TEA014 - Mecânica dos Fluidos Ambiental IICurso de Graduação em Engenharia AmbientalDepartamento de Engenharia Ambiental, UFPRFINAL, 12 Dezembro 2018Prof. Michael Mannich

FINAL

NOME: GABARITO Assinatura:

1 [30] Um coletor solar com placas horizontais é usado para aquecer a água de uma piscina. Ele consiste em um tubo deABS com 20 m de comprimento e diâmetro de 1.5 pol e possui uma forma de serpentina como ilustrado. A água a umatemperatura média de 45 ◦C é bombeada pelo tubo a uma vazão de 1.5L/s.

a) [20] Determine a variação de pressão entre os pontos A (entrada) e B (saída). Considere os coe�cientes de perda decarga localizados para a curva de 180°K = 0.6 e para cada cotovelo de 90°K = 0.4.

b) [10] Qual a hipótese implícita realizada nos cálculos do item (a)?

SOLUÇÃO DA QUESTÃO:

a) Aplicamos a equação da energia entre os pontos A e B

P1γ+@@@

α1V 2

12д+ZZz1 +���

0Hbomba =

P2γ+@@@

α2V 2

22д+ZZz2 +���

0H turbina + hperdas

P1 − P2γ

=V 2

22д

[n180K180 + n90K90 + f

L

D

]

V =QπD2

4

=0.015π × 0.12 = 1.31m s−1

Re =VD

ν=

1.31 × 0.03815.94 × 10−5 = 8.354 × 104

ϵ

D=

0.00000150.0381

= 3, 937 × 10−5

1√f= −2,0 log *

,

ϵ/D

3,7+

2,51Re√f

+-

Continue a solução no verso =⇒

Para determinar f fazemos iterações na forma:

fi+1 =

−2,0 log *

,

ϵ/D

3,7+

2,51Re√fi

+-

−2

A tabela apresenta as iterações tomando como aproximação inicial f1 = 0, 020

Tabela 1: Iterações para determinação do fator de atritoi fi

1 0,022 0,0187494133 0,0188873944 0,0188716395 0,0188734316 0,0188732277 0,0188732508 0,0188732479 0,018873248

Voltando e calculando

P1 − P2γ

=V 2

22д

[n180K180 + n90K90 + f

L

D

]

P1 − P2γ

=1.312

2 × 9,81

[11 × 0.6 + 2 × 0.4 + 0.01887 ×

200.0381

]

P1 − P2γ

= 1.526972m

P1 − P2 = 14.8298kPa

b) A hipótese é que o escoamento é completamente desenvolvido.

Continue a solução no verso =⇒

2 [30] Uma gota de chuva tem um diâmetro de 1 mm. Determine sua velocidade terminal quando ela cai. Suponha queo ar tenha massa especí�ca constante 1.247 kg m−3 e viscosidade cinemática νar = 1.42 × 10−5m2 s−1.

SOLUÇÃO DA QUESTÃO:

Aplicando o balanço de forças na vertical podemos determinar a velocidade terminal U .

mд − FD − E = 0

mд −CD12ρarU

2A − ρarVд = 0

ρchuva43πR3д −CD

12ρarU

2πR2 − ρar43πR3д = 0

U 2 =(ρchuva − ρar )

43πR

3д

CD12ρarπR

2

U =

√43(ρchuva − ρar ) Dд

CDρar

U =

√43(ρchuva − ρar ) Dд

CDρar

U = 3.2367√

1CD

Mas nesta equação CD (Re ). Re por sua vez também é função de U . Neste caso, temos um problema iterativo.

Re =UD

νar

Re =0.001U

1.42 × 10−5

Re = 87.817 ×U

A tabela apresenta as iterações tomando como aproximação inicial CD = 1.0

Tabela 2: Iterações para determinação deUi CD U Re CD novo

1 1,0 3,237 2,279 102 0,752 0,75 3,737 2,632 102 0,683 0,68 3,925 2,764 102 0,6824 0,682 3,919 2,760 102 0,681

A velocidade terminal é então U = 3.9 m s−1.

Continue a solução no verso =⇒

Continue a solução no verso =⇒

3 [40] Considere um canal de irrigação retangular de 6.0 m de largura, n = 0.015 ms−1/3 e declividade de fundo deS0 = 0.00016 m/m.

a) [15] Determine a profundidade normal de escoamento para uma vazão de 4.0 m3/s.

b) [15] Deseja-se elevar a profundidade em um determinado local para 1.5 m por meio de uma contração para umalargura de 3.0 m com elevação do fundo ∆z. Qual deve ser esta elevação do fundo ∆z?

c) [10] O controle no escoamento irá desenvolver um escoamento gradualmente variado à montante. Esboce um per�lda linha d’água, classi�que-a e justi�que.

SOLUÇÃO DA QUESTÃO:

a)

A = by

P = b + 2y

Q =1nAR2/3S1/2

0 =1nA5/3P−2/3S1/2

0

Qn

S1/20

P2/3 = A5/3

A = *,

Qn

S1/20

+-

3/5

P2/5

Montamos uma equação iterativa e resolvemos partindo de uma aproximação inicial.

yi+1 =1b

*,

Qn

S1/20

+-

3/5

(b + 2yi )2/5

Tabela 3: Iterações para determinação da profundidade yni yi

1 1,0000002 0,9744053 0,9719064 0,9716625 0,971635

A solução é yn = 0.97 m.

b) Se profundidade desejada de 1.5m é maior do que a profundidade normal yn = 0.97m então a transição estaráexercendo um controle. Desta forma, teremos a profundidade crítica yc nesta seção.

y2 = yc =q2

2д= 0.565895 m

E2 = y2 +q2

2

2дy22= 0.848843 m

E1 = y1 +q2

1

2дy21= 1.510068 m

E1 = E2 + ∆z

∆z = E1 − E2 = 0.661225 m

Continue a solução no verso =⇒

c) A profundidade crítica no canal retangular é yC =q2

1д = 0.356492 m e a profundidade normal yn = 0.97 m. Como

yn > yC o canal é subcrítico/moderado, isto é, S0 < SC . Desta forma, a curva que se forma à montante da barragemem que y > yn é uma curva do tipo M1.

Continue a solução no verso =⇒