seta Sistema ele Ensino

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CENTRAL DE INFORMAÇÕES:

0 8 0 0 7 0 7 4 0 5 1

3̂ LU]

I

PORCENTAGEM O DEFINIÇÃO

y X a Porcentagem de um número a sobre um número b, b * 0, é a razão -^—^ em que -J^Q = - j j - •

que representamos X%.

B CÁLCULO DE UMA PORCENTAGEM

P% de V = ^ - V

(Facilita-se trabalhar com P% na forma decimal)

Q AUMENTOS PERCENTUAIS

{ P = valor antes do aumento; PA = valor após o aumento de i sobre P; i = taxa percentual. PA = P + IP = P (1 + I) (i na forma decimal)

| AUMENTOS SUCESSIVOS

Í P = valor antes do aumento P„ = valor após "n" aumentos sucessivos de i i = taxa percentual

P „ = P ( 1 + 0 "

FUNÇÕES

B RELAÇÃO Dados dois conjuntos, A e B, denomina-se relação R de A em B qualquer subconjunto de AxB.

QFUNÇÃO Dados dois conjuntos, A e B, denomina-se apl icação ou função f de A em B toda relação que a cada elemento de A associa um e um só elemento de B. a) Domín io : Conjunto (A). b) Contra domín io : Conjunto (B). c) Con jun to imagem: Conjunto das imagens dos elementos do domínio.

Notação: f : A —»- B e y = f(x), em que f(x) é a notação da imagem de x pela função f.

1

Q FUNÇÃO DO 1 o GRAU

f(x) = ax + b, com a # 0

a > 0 a < 0

tg a = a

D = R Im = R

1 FUNÇÃO DO 2° GRAU f(x) = ax 2 + bx + c, com a * 0

A > 0 A = 0 A < 0

a > 0 c

\ x v /

\ 1/ yv a > 0

yv x \ i / 2 X , = x 2 X V

a < 0

yv X1/TV2 X , = x 2 Xv

a < 0

yv X1/TV2 c

/ '\ yv

a < 0 c. / X v\ c

/ '\ yv

Q SINAL DAS RAÍZES DA EQUAÇÃO DO 2 a GRAU a) Raízes pos i t ivas: A > 0 , P > O e S > 0

b) Raízes negat ivas: A > 0 , P > 0 e S < 0 c) Raízes de s ina is cont rár ios : P < 0

* Nota: P (produto) e S (soma)

Q M Ó D U L O _ „ . _ í x , se x > 0; Def in ição: \X\ = <

[ - x , s e x < 0.

Função modular : f : R—>-R, em que f(x) = |x|

P,) |x| > 0 para qualquer x real e | x | = 0 o x = 0 P2) I " I = |y| => x = y ou x = - y P 3) |x| = a => x = a ou x = - a , com a > 0 P 4) |x| > a => x > a ou x < - a , com a > 0 P 5) | x | < a => - a < x < a, com a > 0 Pe) \*2"\ - ! x | 2 n = x 2 n , em que n é um número natural e,

portanto, 2n é um número par.

N T 1—/

- 1 1

Q PARIDADE DE FUNÇÃO a) Par: f ( -x) = f(x) b) ímpar: f ( -x) = - f (x)

D FUNÇÃO COMPOSTA

O TIPOS DE FUNÇÃO a) Injetora: x, x 2 => f(x,) *• f(x 2) b) Sobrejetora: Im = CD c) Bi jetora: Injetora e Sobrejetora

[ Q FUNÇÃO INVERSA D(f) = CD(f" 1)

CD(f) = D ( f 1 )

a) Regra prát ica para o cá lcu lo I - Trocar x por y e y por x. II - Isolar y ("corrigir" notação).

b) Propr iedades: Pi: f (x) e f~1(x) têm gráficos simétricos em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares.

