Figuras geométricas planas e espaciais - Campus Sertão · Retas paralelas cortadas por uma reta...
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Figuras geométricas planas
e espaciais
Joyce Danielle
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Joyce Danielle
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Figuras geométricas planas
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Apresentação
Na geometria plana vamos então nos atentarao método de cálculo da área das figurasgeométricas planas. Sendo elas os polígonos,ou seja, figura com muitos ângulos.
A área é a denominação dada à medida deuma superfície, medida através de duasdimensões.
O polígono possui lados, vértices, diagonais,ângulos internos e ângulos externos.
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Observe o desenho abaixo, de dois ângulosopostos pelo vértice (opv):
Vamos comprovar se são ângulos opv.
Ângulos opostos pelo vértice
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𝒂 e 𝒃 são ângulos opv (opostos pelo vértice).
𝒂 𝒃
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Ângulos opostos pelo vértice
Demonstração:Queremos demonstrar que a = b, em que 𝒂 é a medida de a e 𝒃 éa medida de b.
Vemos que a + x = 180° e b + x = 180°.
Assim:
a + x = b + x a + x – x = b + x – x a = b
Sendo assim dois ângulos opostos pelo vértice são semprecongruentes.
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𝒂 𝒃
𝒙
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As retas r e s são paralelas: estão no mesmo planoe não têm ponto comum (r // s).
A reta transversal t forma 4 ângulos com r e 4ângulos com s.
Retas paralelas cortadas por uma
reta transversal.
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r
s
t
𝒂 𝒃
𝒄 𝒅
𝒆 𝒇
𝒈 𝒉
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Retas paralelas cortadas por uma
reta transversal.
Analisando a imagem abaixo, vemos que:
o 𝒂 e 𝒆
𝒃 e 𝒇
𝒄 e 𝒈
𝒅 e 𝒉
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 7
Ângulos correspondentesa = e; b = f; c = g; d = h
r
s
t
𝒂 𝒃
𝒄 𝒅
𝒆 𝒇
𝒈 𝒉
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Retas paralelas cortadas por
uma reta transversal.
Analisando a imagem, vemos que:o 𝒄 e 𝒆
𝒅 e 𝒇
o 𝒂 e 𝒈 𝒃 e 𝒉
o 𝒂 e 𝒉 𝒃 e 𝒈
o 𝒄 e 𝒇 𝒅 e 𝒆
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 8
Ângulos alternos internosc = e; d = f
Ângulos alternos externosa = g; b = h
Ângulos colaterais externosa + h = 180°; b + g = 180°
Ângulos colaterais internosc + f = 180°; d + e = 180°
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Vamos praticar...
Considere m e n retas paralelas (m // n),
calcule o valor de x e a medida de cada
ângulo assinalado.
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2x + 10°
x + 30°
m n
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Vamos praticar...
Analisaremos assim:
Como x + 30° é o ângulo opv de 𝑦, então 𝑦 = x + 30° e oângulo correspondente de 𝑦 é 2x + 10°, assim x + 30° = 2x+ 10°
x + 30° = 2x + 10°
x – 2x = 10° - 30°
-x = -20°
x = 20
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 10
2x + 10°
x + 30°
𝑦
50°
50°
m n
m n
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Vamos praticar...
Na figura a seguir, a e b são retas paralelas
cortadas pela transversal r. Calcule as
medidas de x e y sabendo que a diferença
entre elas é 64°.
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 11
yx
a b
r
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Vamos praticar...
Como x e y são ângulos colaterais externos, ou seja, x + y = 180º, e pelo enunciado x – y = 64º, teremos um sistema:
x – y = 64º x = 64° + y
x + y = 180º
x + y = 180°64° + y + y = 180°2y = 180° - 64º 2y = 116°y = 58°
Agora é só utilizar o valor de y em algumas das equações, paraobter x.
x + 58° = 180º x = 180° - 58° x = 122°
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Paralelogramo
Em todo paralelogramo temos dois ângulos
opostos que são congruentes (medidas
iguais) e dois ângulos não opostos que são
suplementares (soma das medidas: 180°).
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A B
CD
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Vamos praticar...
Calcule as medidas dos quatro ângulos
internos dos paralelogramos a seguir:
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3x + 22°
5x
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Vamos praticar...
Como 5x e 3x + 22° são ângulos opostos, logo:
5x = 3x + 22°
5x – 3x = 22°
2x = 22°
x = 11°
5x = 5.11°
55°
Logo, 55° + y = 180°
y = 180° - 55°
y = 125°
A medida dos quatro ângulos internos são 55°, 55°, 125°e 125°.
