FIS-26 — Prova 02 — Abril/2013

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Duracao maxima da prova: 100 min. Responda as questoes de forma clara, completa e concisa. Umaparte da pontuacao de cada questao sera atribuıda para o resultado final, e, quando for o caso, para a(s)unidade(s) e para os algarismos significativos. Solucoes criativas e inteligentes receberao uma pontuacaoextra (por este merito). Questoes com erros graves e/ou erros conceituais serao penalizadas com maisseveridade. Voce podera consultar:

• uma folha de anotacoes pessoais (tamanho A4, escrita somente em um dos lados do papel), a qualdevera ser entregue junto com a prova;

• qualquer livro (em papel, sem ser fotocopiado) previsto no Plano de Curso;

• as folhas de momento de inercia disponibilizadas na pagina do professor.

O uso de calculadora esta permitido, mas nao o seu emprestimo.

1. (23 pontos) O diagrama esquematico de um canhao de grande porte e mostrado na Figura seguinte.Quando a arma e disparada, gases sob alta pressao aceleram o projetil no interior do cano ateuma velocidade muito alta. A forca de reacao empurra o cano do canhao no sentido contrarioao do projetil. Visto que e desejavel que o canhao volte a posicao de repouso no menor temposem oscilacao, ele e forcado a fazer uma translacao para tras contra um sistema mola-amortecedorcriticamente amortecido denominado mecanismo de recuo. Em um caso particular, o cano do canhaoe o mecanismo de recuo tem uma massa de 500 kg com uma mola de recuo de rigidez 10000 N/m.O recuo (maximo) do canhao apos um disparo e de 400 mm.

Determine:

(a) (4 pontos) a frequencia natural ωn (nao amortecida) do sistema.

(b) (4 pontos) o coeficiente de amortecimento c do amortecedor.

(c) (10 pontos) a velocidade inicial v0 de recuo do canhao. Dica: note que o canhao (em t = 0)tem velocidade v0, mas a mola do mecanismo de recuo tem deformacao nula x0 = 0.

(d) (5 pontos) o tempo t que leva para o canhao retornar ate uma posicao de 100 mm de suaposicao inicial (depois que ele atingiu a posicao de maximo recuo). Considere que o disparo docanhao ocorreu em t = 0. Voce devera cair numa equacao transcendental para determinar t.Pede-se que voce obtenha a resposta com apenas uma casa decimal de precisao, sabendo que0,5 s < t < 1,0 s.

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2. (32 pontos)

(a) (10 pontos) De respostas breves para as seguintes questoes

i. (4 pontos) De dois exemplos de maus e dois de bons efeitos da vibracao. De exemplos decasos reais de Engenharia.

ii. (2 pontos) A frequencia de uma vibracao livre amortecida e menor ou maior que a frequencianatural do sistema? Explique, de forma qualitativa (sem recorrer a expressao matematica),por que isto acontece.

iii. (4 pontos) Em diversos problemas de Engenharia, o amortecimento (quando pequeno) econsiderado apenas na vizinhanca da ressonancia. Por que?

(b) (14 pontos/ 2 pontos cada palavra) Complete os espacos em branco com a palavra adequada(cada espaco admite uma unica palavra).

i. Sistemas fısicos sofrem oscilacoes perigosamente grandes a

ii. Vibracao nao amortecida e caracterizada por nenhuma perda de

iii. Se um sistema vibrar devido apenas a uma perturbacao inicial, temos uma vibracao

iv. Se um sistema vibrar devido a uma excitacao externa, temos uma vibracao

v. Na vibracao livre de um sistema nao amortecido ocorre uma permuta entre energias

e

vi. O centro de pode ser usado de forma vantajosa em um taco de beisebol.

(c) (8 pontos/ 2 pontos cada) Analise as seguintes afirmacoes, assinalando V se a afirmacao forverdadeira, ou F se for falsa.

(a) ( ) Um movimento harmonico e um movimento periodico.

(b) ( ) Um movimento periodico e um movimento harmonico.

(c) ( ) A frequencia de vibracao de um sistema fısico depende do sistema de coordenadasutilizado.