3 2

LOGARITMOS

DEFINIÇÃO

log b a = a<=> b = a C E . a > 0

0 < b * 1

Obs.: log a = log 1 0 a <n a = log e a

i CONSEQUÊNCIAS

log b 1 = 0 l o g b b = 1 log b b" = a b » = a

(PROPRIEDADES

Satisfeitas as condições de existência, temos:

P,) log b m . n = log b m + log b n

P 2) log b ~ = log b m - log b n

P 3 ) l og b n« = a l o g b n OBS: a ?

log a P 4) log b a = | o ^ c ^ (Mudança de base)

|FUNÇÕES

Exponencia l

f : R — R ; e f(x) = b"

0 < b < 1

decrescente b*1 < b"2 = > x 1 > x 2

Logarí tmica

f : R* — • R e f(x) = log b x

logb x 0 < b < 1

log bx

decrescente logb x, < logb x 2 = > x, > x

b > 1 b*<

b*2 ! x,.

b x ' > b"2 = > X, > x 2

logh x b > 1

l°g„ x 2

crescente log b x , > l o g b x 2 = > x, > x 2

PROGRESSÃO ARITMETICA Progressão aritmética é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior, somado com uma constante.

D TERMO GERAL

a n = a, + ( n - 1 ) . r

MÉDIA ARITMÉTICA

Se (a, b, c) estão em P.A., então b : a + c

REPRESENTAÇÕES ESPECIAIS 3 te rmos: (x - r, x, x + r) 4 te rmos : (x - 3a, x - a, x + a, x + 3a), em que a razão r = 2a 5 te rmos: (x - 2r, x - r, x, x + r, x + 2r)

SOMA DOS n TERMOS

(a, + a„) n

PROGRESSÃO GEOMETRICA Progressão geométrica é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior, multiplicado por uma constante.

D TERMO GERAL

a„ = a, . q"

MÉDIA GEOMÉTRICA Se (a, b, c) estão em P.G., então b 2 = a . c

REPRESENTAÇÕES ESPECIAIS

3 te rmos: x, xqj 4 te rmos: ( ^ r • -*p x1< x c l 3 j razão: q 2

SOMADOS n TERMOS

I - Se q = 1 — • S„ = n . a.

• Se q * 1 — • S n:

a , ( q n - D q - 1

5 te rmos : Í-X- ,-X-, x, xq, x q 2 | l q 2 q j

SOMA P.G. INFINITA

Se - 1 < q < 1, temos: 1 - q

5

QPRODUTO

"Cada elemento Cg é obtido multiplicando-se ordenadamente os elementos da linha i de A pelos elementos da coluna j de B e somando-se os produtos assim obtidos".

|GERALMENTE

A . B ^ B . A

I Pode-se ter A . B = 0, mesmo que A * 0 e B * 0.

| MATRIZ INVERSA a) A . A" 1 = A ' 1 . A = I b) 3A" 1 < = > d e t A * 0

c > d e t A " = d e T Ã

DETERMINANTES

Determinante é um número real associado a uma matriz quadrada.

D CÁLCULO DO DETERMINANTE

a) Ordem 2 ai2

a 22 : a n 322 — a i 2 3 2 i

b) Ordem 3 => Regra de Sarrus

c) Teorema de Laplace O determinante de A (A: matriz de ordem maior ou igual a 2) é a soma dos produtos dos elementos de qualquer linha (ou coluna) pelos seus respectivos cofatores.

a i-, a 12 a 13

Exemplo: A = a 2 i a 22 a 23 => det A = a n . A, , + a i 2 . A 1 2 + a 1 3 . A 1 3

331 332 333

em que:

A „ = ( -1)" a 22 323 3 3 2 3 3 3

, A 1 2 = ( - i y 321 a 23 a 3 i a 33 e A,3 = ( -1) ' * 3

a 2 i a 2 2

831 ^32

Obs.: Deve-se escolher a fila que possui o maior número de zeros.

6

Q PROPRIEDADES

1) de tA ' = de tA 2) Se a matriz A possuir uma fila em que os elementos são combinsções linesres dos elementos

de outra fila paralela, então det A = 0. 3) Multiplicando-se os elementos de uma fila de A por um número K, o determinante da nova

matriz B é: det B = K . det A. 4) Seja A: matriz de ordem n , então det (K . A) = K n . det A 5) Teorema de Binet: det (A . B) = det A . det B

SISTEMAS LINEARES

| SISTEMAS EQUIVALENTES

Apresentam o mesmo conjunto solução.

