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Materiais Compósitos Laminados Engenharia Aeroespacial e Mecânica Materiais Compósitos Propriedades mecânicas dos materiais Micro - mecânica Departamento de Engenharia Mecânica Instituto Superior Técnico Materiais Compósitos

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MateriaisCompósitosLaminados

Engenharia Aeroespacial e Mecânica

Materiais Compósitos

Propriedades mecânicas dos materiais

Micro - mecânica

Departamento de Engenharia Mecânica

Instituto Superior Técnico

Materiais Compósitos

MateriaisCompósitosLaminados

Engenharia Aeroespacial e Mecânica

Micro / macromecânica

The term “micromechanics” does not refer to

mechanical behavior at the molecular level.

Looks at components of a composite, the matrix

and the fiber, and tries to predict the behavior of

the assumed homogeneous composite material.

The behavior of the lamina is called

“macromechanics”.

MateriaisCompósitosLaminados

Engenharia Aeroespacial e Mecânica

Propriedades mecânicas das fibras (1)

MateriaisCompósitosLaminados

Engenharia Aeroespacial e Mecânica

Fibras em lâminas

• Alguns arranjos típicos de fibras em cada camada de compósito

a - Fibras unidireccionais contínuas

b - Fibras descontínuas orientadas de modo aleatório

c - Fibras unidirecionais tecidas ortogonalmente

MateriaisCompósitosLaminados

Engenharia Aeroespacial e Mecânica

Tipos de tecidos

MateriaisCompósitosLaminados

Engenharia Aeroespacial e Mecânica

Tipos de matriz

• 1. Good mechanical

properties

• 2. Good adhesive

properties

• 3. Good toughness

properties

• 4. Good resistance

to environmental

degradation

MateriaisCompósitosLaminados

Engenharia Aeroespacial e Mecânica

Tipos de resina (1)

MateriaisCompósitosLaminados

Engenharia Aeroespacial e Mecânica

Tipos de resina (2)

MateriaisCompósitosLaminados

Engenharia Aeroespacial e Mecânica

Micro-mecânica - FracçãoVolumica

composite of volume total

component i theof volume

component i theoffraction volume

1

th

th

i

i

1

i

=

=

=

=

=∑=

V

V

v

V

Vv

v

i

i

n

i

MateriaisCompósitosLaminados

Engenharia Aeroespacial e Mecânica

Micro-mecânica - FracçãoVolumica

f m v

volume fraction of the fiber

volume fraction of the matrix

volume fraction of the voids

ff

m

m

v

v

v v v 1

Vv

V

Vv

V

Vv

V

+ + =+ + =+ + =+ + =

= == == == =

= == == == =

= == == == =

MateriaisCompósitosLaminados

Engenharia Aeroespacial e Mecânica

Micro-mecânica – Fracção mássica

th

th

weight fraction of the i component

weight of the i component

total weight of composite

n

i

i 1

ii

i

i

w 1

Ww

W

w

W

W

====

====

====

====

====

====

∑∑∑∑

MateriaisCompósitosLaminados

Engenharia Aeroespacial e Mecânica

Micro-mecânica – Fracção mássica

weight fraction of the fiber

weight fraction of the matrix

weight fraction of the voids

f m

f

m

v

w w 1

w

w

w 0

+ =+ =+ =+ =

====

====

= == == == =

MateriaisCompósitosLaminados

Engenharia Aeroespacial e Mecânica

Micro-mecânica – densidade

composite of weight total

component i theof volume

component i theof weight

component i theofdensity weight

i

th

th

th

i

===

=

=

==

∑∑ ii

i

i

i

i

VWW

V

W

V

W

ρ

ρ

MateriaisCompósitosLaminados

Engenharia Aeroespacial e Mecânica

Micro-mecânica – densidade

th

i

weight density of the composite

weight of the i component

volume of the composite

weight density of the composite

c

c

c

n

c i

i 1

W

V

W W

V

v====

ρ = =ρ = =ρ = =ρ = =

= == == == =

====

ρ = ρ =ρ = ρ =ρ = ρ =ρ = ρ =∑∑∑∑

MateriaisCompósitosLaminados

Engenharia Aeroespacial e Mecânica

Micro-mecânica – densidade

ffmmc vv ρρρ +=

• Autoclave cured: P = 0.1 – 1%

• No vacuum bagging: P = 5% (approx.)