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 15
3x + 22°
5xy
y
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Ângulos internos de um triângulo
A soma das medidas dos ângulos internos
de um triângulo qualquer é 180°.
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 16
A
C
B
𝑩 𝑪
𝑨
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Vamos praticar...
Uma corda foi esticada no topo desse prédio até o
chão. O ângulo determinado no chão pode ser
medido: 62°. Qual a medida do ângulo no topo
desse prédio?
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62°
x
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Vamos praticar...
Pela figura anterior, temos os ângulos 62°, 90°e x, onde formam um triângulo e a soma dosângulos de um triângulo é 180°.
62° + 90° + x = 180°
152° + x = 180°
x = 180° - 152°
x = 28°
Assim, a medida do ângulo do topo do prédio é28°.
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Nomenclatura do polígonos
Polígono é uma figura fechada formada por
segmentos de retas, que constituem os
lados da figura. O encontro dos segmentos
formam os vértices, os ângulos internos e
os ângulos externos.
A nomenclatura de um polígono depende do
número de lados da figura.
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Nomenclatura do polígonos
A tabela abaixo contém a nomenclatura de
alguns polígonos.
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Lados Nome Lados Nome Lados Nome
1 11 undecágono... ...
2 12 dodecágono
3 triângulo 13 tridecágono 30 triacontágono
4 quadrilátero 14 tetradecágono 40 tetracontágono
5 pentágono 15 pentadecágono 50 pentacontágono
6 hexágono 16 hexadecágono 60 hexacontágono
7 heptágono 17 heptadecágono 70 heptacontágono
8 octógono 18 octodecágono 80 octacontágono
9 eneágono 19 eneadecágono 90 eneacontágono
10 decágono 20 icoságono 100 hectágono
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Polígono Convexo
Um polígono é convexo se os ângulos do polígono foremmenores que 180º, assim ele será convexo.
Caso tenha um ângulo com medida maior que 180º eleserá classificado como não convexo ou côncavo.
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Ângulos menores que 180°
Ângulo maior que 180°
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Ângulos internos de um quadrilátero
Em todo quadrilátero convexo, a soma das
medidas dos ângulos internos é 360°.
Podemos observar traçando-se uma diagonal,
transformando-o em dois triângulos.
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Vamos praticar...
Determine a medida do ângulo x do
quadrilátero abaixo:
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3x
x
2x – 30°
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Vamos praticar...
Pela figura anterior, temos os ângulos 2x – 30°,3x, 90° e x, onde formam um triângulo e asoma dos ângulos de um quadrilátero é 360°.
2x – 30° + 3x + 90° + x = 360°
2x + 3x + x = 360° + 30° - 90°
6x = 300°
x = 50°
Como o ângulo x é o ângulo menor, então oângulo menor mede 50°.
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Ângulos internos de um polígono
Em um polígono convexo de n lados, a
soma das medidas dos ângulos internos(Si)
é igual a (n - 2) . 180°. Assim, teremos a
fórmula:
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 25
Si = (n - 2) . 180°
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Vamos praticar...
Qual o valor de x nesta figura?
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 26
160°
95°
x
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Vamos praticar...
Pela imagem, vemos que o polígono tem 5 lados,utilizaremos desse valor na fórmula para obter a somados ângulos internos desse polígono.
Si = (5 - 2) . 180°
Si = 3 . 180°
Si = 540°
Agora, vamos nomear o ângulo interno próximo de x dey.
90° + 90° + 160° + 95° + y = 540°
435° + y = 540°
y = 540° - 435°
y = 105°
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 27
160°95°
xy
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Vamos praticar...
Como y + x = 180°, temos:
125° + x = 180°
x = 180° - 105°
x = 75°
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105° x
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Polígonos regulares
Todo polígono regular possui os lados e os
ângulos com medidas iguais. Alguns
exemplos de polígonos regulares.
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60° 60°
60°
90°
90°
90°
90°
108°
108° 108°
108°
108°
120° 120°
120°120°
120° 120°
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Ângulos internos de polígonos regulares
Assim para sabermos qual a medida dos
ângulos internos de um polígono regular
basta saber a soma dos ângulos internos
(Si) e o número de lados (n). A partir disso,
fazer o quociente entre eles.
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Si𝒏
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Ângulos externos de um polígono convexo
Um ângulo externo de um polígono convexo é formadopelo prolongamento de um dos lados do polígono.
O ângulo indicado pela sua medida d é um ânguloexterno do triângulo ABC.
A soma das medidas dos ângulos externos de qualquerpolígono convexo(Se) é igual a 360°.