CLASSIFICAÇÃO

Sistema Linear

Possível <

Determinado (Solução única)

Indeterminado > (Infinitas soluções)

Impossível: S = 0

CRAMER

a„ X, + a,2 x 2 + . . . + a,„ x„ = b, a 2 1 Xi + a 2 2 x 2 + . . . + 3 2 n x n = b 2

a„ i X, + 3 n 2 x 2 + . . . + 3 n n x n = b„

Se D * 0 , temos: _ _ D 1 _ D 2

X 1 " D ' X 2 ~~D" _2ü D

DISCUSSÃO D * 0 => S.P.D.

D = 0 => S.P.I. ou S.l.

RESOLUÇÃO

Cramer ou Escalonamento (Método de Gauss).

7

ANALISE COMBINATORIA

Seja B = {bu b n} um conjunto com n elementos (n e IN). Temos:

Q ARRANJOS SIMPLES

Arranjos são sequências com p elementos de B (a ordem dos elementos é importante).

An.p " n!

(n - p)! p e IN p < n

I PERMUTAÇÕES SIMPLES

Permutações são sequências de n elementos de B (a ordem dos elementos é importante).

Pn = n!

I COMBINAÇÕES SIMPLES

Combinações são subconjuntos com p e lementosde B (não importa a ordem dos elementos).

n! " P p ! ( n - p ) !

p e IN p < n

I PERMUTAÇÕES COM ELEMENTOS REPETIDOS (a,ß, ... ,p) = n!

a ! ßl ... p!

BINOMIO DE NEWTON

<X + a > n = Í ( D ) X n " - a P

Termo Geral: p+i < p ) X " -

PROBABILIDADE

Seja E um espaço amostrai equiprovável, e A um de seus eventos; então

O PROPRIEDADES

1. P (E)= 1

2. P (0 ) = O

3. 0 < P ( A ) < 1

4. P(A) + P(Ã) = 1 (Ã : complementar de A)

P(A) = n(A) n(E)

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Q ADIÇÃO DE PROBABILIDADES P(A u B) = P(A) + P(B) - P(A n B)

Eventos mutuamente exc lus ivos A n B = 0 => P(A u B) = P(A) + P(B)

MULTIPLICAÇÃO DE PROBABILIDADES P(A n B) = P(A) . P(B/A)

Eventos independentes

P(A/B) = P(A) 1 ou ?

P(B/A) = P(B) P(A n B) = P(A) . P(B)

TRIGONOMETRIA NO TRIANGULO RETANGULO

c /cateto oposto \ ¡en a = -g- -r-.—— I

3 \ hipotenusa /

_ b_ /cateto adjacenteN a \ hipotenusa / c / cateto oposto \

9 a ~ "B~ Vcateto adjacente/

FUNÇÕES CIRCULARES

a / hipotenusa sec a = - r cente")

hipotenusa cateto oposto

b / cateto adjacente \ c \ cateto oposto /

(n + x)

ARCOS NOTÁVEIS

f(30°) f (45°) f (60°)

sen 1 2

V2 2

V3 2

cos V3 ~T

V2 ~T

1 2

tg V3 3

1 V3

€1

O

B

O

0

O

sen x = ON e cos x = OP

t g x = Á T ou t g x = | | ^ | - (cos x *

COS X c o t g x = -ièTTY < s e n x * ° )

i

sec x = c o s x (cos x * 0)

1 (sen x * 0)

sen (TI - x) = sen x sen (TI + x) = sen (2n - x) = - sen x

cos {K - x) = cos (n + x) = - cos x cos (2TI - x) = cos x

t g ( j i - x ) = t g ( 2 n - x ) = - t g x tg (n + x) = tg x

sen x = cos (90° - x) cos x = sen (90° - x)

O RELAÇÕES IMPORTANTES Relação Fundamental: sen 2 x + cos 2 x = 1 Q Sec 2 x = 1 + ,tg 2x © Cosec 2 x = 1 + cotg 2

FÓRMULAS FUNDAMENTAIS

I I sen (x + y) = sen x . cos y + sen y . cos x

0 sen (x - y) = sen x . cos y - sen y . cos x

O cos (x + y) = cos x . cos y - sen x . sen y

t i cos (x - y) = cos x . cos y + sen x . sen y

Q sen 2x = 2 sen x . cos x

0 cos 2x = cos' x - sen 2 x

tg x + tg y © tg (x + y) :