– Regra das Misturas (Rule of Mixtures)

MateriaisCompósitosLaminados

Engenharia Aeroespacial e Mecânica

Espessura das lâminas / Ply and laminate thichness

n

hh

V

mh

t

i

ff

of

i

=

mof - Gramagem / Fiber weight (gr/m2)

hi – espessura da camada / ply thickness (mm)

ht – espessura total / laminate thickness (mm)

n – camadas / nº of layers Plano de Simetria

- 45°

90°

+ 45°

MateriaisCompósitosLaminados

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Laminate Orientation Code

• Ply angles given in degrees - 45 or -45

• Separated by slashes - 0/90

• Listed top to bottom layer

• Enclosed in square brackets - [0/90/0]

• Subscripts used– s – symmetric laminate top half given

– (0)n – repeat layer n times

• Center layer uses overbar in odd number layer symmetric laminate

MateriaisCompósitosLaminados

Engenharia Aeroespacial e Mecânica

[[[[ ]]]]s45/90/0

(((( ))))[[[[ ]]]]230/0 m

o0

o0

o90

o90

o45

o45

o0

o0

o30−−−−

o30++++

o30++++

o30−−−−

Laminate Stacking Sequence Examples

MateriaisCompósitosLaminados

Engenharia Aeroespacial e Mecânica

o45++++

o90

o45−−−−

o0

o0

o90o0o0

o45−−−−

o45++++

(((( ))))[[[[ ]]]]s2 45/90/0

Não é possível apresentar esta imagem de momento.

o0

o0o

90

o0

o0

o90

o90

o45

Laminate Stacking Sequence Examples

[[[[ ]]]]s2 90/0/45±±±±

MateriaisCompósitosLaminados

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[[[[ ]]]]s90/0/45/0 m [[[[ ]]]]45/90/0/30/45/90

Laminate Stacking Sequence Examples

o45++++

o45−−−−

o0

o0

o45++++

o45−−−−o0

o0

o90

o90

o0

o90

o30

o45

o45

MateriaisCompósitosLaminados

Engenharia Aeroespacial e Mecânica

Comportamento da Lâmina

LT

LTLT

L

TLT

L

L

LT

T

TT

T

T

TL

L

LL

G

EE

EE

τγ

εε

ν

σνσ

ε

σνσ

ε

=

−=

−=

−=

)1(2 νννν

ττττγγγγ

εεεε

εεεενννν

σσσσννννσσσσ

εεεε

σσσσσσσσ

εεεε

+=

=

−=

−=

−=

EG

G

EE

E

ν

E

xy

xy

x

y

x

y

y

yx

x

Material isotrópico Material ortotrópico

Material ortotrópico: Material com 3

planos de simetria mutuamente

perpendiculares.

MateriaisCompósitosLaminados

Engenharia Aeroespacial e Mecânica

Equações constitutivas – materiais ortotrópicos

=

2

23

3

32

1

13

3

31

1

12

2

21

12

13

23

33

22

11

12

13

23

32

23

1

13

3

32

21

12

3

31

2

21

1

12

13

23

33

22

11

;;

com

100000

01

0000

001

000

0001

0001

0001

EEEEEE

G

G

G

EEE

EEE

EEE

υυυυυυ

τττσσσ

υυ

υυ

υυ

γ

γ

γ

ε

ε

ε

===

−−

−−

−−

=

MateriaisCompósitosLaminados

Engenharia Aeroespacial e Mecânica

Definitions

Transverse

means

perpendicular to

the fibers or in the

T (2) - direction

Longitudinal

means in the fiber

direction or in the

L (1) - direction shear

stress transverse

stress allongitudin

)(

)(

LT

T

L

τ

σ

σ+

+

strainshear

strain transverse

strain allongitudin

LT

T

L

γ

ε

ε

MateriaisCompósitosLaminados

Engenharia Aeroespacial e Mecânica

Propriedades da camada ortotrópica

n

hh

V

gramagemh

t

i

ff

i

=

=

LT

T

L

LT

TL

LT

T

TL

L

LT

T

L

G

EE

EE

τσσ

ν

ν

γεε

100

01

01

Gramagem (g/m2)