(d) ( ) As coordenadas normais evitam o acoplamento dinamico dos graus de liberdade deum sistema.

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3. (25 pontos) A caixa d’agua mostrada na Figura a seguir e sustentada por uma coluna de altura lfeita de concreto reforcado. A massa de agua que cabe na parte superior da caixa d’agua, quandoesta esta cheia, e igual a M (nesta massa ja estamos incluindo a massa da parte superior da caixad’agua tambem). Considere que a parte superior da caixa d’agua (cheia) pode ser modelada poruma massa pontual M , e que a coluna pode ser modelada por um barra elastica unidimensional cujamassa m esta uniformemente distribuıda ao longo da altura l. Esta coluna quando sofre um esforcoP na direcao transversal a sua altura exibe uma deformacao elastica (na direcao do esforco aplicado)que pode ser caracterizada pela funcao matematica y(x) = ymax

2l3(3x2l− x3), onde ymax = P/k, sendo

k uma “especie de constante elastica de mola” (por curiosidade, k = 3EI/l3, onde E e o modulo deYoung do concreto e I e o momento de inercia de area da secao transversal da coluna). Nos itens(a) e (b) que se seguem, ignore o efeito da massa M .

(a) (15 pontos) Suponha que a coluna e posta para oscilar sob a acao de uma forca P periodica, de

forma que a sua extremidade superior oscila com velocidade v(t) = dy(l)dt

= vmax sin(ωt). Comisto, a coluna (em toda a sua extensao) adquire uma energia cinetica que varia (periodicamente)com o passar do tempo entre 0 e Tmax. Encontre uma expressao para a energia cinetica mediaTmed da coluna de massa m. De sua resposta em funcao de m e vmax. OBS.: o valor medio 〈f〉de uma funcao periodica f(t) com perıodo p e dada por:

〈f〉 =1

p

∫ t0+p

t0

f(t)dt,

onde t0 e um valor convenientemente escolhido (o valor medio independe de t0).

(b) (5 pontos) Encontre meq a massa puntiforme “equivalente” a coluna, isto e, uma massa meq

que, posta para oscilar na posicao y = l com velocidade v(t) = dy(l)dt

= vmax sin(ωt), teria amesma energia cinetica da coluna inteira. Escreva sua resposta da forma meq = fm, onde f euma fracao irredutıvel (uma razao entre dois numeros inteiros simplificada ao maximo).

(c) (5 pontos) Obtenha a frequencia angular ω0 de oscilacao do sistema coluna mais caixa d’agua.De sua resposta em funcao de M , m e k. OBS.: Se voce nao tiver conseguido fazer o item(b), voce pode tentar resolver este problema; neste caso, deixe sua resposta em funcao de f(voce podera receber uma pontuacao parcial, se fizer isto). Dica: Para o calculo da frequenciaangular de oscilacao, o efeito da gravidade pode ser ignorado.

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4. (20 pontos) Uma das rodas e feixe de molas de um automovel que trafega por uma estrada acidentadasao mostrados na Figura seguinte (esquerda). Por amor a simplicidade, podemos supor que todasas rodas sao identicas e o sistema (automovel) idealizado possa ser representado como na Figura domeio, ou ainda, para facilitar nosso trabalho, como na Figura da direita. O automovel tem massam1 = 1000 kg, e o feixe de molas tem uma rigidez total de k1 = 400 kN/m. As rodas e os eixos temuma massa de m2 = 300 kg, e a rigidez dos pneus e k2 = 500 N/m.

(a) (15 pontos) Obtenhas as frequencias naturais de oscilacao do automovel. Considere, para tanto,que o automovel nao esta trafegando na pista acidentada e ignore o efeito da gravidade.

(b) (5 pontos) Modele as oscilacoes da estrada acidentada atraves de uma funcao senoidal y(x) =Y sin(2πx/L), onde Y = 100 mm e L = 6,00 m. Obtenha (em km/h) as velocidades crıticasdo automovel (que irao acarretar ressonancia). Voce pode continuar ignorando o efeito dagravidade.

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