,'i , , ^ tg x - tg y 0 , 9 ( x - y ) = TTTqir

1 - tg x . tg y

x - t g y tg x . tg y

0 . „ 2 tgx tg 2x = - — f ^ — a 1 - tg 2 x

| FUNÇÕES CIRCULARES: GRAFICOS

a) Função seno

D = IR lm(f) = {y e R ! - 1 < y < 1} p = 2jt

b) Função cosseno

D = IR lm(f) = {y e R | - 1 < y < 1} p = 2K

c) Função tangente

D = {x e IR

lm(f) = IR P = 71

x + hrt . h e

I PERIODO: p

. . y = a + b sen (mx + n)

p = -r— e Im = [a - b ; a + b]

y = a + b cos (mx + n 2n

"i y = a + b tg (mx + n

m | " " " i - p = — o i m - i a - o . a x D j y | m |

a: deslocamento vertical; b: amplitude; m: período; n: deslocamento horizontal

NUMEROS COMPLEXOS

FORMA ALGÉBRICA

z = a + bi, com a, b e IR

Obs. : 1) Se b = 0 => z = a é real 2) Se a = 0 e b # 0 => z = bi é imaginár io puro

OPERAÇÕES NA FORMA ALGEBRICA

Opera-se como se fosse o binómio a + bx, lembrando apenas que | i 2 = -11

POTENCIAS DE

em que r é o resto da divisão de n e IN por 4

CONJUGADO

z = a - bi

| REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA O número complexo z = a + bi representa no plano de Argand-Gauss o ponto P(a, b), chamado de Afixo.

5.1 - Módulo : |z| = p = V a 2 + b 2

5 . 2 - A r g u m e n t o : é o ângulo 9 tal que 0° < 0 < 360° e cos 9 = y e sen 0 = A

5.3 - Forma t r igonomét r ica

z = p (cos 0 + i sen 0)

OPERAÇÕES NA FORMA TRIGONOMÉTRICA

6.1 - Sendo z, = p, (cos a + i sen a) e z 2 = p 2 (cos p + i sen p)

temos: a) Z\ . z 2 = p,. p 2 [cos (a + B) + i sen(a + B)]

b) ^ - = [cos (a - p) + i sen(a - p)] z 2 P 2

0° < a + p < 360°

0° < a - p < 360°

6.2 - Sendo z = p (cos 0 + i sen 0) e n e Z , temos:

z" = p n [cos (n0) + i sen(n0)] 0° < n0 < 360°

POLINOMIOS

DEFINIÇÃO

P(x) = a 0 . x" + a:. x"- 1 + ... + a n , n e IN, e a 0 , a,, a„ são complexos.

GRAU

Se a 0 * 0 => Gp = n

RAIZ

a é raiz de P(x) t > P(a) = 0

| DIVISÃO G P = G D + G Q

P(x)| D(x) => P(x) = D(x) . Q(x) + R(x) em que <j e R(x) Q(x)

GR < G D ou R ( X ) = 0

I TEOREMA DO RESTO

O resto da divisão de P(x) por x - a é P(a).

EQUAÇÕES ALGEBRICAS

| FORMA FATORADA

A equação a 0 . x" + a, . x"~1 + ... + a n = 0 de grau n (n > 1) pode ser decomposta na forma:

ao (x - a,) (x - 0(2) ... (x - a n ) = 0, em que a , , a 2 a n são as raízes da equação.

RELAÇÕES DE GIRARD

Dada a equação: a 0 . x" + a:. x n 1 + ... + a n = 0, com raízes a , , a 2 a n , temos:

a0 a, + a2 + ... + a„ = g

a , . a 2 + a i . a 3 + ... + a n_i . a n - a

a„ a, . a 2 a n = (-1 ) " . a

RAÍZES COMPLEXAS Se o complexo z = a + bi (não real) é raiz da equação a 0 . x" + a , . x"~1 + ... + a n = 0 de coeficientes reais, então z = a - bi também é raiz dessa equação.

