESPOSTA:

= deslocamento do ponto + flecha

FLEXÃO: MÉTODO DA CARGA UNITÁRIA ( ROTAÇÃO SOFRIDA EM TORNO DE UM PONTO)

Desenhar apenas a viga em análise:

Colocar a carga unitária no ponto em questão: (exemplo: aplicada no ponto D)

Colocar as reacções (apenas verticais) nos restantes pontos da viga [adimensionais]

Calcular os momentos necessários para obter o valor de cada reacção

=0 → ( 1 - ) obtemos [adimensionais]

=0 → ( 1 - ) obtemos [adimensionais]

“Seccionar” cada troço, de modo a obter: ;


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Troço DB

→ [KN]

→ [KN]

→

Se → [m]

Se → [m]

NOTA: SUPONDO QU (→) então o sentido real é (←), quando passamos á análise do troço seguinte, consideramos o valor real. No entanto a seta é oposta ao real no troço seguinte.

NOTA: SUPONDO QUE (↓) então o sentido real é (↑), quando passamos á análise do troço seguinte, consideramos SEMPRE o valor real. No entanto a seta é oposta ao real no troço seguinte.



Troço BC

→ [KN]

→ [KN]

→

C B

S1

1

D B

S2


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Se → [m]

Se → [m]

→ Comprimento do tramo:

(TRAMO D-B = X m) ; (TRAMO B - A =Y m)


1 [m] → 1000 [mm]

→ 1 x PERFIL (INP,UNP…etc) Através do , sabemos o perfil (*NPxxx), nessa mesma linha

obtemos o valor de em [cm4]

NOTA: temos de passar de [cm4] para [mm4] para colocar na tabela. ( e = em todos os tramos)

→ n x PERFIL (INP,UNP…etc) Através do , sabemos o perfil (*NPxxx), nessa mesma linha

obtemos o valor de em [cm4] mas temos de multiplicar

1 [cm

4] → 10000 [mm

4]


(TRAMO B-C): =xx KN.m

(TRAMO C-D): =xx KN.m


Diagrama do

momento

flector

1GPa = 1000 Mpa

Valor a adicionar

ao deslocamento

inicial do ponto

[m]


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1 [KN.m] → 1000 [KN.mm]


(TRAMO B-C): = xx KN.m

(TRAMO C-D): = xx KN.m


1 [KN.m] → 1000 [KN.mm]


(TRAMO B-C): xx m

(TRAMO C-D): = xx m

NOTA: COLOCAR NA TABELA EM [m] porque queremos obter ROTAÇÃO


(TRAMO B-C): = xx m

(TRAMO C-D): = xx m

NOTA: COLOCAR NA TABELA EM [m] porque queremos obter ROTAÇÃO

→ Corresponde ao valor da carga distruibuida (q)

(TRAMO B-C): = 0 KN/m se for do tipo carga distribuída triangular

(TRAMO C-D): q = xx KN/m se for do tipo carga uniformemente distribuída


1 [KN/m] → 0,001 [KN/mm]

(TRAMO B-C): = q KN/m se for do tipo carga distribuída triangular

(TRAMO C-D): = 0 KN/m se for do tipo carga uniformemente distribuída


1 [KN/m] → 0,001 [KN/mm]

RESPOSTA:

ROTAÇÃO (sofrida pelo ponto em questão) = XXX rad


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TORÇÃO

TENSÃO MÁXIMA (USAR SEMPRE O MOMENTO EM MÓDULO)

ROTAÇÃO RELATIVA (USAR SEMPRE O MOMENTO REAL(NEGATIVO OU POSITVO)

ROTAÇÃO RELATIVA

(tabela)

TENSÃO MÁXIMA

TENSÃO MÁXIMA

TENSÃO MÁXIMA

= t (espessura tubo)

t (espessura tubo) = b - a

ROTAÇÃO RELATIVA

(se obtido negativo, colocamos

na POSITIVO)

Espessura t é igual

nas 4 paredes do

tubo

Espessura

diferentes nas

paredes do tubo

C

d

b

a

TENSÃO MÁXIMA

ROTAÇÃO RELATIVA

PAREDE X’


25

1 ⁰ =

rad

DETERMINAR ESPESSURA DO TUBO (t) PARA UMA TENSÃO MÁXIMA DE CORTE XX MPa

CONDIÇÃO DE RESISTÊNCIA:

1º Através da eq. resistencia: obter →

RESPOSTA:

ESPESSURA DO TUBO (t) > ( - ) em [mm]

TENSÃO MÁXIMA

=

ROTAÇÃO RELATIVA

TENSÃO MÁXIMA

=

ROTAÇÃO RELATIVA


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DIAGRAMAS MOMENTOS TORSORES

ANALISAR CADA VEIO DA ESQUERDA PARA A DIREITA, COMPARANDO COM O LADO DIREITO DA

CONVENÇÃO DE SINAIS POSITIVO:

MF MF

N N

T

T

+

X

MT X

MT


27

ROTAÇÃO RELATIVA DE A/F

ESTADO DE TENSÃO NO PONTO P1

Veio AC →

= G em [MPa]

CIRCULO DE MOHR PARA ESTADO DE TENSÃO NO PONTO P1

Exemplos:

PONTO DE ENGRENAGEM

(RESOLVER DE ACORDO COM A SUA SECÇÃO (CIRCULAR

MAÇICA OU OCA; QUADRADA MACIÇA OU OCA))

Nota: já calculamos na alínea (TENSÕES MÁXIMAS de CORTE)

X ( ) = ( 0; G)

Z ( ) = ( 0; G)

= G [MPa]

e +

G [MPa]

G [MPa]


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29

DIAGRAMAS MOMENTOS TORSORES EXEMPLO EXAME ÉPOCA NORMAL 2012

ANALISAR CADA VEIO DA ESQUERDA PARA A DIREITA, COMPARANDO COM O LADO DIREITO DA

CONVENÇÃO DE SINAIS POSITIVO:

Veio ABCD:

MF MF

N N

T

T

+

X

MT X

MT

PARA SABER SE NO DIAGRAMA COLOCAMOS NEGATIVO

OU POSITIVO ENTRE OS 2 PONTOS (EXEMPLO B e C),

COMPARAMOS COM A CONVENÇÃO DE SINAIS POSITIVOS.

SE A “SETA” DA ESQUERDA (PONTO B) E A SETA DA

DIREITA (PONTO C) ESTIVER IGUAL À CONVENÇÃO DE

SINAIS ENTÃO FICA POSITIVO E USAMOS O VALOR DO

MOMENTO DA ESQUERDA (MB).


30

ROTAÇÃO RELATIVA DE A/F [rad]

NOTA:

Relação das engrenagens:

ONDE TEMOS AS ENGRENAGENS, O SENTIDO DA

SETA É IGUAL (MC e ME têm o mesmo sentido)

PARA SABER SE NO DIAGRAMA COLOCAMOS NEGATIVO

OU POSITIVO ENTRE OS 2 PONTOS (EXEMPLO F e E),

COMPARAMOS COM A CONVENÇÃO DE SINAIS POSITIVOS.

SE A “SETA” DA ESQUERDA (PONTO F) E A SETA DA

DIREITA (PONTO E) ESTIVER IGUAL À CONVENÇÃO DE

SINAIS ENTÃO FICA POSITIVO E USAMOS O VALOR DO

MOMENTO DA ESQUERDA (MF).

PONTO DE ENGRENAGEM


31

PINOS: CORTE: calcular o diâmetro

1. CORTE DUPLO

CONDIÇÃO DE

RESISTÊNCIA

obtemos o diâmetro em [mm]

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