hi – espessura da camada elementar

ht – espessura total

n - camadas

T

TL

L

LT

EE

νν=

MateriaisCompósitosLaminados

Engenharia Aeroespacial e Mecânica

LTLTLT

T

LLT

TTT

LLL

G

E

E

γτ

εε

ν

εσ

εσ

=

−=

=

=

Assume Linear Behavior

121212

2

112

222

111

γτ

εε

ν

εσ

εσ

G

E

E

=

−=

=

=

MateriaisCompósitosLaminados

Engenharia Aeroespacial e Mecânica

matrix

matrix

fiber L

T

areamatrix

areafiber

area total

=

=

=

m

f

A

A

AAf

Representative Volume Element (RVE)

MateriaisCompósitosLaminados

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1cσσσσ1cσσσσ

Micro-mecânica (1)

MateriaisCompósitosLaminados

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Micro-mecânica (1)

mLfLL εεε ==

ffmmL VEVEE +=

mmLffLLL AAAF σσσ +==

A

AE

A

AEE

A

A

A

Am

mLmL

f

fLfLLL

m

mL

f

fLL εεεσσσ +=⇔+=

mf AAA +=

f – fibra ; m – matriz

L – direcção das fibras

T – direcção transversal às fibras

Força na direcção das fibras

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Micro-mecânica (1)

Para o mesmo tipo de carregamento e os mesmos materiais

( )

( )

( ) LLT

fm

L

L

LT

fmT

LfL

f

f

fT

LmL

m

m

mT

Efmcompósitomaterialopara

E

E

fibrafematrizmmaterialcadapara

ενσν

ε

ενσν

ε

ενσν

ε

−=

−=+

−=−=

−=−=

+

+ )(

)( )(

( ) ( )

( ) ( ) ( )

ffmmLTL

ffTmmTfmT

f

f

f

m

m

m

fm

fm

fmT

VVmatriznaefibranacomumécomo

VV

Vh

hV

h

h

hh

hh

νννε

εεε

ε

+=

+=

∆+

∆=

+

+∆=

+

+

MateriaisCompósitosLaminados

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2cσσσσ

2LfL

2Lm

2Lm

Micro-mecânica (2)

MateriaisCompósitosLaminados

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Micro-mecânica (2)

• Força na direcção

perpendicular às

fibras

mTfTT σσσ ==

m

m

f

f

T

m

m

mT

f

f

fT

T

T

mmTffTT

c

c

E

V

E

V

EV

EV

EE

VVl

l

+=⇒+=

+==∆

1σσσ

εεε

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Micro-mecânica (3)

• Exemplo da variação do

modulo de elasticidade de

um compósito (Ec) de fibra

de vidro e resina poliester

em função da % vol. de

fibra (Vf) e dos respectivos

módulos Ef (fibra) e Em

(matriz)

MateriaisCompósitosLaminados

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Micro-mecânica (4)

m

n

mf

n

f

n

c VEVEE )()()( +=

MateriaisCompósitosLaminados

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Micro-mecânica - Shear modulus

12cττττ

∆∆∆∆

2m∆∆∆∆

f∆∆∆∆

2m∆∆∆∆

mfc

c

cc

f

ff

m

mm

G

G

G

ττττ====ττττ====ττττ====ττττ

ττττ====γγγγ

ττττ====γγγγ

ττττ====γγγγ

12

1212

c

cGγτ

=

MateriaisCompósitosLaminados

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Micro-mecânica - Shear modulus

2

c 2

m m m m m 2

f f f f f

m f

c m m f f

L

L v L

L v L

v v

∆ = γ∆ = γ∆ = γ∆ = γ

∆ = γ = γ∆ = γ = γ∆ = γ = γ∆ = γ = γ

∆ = γ = γ∆ = γ = γ∆ = γ = γ∆ = γ = γ

∆ = ∆ + ∆∆ = ∆ + ∆∆ = ∆ + ∆∆ = ∆ + ∆

γ = γ + γγ = γ + γγ = γ + γγ = γ + γ

Shear Modulus of fiber in 12-plane

Shear Modulus of matrix

f m

12 f 12 m

f12

m

v v1

G G G

G

G

= += += += +

====

====

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Micromecânica - final

mmffLT VV ννν +=Coef. de Poisson

m

m

f

f

T E

V

E

V

E+=

1Módulo de elasticidade

transversal

m

m

f

f

LT G

V

G

V

G+=

1Módulo de rigidez ao corte

ffmmL VEVEE +=Módulo de elasticidade

longitudinal

)/()/(

)).((

mffm

mffmmf

mmffT

mmff

mmmfff

L

VEVE

EEVV

VEVE

VEVE

+

−−++=

+

+=

ααννααα

ααα

Coeficientes de dilatação

linear (L e T)

