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Florianópolis

Professor: BAIANO

Matrizes

1. (Udesc ) Considere as matrizes x

y

9 a 0A ,

4 16 1

= −

x

2y 1 1

3 b 1B

1 4 2− −

=

e

2y 1

27 13 6C .

b 2 10 c−

− =

− A soma dos quadrados das constantes x, y, a, b e c que satisfazem

a equação matricial A 6B C− = é: a) 26 b) 4 c) 41 d) 34 e) 16

2. (Uem ) Duas matrizes quadradas A e B, de mesma ordem, são semelhantes, se existir uma matriz C, possuindo a mesma ordem de A e B, de determinante não nulo, tal que 1A C BC−= . Com relação a matrizes semelhantes, é correto afirmar que 01) matrizes com determinantes distintos podem ser semelhantes. 02) a matriz identidade de ordem n× n só é semelhante a si mesma. 04) se A é semelhante a B, então, necessariamente, 2A é semelhante a 2B .

08) se 2 1

C1 1

=

e 2 0

B0 1

=

, então 1 3 1C BC

2 0−

= − .

16) se A é semelhante a B, então, 2A é semelhante a 2B.

3. (Udesc ) Sejam A = (aij) e B = (bij) matrizes quadradas de ordem 3 de tal forma que: • aij = i + j • bij = j e os elementos de cada coluna, de cima para baixo, formam uma progressão

geométrica de razão 2. Analise as proposições abaixo: ( ) A = AT ( ) Os elementos de cada uma das linhas da matriz B estão em progressão aritmética. ( ) Os elementos de cada uma das linhas e de cada uma das colunas da matriz AB estão em

progressão aritmética. ( ) Existe a matriz inversa da matriz C = A − B . O número de proposição(ões) verdadeira(s) é: a) 0 b) 3 c) 1 d) 2 e) 4

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TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: Arquimedes,candidato a um dos cursos da Faculdade de Engenharia, visitou a PUCRS para colher informações. Uma das constatações que fez foi a de que existe grande proximidade entre Engenharia e Matemática. 4. (Pucrs ) Numa aula de Álgebra Matricial dos cursos de Engenharia, o professor pediu que os alunos resolvessem a seguinte questão:

Se 1 2

A ,3 4

=

então 2A é igual a

a) 1 32 4

b) 1 49 16

c) 7 10

15 22

d) 5 1111 25

e) 5 525 25

5. (Uepg ) Sobre as matrizes: A = (aij)2x2, tal que aij = i – j, e B = (bij)2x3, tal que bij = i + j, assinale o que for correto.

01) 3 4 5

A.B2 3 4− − −

=

02) 2 1 0A

0 1−

= −

04) A matriz B2 não existe.

08) 1 0 1A

1 0− = −

16) det(2A) = 4.

6. (Uel ) Uma indústria utiliza borracha, couro e tecido para fazer três modelos de sapatos. A matriz Q fornece a quantidade de cada componente na fabricação dos modelos de sapatos, enquanto a matriz C fornece o custo unitário, em reais, destes componentes.

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O diagrama dado representa a cadeia alimentar simplificada de um determinado ecossistema. As setas indicam a espécie de que a outra espécie se alimenta. Atribuindo valor 1 quando uma espécie se alimenta de outra e zero, quando ocorre o contrário, tem-se a seguinte tabela:

Urso Esquilo Inseto Planta Urso 0 1 1 1

Esquilo 0 0 1 1 Inseto 0 0 0 1 Planta 0 0 0 0

A matriz ij 4x4A (a )= , associada à tabela, possui a seguinte lei de formação:

a) ij0, se i j

a1, s e i j

≤= >

b) ij0, se i j

a1, s e i j

== ≠

c) ij0, se i j

a1, s e i j

≥= <

d) ij0, se i j

a1, s e i j

≠= =

e) ij0, se i j

a1, s e i j

<= >

8. (G1 - ifsc ) Sobre as propriedades da matriz transposta, considere as sentenças abaixo: I. ( )t t tA B A B+ = +

II. ( )t tkA kA=

III. ( )t t tAB A B= Assinale a alternativa correta. a) Apenas a sentença II é verdadeira. b) Apenas a sentença III é verdadeira. c) Apenas as sentenças I e II são verdadeiras. d) Apenas as sentenças II e III são verdadeiras. e) Apenas as sentenças I e III são verdadeiras.