12

GEOMETRIA ANALITICA

Todo ponto do eixo dos x tem a ordenada igual a zero.

Todo ponto do eixo dos y tem a abscissa igual a zero.

Todo ponto da bissetriz dos quadrantes ímpares tem abscissa e ordenada iguais P 6 b 1 3 o x p = y p

| Todo ponto da bissetriz dos quadrantes pares tem abscissa e ordenada simétricas P e b l t o x p = - y p

b 1 3 : bissetriz dos quadrantes ímpares b 2 4 : bissetriz dos quadrantes pares

* Nota: -

| Distância entre dois pontos A(x A , y A ) e B(x B , y B ) :

d = V ( x B - x A ) 2 + ( y B - y A ) 2

d = V (Ax) 2 + (Ay) 2

y,.

y B

VA

Coordenadas do ponto médio A(x A , y A ) e B(x B , y B ) e M(x M , y M ) :

e y M:

y A + y B

M _ | x A + x B y A + y B j

y,

y B

y M

y A

Coordenadas do baricentro de um triângulo G(x G , y G ) :

X A + x B + x c

y G:

y A + y B

+ y c

o

Coeficiente angular de uma reta

m = tg a a * •

y j | Coeficiente angular de uma reta determinada por dois pontos distintos

m = tg a : y B - Y A

XB — X A

_ n Ay a * ou m = ——

2 Ax

y Condição de alinhamento de três pontos (pontos colineares)

A(x A , y A ) B(x B , y B ) C(x c , y c )

y B - Y A _ y c - y B

X B X A Xc X B

x A y A 1

ou x B y B 1 = 0 x c y c 1

Equação fundamental da reta dados P(x 0, y 0 ) e m : y - y 0 = m (x - x 0 )

Equação da reta determinada por dois pontos

1) Calcular m : Ay Ax

2) Com A (ou B) e m substitua em: y - y 0 = m(x - x 0 )

Equação reduzida de uma reta r.

y = mx + q

em que: m = coeficiente angular; q = coeficiente linear.

(0, q)

Equação geral da reta ax + by + c = 0 em que a e b não nulos simultaneamente.

Notar que:

coeficiente angular: m = - (se b ^ 0)

coeficiente linear: q = ( s e b ^ 0)

Equação segmentaria de uma reta:

^ - + ^ - = 1 ( p . q * 0 )

y Equações paramétricas de uma reta: x = f(t) e y = f(t)

Retas paralelas sendo r paralela a s, mas não paralela a y, temos: r / / s m r = m s

Retas perpendiculares. Sendo r (ou s) não paralela ao eixo dos y, temos:

r i s <=> m , . rrio= - 1 y

£J Posições relativas de duas retas r e s. Sejam as retas:

(r): y = m, x + q, e (s): y = m 2 x + q 2

r n s = {P} => m, * m 2

(retas concorrentes)

m, = m 2

. q, * q 2

(retas paralelas não coincidentes)

•J Distância de um ponto a uma reta. Sejam P(x 0, y„) e r:

ax + by + c = 0

I ax 0 + by 0 + c I \ / a 2 + b 2

P(XQ, y0)

Equação reduzida da circunferência

( x - a ) 2 + ( y - b ) 2 = r2 P(x, y)

Equação normal da circunferência x 2 + y 2 - 2ax - 2by + a 2 + b 2 - r2 - 0

Posições relativas de reta e circunferência

• y

x 0 d C s < r (secantes) dcs = r

(tangentes)

GEOMETRIA PLANA

IÂNGULOS NUM TRIÂNGULO a) Soma dos ângu los in ternos

A b) Angu lo externo

A

I POLIGONOS CONVEXOS a) Diagonais b) Soma dos ângu los in ternos c) Soma dos ângulos externos

S¡ = ( n - 2 ) . 180°| (n > 3) I S e = 360° , n ( n - 3 ) a - 2 ( n > 3 )

d) Pol ígonos regulares

S¡ = ( n - 2 ) . 180° S e = 360° 360°

ANGULOS NUMA CIRCUNFERENCIA a) Ângu lo inscr i to

P

b) Ângu lo de segmento

I TEOREMA DE TALES Por exemplo:

E \ y

c c í \ D '