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Micromecânica - final

• Good values of EL and νLT

– These properties appear to be independent of

fiber packing geometry.

– Rule of Mixtures works Well for Fiber Dominated

Properties (EL and νLT)

• Less acceptable values for ET and GLT

– These properties appear to be highly dependent

on fiber packing geometry

– Better Models Needed for Matrix Dominated

Properties (E2 and G12)

– Improved models are available

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Problema - micromecânica

Pretende-se fabricar um painel rectangular de material compósito

com a sequencia de empilhamento [0/45/90/-45/0]S , com 5 mm de

espessura, em fibra de vidro e resina poliéster.

Dispomos das seguintes gramagens:

1 – 250 g/m2 ; 2 – 450 g/m2 ; 3 – 600 g/m2

Para cada opção de gramagem:

a) Determine o Vf e Vm

b) Determine a massa específica do painel

c) Calcule a massa de resina/endurecedor que deve utilizar para

fabricar um painel de 1 m2 (considere 50% de massa

suplementar)

d) Determine as constantes de elasticidade de cada lâmina EL, ET,

ννννLT , ννννTL e GLT

MateriaisCompósitosLaminados

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Comportamento da Lâmina

LT

LTLT

L

TLT

L

L

LT

T

TT

T

T

TL

L

LL

G

EE

EE

τγ

εε

ν

σνσ

ε

σνσ

ε

=

−=

−=

−=

)1(2 νννν

ττττγγγγ

εεεε

εεεενννν

σσσσννννσσσσ

εεεε

σσσσσσσσ

εεεε

+=

=

−=

−=

−=

EG

G

EE

E

ν

E

xy

xy

x

y

x

y

y

yx

x

Material isotrópico Material ortotrópico

Material ortotrópico: Material com 3

planos de simetria mutuamente

perpendiculares.

MateriaisCompósitosLaminados

Engenharia Aeroespacial e Mecânica

Equações constitutivas – materiais ortotrópicos

=

2

23

3

32

1

13

3

31

1

12

2

21

12

13

23

33

22

11

12

13

23

32

23

1

13

3

32

21

12

3

31

2

21

1

12

13

23

33

22

11

;;

com

100000

01

0000

001

000

0001

0001

0001

EEEEEE

G

G

G

EEE

EEE

EEE

υυυυυυ

τττσσσ

υυ

υυ

υυ

γ

γ

γ

ε

ε

ε

===

−−

−−

−−

=

MateriaisCompósitosLaminados

Engenharia Aeroespacial e Mecânica

Propriedades da camada ortotrópica

n

hh

V

gramagemh

t

i

ff

i

=

=

LT

T

L

LT

TL

LT

T

TL

L

LT

T

L

G

EE

EE

τσσ

ν

ν

γεε

100

01

01

Gramagem (g/m2)

hi – espessura da camada elementar

ht – espessura total

n - camadas

T

TL

L

LT

EE

νν=

MateriaisCompósitosLaminados

Engenharia Aeroespacial e Mecânica

ORIENTAÇÃO DAS FIBRAS

A resistência será

máxima quando as

fibras estiverem

orientadas com o

esforço (sendo mínima

na direcção

perpendicular)

Constantes elásticas segundo qualquer direcção - exemplo

MateriaisCompósitosLaminados

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Propriedades da camada ortotrópica