9. (Ufsc ) Assinale a(s) proposição(ões) correta(s). 01) O ortocentro de qualquer triângulo é equidistante dos três vértices. 02) O valor numérico de t na figura a seguir é t = 60 .

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04) A razão da progressão aritmética (log 10, log 100 e log 1000) é igual a 10.

08) Resolvendo o sistema matricial

3 9 52X Y

17 11 21 1 7 3obtém se X .

4 2 75 11 73X 2Y

30 21 35

− − + = − − − = − −− − + = −

16) Sendo 2 1 1 3

A e B ,5 3 5 9

= =

então o produto entre a matriz inversa de A e a matriz

transposta de B é a matriz A-1 . Bt=0 6

.1 7 −

10. (Ufsc ) Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).

01) O elemento 64a da matriz ijA (a )= de ordem 8, onde i j 2iaij ( 1)j

+= − ⋅ é 3.

02) O triângulo ABC, cujas coordenadas dos vértices são: A(0,0), B(0,2) e C(10,20), tem 20 unidades de área.

04) Para duas matrizes A e B de mesma ordem, vale sempre: (AB)t = At Bt. 08) A matriz inversa da matriz A é a matriz A-1

1

111 2 2A A15 1 15

−

= = − −

16) O elemento b23 da matriz B = At, onde A = (axy), de ordem 3×2 e axy = 2x +y é 8.

11. (Ufsm ) Ao comprar os produtos necessários para fazer uma feijoada, uma dona de casa resolveu pesquisar preços em três supermercados. A matriz P dos preços está representada a seguir; a primeira linha mostra os preços por kg do supermercado A; a segunda, do supermercado B; a terceira, do supermercado C. Esses preços são relativos, respectivamente, aos produtos feijão, linguiça, tomate e cebola.

52,05 9,89 2,48 1,783

P 1,93 11,02 2,00 1,60 Q2

1,70 10,80 2,40 1,20 3

= =

Sabendo que a matriz Q representa as quantidades necessárias, respectivamente, de feijão, linguiça, tomate e cebola, a dona de casa economizará mais se efetuar as compras no supermercado

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a) A. b) B. c) C. d) A ou B indiferentemente. e) A ou C indiferentemente.

12. (Pucrs ) O valor de x + y, para que o produto das matrizes

1 x 2 2A e B

y 1 2 2−

= = −

seja a matriz nula, é a) - 1 b) 0 c) 1 d) 2 e) 4

13. (Ufpr ) Se A é uma matriz quadrada de ordem 2 e I é a matriz identidade de mesma ordem, pode-se mostrar que, para cada n natural, existem números reais б e в tais que An = бA + вI.

Dada a matriz 2 3

A0 1

=

a) Encontre б e в tais que A2 = бA + вI. b) Multiplicando a expressão do item anterior pela matriz inversa A-1 obtém-se a expressão A = бI + вA-1. Use essa informação para calcular a matriz A-1.

14. (Ufsc ) Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S). 01) Se K=(Kij) é uma matriz quadrada de ordem 2 dada por Kij=22i+j para i<j e Kij=i2+1 para i ≥ j,

então K é uma matriz inversível. 02) Se A e B são matrizes tais que A.B é a matriz nula, então A é a matriz nula ou B é a matriz nula. 04) Sejam as matrizes M e P, respectivamente, de ordens 5 × 7 e 7 × 5. Se R = M.P, então a

matriz R2 tem 625 elementos. 08) Chamamos "traço de L" e anotamos tr(L) a soma dos elementos da diagonal principal de

uma matriz quadrada L; então tr(L)=tr(Lt).

15. (Ufsm ) Sabendo-se que a matriz

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é igual à sua transposta, o valor de 2x + y é a) -23 b) -11 c) -1 d) 11 e) 23

16. (Uel ) Dadas as matrizes A = (aij)3x2, definida por aij = i - j; B = (bij)2x3, definida por bij = j; C = (cij), definida por C = A.B, é correto afirmar que o elemento c23 é: a) Igual ao elemento c12 b) Igual ao produto de a23 por b23 c) O inverso do elemento c32 d) Igual à soma de a12 com b11 e) Igual ao produto de a21 por b13

17. (Ufsc ) Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).

01) O par ordenado (x, y) = (5, 2) é a única solução do sistema x 2y 9

3x 6y 27+ =

+ =.

02) A matriz A = (aij)1x3, tal que aij = i -3j é [ ]A 2 5 8= − − −

04) A soma dos elementos da inversa da matriz 1 10 1

é igual a 2.