/

AB = A 'B ' CD C D '

.1

r // s // t // u

I TEOREMA DAS BISSETRIZES a) Bissetr iz interna b) Bissetr iz externa

180° AB: diâmetro

Q TRIÂNGULOS SEMELHANTES Propriedade fundamental - Se dois triângulos têm ordenadamente congruentes dois ângulos, então eles são semelhantes. Considerando os triângulos ABC e A'B'C' , temos:

POTÊNCIA DE PONTO EM RELAÇÃO A UMA CIRCUNFERÊNCIA

1 s C a s o : P é interior à circunferência 2- Caso: P é exterior à circunferência

V

PA • PB = PC • PD

I TRIANGULO RETANGULO Relações métricas fundamentais

A 1 s) b 2 = a . n 2a) c 2 = a . m 3 a ) h 2 = m . n

4 a ) b . c = a . h

5 a ) a 2 = b 2 + c 2

PA • PB = PC • PD = (PT)

TRIÂNGULO QUALQUER 1 9 Teorema dos cossenos

A

D POLIGONOS REGULARES a) TRIÂNGULO EQUILÁTERO

2 9 Teorema dos senos

sen à sen B sen C 2R

1 9) Altura A

2°) Raio da inscrita (apotema) A

r = y h

aVT aVT

Obs.: O raio da circunscrita é: R = j h

b) QUADRADO

1S) Diagonal d

2Q) Raio da circunscrita

d = aV2 \ R W l

ò\ \ R / d = aV2 J

R = aV2

Obs.: O raio da inscrita (apotema) é: r

ÁREAS DAS PRINCIPAIS FIGURAS PLANAS

a) Paralelogramo b) Triângulo Triângulo Equilátero

c) Trapézio

A = B ^ h

d) Retângulo

A = b • h

e) Quadrado

F

A = a 2

f) Losango g) Círculo Comprimento

da circunferência

A = D . d

h) Coroa circular

A = 7 t ( R 2 - r 2 )

EXPRESSÕES DA ÁREA DE UM TRIÂNGULO

1 a) Dados ib , obter A. A [ c

A = VP (p - a)(p - b)(p - C)

p = a + b + C (semiperimetro)

Fórmula de Herão

3 a ) Dados j e , obter A. la

A = 2 b • c • sen a

f a

2e) Dados | c . obter A

RETAS E PLANOS NO ESPAÇO - POLIEDROS

POSTULADOS (Sem demonstração)

Eucl ides: Por um ponto fora de uma reta existe uma única paralela a essa reta.

Posições relat ivas de duas retas

paralelas reversas concorrentes coincidentes (paralelas)

Intersecção de p lanos

Se dois planos distintos têm um ponto comum • eles têm uma reta comum.

Então: Os planos acima chamam-se secantes

Intersecção de 3 p lanos

Ou os três se encontram numa única reta ou as intersecções são paralelas, ou concorrentes num único ponto.

Reta x Plano

paralelos incidentes pertencentes

Plano x Plano

paralelos secantes coincidentes (paralelos)

Teorema de Tales: Se um feixe de planos paralelos (folhas de 1 livro) é cortado por duas transversais (paralelas ou não), então a razão entre os segmentos de uma é igual à razão entre os correspondentes de outra.

20

Reta paralela a plano

Def in ição: A intersecção é vazia.

Teorema: Uma reta é paralela a um plano se for paralela a uma reta do plano E NÃO ESTIVER NELE CONTIDA.

Por um ponto fora do plano existem infinitas retas paralelas a este plano. Se uma reta é paralela a um plano, ela é paralela ou reversa com qualquer reta do plano.

Planos paralelos (dist intos)

Def in ição: Intersecção vazia.

Teorema: Dois planos são paralelos se um contiver duas retas CONCORRENTES paralelas ao outro.

Dois p lanos sendo paralelos d is t in tos .

Toda reta que fura um plano fura o outro. Todo plano que corta um corta o outro em retas paralelas. Toda reta de um plano é paralela ao outro.

ANGULOS

Para se obter o ângulo entre retas reversas ou não, traça-se por um ponto qualquer paralelas às duas; o ângulo obtido é o ângulo das reversas.