(L) 1

y

x

(T) 2

θθθθ++++

MateriaisCompósitosLaminados

Engenharia Aeroespacial e Mecânica

Propriedades da camada ortotrópica

1

y2

θθθθ x

θθθθ

θθθθσσσσ sindA2

θθθθσσσσ cosdA1

dAxσσσσ

dAxyσσσσ

θθθθττττ sin12

dA

θθθθττττ cos12dA

MateriaisCompósitosLaminados

Engenharia Aeroespacial e Mecânica

Equilibrium

( ) 0cossin

cossincossin

0cossin2

sincos

22

12

21

12

2

2

2

1

=−+

+−=

=+

−−=

θθθθθθθθττττ

θθθθθθθθσσσσθθθθθθθθσσσσττττ

θθθθθθθθττττ

θθθθσσσσθθθθσσσσσσσσ

dA

dAdAdAF

dA

dAdAdAF

xyy

xx

θθθθ

θθθθσσσσ sindA2

θθθθσσσσ cosdA1

dAxσσσσ

dAxyτ

θτ sin12dA

θτ cos12dA

MateriaisCompósitosLaminados

Engenharia Aeroespacial e Mecânica

Stress Transformation

Similar derivation for σy

MateriaisCompósitosLaminados

Engenharia Aeroespacial e Mecânica

Transformation in Matrix Form

−−

=

12

2

1

22

22

22

sincossincossincos

sincos2cossin

sincos2sincos

τσσ

θθθθθθθθθθθθθθ

τσσ

xy

y

x

MateriaisCompósitosLaminados

Engenharia Aeroespacial e Mecânica

Condensed Matrix Form

[ ]

=

12

2

11

ττττσσσσσσσσ

ττττσσσσσσσσ

σσσσT

xy

y

x

MateriaisCompósitosLaminados

Engenharia Aeroespacial e Mecânica

Transformation Matrix: [T]

[ ] [ ]

=

=

xy

y

x

xy

y

x

TT

ττττσσσσσσσσ

ττττσσσσσσσσ

ττττσσσσσσσσ

ττττσσσσσσσσ

σσσσσσσσ

12

2

1

12

2

11

or

MateriaisCompósitosLaminados

Engenharia Aeroespacial e Mecânica

Matrices

[ ]

[ ]

−−

−=

−−

=−

22

22

22

22

22

22

1

2

2

2

2

sccscs

cscs

cssc

T

sccscs

cscs

cssc

T

σσσσ

σσσσ

MateriaisCompósitosLaminados

Engenharia Aeroespacial e Mecânica

Strain

[ ]

=

xy

y

x

T

γγγγεεεεεεεε

γγγγεεεεεεεε

εεεε

12

2

1

[ ]

=

12

2

1

1

γγγγεεεεεεεε

γγγγεεεεεεεε

εεεεT

xy

y

x

MateriaisCompósitosLaminados

Engenharia Aeroespacial e Mecânica

Matrices

[ ]

−−

−=22

22

22

22 sccscs

cscs

cssc

T εεεε

[ ]

−−

=−

22

22

22

1

22 sccscs

cscs

cssc

T εεεε

MateriaisCompósitosLaminados

Engenharia Aeroespacial e Mecânica

[ ]

[ ]

[ ]

=

=

=

xy

y

x

xy

y

x

T

Q

T

γγγγεεεεεεεε

γγγγεεεεεεεε

γγγγεεεεεεεε

ττττσσσσσσσσ

ττττσσσσσσσσ

ττττσσσσσσσσ

εεεε

σσσσ

12

2

1

12

2

1

12

2

1

12

2

1

1

=

LT

T

L

LT

TL

LT

T

TL

L

LT

T

L

G

EE

EE

ττττσσσσσσσσ

νννν

νννν

γγγγεεεεεεεε

100

01

01

General Stress-Strain Behavior

[ ]

=

12

2

1

1

12

2

1

ττττσσσσσσσσ

γγγγεεεεεεεε

Q

MateriaisCompósitosLaminados

Engenharia Aeroespacial e Mecânica

General Stress-Strain Behavior

[ ] [ ][ ]