08) Uma matriz quadrada A se diz antissimétrica se At = -A, sendo At a transposta da matriz A.

Nessas condições pode-se afirmar que a matriz 0 0 10 0 01 0 0

é antissimétrica.

16) Se as matrizes P, Q e R são escolhidas entre as listadas a seguir, para que PQ - R seja uma matriz nula, o valor de x deve ser 2.

312

, [ ]3x 5 , 6 1 10 2 x

−

, 196

32) A e B são matrizes quadradas de ordem 2 tais que A = 5B. Nestas condições pode-se afirmar que det(A) = 5 det(B), sendo que det(A) e det(B) designam, respectivamente, os determinantes das matrizes A e B.

18. (Ufsm ) Outra medida no sentido de desafogar o trânsito é o planejamento na construção

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de edifícios públicos. O diagrama a seguir representa três bairros, C1, C2, e C3, com as respectivas populações de alunos e as distâncias entre eles, em quilômetros. Deseja-se construir uma escola em um desses bairros, de tal maneira que a distância percorrida por todos os alunos seja a mínima possível. A matriz X que representa as distâncias entre as localidades é dada por X = [dij] onde dij é a distância entre Ci e Cj, 1 ≤ i ≤ 3, 1 ≤ j ≤ 3.

A sequência correta é a) V - V - V. b) V - F - V. c) F - V - F. d) V - V - F. e) F - F - V.

19. (Uel ) Uma nutricionista recomendou aos atletas de um time de futebol a ingestão de uma quantidade mínima de certos alimentos (fruta, leite e cereais) necessária para uma alimentação sadia. A matriz D fornece a quantidade diária mínima (em gramas) daqueles alimentos. A matriz M fornece a quantidade (em gramas) de proteínas, gorduras e carboidratos fornecidos por cada grama ingerida dos alimentos citados. A matriz que mostra a quantidade diária mínima (em gramas) de proteínas, gorduras e carboidratos fornecida pela ingestão daqueles alimentos é:

200 frutaD 300 leite

600 cereais

=

; 0,006 0,033 0,108 proteínas

M 0,001 0,035 0,018 gorduras0,084 0,052 0,631 carboidratos

=

a) 18,2036,30454,20

b) 29,7016,20460,20

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c) 48,3036,00432,40

d) 51,9048,30

405,60

e) 75,9021,50411,00

20. (Ufsc ) Considere as matrizes, mostradas na figura adiante:

e determine a soma dos números associados à(s) proposição(ões) VERDADEIRA(S). 01) A matriz A é inversível. 02) (A.B)t = Bt.At, onde At significa a matriz transposta de A. 04) O sistema homogêneo, cuja matriz dos coeficientes é a matriz A, é determinado. 08) A + C é a matriz nula de ordem 3. 16) A.C = C.A.

21. (Uel ) Sabendo-se que a matriz mostrada na figura adiante

é igual à sua transposta, o valor de x + 2y é: a) -20 b) -1 c) 1 d) 13

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e) 20

22. (Ufsm ) Analise as afirmações a seguir. I. A matriz adiante é invertível se x = 2b.

II. Se det(AB) = m, pode-se garantir que existe detA e detB. III. Se detA = m ≠ 0 e detB = 1/m, então det(AB)=1. Está(ão) correta(s) a) apenas I. b) apenas II. c) apenas III. d) apenas II e III. e) I, II e III.

23. (Ufpr ) Dadas as matrizes A e B mostradas na figura adiante.

0 1A

1 0

=

e 3 4

B6 5

=

É correto afirmar: 01) B . A = B 02) Todos os elementos da matriz A + B são números ímpares. 04) O conjunto formado pelos elementos da matriz A . B é igual ao conjunto formado pelos

elementos da matriz B. 08) det(3 . A) = det(B) 16) A matriz inversa de A é a própria matriz A.

24. (Ufpr ) Considerando a matriz A a seguir, onde a, b, c e d são números reais, é correto afirmar:

a bA

c d

=

01) Se a = log2(6), b = log2(3) e c = d = 1, então detA = 2. 02) Se a = b = c = d = 1, então A2 = 2A. 04) Se a = 2, b = -2, c = 2-x e d = 2x, então existe somente um valor real de x tal que detA = 5.

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08) Se a.d ≠ b.c, então A tem matriz inversa. 16) Se A é matriz identidade, então log10(detA) = 0.

