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ˆ Angulos na circunferˆ encia Teorema de Tales Exerc´ ıcios MA093 – Matem´ atica b´ asica 2 ˆ Angulos na circunferˆ encia – Teorema de Tales Francisco A. M. Gomes UNICAMP - IMECC Agosto de 2018
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Angulos na circunferencia Teorema de Tales Exercıcios
MA093 – Matematica basica 2Angulos na circunferencia – Teorema de Tales
Francisco A. M. Gomes
UNICAMP - IMECC
Agosto de 2018
Angulos na circunferencia Teorema de Tales Exercıcios
Topicos importantes
O objetivo dessa aula e investigar
1 Angulos na circunferencia.
2 Teorema de Tales.
Angulos na circunferencia Teorema de Tales Exercıcios
Angulo central
Definicao
Um angulo central AOB em uma circunferencia e um angulo quetem vertice no centro O da circunferencia.
AB_
e o arco correspondente ao angulo central AOB.A medida do angulo (α no desenho) pode aparecer ao lado do arco.
Angulos na circunferencia Teorema de Tales Exercıcios
Congruencia de arcos
Definicao
1 Duas circunferencias sao congruentes se tem raios iguais.
2 Dois arcos AB_
e CD_
de uma circunferencia sao congruentes see somente se os angulos AOB e COD sao congruentes.
Angulos na circunferencia Teorema de Tales Exercıcios
Angulo inscrito
Definicao
Um angulo inscrito ACB em uma circunferencia e um angulo quetem vertice em um ponto C da circunferencia.
Angulos na circunferencia Teorema de Tales Exercıcios
Angulo inscrito
Teorema
A medida de um angulo inscrito e a metade da medida do angulocentral correspondente. No exemplo, α = β/2.
Angulos na circunferencia Teorema de Tales Exercıcios
Angulo inscrito em uma semicircunferencia
Teorema
O angulo inscrito em uma semicircunferencia e reto.Na figura, C e reto e ABC e um triangulo retangulo.
Angulos na circunferencia Teorema de Tales Exercıcios
Angulo excentrico interior
Definicao
Um angulo excentrico interior ACB em uma circunferencia e umangulo formado por duas cordas que se cruzam em um pontointerior da circunferencia, diferente do centro.
Angulos na circunferencia Teorema de Tales Exercıcios
Angulo excentrico interior
Teorema
A medida de um angulo excentrico interior e a media das medidasdos angulos centrais a ele associados.No exemplo, x = (α + β)/2.
Angulos na circunferencia Teorema de Tales Exercıcios
Angulo excentrico exterior
Definicao
Um angulo excentrico exterior ACB em uma circunferencia e umangulo formado por semirretas que partem de um vertice exterior eque sao secantes ou tangentes a circunferencia.
Angulos na circunferencia Teorema de Tales Exercıcios
Angulo excentrico exterior
Teorema
A medida de um angulo excentrico exterior e a metade dadiferenca das medidas dos angulos centrais a ele associados.No exemplo, x = (α− β)/2.
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Quadrilatero inscrito
Definicao
Um quadrilatero e inscrito em uma circunferencia se todos os seusvertices estao sobre a circunferencia.
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Quadrilatero inscrito
Teorema
Em um quadrilatero inscrito em uma circunferencia, os angulosopostos sao suplementares.
A + C = B + D = 180◦
Angulos na circunferencia Teorema de Tales Exercıcios
Teorema de Tales
AB
BC=
A′B ′
B ′C ′AB
CD=
A′B ′
C ′D ′
AC
BD=
A′C ′
B ′D ′AD
BC=
A′D ′
B ′C ′
Teorema
Dado um feixe de retas paralelas e duas retas transversais r e s, arazao entre dois segmentos quaisquer de r e igual a razao entre ossegmentos correspondentes de s.
Angulos na circunferencia Teorema de Tales Exercıcios
Exemplo
Lados de terrenos trapezoidais
Tres terrenos trapezoidais estao compreendidos entre duas ruas,como mostra a figura. determinar x , y e z .
Angulos na circunferencia Teorema de Tales Exercıcios
Resolucao
15 + 20 + 10 = 45
x
50=
15
45⇒ x =
50 · 15
45=
50
3≈ 16, 67 m
y
x=
20
15⇒ y =
50
3· 20
15=
200
9≈ 22, 22 m
z
50=
10
45⇒ z =
50 · 10
45=
100
9≈ 11, 11 m
Angulos na circunferencia Teorema de Tales Exercıcios
Exercıcio 1
Problema
Determine o valor de x.
x = 30◦
Angulos na circunferencia Teorema de Tales Exercıcios
Exercıcio 2
Problema
Determine o valor de x.
x = 58◦
Angulos na circunferencia Teorema de Tales Exercıcios
Exercıcio 3
Problema
Determine o valor de x.
x = 60◦
Angulos na circunferencia Teorema de Tales Exercıcios
Exercıcio 4
Problema
Determine o valor de α.
x = 62◦
Angulos na circunferencia Teorema de Tales Exercıcios
Exercıcio 5
Problema
Determine o valor de x.
x = 100◦
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Exercıcio 6
Problema
Dada a figura abaixo, determine a medida do angulo α em relacaoa medida do angulo central β.
α = β/2
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Exercıcio 7
Problema
Determine o valor de x, sabendo que as retas r, s e t sao paralelas.
x=18/5
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Exercıcio 8
Problema
Determine x na figura abaixo, sabendo que BC e DE sao paralelas.
x = 6