Definição: Uma reta é perpendicular a um plano quando a fura (pé) e é perpendicular a todas do plano que passam pelo pé.

Teorema: Uma reta é perpendicular a um plano quando formar ângulo reto com duas CONCORRENTES do plano.

| DISTANCIA ENTRE CONJUNTOS

É o menor segmento que tem extremidade nos conjuntos.

PLANOS PERPENDICULARES

def a i . P •«—* a contém uma reta perpendicular a (3.

A recíproca é garantida pelo Teorema: se um plano contém uma perpendicular ao outro plano, esse outro contém uma perpendicular ao 1 s .

Teorema: Por uma reta não perpendicular a um plano só existe um plano perpendicular ao plano dado.

Projeção cilíndrica Projeção cilíndrica ortogonal

Diedro: Seção: Qualquer ângulo obtido pela intersecção de um plano com o diedro (deve encontrar a aresta). Seção reta ou ângu lo p lano: se o plano for perpendicular à aresta (fornece a medida do diedro) face

aresta

- face

sólido

Triedro: As faces do triedro são ângulos. O Triedro possui 3 diedros e 3 faces.

aresta

aresta

diedro

Seções paralelas de um ângulo po l iédr ico:

a) são polígonos semelhantes (mesma forma);

b) a razão da semelhança: K = H/h;

c) a razão entre as áreas é:

K 2 = ^ = 7r h 2 a

d) a razão entre os volumes é: K - h 3 v

• Num ângulo poliédrico, qualquer face é menor que a soma das demais.

- A soma das faces é menor que 360°.

Superfície poliédrica convexa aberta

V - A + F = 1

Poliedro convexo V - A + F = 2

Soma dos Ângulos das faces de um poliedro euleriano

S = (V - 2 ) . 360°

Platão Po l ied ros Regu la res

Faces Vértices Faces Vértices Euleriano com P com q Convexos regulares regulares

lados arestas côngruas côngruos

T H O D 1 T H O D 1 - regulares

THODI: Tetraedro, Hexaedro, Octaedro, Dodecaedro e Icosaedro.

GEOMETRIA METRICA ESPACIAL

U PRISMAS

1.1. Paralelepípedo reto-retângulo

1) Cálculo da diagonal (d) d = Va2 + b 2 + c 2

2) Cálculo da superficie total (A t)

3) Cálculo do volume (V)

A,= 2(ab + ac + be)

V = a . b . c

1.2. Cubo

1) Diagonal

2) Area total

3) Volume

d = aV3~ A,= 6a 2

V= a 3

1.3. Prisma regular 1) Área lateral A, = n . A,

n: número de faces

Af : área de urna face

2) Area total A, + 2 . B B: área da base

3) Volume V = B . h

Q PIRÂMIDES

2.1. Pirâmide regular

1 ) Área lateral

2) Aro.-i total

3) Volume

A, = n . A,

At = A, + B

n: número de faces

A f : área de urna face

B: área da base

V - i . B . h

Re l ; i ( , . i< i I l . i m e n U I m ' = h 2 + a 7

m: apotema da pirâmide a: apotema da base h: altura da pirâmide

23

a VIF

2.2. Tetraedro regular

1 ) Área lateral

2) Área total A T = a2V~3

3) Volume 3V2 12

fcj CILINDRO DE REVOLUÇÃO

B = TCR2 (área da base)

1 ) Área lateral

Nota - Cilindro Equilátero: 2R = h

CONE DE REVOLUÇÃO

1 ) Relação fundamental: g 2 = r2 + h 2

2) Área lateral: A, = nRg

3) Área total: A, = A, + B

4) Volume: V = t B h

5) Ângulo central: g = 2 j l R rad

B = itR 2 (área da base)

Nota - Cone equilátero: 2 R - g

24

Q E S F E R A 1) Área da superfície esférica: A = 4TIR 2

2) Volume da esfera:

Um FUSO ESFERICO

a em graus

360° 4nR ;

u° A ( u s o

a em radíanos 2n rad 47iR' a rad A f u s o

Af Lis 0

a°nR2

90°

2 a R 2

CUNHA ESFERICA

a em radíanos

2n rad

a° rad

a 2 R 3