25. (Uel ) Sejam as matrizes A = (aij)3x2, tal que aij = 2i - 3j e B = (bjy)2x3, tal que bjy = y - j . O determinante da matriz A . B é igual a a) -12 b) - 6 c) 0 d) 6 e) 12

26. (Uel ) A soma de todos os elementos da inversa da matriz M mostrada na figura é igual a

a) -2 b) -1 c) 0 d) 1 e) 2

27. (Ufsc) Sejam A, B e C matrizes. Determine a soma dos números associados à(s) proposição(ões) VERDADEIRA(S). 01) Se A é uma matriz de ordem n, então det(kA)=kn.detA, k∈R. 02) (At)t . A-1 = I 04) det (A + B) = det A + det B. 08) Se A é uma matriz de ordem n×m e B é de ordem m×k, então A+B é uma matriz de ordem

n×k.

28. (Uel) Uma matriz quadrada A se diz ANTI-SIMÉTRICA se At=-A. Nessas condições, se a matriz A mostrada na figura adiante é uma matriz anti-simétrica, então x+y+z é igual a

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a) 3 b) 1 c) 0 d) -1 e) -3

29. (Uel ) Sobre as sentenças: I. O produto de matrizes A3x2 . B2x1 é uma matriz 3x1. II. O produto de matrizes A5x4 . B5x2 é uma matriz 4x2. III. O produto de matrizes A2x3 . B3x2 é uma matriz quadrada 2x2. é verdade que a) somente I é falsa. b) somente II é falsa. c) somente III é falsa. d) somente I e III são falsas. e) I, II e III são falsas.

30. (Ufrgs ) A matriz C fornece, em reais, o custo das porções de arroz, carne e salada usados num restaurante: A matriz P fornece o número de porções de arroz, carne e salada usados na composição dos pratos tipo P1, P2, P3 desse restaurante: A matriz que fornece o custo de produção, em reais, dos pratos P1, P2 e P3, está indicada na alternativa

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Gabarito: Resposta da questão 1: [A]

Como x

2y 1

6 3 6b 66B ,

6 6 4 3−

⋅= ⋅

vem

x x

2y 1y 2y 1

x x

2y 1y 2y 1

27 13 69 a 0 6 3 6b 6b 2 10 c4 16 1 6 6 4 3

27 13 69 6 3 a 6b 6.

b 2 10 c2 16 6 4 4

−−

−−

− ⋅− = ⇔

− − ⋅ − − ⋅ − −

= − − − ⋅ −

Igualando os termos correspondentes, segue que b 2,= − c 4= − e a 6b 13 a 1.− = ⇔ = Além disso,

x x x 2 x

x 2

x

9 6 3 27 (3 ) 2 3 3 27

(3 3) 36

3 6 3x 2

− ⋅ = ⇔ − ⋅ ⋅ =

⇔ − =

⇔ = ± +⇒ =

e y 2y 1 2y 1 2y 2 2y

22y

2y

16 6 4 2 10 (2 ) 2 20

1 8122 49 122 2

y 1.

− −− ⋅ = − ⇔ + =

⇔ + =

⇔ = ± −

⇒ =

Portanto, a soma pedida é

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2x y a b c 2 1 1 ( 2) ( 4) 26.+ + + + = + + + − + − = Resposta da questão 2: 02 + 04 + 08 + 16 = 30. (01) Falso.

1

1 1 1

1 1

1 1

A C BC

AC C BCC

AC C B

det(AC ) det(C B)det A detB

−

− − −

− −

− −

=

=

=

==

(02) Verdadeiro. (04) Verdadeiro.

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2 1 2

1 1 1

1 1

1 1

1 1

2 2

A C B C

AAC C BBCC

AAC C BB

det(AAC ) det(C BB)

det(AA)det(C ) det(BB)det(C )

det(A ) det(B )

−

− − −

− −

− −

− −

=

=

=

=

=

=

(08) Verdadeiro.

Sendo 2 1

C1 1

=

e 2 0

B0 1

=

Temos: − − −

= = = − − − 1 1 1 2 0 2 1 2 1 2 1 3 1

C BC1 2 0 1 1 1 2 2 1 1 2 0

(16) Verdadeiro.