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Ângulos externos de um polígono regular
Para sabermos a medida do ângulo externo
de um polígono regular basta fazer o
quociente entre a soma dos ângulos
externos (Se) e o número de lados (n).
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S𝒆𝒏
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Diagonais
Denominamos por diagonal o segmento de
reta que une um vértice ao outro. O número
de diagonais de um polígono é proporcional
ao número de lados. Para cálculos
envolvendo o número de diagonais,
utilizamos a seguinte fórmula:
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 33
d =𝒏 . (𝒏 − 𝟑)
𝟐
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Joyce Danielle
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Figuras geométricas espaciais
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Apresentação
Geometria Espacial é o estudo da geometria no espaço,em que estudamos as figuras que possuem mais deduas dimensões. Sendo elas os poliedros, ou seja,figura com várias faces e a superfície é formada apenaspor polígonos.
Essas figuras ocupam um lugar no espaço, então ageometria espacial é responsável pelo cálculo do volumedessas figuras e o estudo das estruturas das figurasespaciais.
Os seus elementos mais importantes são as faces, asarestas e os vértices.
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 35
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Ponto e Reta
Relação entre um ponto e uma reta
oO ponto A pertence à reta r (A r);
oO ponto B não pertence à reta r (B r).
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 36
A
B
r
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Ponto e Reta
Relação entre pontos
o Os pontos A, B e C são colineares (existe umareta que passa pelos três).
o Os pontos D, E e F não são colineares.
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 37
A
B
s
C
D
E
F
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Ponto e Reta
Relação entre duas retas de um plano
o As retas c e m são distintas e paralelas;
o As retas b e f são concorrentes e oblíquas.
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 38
c
m
f b
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Ponto e Reta
Relação entre duas retas de um plano
o As retas a e t são coincidentes (paralelasiguais);
o As retas p e n são concorrentes eperpendiculares.
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 39
p
nt
a
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Ponto e Plano
Relação entre ponto e plano
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 40
H
J
F
GI
M
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Ponto e Plano
o O ponto F pertence a (F );
o O ponto F não pertence a (F );
o O ponto H não pertence a (H );
o O ponto H não pertence a (F );
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 41
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Ponto e Plano
Dados dois pontos ou mais no espaço:
o Eles são ou não pontos coplanares
P, Q e R são três X, Y, Z e W são quatro
pontos coplanares. pontos não-coplanares.
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 42
P
Q
R X
Y
Z
W
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Ponto e Plano
1. Dois pontos distintos são sempre colineares
e sobre eles passa uma única reta. Dizemos
então que dois pontos distintos A e B
determinam uma reta (AB).
2. Três pontos não-colineares são sempre
coplanares e sobre eles passa um único
plano. Dizemos então que três pontos não-
colineares A, B e C determinam um plano
p(A, B, C).
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 43
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Poliedros
O poliedro é formado pela reunião de um
número finito de polígonos, onde cada
polígono representa uma face.
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 44
vértice
aresta
face
Nesse poliedro temos:
Vértices: 6
Arestas: 12
Faces: 8
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Poliedros
As figuras espaciais abaixo são exemplos
de poliedros.
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 45
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Nomenclatura de Poliedros
A nomenclatura dos poliedros é
estabelecida em função do número de
faces. O menor número de faces de um
poliedro é 4. A tabela abaixo mostra alguns
exemplos da nomenclatura usada para os
poliedros convexos.
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 46
Número de faces Nome do poliedro
4 tetraedro
5 pentaedro
6 hexaedro
8 octaedro
12 dodecaedro
20 icosaedro
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Relação de Euler
É uma relação entre o número de vértices
(V), o número de arestas (A) e o número de
faces (F) de um poliedro convexo.
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 47
Vértices: 8Arestas: 12Faces: 6
Cubo Pirâmide Prisma
Vértices: 5Arestas: 8Faces: 5
Vértices: 10Arestas: 15Faces: 7
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Relação de Euler
Observamos assim que, para cada um dos
poliedros, o número de arestas é
exatamente 2 unidades menos do que a
soma do número de faces com o número de
vértices. Essa relação pode ser escrita
assim:
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 48
V – A + F = 2
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Poliedros Regulares
Um poliedro convexo é regular quando
todas as faces são regiões poligonais
regulares e congruentes e em todos os
vértices concorre o mesmo número de
arestas.
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 49
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Ângulos das faces de poliedros
A soma dos ângulos de todas as faces de
um poliedro convexo (Sf) que possui V
número de vértices é:
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 50
Sf = (V – 2) . 360°