Fısica I (Quımica)

2 Lista de exercıciosSemana 3

17 de agosto de 2015

1– Sao dados tres deslocamentos, em metros:

~d1 = 4, 0~ex + 5, 0~ey − 6, 0~ez

~d2 = −1, 0~ex + 2, 0~ey + 3, 0~ez

~d3 = 4, 0~ex + 3, 0~ey + 2, 0~ez

Determine: (a) ~r = ~d1 − ~d2 +~d3; (b) o angulo entre ~r e o semieixo positivo z; (c) A componente de ~d1

paralela a ~d2 e esta no plano definido por ~d1 e ~d2;Resp: (a) 9, 0~ex + 6, 0~ey − 7, 0~ez; (b) 122, 9o; (c) −3, 2.

Solucao:

a. ~r = [4, 0 − (−1, 0)+ 4, 0] ~ex + [5, 0 − 2, 0 + 3, 0] ~ey + [−(6, 0)− 3, 0 + 2, 0] ~ez = 9, 0~ex + 6, 0~ey − 7, 0~ez

b. cosθ =~r · ~ez

|~r| · |~ez|=

−7, 0√

(9, 0)2+ (6, 0)2

+ (−7, 0)2= −0, 543 θ = arccos(−0, 543) = 122, 9o

c. d‖ = d1 cosθ = d1

~d1 · ~d2

|d1| · |d2|=

~d1 · ~d2

d2=

−4 + 10 − 18√

14= −3, 2

2– Se

~a −~b = 2~c;

~a +~b = 4~c e

~c = 3~ex + 4~ey

determine (a) ~a e (b) ~b.Resp: (a) 9~ex + 12~ey; (b) 3~ex + 4~ey.

Solucao:

(a)

~a −~b = 2~c+

~a +~b = 4~c;

2~a = 6~c ~a = 3~c = (3~ex + 4~ey) = 9~ex + 12~ey

(b) ~b = ~a − 2~c = 3~c − 2~c = ~c = 3~ex + 4~ey

3– Considere dois deslocamentos, um de modulo 3 m, outro de modulo 4 m. Mostre que os vetores deslocamentopodem ser combinados para produzir um deslocamento de modulo (a) 7 m; (b) 1 m; e (c) 5 m.

Solucao:

a. |4~ex + 3~ex| = |7~ex| = 7 m

b. |4~ex − 3~ex| = |1~ex| = 1 m

c. |3~ex + 4~ey| =√

32+ 42

= 5 m

4– Sao dados dois vetores, ~a = 2~ex + ~ey e ~b = 4~ex + 7~ey. Determine: (a) as componentes ao longo dos eixos x

e y de ~c = ~a +~b; (b) seu modulo e (c) o angulo θ que faz com o eixo x.Resp: (a) 6 e 8; (b) 10; (c) 53, 1◦.

Solucao:

a. ~c = ~a +~b = (2~ex + ~ey) + (4~ex + 7~ey) = 6~ex + 8~ey; 6 e 8

b. |~c| =√~c · ~c =

√62+ 82

= 10

c. tanθ =|8~ey||6~ex|

= 1, 333 θ = arctan(1, 333) = 53, 1◦

5– O vetor ~a = ax ~ex + ay ~ey + az~ez faz angulos α, β e γ com as direcoes x, y e z.

(a) .

Mostre que

cosα =ax

√

a2x + a2

y + a2z

cos β =ay

√

a2x + a2

y + a2z

cosγ =az

√

a2x + a2

y + a2z

(b) . Mostre que cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1.Solucao:Angulo com a direcao x:

(a) . ~ex · ~a = (~ex) · (ax~ex + ay ~ey + az~ez) = (~ex) · (ax ~ex) = ax = |~ex| · |~a| cosα cosα =ax

√

a2x + a2

y + a2z

.

Assim para as demais direcoes.

(b) . cos2 α =a2

x

a2x + a2

y + a2z

+ · · · = cos2 α + cos2 β + cos2 γ =a2

x

a2x + a2

y + a2z

+ · · · = |~a| · |~a|a2

= 1

6– Dados os vetores ~a = 2, 0~ex − 5, 0~ey e ~b = 4, 0~ex + 3, 0~ey, calcule: (a) o produto escalar ~a ·~b e (b) o produto

vetorial ~a ×~b.

Resp: (a) −7; (b) 26~ez.Solucao:

a. ~a ·~b = (2, 0~ex − 5, 0~ey) · (4, 0~ex + 3, 0~ey) = (2, 0)(4, 0)+ (−5, 0)(3, 0) = −7

b. ~a ×~b = (2, 0~ex − 5, 0~ey) × (4, 0~ex + 3, 0~ey)

= (2, 0~ex) × (4, 0~ex)

+ (2, 0~ex) × (3, 0~ey)

+ (−5, 0~ey) × (4, 0~ex)

+ (−5, 0~ey) × (3, 0~ey)

= 0 + 6, 0~ez + 0 + 20, 0~ez = 26~ez

Ou, atraves de determinante,

~a ×~b = (2, 0~ex − 5, 0~ey) × (4, 0~ex + 3, 0~ey) =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

~ex ~ey

2, 0 −5, 04, 0 3, 0

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 26~ez

7– Dois vetores estao no plano x y. O vetor ~a tem modulo 4, 0 unidades e faz um angulo de 40o com o eixo x.

O vetor ~b tem modulo 6, 0 unidades e faz um angulo de 110o com o mesmo eixo. Calcule: (a) O produto

escalar ~a ·~b; (b) o produto vetorial ~a ×~b e (c) o produto vetorial ~b × ~a.

Resp: (a) 8, 2; (b) 22~ez; (c) −22~ez.Solucao:O angulo θ entre os vetores e 110o − 40o

= 70o. Entao

a. ~a ·~b = |~a| · |~b| cosθ = (4, 0) · (6, 0) cos 70o= 8, 2

b.∣

∣

∣

∣

~a ×~b∣

∣

∣

∣

= |~a| · |~b| sinθ = (4, 0) · (6, 0) sin 70o= 22 = 22~ez

c. ~b × ~a = −~a ×~b = −22~ez

8– Os vetores ~a e ~b da figura possuem o mesmo modulo; 10, 0 m. Estao orien-

tados de forma tal que θ1 = 30o e θ2 = 105o. Determine, para ~a + ~b: (a) acomponente x; (b) a componente y; (c) o angulo que o vetor resultante ~rfaz com a horizontal.

θ2

θ1a

b

0 x

y

Resp: (a) 1.6 m; (b) 12 m; (c) 83o.Solucao:

a. rx = ax cos 30o+ bx cos (30o

+ 105o) = 10 · (0, 87− 0, 71) = 1, 6 m

b. ry = ay sin 30o+ by sin (30o

+ 105o) = 10 · (0, 50+ 0.71) = 12 m

c. tanθr =ry

rx=

12, 1

1, 6= 7, 6 θr = arctan 7, 6 = 83o

rx

ry

θ2

θ1

a

r

0 x

b

y