=

xy

y

x

xy

y

x

TQT

γγγγεεεεεεεε

ττττσσσσσσσσ

εεεεσσσσ1

MateriaisCompósitosLaminados

Engenharia Aeroespacial e Mecânica

[ ] [ ] [ ][ ]εεεεσσσσ TQTQ1−=

=

xy

y

x

xy

y

x

Q

γγγγεεεεεεεε

ττττσσσσσσσσ

__

MateriaisCompósitosLaminados

Engenharia Aeroespacial e Mecânica

Stress-Strain Behavior

=

−−−

−−−

−−−

xy

y

x

xy

y

x

QQQ

QQQ

QQQ

γεε

τσσ

332313

232221

131211

)2()2()(

)2()2()(

)()4()(

)()(2()(

)2(2)(

)2(2)(

3322123

3312113

23

3322123

1212113

13

1244

33221122

12

3322

3311221122

33

331222

224

114

22

331222

224

114

11

QQQscQQQcsQ

QQQscQQQscQ

QscQQQscQ

QscQQQQscQ

QQscQcQsQ

QQscQsQcQ

TL

+−+−−=

+−+−−=

−+−+=

−++−+=

+++=

+++=

θθθθ

θθθθ

θθθθ

ννννθθθθ

θθθθ

θθθθ

[ ] [ ] [ ][ ]εεεεσσσσ TQTQ1−=

MateriaisCompósitosLaminados

Engenharia Aeroespacial e Mecânica

Stress-Strain Behavior – outro formulário

=

xy

y

x

xy

y

x

QQQ

QQQ

QQQ

γεε

τσσ

662616

262212

161211

MateriaisCompósitosLaminados

Engenharia Aeroespacial e Mecânica

Explicit Relationships

(((( ))))(((( )))) (((( ))))

(((( ))))

4 4 2 2

11 11 22 12 66

2 2 4 4

12 11 22 66 12

4 4 2 2

22 11 22 12 66

Q Q cos Q sin 2 Q 2Q sin cos

Q Q Q 4Q cos sin Q sin cos

Q Q sin Q cos 2 Q 2Q sin cos

= θ + θ + + θ θ= θ + θ + + θ θ= θ + θ + + θ θ= θ + θ + + θ θ

= + − θ θ + θ + θ= + − θ θ + θ + θ= + − θ θ + θ + θ= + − θ θ + θ + θ

= θ + θ + + θ θ= θ + θ + + θ θ= θ + θ + + θ θ= θ + θ + + θ θ

MateriaisCompósitosLaminados

Engenharia Aeroespacial e Mecânica

Explicit Relationships

( )( )

( )( )

( )( )θ+θ+

θθ−−+=

θθ−−+

θθ−−=

θθ−−+

θθ−−=

44

66

22

6612221166

3

661222

3

66121126

3

661222

3

66121116

sincos

sincos22

sincos2

sincos2

sincos2

sincos2

Q

QQQQQ

QQQ

QQQQ

QQQ

QQQQ

MateriaisCompósitosLaminados

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Stress-Strain Behavior

[ ] [ ] [ ] [ ]σσσσεεεε TQTQ111 −−−

=

[ ]

[ ]

[ ]

=

=

=

xy

y

x

xy

y

x

T

Q

T

ττττσσσσσσσσ

ττττσσσσσσσσ

ττττσσσσσσσσ

γγγγεεεεεεεε

γγγγεεεεεεεε

γγγγεεεεεεεε

σσσσ

εεεε

12

2

1

12

2

1

1

12

2

1

12

2

1

1

[ ] [ ] [ ][ ]εεεεσσσσ TQTQ1−=

[ ] [ ] [ ]

=

−−

xy

y

x

xy

y

x

t

TQT σσσσσσσσ

γγγγεεεεεεεε

σσσσεεεε11

L (1), T (2)

=

xy

y

x

xy

y

x

t

Q σσσσσσσσ

γγγγεεεεεεεε 1

__

MateriaisCompósitosLaminados

Engenharia Aeroespacial e Mecânica

Constantes segundo qualquer direcção (2)

Considere uma barra rectangular de material compósito unidireccional em

fibra de carbono e resina epóxi solicitada por uma tensão de σσσσx = 100 MPa

de acordo com a figura. Sabendo que θθθθ ==== 30303030 οοοο e admitindo EL= 140 GPa,

ET= 10 GPa, ννννLT = 0,28 e GLT= 6 GPa:

a) Determine as tensões no referencial L , T (1 , 2).

b) Qual o valor das deformações εεεεx, εεεεy e γγγγxy?

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Constantes segundo qualquer direcção (2)

• Fim