1

1 1 1

1 1

1 1

1 1

n n

(2A) C (2B)C

(2A)C C (2B)CC

(2A)C C (2B)

det((2A)C ) det(C (2B))

det(2A)det(C ) det(2B)det(C )

2 det(A) 2 det(B)

−

− − −

− −

− −

− −

=

=

=

=

=

=

Resposta da questão 3: [B]

Temos que 2 3 4

A 3 4 54 5 6

=

e 1 2 3

B 2 4 6 .4 8 12

=

Como A é simétrica, segue que tA A .= Os elementos da primeira linha da matriz B estão em progressão aritmética de razão 1; os da segunda linha estão em progressão aritmética de razão 2 e os da terceira linha estão em progressão aritmética de razão 4.

Calculando a matriz AB, obtemos 24 48 72

AB 31 62 93 .38 76 114

=

Logo, os elementos de cada uma das

linhas e de cada uma das colunas dessa matriz estão em progressão aritmética.

O determinante da matriz 1 1 1

C A B 1 0 10 3 6

= − = − − −

é dado por detC 3 3 6 0.= − − + = Portanto,

C não admite inversa. Resposta da questão 4: [C]

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Como 2A A A,= ⋅ segue que

2 1 2 1 2A

3 4 3 41 1 2 3 1 2 2 43 1 4 3 3 2 4 47 10

.15 22

= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅

= ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅

=

Resposta da questão 5: 01 + 02 + 04 + 08 +16 = 31. Cálculos auxiliares

( )i j i j2 x 2

0 1A a / a i j A

1 0−

= = − ⇒ =

e ( )i j i j2x3

2 3 4B b / b i j B

3 4 5

= = + ⇒ =

Item (01) – Verdadeiro

0 1 2 3 4 3 4 5AxB x

1 0 3 4 5 2 3 4− − − −

= =

Item (02) – Verdadeiro

2 0 1 0 1 1 0AxA A x

1 0 1 0 0 1− − −

= = = −

Item (04) – Verdadeiro O número de colunas da primeira é diferente do número de linhas da segunda, isto é:

( ) ( )2B BxB 2x3 x 2x3 impossível.= = ⇒ Item (08) – Verdadeiro

1

1

0 1 1 0Sendo A , temos : A x A

1 0 0 1Logo :0 1 a b 1 0

x1 0 c d 0 1

Onde, resolvendo, obtemos :0 1

A1 0

−

−

− = =

− =

= −

Item (16) – Verdadeiro

2det(2A) 2 x det A 4x(1) 4.= = = Resposta da questão 6: [E] Multiplicando as matrizes, temos:

2 1 1 10 2.10 1.50 1.30 1001 2 0 . 50 1.10 2.50 0.30 1102 0 2 30 2.10 0.50 2.30 80

+ + = + + = + +

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Resposta da questão 7: [C]

A expressão ij0, se i j

a1, s e i j

≥= <

representa a matriz

0 1 1 10 0 1 10 0 0 10 0 0 0

, que representa a tabela

dada. Resposta da questão 8: [C] I. (V) - Propriedade das matrizes; II. (V) - Propriedade das matrizes; III. (F) - A propriedade correta é ( )t t tAB B A= . Resposta da questão 9: 02 + 16 = 18 01) (falsa) O circuncentro que é equidistantes dos vértices. 02) (verdadeira) x2 + 122 = 132 logo x = 5 e 13.t = 5.12 logo t = 60/5 04) (falsa) log 100 – log 10 = log (100/10) = log 10 = 1

08) (falsa) -4x – 2y + 3x + 2y = x = 6 18 10 5 11 7 1 7 334 22 42 30 21 35 4 1 7

− − − − + = − − − − −

16) (verdadeira) A-1.Bt = 3 1 1 5 0 6

.5 2 3 9 1 7

− = − −

Resposta da questão 10: (01) + (16) = 17 Resposta da questão 11: [C] Resposta da questão 12: [D] Resposta da questão 13: a) α = 3 e β = -2

b) 11 3

A 2 20 1

−−

=

Resposta da questão 14: 01 + 08 = 09 Resposta da questão 15: [C] Resposta da questão 16: [E]

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Resposta da questão 17: 02 + 16 = 18 Resposta da questão 18: [D] Resposta da questão 19: [E] Resposta da questão 20: 02 + 08 + 16 = 26 Resposta da questão 21: [B] Resposta da questão 22: [C] Resposta da questão 23: 02 + 04 + 08 + 16 = 30 Resposta da questão 24: 02 + 08 + 16 = 26 Resposta da questão 25: [C] Resposta da questão 26: [E] Resposta da questão 27: 01 + 02 = 03 Resposta da questão 28: [D] Resposta da questão 29: [B] Resposta da questão 30: [A]